Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria
TEMA 26. Derivadas de funciones en un punto. Función deriv
da. Derivadas sucesivas.
1.
Introducción
La derivada es junto a la integral los conceptos principales del cálculo
dos en la continuidad de la Naturaleza desde el punto de vista macroscópico. Aunque conce tos asociados a la derivada, como la velocidad de los móviles, eran usados desde tiempo atrás el concepto matemático surge en el siglo XVII de mano
define la derivada observando que los máximos y mínimos relativos de las funciones su recta tangente era de pendiente nula (paralela al eje OX).
La utilización de la derivada es
multitud de sus ramas. En la Mecánica la velocidad es la derivada de la posición y la aceler ción la derivada de la velocidad; en Electricidad el campo eléctrico,
dimensiones (gradiente) del potencial eléctrico, V
fundamental, la ecuación Schodinguer nos relaciona una derivada espacial con una derivada temporal de la función de onda de probabilidad.
Antes de definir la derivada veamos la definición de función real rrespondencia entre D⊆ y
f: D →
x → y= f(x) y tal que La variable x se denomina
mina dominio de la función Dom(f) valores de y= f(x) se denomina
2.
Derivada en un punto. Propiedades e
2.1.
Definición de derivada.
Sea una función continua en [a,b] y el punto x de una función en un punto x0
Gráficamente: el cociente incremental es recta que une los puntos (x0, f(x
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es)
TEMA 26. Derivadas de funciones en un punto. Función deriv
da. Derivadas sucesivas. Aplicaciones.
La derivada es junto a la integral los conceptos principales del cálculo infinitesimal, bas dos en la continuidad de la Naturaleza desde el punto de vista macroscópico. Aunque conce tos asociados a la derivada, como la velocidad de los móviles, eran usados desde tiempo atrás el concepto matemático surge en el siglo XVII de manos de Fermat. El matemático francés define la derivada observando que los máximos y mínimos relativos de las funciones su recta tangente era de pendiente nula (paralela al eje OX).
La utilización de la derivada es enorme, en especial en la Física donde su
multitud de sus ramas. En la Mecánica la velocidad es la derivada de la posición y la aceler ción la derivada de la velocidad; en Electricidad el campo eléctrico, , es la derivada en tres dimensiones (gradiente) del potencial eléctrico, V ( ); en Física Cuántica su ecuación fundamental, la ecuación Schodinguer nos relaciona una derivada espacial con una derivada temporal de la función de onda de probabilidad.
Antes de definir la derivada veamos la definición de función real: una func definida de la forma:
y= f(x) y tal que ∀x∈D se cumple que f(x) es único.
se denomina independiente y el conjunto de todos los puntos x Dom(f). La variable y se denomina dependiente valores de y= f(x) se denomina recorrido, rec (f)={y∈ : f(x)=y, ∀x∈ }.
Derivada en un punto. Propiedades e interpretación gráfica.
Definición de derivada.
Sea una función continua en [a,b] y el punto x0∈[a,b] se denomina cociente incremental 0 e incremento de valor h (h<|x0-b|)al cociente definido como:
h
x
f
h
x
f
x
f
h)
(
)
(
)
(
0 0 0−
+
=
∆
: el cociente incremental es el valor de la tangente de ángulo que forma la , f(xo)) y (x0+h,f(x0+h)) y el eje X, es decir la pendiente de esta recta.
)
(
)
(
0h
h
x
f
tg
m
=
α
=
+
−
1TEMA 26. Derivadas de funciones en un punto. Función
deriva-infinitesimal, basa-dos en la continuidad de la Naturaleza desde el punto de vista macroscópico. Aunque concep-tos asociados a la derivada, como la velocidad de los móviles, eran usados desde tiempo atrás
s de Fermat. El matemático francés define la derivada observando que los máximos y mínimos relativos de las funciones su recta
enorme, en especial en la Física donde su uso aparece en multitud de sus ramas. En la Mecánica la velocidad es la derivada de la posición y la
acelera-, es la derivada en tres ); en Física Cuántica su ecuación fundamental, la ecuación Schodinguer nos relaciona una derivada espacial con una derivada
función f, es una
co-y el conjunto de todos los puntos x∈D se deno-dependiente y el conjunto de
interpretación gráfica.
cociente incremental al cociente definido como:
ángulo que forma la la pendiente de esta recta.
