Estadística-Básica-Aplicada- CIRO MARTINEZ

(1)

(2)

Nacido en Convención (Norte de

Santander - Colombia). Economista

de la Universidad Jorge Tadeo

Lozano de Bogotá, D.C.

Bio-estadística (Universidad de los

Andes, Bogotá, D.C.). Técnicas

Estadísticas (CIENES-Santiago de

Chile) y Estadística Laboral

(Universidad de Río Piedras y

Negociado Laboral de Puerto Rico).

Vinculado a la enseñanza de la

Estadística en un gran número de

instituciones universitarias de

Bogotá. Durante muchos años ha

trabajado en el campo de la

estadística, ocupando diferentes

cargos gubernamentales.

Entre sus publicaciones destacamos:

Estadística comercial

;

Muestreo,

algunos métodos y sus aplicaciones

prácticas

;

Estadística Básica Aplicada

;

libros editados por Ecoe Ediciones.

(3)

(4)

(5)

Estadística

Básica Aplicada

CIRO MAR

(6)

Colección: Ciencias Exactas Área: Estadística

Primera edición: Bogotá, D.C., enero de 2000 Segunda edición: Bogotá, D.C., marzo de 2001

Reimpresión: Bogotá, D.C., marzo de 2002, 2003 y 2004 Reimpresión: Bogotá, D.C., agosto de 2006 y enero de 2007 Tercera edición: Bogotá, D.C., mayo de 2007

Reimpresión: Bogotá, D.C., marzo de 2008 y de 2009 Reimpresión: Bogotá, D.C., marzo de 2010

Cuarta edición: Bogotá, D.C., 2012 Reimpresión: Bogotá, D.C., 2012

ISBN 978-958-648-766-5

E-mail: correo@ecoeediciones.com -www.ecoeediciones.com Cra. 19 No. 63 C 32 Te.: 2481449 - Fax: 3461741

Coordinación editorial: Alexander Acosta Quintero Autoedición: Angélica García Reyes

Carátula: Edwin Nelson Penagos Palacio Impresión: Imagen Editorial Impresores E-mail:imagenimvega@yahoo.com

Impreso y hecho en Colombia

4 p. - (Ciencias exactas. Estadística) Incluye bibliografía

ISBN 978-958-648-766-5

1. Estadística matemática 2. Estadística - Problemas, ejercicios, etc. 3. Muestreo (Estadística) I. Título II. Serie

CDD: 519.53 ED. 20 CO-BoBN- a798458

(7)

Con cariño lo dedico

a mis padres, esposa

hijos y nietos.

(8)

(9)

Tabla de contenido

Prólogo ... XV

Capítulo 1. Generalidades ... 1

Objetivos ... 1

Contenido... 1

Introducción ... 1

Algunos conceptos necesarios ... 2

Finalidad de la estadística ... 5

Colectivos investigados por la estadística... 7

Resumen de capítulo ... 8

Términos para recordar ... 9

Ejercicios propuestos ... 9

Cuestionario de evaluación ... 10

Capítulo 2. Investigación estadística ... 13

Objetivos ... 13

Contenido... 13

Clases de investigación ... 13

Etapas de una investigación ... 14

Planeamiento... 14

Objetivos de la investigación ... 15

Unidad de investigación... 15

Clase de estudio ... 15

Examen de la documentación y metodología ... 16

Método de observación ... 16

Muestreo ... 16

Muestreo probabilístico ... 16

Muestreo no probabilístico ... 18

Proceso de recolección... 18

Preparación del presupuesto ... 19

Calendario de trabajo ... 20

(10)

Selección y preparación del personal... 23

Preparación y actualización de listas de informantes ... 24

Otros aspectos ... 25

Recolección... 25

Procesamiento de análisis ... 26

... 26

Tabulación ... 26

Análisis e interpretación... 27

Informe ... 27

Publicación ... 29

Resumen del capítulo... 29

Capítulo 3. Sumatorias y productorias ... 33

Sumatoria simple ... 33

Propiedades de la sumatoria... 35

Fórmulas especiales sobre sumatorias ... 36

Productoria... 36

Propiedades de la productoria... 37

Resumen del capitulo... 37

Capítulo 4. Elaboración de tablas o cuadros ... 39

Objetivos ... 39

Contenido... 39

Caracteres... 39

Técnica empleada en la elaboración de un cuadro... 42

Distribuciones de frecuencias ... 45

Atributos ... 45

Variables... 46

Variable continua ... 51

Ejercicios... 56

Propiedades de las frecuencias... 58

... 65

Objetivos ... 65

Contenido... 65

Introducción ... 65

... 66

(11)

TABLADE CONTENIDO IX

Histograma de frecuencias... 68

Polígono de frecuencias ... 71

Ojiva... 71

Pictograma ... 72

Cartograma... 74

Diagramas de barras... 75

Diagrama circular... 77

Diagramas lineales ... 79

Cuadrados y triángulos ... 81

... 83

Pirámides... 84

... 84

Capítulo 6. Medidas de tendencia central ... 89

Objetivos ... 89

Contenido... 89

Medidas de posición ... 90

Media aritmética ... 90

Media aritmética (simple) ... 91

Media aritmética ponderada... 93

Métodos indirectos... 100

Propiedades de la media... 101

Mediana (M_e) ... 107

Datos no agrupados... 108

Datos agrupados... 109

Variable discreta... 109

Variable continua ... 110

La moda (M_d) ... 111

Aplicación de estadística en la herramienta Excel... 113

Operaciones en la hoja de cálculo... 113

... 115

Elaboración de tablas de frecuencia... 117

Elaboración de una tabla de frecuencias relativas ... 123

... 125

Procedimiento para obtener resultados en la aplicación de medidas... 128

(12)

Capítulo 7. Medidas de tendencia central (continuación) ... 137

Media cuadrática (M₂)... 137

Media geométrica (M_g) ... 139

Media armónica (M₁)... 142

Cuartiles, deciles y percentiles... 147

Cuartiles ... 147

Datos sin agrupar ... 147

Deciles... 148

Centil o percentil... 149

Tercer cuartil (Q₃) ... 150

Cuarto decil (D₄) ... 151

Percentil sesenta (P₆₀)... 151

Centro recorrido ... 151

Aplicación de la estadística utilizando la calculadora ... 152

Primer procedimiento ... 155

Segundo procedimiento ... 160

Media aritmética ... 160

Mediana (M_e) ... 162

Modo = Moda = Valor modal (M_d) ... 163

Media geométrica (M_g = M_o) ... 164

Media aritmética ponderada... 164

Capítulo 8. Medidas de dispersión, asimetría y apuntamiento ... 171

Objetivos ... 171

Contenido... 171

Medidas de dispersión... 171

La Oscilación ... 172

Varianza (S₂) ... 173

Otro método de cálculo... 174

Métodos abreviados ... 175

Propiedades de la varianza... 178

Desviación típica o estándar (S) ... 180

Uso de la calculadora ... 184

Desviación típica estándar s = ... 185

... 186

(13)

