Calculo Diferencial - Wilton Oltmanns

2

Wilton Oltmanns Encarnación.

ID: UD35569SGE44143

Para nunca cansarme de luchar y de ser yo, de vez en cuando trato de soñar y pensar que mis derrotas y fracasos algún dia se convertirán en gloria de éxito.

3

INTRODUCCION

Este manual didáctico de Cálculo Diferencial es un material de estudio que sirve de soporte de

estudio a estudiantes, profesores y seguidores de las matemáticas. Éste está confeccionado bajo

técnicas pedagógicas para que los interesados en las matemáticas adquieran el conocimiento

concerniente al cálculo diferencial con introducción a la geometría analítica. Está estructurado bajo

varios capítulos haciendo incapies en la geometría analítica y en el estudio de las conicas. Entre estos

se encuentran Capitulo 1: Introduccion a la geometria analítica, Capítulo 2: Las Cónicas, capítulo 3:

Relaciones y funciones, capítulo 4: Límite, continuidad y asíntotas, Capitulo 5: Límites, capítulo 6:

Aplicaciones de derivadas.

Se espera que este manual sea de mucha ayuda y que cada persona después de estudiar las

teorías se sienta en capacidad de realizar las prácticas que están contenidas en este.

4 CONTENIDO

1. Capítulo 1: Introducción a la Geometría Analítica. ... 9

1.1 Geometría Analítica ... 9

1.1.1 Distancia entre dos puntos. ... 9

1.1.2 Punto medio de un segmento. ... 11

1.1.3 Parámetros, ecuaciones y tipos de la recta ... 11

1.1.4 Pendiente de una recta ... 12

1.1.5 Intercepto de una recta. ... 14

1.1.6 Ecuación Segmentaria de una recta. ... 15

1.1.7 Ecuación punto pendiente de una recta. ... 16

1.1.8 Ecuación de la recta dados dos puntos ... 16

1.1.9 Rectas paralelas y perpendiculares ... 17

1.1.10 Haz de rectas ... 18

1.1.11 Distancia de un punto a una recta. ... 23

1.1.12 Distancia entre dos rectas paralelas ... 24

1.2 Gráfica o Lugar Geométrico ... 25

1.3 Práctica # 1: Introducción a La Geometría Analítica ... 30

2. Capítulo 2: Las Cónicas ... 33

2.1 Historia de las cónicas ... 33

2.2 Concepto de cónicas. ... 33

2.3 La Circunferencia ... 34

2.3.1 Ecuación Canónica. ... 35

2.3.2 Ecuación Ordinaria ... 36

2.3.3 Ecuación General. Demostración ... 36

2.3.3.1 Demostración de la Ecuación General partiendo de la ecuación Ordinaria. ... 37

2.3.4 Realización de la gráfica de una circunferencia. ... 38

2.4 La Elipse ... 40

2.4.1 Elementos de una Elipse ... 40

2.4.2 Demostracion de la Ecuacion Ordinaria de una Elipse. ... 41

2.4.2.1 Deduciones de las ecuaciones de una Elipse. ... 42

2.4.3 Realización de la gráfica de una Elipse. ... 47

5

2.5.1 Ecuaciones de la parábola ... 49

2.5.2 Representación grafica de una parábola. ... 50

2.6 Hipérbola ... 51

2.6.1 Elementos de una Hiperbola con centro en el origen ... 52

2.6.2 Ecuaciones de una hipérbola ... 52

2.7 Práctica # 2: Las cónicas ... 55

3. Capítulo 3: Relaciones y Funciones ... 59

3.1 Importancia del Cálculo Diferencial ... 59

3.2 Relaciones y Funciones ... 60

3.3 Clasificación de las funciones elementales. ... 61

3.4 Propiedades de una relación. ... 62

3.5 Dominio y Rango de una función ... 63

3.6 Función. Concepto y Defininición. ... 64

3.6.1 Clasificación de las funciones según su aplicación ... 64

3.6.2 Función par e impar ... 65

3.6.3 Funciones algebraica. Clasificación. ... 66

3.7 Práctica #3: Relaciones y Funciones. ... 69

4. Capítulo 4: Limites, continuidad y Asintotas. ... 72

4.1 Limite. Concepto ... 72

4.2 Resolución de Limite por proceso de evaluación... 72

4.3 Resolución de límites por propiedades... 73

4.3.1 Propiedades de los límites. ... 73

4.4 Operaciones con límites e indeterminaciones ... 75

4.4.1 Sustitución Directa ... 75

4.4.2 Técnica de factorización o cancelación ... 75

4.4.3 Límites de funciones racionales. ... 76

4.4.4 Límite de Funciones Irracionales. ... 77

4.5 Indeterminaciones y Operaciones con el Infinito. ... 77

4.5.1 Indeterminación de 0/0 que se resuelven por factorización o producto conjugado. ... 79

4.5.2 Indeterminación de tipo 𝟎𝟎 𝒆 ∞∞. ... 80

4.6 Resolución de límites por comparación de infinitos cuando se obtiene (  ) ... 81

6

4.8 Indeterminacion de tipo∞. 𝟎 ... 82

4.8.1 Resolución de indeterminación de tipo 𝟏∞. ... 82

4.9 Límite. Definición épsilon- Delta de límite. ... 84

4.10 Resolucion de Límites con valor absoluto. ... 85

4.11 Teorema del Sanwich ... 88

4.12 Continuidad ... 90

4.12.1 Tipos de Continuidad ... 90

4.12.2 Discontinuidad. Tipos ... 91

4.12.3 Continuidad de una función en un intervalo ... 91

4.12.4 Definición formal de Continuidad ... 92

4.13 Asíntotas ... 92

4.13 Práctica #4: Límite, Continuidad y Asíntota. ... 96

5. Capítulo 5: Derivadas ... 100

5.1 Derivada. Conceptos ... 100

5.2 Connotación de derivadas ... 100

5.2.1 Connotación de derivadas n-esima. ... 101

5.3 Resolución de derivadas por el método de los incrementos... 101

5.3.1 Resolución de derivadas por la definición. ... 103

5.4 Resolución de derivadas por fórmulas ... 104

5.4.1 Teorema 1: Derivada de una función en un punto ... 104

5.4.2 Teorema 2. La regla de la constante ... 104

5.4.3 Teorema 3. Regla de una variable respecto a ella misma. ... 105

5.4.4 Teorema 4. Regla del múltiplo constante. ... 105

5.4.5 Teorema 5. Regla de las potencias. ... 106

5.4.6 Teorema 6: Regla de cadena ... 106

5.4.7 Teorema 7. Regla de la suma... 107

5.4.8 Teorema 8. Demostración de la regla de la derivada de un producto. ... 108

5.4.9 Teorema 9. Derivada del cociente. ... 109

5.4.10 Teorema 10: Diferenciabilidad implica continuidad. ... 112

5.4.11 Teorema 11: Derivada de la función Seno ... 113

5.4.12 Teorema 12: Derivada de la función coseno. ... 114

7

5.4.14 Teorema 14: Derivada de la función cotangente. ... 116

5.4.15 Tabla de derivadas de funciones trigonométricas generales ... 117

5.4.16 Teorema 15: Derivada de una función elevada a exponente numérico. ... 118

5.4.17 Teorema 16: Derivadas funciones potenciales inversas. ... 118

5.4.18 Teorema 17: Derivadas para cualquier raiz (n-esima) ... 118

5.4.19 Teorema 18: Derivada con valor absoluto ... 118

5.4.20 Funciones exponenciales en base a. Definicion y Propiedades. ... 119

5.4.21 Derivada de la función exponencial en base a. ... 120

5.4.22 Función Inversa de la función exponencial natural. ... 120

5.4.22.1 Gráfica de la función exponencial natural. ... 121

5.4.22.2 Operaciones con funciones exponenciales. ... 121

5.4.22.3 Propiedades de la función exponencial natural. ... 121

5.4.22.4 Teorema 20 erivada de la función exponencial natural. ... 122

5.4.23 Teorema 21: Derivada de una función elevada a otra f unción. ... 123

5.4.24 Teorema 22: Derivadas de logaritmo vulgar o base 10. ... 124

2.4.25 Teorema 23. Derivada de la función logaritmo natural. ... 125

5.5 Derivación logarítmica ... 126