)
(
)
(
0 0f
x
x
f
h∆
=
−
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 2 Se llama derivada de una función continua f(x) en un punto x0, y se denota como
) ( ' 0 0 x f dx df x =
al límite cuando h tiende a cero del cociente incremental en x0:
h
x
f
h
x
f
x
f
h)
(
)
(
lim
)
(
'
0 0 0 0−
+
=
→Una función f(x) es derivable en x0 si existe la derivada de la función en x0, f’(x0).
Nota: la notación f’(x0) es la más usada, si bien si la función depende de más de una varia-ble es más útil la notación
0 x dx df
pues nos indica la variable en la que derivamos. En el caso de las variables físicas que dependen de la posición, x, y del tiempo, t, se suele definir la deri-vada temporal como
0 ) , ( ) , ( 0 t dt t x df t x f =
& y la derivada espacial como
0 ) , ( ) , ( ' 0 x dx t x df t x f = .
2.2.
Interpretación gráfica de la derivada.
Para ver la interpretación gráfica de la deri-vada utilizaremos la interpretación gráfica del cociente incremental, pues recordemos que la derivada es el límite del cociente incremental cuando h tiende a cero. Así la derivada es la pendiente de la recta que une los puntos (x0,f(x0)) y (x0+h,f(x0+h)) cuando h→0, que resul-ta ser la recresul-ta resul-tangente a f(x) en el punto x0. De esta forma la ecuación de la recta tangente será:
Recta tangente en (x0,y0): y-y0=f’(x0)(x-x0)
2.3.
Derivadas laterales
Dada una función f(x) continua en x0 se llama derivada de f(x) por la izquierda en x0 al va-lor del límite:
h
x
f
h
x
f
x
f
h)
(
)
(
lim
)
(
'
0 0 0 0−
+
=
− → −Una función que tenga derivada por la izquierda en x0 se dice que es derivable por la iz-quierda en x0.
Dada una función f(x) continua en x0 se llama derivada de f(x) por la derecha en x0 al valor del límite:
h
x
f
h
x
f
x
f
h)
(
)
(
lim
)
(
'
0 0 0 0−
+
=
+ → +Una función que tenga derivada por la derecha en x0 se dice que es derivable por la dere-cha en x0.
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 3 Proposición: una función f(x) es derivable en x0 sí y sólo sí es derivable en dicho punto por la izquierda y por la derecha y son iguales.
Demostración: es trivial a partir de la definición de los límites laterales, pues un límite exis-te sí y sólo sí exisexis-ten los límiexis-tes laexis-terales y son iguales. Si el límiexis-te exisexis-te la función es derivable. Vamos a ver un ejemplo de una función que es derivable por la izquierda y por la derecha pero no es derivable al no ser iguales los límites
late-rales: < − ≥ = = 0 0 | | ) ( x si x x si x x x f en x0 =0 1 lim ) 0 ( ) 0 ( lim ) 0 ( ' 0 0 − = − = − + = − − → → − h h h f h f f h h y '(0 ) lim (0 ) (0) lim 1 0 0 = = − + = + − → → + h h h f h f f h h Este caso en el que los límites no coinciden es porque la gráfica de la función tiene “un pico”
3.
Derivabilidad en un intervalo
3.1.
Definición de la derivada en un intervalo
Dada una función f(x) continua en el intervalo [a,b] se cumple que la función es: a) Derivable en (a,b) si lo es en todos los puntos x0∈(a,b)
b) Derivable en [a,b) si es derivable en todos los puntos x0∈(a,b) y derivable por la dere-cha en x=a.
c) Derivable en (a,b] si es derivable en todos los puntos x0∈(a,b) y derivable por la iz-quierda en x=b.
d) Derivable en [a,b] si es derivable en todos los puntos x0∈(a,b) y derivable por la iz-quierda en x=b y por la derecha en x=a.
3.2.
Derivada y continuidad.
En todas las definiciones de derivabilidad obligamos a que la función f(x) sea continua, pe-ro como veremos en este punto la continuidad viene incluida dentpe-ro de la derivabilidad.
Proposición: si una función f(x) es derivable en x0 entonces f(x) es continua en x0. El con-trario no siempre es cierto.
