Matemáticas Empresariales II. Continuidad y Derivabilidad

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Matem´

aticas Empresariales II

Lecci´

on 9

Continuidad y Derivabilidad

Manuel Le´on Navarro

(2)

Continuidad

Sea la funci´onf :Rn→_R, se dice quef es continua en el punto ¯a∈_Rn

si se cumple que:

l´ım

¯

x→a¯f(¯x) =f(¯a)

Por lo tanto para que la funci´on sea continua se deben dar tres

condiciones (que adem´as deber´ıan comprobarse por ese orden):

1 Que exista la imagen del punto (f(¯a))

2 _{Que exista el l´ımite de la funci´}_{on (Para ello se deben aplicar los}

m´etodos vistos en el punto anterior)

3 _{Que ambos coincidan.}

En el caso de los campos vectoriales, f :Rn→_Rm_{, el estudio de la}

continuidad se limita al estudio de la continuidad de cada uno de los m

campos vectoriales que lo componen. Si todos son continuos, entonces se concluye que dicho campo vectorial es continuo.

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Continuidad - Ejemplo

Estudie la continuidad de la funci´onf(x,y) en el origen, siendo

f(x,y) =

( _xy2

x2₊_y2 (x,y) = (0,0)

0 ∀(x,y)6= (0,0)

Para que la funci´on sea continua en el punto debe cumplir que

l´ım

(x,y)→(0,0)f(x,y) =f(0,0)

Existe f(0,0) ya que si (x,y) = (0,0) entoncesf(x,y) = 0 =⇒

f(0,0) = 0.

Existe el l´ımite de la funci´on (lecci´on 8): l´ım

(x,y)→(0,0) xy2 x2₊_y2 = 0

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Continuidad - Ejercicio

Estudie la continuidad de la funci´on

f(x,y) =

(₍_x−₁₎3₋₍_y₊₁₎3

(x−1)2₊₍_y₊₁₎2 (x,y) = (1,−1)

0 ∀(x,y)6= (1,−1) en el punto (1,−1).

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Derivada seg´

un un vector (direccional)

Problema: Direcci´on

Sea la funci´onf :Rn₌_⇒_R_{y sea ¯}_a_∈_Rn _{un punto del dominio.}

Definimos la derivada def en el punto ¯a seg´un la direcci´on de ¯v ∈_Rn

como el valor, si existe, del l´ımite siguiente:

Dv¯f(¯a) = l´ım

λ→0

f(¯a+λ¯v)−f(¯a) λ

No tener en cuenta la norma del vector =⇒ kv¯k =⇒derivada direccional:

l´ım λ→0

f(¯a+λ_k¯v_¯_vk)−f(¯a) λ

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Derivada seg´

un un vector - Ejemplo

Sea la funciónf(x,y) =xy2. Encuentre la derivada de dicha función en el punto (1,1) según la dirección del vector ¯v = (1,2).

Como hemos visto antes, la derivada de la funci´on en dicho punto, seg´un

la direcci´on de dicho vector ser´a

Dv¯f(1,1) = l´ım

λ→0

f((1,1) +λ(1,2))−f(1,1) λ

En primer lugar calculamos la expresi´on (1,1) +λ(1,2) = (1 +λ,1 + 2λ) y

calculamos su imagen f(1 +λ,1 + 2λ) = (1 +λ)(1 + 2λ)2. Ahora con

f(1,1) = 1·12 = 1 sustituyendo en la definici´on de derivada seg´un un vector:

Dv¯f(1,1) = l´ım

λ→0

(1 +λ)(1 + 2λ)2−1 λ

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Derivada seg´

un un vector - Ejemplo

Y operando el producto de polinomios

D¯vf(1,1) = l´ım

λ→0

1 + 3λ+ 6λ2_{+ 4λ}3₋₁

λ Y realizando el resto de operaciones

Dv¯f(1,1) = l´ım

λ→0

3λ+ 6λ2_{+ 4λ}3

λ = l´ımλ→03 + 6λ+ 4λ

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Derivada seg´

un un vector - Ejercicio

Calcule la derivada de la funci´onf(x,y) =x2₊_y2 _{en el punto (1,-1)}

seg´un la direcci´on del vector ¯v = (1,1).

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Derivada parcial

Dentro de todas las direcciones posibles para calcular la derivada, existen

unas m´as importantes que otras. Una posibilidad es calcular lo que

incrementa la funci´on cuando todas las variables del dominio se quedan

constantes y solo aumenta una de ellas. Dicha derivada, que se obtiene como la derivada seg´un el vector ¯ei = (0, ...,1,0, ...,0) (el 1 aparece en la

posici´oni), se llama derivada parcial y se denota por Dif(¯a) ´o de forma

m´as habitual _∂∂_xf i(¯a): Dif(¯a) = ∂f ∂xi (¯a) = l´ım λ→0 f(¯a+λ¯ei)−f(¯a) λ

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Vector Gradiente y Matriz Jacobiana

Sea la funci´onf :Rn=⇒_R, entonces podemos calcular cada una de las

derivadas parciales y ponerlas en un vector. A dicho vector se le llama vector gradiente de la funci´on en el punto y se denota por∇f(¯a).