5.6 Teorema 24: Derivadas con valores absolutos. ... 126

5.7 Teorema 25: Funciones inversas ... 127

5.7.1 Teorema 27: Funciones trigonométricas inversas. Definiciones ... 127

5.7.1.1 Las gráficas de algunas funciones trigonométricas inversas. ... 128

5.7.2 Teorema 28: Derivadas de las funciones trigonométricas inversas ... 129

5.7.2.1 Teorema 29: Demostracion de la derivada del seno inverso. ... 129

5.8 Funciones hiperbólica. ... 130

5.8.1 Definición de las funciones hiperbólicas. ... 131

5.8.2 Grafica del coseno hiperbólico ... 131

5.8.3 Derivadas de funciones hiperbólicas. ... 132

5.9 Teorema 31. Definiciones de Funciones hiperbólicas inversas. ... 133

5.10 Derivación de funciones hiperbólicas inversas. ... 133

5.11 Derivación implícita ... 134

5.11.1 Derivada parcial. ... 134

8

5.12 Las formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital ... 136

5.12.1 Teorema 33. Regla de L’Hôpital ... 136

5.13 Práctica #5: Derivadas ... 138

6. Capítulo 6: Aplicaciones de derivadas ... 142

6.1 Interpretación de una derivada. ... 142

6.1.1 Razón de cambio promedio. ... 142

6.1.2 Razón de cambio instantáneo o tasa de variación instantánea. ... 143

6.1.3 Ecuación de la recta tangente ... 144

6.1.4 Ecuación de la recta normal... 145

6.2 Teorema 34: Fermat para puntos críticos. ... 148

6.3 Teorema 35: Rolle ... 149

6.4 Teorema 36: valor medio de Lagrange ... 150

6.5 Teorema de Cauchy ... 150

6.6 Valores Críticos de una Función ... 151

6.6.1 Pasos para conseguir los puntos críticos de una función. ... 152

6.7 Práctica #6: Derivadas ... 154

9

     

Teorema de Pitágoras BC  AB  AC

1.

Capítulo 1: Introducción a la Geometría Analítica.

1.1 Geometría Analítica

La Geometría Analítica tiene como base el estudio de figuras geométricas mediantes técnicas del

análisis matemático combinadas con el álgebra, aplicada en cierto sistema de coordenadas. Este campo

de la matemática es la base del Cálculo Diferencial creada por Pierret Fermat y René Descartes.

Cuando se tiene dominio de esta rama de las matemáticas, pues entonces el estudio del Cálculo

resulta ser más fácil, por la razón de que en una se tiene un enfoque desde un punto de vista geométrico

y en la otra el enfoque se ve mediante un proceso de límite y derivadas.

1.1.1 Distancia entre dos puntos.

Fue Euclides, matemático de la antigüedad y aún vigente por sus grandes aportes, quien dió una

solución para hallar la distancia entre dos puntos. Con ayuda del teorema de Pitágoras definió la

distancia entre dos puntos la cual viene dada.

Demostración:

     

Como el Teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rect ngulo la suma

del cuadrado de los catetos es igual a la hipoatenusa al cuadrado. es decir que

en el triangulo anteior

por lo que s

á

BC



AB



AC

      

 





 



2 2 2 2 2

2 1

2 2

1 2

2 1

2 1

ustituyendo por

los valores tenemos que

d

x

x

y

d

x

y

x

x

y

y

y

 

 















10            

         

x y

                     

                   

x y



 





  

2 2

2 2

2 2

PQ 3 4 2 5 1 49 50 5 2

QR -3-4 4-5 49 1 50 5 2

PR (3 3) ( 2 4) 81 36 117

d unid

d unid

d unid

        

     

       

Ejemplo 1: Calcular la distancia entre los puntos A (-3, 5); B (2,-2) y haga la grafica.

AB

̅̅̅̅_{= √(X2 − X1)}2 _{+ (Y}

2 − Y1)2 AB

̅̅̅̅ _{= √(2 + 3)}2 _{+ (− 2 − 5)}2 AB

̅̅̅̅ _{= √(5)}2_{+ (− 7)}2 AB

̅̅̅̅ _{= √25 + 49 = √74 = 8.6 Unidades}

Ejemplo 2: Calcular la distancia entre los puntos A (4, 5) y B (5,8) . Haga la gráfica.

AB

̅̅̅̅ = √(X₂ − X₁)2+ (Y₂ − Y₁)2

AB

̅̅̅̅ _{= √(5 − 4)}2 _{+ (− 8 − 5)}2 AB

̅̅̅̅ _{= √1 + 169 = √170} AB

̅̅̅̅ _{= 13.03 Unidades}

Ejemplo 3: Calcula el perímetro del triángulo con vértices P(3,-2); Q(4,5); R(-3,4).

11

1.1.2 Punto medio de un segmento.

Para calcular el punto medio de un segmento de recta se utiliza la siguiente expresión:

1 x2_, 1 y2

2 2

x y

pm    _

 



  

1 2

1

Ejemplo 1: Calcular el punto medio del segmento de rectaP -2,-2 , P 4,3 ;

luego busca la distancia de P PM y haz la gráfica correspondiente a todo lo pedid

2 4

2 3

1

,

1,

2

2

2

Ahora se b

o.

usca

PM





_

 

 

 

_{ }





_



 





 







1

2 2

1 2 1 2 1

2 2

la distancia de

.

1

1 2

2

9 2.5

3.4 unid

2

P PM

P PM



x



x



y



y











_



_











1.1.3

Parámetros, ecuaciones y tipos de la recta

 Pendiente (m): Es la inclinación que tiene una recta. Esta inclinación es con respecto al eje x (abscisa).

 Interceptos: Son los puntos (0,b) y (a,0) donde la recta corta tanto al eje X como al eje Y.

La Ecuación de la recta: Es la forma de expresar matemáticamente una recta. La primera es la

ecuación canónica o llamada también analítica y la ecuación general.

 Ecuación canónica: 𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑏

12

Hay diferentes tipos de rectas:

 Rectas verticales (𝒙 = 𝒙_𝟎) : Estas rectas son paralelas al eje de las x.

 Rectas horizontales(𝒚 = 𝒚𝟎) : Estas rectas son paralelas al eje de las Y  Rectas oblicuas: Es cualquier recta que no sea ni vertical ni horizontal.

1.1.4 Pendiente de una recta

En matemática y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de una recta con respecto al eje horizontal.

La teoría Euclidiana dice que para graficar o determinar una recta, basta sólo con dos

puntos. Tomando en cuenta la distancia entre dos puntos debemos tomar en

cuenta que la pendiente viene dada también por punto final menos punto

inicial, por lo que la pendiente se determina via la tangente del angulo de inclinación, obteniendo como

resultado

Puede ser de cuatro formas:

a) m > 0: la recta presenta inclinación hacia la derecha; es decir, el ángulo es agudo. ) 

2 1

2 1

y y

y m Tan

x x x

  

  

13 b) m < 0: la recta presenta inclinación hacia la izquierda, es decir, el ángulo es obtuso.

c) m = 0: la recta es horizontal, luego el ángulo = 0

d) Si m= indeterminado, la recta es vertical, luego el ángulo= 90.

Como se observa en las figuras anteriores la pendiente es muy importante debido a que se

utiliza en nuestra vida cotidiana. En el techo de la casa es muy usual dejar cierta pendiente para que el

agua corra y no estanque ya que por este motivo empiezan las filtraciones o en la bolsa de valores

14

Ejemplo 1: Obtener la inclinación de la recta que pasa por los puntos (5,2) y (6,3)

2 1

2 1

y y

m

x x

 



3 2 1

1

6 5 1



  

 , Se ve que 𝑚 > 0

1.1.5 Intercepto de una recta.

Son los puntos donde la recta corta al eje x y al eje y, es decir, a la abscisa y a la ordenada. En la ecuación canónica, el intercepto corresponde al valor de b. En la ecuación general se debe despejar y, para identificar el intercepto. Aunque es bueno hacer notar que (0,b) el intercepto está en el eje de la

ordenada y cuando hagamos (a,0) el intercepto estará en el eje de las x.

