Facultat d’Educació i Psicologia
Grau en Mestre/a d’Educació Primària
Curs 2011-2012
DIDÀCTICA DE LES MATEMÀTIQUES II
PROFESSORS: Josep Callís i Margarida Falgas
2 INDEX DE CONTINGUTS
INTRODUCCIÓ
1.- MARC TEÒRIC
I. EPISTEMOLOGIA DEL TERME
5 6 7
1. El (mega)concepte de fracció 7
1.a. Introducció 7
1.b. Diferents interpretacions 8
1.c. Classificació 10
2. Una mica d’història 11
2.a. Per qui i per què van ser creades? 11 2.b. Les fraccions en els diferents currículums abans d’instaurar-se l’EGB 11 2.c. Les fraccions a l’Educació General Bàsica (EGB) 14
II. LLEIS I FENOMENS 15
1. Lleis generals 15
2. Lleis i propietats presents a la suma i resta de fraccions 18 3. Lleis i propietats presents al producte i la divisió de nombres racionals 20 4. Potenciació i radicació de fraccions 23 III. CAMPS D’INFLUÈNCIA, DESENVOLUPAMENT COGNITIU I PROGRESSIÓ EN L’APRENENTATGE
24
1. Desenvolupament del concepte de fracció com a part d’un tot 24
1.a Primeres nocions de fracció 24
1.b Dificultats i errors 25
2. Fraccions, aritmètica i mesura. 26
Introducció 26
2.a La relació part-tot i la mesura 30
2.a.1. Representacions contínues (àrea) i discretes 30
2.a.2. Decimals 34
3
2.b. Les fraccions com a quocient 37
2.b.1. Divisió indicada (repartiment) 37 2.b.2. Les fraccions com elements d’una estructura algebraica 42
2.c La fracció com a raó 42
2.d La fracció com a operador 43
3. Les fraccions i la geometria 44
Introducció 44
3.a.1. Els atributs de la relació part-tot 46 3.a.2. Els contextos de la relació part-tot 48 3.a.3. La relació part-tot com a generadora de llenguatge i símbols 49 3.b. El treball inicial amb la relació part-tot 50
3.b.1. El tamany de la unitat 52
3.b.2. Situacions en què la idea de fracció no és aplicable 53
3.b.3. Dues direccions 54
3.b.4. Una recapitulació 55
IV. UNA POSSIBLE SEQÜÈNCIA PER L'ENSENYAMENT DEL CONCEPTE DE FRACCIÓ:
56
1. Diferents nocions en el concepte de fracció 56
2. Una primera aproximació 57
3. Les primeres translacions entre les representacions. El paper de les fraccions unitàries
59
4. La forma escrita de la relació part- tot: les fraccions 61 4.a. Els diagrames i la forma escrita 61 4.b. El problema de les cites perceptuals 64 4.c. Les fraccions unitàries, el comptar i les operacions amb fraccions 65 4.d. La utilització d'altres concrets 67
4.e. Els contextos discrets 68
4
V. LES FRACCIONS I EL CURRÍCULUM
2.- RECERCA: LES FRACCIONS ALS LLIBRES DE TEXT
78 82
3.- PLANIFICACIÓ DE LES ACTIVITATS 4.- DOSSIER D’ACTIVITATS (Índex propi)
105 108
5.- AVALUACIÓ 175
6.- CONCLUSIONS 178
7.- BIBLIOGRAFIA 180
5
INTRODUCCIÓ
A continuació presentem la maleta pedagògica “Les Fraccions” pensada i desenvolupada a partir del mòdul de Didàctica de les Matemàtiques II, que s’imparteix en els estudis de Mestre d’Educació Primària de la Universitat de Girona durant el curs 2011-12.
Seguint l’estructura tradicional de qualsevol producció acadèmica, però fent també un símil amb la praxi que proposa Freire de reflexió i acció per a una transformació, hem organitzat el treball en dues parts: una fonamentació teòrica i una proposta d’activitats o d’acció.
En la primera part, hem destinat unes pàgines a exposar el marc teòric en què se situa aquest treball de la Didàctica de les Matemàtiques II. Aquesta maleta ens ha estat útil per a compilar, estructurar i relacionar el que hem anat veient al llarg de les sessions d’aula. Així doncs dins aquesta part comencem amb la epistemologia del concepte de fraccions, junt amb la seva història i la seva funció dins l’escola, per que van ser creades, diferents interpretacions, etc. Continuem amb un segon apartat que ens parla de lleis i fenòmens, on podrem llegir diferents lleis generals entre d’altres. Seguidament, en un tercer apartat anomenat camps d’influència, desenvolupament cognitiu i progressió en l’aprenentatge on podrem aprendre diferents aspectes de les fraccions, en un quart apartat trobem una possible seqüència per l’ensenyament del concepte de les fraccions, seguidament en l’apartat cinquè fem una recerca per veure les fraccions en els llibres de text i per últim expliquem la planificació de les activitats. La segona part del treball és la presentació de vint-i-vuit activitats de fraccions destinades a nens i nenes de cicle mitjà i en especial al cicle superior, ja que, és on es treballa més el món de fraccions. Per poder fer més funcionari i més simple alhora de triar les activitats hem dissenyat un segon índex.
Tornant a la praxi de Freire, aquestes pàgines són la nostra proposta d’acció per a transformar el món, el món de les fraccions dins d’una escola en que la seva pràctica es tradicional i nosaltres volem innovar.
7
I. EPISTEMOLOGIA DEL TERME
1. El (mega)concepte de fracció
1.a. Introducció
La paraula fracció ve del llatí fractio, que significa trencar, i va ser utilitzada per primera vegada al segle XII, quan Juan de Luna va traduir a aquest idioma l'Aritmètica àrab d'Al-Juarizmi.
Segons la definició proposada per L’Institut d’Estudis Catalans, la paraula fracció té diversos significats:
-Acció de rompre, dividir en parts. -Part d’un tot presa a part.
-En matemàtiques, una o més parts alíquotes de la unitat. -Quocient indicat de dues expressions algebraiques...
Els nombres fraccionaris, o fraccions, són aquells que expressen un quocient. S’escriuen , essent a i b nombres sencers, i b diferent de 0. El número superior de la fracció s’anomena numerador, i l’inferior denominador.
8
-El numerador indica el nombre de parts iguals, o unitats fraccionàries, que es prenen o es consideren d’un tot.
-El denominador indica el nombre de parts iguals en què s’ha dividit aquest tot.
Donat que les fraccions expressen raons de nombres sencers, també se les anomena
nombres racionals, i n’existeix una quantitat infinita d’aquests. Els nombres que no poden ser expressats com a fraccions es diuen nombres irracionals.
El concepte de fracció presenta una pluralitat de significats i interpretacions, per la qual cosa alguns autors l’han considerat un megaconcepte (Malet, O.). Aquest megaconcepte presenta dues dimensions:
• Una dimensió dinàmica, que fa referència a accions com fraccionar (tallar en parts iguals, i seleccionar algunes); mesurar (comparar una dimensió d'un objecte amb un referent o unitat); comparar o relacionar quantitats, i operar (aplicar un operador de la forma a/b sobre una situació, o dividir dos nombres naturals, o repartir equitativament).
• Una dimensió estàtica, que fa referència als productes o resultats d'aquelles accions: la relació entre les parts i el tot fraccionat, la mesura, l'índex o raó o taxa de comparació entre quantitats, el resultat de l'operació.