∇f(¯a) = ∂f ∂x1 (¯a), ∂f ∂x2 (¯a), ...∂f ∂xi (¯a), .., ∂f ∂xn (¯a) !

Sea la funci´on vectorial,f :Rn₌_⇒_Rm_{, entonces podemos calcular un}

gradiente para cada una de las m funciones que componen el campo

vectorial. A dicha funci´on se la denomina matriz Jacobiana y se la denota

por Jf(¯a) Jf(¯a) =      ∇f1(¯a) ∇f2(¯a) .. . ∇fm(¯a)      =      ∂f1 ∂x1(¯a) ∂f1 ∂x2(¯a) · · · ∂f1 ∂xn(¯a) ∂f2 ∂x1(¯a) ∂f2 ∂x2(¯a) · · · ∂f2 ∂xn(¯a) .. . ... . .. ... ∂fm ∂x1(¯a) ∂fm ∂x2(¯a) · · · ∂fm ∂xn(¯a)     

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Funci´

on Derivada parcial - C´

alculo de derivadas parciales

Sea la funci´onf :Rn₌_⇒_R_{que admite derivadas en cada punto del}

dominio, podemos definir una nueva funci´on de tal forma que a cada punto

del dominio le corresponde su derivada. Es decir, aplicamos la definici´on de

derivada a todos los puntos del dominio y tendremos la funci´on derivada:

D¯vf(¯x) = l´ım

λ→0

f(¯x+λ¯v)−f(¯x) λ

Si elegimos, como en el punto anterior, el vector ¯ei = (0, ..,1,0, .,0)

entonces tendremos la funci´on derivada parcial:

Dif(¯x) = ∂f ∂xi = l´ım λ→0 f(¯x+λ¯ei)−f(¯x) λ = l´ımλ→0 f(x1, ..,xi+λ, ..,xn)−f(x1, ..,xi, ..,xn) λ

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Funci´

on Derivada parcial - C´

alculo - Ejemplo

Encuentre las derivadas parciales de la funci´onf(x,y) = 2xy2.

La derivada parcial respecto de x será la derivada de la función según la dirección del vectore1 = (1,0), por lo tanto será

∂f ∂x = l´ımλ→0 f(¯x+λe¯1)−f(¯x) λ = l´ımλ→0 f(x+λ,y)−f(x,y) λ

Y sustituyendo en la funci´on del ejemplo: ∂f ∂x = l´ımλ→0 2(x+λ)y2−2xy2 λ = l´ımλ→0 2xy2+ 2y2λ−2xy2 λ y operando se obtiene ∂f ∂x = l´ımλ→0 2xy2+ 2y2λ−2xy2 λ = l´ımλ→0 2y2λ λ = l´ımλ→02y 2_{= 2}_y2

Y por lo tanto, se obtiene que ∂_∂f_x = 2y2.

(13)

Funci´

on Derivada parcial - C´

alculo - Ejemplo (cont)

La derivada parcial respecto de y será la derivada de la función según la dirección del vectore2 = (0,1), por lo tanto será

∂f ∂y = l´ımλ→0 f(¯x+λe2¯)−f(¯x) λ = l´ımλ→0 f(x,y+λ)−f(x,y) λ

Y sustituyendo en la funci´on del ejemplo: ∂f ∂y = l´ımλ→0 2x(y+λ)2−2xy2 λ = l´ımλ→0 2x(y2+ 2yλ+λ2)−2xy2 λ y operando se obtiene ∂f ∂y = l´ımλ→0 2xy2+ 4xyλ+ 2xλ2−2xy2 λ = l´ımλ→0 4xyλ+ 2xλ2 λ = l´ımλ→04xy+2xλ= 4xy

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Funci´

on Derivada parcial - C´

alculo - Ejercicio

Calcule, utilizando la definici´on, las derivadas parciales de la funci´on

f(x,y) =x2+y2

(15)

C´

alculo de la derivada parcial utilizando las reglas de

derivaci´

on

En la práctica, para encontrar las derivadas parciales utilizamos las reglas de derivación vistas en cursos anteriores, pero con una pequeña diferencia. Si queremos calcular la derivada respecto de una variable, se supone que el resto de variables son constantes y solo se deriva respecto de la variable de interés.

Ejemplo

Encuentre el gradiente de la funci´onf(x,y) = 2xy2. El gradiente =⇒ ∇f(x,y) = (_∂∂f_x,_∂∂f_y).