Retomando las ecuaciones canónica y general de la recta; se resalta que se puede transformar de

una en la otra. A partir de la ecuación canónica se llega a la general, llevando toda la ecuación a cero. A

partir de la general, se obtiene la canónica; despejando y.

Ejemplo: Dada la ecuación 2x6y  9 3 obtener las coordenadas al origen o interceptas y construir la recta.

2 6 9 3

2 6 9 3 0

2 6

2 6 12

6 12

2

3 6

6

12 0

x y

x y

x y

x y

y x

x y

a

  

         

      

6 2 12

2 12

6 1

2 3

2 6 1

2

2 0

y x

x y

x y

y x

b

     







15

1.1.6 Ecuación Segmentaria de una recta.

Es aquella ecuación que está determinada por un segmento de recta, es decir, que en esta se conocen

los intercepto.

Si se busca la pendiente (𝑥 − 0 , 𝑦 − 𝐵) ⋀(𝐴 − 𝑥 , 0 − 𝑦) como los vectores tienen la misma direccion y sentido, pues entonces se puede afirmar que son proporcionales y por lo tanto se tiene que 𝑥 ∶ 𝐴 −

𝑥 ∷ 𝑦 − 𝐵: −𝑦 la cual por conveniencia se expresa como

𝑥 𝐴−𝑥

=

𝑦−𝐵

−𝑦 multiplicando en cruz (𝐴 − 𝑥)(𝑦 − 𝐵) = −𝑥𝑦 → 𝐴𝑦 − 𝐴𝐵 − 𝑥𝑦 + 𝐵𝑥 = −𝑥𝑦 aplicando el método de eliminacion 𝐴𝑦 − 𝐴𝐵 + 𝐵𝑥 = 0 → 𝐴𝑦 + 𝐵𝑥 = 𝐴𝐵

dividiendo por AB se obtiene la ecuación:

𝒙

𝑨

+

𝒚

𝑩

= 𝟏,

∀𝑨, 𝑩 ≠ 𝟎

Ejemplo 1: Hallar la ecuación segmentaria de la recta cuyos puntos de cortes con los ejes son A=-2 y

B=4.

𝑥 𝐴 +

𝑦

𝐵 = 1 → − 𝑥 2 +

16

1.1.7 Ecuación punto pendiente de una recta.

La ecuación de la recta dados un punto y su pendiente se obtiene mediante la expresión





1 1

yy m xx









1: Calcular la ecuaci n de la recta cuya pendiente m 2 y pasa

y 6 3 3 18

por el

x +4 y-6 3x+12,

punto P 4, 6 .

0

Ej

y

emplo ó

x

     



 



1.1.8 Ecuación de la recta dados dos puntos

Dados dos puntos

p x y

(

);

p

(

x

,

y

)

pendiente y haciendo los respectivos despeje se obtiene la expresión:





2 1

1 1

2 1

y y

y x x y

x x

   

_{ }  _ 

 

 

Ejemplos 1: Buscar la ecuación de la recta dados los siguientes puntos.

 

















2 1

1 1

2 1

6 4 10

2 4 2 4

4

A 2, 4 y

2 2

5 10 4 5 1 5 14

B 4,

0

4

6 y y

y x x y

x x

y x y x

x x x y

   

_{ }  _ 

 

 

  

 

_{ }      

 





         

17

1 2

m



m

Ejemplos 2: Buscar la ecuación de la recta dados los siguientes puntos.





 









A 4, 6 y B 8, 4

4 6 10

4 6 4 6

8 4 12

10 40 10 32 5 16

6

12 12 1

5 6 1

2 12 6 6

6 0

Dados

x y

y x x

x x x

  

 

_{ }      

 

    

 



 



1.1.9 Rectas paralelas y perpendiculares

A) Rectas paralelas:

Dos rectas no verticales son paralelas, si y solo si, sus pendientes son iguales, es decir

Ejemplo: hallar la forma general de las ecuaciones de las recta que pasa por el punto

A(2,-1) y es paralela a la recta 2x – 3y = 5.













1 1

El punto dado es A 2, 1 y la ecuaci n dada es 2x – 3y 5

cuya pendiente 2 / 3.

2 2 7

y 1 2

3 3 3

3 y 2 x 7 – es la recta paralela buscada.

ó

m

y y m x x x y x

 



       

 







  3y 2x 7 0













1 1

Ejemplo: Dado la recta 4 6 8 y el punto A 4, 1 buscar una ecuación que sea paralela.

4 2

,

6 3

2 2 8 2 8

1 4 1 1

3 3 3 3 3

2 5

3 2 5 2 3 0

3 3 5

y y m x x m

y x y x x

x y

x y

y x y x

 

      

            

     



 

 

18  Rectas Perpendiculares

Dos rectas no verticales son perpendiculares si y solo si sus pendientes son una opuesta e inversa de si misma.

B) Perpendicular a la recta 2x – 3y = 5













1 2

2

1 1

El punto dado es A 2, 1 y pendiente 2 / 3.

1 3

2

3 3

y 1 2 1 3

2 2

es la r

2 3 4 0 ecta perpendicular buscada.

m

m m

m

y y m x x x y x

y x

 

    

        

  

   

1.1.10 Haz de rectas

Como ya se sabe una recta queda determinada por dos puntos o por un punto y su pendiente, por lo

tanto un Has de Recta se puede definir como un conjunto de rectas que tienen un mismo punto en

común.

1

2

1

m

19  Formación de un haz de Recta que pasan por un punto dado en 𝑹𝟐_.

Para que esto pueda suceder basta con conocer el punto y alternar la pendiente m, por lo que

hay que partir de la ecuación punto pendiente y-𝑦₁ = 𝑚 (𝑥 − 𝑥₁)

Ejemplo: Encuentra un haz de Recta que pasan por el punto 𝑃₁ (−1,6)

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 6 = 𝑚 (𝑥 + 1)

𝑦 = 𝑚(𝑥 + 1) + 6

Sustituyendo

1) Si m=0 → 𝑦 = 6 2) Si m= -1→ 𝑦 = 5 − 𝑥 3) Si m= 1 → 𝑦 = 𝑥 + 7

20  Enfoque general de la ecuación genérica que produce un Haz de rectas que tienen un

punto en común.

Si S≅ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝑦 𝑟 ≅ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 𝑂

Para formal el Haz de recta se muestra una combinación.

𝛼 𝑆 + 𝛽𝑟 = 0

𝛼(𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶) + 𝛽 (𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹) = 𝑂

Donde 𝛼⋀𝛽 𝜖𝑅 ≠ 0 simultaneamente.

21

Como solo se conoce la ecuación de una de las rectas 𝑦 =₃ 1𝑥 , pues hay que buscar la otra aplicando la ecuación segmentaria _𝐴 𝑋 + 𝑦_𝐵= 1 → 𝑋₅ +𝑌₃ = 1

Buscando la ecuación general o Implícita 15(𝑥

5) + 15 ( 𝑦

3) = 15

3x + 5 y – 15 = 0 Por lo tanto S= 1 ₃ 𝑥 − 𝑦 = 0 → 9 + 5

S= 𝑥 − 3𝑦 = 0 𝑦 3𝑥 + 5𝑦 − 15 = 0 Estas son las ecuaciones generales de las dos rectas de arriba en el gráfico y 𝜶(𝒙 − 𝟑𝒚) + 𝜷 (𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟓) = 𝟎 es la Ecuación Genérica del Haz de recta, como ya se dijo 𝛼 𝑦 𝛽 no deben ser simultáneamente 0.

Ejemplo1: Hallar la recta que pertenezca al Haz de recta y que contenga al punto p(1, −1).

Como la recta son x-3y= 0 𝑦 3𝑥 + 5𝑦 − 15 =0 .

La forma genérica del Has de recta es: 𝜶(𝒙 − 𝟑𝒚) + 𝜷 (𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟓) = 𝟎 Sustituyendo por los valores del punto p.