1.b. Diferents interpretacions
Linares Ciscar i Sánchez García (2000) desenvolupen el concepte de fracció des de 4 interpretacions diferents. A continuació els anomenen breument per aprofundir-hi més endavant a cada un d’ells, contemplats dins d’un context escolar:
1. La fracció com a relació part-tot: en aquesta situació, el tot es pren com a unitat, i la fracció expressa un valor en relació amb aquest tot.
a) Representació en contextos continus o discrets: el tot pot ser de naturalesa
9 Exemple: en un dipòsit hi ha de benzina. La unitat equivaldria a 4 parts de benzina, o ; de benzina expressa la relació entre la benzina i la capacitat del dipòsit: de les seves quatre parts, 3 estan ocupades amb benzina.
b) Nombres decimals.
c) Com a representant d’un punt de la recta numèrica.
Exemple: A quin nombre correspon el punt A de la recta numèrica? Expressa-ho com a fracció. ( és una resposta possible, encara que no l'única…).
2. La fracció com a quocient: en aquest cas la fracció esta associada amb l’operació de dividir un nombre natural per un altre. Es respon a la pregunta
Quant dóna (una divisió entre dos números naturals)?, o, Quant li correspon a cada un (en un repartiment equitatiu)?.
Exemple: Hem de repartir 7€ entre dues persones. =3,5. a) Divisió indicada.
b) Com a element d’un cos quocient.
3. La fracció com a raó o recurs per comparar dos conjunts o dues mesures:
en aquest cas s’ha de respondre a la pregunta En quina relació estan?.
Exemple:
-El nombre d’alumnes de sisè A és del de sisè B (comparació entre conjunts). -El nombre d’alumnes de música és del total d’alumnes de la facultat (comparació d’un subconjunt amb el conjunt dins el qual està inclòs).
-La Maria pesa del que pesa en Pau (comparació entre mesures).
a) Probabilitat: podem representar la probabilitat de que un succés es produeixi i no, si considerem 0 com a impossible i 1 com segur i els situem sobre una recta. En aquest cas es podria representar la probabilitat amb una fracció que representés un punt de la línia de probabilitat.
10 Exemple: Si dins d’una bossa hi ha cinc bales vermelles i 15 bales blaves, quina és la probabilitat d’extreure, sense mirar, una bala vermella?
.
b) Percentatges: són un cas particular d’aplicació de les fraccions com a raó, ja que aquests no són més que la relació de proporcionalitat que s’estableix entre un número i 100 (tant per cent), un número i 1000 (tant per mil), o un número i 1 (tant per 1).
4. La fracció com a operador: en aquest cas, la fracció opera sobre un conjunt discret, una quantitat de certa magnitud o un nombre.
Exemple: en una classe de 24 nens ha aprovat l’examen de matemàtiques. Quants nens han aprovat?
1.c. Classificació
Les fraccions es poden classificar en pròpies, impròpies, unitàries, decimals i equivalents.
• Les fraccions pròpies són aquelles en què el numerador és més petit que el denominador. El seu valor està comprés entre 0 i 1.
Exemple: , ,
...
• Les fraccions impròpies tenen el numerador més gran que el denominador. El seu valor és més gran que 1.
Exemple: , ,
...
• Les fraccions unitàries tenen el numerador igual al denominador. • Les fraccions decimals tenen com a denominador una potència de 10.
Exemple: , , ...
• Dues fraccions són equivalents quan el producte d’extrems és igual al producte de mitjos: si a.d=b.c (a i d són els extrems, b i c són els mitjos). En canvi, són fraccions desiguals quan no es compleix aquesta condició.
11
2. Una mica d’història
2.a. Per qui i per què van ser creades?
L'origen de les fraccions es remunta a l'Antiguitat. És possible trobar mostres del seu ús en diverses cultures d'aquest període històric. Els babilonis les van utilitzar tenint com a únic denominador al número 60. Els egipcis, per la seva banda, les van emprar amb només l'1 com a numerador. Per exemple, si volien representar 5/8 escrivien: 1/2 i 1/8, considerant que 1/2 equival a 4/8. En tant, els grecs marcaven amb un accent el numerador, i amb dos el denominador.
En la història, és possible distingir dos motius principals pels quals van ser inventades les fraccions. El primer d'ells va ser l'existència de divisions inexactes . Aquestes són aquelles en què el quocient no és factor del dividend, i té residu. Per exemple: 5/3 representa 5:3. Com no hi ha cap nombre cardinal que multiplicat per 3 doni com a producte 5, el més exacte és escriure 5/3. El mateix succeeix amb 4/7. Un segon motiu pel qual es van crear les fraccions va resultar de l'aplicació d'unitats de mesura de longitud, és a dir, per mesurar.
En la Geometria observem que els traços es poden mesurar. Per realitzar els mesuraments de traços, es prenia un traç com a unitat de mesura, i es comprovava les vegades que es trobava dins l'altre. Com no sempre hi cabia de manera exacta, es dividia el traç que servia d'unitat en parts iguals i més petites, perquè el resultat fos exacte. Aquest resultat del mesurament s'expressava en fracció.
2.b. Les fraccions en els diferents currículums abans d’instaurar-se l’EGB
És una tasca difícil fer una breu trajectòria de les fraccions, ja que apareixen disperses en diferents cursos de varis nivells educatius.
12
centrava en desenvolupar habilitats rutinàries de càlcul, reservant per cursos posteriors el desenvolupament de la lògica.
Als anys 40, (Llei del 17 de Juliol de 1945), classificaven els coneixements en tres grups: instrumentals, formatiu i complementaris. Dins els coneixements instrumentals, que es consideraven aprenentatges indispensables, hi estava inclòs el càlcul. Els coneixements formatius es definien com la base de la formació moral i intel·lectual, referint-se aquesta última a les matemàtiques. Per últim, els coneixements complementaris eren aquells que es creien necessaris per completar la cultura mínima d’un estudiant que completés l’educació primària.
La mateixa llei senyalava que, segon els tipus d’escola, s’haurien d’escollir preferentment un o altre dels diferents grups esmentats.
Aquestes normes genèriques es van veure reflectides en uns qüestionaris publicats vuit anys més tard, el 1953. Entre els diferents aspectes inclosos dins els qüestionaris destaca un aspecte importantíssim de l’acció com a mitjà didàctic, les “manualitzacions”: tota lliçó ha de finalitzar amb una sèrie d’activitats, entre les quals no pot faltar la de construcció manual. Els problemes han d’anar graduats en progressió creixent de dificultat i agrupats.
Hem volgut recollir aquestes precisions per ressaltar la importància del context a l’hora d’interpretar les paraules. Es evident que aquí “acció”, no té el mateix significat que ara li atorguem, i el mateix succeeix amb la “graduació de problemes”.... Aquestes orientacions que poden semblar molt llunyanes en el temps i en la forma, van ser les que van guiar els primers passos de tota una generació que, en aquests moments, està entre nosaltres.
Respecte a les fraccions en particular, no s’aprecia cap indicació especifica per la seva introducció, sinó que sembla subjacent la idea de que sigui la practica repetitiva la que porti a la seva comprensió i a un domini, de caràcter rutinari, de les regles de càlcul. I de fet, els llibres de text de la època mostren una major preocupació en el com
13
En el primer curs de l’ensenyament elemental apareix la iniciació, mitjançant exercicis pràctics, a la idea del doble i la meitat. En el segon s’introdueix la idea de triple i terci, quart i octau, també una idea general del sistema mètric decimal que precedeix a la introducció de la fracció. En el tercer curs representacions per xifres. En el quart curs es troben exercicis de mides i pesos de cos, representacions de números enters, trencats i mixtos, simplificació i equivalència de fraccions, sumes...
És de destacar que la idea general de fraccions i la seva representació en xifres ocupa un sol trimestre d’un curs i la iniciació i equivalència un altre.
