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ANALISIS SISMICO

APUNTES PARA CLASE

I I I I I I I I I I I I I M I I I I I I I I I I I I I I

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Ci f i / N ì )

F O N D O UNIVERSITARIO

I

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F V S *

? - x - o

C A P I T U L O 1

CINEMATICA DE LAS VIBRACIONES

1.1. Definiciones. Una vibración -es, e n su sentido m á s general, un m o v i m i e n t o periódico, es decir, un m o v i m i e n t o que se repite con todas s u s c a r a c t e r í s t i c a s d e s p u é s d e u n cierto i n t e r v a l o d e t i e m p o l l a m a d o -periodo de la vibración, d e s i g n a d o g e n e r a l m e n t e por el sím-bolo T . U n a g r á f i c a d e d e s p l a z a m i e n t o x c o n t r a el t i e m p o , p u e d e r e s u l t a r u n a c u r v a s u m a m e n t e c o m p l i c a d a . C o m o u n e j e m p l o , la Fig. 1.1a m u e s t r a la c u r v a del m o v i m i e n t o o b s e r v a d o en el pedestal de las c h u m a c e r a s d e u n a t u r b i n a d e vapor.

FIG. 1.1. Función periódica y a r m ó n i c a , mostrando el periodo T y la ampli-tud *0

El tipo m á s sencillo d e m o v i m i e n t o periódico es el movimiento armómco^.en él, la relación e n t r e x y t puede e x p r e s a r s e . p o r

x = x0 sen o)t ( 1 . 1 )

c o m o se m u e s t r a e n la Fig. 1.1b, q u e r e p r e s e n t a las p e q u e ñ a s oscila-c i o n e s de u n p é n d u l o simple. El valor m á x i m o del d e s p l a z a m i e n t o

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F V S *

? - x - o

CAPITULO 1

C I N E M A T I C A D E L A S V I B R A C I O N E S

1.1. Definiciones. Una vibración -es, e n su sentido m á s general, un m o v i m i e n t o periódico, es decir, un m o v i m i e n t o que se repite con todas s u s c a r a c t e r í s t i c a s d e s p u é s d e u n cierto i n t e r v a l o d e t i e m p o l l a m a d o -periodo de la vibración, d e s i g n a d o g e n e r a l m e n t e por el sím-bolo T . U n a g r á f i c a d e d e s p l a z a m i e n t o x c o n t r a el t i e m p o , p u e d e r e s u l t a r u n a c u r v a s u m a m e n t e c o m p l i c a d a . C o m o u n e j e m p l o , la

Fig. 1.1a m u e s t r a la c u r v a del m o v i m i e n t o o b s e r v a d o en el pedestal de las c h u m a c e r a s d e u n a t u r b i n a d e vapor.

FIG. 1.1. Función periódica y a r m ó n i c a , mostrando el periodo T y la ampli-tud *0

El tipo m á s sencillo d e m o v i m i e n t o periódico es el movimiento armómco^.en él, la relación e n t r e x y t puede e x p r e s a r s e . p o r

x = x0 sen o)t ( 1 . 1 )

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16 M E C A N I C A D E L A S V I B R A C I O N E S

El periodo T g e n e r a l m e n t e se m i d e en s e g u n d o s , y su recíproco

f = 1 / T es la frecuencia de la vibración, m e d i d a en ciclos por segun-do. E n a l g u n a s publicaciones esto suele a b r e v i a r s e por cips, p r o n u n -c i á n d o s e tal -c o m o está es-crito. En la l i t e r a t u r a a l e m a n a a los -ci-clos por s e g u n d o se les suele l l a m a r Hcrtz, en h o n o r del p r i m e r investi-gador en o n d a s de r a d i o ( q u e son v i b r a c i o n e s e l é c t r i c a s ) .

E n la Ec. ( 1 . 1 ) a p a r e c e el símbolo a , c o n o c i d o c o m o frecuencia circular y m e d i d o en r a d i a n e s por s e g u n d o . Este m á s bien des-a f o r t u n des-a d o n o m b r e , se h des-a hecho f des-a m i l i des-a r debido des-a ldes-as p r o p i e d des-a d e s de la r e p r e s e n t a c i ó n vectorial, m i s m a q u e se d i s c u t i r á en el p r ó x i m o a r t í c u l o . Las relaciones e n t r e u>, f y T son las siguientes. E n la Ec.