𝛼(1 − 3(−1) + 𝛽(3(1) + 5(−1)−15) = 0

𝛼(4) + 𝛽(3 − 20) = 0→ 𝟒𝜶 − 𝟏𝟕𝜷 = 𝟎 Por lo que 𝜶 =𝟏𝟕𝜷_𝟒 la cual es la ecuación de las constantes, por lo que ahora si se sustituye por un valor arbitrario

Si 𝛽 = 1 →𝛼 =17₄ produce una de las ecuaciones del haz de rectas que pasa por p.

Como 𝜶(𝒙 − 𝟑𝒚) + 𝜷(𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟓) = 𝟎

17

4 (𝑥 − 3𝑦) + 1(3𝑥 + 5𝑦 − 15) = 0 17

4 𝑥 51

4 𝑦 + 3𝑥 + 5𝑦 − 15 = 0 29

4 𝑥 −

31

4 𝑦 − 15 = 0

22 Ejemplos 3: Calcular la ecuación del Haz determinado por las rectas secantes:

3𝑥 − 𝑦 = 1 𝑦 𝑥 + 4𝑦 = 9 y además de eso encuentra la ecuación del Haz que tiene como pendiente m=1₂

Solución: El centro del has en el punto q donde se cortan la recta:

{3x − 4y = 1_{x + 4y = 9}

{

3x − 4y = 1

_{x + 4y = 9}

→ {

12x − 4y = 4

x + 4y = 9

𝟏3x = 13

donde x =1, y=2

Por lo tanto 𝑄(1 , 2) es el punto de intersección como se tiene punto pendiente m=1₂ ; 𝑄(1 ,2)

𝑦 − 𝑦₁ = 𝑚(𝑥 − 𝑥₁) → 𝑦 − 2 =1₂ (𝑥 − 1)

y=1₂𝑥 −1₂+ 2 → 𝑦 −1₂𝑥 −3₂ =0

2y-x-3=0

Claro también se puede aplicar los métodos anteriores de la ecuación forma general para coregir

la recta a través del Haz x(𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐) + 𝛽(𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹) = 0

 Haz de rectas paralelas

La forma general de la recta es Ax+By+C=0 para que la rectas sean paralelas deben tener la

misma pendiente. Eso indica que A y B deben permanecer y C es el termino variante.

Ejemplo: determine la ecuación del Haz de recta paralelas a 2x+y-4=0., (0 , 4) ; (2 , 0).

23

1.1.11 Distancia de un punto a una recta.

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento

perpendicular a la recta. Se sabe qque una recta tiene la forma 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 +

𝒄 = 𝟎 y están dando el punto 𝒑(𝒑_𝟏, 𝒑_𝟐) por lo tanto multiplicando los coeficientes de la ecuación con la respectiva coordenada del punto se obtiene la expresión:

1 2

2 2

( , ) ap bp c

d p r

a b

 









1 2

2 2 2 2

Ejemplo 1: Calcula ladistancia del puntoP 2, 1 a la recta de ecuaci

3(2) 4( 1) 5 3 ( , )

n

3x 4y 5

5 (3) 4

.

( )

0

ó

ap bp c

d p r Unid

a b

    

 

   



 

2 2

Ejemplo 2 : Hallar la distancia desde el origen a la

30

30

5

( , )

20

2

(4)

( 2)

recta

4

2

30

0

d o r

Un

y

i

x

d

r









 

24

1.1.12

Distancia entre dos rectas paralelas

Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas,

se toma un punto cualquiera P de una de ellas y

se calcula la distancia a la otra.

1 2

1

) Hay que verificar que las dos rectas son par

Ejemplo : Hallar la distancia entre las rectas r 2x

alelas.

2 2 4 2

5y 10 0 y

s 4x

y

5 5 10 5

10y+9 0

a

x x

m m

y y

m

   

   _{ }     

  

 

 

   

 



 

 2 las rectas son paralelas

) Coger un intercepto de cualesquiera de las rectas.

r 2x 5y 10 0 (0, 2)

) Buscar la distancia desde el intercepto encontrado hasta la otra recta, es decir desde p hasta s

m

b

p r

c

     

1 2

2 2 2 2

.

4(0) 10(2) 9 11

( , )

116

4 ( 1

1.02 unida

0)

des

ap bp c

d p r

a b

   

   

25

1.2 Gráfica o Lugar Geométrico

Según Navarro, T. El lugar geométrico es la línea que contiene todos los puntos, y solo ellos,

cuyas coordenadas satisfacen la ecuación dada en dos variables. Dicho autor sigue argumentando que

hay ciertos elementos que se deben tomar en cuenta a la hora de graficar, pues así se sabe el

comportamiento de la gráfica. Entre estos se encuentran:

a) Los intercepto. b) La simetría.

c) Extensión sobre los ejes de coordenadas o Dominio. d) Las Asíntotas

e) El bosquejo de la gráfica.

Ejemplo 1: Dada la función 𝑦2− 4𝑥 − 20 =0. Hallar: Intercepto, Simetría, Dominio, Asintotas y

grafica.

 Intercepto

En la abscisa x si y =→ (0)2 -4x-20=0 entonces -4x=20,→ 𝑥 = −5, 𝒑𝟎(−𝟓, 𝟎)

En el eje y ordenada si x = 0→ 𝑦2− 4(0) − 20 = 0, entonces 𝑦2 = 20 → 𝑦 = 2√5 por lo que , 𝒑_𝟏= (𝟐√𝟓 , 𝟎).

 Simetría

 Para saber si hay simetría respecto a x se sustituye a y por (−𝑦) y si la ecuación no se altera es porque hay una simetría respecto a y.

𝑦2_{− 4𝑥 − 20 = 0 , (−𝑦)}2_{− 4𝑥 − 20 = 0, 𝑦}2_{− 4𝑥 − 20 = 0 Hay simetría.}

 Simetría con el eje y se hace el mismo proceso pero con 𝑥 = −𝑥

𝑦2_{− 4𝑥 − 20 = 0 → 𝑦}2_{− 4𝑥(−𝑥) − 20 = 0} 𝑦2_{+ 4𝑥 − 20? Por lo que}

𝑦2_{− 4𝑥 − 20 ≠𝑦}2_{− 4𝑥 − 20. No hay simetría respeto a y.}

 Simetría respecto al origen 𝑦 = −𝑦 , 𝑥 = −𝑥

𝑦2_{− 4𝑥 − 20 = 0, (−𝑦)}2_{− 4𝑥(−𝑥) − 20 = 0}

26  Dominio y Rango

Dominio o extensión sobre el eje x. 𝑦2− 𝑥4 − 20 =0

Para encontrar el dominio hay que poner la función en forma explicita

𝑦2_{− 𝑥4 − 20 =0}

𝑦2 _{= 20 + 4𝑥 → 𝑦 = √20 + 4𝑥}

4𝑥 + 20 > 0 , 4𝑥 > −20 Demi {𝑥 𝑥⁄ ∈ 𝑅 ∋ 𝑥 > 5 }

𝑥 > −5 son los valores que se pueden dar ala grafica.

 Rango.

No es más que la extensión sobre el eje y se debe despejar a y

𝑦2_{− 𝑥4 + 20 =0, −4𝑥 = −20 − 𝑦}2 _{x por lo que 𝑥 =} −𝑦2−20

−4 →𝑥 = 𝑦 4+ 5

No hay ningún valor que me determine la función R ={𝑦 𝑦 ∈ 𝑅 ∋ 𝑦 ≠?⁄ }

 Asíntotas

Una asíntota es una línea recta a la que se aproxima infinitamente una curva sin nunca tocarla. Estas se

cumple principalmente por funciones racionales de la forma

𝒇

=

𝒑

𝑸

=

𝒂

𝒙

_{+ 𝒂}

𝒎−𝟏 𝒙𝒎−𝟏+⋯+𝒂𝟎

𝒃

𝒙

_{+ 𝒃}

𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 _+⋯+𝒃 𝟎

Donde:

a) Si m < 𝑛 → 𝑦 = 0 es una A .H b) Si m = n →𝑎𝑚

𝑏𝑛 = 𝑦 es una A.H

c) si m> 𝑛 → no hay A .H, si oblicua siempre y cuando m+1= n d) si 𝑄𝑟= 0 y 𝑝(𝑥) ≠ 0 hay A H.