Els anys 50, la UNESCO elaborà unes directrius per l’ensenyament de Matemàtiques en els nivells elementals que també incloïa els primers cursos de Batxillerat. Les orientacions metodològiques que es proposaven per desenvolupar els continguts del primer curs recomanaven ometre tot raonament abstracte i fer notar les propietats numèriques amb la repetició d’exercicis a fi que en finalitzar el curs els alumnes fossin capaços de manipular números naturals, fraccions ordinàries i números decimals amb soltesa, és a dir, sense equivocar-se en els càlculs excessivament complicats.
14
elementals basada en un desenvolupament “utilitarista” i es passés a un ensenyament basat en un desenvolupament “estructuralista”.
Aquestes corrents no van arribar a Espanya fins l’any 1965 amb la Llei del 8 de Juliol.
2.c. Les fraccions a l’Educació General Bàsica (EGB)
La Llei General de l’Educació de 1970, introdueix als estudis espanyols de l’EGB les Matemàtiques Modernes, citades anteriorment. Aquesta llei contempla que una funció fonamental de les Matemàtiques és la d’ordenar coneixements i crear estructures formals que les resumeixin i expressin. Aquestes estructures formals estan caracteritzades per unes lleis que permeten aplicar uns automatismes, entre ells els de la lògica, que faciliten la seva utilització en problemes variats.
Les fraccions s’introdueixen experimentalment en el cinquè nivell de la primera etapa passant directament, en el 6è nivell, a la construcció del conjunt dels números racionals positius i les operacions entre ells. És curiós assenyalar que no es fa cap referència explícita a les fraccions ni a les seves possibles interpretacions.
Al 1971 es publiquen unes noves orientacions per la segona etapa (6è, 7è i 8è EGB ) dins l’àrea de la matemàtica. Els objectius generals de la segona etapa pretenen anar cap una major profunditat en el formalisme matemàtic. L’objectiu passa a ser desenvolupar en l’alumne la capacitat d’elaborar els sistemes formals necessaris per a la resolució de problemes.
15
Les úniques operacions que es consideren en el Cicle Mitjà són la suma i la diferència de fraccions senzilles amb el mateix denominador, fent-se el en Cicle Superior un estudi més general.
II. LLEIS I FENOMENS
1. Lleis generals
Com a fenomen matemàtic complex que són, les fraccions s’ajusten a una sèrie de lleis i fenòmens, que enumerem a continuació.
• Simplificació: simplificar una fracció significa dividir el numerador i el denominador per un divisor comú a tots dos, obtenint una fracció equivalent.
Quan el divisor utilitzat és el màxim comú divisor de tots dos, s'arriba a l'expressió més simple de la fracció, o fracció irreductible. Això succeeix quan el numerador i el denominador són primers entre si, per tant, la fracció no es pot simplificar més.
• Desigualtat de fraccions: el valor absolut d'una fracció és major al valor absolut d'una altra, quan el producte del numerador del primer pel denominador del segon és major al producte del denominador del primer pel numerador del segon.
16
Si dues fraccions tenen igual numerador, la de major valor absolut és aquella que tingui menor denominador.
Si les dues fraccions són positives, la major és aquella que tingui major valor absolut.
Si les dues fraccions són negatives, la major és aquella que tingui menor valor absolut.
Si una fracció és positiva i l'altra negativa, la major és sempre la fracció de signe positiu.
• Mínim comú denominador: si tenim varies fraccions amb diferents denominadors, el mínim comú denominador és el número més petit que es pot dividir per tots els denominadors sense deixar residu. Així doncs, si tenim i , el mínim comú denominador és 10, ja que és divisible per 2 i per 10.
Per trobar aquestes fraccions equivalents es procedeix de la següent forma: - Es calcula en M.C.M. dels denominadors.
- Es divideix el M.C.M. pel denominador de cada fracció original.
17
• Fraccions amb el mateix denominador: per sumar o restar dues fraccions d'igual denominador s'ha de sumar o restar els numeradors i mantenir el mateix denominador.
• Fraccions amb denominador diferent: per sumar o restar dues fraccions de diferent denominador s'ha de trobar fraccions equivalents que tinguin igual denominador i després realitzar l'operació.
• Números mixtos: una fracció més gran que la unitat es pot expressar com la suma d’un enter i una fracció; aquesta manera de representar la fracció és anomenada número mixt. Per sumar o restar dos números mixtos es pot reduir els mateixos a fracció i efectuar l'operació. Un altre procediment és sumar o restar les parts senceres i les parts fraccionàries per separat (si la part fraccionària resultant fos major que la unitat, es transforma en un nombre mixt) i després se sumen o resten tots dos resultats.
18
Per transformar una fracció major que la unitat en un nombre mixt, es divideix el numerador pel denominador. La part sencera serà igual al quocient i la part fraccionària tindrà com a numerador la resta, mantenint el mateix denominador.
• Fraccions decimals: quan un nombre racional es presenta com a fracció decimal, pot tenir una quantitat finita de dígits, com ara = 0,5. També potser que l’expansió es repeteixi, com ara = 0,3333333..., en la qual el número 3 es repeteix infinitament. Aquesta part recurrent pot tenir més d’un número que es repeteixi, com ara = 0,090909..., o = 0,0526315789473684210..., en la qual les 18 xifres recurrents es repeteixen infinitament (Bellos, A. 2010). Quan un nombre és irracional, el seu desenvolupament decimal no es repeteix mai (un exemple de nombre irracional el tenim amb el número ).
2. Lleis i propietats presents a la suma i resta de fraccions.
La suma i resta de fraccions compleixen amb les següents lleis i propietats:
Llei uniforme i cancel·lativa.
Llei de tancament.
Existència d’element neutre i invers.
Propietat associativa i commutativa (només en el cas de la suma).
19
• Llei cancel·lativa: la llei cancel·lativa és la propietat recíproca de la llei uniforme.
• Element neutre: el número 0 és l'element neutre de l'addició i substracció de nombres racionals.
• Element invers: tot nombre racional té un invers anomenat oposat additiu, de manera que la suma d'aquest nombre i el seu invers és igual a l'element neutre de l'addició.
20
• Llei associativa: l'addició de nombres racionals és associativa, ja que no depèn de la forma que s'associïn els sumands: si es reemplacen dos sumands per la seva suma efectuada, la suma no varia. La substracció de nombres racionals no és associativa.
3. Lleis i propietats presents al producte i la divisió de nombres
racionals.
El producte de dues fraccions és una fracció el numerador de la qual és el producte dels numeradors, i el denominador de la qual és el producte dels denominadors.
21
A la divisió de dues fraccions s'ha de multiplicar la primera fracció per la inversa de la segona fracció.
• Fraccions inverses: Dues fraccions són inverses, quan el numerador de la primera és igual al denominador de la segona, i viceversa.
El producte de dues fraccions inverses és igual a la unitat.
La multiplicació i divisió de fraccions compleixen amb les lleis i propietats següents: • Lleis uniforme i cancel·lativa.
• Llei de tancament.
• Existència d’element neutre, element invers i element absorbent.
• Propietats associativa i commutativa.
• Propietat distributiva (respecte de la suma).
• Llei uniforme: el producte i la divisió de dos nombres racionals és uniforme ja que el seu resultat és únic. Si a tots dos membres d'una igualtat se’ls multiplica o divideix un mateix nombre s'obté una altra igualtat.
22
• Llei de tancament: el producte de dos nombres racionals és tancat o complet ja que el seu resultat és sempre un nombre racional.
La divisió de dos nombres racionals és tancada o complerta ja que es converteix en un producte.
• Element neutre: el número 1 és l'element neutre del producte i la divisió de nombres racionals.
• Element invers: tot nombre racional (excepte el 0) té un invers anomenat oposat multiplicatiu, de manera que el producte d'aquest nombre i el seu invers és igual al neutre de la multiplicació.