TABLADE CONTENIDO XI

Desviación media (Da) ... 189

Desviación mediana (De)... 191

Recorrido intercuartílico, desviación cuartil y recorrido interdecil ... 193

! ... 195

Momentos unidimensionales ... 196

Momentos respecto a la variable... 196

Momento respecto a la media aritmética ... 196

Momento respecto a un origen de trabajo... 196

Asimetría... 198

Apuntamiento o curtosis ... 200

Ejercicios de evaluación ... 206

Capítulo 9. Regresión y correlación ... 209

Objetivos ... 209

Contenido... 209

Regresión ... 213

Regresión rectilínea simple... 213

Procedimiento abreviado del cálculo ... 216

Cálculo del error estándar de estimación ... 217

... 219

Cálculo de la regresión de X en función de Y (utilizando la calculadora)... 220

Cálculo mediante el uso de la calculadora... 223

Regresión rectilínea ponderada... 234

... 238

Capítulo 10. Series cronológicas ... 247

Objetivos ... 247

Contenidos ... 247

Tendencia ... 249

Ajuste rectilíneo ... 249

Método de los mínimos cuadrados ... 254

Varianza residual y error estándar... 259

... 260

Ajuste parabólico ... 267

Ajuste exponencial... 272

(14)

Capítulo 11. Números índices ... 285

Objetivos ... 285

Contenido... 285

Índices simples... 286

Índices eslabonados ... 289

Índices agregativos simples ... 290

Índices compuestos ... 292

Exámenes de fórmulas ... 295

Índice de valor... 296

Empalme de una serie ... 297

Uso de los números índices... 298

Cálculo del salario y del ingreso real... 298

Poder de compra ... 300

Porcentaje de Desvalorización... 300

Porcentaje de Devaluación... 301

Índice de producción y de productividad... 302

Índice relación de precios de intercambio (IRPI) ... 303

Proporciones, porcentajes, razones y tasas ... 305

Capítulo 12. Inferencia estadística ... 317

Objetivos ... 317

Contenido... 317

Elementos del cálculo de probabilidades... 317

Probabilidad elemental... 317

Algunos conceptos básicos ... 318

Probabilidad ... 319

Permutaciones, variaciones y combinaciones... 320

Leyes o reglas de probabilidad ... 321

Distribuciones de probabilidad ... 328

Distribución binomial ... 329

Distribución normal ... 332

"# $ ... 334

Pruebas de hipótesis... 337

(15)

TABLADE CONTENIDO XIII

Capítulo 13. Aplicación de algunas técnicas de muestreo ... 343

Generalidades... 343

Determinación del tamaño de la muestra (MAS) ... 346

Método de muestreo aleatorio... 348

% %&'&*& ... 350

Diseño de muestreo... 352

Aplicación en el muestreo aleatorio simple ... 354

' ... 356

Estimador puntual y por intervalos ... 360

Aplicación en el Muestreo Aleatorio Simple (M.A.S.)... 360

' ... 363

Respuestas a los ejercicios propuestos y algunos cuestionarios de evaluación . 367 Apéndice Tabla I Números al azar ... 379

Tabla II De una distribución normal ordinaria ... 382

Tabla III Distribución “ t ” de Student ... 383

Tabla IV Exponencial y logaritmos ... 384

Tabla V Distribución de Ji cuadrado (_χ2 ) ... 385

Índice temático ... 387

(16)

(17)

Prólogo

La estadística es una disciplina aplicada en todos los campos de la actividad humana. De ahí que se tenga como asignatura indispensable en casi todos los programas, desde niveles medio vocacional hasta posgrado.

En el mundo de los negocios su empleo, hoy en día, es considerado de gran importan-cia, ya que suministra los mejores instrumentos de investigación, no sólo para observar y recopilar toda una gama informativa incubada dentro de la misma empresa o fuera de ella, sino también en el control de ciertas actividades de producción, ventas, proyecciones o estimaciones a corto, mediano y largo plazo, en la formulación de hipótesis y en el análisis de procesos encaminado a facilitar la toma de decisiones por parte de los encargados de la buena marcha de la empresa.

La obra presenta temas de estadística descriptiva: preparación de una investigación; + < > ? ? ? cuadrática, geométrica y armónica); medidas de dispersión (varianza, desviación típica, ? K#<+ < <W-meros índices; indicadores económicos, desarrollados en los pri<W-meros once capítulos.

Los capítulos doce y trece presentan una síntesis de inferencia estadística, con temas de gran importancia (probabilidad, distribución normal, distribución de medias muestrales +# $ ? [?\]^+?W? distribución Ji-cuadrado) y la aplicación de algunas técnicas de muestreo, todo ello en un lenguaje sencillo y claro, con ejemplos de fácil comprensión y ejercicios para resolver.

En esta edición, se revisó y corrigió todo el contenido. En el capítulo de regresión se mejoró la presentación de acuerdo con sugerencias que se habían recibido, haciéndolo más comprensible para el estudiante. Como novedad se incluye un gran número de ejercicios + $ K< _ ? + ` mayor agilización en los procesos de cálculo y presentación de los datos

El libro es fundamental para todas aquellas personas que tengan algún interés por la estadística aplicada en el campo comercial, contabilidad y actividades similares.

' K+ >k aquellas tablas estadísticas más usuales, que el lector deberá aprender a manejar para desarrollar los ejercicios propuestos y aquellos que se presenten en la vida práctica.

(18)

(19)

Generalidades

Capítulo

Generalidades

Objetivos

{ +` > #?

&

* +

-# &

k k

# &

Contenido

{

'

| #

# &

1

INTRODUCCIÓN

^?> ?k # $ ? }

Producción. * # [

+ ?

>&*+?

+ ?+ > $ &

Finanzas.* k W

_? $?

+ &

Contabilidad.! # ?+ k

> _ ? ? + ` ? &

(20)

Personal.*W[ ?K ? K? ~ ???? _ # ? _ + # &

Mercados." #

_ + $

-&

ALGUNOS CONCEPTOS NECESARIOS

Estadística &^ K>? ? ?+

? ?? + $ &

* k _ # # ? k [ # _ k

historia +[[&*? # [ <[+

# ? ? # ? W _ ?+ k +?

población? $ ?

muestra?+ $ &

" estadística descriptiva o deductiva

#? ?&?k _ &

* $ > ?? ? $ ?+ &

" estadística analítica o inductiva `

K ? $ < k ? ? k ` # &

K Estadística[ _

# ? parámetros > _

&

" # ? ?# k> k[[_?+ ?$ &

Población&*K k

# W&*> K

(21)

CAPÍTULO 1. GENERALIDADES 3

" # kW k+

la muestra? >población por muestrearpoblación muestreada?_

K& #?