27

Ejemplo 2: Graficar 𝑦 = 2𝑥+4_𝑥+1

 Intercepto (0,4); (−2,0)

 Simetría no hay

 Dominio: {𝑥 𝑥⁄ ∈ ℝ ∋ 𝑥 ≠ −1} ⋀ Rango: {𝑦 𝑦⁄ ∈ ℝ ∋ 𝑦 ≠ −2}

 Asíntotas 𝑥 = −1 es una A.V y 𝑦 = 2 es una A.H

 Gráficos

Ejemplo 3: Hacer la grafica de la función 𝑓(𝑥) = _𝑥27𝑥+4_−4𝑥+4

 Intercepto (0,1); (0) =4₄ = 1 ; (−4₇ , 0)

 _{2𝑥−4𝑥+4}7𝑥+4 = 0 → 7 𝑥 + 4 = 0 por lo tanto x=-4₇

 Simetría: no hay

 Dominio 𝑥2− 4𝑥 + 4 = 0, (𝑥 − 2)2 = 0 → 𝑥 = 2, Dom: : {𝑥 𝑥⁄ ∈ ℝ ∋ 𝑥 ≠ −2}

 Asíntotas: 𝑦 =𝑝(𝑥)

𝑄(𝑥)=

𝑎𝑚 𝑥𝑚+ 𝑎_{𝑚−1 𝑥𝑚−1+⋯+𝑎0} 𝑏𝑛 𝑥𝑛+ 𝑏_{𝑛−1 𝑥𝑛−1 +⋯+𝑏0}

28

Ejemplo 4: Graficar la función 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0

 Intercepto:

Para 𝑦 = 0 → 𝑥 = 2, ∴(2,0)

Para 𝑥 = 0 → 𝑦 = −2₃, ∴ (0, −2₃)

 Simetría:

Con el eje x: No hay simetría

Con el eje y: No hay simetría

Con el origen: Tampoco hay simetría.

 Dominio:

𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0 → 𝑦 =2−𝑥_𝑥−3

Dom: {𝑥 𝑥⁄ ∈ 𝑅 ∋ 𝑥 ≠ 3 }

29  Asintotas:

* 𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0 → 𝑦 =2−𝑥_𝑥−3 ∴ 𝑥 = 3 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐴. 𝑉. * 𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0 → 𝑥 =2+3𝑦_𝑦+1 ∴ 𝑦 = −1 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐴. 𝐻

30

Cálculo Diferencial

1.3 Práctica # 1: Introducción a La Geometría Analítica

Nombre: ___________________________Matrícula:________________________ Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________

  





 













  



 





  

1) 3, 5 ; 2, 9

2) A 1, 2 ; 0, 3

3 1

3) ; 4, 9

2 7

2 1

Busc

1

4) e ; , 7

07 2 3

5) .25, 5 ; 5

a la distancia entre los puntos dados.

Hallar la pendiente de la recta que pasa po

.33, 2

3

1 1

r los

6) _{5 4} ; ₄9

pun

p p

A

Q Q

e

o o o

p p           

  





 





  

   

7) 4, 7 2, 3

8) 4, 3 3, 2

9) 2, 3 4, 3

10) 5, 4 5, 4

tos: y y y y     





  



11) pendiente 4 e intercepto 1/3

12) pasa por el punto

4, 2 y pendien

Hallar la ecuación de la recta que

te -6

13) pasa por los puntos

cum

8,1

ple co

3,

n las co

31

   

  



  







 

 

















16) 0,3 ; 6,1

17) 0, 7 ; 1, 1

1 1

18) , ; 4,8

2 4

19) 3, 0 ; 2

20) 1, 1 ; 3

21) 4, 3 ; 20

22) 2, 0 ; 1

23) 2 3 4 0; 3, 7

Hallar la ecuación de la rect

24) 4 2 0

: ; a p p p p p p p p p m p m p m p m

x y p

x y p

                 

 





 

 

25) 4 2; , 4

5 26) 5 7 12; 1, 0

1

27) 2 ₃ 9 0; 0, 0

y x p

y x p

x y

  

 

   

38) 2

En l

x+5y-as ecuacio

8=0

nes dadas hallar los

3 4

parametros:

39) 2 4 2

2 1

40) 4

3 3

x

x y

   

41) 3y-2x-8=0 -4x+6y-10 =

De cada par de rectas determinar si son

0 ...

paralelas,perpendicu

...

1

42) 5 0 4x-2y = 8

lares u obli a

2 cu s. x y      ... 43) 3x+4y-9=0 3x-4x-10=0 ...

44) 2x+3y=1 x 2y 9 ...

  _{ } ...

:

28) 2x-8y=0

29) 3x-7y-1=0

30) x+y=-6

31) x-3y+2=0

32) 6x-5=0

33) 4y-2=0

1

34)

2

3

2

24

35)

Busca los interceptos d

0.2x+

0.4

10

36) 5

10

15

37)

3

6

32









45) Hallar la ecuación de la recta que pasa por 2, 4 y es paralelaa 6x-2y-5=0

46) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punt

Resolver los problemas propuest

o 5, 4 y es

perpendicular a la

os

ct

:

re





   

 

a que pasa por 1,1 y 3, 7 .

47) Cuál es la ecuación general de la recta que pasa por Q 3, 4 y su pendiente

es el doble de la pendiente de la recta 4x-6y-12=0?

48) Una recta corta al eje x en 5 y es paralela a la recta 2 5 0 49) Una recta cuya ecuación es 5y-4x-20=0 limita un triángulo rectángulo con los ejes coordenados. ¿Cuál es el área de dicho triángu

x  y





  







1 2 3 4

lo?.

50) los vectores de un cuadrilatero son: p 3, 2 ; 3,1 ; 4, 3 ; 2, 3 a) Graficar la figura b) Buscar la pendiente c) Buscar la ecuación.

d) Buscar distancia y punto medio de cada segmento.

51) H

p p p

   





allar la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto 3, 5 y son:

a) Paralela a 3x-2y=7 c) Perpendicular a 4x-6y-9=0 b) Paralela a 6x-8y+4=0 d) Perpendicular 5x

 

3y 7 0

55. ¿Para cuales valores de x la distancia entre los puntos (-5, 2) y (x, 6) es 12? 56. Dados P(2, -6) y Q(2, -1).

 Encuentra la pendiente de la recta que pasa por esos puntos.

 Busca la ecuación en la forma punto – pendiente.

 Busca la ecuación en la forma canonica.

 Busca la ecuación en la forma ordinaria.

 Busca la ecuación en su forma general.

 Busca la ecuación en la forma simétrica o segmentaria.

 Busca el ángulo de inclinación de la recta.

57. Si Q(-1,4) es un punto por el cual pasa una recta que es paralela a la recta que pasa por los puntos S(-1,3) y Z(-8,2). Encontrar la ecuación de esa recta.

33

2.

Capítulo 2: Las Cónicas

2.1 Historia de las cónicas

https://www.scribd.com/doc/30860157/Historia-de-Las-Conicas-y-La-Geometria-Analitica

enfocan que el descubrimiento de las conicas se le atribuye al matemático Griego Menecmo quien

vivio aproximadamdnte en el siglo IV A.C (Aproximadamente en el año 350 a.c). Aunque fue

Apolonio de Perga (Siglo II A.C) quien logra hacer un estudio profundo respecto a estas.

2.2 Concepto de cónicas.

Son curvas que se forman cuando un plano intersecta a un cono circular recto. Entre estas se

encuentran la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbole. Cada una de esta figura será un caso

especial de la ecuación 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥𝑦 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0para la cual hay que aclarar que A,B,C

no deben ser todos al mismo tiempo igual a cero. Dependiendo de la posición de inclinación del plano

respecto al cono se van a formar diferentes conicas tales como: Circunferencia, Elipse, Parabola y

luego la hipérbola.

34

2.3 La Circunferencia

Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo llamado centro. A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro, el cual es la mayor distancia posible entre dos

puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del

diámetro es el doble de la del radio, el cual es el segmento que va

desde el centro hacia un punto cualquiera de la circunferencia. La

circunferencia sólo posee longitud.