23
• Llei commutativa: el producte de nombres racionals és commutatiu, ja que no depèn de l'ordre dels factors: en canviar l'ordre dels factors la suma no varia. La divisió de nombres racionals no és commutativa.
• Llei associativa: el producte de nombres racionals és associatiu, ja que no depèn de la forma que s'associïn els factors: si es reemplacen dos factors per la seva multiplicació efectuada, el resultat no varia. La divisió de nombres racionals no és associativa.
• Propietat distributiva: el producte o divisió d'una suma per un nombre racional és igual a la suma dels productes o divisions de cada sumand per aquest nombre racional.
El producte o divisió d'una resta per un nombre racional és igual a la diferència entre el producte o divisió del minuend per aquest nombre racional i el producte o divisió del subtrahend per aquest mateix nombre.
4. Potenciació i radicació de fraccions:
24
• Potència d’exponent negatiu: per elevar una fracció a una potència negativa s'ha d'elevar la inversa d'aquesta fracció amb un exponent igual al valor absolut de l'exponent donat.
• Radicació de fraccions: per calcular l'arrel d'un nombre racional, es calcula l'arrel del numerador i del denominador, aplicant la propietat distributiva de la radicació respecte de la divisió, tenint en compte les propietats dels signes vàlides per a la radicació de nombres enters.
III. CAMPS D’INFLUÈNCIA, DESENVOLUPAMENT
COGNITIU I PROGRESSIÓ EN L’APRENENTATGE
Els nens comprenen progressivament la noció de fracció a partir dels seus diferents significats, derivats dels diversos tipus de situacions d'ús.
Cada tipus de situació proporciona significats específics que els nens han d’anar construint progressivament. El desenvolupament d’aquesta construcció d’aprenentatges ha estat objecte de diverses investigacions.
1. Desenvolupament del concepte de fracció com a part d’un tot
1.a Primeres nocions de fracció
Sembla que les primeres idees de fracció dels nens són de naturalesa tridimensional i imprecisa.
25
Piaget realitzà experiments amb nens en els quals els demanava que dividissin en part iguals figures de paper o argila, doblegant o tallant per tal de fer un repartiment equitatiu.
Com a resultat de les seves investigacions, Piaget va determinar que, segons l’edat, els nens realitzaven diferents tipus de tasques:
• 4-5 anys: dividir en meitats figures petites i regulars; • 6-7 anys: dividir en terços;
• 7-9: dividir en sisens per tempteig;
• 10 anys: dividir sistemàticament en sisens, partint primer per la meitat i després dividint el resultat en tres parts iguals.
En alguns casos els nens realitzen aquestes tasques abans d'aquestes edats o són capaços de comprendre la idea de meitat, terç i sisè encara que físicament tinguin dificultat en realitzar la divisió de la figura en parts iguals.
1.b Dificultats i errors
Linares i Sánchez (1988, cap. 6) anomenen les dificultats amb que es troben els nens i nenes que comencen amb l’aprenentatge de les fraccions. A continuació en farem un breu resum dels errors més destacats.
Una primera dificultat per als alumnes és que siguin capaços d’atribuir un significat correcte a la noció de fracció i, per tant, a cada un dels enters que apareixen en l'escriptura d'una fracció. Aquesta és una notació nova per als alumnes d'aquest nivell, que fins a aquest moment només coneixien els nombres naturals.
Alguns dels errors més freqüents que cometen els alumnes després de l'estudi del tema, i que es manifesten fins i tot en nivells de secundària, són els següents:
• Un sencer es confon amb el seu invers: es confon amb , o bé, i es consideren com dues escriptures equivalents.
26
• El coneixement dels nombres naturals pot ser un obstacle per al domini dels nombres racionals. Per exemple, alguns nens poden afirmar que < , explicant que 3 < 5.
• La meitat de la fracció es designa freqüentment per la fracció (que és en realitat el doble d' ), argumentant que la meitat de 6 és 3.
• Per multiplicar entre si dues fraccions, se les redueix a un comú denominador; després es multipliquen els numeradors oblidant de multiplicar entre si els denominadors.
Recomanem la lectura completa del capítol esmentat, en el qual s’indica l’origen d’aquestes dificultats i els seus possibles remeis.
Les fraccions incideixen sobre diferents camps de la matemàtica: l’aritmètica, la mesura i la geometria. A continuació indiquem de quina manera es produeix aquesta influència i com s’ha de desenvolupar el treball de les fraccions en el context escolar.
2. Fraccions, aritmètica i mesura.
Introducció
La paraula “fracció”, indicant un parell ordenat de nombres naturals escrits de la forma
a/b, és utilitzat en contextos i situacions que moltes vegades pot semblar que no tinguin res en comú. Per exemple:
a) Per indicar la relació que existeix entre la part ombrejada i un “tot”:
27
b) Si un litre de cervesa val 1 euro, ¿quant valdran tres “cinquens”?
c) En un grup de joves hi ha 10 noies i 5 nois. En un moment determinat algú diu: “Hi ha la meitat de nois que de noies”. L’expressió “meitat” s’utilitza en aquesta situació per descriure una relació entre dues parts d’un conjunt. S’ha realitzat una comparació entre parts i com a resultat d’aquesta comparació s’utilitza una fracció per quantificar la relació.
No obstant, si estem utilitzant el mateix concepte matemàtic per referir-nos a diverses situacions, és de suposar que tinguin alguna cosa en comú.
Des d’una perspectiva escolar ens podríem plantejar la següent situació: si identifiquem un dels contextos en el qual la idea de fracció té un sentit (context significatiu), i desenvolupem el procés d’ensenyament (concepte, relacions-equivalència i ordre-, operacions –significat i algoritmes-), amb aquesta interpretació, es podria esperar que els nens fossin capaços de traslladar aquesta comprensió a interpretacions i contextos diferents?
Sembla ser que la capacitat de “traslladar” aquesta comprensió a situacions diverses no és del tot clara; és a dir, pot ser que el nen tingui clar el significat d’una fracció en una situació, sabent realitzar la seva representació amb diagrames i de forma numèrica, així com reconèixer el significat de les diferents operacions en aquest context, i això no implica que sàpiga utilitzar la mateixa “eina” en contextos diferents, encara que també comportin implícitament la idea de fracció.
28
Dit d’una altra manera, al concepte global de fracció no s’hi arriba d’una sola vegada. Des de les primeres experiències dels nens amb “meitats” i “terços” (relació part-tot) vinculades a l’habilitat de dominar el mecanisme de dividir (repartir), i l’habilitat de dominar la inclusió de classes; fins al treball amb la raó i la proporcionalitat, vinculada a l’habilitat de comparar dos conjunts de dades al mateix temps, i del desenvolupament de l’esquema de la proporcionalitat, existeix un llarg camí per recórrer.
Per tant, quan pensem en el desenvolupament d’activitats d’ensenyament per a l’aprenentatge de nocions relatives a les fraccions, els mestres hem de tenir en compte totes aquestes característiques, és a dir:
les múltiples interpretacions de les fraccions.
el procés d’aprenentatge a llarg termini.
De la mateixa manera, també existeix un llarg camí des del primer contacte intuïtiu del nen amb les fraccions (relació part-tot, meitats, terços...), fins a assolir el coneixement algebraic associat a las fraccions. Per aquest coneixement algebraic ens referim, per exemple, a la interpretació de la suma de fraccions, com
o bé que solució de l’equació (el nombre que enlloc de la “x” compleix la igualtat) 3 · x = 5
La solució és x= 5/3, o també x = 10/6 = 15/9...; és a dir, poder veure el conjunt de les fraccions (nombres racionals) formant un sistema numèric, tancat per a certes operacions i amb unes propietats determinades.