( 1 . 1 ) y la Fig. 1.1b, p u e d e verse c l a r a m e n t e que u n ciclo c o m p l e t o de la vibración tiene l u g a r c u a n d o «ot h a p a s a d o al través de 3 6 0 ° o s e a 2?r r a d i a n e s . E n t o n c e s s u s valores previos, e s t a r á n r e s u m i d o s en la f u n c i ó n seno. Así, c u a n d o o,t = 2w, el i n t e r v a l o d e t i e m p o t

será i g u a l al periodo T, o sea,

T = — seg (1.2)

(.A)

P u e s t o q u e f es el recíproco de T ,

/ = ciclos por seg (1.3) E n las m á q u i n a s rotativas, la f r e c u e n c i a suele e x p r e s a r s e en

vi-b r a c i o n e s por m i n u t o , d e s i g n a d a s por v.p.m. = 3 0 w /r.

FIG. 1.2. Dos movimientos armónicos incluyendo el ángulo de f a s e ^

E n u n m o v i m i e n t o a r m ó n i c o en el cual el d e s p l a z a m i e n t o esté d a d o p o r x = x0 sen la velocidad se e n c u e n t r a , o b t e n i e n d o la

de-rivada del d e s p l a z a m i e n t o con r e s p e c t o al t i e m p o .

C I N E M A T I C A DE LAS V I B R A C I O N E S

d4 - X = Tyü) eos UÍÍ (1.4)

di

de tal suerte que la velocidad r e s u l t a t a m b i é n a r m ó n i c a con un valor m á x i m o .

La aceleración será

= X = -X0o)2 sen ü)í (1.5)

t a m b i é n a r m ó n i c a v con valor m á x i m o wax0.

Consideremos dos vibraciones d a d a s por ias expresiones -.a

sen mí y x, = b sen (<ot + y>), que se m u e s t r a n en la Fig. 1.2, g r a d -e a d a s c o n t r a «í c o m o abscisa. D-ebido a la p r -e s -e n c i a d -e la m a g n i t u d 9 las dos vibraciones no l o g r a r á n su d e s p l a z a m i e n t o en el m i s m o i n s t a n t e ya que u n a de ellas e s t a r á v7 - seg d e t r a s de la otra, .-a m a g n i t u d f se conoce c o m o el ángulo de fase o diferencia de fase e n t r e las dos vibraciones. P u e d e verse que los dos m o v i m i e n t o s tienen la m i s m a « y, c o m o c o n s e c u e n c i a , igual f r e c u e n c i a f . El á n g u l o ele f a s e tiene significado s o l a m e n t e , t r a t á n d o s e de dos m o v i m i e n t o s con la m i s m a f r e c u e n c i a , pues si las f r e c u e n c i a s son d i f e r e n t e s , el á n g u l o de f a s e no tiene sentido alguno

E J E M P L O : Un cuerpo suspendido de un resorte vibra verticaimente hacia arriba v hacia abajo entre dos posiciones espaciadas 1 y IV2 cm sobre el s u e l a Durante cada segundo alcanza la posición tope U ' , cm sobre el suelo) veces consecutivas. ¿Cuánto valdrán T. f, u y

So lució». x„ - ' 4 cm, T — ' , „ seg. f 20 ciclos por segundos y „ - 2 . f

— ^ 2 6 radianes por segundo.

1 2 R e p r e s e n t a c i ó n d e l a s v i b r a c i o n e s p o r el m é t o d o v e c t o r i a l . El m o v i m i e n t o de u n a p a r t í c u l a en vibración, p u e d e r e p r e s e n t a r s e con-v e n i e n t e m e n t e por m e d i o d e un con-vector rotaticon-vo. Sea el con-vector a Fig.

1 3 g i r a n d o con velocidad a n g u l a r u n i f o r m e «, en sentido c o n t r a r i o a las m a n e c i l l a s del reloj. C u a n d o el tiempo se m i d e desde la posicion horizontal del vector c o m o p u n t o de p a r t i d a , la proyección h o r i z o n t a l del vector puede escribirse c o m o

a eos Ü>Í

y la proyección vertical c o m o

a sen U

C u a l q u i e r a d e las dos proyecciones p u e d e t o m a r s e c o m o r e p r e s e n t a t i -va d e u n m o v i m i e n t o recíproco; en la siguiente a r g u m e n t a c i ó n , sin e m b a r g o , c o n s i d e r a r e m o s la proyección horizontal.

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FIG. 1.3. Vibración armónica repre- FIG. 1.4. El desplazamiento, la velo-sentada por la proyección horizontal cidad y la aceleración son vectores

per-de un vector rotativo pendiculares

E s t a r e p r e s e n t a c i ó n h a ciado origen al n o m b r e de frecuencia circular p a r a La m a g n i t u d w r e p r e s e n t a r á la velocidad a n g u l a r del vector m e d i d a en radianes por segundo; y la f r e c u e n c i a f, en este caso, se m e d i r á en revoluciones por segundo. Así, p o d r á verse i n m e d i a t a m e n t e que

W - 2 T T / .