` ? ? $ # $&

"elementosk ?

K &'? K _ ?+ &

* [[k

? # #?características&

"Kk# elementos

+características }

ELEMENTOS CARACTERÍSTICAS

^

K

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Marco:^ marco?marco muestralmarco de referencia ?mapa

k ?k _

+ $ ? &

^W tamaño? &*

Wk <

&^ ? ?

W ? ?+ k` k? ? ?k &

Características & ?

k+ &' +> ?

cuantitativosvariables? ??? ?? ?&& ` # ?_?

? ? ?&?+ cualitativos o atributos.

Muestra.^K

(22)

?k &

k kk

$ ? + $ sorteo? tablas de números aleatorios?

selección sistemática k> $ &

no probabilística ?

W &* ? + k ? ?? $? $ [ &

* ? unidades _ caprichosa, voluntaria, por cuotas? k? +# ?

? [#k$ muestra circunstancial o errática&

Estadístico.* k K + # &*

[ [[W>estadígrafo

k K # ? [> medida&

Estadísticas &^

_ + &* ? # + ? k &

Estadísticas primarias.^ k + ?

$ ? < W > +$ #

&^ >?k k

__ &

Estadísticas secundarias.*> ? ?

&^_ ?$ k &

Estadísticas temporales.! series de tiempo o series cronológicas&^

+ _ ?

}# ?? & ??

? # atemporales.

Clases de estadísticas.^ < #?

K? # #

} ? ?? ? ? `? + $ ?+ ?`?W? + ? ? ?K + &

(23)

* ? internos?? ?

+&" # externas _

?K} ? ?&

Parámetros.^ k k> #

población& > valor verdadero?+ k # ? $ ?&&^ ? # +? ? &

Estimadores. " > #

muestra? estimador o estadígrafo&! M

W + # ? >? ? _ ? $ estimador &

> estimador puntual ? $ ?

?& ?` _ el estimador+

pará-metro? error? K $ estimador por intervalos? &

FINALIDAD DE LA ESTADÍSTICA

*> ? k # _ ?+ ? ?k + _

&" $ [ $

> #< #? ? ? # #? $ & $ ? ? ? kk? > ? ? ?W+? ? k [ ` &

kk [ > ?? $ k ?+ < k <`` < _ ?&?

estadística ?

}

Conocer la realidad de una observación o fenómeno.' _

< # _ ?

? #? ? ? K

(24)

?&^ # < ? _ ? ?[ + >& > `k k &

Determinar lo típico o normal de esa observación. #

_? promedio?> _

-_ ? # &^kpromedio de

#A? ? $_&

? _ < # Kkk < ??_&&

Determinar los cambios que representa el fenómeno. k_ # >?k &" ?? ??_k k &

Relacionar dos o más fenómenos.! ?

` # ?_& + _ ? +&

Determinar las causas que originan el fenómeno." k _ &* ` # K `? k _&

Hacer estimativos sobre el comportamiento futuro del fenómeno.* -k+ ? __& " + ??? k ? `&

Obtener conclusiones de un grupo menor (muestra), para hacerlas extensivas a un

grupo mayor (población).' $ ?+

? k# [ K k + ? ` K &

(25)

'? ? # _ > k?

$ ? validez + ?

+ &

COLECTIVOS INVESTIGADOS POR LA ESTADÍSTICA

" _ # ?

# ?k ?

fenómeno&"_ ? ?#??

K k # + ? ` ? ? ??_? ? ?&

"_ #k?

manifes-tarse al exterior observados? &*K} ?k W ? # ? ?+ # k# < ? ? ` < < ?_? ?

[ ?&' # _ de

_ k intensidadk&K

K } ` _> $ _ ` # ? k _ k `+ ` ?+ ? W+ $ <

intensidad

` [#&

! k k _ #?

? requisitos indispensables

# }

Colectivos. " # _ ?

k_ k &^k k _ $ ? k

? K

&

Frecuente repetición.'k_k $+

? # &

?kk_ _& ? ? K?&

(26)

Distinta frecuencia.^ $ >? k __?+ k [ ? # # ? ?#` &^_ _ ?k # ? $+ _ #&

Manifestarse al exterior.* ?+ [ ?

?_k & ?k ` # &

Distantes en el tiempo." # ?

?K? # # ? # ?_k # & ? > _[ + k _&

Distantes en el espacio.* [k * ?_

k _? k ? #&" ` k $ _ #&^Kk _ _? k &

' # ?

k k #& ^ ? } ? + k $k _ # &

'k_ ? ?

# &

RESUMEN DEL CAPÍTULO

a la técnica de recolección, procesamiento y análisis del dato; la segunda, corresponde

!

La estadística cumple dos funciones: a) la de análisis descriptivo en forma cuantita-tiva de las características observadas en el fenómeno, y b) la inferencia estadística o inducción, lográndose generalizaciones para un grupo mayor denominado población, partiendo de un grupo menor o muestra.

Se da una serie de términos estadísticos que deben conocerse para un buen desarrollo del curso de estadística, entre otros: población, muestra, variables y atributos.

(27)

"

permita: a) tener una visión general de la empresa en su conjunto, para que la admi-nistración pueda formular directrices con pleno conocimiento de causa; b) descubrir las relaciones de causa a efecto en las diversas manifestaciones económicas de la empresa; c) reconocer y separar, en vista del control, lo normal y anormal, observando

#!$%

obtener una mayor orientación a la actividad de la empresa.

Por último, se establecen las condiciones que deben presentar los fenómenos para que sean considerados o estudiados dentro del campo de la estadística.

Términos para recordar

& >

#

& > >

& { Kk ? ? ? # ? &

& % K` _

# + # &

& k>W #

&!

#K_-?

# &

& ! K_k # &

& " #

_ +

Ejercicios propuestos

Atributos

Características

Características cualitativas Característica cuantitativas Elemento o unidad

Error Estimador Estimador puntual Estimador por intervalos Estadísticas temporales Estadísticas internas Estadística

Estadísticas externas Estadísticas

Estadígrafo Estadístico

Estadística descriptiva Estadística analítica Estadísticas primarias Estadísticas secundarias Fenómeno o hecho Inferencia

Marco Muestra

Muestra probabilística Muestra aleatoria Parámetro

& &

Población o universo Sorteo

Selección sistemática Variable

(28)

& &

& ^ k }

& } k & & K& { & { k& &" [ } ^_ * * * K $ &

& k } *W & * W & *W * W &

& _ ? W }

" # # k k & " # # $

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' k ? k &

^ _ k _ k ?? ? &

k + k &

& K # } & & & & & & }

& _ [ & & > & _

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& } & & K[ & K & K k # W& &

(29)

& k

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& ![[_k

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}

& _ & _ &

&

& k

& " # K}

& & ^ [

& ! k [[

&

& _ &

(30)

(31)

CLASES DE INVESTIGACIÓN

Lainvestigación estadística, por sencilla que sea, es una operación com-pleja, que requiere atender múltiples aspectos, y que genera muy variadas funciones.