Una circunferencia se forma solo si el plano al cortar al cono en su

35 Ecuaciones de la circunferencia

Las ecuaciones de la circunferencia son la canónica, ordinaria y la general

2.3.1 Ecuación Canónica.

Como 𝑑 = √(𝑥₂− 𝑥₁)2+ (𝑦₂− 𝑦₁)2

𝑑2 _{= (𝑥}

2− 𝑥1)2+ (𝑦2− 𝑦1)2

Como d= r → 𝑑2 = (𝑥 − 0)2+ (𝑦 − 0)2 𝑥2_{+ 𝑦}2 _{= 𝑟}2

Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es c(0,0) y 𝑟 = 8 𝑐𝑚.

36

2.3.2 Ecuación Ordinaria

Sea 𝑐 = (ℎ, 𝑘) el centro de la circunferencia el cual esta ubicado en un punto cualquieratal que (ℎ, 𝑘) ≠ (0,0). Aplicando el mismo criterio anterior respecto a la distancia entre dos puntos.

𝑑2 _{= (𝑥 − ℎ)}2_{+ (𝑦 − 𝑘)}2

(𝑥 − ℎ)2_{+ (𝑦 − 𝑘)}2 _{= 𝑟}2

Ejemplo 2:Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(3,5) y con radio r = 2. Hacer su respectiva gráfica.

Se tiene que h = 3, k = 5, r = 2 por lo tanto

(𝑥 − 3)2_{+ (𝑦 − 5)}2 _{= 4}

Ejemplo 3: Si (𝑥 + 5)2+ (𝑦 − 2)2 = 144 ; hallar h,k,r.

h= -5, k = 2, r =12.

2.3.3 Ecuación General. Demostración

La ecuación de una cónica es 𝐴𝑥2+ 𝐵𝑦2+ 𝐶𝑥𝑦 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Por lo que de aquí se deriva la ecuación general que lleva una circunferencia asumiendo que B=A, por

lo que 𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦2+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0. Partiendo de esta expresión via complexión de cuadrado se

37 Demostración:

𝐴𝑥2_{+ 𝐴𝑦}2_{+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Divididiendo por A.}

𝐴𝑥2

𝐴 +

𝐴𝑦2

𝐴 +

𝐷𝑥

𝐴 +

𝐸𝑦

𝐴 +

𝐹

𝐴= 0

𝑥2_{+ 𝑦}2₊𝐷𝑥

𝐴 +

𝐸𝑦

𝐴 +

𝐹

𝐴= 0, hacer compleccion de cuadrados

(𝑥2₊𝐷𝑥

𝐴 ) + (𝑦2+

𝐸𝑦

𝐴) = −

𝐹 𝐴

(𝑥2₊𝐷𝑥

𝐴 + (

𝐷

2𝐴)

2

) + (𝑦2₊𝐸𝑦

𝐴 + (

𝐸

2𝐴)

2

) = −𝐹

𝐴+ (

𝐷

2𝐴)

2

+ (𝐸

2𝐴)

2

(𝑥 + 𝐷 2𝐴)

2

+ (𝑦 + 𝐷 2𝐴)

2

=𝐷

2_{+ 𝐸}2_{− 4𝐴𝐹}

4𝐴2

Pero como bien se sabe la ecuación ordinaria es:

(𝑥 − ℎ)2_{+ (𝑦 − 𝑘)}2 _{= 𝑟}2 _{haciendo la respectiva sustituciones entre cada una de las ecuaciones para buscar el}

centro y radio se tiene que:

−ℎ = 𝐷

2𝐴 →ℎ = − 𝐷 2𝐴

−𝑘 = 𝐸

2𝐴 →𝑘 = −

𝐸 2𝐴

𝑟2₌𝐷2+ 𝐸2− 4𝐴𝐹

4𝐴2 →𝑟 =

1

2𝐴√𝐷2+ 𝐸2− 4𝐴𝐹

2.3.3.1 Demostración de la Ecuación General partiendo de la ecuación Ordinaria.

Esta es la forma demostrada de la Ecuación General.

𝐴𝑥2 _{+ 𝐴𝑦}2_{+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0}

Para llegar a esta forma se hace el siguiente proceso:

Paso 1: Se opera

Paso 2: Se ordena y se iguala a cero.

2 2 2

(

x h



)

 

(

y k

)



r

2

₂

₂

x



xh h

 

y



yk k





r

2 2

₂

₂

₀

38

Paso 3: Se renombran los coeficientes, debido a que (h y k) serán valores variables y queda:

D= (-2h) , E=(-2k), (ℎ2+ 𝑘2− 𝑟2) =F al final se tiene que :

Ejemplo 4: Dada la ecuación (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 5)2 = 22. Hallar la ecuación general.

Desarrollando se tiene: 𝑥2+ 𝑦2− 6𝑥 − 10𝑦 + 34 = 4 𝑥2_{+ 𝑦}2_{− 6𝑥 − 10𝑦 + 30 = 0}

Ejemplo 5: Encontrar los parámetros de la ecuación de la circunferencia cuya ecuación general es

25𝑥2_{+ 25𝑦}2 _{+ 20𝑥 + 15𝑦 − 65 = 0.}

Solución: A = 25, D = 20, E = 15, F = -65

ℎ = −_2𝐴𝐷 =₂₍₂₀₎−20 =−20₅₀ = −2₅→ℎ = −2₅

𝑘 = − 𝐸

2𝐴= −

15

2(25)→𝑘 = −

3 10

𝑟 = 𝑟 = 1

2𝐴√𝐷2+ 𝐸2− 4𝐴𝐹 =

1

2(25)√202+ 152− 4(25)(−65) =

√400 + 225 + 6500

50 →𝑟 = ~1.7

2.3.4 Realización de la gráfica de una circunferencia.

Al graficar una circunferencia la gráfica va a venir de la ecuación ordinaria la cual al pasarse de

la forma implícita a la explicita se obtiene una función en función de x.

(𝑥 − ℎ)2_{+ (𝑦 − 𝑘)}2 _{= 𝑟}2 _{al despejar y se tiene que}

𝑦 = 𝑘 ± 𝑟2_√𝑟2_{− (𝑥 − ℎ)}2

Ejemplo: Graficar la circunferencia cuya ecuación es (𝑥 + 4)2+ (𝑦 − 3)2 = 25 𝑦 = 3 ± √25−(𝑥 + 4)2

Dominio: 25−(𝑥 + 4)2 ≥ 0 → −(𝑥 + 4)2 ≥ −25 → (𝑥 + 4)2 ≤ 25 → 𝑥 ≤ 1

2 2

_{( 2 )}

_{( 2 )}

₍

_{) 0}

x

  

y

h x

 

k y



h

 

k

r



2 2 ₀

39

x 1 0 -1 -2 -3 -4

y 3 8 7 7.58 7.90 8

40

2.4 La Elipse

Es una curva cerrada simétrica respecto a dos ejes

perpendiculares entre sí, que resulta de la intersección de un cono circular recto con un plano oblicuo que atraviesa su generatriz.

2.4.1 Elementos de una Elipse

𝐹 𝑦 𝐹₁ ∶ son los focos de la Elipse

𝐹 𝐹₁

̅̅̅̅̅̅̅_{: Este es el eje focal, la cual es la recta que pasa por los focos.}

41 𝑉 𝑉1

̅̅̅̅̅̅̅_{: Este es el eje mayor, es la porcion del eje focal que comprende los vertices.}

𝐵𝐵1: Es el eje menor, el cual corta a la elipse en dos partes. Esta en y. 𝐶(ℎ, 𝑘): Es el centro, el cual es el punto medio de los focos.

𝑄 𝑄1

̅̅̅̅̅̅̅: Es La cuerda que une dos puntos cualquiera de la Elipse.

𝐸 𝑦 𝐸₁ : Cuerda focal: Es una cuerda que pasa por algunos de los focos.