Demostración:
Veamos que si f(x) es derivable es continua: si f´(x0) existe entonces el límite siguiente:
0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( ' 0 x x x f x f h x f h x f x f x x h − − = − + = →
→ . Por otro lado la función es continua en x0
si se cumple que el límite
lim
(
)
(
0)
0
0
=
−
→x
f
x
f
x
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 4
0
)
)(
(
'
lim
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0 0 0 0 0 0 0 0 0=
−
=
−
−
−
=
−
→ → →x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x x x x x xPara ver que no todas las funciones continuas son derivables podemos poner un ejemplo como f(x)=|x| que es continua en x=0 y no derivable en x=0.
3.3.
Álgebra de derivadas. C
1(
)
En este apartado veremos la derivada de la suma, de la resta, del producto escalar, del producto, del cociente y de la composición.
Derivada de la suma y la diferencia: si f(x) y g(x) son derivables en x0 entonces la función suma, (f+g)(x), y diferencia, (f-g)(x), también son derivables en x0 y se cumple:
- (f+g)’(x0)=f’(x0)+g’(x0) - (f-g)’(x0)=f’(x0)-g’(x0)
Derivada de una función por un escalar: si f(x) es derivable en x0 y λ∈entonces la fun-ción λ·f(x) es derivable en x0 y se cumple
- (λ·f)’(x0)=λ·f’(x0)
Derivada del producto: si f(x) y g(x) son derivables en x0 entonces la función producto, (f·g)(x), es derivables en x0 y se cumple:
- (f·g)’(x0)=f’(x0)·g(x0)+f(x0)·g’(x0)
Derivada del cociente: si f(x) y g(x) son derivables en x0 entonces la función cociente, (f/g)(x), es derivables en x0 y se cumple: -2 0 0 0 0 0 0 ' ) ( ) ( ' )· ( ) ( )· ( ' ) ( x g x g x f x g x f x g f − =
Derivada de la composición (regla de la cadena): si f(x) es derivables en x0 y g(x) lo es en f(x0) entonces la función compuesta,
(
g
o
f
)
(
x
)
, es derivables en x0 y se cumple:-
(
go f)
'(x0)= g'(f(x0))·f'(x0) Demostración: - Suma y resta:)
(
'
)
(
'
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
)(
(
)
)(
(
lim
)
(
)'
(
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0f
x
g
x
h
x
g
h
x
g
h
x
f
h
x
f
h
x
g
f
h
x
g
f
x
g
f
h h h=
±
−
+
±
−
+
=
±
−
+
±
=
±
→ → → - Producto:)
(
'
)·
(
)
(
'
)
(
)
(
)·
(
)
(
lim
)
(
)·
(
)
(
lim
)
(
)·
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)·
(
lim
)
(
)·
(
)
(
)·
(
lim
)
)(
·
(
)
)(
·
(
lim
)
(
)'
·
(
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0x
g
x
f
x
f
x
g
h
x
g
h
x
g
x
f
h
x
f
h
x
f
h
x
g
h
x
g
x
f
x
f
h
x
g
x
f
h
x
g
h
x
g
h
x
f
h
x
g
x
f
h
x
g
h
x
f
h
x
g
f
h
x
g
f
x
g
f
h h h h h+
=
−
+
+
−
+
+
=
=
−
+
−
+
+
+
+
=
=
−
+
+
=
−
+
=
→ → → → →Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 5
- Cociente: Demostremos que 2
0 0 0 ) ( ) ( ' ) ( 1 x g x g x g − = ′
y por el producto sacamos la expresión
(
)
(
)
(
)
(
)
2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0)
(
)
(
'
)·
(
)
(
)·
(
'
)
(
)
(
'
)·
(
)
(
1
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(
lim
)
(
1
)
(
)·
(
·
)
(
)
(
lim
)
(
1
)
(
1
lim
)
(
1
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
f
x
g
x
g
h
x
g
h
x
g
x
g
x
g
h
x
g
h
h
x
g
x
g
h
x
g
h
x
g
x
g
h h h−
=
−
=
′
−
=
−
+
−
=
+
+
−
=
−
+
=
′
→ → → -Función compuesta: definimos la función
=
≠
−
−
=
)
(
))
(
(
'
)
(
)
(
))
(
(
)
(
)
(
0 0 0 0 0x
f
y
si
x
f
g
x
f
y
si
x
f
y
x
f
g
y
g
y
h
Veamos la continuidad de h(y) en f(x0):
'
(
(
))
(
(
))
)
(
))
(
(
)
(
lim
0 0 0 ) ( 0x
f
h
x
f
g
x
f
y
x
f
g
y
g
o x f y−
=
=
−
→(
(
(
)
)
lim
(
(
))
(
(
))
lim
(
(
))
(
)
(
)
(
(
0))
'
(
0)
'
(
(
0))·
'
(
0)
0 0 0 0 0 0x
f
x
f
g
x
f
x
f
h
x
x
x
f
x
f
x
f
h
x
x
x
f
g
x
f
g
x
g
f
x x x x−
=
=
−
=
−
−
=
′
→ →Corolario: derivada de la función inversa,
(
)
)) ( ( ' 1 ) ( 0 1 0 1 x f f x f− ′ = − .