* k ? $ de los fenómenos que se desean estudiar y de la facilidad que se tenga para observar los elementos.

Investigación interna. Dentro de la misma empresa se originan una serie de fenómenos, tales como datos registrados por el departamento de contabilidad, k $ _ k_ + con períodos anteriores. En el caso de las ventas, las cifras obtenidas y ordenadas k < también entre los vendedores de la compañía, entre los departamentos que tenga [ $ &*[[ _ ? # ? ?+ k W ?kk $ información en tal forma que permita la aplicación de métodos estadísticos a &

Capítulo

2

Objetivos

! $ k &

{ k &

% K +$ _> &

Contenido

Clases de investigación

Etapas en una investigación: Planeación, Recolección,

+'&

Investigación estadística

(32)

Investigación externa." $ $ ? ?K investigación es establecer la posición relativa de la empresa en el mercado, y en especial conocer la tendencia de los consumidores, el comportamiento actual o futuro en relación con la calidad, precio, propaganda, modelos, etc.

* ` +? obtener la información necesaria que no se da en la investigación interna.

Investigación exhaustiva. Se denomina así a aquella investigación donde se observan todos los elementos que constituyen la población objetivo. Si fuéramos a investigar todos [ ` ? # &^ ? _ [ $ de la misma ciudad, o a los hogares de un barrio. Como se ve, la población la constituyen todas aquellas unidades objeto de estudio.

Por lo general, toda investigación que no sea exhaustiva es parcial y esta limitación _ K+&

Investigación parcial.^ $

exhaustiva y sólo se observa una parte de los elementos o unidades que constituyen la K?_muestra_{. Con la muestra, el objetivo no consiste en} examinarla, sino en estudiar la población a través de ella. La selección de un grupo de establecimientos comerciales al por menor, el de un grupo de hogares en un barrio, en una

$ ? ? + _población_,

son ejemplos de muestras.

ETAPAS EN UNA INVESTIGACIÓN

^k # K_ k k ++ que por lo general, se encuentran dispersas, y en forma desordenada. Se pueden

conside-rar tres clases de operaciones o etapas en una investigación: planeamiento,recolección,

procesamiento y análisis.

Planeamiento

' $ ?+ $ K+ $ K&!

de la etapa de planeamiento k

+ $ &

(33)

CAPÍTULO 2. INVESTIGACIÓNESTADÍSTICA 15

Objeto de la investigación

' k ?[

+k?_{formulando el problema}_{en tal forma que}

_{objetivos generales}_{y los}_{y, de ser posible, una}

jerarquización de los mismos.

En esta fase se deben contestar los siguientes interrogantes:

a) ¿Qué se va a investigar?

b) ¿Cómo $ ^ +>

$ &

c) ¿Cuándo $ *k[ &

d) ¿Dónde $ * ?$ [ &

Kk ?k>

k?_ ? [

-servación, número de cuestionarios, tiempo y costo de la investigación, etc.

Unidad de investigación

Launidad es la fuente de información, es decir, a quién va dirigida la investigación, la cual puede ser una persona, una familia, una vivienda, un establecimiento comercial, industrial o de servicio público, una explotación agrícola o ganadera, y su determinación depende del objeto de la investigación.

La unidad debe ser clara? _ k < ?

adecua-da <_mensurable_{, que permita ser medida, y}_comparable_{con los}

resultados obtenidos en investigaciones similares.

Al lado del elemento principal que posee la información, se presenta con mucha fre-cuencia, la necesidad de establecer otras unidades denominadas secundarias, cuando se

aplica el muestreo aleatorio por etapas.

Clase de estudio

* [ +k k $ } a) Investigación descriptiva

b) Investigación experimental o investigación controlada

c) Investigación explicada o analítica.

La distinción entre la investigación descriptiva y la analítica, en algunos casos no

es muy clara. Se dice que la primera consiste en obtener información con respecto a grupos, en cambio en la analítica permite establecer ciertas comparaciones y sobre todo [&* ` ? ?+ k> se produce un caso particular.

(34)

Examen de la documentación y metodología

* [ $ ? < K + _ $ &* ?[ $ ? k ? $ + K+? ? K # $ &

Método de observación

$ K ? ?+ k_ $ ?k k k $ ??>k ?? va a estudiar la población en su totalidad o sólo una parte de ella.

En el primer caso lo hemos denominado investigación exhaustiva, enumeración

completa o censo, y, en el segundo, muestra. La elección de uno de los métodos, censo

omuestra, depende entre otros factores, de:

- Tiempo disponible - Recursos humanos

- Finalidad de la investigación

- Número de unidades que componen la población. - Características a investigar

- Si el elemento seleccionado se puede destruir en el proceso de medición o control de la característica

- El grado de variabilidad

Muestreo

+# ?$ ?? + $+ W k & [ + >? }

- Grado de precisión requerida para los estimadores - Tamaño de muestra

- Costo y tiempo

Muestreo probabilístico

Dentro del método de muestreo probabilístico,muestreo aleatorio o al azar, se usan

(35)

Muestreo aleatorio simple. Este método permite que la selección de todos los elementos que constituyen la población tengan la misma posibilidad de ser incluidos en la muestra. Cada elemento que constituye la muestra puede haber sido seleccionado una

$? k ? _{extracciones sin reposición}<

? $ ? situación que puede ocurrir cuando la población es pequeña o cuando el elemento no se

+< k _{extracciones son realizadas con reposición.}

El método de muestreo aleatorio simple es de gran importancia cuando la población

? ? k & >

-terística que se investiga presenta poca variabilidad o cuando la población facilita su ? ?[ &

La selección de las unidades se puede hacer de diferentes maneras: por sorteo o

utili-$ _{las tablas de números aleatorios}? W K ?+ k[

_ ? [ +&

-ción de estas tablas (ver tablas anexas) se procede de la siguiente forma: a) se enumeran las unidades que conforman la población objetivo, partiendo desde 01 hasta 99, desde [ ?+ # < $ < $ _ ?#? K [ _ [$ <W ? los números superiores al tamaño de la población. La calculadora, la aplicación del excel permiten la selección.

' Denominado también muestreo aleatorio

res-tringido, es aquél donde la población se , es decir, se forman grupos o estratos, _ k # k &* $ [> ?

?+? ?k_{muestreo aleatorio}

simple? K k$ [k &%

_ &

Dependiendo de la distribución de los elementos que deben ser muestreados en los _ ? }

a) Igual tamaño. Cuando los elementos que constituyen la muestra se reparten por igual en los diferentes estratos muestrales.

b) Proporcional. Los elementos se distribuyen en los estratos muestrales proporcional-mente al tamaño de los mismos en la población.

c) Óptima. Cuando el tamaño de la muestra depende del grado de variabilidad en cada estrato poblacional y del costo que representa el elemento o la unidad.