∂f

∂x =⇒ y es constante (y =K) =⇒ se derivaf(x) = 2xK

2_.

Reglas =⇒f0(x) = 2K2_{. Ahora con} _y ₌_K _{tengo que}_f0₍_x_{) = 2}_y2

=⇒ ∂_∂f_x = 2y2

∂f

∂y =⇒ x es constante (x =K) =⇒ se derivaf(y) = 2Ky2

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C´

alculo de la derivada parcial utilizando las reglas de

derivaci´

on - Ejercicio

Calcule, utilizando las reglas de derivaci´on, las derivadas parciales de las funciones siguientes: 1 _f₍_x_,_y_{) =}_x2₊_y2 2 _f₍_x_,_y_{) =}_exy2 3 f(x,y) =Ln(xcos(y) 4 f(x,y,z) =x y z

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Derivadas sucesivas

Derivadas sucesivas - Se obtienen aplicando la definici´on de derivada parcial a las derivadas obtenidas anteriormente.

El problema radica en que el n´umero de derivadas sucesivas crece de forma

geom´etrica. Sif :Rn→_R =⇒ el gradiente est´a formado porn

componentes

Cada uno de los n componentes puede ser derivado respecto a lasn

variables y por lo tanto se pueden formar nxn derivadas segundas.

La notaci´on para la derivada segunda es ∂2f

∂xi∂xj

donde en el numerador indicamos que la derivada es segunda y en el denominador respecto de que variables derivamos. En este caso, primer derivamos respecto de xi y despu´es respecto dexj. Si la segunda derivada

la tomamos respecto de la misma variable, tambi´en se puede escribir como

∂2_f

∂x2

i

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Matriz Hessiana

Al conjunto de las derivadas parciales segundas de un campo escalar

ordenadas en una matriz cuadrada de ordenn se le denomina matriz

Hessiana y tiene la forma:

Hf(¯x) =        ∂2f ∂x2 1 ∂2f ∂x1∂x2 · · · ∂2f ∂x1∂xn ∂2_f ∂x2∂x1 ∂2_f ∂x2 2 · · · ∂2_f ∂x2∂xn .. . ... . .. ... ∂2_f ∂xn∂x1 ∂2_f ∂xn∂x2 · · · ∂2_f ∂x2 n       

Una vez que tenemos calculada la matriz hessiana, ´esta puede ser evaluada

en un punto ¯a,Hf(¯a).

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Matriz Hessiana - Ejemplo

Calcule la matriz Hessiana del campo escalar siguiente:f(x,y,z) =exy+z

Para calcular la matriz Hessiana debemos calcular en primer lugar las derivadas parciales primeras:

∂f ∂x =e xy+z_·_y ∂f ∂y =e xy+z_·_x ∂f ∂z =e xy+z

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Matriz Hessiana - Ejemplo - Cont

Una vez calculadas las derivadas parciales primeras calcularemos las derivadas de las derivadas, es decir las derivadas segundas:

A partir de la derivada respecto de x (∂_∂f_x =exy+z·y): ∂2f ∂x2 =e xy+z_·_y2 ∂f2 ∂x∂y =e xy+z_·_x_·_y₊_exy+z ∂f2 ∂x∂z =e xy+z_·_y

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Matriz Hessiana - Ejemplo - Cont

A partir de la derivada respecto de y (∂_∂f_y =exy+z·x): ∂f2 ∂y∂x =e xy+z_·_x_·_y₊_exy+z ∂f2 ∂y2 =e xy+z_·_x2 ∂f2 ∂y∂z =e xy+z_·_x

(22)

Matriz Hessiana - Ejemplo - Cont

A partir de la derivada respecto de z (∂_∂f_z =exy+z): ∂f2 ∂z∂x =e xy+z_·_y ∂f ∂z∂y =e xy+z_·_x ∂f ∂z2 =e xy+z

(23)

Matriz Hessiana - Ejemplo - Cont

Y por ´ultimo, ordenando las derivadas segundas en la matriz hessiana se

obtiene: Hf(¯x) =   exy+z·y2 exy+z·x·y+exy+z exy+z·y exy+z·x·y+exy+z exy+z·x2 exy+z·x exy+z·y exy+z·x exy+z  

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Matriz Hessiana - Ejercicio

Calcule la matriz Hessiana del campo escalar f(x,y) =cos(ex ·y)

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Propiedades de las funciones derivadas

Si una funci´on es derivable en un punto ¯a, entonces no podemos asegurar

que dicha funci´on sea continua en ¯a.

Ejemplo

Comprobar que la funci´on tiene derivadas seg´un cualquier vector en el

punto (0,0) pero que no es continua en dicho punto.

( _x1x2 2

x₁2+x₂4,∀(x1,x2)6= (0,0)