Demostración: se cumple
(
f o f−1)
=x derivamos(
f o f−1)
′(x0)= f′(f−1(x0))·(
f−1(x0))
′ =1despejando tenemos la igualdad
(
)
)) ( ( ' 1 ) ( 0 1 0 1 x f f x f − ′ = − Ejemplo: 2 2 1 1 )) ( ( 1 1 )) ( cos( 1 ) ) ( ( x x arcsen sen x arcsen x arcsen − = − = = ′
Corolario: (λ·f(x))’=λ·f’(x). Demostración: por la regla del producto, y aplicando que se cumple (λ)’=0 pues es paralela al eje OX y pendiente recta tangente es 0.
4.
Función derivada
Sea f(x) una función real derivable en un intervalo (a,b) llamamos función derivada y se denota como f’(x) a la función que en cada valor de x∈(a,b) nos da el valor de la derivada de f(x) en dicho punto: ( ) lim ( ) ( ) ( , )
0 h x a b x f h x f x f h ∀ ∈ − + = ′ →
Para calcular la derivada tendremos que hacer la deriva en el punto x0 pero en un punto genérico x. Se cumple que la derivada de f(x) en x0 es la imagen de la función f´(x) en x0.
5.
La derivada como aplicación lineal de C
1(
)
Llamamos C0() al conjunto de todas las funciones continuas en y C1() las continuas y derivables en . Como el espacio C0() es espacio vectorial con la suma de funciones y el pro-ducto escalar λ∈ veamos como C1() es un subespacio de C0():
1- Si f1(x), f2(x)∈C 1
() entonces f1(x)+f2(x) ∈C 1
() como hemos visto en apartado 3. 2- Si λ∈ y f(x)∈∈C1() entonces λ·f(x)∈∈C1() como hemos visto en aparado 3.
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 6 En el espacio vectorial del C1() definimos la aplicación derivada, D, como aquella que nos relaciona una función derivable con su derivada.
D: C1() → F() f(x) → D(f(x))=f’(x)
Proposición: la aplicación D es lineal en C1(). Demostración: 1. D(f1(x)+f2(x))=(f1+f2)’(x)=f1’(x)+f2’(x)=D(f1(x))+D(f2(x)) 2. D(λ·f(x))=(λ·f(x))’=λ·f’(x)=λ·D(f(x))
6.
Derivadas de las funciones más utilizadas
1. (λ)’=0 2.
( )
x
n′
=
n
·
x
n−1 3. (ln(x))’=1/x 4. (ex)’=ex 5. (ax)’=ln(a)·ax 6.(
)
) ·ln( 1 ) ( log a x x a = ′ 7. (sen(x))’=cos(x) 8. (cos(x))’=-sen(x) 9.(
)
1 ( ) ) ( cos 1 ' ) ( 2 tg2 x x x tg = = + 10.(
)
21
1
)
(
x
x
arcsen
−
=
11.(
)
21
1
)
cos(
x
x
ar
−
−
=
12.(
)
2 1 1 ) ( x x arctg + = Demostraciones: 1.( )
' lim 0 0 = − = → h hλ
λ
λ
2. a) si n∈ℕ( )
h x h h x n h x n x h x h x x n n n n n h n n h n − + + + + = − + = − − → → .... · 2 · · lim ) ( lim ' 2 2 1 0 0 1 1 2 0 1·
....