Muestreo sistemático&*>$

(36)

igual al valor obtenido al dividir el tamaño de la población por el de la muestra. Luego se toma aleatoriamente una observación. Supongamos que entre el 01 y 10 se seleccionó + ? ??+ así sucesivamente.

Muestreo no probabilístico

En el muestreo no probabilístico se toma la muestra de cualquier tamaño y los

ele-mentos son seleccionados de acuerdo con la opinión o juicio que tenga el investigador sobre la población. En el caso de una población homogénea, la representatividad de tal muestra puede considerarse satisfactoria.

Por lo general, las unidades son seleccionadas caprichosamente, por conveniencia, en

formavoluntaria o por cuotas, tal como sucede en las encuestas de opinión? $

_ &

Por otra parte, en problemas comerciales diarios y en la toma de decisiones que a falta

de tiempo no permiten diseñar métodos de muestreo probabilístico, hay que recurrir al

muestreo no aleatorio, siendo el método dirigido &

Proceso de recolección

" $ _{correo, entrega personal del cuestionario,}

en-trevista, panel, observación directa, motivación, teléfono, otros.

Las encuestas por correo tienen algunas ventajas, tales como las de ser poco costosas,

ya que el valor de recolección corresponde al valor del envío y retorno del cuestionario. ? _ ? ? las instrucciones son precisas. Ahora bien, si el servicio es bueno, la recolección se hace &

Las ventajas en el uso del correo, son las mismas que las establecidas en la entrega

personal ? ` #&

Ambos procesos de recolección presentan casi las mismas desventajas: extravío del

cuestionario, la no devolución, falta de contestación a determinadas preguntas, demora en la devolución, uso de abreviaturas, mala letra, preguntas mal respondidas, etc.

Laentrevista es un buen proceso de recolección, ya que permite recoger el mayor nú-mero de cuestionarios, se obtienen respuestas a todas las preguntas, se aclaran las dudas _ ?[ < K + ?+ kk+[ &'? &

En la encuesta por panel o cuadros constituidos por las familias o los individuos de los

(37)

la composición del cuadrok _ < _

?> < _panel_{hay que}

k &

La encuesta por observación no requiere de cuestionario, ya que no hay respuesta de

los entrevistados. Por ejemplo, si examinamos el número de personas que entran en un > # ? comprador, si lo adquirió o no, o si consiguió algo distinto.

La observación puede ser directa como su nombre lo indica, la recolección de los datos

se hace observando directamente el hecho.

Esindirecta cuando la tarea de recolección consiste en corroborar los datos que otros han observado.

En la encuesta por motivación, el entrevistador pregunta libremente sin estar sometido

$_ ? ` k &'k#? k `&* proceso es costoso, requiere demasiado tiempo y no se pueden hacer cómputos, por la $ &

La encuesta por teléfonose emplea de preferencia para estudios de radio y televisión,

cuando se requiere determinar la sintonía en el momento de comunicar, y las preguntas [ k[ &* $ directorio telefónico para seleccionar los informantes, lo que es desventajoso, pues se ex-cluye a aquellos que no tienen dicho servicio. El proceso consiste en exponer brevemente K ? +_ del cuestionario, que deben ser pocas, cortas, claras y precisas.

Preparación del presupuesto

$ >? k $ &

En la elaboración del presupuesto deben tenerse en cuenta las diferentes etapas de &"k elaborar el presupuesto:

Organización:

- Estudios preliminares - Asesorías

- Trabajos experimentales

K

- Propaganda

- Impresión de los formularios - Capacitación de personal - Contratación de servicios auxiliares

- Uso de equipo, computadores, papelería, etc. - Locales.

(38)

- Recolección

- Transporte

Trabajos de campo: Tabulación o procesamiento Publicación

Calendario de trabajo

Se trata de un ordenamiento de las diferentes etapas involucradas en la investigación, _[ + ? fase, procurando que se cumpla dentro del tiempo establecido. También es una forma de determinar el tiempo total de la investigación.

" _ K &* &+ & K &

" & _ +k &^

denomina!(+ k

# ? k de ejecución. Puede verse que los estudios preliminares se han ejecutado en su totalidad, ?[ $ &

Tabla 2.1

ETAPAS FECHAS Inicial Final

&* { {{

& { {{

&* ` {{ {{

4. Recolección 30 - VII 18 - VIII

5. Tabulación 15 - VIII 10 - IX

(39)

Preparación del cuestionario

En la elaboración del cuestionario o formulario se deben considerar dos aspectos:

1. Aspectos materiales

- Tamaño del formulario? k k

manejo y archivo.

- Lacalidad del papel k $ ?

recolección, del tipo de impresión y otros aspectos.

- Elcolor de la tinta y del papel no debe molestar la vista de la persona que lo va a ? &

- Tipo de impresión a emplear

&_{Aspectos técnicos}

- Incluir únicamente las preguntas indispensables.

- Las preguntas deben ser claras, concisas y comprensibles para quien las hace y para quien las responda.

" ?$ _+ _#&

- No se deben emplear abreviaturas.

- Se deben suprimir las preguntas que, de antemano, se considera no van a ser con-testadas.

- La pregunta debe ser de tal claridad que, siendo formulada en lenguaje corriente,

atienda a la técnica de investigación.

- Las preguntas deben ser cortas, para que faciliten su retención.

ETAPAS MESES

junio julio agto. sept.

1. Estudios preliminares

&

3. Encuesta preliminar 4. Recolección 5. Tabulación 6. Publicación

(40)

En cuanto a las partes que constituyen un formulario, por lo general, se considera dividido en tres:

a) Encabezamiento. En él se incluye: nombre o título de la investigación, en tal

forma que resuelva los interrogantes: qué, cómo, cuándo y dónde<

<_ + casos el del informante.

b) Cuerpo. < _ ? k

_ ?$ ? ?? estado civil, edad, profesión, nombre del establecimiento (industrial, comercial, pú-? $ pú-? pú-?pú-? pú-?& " $ K&

Las preguntas pueden ser de diversas clases, a saber:

- Preguntas cerradas.*> _ ?

por ejemplo: ¿Conoce usted tal producto? Sí o No.

Esta forma de preguntar tiene la ventaja de disminuir el tiempo en la recolección y los ? _ + &*

preguntacerrada, con tan sólo dos posibilidades de respuesta, se denomina dicotónica

o de alternativa.

Cuando la pregunta cerrada ?

denomina de selección múltiple. Un ejemplo de selección múltiple sería: ¿Ha comprado

? $?