𝐷 𝐷1

̅̅̅̅̅̅̅_{: Es diametro el cual es una cuerda que pasa por el centro C(h,k).}

2.4.2 Demostracion de la Ecuacion Ordinaria de una Elipse.

Como 𝑏2+ 𝑐2= 𝑎2 𝑦 𝑘1+ 𝑘 = 2𝑐 → |𝐹𝑃̅̅̅̅| + |𝐹̅̅̅̅̅| = 2𝑎1𝑃

|√(𝑥 − 𝑐)2_{+ (𝑦 − 0)}2_{| + |√(𝑥 + 𝑐)}2_{+ (𝑦 − 0)}2_{| = 2𝑎}

Asumir que el es positivo y pasar el radical al otro lado = √(𝑥 − 𝑐)2+ (𝑦 − 0)2= 2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)2+ (𝑦 − 0)2 Elevar al cuadrado ambas miembros

(√(𝑥 − 𝑐)2_{+ (𝑦)}2₎2_{= (2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)}2_{+ (𝑦)}2₎2

Operar en el paso anterior y eliminar terminos semejantes

(𝑥 − 𝑐)2_{+ 𝑦}2_{= (2𝑎)}2_{− 2(2𝑎)√(𝑥 + 𝑐)}2_{+ 𝑦}2_{+ √(𝑥 + 𝑐)}2_{+ 𝑦}22

(𝑥 − 𝑐)2_{+ 𝑦}2_{= 4𝑎}2_{− 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)}2_{+ 𝑦}2_{+ (𝑥 + 𝑐)}2_{+ 𝑦}2

𝑥2_{− 2𝑐𝑥 + 𝑐}2_{+ 𝑦}2_{= 4𝑎}2_{+ 𝑥}2_{+ 2𝑐𝑥 + 𝑐}2_{+ 𝑦}2_{− 4𝑎}2_{√(𝑥 + 𝑐)}2_{+ 𝑦}2

−2𝑐𝑥 = 4𝑎2_{+ 2𝑐𝑥 − 4𝑎}2_{√(𝑥 + 𝑐)}2_{+ 𝑦}2

Transponer los terminos: 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2+ 𝑦2 = 4𝑎2+ 4𝑐𝑥

𝑎√(𝑥 + 𝑐)2_{+ 𝑦}2 _{= 𝑎}2_{+ 𝑐𝑥}

Elevar al cuadrado ambos miembros

(𝑎√(𝑥 + 𝑐)2_{+ 𝑦}2₎2 _{= (𝑎}2_{+ 𝑐𝑥)}2

𝑎2_{((𝑥 + 𝑐)}2_{+ 𝑦}2_{) = (𝑎}2 _{+ 𝑐𝑥)}2

42

Eliminando y haciendo la transposicion de terminos

𝑎2_𝑥2_{− 𝑐}2_𝑥2_{+ 𝑎}2_𝑦2 _{= 𝑎}4_{− 𝑎}2_𝑐2

Factorizando 𝑥2(𝑎2− 𝑐2) + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑎2− 𝑐2)

Como se dijo al principio que 𝑏2+ 𝑐2 = 𝑎2 → 𝑏2 = 𝑎2− 𝑐2 por lo que sustituyendo en el paso 8. Se tiene que 𝑥2(𝑏2) + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2

Dividir el paso anterior por 𝑎2𝑏2 →𝑥

2_𝑏2 𝑎2_𝑏2+

𝑎2𝑦2 𝑎2_𝑏2 =

𝑎2𝑏2 𝑎2_𝑏2

∴

𝑥2

𝑎2 +

𝑦2

𝑏2 = 1, 𝑎2 > 𝑏2

2.4.2.1 Deduciones de las ecuaciones de una Elipse.

De la ecuación anterior se sacan las siguientes deduciones:

 Si la elipse tiene centro en C(0,0) y eje focal en x su ecuacion es: 𝑥

2 𝑎2 +

𝑦2 𝑏2 = 1

 Si la elipse tiene centro en C(0,0) y eje focal en y su ecuacion es:

𝑥2 𝑏2 +

𝑦2 𝑎2 = 1

        

   

x y

43  Si La Elipse tiene centro en un punto C(h,k) diferente al origen y su eje focal esta en x ,

entonces su respectiva ecuacion está en :

(𝑥 − ℎ)2 𝑎2 +

(𝑦 − 𝑘)2 𝑏2 = 1

 Si la elipse tiene centro en un punto C(h,k) diferente al origen y su eje focal esta en y, entonces su respectiva ecuacion es :

(𝑥 − ℎ)2 𝑏2 +

(𝑦 − 𝑘)2 𝑎2 = 1

Ejemplo1: Dada la ecuacion 5𝑥2+ 4𝑦2 = 20, hallar la ecuacion de la elipse y graficarla.

5𝑥2_{+ 4𝑦}2 _{= 20 →} 5 20𝑥

2 ₊ 5

20𝑦

2 _{= 1}

→ 𝑥 2

20 5

+ 𝑦 2

20 4

= 1 ∴ 𝑥 2

4 +

𝑦2

5 = 1

                   

         

44

Ejemplo2: Cual es la ecuacion de la Elipse de centro C(0,0), cuyos vertices son V(-6,0) , 𝑉₁= (6,0) y Focos F(-4,0) , 𝐹₁= (4,0). Hacer la gráfica.

Sol:

Vértice: |𝑉̅̅̅̅̅| = 2𝑎 → |−6 − 6| = 2𝑎 → 12 = 2𝑎, ∴ 𝑎 = 6 ₁𝑉

Focos: |𝐹̅̅̅̅̅| = 2𝑐 → |−4 − 4| = 2𝑐 → 8 = 2𝑐 , ∴ 𝑐 = 6 ₁𝐹

Como se conoce a a y a c entonces falta b.

Como 𝑏2+ 𝑐2 = 𝑎2 → 𝑏2+ 42 = 62 → 𝒃 = √𝟐𝟎

Por lo tanto la ecuación se busca

𝑥2 𝑎2 +

𝑦2

𝑏2 = 1 → 𝑥2 62 +

𝑦2

√202 = 1 →

𝑥2

36 + 𝑦2

45

Ejemplo 3: Si una Elipse tiene como centro el punto C(-6,4). Su eje Mayor es 12 y es paralelo al eje de las y. Su eje menor es 6. Cuál es la ecuación de la Elipse y haga su gráfica.

*Eje Mayor: 2𝑏 = 12 → 𝑏 = 6 *Eje menor: 2𝑎 = 6 → 𝑎 = 3

Como su eje focal esta en Y, entonces su respectiva ecuacion es :

(𝑥 − ℎ)2 𝑎2 +

(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2 = 1 →

(𝑥 − (−6))2

32 +

(𝑦 − (4))2 62 (𝑥 + 6)2

9 +

(𝑦 − 4)2

36 = 1

Ejemplo 4: Si la ecuación general de una elipse es 4𝑥2+ 6𝑦2− 8𝑥 − 12𝑦 − 14 = 0 encontrar: Ecuación canónica, valor de a,b,c; centro, longitud lado recto, excentricidad, coordenadas de los vértices, coordenadas de los focos, grafica.

 Ecuación canónica:

Hacer compleción de cuadrados

4𝑥2_{+ 6𝑦}2_{− 8𝑥 − 12𝑦 − 14 = 0 → (4𝑥}2_{− 8𝑥) + (6𝑦}2_{− 12𝑦) = 14} 4(𝑥2_{− 2𝑥 + 𝑛) + 6(𝑦}2_{− 2𝑦 + 𝑚) = 14} 4(𝑥2 _{− 2𝑥 + 1) + 6(𝑦}2_{− 2𝑦 + 1) = 14+4+6}

                                    

                  

x y

46 4(𝑥 − 1)2_{+ 6(𝑦 − 1)}2 _{= 24 →} 4(𝑥 − 1)2

24 +

6(𝑦 − 1)2

24 =

24 24

(𝑥 − 1)2

6 +

(𝑦 − 1)2

4 = 1

 Buscar a a,b,c.

𝑎2 _{= 6 → 𝑎 = √6 , 𝑏}2 _{= 4 → 𝑏 = 2, 𝑐 = √√6} 2_{− 2}2 _{→ 𝑐 = √2}

Esto es una elipse horizontal.