·
2
lim
·
− − − → −=
+
+
+
=
n n n h nx
n
h
x
n
h
x
n
b) si -n∈ℤ n n x x x f( )= − = 1 , luego( )
1 2 1 · · · 1 )' ( − − − − = − =− ′ = ′ = n n n n n x n x x n x x x fJose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 7 c) q p n si = ∈ℚ = q p x x f( ) . Aplicamos
(
f
(
x
)
q)
′
=
q
·
f
(
x
)
q−1·
f
'
(
x
)
=
( )
x
p′
=
p
·
x
p−1 despajando 1 ) 1 ·( 1 · · · ) ( ' − − − = = q p q q p p x q p x q x p x f 3.x
e
x
h
x
h
x
h
x
h
x
x
h x h h h h1
ln
1
ln
lim
ln
lim
)
ln(
)
ln(
lim
))'
(ln(
1 1 0 1 0 0
=
=
+
=
+
=
−
+
=
→ → → 4.( )
(
)
x x e xe
e
x
e
x=
=
′
=
′
/
1
1
ln(
1
5.( ) (
a
x′
=
a
x·ln(a))
′
=
ln(
a
)·
a
x·ln(a)=
ln(
a
)·
a
x 6. ) ln( ) ln( ) ( log a x x a =(
)
) ·ln( 1 ) ln( ) ln( ) ( log a x a x x a = ′ = ′7 y 8. Aplicamos la definición de sen(x) y cos(x) en función de exponentes complejos 2 ) cos( · 2 ) ( ix ix ix ix e e x i e e x sen − − − = − =
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
·
2
2
2
)
cos(
)
cos(
2
·
2
·
2
)
(
x
sen
i
e
e
e
e
i
e
e
x
x
e
e
i
e
e
i
i
e
e
x
sen
ix ix ix ix ix ix ix ix ix ix ix ix−
=
−
−
=
−
=
′
+
=
′
=
+
=
+
=
′
−
=
′
− − − − − − 9.(
)
) ( cos 1 ) ( cos )) ( )·( ( ) )·cos( cos( ) cos( ) ( ) ( 2 2 x x x sen x sen x x x x sen x tg = − − = ′ = ′ 10.(
)
(
)
2 2 ) (1
1
)
)
(
(
1
1
))
(
cos(
1
)
(
1
)
(
x
x
arcsen
sen
x
arcsen
x
sen
x
arcsen
x arcsen−
=
−
=
=
′
=
′
11.(
)
(
)
2 2 ) cos(1
1
)
)
(
(
cos
1
1
))
cos(
(
1
)
cos(
1
)
cos(
x
x
arcsen
x
ar
sen
x
x
ar
x ar−
−
=
−
−
=
−
=
′
=
′
12.(
)
(
)
2 2 ) (1
1
))
(
(
1
1
)
(
1
)
(
x
x
arctg
tg
x
tg
x
arctg
x arctg+
=
+
=
′
=
′
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 8
7.
Derivadas sucesivas
Sea una función f(x) derivable en un intervalo A, siendo f’(x) su derivada en dicho intervalo. Si f’(x) es también derivable en A, se llama segunda derivada de f(x) a la derivada de f´(x) de-notándose cómo f’’(x). De forma equivalente podemos definir la tercera derivada, f’’’(x) .La derivada n-esima se denota como f’n(x). Al conjunto de funciones que es n-veces derivable en un intervalo A se denotan como Cn(A). Si la función es derivable todas las veces que se deseé (polinomios, senos, cosenos, exponentes, etc) en todo se denota como C∞()
Ejemplo: f(x)=sen(x), f´(x)=cos(x), f’’(x)=-sen(x), f’’’(x)=-cos(x), f’4(x)=sen(x),…. Como se repi-te a partir de la cuarta derivada se puede expresar de forma general como:
= − = − = = = ′ ) 4 mod( 3 ) cos( ) 4 mod( 2 ) ( ) 4 mod( 1 ) cos( ) 4 mod( 0 ) ( ) ( n si x n si x sen n si x n si x sen x f n
Fórmula de Leibnitz: esta fórmula nos permite calcular la derivada n-ésima de un producto de de dos funciones. Sean f(x) y g(x)∈Cn(), se cumple:
∑
= − ′ ′ = ′ n k k n k n x g x f k n x g x f 0 ) ( )· ( ) ) ( )· ( (Demostración: la haremos por inducción sobre el índice n.