Belmont Free

Kent Parliament

Lucky Montecarlo

Marlboro Pielroja

Mustang Royal

Kool Moore

- Preguntas abiertas. Son aquellas denominadas de opinión o de respuesta libre. Por ?> + que ser manual. Por ejemplo: ¿Qué opinión le merece la calidad del cigarrillo Belmont?

- Preguntas de control&^[ _ &

Por ejemplo, en el caso de la pregunta de selección múltiple sobre las marcas de cigarrillos,

k` ? _ k tener precaución con el resto de las respuestas dadas por el informante.

)&!& k la entrevista o si por el contrario se requiere pasar a otro grupo de preguntas, que corres-pondan a ese tipo de informante.

(41)

+ k >$ ? }

- Preguntas introductivas: que tratan de introducir al informante en el tema de ? _ $ K ? + prevención que pudo haberse formado con respecto a la entrevista.

- Preguntas en batería: serie de preguntas encadenadas y complementadas entre sí, con _$ >&

c) Instrucciones. Pueden considerarse como parte del cuestionario. Para algunas personas, > $ ?? ? k k[ #< $ ? del formulario o en una cartilla anexa. Sostienen que esta forma de colocar las instruc-ciones, cuida la presentación del formulario.

$ _cuestionario?>

-terminar, entre otras cosas, si las preguntas y las instrucciones fueron correctamente elaboradas, conocer la reacción de los informantes frente a determinadas preguntas, el +?W?_ $ con el formulario.

- Selección y preparación del personal

* _ k +_

k+ &^ ? experiencia, pero debe capacitarse. Los entrevistadores, a la larga cumplen una etapa # ? ? k &" k[ + [[ W?> k ? < [#?k debe tenerse especial cuidado en la selección y adiestramiento de este personal.

Algunos criterios que se deben tener en cuenta en la selección y preparación de personal:

*W W_ a entrevistar.

- El mejor conocimiento que se tenga del formulario y del objeto de la investigación [ K_ &

|K ` ? W _ k &

" k ? _ ? técnica del interrogatorio.

- Que el entrevistador reúna ciertas cualidades morales, de tal manera que tengamos la seguridad de que no va a falsear las respuestas, evitando el diligenciamiento sin la presencia del informante.

(42)

- Tratar de seleccionar a personas que tengan ciertas cualidades de sociabilidad, cortesía, presentación personal correcta y sencilla, que utilicen las palabras, gestos y tono que ? >` &

Los procedimientos de selección, en términos generales, son: a) Pruebas de selección,

y b) Entrevistas.

a) Laspruebas ? ?[ ?

personalidad, así como habilidades especiales deseables para la clase de $ &K? trataría de medir la habilidad para leer mapas.

b) La entrevista personal? _ ?

ofrece la oportunidad de evaluar ciertas características personales, como: facilidad de expresión, manera de presentarse, actitud hacia el trabajo, etc. Sin embargo, este método no es siempre aplicable si se requiere un número grande de candidatos &

Preparación y actualización de listas de informantes

Se debe preparar un listado de todas las unidades que componen la población objetivo + &* [ ?> + $ & ? + < <_?

son ejemplos de un listado de informantes. Al listado se le denomina marco muestral

también puede ser un mapa o un croquis.

Propaganda

En algunas investigaciones, es conveniente dar a conocer a los posibles informantes, ? k ? para lograr un completo éxito en el trabajo propuesto.

El pretest

Consiste en una encuesta preliminar para tener un mayor conocimiento sobre la

K+_ &$ _pretest_también

para estimar el costo y tiempo necesario, así como para tener alguna idea de variabilidad de las características bajo estudio.

*_ ?_

? _{diseño del plan de muestreo}<

? ? k ? suelen ser útiles para el diseño de futuras encuestas.

(43)

Otros aspectos

Hay otros aspectos no menos importantes que los anteriores y que el investigador, en muchos casos, no debe ignorar:

- Delimitación del tema. Se debe establecer si el tipo de investigación es exploratoria, descriptiva, explicativa o experimental.

- Marco teórico. Guarda relación con el anterior.

[ K#?[&

- Formulación del problema. - Formulación de hipótesis.

Recolección

Terminada la etapa de planeamiento, se procede a distribuir y a recoger los

formula-rios, controlando el número de formularios entregados y recogidos y, al mismo tiempo, _ &

" $ K_{de campo}_o_{de recolección}_{contempla, entre otros, los}

siguientes puntos: - Supervisión

- Control de encuestas

- Revisión de los cuestionarios inconclusos - Calidad y consistencia de las respuestas

$K

- Distribución de los entrevistadores

Algunos de los errores que se pueden presentar en la recolección de datos se

clasifican en:

* # &

* &

- Mal diseño del cuestionario. - Falta de instrucciones o imprecisas.

Pueden presentarse algunos casos que afectan la recolección de los datos y que deben ser corregidos:

- El informante no quiere suministrar los datos, alegando estar ocupado, motivos #? $ ? k ?& - El informante no puede responder por problemas, como, enfermedad, incapacidad

física, idioma, etc.

- La dirección del informante es errónea, o la unidad existente en el lugar no es elegible. - No hubo contacto con el informante, la familia estaba paseando, demolición del

(44)

Procesamiento y análisis

La información obtenida debe ser % % *,

> &" } ,tabulación,análisis e interpretación,informe y publicación.

-Cumplido el proceso de revisión de cada una de las respuestas obtenidas, se procede

a la ? $ &'k_

+ ? ? es decir, cada respuesta posible tiene el código impreso en el formulario.

Código es un número que sustituye la pregunta, cuando se va hacer el recuento. Por K? $ #+&

Usted es un trabajador Independiente...1

Asalariado...2

'[ ? ?

?}₀₁_Antioquia,₀₂'?&&&?₃₂_Valle.

El proceso de revisión del cuestionario se denomina crítica? +

_ ?k[ u omisiones, incluso cuando los formularios han sido diligenciados por encuestadores

+k_crítico_{puede subsanar}

directa-mente o pidiendo al entrevistador que vuelva a la fuente de información o recurriendo a la memoria del mismo.

- Tabulación

? $ $ +}

! _ k $ &

!W k _

!+?+ k?&

Cuando la tabulación se acuerda desde el principio, como parte integrante de la

pla-neación general de la investigación, es de suponer que todo el proceso sea totalmente satisfactorio, lo cual ha sido demostrado por la experiencia.

Elprocesamiento _ $ _crítica_{, o después}

de la & [ _ $ _listados_{, que deben}

k

& $[[ ? _{elaborar los cuadros}_{, con el}

_ _ ?_!_, _conclusiones_y

(45)

Análisis e interpretación

* _informe?+ k

k _ K + [ < ? _#? el investigador tiene pleno conocimiento de los problemas inherentes al planeamiento de una investigación.