 Centro: c(h,k) = c(1,1)

 Longitud del lado recto. L.R=2𝑏

2

𝑎 =

8 √6

 Excentricidad 𝑒 =_𝑎𝑐 =√2_√6=0.58

 Coordenadas de los vértices: 𝑉1 = (ℎ − 𝑎, 𝑘) → 𝑉1= (1 − √6 ,1)

𝑉₂= (ℎ − (−𝑎), 𝑘) → 𝑉₂ = (1 + √6 , 1)

Longitud del Eje Mayor: 2𝑎 = 2√6 Longitud Eje menor: 2𝑏 = 2(2) = 4

47

2.4.3 Realización de la gráfica de una Elipse.

Para representar gráficamente una Elipse se debe despejar la variable dependiente Y y luego

buscar el dominio para el cual esta determinado la curva.

Ejemplo: Hacer la gráfica perteneciente a 𝑥

2

4 + 𝑦2

8 = 1

𝑥2 4 +

𝑦2 8 = 1 ;

𝑦2

8 = 1 − 𝑥2

4 → 𝑦 = √8 − 2𝑥2

Dominio: 8 − 2𝑥2 ≥ 0; 𝑥 ≤ ∓2 por lo tanto el dominio es 𝑥 ∈ [−2,2]

𝑦 = √8 − 2𝑥2

X -2 -1 0 1 2

48

2.5 La Parábola

Es una curva formada por un conjunto puntos p(x,y) de un plano cualquiera, tal que su distancia

al foco F y a la directriz son iguales.

Trujillo, M. (2004) dice que la parábola geométricamente se describe como la curva que resulta al interceptar un cono circular recto y un plano paralelo a la generatriz del cono.

V (0,0): Es el vértice de la parábola.

Eje de la parábola: Es la recta que pasa por el foco F(p,0) y el vértice v(0,0).

d: Es la distancia focal que se encuentra desde el punto v(0,0) hasta el foco F(p,0) .

D: Es la directriz la cual es una Recta perpendicular al eje de la parábola y está a la misma distancia del vértice al igual que el vértice del foco.

49

2.5.1 Ecuaciones de la parábola

Formas de las ecuaciones de una parábola: 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑥 = 𝑎𝑦2+ 𝑏𝑦 + 𝑐

 𝑦2 _{= 4𝑝𝑥 , se tiene que si 𝑝 > 0 la parábola abre hacia la derecha, pero si 𝑝 < 0 entonces abre}

hacia la izquierda.

 𝑥2 _{= 4𝑝𝑦. En esta ecuación el foco es F (0,p). si 𝑝 > 0 la parábola abre hacia la arriba y para} 𝑝 < 0 abre hacia abajo.

 La parábola con vértice v(h,k) y eje de simetría vertical (𝑥 − ℎ)2 = ∓ 4𝑝 (𝑦 − 𝑘).

 Si el eje de simetría es horizontal entonces: (𝑥 − 𝑘)2 = ∓ 4𝑝 (𝑦 − ℎ).

Ejemplo 1: Cuál es la ecuación de la parábola cuyo vértice es v(0,0)y su foco F(0,3).

El foco está en y, eso indica que la parábola abre hacia arriba.

El foco se encuentra sobre el eje Y en (0, 3), por lo tanto es una parábola vertical con las ramas hacia

arriba y vértice en (0, 0). Su ecuación es de la forma x2 = 4py, siendo p la distancia del vértice a l

foco, es decir, p = 3, sustituyendo este valor en x2 _{= 4py se tiene que: 𝑥}2 _{= 4 𝑝𝑦 = 4(3)𝑦 → 𝑥}2 ₌ 12𝑦

Ejemplo 2: Buscar la ecuación de la parábola cuyo vértice es V(0,0)y foco F(-6,0).

El foco está en x=-6 y abre hacia la izquierda, por lo que la ecuación de la parábola es de la forma

.

px

y



4

2

2

4

4( 6

)

2

4

50

Ejemplo 3: Obtén los elementos de una parábola cuya ecuación es 𝑦2 = 28𝑥

Los elementos son: Vértice, foco, directriz, lado recto y eje.

Se sabe que 𝑦2 = 28𝑥 representa una parábola horizontal, por lo que ahora se pueden sacar sus elementos.

Vértice: v(0,0)

Foco→𝑦2 = 28𝑥 implica que 28/4=7, por lo que P=7

Lado Recto (LR): es cuanto abre la parábola, por tanto Esto implica 14 arriba y abajo.

Directriz: x=-5

Eje: y=0

 Realizar un bosquejo de la gráfica de la ecuación.

2.5.2 Representación grafica de una parábola.

Para graficar una parábola se procede de la misma forma que con la circunferencia y la parábola.

Ejemplo 1. Graficar 𝑦2 = −20𝑥

El vértice es v (0,0) y foco: p = (-5,0).

Buscando su dominio en 𝑦 = √−20𝑥 se cumple ∀𝑥 ∈ (−∞, 0]

LR= 4P  4(7) 28

        

   

51

2.6 Hipérbola

Es aquella cónica que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano para los cuales la diferencia de las distancias (en valor absoluto) a dos puntos fijos (llamados focos) es constante y menor que la distancia entre los focos.

52

2.6.1 Elementos de una Hiperbola con centro en el origen

𝐹1 𝑦 𝐹 son los focos. 𝐶(ℎ, 𝑘): es el centro.

𝑉1 𝑉

̅̅̅̅̅̅ = 2𝑎 : es el eje transversal

𝐵1 𝐵

̅̅̅̅̅̅ = 2𝐵 : es el eje conjugado

𝑄₁ 𝑄

̅̅̅̅̅̅ = 𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎 : Es el lado recto.

2.6.2 Ecuaciones de una hipérbola

 Si la hipérbola tiene su centro en C (h,k) = (0,0) y su eje transverso esta en x y el conjugado en

y entonces es una hipérbola horizontala y su ecuación es:

𝒙𝟐 𝒂𝟐−

53  Si la hipérbola tiene su centro en C (h,k) = (0,0) y su eje transverso esta en y y el conjugado en

x entonces es una hipérbola vertical cuya ecuación es:

𝒚𝟐 𝒂𝟐−

𝒙𝟐 𝒃𝟐= 𝟏

 Si C (h, k) ≠ (0,0) y su eje transverso es paralelo al eje horizontal x y el conjugado paralelo a

y , entonces su ecuación es:

(𝒙 − 𝒉)𝟐

𝒂𝟐 −

(𝒚 − 𝒌)𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏

 Si C (h, k) ≠ (0,0) y su eje transverso es paralelo al eje vertical y y el conjugado paralelo a

x , entonces su ecuación es:

(𝒚 − 𝒉)𝟐

𝒂𝟐 −

(𝒙 − 𝒌)𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏

Ejemplo 1: Cuál es la ecuación de la hipérbola cuyo centro es C(0,0), sus vértices son

𝑉₁(−2,0); 𝑉(2,0) y focos 𝐹₁(−5 ,0) ; 𝑉(5 , 0).

Solucion:

a=3, c=5 Como 𝑏2+ 𝑎2 = 𝑐2 → 𝑏 = √𝑐2− 𝑎2

𝑏 = √52_{− 3}2 _{→ 𝒃 = 𝟒}

𝑥2 𝑎2

−

𝑦2

𝑏2

= 1 →

𝑥2 32

−

𝑦2

42

= 1

∴

𝑥2

9

−

54

55

Cálculo Diferencial

2.7 Práctica # 2: Las cónicas

Nombre: ___________________________Matrícula:________________________ Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________

La circunferencia

I. Defina correctamente :

a) Qué es una cónica?. b) Qué es una circunferencia

II. Obtén la ecuación canónica de la circunferencia de centro y radio dados.

a) C(-3,5); r = 6 b) C(-4,-1), r = 2 c) 𝐶(1,6), 𝑟 = √7

III. Escribe la ecuación general de una circunferencia dado su centro y su radio.

a) C(2,4); r = √5 b) C(-4,7), r = 1

IV. Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias.

a)



 



2 2

1 7 25

x  y 

b)



 



c)



 



x  y 

d)



 



e)



  

f)

2 2

14x 14y 28x112y500

V. Representa gráficamente las circunferencias a) 𝑥2+ 𝑦2 = 36

b) (𝑥 + 3)2+ (𝑦 − 5)2 = 49 c) (𝑥 − 6)2+ (𝑦 + 2)2 = 25 d)

2 2

6 0

x  y   _.

e)

2 2

8 10 20 0

x y  x y  _.