29
algebraic, sense tenir del tot clar encara el concepte de fracció. És a dir, en l’ensenyament i aprenentatge de les fraccions cal considerar l’equilibri que ha d’existir entre:
el significat de les fraccions en contextos concrets pràctics (situacions problema).
situacions més abstractes, de càlcul sense context (caràcter algebraic).
Les destreses i habilitats que es poden aconseguir en el maneig dels símbols relatius a les fraccions i a les operacions amb fraccions, no són fàcils de retenir si no hem estat capaços de crear un esquema conceptual a partir de situacions concretes.
Així, es presenta la necessitat de plantejar els processos d’ensenyament – aprenentatge de las fraccions des de totes les seves perspectives, en totes les seves interpretacions possibles, per tal que un treball continuat amb aquestes interpretacions ajudi al nen a aconseguir una comprensió conceptual (operativa) de la idea de fracció, sense crear “forats conceptuals”.
Un cop determinada aquesta necessitat, es planteja la tasca d’identificar les diferents interpretacions, contextos, en els quals aparegui el concepte de fracció. Les diferents interpretacions que trobem del concepte de fracció són:
a) La relació part-tot i la mesura.
a.1. Representacions en contextos continus i discrets. a.2. Decimals.
a.3. Recta numèrica. b) Les fraccions com a quocient.
b.1. Divisió indicada.
b.2. Com element d’un cos quocient. c) La fracció com a raó.
30
c.2. Percentatges. d) La fracció com a operador.
2.a La relació part-tot i la mesura
Aquesta situació es presenta quan un “tot” (continu o discret) es divideix en parts congruents (equivalents com a quantitat de superfície o quantitat d’objectes). La fracció indica la relació que existeix entre un nombre de parts i el nombre total de parts (que pot estar format per varis “tots”).
El tot rep el nom de la unitat. Aquesta relació part-tot depèn directament de l’habilitat de dividir un objecte en parts o trossos iguals. La fracció aquí és sempre “fracció d’un objecte”. Per assolir una comprensió operativa d’aquest subconjunt es necessita prèviament el desenvolupament d’algunes habilitats com:
-tenir interioritzada la noció d’inclusió de classes (Piaget).
-la identificació de la unitat (quin “tot” és el que es considera com unitat en cada cas concret).
-realitzar divisions (conservació de la quantitat : el tot es conserva tot i que el dividim en diferents trossos).
-dominar la idea d’àrea (en el cas de les representacions contínues).
A continuació es descriuran les representacions d’aquesta relació, que es desenvolupen en contextos continus, discrets i mitjançant la utilització de la recta numèrica.
2.a.1. Representacions contínues (àrea) i discretes
31
“De les cinc parts del tot, se n’han ombrejat 3”; “3 de les 5” ; “3/5”.
“De les cinc part del tot, se n’han ombrejat 3”;
“3 de les 5”; “3/5”.
Si la unitat la representem per:
llavors ,
“1 i 3/4 és la part ombrejada, essent 1 3/4 la forma mixta de la fracció 1 + 3/4 “.
32 En un context discret, es podria representar de la següent manera:
“3 / 5”.
Aquí el “tot” està format pel conjunt global de les cinc boles, tres de les quals són grises. “3/5” indica la relació entre el nombre de boles grises i el nombre total de boles.
D’altra banda, si representem el “tot” com:
llavors en la situació
“2 1/3” representa la part ombrejada.
És important ressaltar que si s’utilitzen contextos discrets es força a que el nen ampliï el seus esquemes de la relació part-tot, en aquest cas, quan utilitzem un conjunt d’objectes discrets com a unitats, per exemple:
33
Lògicament, la dificultat augmentarà si es pren com a unitat:
I a continuació es demana als alumnes els 3/5, és a dir, situacions en les que la fracció no es pot aplicar directament.
PARTS CONGRUENTS
En la caracterització de la relació “part-tot” es parla de “parts congruents”, la qual cosa no indica necessàriament parts de la mateixa forma. En la figura següent la relació entre les parts ombrejades i el nombre de parts també es pot representar per 3/5:
34
2.a.2. Decimals
Una estandardització de la relació part-tot, juntament amb les característiques del nostre sistema de numeració decimal, dòna peu a la introducció dels decimals (fraccions decimals). Per exemple, utilitzant la representació contínua i el model rectangle, considerant la unitat com un rectangle i dividint-lo en deu parts. Cadascuna de les parts és en relació al tot (unitat) 1/10, una de les deu parts (una dècima part).
Si cada part (dècima) la dividim en altres deu parts, obtenim “una dècima part de la dècima part”, o 1/10 de 1/10, dit en altres paraules, una centèsima.
Amb això es vol indicar que els decimals (la notació decimal d’algunes fraccions) estan vinculats a la relació més general “part-tot”. Expressades d’aquesta manera, les fraccions com a decimals formen una extensió dels nombres naturals.
2.a.3 Les fraccions com a punts sobre la recta numèrica
35
En aquest cas es pot pensar que la fracció no s’associa a una part d’una figura o a un subconjunt d’objectes, sinó que es redueix a un nombre abstracte; així com el 3/5 és un número entre el 0 i l’1, el 3/2 és un número entre l’1 i el 2.
Aquesta representació fa que es pugui pensar en les fraccions com a nombres semblants al 1, 2, 3, 4,... i que es puguin col·locar entre ells. Tot i que aquesta forma de representar les fraccions provoca algunes dificultats per a alguns nens (8-12 anys), també presenta alguns avantatges:
-Fa que les fraccions impròpies (fraccions majors que la unitat) apareguin de forma molt més natural, així com la notació com a nombres mixtos.
-Posa èmfasi en el fet que el conjunt de les fraccions forma una extensió del conjunt dels nombres naturals (les fraccions omplen “forats” entre els nombres naturals. -Té connexions amb l’idea de mesura (ús d’escales).
Però, com hem esmentat, la seva utilització pot presentar alguns problemes. Els resultats d’algunes investigacions suggereixen que la interpretació de les fraccions mitjançant la recta numèrica és especialment difícil pels nens. Un dels problemes que es poden plantejar és la identificació del segment unitat quan la recta numèrica s’ha estès més enllà de l’1:
Si se’ls demana assenyalar el 3/5, els nens solen indicar el punt on està el 3, no obstant aquesta dificultat no es presenta si se’ls proporciona la representació següent:
36 “Assenyala els 3/5.”
La idea de fracció associada a un punt de la recta numèrica pertany a un nivell més abstracte en relació al què hem estat esmentant fins ara. Però, si els nens i nenes estan acostumats a fer servir la recta numèrica com a recurs didàctic en el seu treball amb les operacions amb els nombres naturals, és possible que aquesta identificació punt–fracció no sigui tan dura.
Recolzats en la idea de mesura, els nens i nenes poden començar a utilitzar la recta numèrica en el seu treball amb les fraccions. Si cada unitat la dividim en cinc parts, la recta numèrica apareixerà així:
Cada part del segment unitat rep el nom de quart, i utilitzant la longitud podem donar noms a cada punt corresponent. Les activitats inicials han de consistir en establir associacions entre punts i fraccions havent- se de realitzar un nombre determinat de divisions en el segment de la unitat (el què determina el nom de cada divisió). Podem comprovar a la recta numèrica que el primer punt és 1/5, el segon 2/5 el tercer 3/5... i així successivament fins arribar a 5/5 que és 1, és a dir, és 1 unitat.
37
que en els contextos continus i discrets. El caràcter més abstracte que mostren aquestes activitats fa que s'hagin de retardar fins que el nen tingui un ús correcte dels diagrames i símbols desenvolupats en els altres contextos. Les dificultats que pot presentar el maneig d'aquesta representació fa que haguem de ser prudents per evitar que els nens arribin a realitzar manipulacions de símbols que poden no tenir sentit per a ells. El fet que en la recta numèrica (quan es perllonga més enllà de l'1, com sol ser el cas) s'ha de tenir en compte la relació entre el denominador de la fracció i el nombre de subdivisions del segment unitat, estableix una diferència amb els contextos continus o discrets (Novillis, 1980). En aquest cas apareix ja de forma implícita la noció d'equivalència. Per tot això hem de tenir precaució si arribem a utilitzar aquest model per representar les successions de comptar fraccions unitàries.