a) Para n=1 (f(x)·g(x))’= ( )· '( ) 1 1 ) ( )· ( ' 0 1 x g x f x g x f + =f’(x)·g(x)+g(x)·f´(x)
b) Hipótesis inducción cierto para n-1:
∑
− = − − − ′ ′ − = ′ 1 0 1 1 ) ( )· ( 1 ) ) ( )· ( ( n k k n k n x g x f k n x g x f
c) Para n+1 suponiendo cierto para n:
(
)
(
)
∑
∑
∑
= − − = − − − + − = − − − ′ ′ = ′ ′ + ′ ′ − = = ′ ′ ′ − = ′ ′ = ′ n k k n k n k k n k k n k n k k n k n n x g x f k n x g x f x g x f k n x g x f k n x g x f x g x f 0 (*) 1 0 1 1 1 0 1 1 ) ( )· ( ) ( )· ( ) ( )· ( 1 ) ( )· ( 1 ) ) ( )· ( ( ) ) ( )· ( ( (*) cierto si ′ ′ − =∑
= − n k k n k x g x f k n A 0 ) ( )· (∑
−(
)
= − − − + ′ + ′ ′ ′ − 1 0 1 1 ) ( )· ( ) ( )· ( 1 n k k n k k n k x g x f x g x f k n =0. Agrupando términosJose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 9 { 0 ) ( )· ( ) ( )· ( 1 1 ) ( )· ( ' 0 1 ) ( )· ( 0 1 ) ( )· ( ) ( )· ( 1 1 ) ( )· ( 1 ) ( )· ( 0 0 1 ) ( )· ( 0 1 ) ( )· ( ) ( )· ( 1 ) ( )· ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 = ′ − ′ − − + ′ − − ′ ′ − = ′ − ′ ′ − − − ′ ′ − + ′ − − + ′ ′ − = = ′ − ′ ′ − − + ′ ′ − = − − − = − − − + = − − − = − > − − − − − +
∑
∑
x g x f n n x g x f n n x g x f n x g x f n x g x f n n x g x f k n x g x f k n x g x f n n x g x f n x g x f n n x g x f k n k n x g x f k n A n n n n n n k a telescopic k n k k n k n n n n k k n k k para k n k n k 3 2 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 1 4 43 4 42 1 4 4 3 4 4 2 18.
Aplicaciones de la derivada
8.1.
Estudio local de funciones
8.1.1. Monotonía y puntos relativos
Una función f(x) es creciente en un punto x0 si se cumple que existe A=entorno(x0) tal que: - ∀x∈A: x<x0 f(x)<f(x0)
- ∀x∈A: x>x0 f(x)>f(x0)
Una función f(x) es decreciente en punto x0 si se cumple que existe A=entorno(x0) tal que: - ∀x∈A: x<x0 f(x)>f(x0)
- ∀x∈A: x>x0 f(x)<f(x0)
Una función f(x) es máximo relativo en un punto x0 si se en A=entorno(x0) tal que: - ∀x∈A: x<x0 f(x)<f(x0)
- ∀x∈A: x>x0 f(x)<f(x0)
Una función f(x) es mínimo relativo en un punto x0 si se en A=entorno(x0) tal que: - ∀x∈A: x<x0 f(x)>f(x0)
- ∀x∈A: x>x0 f(x)>f(x0)
Teorema: una función f(x) crece en x0 si f’(x0)>0, decrece si f’(x0)<0 y tiene un punto relati-vo (máximo o mínimo) si f´(x0)=0. Demostración:
h
x
f
h
x
f
x
f
o h)
(
)
(
lim
)
(
'
0 0 0−
+
=
→ , casos: 1. f’(x0)>0
<
+
<
>
+
>
)
(
)
(
0
)
(
)
(
0
0 0 0 0x
f
h
x
f
h
si
x
f
h
x
f
h
si
definición de creciente 2. f’(x0)<0
>
+
<
<
+
>
)
(
)
(
0
)
(
)
(
0
0 0 0 0x
f
h
x
f
h
si
x
f
h
x
f
h
si
definición de decreciente 3. f’(x0)=0 ni crece ni decrece, luego es un punto relativo.Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 10 Teorema: f(x) tienen un máximo relativo si f’(x0)=0 y f’’(x0)<0 y un mínimo relativo si f’(x0)=0 y f’’(x0)>0
Demostración: f’(x0)=0 por el teorema anterior, veamos ahora la condición de la segunda derivada:
h
h
x
f
h
x
f
h
x
f
x
f
o h o h)
(
'
lim
)
(
'
)
(
'
lim
)
(
''
0 0 0 0+
=
−
+
=
→ → , casos: 1. f’’(x0)<0
>
+
<
<
+
>
0
)
(
'
0
0
)
(
'
0
0 0h
x
f
h
si
h
x
f
h
si
es decir después de x0 la función decrece y antes la función crece. (definición de mínimo) 2. f’’(x0)>0
<
+
<
>
+
>
0
)
(
'
0
0
)
(
'
0
0 0h
x
f
h
si
h
x
f
h
si
es decir después de x0 la función crece y antes la función decrece. (definición de máximo)8.1.2.