En este proceso se debe considerar la elaboración de distribuciones o tablas de

frecuen-cias? > $ _

en forma de cuadros. Con los anteriores resultados se procede luego a hacer un resumen y a

la aplicación de las diferentes medidas, que hemos denominado estadígrafos o estimadores

puntuales, cuando son aplicados a las características de las unidades en la muestra o como

parámetros # ? _{medidas de}

dispersión y los promedios, incluyendo en éstos los porcentajes y proporciones.

Con las cifras resultantes, se pueden hacer comparaciones con otros estudios, para poder llegar a mejores conclusiones. De esta última fase de la metodología se puede decir que encierra dos aspectos:

'+ # &

'+ > $ &

* + los resultados obtenidos de la investigación.

Informe

Finalmente, se llega a la etapa de elaboración del informe, ya sea para uso interno de

la empresa o para terceros.

" + _ ? W

-gación y a la culminación de los trabajos que la misma causó.

A pesar de que el informe constituye un todo indivisible, podemos considerar tres

_ }_{introducción, conclusiones}_{, y}_apéndices.

- Introducción&* _$ K+ ?

K ? k < ?

k # $ &^[

kK $ ? K K?> ?>

$ < ? #

-nario, las preguntas que dieron lugar, la indicación de la fecha en que se inició y terminó _ &* ?_ + ? [ ` ? + ? + otros resultados, consecuencia de la aplicación de métodos estadísticos.

(46)

- Conclusiones. Constituye la parte fundamental del informe, ya que en ella aparecen relacionados los resultados obtenidos, la confrontación con lo esperado, la exposición de +k>k&*_? ? ? ? + k[ comprensible la explicación y, sobre todo, se deben presentar las recomendaciones.

- Apéndice. Integra toda la documentación que se ha citado en la introducción y en las ? k +_ k información contenida en el informe.

El profesor John W. Best en su libro Cómo investigar en educación nos da una posible

# ?}

1. Título:

+

,-+ ,.-& * }

+ ,"$

- ,

-

,"!- ,/!

$+ ," -+ ,"-3. Revisión de la bibliografía relacionada:

,- ,"$*!- _,

!*-& $ }

_,"

0-

,0- _,"

- _," -

,"- ,"!- _,"

*-

,-& ' }

_,

!-

,- _,!

(47)

,"-CAPÍTULO 2. INVESTIGACIÓNESTADÍSTICA 29

6. Resumen y conclusiones: _,"

- _," -

,"$*!- _,

1-

Publicación

_ ?+ [ las personas interesadas el resultado del estudio, teniendo en cuenta todos los aspectos considerados en el proceso, de tal forma que los datos sean comprensibles, con la $ &

*> k_} &

K & kk &

` # ? + & Proceso de selección de las unidades de información y de recolección.

^_ _ $ ? +K ?_ + ? k &

* _ ? _apéndice_{, donde se}

+ ?k

_ & >

-taria al informe.

En este capítulo se quiere resaltar, que no todas las investigaciones requieren ser llevadas a cabo, debido al hecho de que en algunos casos se dispone de información, obtenida en investigaciones realizadas con anterioridad, por la misma entidad o por otras. En ocasiones dicha información puede ser considerada como complementaria a la nueva investigación.

Una investigación requiere en la primera etapa ante todo de un planeamiento, que comprenda:

- Fijar los objetivos de la investigación, determinando si el fenómeno puede ser observado mediante la aplicación de métodos estadísticos.

- Establecer la unidad o unidades de observación.

- Determinar, si se trata de un censo o de una muestra.

- Si la encuesta se va a hacer mediante entrevista, entrega personal del cuestionario, por correo, teléfono, observación o panel.

(48)

- Elaborar el presupuesto.

- Diseñar el calendario de trabajo.

- Diseñar el formulario e instrucciones.

- Seleccionar y capacitar a las personas que van a trabajar en la investigación.

- Hacer una pre-encuesta.

A la segunda etapa corresponde:

- Distribución y recolección de formularios.

- 23!

- Se debe efectuar un control sobre la calidad de los datos.

La tercera y última etapa comprende: - Elaboración de códigos.

-- Elaboración de cuadros de tabulación.

- Selección del proceso de tabulación, si es manual o mecánico.

- !

- Análisis y comparación de los datos.

- Publicación.

Las etapas que requieren una investigación estadística, se sintetizan en la Figura 2.1.

Cuestionario o formulario Muestreo sistemático Encuesta por panel Marco teórico Entrevista personal Números aleatorios

Formulación del problema Objetivo de la investigación

(( &

Investigación descriptiva Preguntas cerradas Investigación controlada Preguntas de control

Investigación explicativa Preguntas de selección múltiple Investigación interna Preguntas abiertas

Investigación exhaustiva o total Preguntas en batería Investigación parcial o muestra Preguntas inductivas

4! &!

Muestreo aleatorio simple Selección sin reposición Muestreo probabilístico Selección con reposición

' 50

(49)

& ^ siguientes observaciones:

1.1La investigación preliminar permite: a) Establecer la hipótesis

b) Determinar la muestra

c) Coordinar el personal de campo d) Ninguno de los anteriores

&' k ? estadística requiere:

a) Que exista un objetivo. [ + $ c) Que se tenga un problema d) Ninguno de los anteriores Figura 2.1. Etapas en una investigación (resumen)

Formulario Formulario

Listados

Archivo Formulario

K+ Métodos de investigación: censo o muestra Proceso de recolección

Planeamiento _Presupuesto

Formulario - Lista de informantes Calendario de trabajo - Mapas Encuesta preliminar

Distribución del material

Recolección _Recolección

+ W _

rios y calidad de la información

Procesamiento y análisis

y recuento

Revisión

Análisis

Publicación

Ejercicios propuestos

(50)

1.3El costo de una encuesta por correo es generalmente:

a) Igual al de una encuesta por medio de entrevistas personales.

b) Mayor al de una encuesta por medio de entrevistas personales c) Menor al de una encuesta por

medio de entrevistas personales d) Imposible de medir en relación

con el costo de una encuesta por medio de entrevistas personales.

1.4En el diseño del cuestionario las _# } a) Al principio, para salir

_#& b) En el centro para que sean

+ _

' ? k [ +

$ & d) Ninguna de las anteriores.

& _ ? W caso:

a. Código es la representación cualita-tiva de un hecho cuantitativo. b. Las instrucciones permiten

diligen-ciar mejor el formulario

& _ $ &

d. Un formulario debe llevar una sola clase de preguntas.

e. La recolección de datos se puede hacer únicamente mediante la ob-servación directa.

f. Después de elaborar el formulario se K & g. Al recolectar información por medio

de entrevistadores, se tiene la ventaja de que éstos pueden observar el sitio & h. Se conoce como fuente primaria

aquella donde se obtuvo inicialmen-te la información, directameninicialmen-te a la persona o entidad.

i. Al diseñar un cuestionario no es de gran importancia la forma como se hace la pregunta, siempre que ésta sea clara.

j. No hay posibilidad alguna de que en una encuesta por correo se in-terpreten mal las preguntas de un cuestionario, siempre y cuando la persona que la conteste sepa leer. k. El examen de la documentación y

metodología se efectúa después de tabulada la información.