2.b. Les fraccions com a quocient
En aquesta interpretació s’associa la fracció a l’operació de dividir un nombre natural per un altre (divisió indicada a : b = a / b). Dividir una quantitat en un número de parts donades. Pel nen que està aprenent a treballar amb les fraccions, el dividir una unitat en cinc parts i agafar-ne tres (3/5) resulta bastant diferent del fet de dividir tres unitats entre cinc persones, tot i que el resultat sigui el mateix. En aquesta interpretació es considera que les fraccions tenen un doble aspecte:
1- Veure la fracció 3/5 com una divisió indicada, establint-se l’equivalència entre 3/5 i 0,6 en una acció de repartiment.
2- Considerar les fraccions (nombres racionals) com els elements d’una estructura algebraica, és a dir, com elements d’un conjunt numèric en el qual s’ha definit una relació d’equivalència.
2.b.1. Divisió indicada (repartiment)
38 “Tenim tres tabletes de xocolata i hem de repartir-les de forma equitativa entre cinc
nens, quant li tocarà a cadascun?”
Segons el treball de la professora Hart (1980) només la tercera part dels nens de dotze i tretze anys eren capaços d’adonar-se que dos nombres naturals es poden dividir un per l’altre, i que es pot expressar el resultat exacte mitjançant una fracció.
La resistència dels nens a veure 3 : 5 com 3 / 5 pot ser degut a que molts d’ells es troben familiaritzats amb la interpretació part-tot per a les fraccions, i per tant veuen 3/5 com la descripció d’una situació (de cinc parts tenim tres ombrejades), mentre que per altra part, la divisió indica un procés, precisament el procés de repartir 3 pastissos entre cinc nens.
No hem d’oblidar tampoc que molts nens (fins i tot a Cicle Superior), degut al treball amb nombres naturals, diuen que la divisió 3 : 5 no es pot realitzar quan se’ls presenta de forma aritmètica. Malgrat això, existeixen opinions (Streffland, 1984) que centren el desenvolupament de les seqüències d’ensenyament de les fraccions al voltant d’aquesta interpretació, indicant que la dificultat que presenta l’ensenyament de les fraccions a l’escola consisteix en que es tendeix ràpidament a centrar-se en el tractament formal i algorítmic d’aquestes idees.
39
situacions es potenciarà la “construcció” del concepte, les operacions i les relacions entre les fraccions pels propis nens.
Veiem un exemple:
“En un restaurant, hem de repartir tres pizzes entre cinc nens, quant correspon a cadascun?”
El resultat 3/5 apareix a partir d’un procés de diferenciar, dividir, abreviar, representar, simbolitzar.... indicant molt més que la simple representació del diagrama:
A més, la seqüència que es deriva de plantejar la situació anterior, es recolza en els processos de verbalització dels passos realitzats que fan els nens.
De forma esquemàtica, els principis de l’ensenyament de les fraccions que defèn aquest autor (L.Streffland, 1984) són:
• El que és important és la construcció de les operacions amb les fraccions pels propis nens.
-Construcció basada en la pròpia activitat dels nens: estimació, desenvolupament d’un cert sentit de l’ordre i el tamany...
-La valoració del treball dels nens, els seus mètodes i procediments, encara que difereixin de les aproximacions formals.
-L’èmfasi es trasllada a la verbalització dels nens; verbalització dels coneixements adquirits, se capaç de formular una regla, comprendre el poder de les generalitzacions...
40
• Desenvolupament de situacions de comparar i ordenar, en les quals els nens construeixin procediments de solució mitjançant processos de dividir, ordenar, mesura, composar...
• Utilització de models de recolzament (regions o segments, recta numèrica, taules de raons...) i situacions problemàtiques (situacions de la vida diària) que serveixen de “pont” o connexió entre les situacions problema en diferents contextos i el treball numèric.
Sota aquesta perspectiva el significat de fracció i les operacions estan connectats de tal forma que es desenvolupen al mateix temps. Defèn la idea que són els nens els que tenen que “construir”, i no els professors.
A l’hora de desenvolupar seqüències d’ensenyament i aprenentatge amb la interpretació de la idea de quocient (repartiment), es poden plantejar alguns matisos segons s’utilitzin en contextos discrets o continus (àrea, longitud).
Donat un context discret:
“Repartir vint cartes entre cinc bústies”.
o un context continu:
“Tenim una cinta de 22 cm. Hem de repartir-la entre 4 nens, quant li toca a cadascun?”
Els nens realitzen considerablement millor les tasques de repartiment en contextos discrets que en contextos continus. S’ha fet l’explicació de que en el cas continu els nens necessiten un “esquema anticipatori ben desenvolupat”, és a dir, un “pla d’acció” previ a la realització de la tasca, mentre que en el cas discret la tasca es pot realitzar mitjançant procediments directes.
41
En el context continu, no existeix aquest procés tan directe. Serà necessari un procés d’estimació o de tanteig, o una operació aritmètica per acostar-nos a la solució.
No obstant, és important destacar que la necessitat d’un “pla d’actuació” previ per a la realització de la tasca, que augmenta la dificultat de realització per part del nen, no només està vinculada al context continu o discret de la tasca, sinó també al tipus de tasca de què es tracti. Per tant, no es pot generalitzar la dificultat que presenta un tipus de context (discret o continu) davant un altre sense vincular-lo prèviament al tipus de tasca que s’hagi de realitzar.
De totes formes, en aquesta interpretació de les fraccions com a “divisió – repartiment”, la principal habilitat que es reflexa és la de dividir un objecte o objectes en un nombre de parts iguals. Agafant l’exemple anterior:
“Tenim tres tabletes de xocolata i hem de repartir-les de forma equitativa entre cinc nens, quant li tocarà a cadascun?”
Els processos de solució (divisió – repartiment) i les simbolitzacions i representacions d’aquests processos es converteixen en el treball previ (preactivitats) a la resolució d’equacions. En aquest cas: 5 · x = 3, essent “x” la quantitat de barra de xocolata que li correspondria a cada nen. És a dir, aquest tipus d’activitats es poden convertir en els pilars sobre els quals es fonamenta el treball amb els nombres racionals com a precursor de l’àlgebra.
Per finalitzar, podem considerar que, en aquesta interpretació de les fraccions com a quocient i en les situacions de divisió – repartiment en les que una quantitat es divideix en un nombre de parts donades, es poden distingir dos aspectes:
a) Quan ens proporcionen la quantitat i el nombre de part en les que hem de dividir aquesta quantitat, i ens demanen el que val cada part (repartiment).
“Tres pizzes entre cinc nens”.
b) Quan ens proporcionen la quantitat i el que val cada part, i ens demanen el nombre de parts (mesura).
42
2.b.2. Les fraccions com elements d’una estructura algebraica
Com hem indicat, les activitats en situacions de repartiment i mesura constitueixen la base sobre la qual es construeix la interpretació de les fraccions com elements d’una estructura algebraica. Es conceben les fraccions (nombres racionals) com elements de la forma a / b, sent a i b nombres naturals, que representen la solució de l’equació
b · x = a
De forma clara, aquesta interpretació de les fraccions com elements d’un cos (estructura algebraica) no està estretament vinculada al pensament natural del nen al desenvolupar-se de forma deductiva les operacions i propietats.