Curvatura y puntos de inflexión
Una función f(x) es cóncava en x0 si la recta tan-gente a la función en este punto queda debajo de la función en un entorno del punto.
Una función f(x) es convexa en x0 si la recta tan-gente a la función en este punto queda encima de la función en un entorno del punto.
Una función f(x) tiene punto de inflexión en (x0, f(x0)) si se cumple que en x0 la función cambia de curvatura.
Nota: en algunos libros se cambia la notación de cóncava y la convexa.
Una función es cóncava en x0 cuando el crecimiento de la función f(x) es mayor después de x0 y menor antes en un entorno A=ent(x0).
1. f’(x)>f´(x0) si x∈A y x>x0 2. f’(x)<f´(x0) si x∈A y x<x0
Una función es convexa en x0 cuando el crecimiento de la función f(x) es menor después de x0 y mayor antes en un entorno A=ent(x0). Es decir:
1. f’(x)<f´(x0) si x∈A y x>x0 2. f’(x)>f´(x0) si x∈A y x<x0
Teorema: Una función f(x) es cóncava en x0 si f’(x0)≠0 y f’’(x0)>0 y convexa si f’(x0)≠0 y f’’(x0)<0. Demostración: por definición de f’’(x) como derivada de f’(x) marca el crecimiento de f’(x), así sí f’’(x0)>0 aumenta el crecimiento (cóncava) y si f’’(x0)<0 disminuye el crecimiento (convexa).
Una función f(x) tiene un punto de inflexión en x0, cuando su crecimiento alcanza un máximo o un mínimo. Por tanto f’(x) ha de cumplir las condiciones de máximo o mínimo en x0 es decir (f’(x0))’=f’’(x0)=0 y f’(x0))’’=f’’’(x0)≠0
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 11
9.
Cálculo de límites. Regla de L’Hopital
Las derivadas son muy útiles para el cálculo de límites indeterminados de la forma
0 0
y ∞ ∞ utilizando el teorema de L’Hopital que veremos a continuación.
Teorema de L´Hopital: sean f(x) y g(x) dos funciones derivable en torno de un valor x0, que definimos como (x0-ε, x0+ε) y se cumple que
lim
(
)
=
lim
(
)
=
0
→ →xo
f
x
x xog
x
x , entonces si existe el límite ) ( ) ( lim x g x f o xx→ se cumple que será igual a '( )
) ( ' lim x g x f o x x→ . ) ( ' ) ( ' lim ) ( ) ( lim x g x f x g x f o o x x x x→ = →
Demostración: se cumple el teorema de Cauchy en x∈(x0-ε, x0+ε)para f(x) y g(x) tal que existe un punto x∈(x0-ε, x0+ε) tal que
0
)
(
)
(
)
(
'
x
x
x
f
x
f
x
f
o−
−
=
, 0)
(
)
(
)
(
'
x
x
x
g
x
g
x
g
o−
−
=
.Además por ser derivable en x0 también es continua y por tanto lim ( )= ( 0)=0
→xo f x f x
x
y lo mismo para lim ( )= ( 0)=0
→xog x g x x luego 0 ) ( ) ( ' x x x f x f − = y 0 ) ( ) ( ' x x x g x g − = .
Luego en un entorno de x0, x∈(x0-ε, x0+ε) se cumple que
) ( ' ) ( ' ) ( ) ( x g x f x g x f = y por tanto ) ( ' ) ( ' lim ) ( ) ( lim x g x f x g x f o o x x x x→ = → Ejemplo: 0 2 ) ( lim 0 0 2 1 ) cos( lim 0 0 ) ( lim 0 ' 0 ' 2 0 = − = = − = = − → → → x sen x x x x x sen x H L x H L x (hemos aplicado
L’Hopital por ser f(x)=senx-x, g(x)=x2, h(x)=cosx-1, i(x)=2x continuas y derivables en x=0.
10.
Contexto de secundaria
Las derivadas y la derivabilidad de funciones es un tema básico en las matemáticas de Ba-chillerato en sus dos ramas.
Por otro lado su utilidad en la representación de funciones, en el cálculo de límites y en problemas de optimización son ejercicios muy típicos en los exámenes de la PAU.