3. Se ha dicho que en una investigación se k? $? _ & son? ¿Podría usted reagrupar los títu-lares de este capítulo en un índice de temas de acuerdo con estas etapas?

4. Mencionar algunos aspectos técnicos y materiales que deben tenerse en cuenta en el diseño de un formulario.

(51)

SUMATORIA SIMPLE

6 1 i i∑= X

Capítulo

3

3 at ias

d ct ias

at ias

d ct ias

Nos encontramos frecuentemente en estadística con la suma de un W>& ? #[ &^k números y se desea sumarlos:

"

$ + ? &

Dondea, b, c,...,f, }???&&&?[

?k & W [ ? _ ? [#k

i, &

'#? } # }

[ ^ _ ?

sigma (?k ? _n_términos.

Entonces:

* $ _i$

i $ ?

`}

1

=

∑

n i

i donde:

6

1 3 4 5 6

1 i i

X X X X X X X

= = + + + + +

∑

10 1 18 13 5 65

= + + + + + = S

= + + + + + S a b c d e f

(52)

#

sumatoria

i elemento genérico de la sumatoria

#_

" ?K?_{sumatoria de i 1 hasta n de i}

En el caso de utili ar a i k

k ?#_ [ #&

#? } ₁ ₂

y la sumatoria sería:

* k # _i^ ? _i_toma

? [[ ? ? ?? ???? &*?

$

i

-? [ # }

Cuando la sumatoria tiene el término i

>? k_i_toma

?_ ?# _[ &

'#?K?#+_} i i=

∑

= + + + + + = 1 6

1 2 3 4 5 6 21

^ ? #__ }

9 5

5 6 8 9 35 i i = = + + + + =

∑

i i = + + + + = =

∑11 8 9 10 11 45

> # >

suma:

6

3 4 5 6

3

= = + + +

∑

i

A A A A A Ai A A A A

i∑=

= + + +

5

3 4 5

*$_i #?K_j_:

6

3 4

= = + + + =

∑

i

K K K K K K 5

3 4 5 j

j

A A A A A

= = + + +

∑

6

3 4 5 6 3

= = + + +

∑

i i

A A A A A

}

4

1 3 4

1 1 3 4 1 4 56 88

i i i = = + + + = + + + =

∑

4

1 3 4

1 4 8 16 30

= = + + + = + + + =

∑

i i

6

1 3 4 5 6

1 i i

X X X X X X X

= = + + + + +

∑

6 1

10 1 18 13 5 65

i i

X

= = + + + + + =

(53)

CAPÍTULO 3. SUMATORIASYPRODUCTORIAS ₃₅

i i 1

4

1 3 4

=

∑

=

+

X

_i

X

i=

∑

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

[

+

]

1 4 2

1 2 3 4

2

Propie a es e la sumatoria

' $

esta-dística? k

> + &

- La sumatoria de una constante , desde uno hasta n, es igual a n veces la constante:

1

...

= = + + + + =

∑

n i

K K K K K K nK *K} 6

( )

3 4 8

= = + + + = =

∑

i $ k 1 = =

∑

n i

K nK+ k

#_&^_ _ }

6

3 4 5 6

3

= = + + +

∑

i i

A A A A A ^}A A4 A A

? $ _A_i ? } 6

3

4

= = + + + =

∑

i

K K K K K K

'[ ?}

( )

6

3 4 8

= = + + + = =

∑

i

- La sumatoria del producto de una constante por una variable es igual al producto de la constante por la sumatoria de la variable:

( )

(

)

1

1 3 ... 1 3 ...

= = + + + + = + + + +

∑

n i

Ki K K K K n K n

*K} 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 3 4 5 4 6 8 10 30

= = + + + + = + + + + =

∑

i

^ `} 5

(

) ( )

1

1 3 4 5 15 30

= = + + + + = =

∑

i

- La sumatoria de dos o más variables, entre paréntesis es igual a la suma de las sumatorias de cada una de las variables ley distributiva :

(

1

) (

1 1 1

) (

)

1 ...

= + + = + + + + + +

∑

n i i i

X Y Z X Y Z X Y Z

^

(

₁

)

1 1 1 1

= + + = = + = + =

∑

n i i

∑

n i

∑

n i

∑

n i

i i i i

(54)

Fórmulas especiales sobre sumatorias

*` _ _especialesk _nW?

+_n?&

a)

(

)

1 1 = + =

∑

n i n n i *K} 10

1 1 3 4 5 6 8 9 10 56

= = + + + + + + + + + =

∑

i

i 10

(

)

( )

1

10 10 1 10 11 110 55 = + = = = =

∑

i i

(

)(

)

1 1 1 6 = + + =

∑

n i

n n n i

*K}

10 1

1 3 4 5 6 8 9 10 385

= = + + + + + + + + + =

∑

i i

(

)(

)

( )

10 1

10 10 1 0 1 110 1 385 6 6 = + + = = =

∑

i i

c)

3

(

)

1 1 = + ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑n i n n

i _i i

3

1

5 _{5 5 1} ₃₀

15 5 =

∑

=⎡ + ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = ⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = = ( ) PRODUCTORIA

^$ +W ?k_{producto de}? ?

>?k?> K+ `#_+k [&'#} j j=

∏

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 1 5

1 3 4 5 1 0

3 1

1 3 1 4 9 36

= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

∏

i

3

1 1 3 36

= = ⋅ ⋅ =

∏

j

4

1 3 4

1

= = ⋅ ⋅ ⋅

∏

i i

X X X X X

(55)

CAPÍTULO 3. SUMATORIASYPRODUCTORIAS ₃₇

Propie a es e la pro uctoria

? >

&

- La productoria de una constante es igual a una potencia, donde la base es la constante y el exponente es el límite superior del producto.

< *K}

- El producto de una constante por una variable es igual a la constante elevada al límite superior por la productoria de la variable:

(

1

)(

3

) (

)

1

...

= =

∏

n i n

i

KX KX KX KX KX

(

)(

1 3

)

1 ... ...

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = n

_∏

n

n i

i K K K X X X X K X

[

]

( )

3 3

3

1 1

8 1 3 8 6 48

i i

= = = = ⋅ ⋅ = =

∏

La sumatoria se simboliza por una letra griega denominada sigma , la cual indica la suma de las cantidades u observaciones que siguen al símbolo.

La productoria se simboliza por otra letra griega denominada pi , indicándonos el producto de las cantidades u observaciones que siguen al símbolo.

n "#

Sumatoria

1

=

Σ

n

i

i 1

"#_k

i *>

∑

^ _érminos

Producto de los términos

Productoria 1

=

∏

n i

i

"#_k

n "k