2.c. La fracció com a raó
En ocasions, les fraccions són utilitzades com un “índex comparatiu” entre dues quantitats d’una magnitud (comparació de situacions). Així ens trobem amb l’ús de les fraccions com a raons. En aquest cas no existeix de forma natural una unitat (un “tot”) com podia passar en els altres casos (podem entendre això com que la comparació pot ser bidireccional).
En aquesta situació, la idea de parell ordenat de nombres naturals pren novament força. En aquest cas normalment la relació part-part (o la relació tot-tot) es descriu com a: b.
Aquí tenim alguns exemples en diferents contextos, que ens poden ajudar a clarificar aquesta interpretació de les fraccions:
43
b) També trobem aquesta representació en les escales de mapes i plànols: per exemple, escala 1:100 (1 cm del mapa equival a 100 de la realitat).
c) També trobem aquesta manera d’expressar les fraccions en moltes receptes de cuina, quan hem de fer una barreja de líquids, etc.
La probabilitat
La utilització de les fraccions en aquest context se li dona un caràcter de càlcul (aritmètic). Podem considerar alguns exemples de la seva utilització, en els que s’estableix una “comparació” tot-tot entre el conjunt de casos favorables i el conjunt de casos possibles, com:
“En una bossa hi ha tres boles negres i dos blanques. Traiem aleatòriament una bola. Quina és la probabilitat de que sigui negra?”
“Al llençar un dau quina és la probabilitat d’obtenir un sis.”
Percentatges
La relació de proporcionalitat que s’estableix entre un número i 100 (o 1000) rep el nom particular de percentatge. Per regla general els percentatges tenen assignat un aspecte “d’operador”, és a dir, al interpretar “el 60% de 35” es concep “actuant la fracció 60/100 sobre 35” (fer 100 parts de 35 i agafar 60).
2.d. La fracció com a operador
En aquesta interpretació les fraccions són vistes en el paper de transformacions: “alguna cosa que actua sobre una situació (estat) i la modifica”. Es concep aquí la fracció com una successió de multiplicacions i divisions, o a la inversa.
44
2/3 de 36 = (dividir per 3 i multiplicar per 2) = 24 nens
L’operador porta implícit un conveni: primer actua la divisió i després la multiplicació, identificant-se amb la interpretació part-tot. També es pot invertir el conveni i actuar sempre la multiplicació en primer lloc i després la divisió.
Hem de veure que, en aquesta interpretació, les fraccions s’utilitzen en un doble aspecte:
a) Descrivint una ordre, una acció a realitzar (operador), i b) Descrivint un estat de coses, es a dir, descrivint una situació.
3. Les fraccions i la geometria
Introducció
45
valorar la diferència en el nivell de dificultat entre ambdues situacions i pensar que no és per res similar pintar la quarta part d’un rectangle ja dividit en 4 parts iguals que calcular la quarta part d’un conjunt. Com per exemple:
A les il·lustracions podem veure representat ¼ en cada cas. Un en
un rectangle i en l’altre com a la quarta part d’un conjunt.
Anteriorment quan parlàvem d’aritmètica, havíem caracteritzat la interpretació part- tot quan un “tot” o diversos (continus o discrets) era dividit en parts i la fracció ens descrivia la relació entre les “parts2 que es consideraven i el nombre de parts en què s'havia dividit el tot.
46
3.a.1. Els atributs de la relació part-tot
Independentment de l'aproximació qualitativa, algunes habilitats necessàries per al domini de la relació part-tot són la capacitat de dividir un tot en parts, reconèixer el tot, realitzar divisions congruents, reconèixer les parts del tot... El maneig d'aquestes habilitats (la possessió de l'estructura cognitiva que permet realitzar aquestes accions) ha estat estudiat per PIAGET, (1960) indicant que la noció de fracció en el seu aspecte part-tot sostinguda pels nens (en contextos continus - àrea) es recolza en set atributs:
1 - Un tot està compost per elements separables. Una regió o superfície és vista com divisible.
2 - La separació es pot realitzar en un nombre determinat de parts. El <<Tot>> es pot dividir en el nombre de parts que es demana.
3 - Les subdivisions cobreixen el tot, ja que alguns nens quan se'ls demanava dividir un pastís entre tres ninots, tallaven tres trossos i ignoraven la resta.
4 - El nombre de parts no coincideix amb el nombre de talls.
5 Els trossos parts són iguals. Les parts han de ser de la mateixa grandària -congruents-.
6 - Les parts també es poden considerar com a totalitat (la vuitena part d'un tot es pot obtenir dividint els quarts a meitats).
7 - El tot es conserva.
Aquests atributs van ser ampliats per PAYNE (1976) amb els què ell veia com a necessaris (essencials) per a l'aprenentatge inicial d'aquestes nocions.
8 - Control simbòlic de les fraccions, és a dir, el maneig dels símbols relacionats amb les fraccions.
47
10 - Les fraccions més grans que la unitat. 11 - Subdivisions equivalents.
Tant la idea de què les parts es poden considerar al seu torn com tots (assenyalada per Piaget), com la noció de les subdivisions equivalents (assenyalada per Payne) estan estretament relacionades amb la noció de fraccions equivalents, és a dir, amb l'habilitat de reconèixer quan diferents parts d'un mateix tot, obtingudes amb diferents divisions, ens donen la mateixa part de la totalitat, la qual cosa ens porta a admetre una mateixa relació part-tot a través de “nombres equivalents”, per exemple:
48
3.a.2. Els contextos de la relació part-tot
La utilització de determinats contextos pot influir en el desenvolupament de les seqüències d'ensenyament; tindrà com a objectiu l'adquisició de les primeres nocions relatives a la relació part- tot.
S'ha indicat que en seqüències d'ensenyament, desenvolupades en contextos continus, basades en activitats de doblegar paper, palletes... les idees bàsiques relacionades amb la noció part-tot poden ser adquirides per nens de vuit anys mentre que la utilització de contextos discrets en la ensenyament d'activitats d'ensenyament poden ocasionar en un primer moment més dificultats (Payne, 1978).
Aquesta opinió contradiu les conclusions del treball de Novillis (1976) que indica que els dos contextos resulten ser del mateix grau de dificultat. L'objectiu de les investigacions de Novillis consistia a identificar les possibles dependències conceptuals que es poguessin donar entre les idees vinculades a la noció de fracció. Entre les idees que va considerar es trobaven la d'associar una fracció amb l'àrea d'una part d'una figura (context continu), amb un subconjunt d'un conjunt (context discret), o amb un punt de la recta numèrica. Encara que interessants, els resultats han de ser considerats amb precaució. Novillis va concloure que el desenvolupament de les relacions part-tot en contextos continus i discrets són requisits previs per al treball amb la recta numèrica. A més, les seves experiències han indicat que la capacitat d'associar una fracció a una representació en un context discret o continu és prèvia a la feina amb les relacions d'equivalència (diferents noms per a les relacions equivalents).
49
encara que la relació part-tot és bàsica i inicial per a l'adquisició de les nocions relatives al nombre racional, dins d'aquest concepte no tots els contextos presenten la mateixa dificultat, el que condiciona la classe de materials “concrets” que han de ser utilitzats de forma esquemàtica.
3.a.3. La relació part-tot com a generadora de llenguatge i símbols
D'alguna manera es pot entendre que la relació part-tot es troba en l'origen de les altres interpretacions del nombre racional. Aquesta interpretació és de les més intuïtives en el nen, per tant, el problema es planteja quan el seu ús es converteix en generadora de llenguatge i símbols, que van a construir la base i origen de treball amb les altres interpretacions. Cal tenir molta cura en la identificació dels símbols amb les situacions, així com en la utilització del llenguatge associat les idees de part- tot que es realitza en aquests moments. L'atenció espacial que rep aquesta interpretació inicial de les fraccions ens obliga a ser curosos amb les idees que s'hi transmeten. El llenguatge i els símbols utilitzats en aquest primer moment poden condicionar la comprensió de futures ampliacions de la noció de fracció. Així, algunes investigacions (Kerlsake, 1986) han assenyalat que el maneig de les fraccions com a nombres en determinades tasques com poden ser: col·locar fraccions sobre la recta numèrica, anomenar fraccions entre dues fraccions donades..., són relativament complicades per als nens que només veuen les fraccions com una descripció d'una relació entre les parts en què s'ha dividit un tot i el tot.
50
aquesta perspectiva, la idea de negociar el significat dels símbols s'ha de veure com el propòsit d'omplir de significat dels símbols (la representació de la relació) que els nens utilitzen (o s'utilitzaran) per descriure les situacions de la noció part- tot així com en les diferents translacions d'una representació a una altra.
3.b. El treball inicial amb la relació part-tot
Segons Piaget, l'habilitat d’utilitzar la relació part- tot es recolza en la capacitat que tenen els nens de sostenir certs atributs o habilitats. La identificació d'aquests atributs condiciona la seqüència inicial en relació a les activitats que han de ser realitzades a l'escola per tal d'aconseguir el seu maneig.
L'estructura cognitiva sobre la qual es basen aquests atributs la constitueix l'acció de dividir un tot en parts. La forma de realitzar la divisió, l'efecte sobre el tot, el resultat de la divisió, etc. són qüestions que han estat identificades per Piaget com els fonaments per a manejar la relació part- tot. Per això, les activitats a desenvolupar, en un primer moment, han d'estar dirigides al fet que els nens adquireixin el maneig d'aquests atributs.
D'altra banda havíem assenyalat que el context continu (model àrea) podia considerar- se el més natural per realitzar la introducció d'aquestes idees. Al plantejar- se una situació d'ensenyament-aprenentatge s'introdueix la qüestió de realitzar el disseny de les seves seqüències. Anomenarem seqüència d'ensenyament a una sèrie d'activitats dirigides a la consecució d'un o diversos objectius d'aprenentatge.
51
Una altra qüestió a tenir en compte és la representació de les idees, des del pla intuïtiu (entenent la simbiosi que es dóna en considerar models concrets en situacions concretes i el coneixement informal i fragmentari que els nens puguin tenir d'aquestes nocions) al pla simbòlic passant per la utilització de diagrames i formes verbals i escrites. Pot ser convenient abans de introduir-nos de ple en l'estudi de la relació part- tot a través de la utilització de models més concrets, presentar situacions que es puguin considerar quotidianes al nen; en què s’emfatitzi d'una forma o altra amb diferents atributs connectats amb la idea de fracció. Suggeriments com estimar la mida d'una foto seva en relació a la fulla sencera, relacionar la grandària d'algunes fotos en fulls diferents d'un diari "quin és el gran?, Per què?”, Com es pot saber sense retallar ni superposar?..., i també la introducció de petites anomalies a les regularitats manejades pot ajudar a perfilar el tipus d'arguments utilitzats.
Situacions de repartiment i mesura, tant en contextos continus com discrets, on durant el desenvolupament hi intervinguin idees com ara el considerar la grandària de la unitat, la necessitat de parts congruents, o situacions en les que la mateixa idea de fracció no és aplicable, poden ajudar a aclarir els diferents atributs necessaris per al desenvolupament de la relació part-tot.
Situacions quotidianes als nens com les de repartiment d'un pastís entre un nombre determinat de nens, o el dividir o repartir trossos de cinta de tela per realitzar determinats jocs, pot proporcionar els moments adequats perquè els nens verbalitzin el coneixement que posen en funcionament en aquestes situacions. La interacció verbal entre les propis nens i entre els nens i el professor poden ser utilitzats per aquest últim per determinar l'estat de la qüestió.
52
Dividir un full o una tira de paper amb unes tisores, assajant diferents procediments perquè les parts obtingudes siguin iguals són activitats a realitzar. Situacions en contextos de mesura es poden utilitzar per desenvolupar les habilitats de dividir els “tots” en parts congruents.
La possibilitat de cobrir una taula amb folis havent de considerar en algun moment parts del foli per acabar la tasca, o mesurar la longitud de la pissarra amb un llapis i haver de tornar a considerar parts del llapis (en relació al tot) amb el condicionant d'haver de comunicar als companys d'una forma clara quines parts del foli o del llapis s'han considerat, poden ser activitats que ens introdueixin a les idees de “part d'un tot” i parts congruents en contextos familiars.
Els nombres en color (Regletes Cuisinaire) constitueixen un material didàctic prou conegut que també posa de manifest les relacions part-tot en els contextos de mitjana (utilitzant-lo com representacions de situacions concretes).
3.b.1. El tamany de la unitat
Cal que en les situacions descrites anteriorment es vinculi l'existència de les fraccions a la unitat: la mida de la meitat d'una taronja està en funció de com de gran sigui aquesta. Les situacions en què en un primer moment les fraccions tenen un aspecte d'operador (“Dóna’m la meitat d’una taronja”) s'han de desenvolupar també des del començament del treball amb la relació part-tot.
La integració de les diferents interpretacions del nombre racional es pot començar a fer en els primers moments en situacions concretes, ja que també és necessari integrar-les en el coneixement que s'està formant de la idea de fracció. Aquest tipus d'activitats poden resultar de vital importància a l'hora d'evitar que els nens ignorin el context en el qual estan treballant les fraccions en un moment donat. La vinculació del context al significat que pugui tenir en aquest moment la fracció ajuda a evitar errors amb posterioritat quan es manegen les fraccions en un nivell numèric.
53
repartir dues taronges que són visiblement diferents en grandària entre quatre nens, la divisió pot no convèncer de manera directa als nens.
La necessitat que les parts que li corresponen a cada un siguin del mateix tot es presenta directament.
A més, aquestes situacions de repartiment, tant en contextos quotidians com utilitzant material manipulatiu adequat, poden proporcionar als nens experiències en les que de forma implícita es manifesten les relacions compensatòries que hi ha entre la mida de les parts i el nombre de parts en les quals un tot és dividit (a major nombre de parts, menor és la mida de les parts), com un pas previ a la idea de l'ordenació.
2.f. Situacions en què la idea de fracció no és aplicable
54
enfront de la interpretació en què es veu a les fraccions només com una divisió indicada de nombres naturals.
3.b.3. Dues direccions
La necessitat de formalitzar i relacionar el coneixement i les idees que els nens posen en funcionament en les situacions anteriors respecte a la noció de fracció, i, en particular, de la relació part-tot indica la seqüència que cal seguir.
En aquest punt del desenvolupament és possible prendre diverses direccions. D'una banda, la realització de seqüències d'ensenyament tinguin com a objectiu formalitzar el coneixement dels nens en relació als atributs identificats per Piaget i els afegits per Payne, a través de la utilització de materials més concrets i estructurats, com els experimentats en algunes universitats americanes (Payne, Ellerbruch, Coxford ...). Una altra direcció vindria definida per la posició de L.Streefland, que desenvolupa les fraccions basant-se en els processos i produccions dels nens en situacions tretes de la vida real. De forma esquemàtica la posició de Streefland es basa a intentar utilitzar situacions (fenòmens) de la vida real que són organitzats per les fraccions perquè l'aprenent comenci a manejar i dotar de significat aquests instruments d'organització (les fraccions) en aquestes mateixes situacions. Amb aquesta aproximació el què s'intenta fer és presentar situacions el més variades possibles, en què el concepte de fracció i les operacions amb les fraccions organitzen la informació subjacent. Sota aquesta aproximació, la realitat serveix com una font en la formació del concepte i no només com a mitjà d'aplicació.