La velocidad del m o v i m i e n t o x = a eos wt será

x — Ota sen o>t

la cual p o d r á r e p r e s e n t a r s e por ( l a proyección h o r i z o n t a l d e ) u n vector de longitud o*u, g i r a n d o con la m i s m a velocidad a n g u l a r « q u e el vector del d e s p l a z a m i e n t o , pero s i t u a d a s i e m p r e 9 0c a d e l a n t e de ese vector. La aceleración será - a*>- eos «t y e s t a r á r e p r e s e n t a d a por ( l a proyección horizontal d e ) u n vector d e longitud aw' g i r a n d o con la m i s m a velocidad a n g u l a r *, y 180° a d e l a n t e con r e s p e c t o a la posición del vector d e d e s p l a z a m i e n t o , o bien 9 0 ° a d e l a n t e del vector velocidad (Fig. 1 . 4 ) . La v e r a c i d a d d e estos a r g u m e n t o s p u e d e c o m p r o b a r s e f á c i l m e n t e , siguiendo los d i f e r e n t e s vectores al t r a v é s de u n a revolución c o m p l e t a .

' Este m é t o d o vectorial d e v i s u a l i z a r m o v i m i e n t o s recíprocos re-s u l t a re-s u m a m e n t e c o n v e n i e n t e . Por e j e m p l o , re-si un p u n t o e re-s t á re- simul-t á n e a m e n simul-t e s u j e simul-t o a dos m o v i m i e n simul-t o s con la m i s m a f r e c u e n c i a , pero q u e d i f i e r e n en el á n g u l o de f a s e sean a eos o.í, y b eos (<ot — y>)> la s u m a d e e s t a s dos e x p r e s i o n e s p o r m é t o d o s t r i g o n o m é t r i c o s

resul-t a r í a resul-tedioso. E m p e r o , los dos vecresul-tores p u e d e n f á c i l m e n resul-t e d i b u j a r s e , y el m o v i m i e n t o total q u e d a r á r e p r e s e n t a d o por la s u m a g e o m é t r i c a d e los dos vectores, c o m o se m u e s t r a e n la p a r t e jsuperior de la Fig. 1.5. U n a vez m á s el p a r a l e l o g r a m o c o m p l e t o a, b, se c o n s i d e r a

w

g i r a n d o en sentido c o n t r a r i o a las m a n e c i l l a s del reloj, con la velocidad a n g u l a r u n i f o r m e y la proyección h o r i z o n t a l de los d i f e r e n -tes vectores r e p r e s e n t a r á el d e s p l a z a m i e n t o en f u n c i ó n del t i e m p o . Esto se m u e s t r a en la p a r t e i n f e r i o r de la Fig. 1.5. La línea a-a repre-s e n t a el i n repre-s t a n t e d e tiempo p a r t i c u l a r p a r a el c u a l repre-se h a d i b u j a d o el d i a g r a m a . P u e d e verse d e i n m e d i a t o , q u e el d e s p l a z a m i e n t o d e l_a s u m a ( l í n e a p u n t e a d a ) es d e h e c h o la s u m a d e las o r d e n a d a s de a y b.

Es evidente q u e con la s u m a de estos vectores se o b t i e n e el r e s u l t a d o correcto, p o r q u e a eos «t es la proyección h o r i z o n t a l del

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es e v i d e n t e m e n t e igual a la s u m a de las proyecciones h o r i z o n t a l e s d e s u s dos c o m p o n e n t e s vectoriales, que es j u s t a m e n t e lo que se r e q u e r í a .

L a s u m a d e dos vectores será lícita, s o l a m e n t e si las vibraciones son d e la m i s m a f r e c u e n c i a . Los m o v i m i e n t o s a sen mt y a sen 2o>t

p u e d e n r e p r e s e n t a r s e por m e d i o de dos vectores, el p r i m e r o d e los c u a l e s g i r a r á con u n a velocidad a n g u l a r (U y el s e g u n d o con u n a velo-cidad doble, o sea, 2o>. La posición r e l a t i v a d e estos dos vectores en el d i a g r a m a c a m b i a c o n t i n u a m e n t e y c o m o c o n s e c u e n c i a , la s u m a g e o m é t r i c a c a r e c e r á d e significado.

FIG. 1.6. Suma de u n a onda senoidal y cosenoidal de diferente amplitud Un c a s o especial d e la s u m a vectorial d e la Fig. 1.5, q u e se p r e s e n t a con f r e c u e n c i a e n los p r ó x i m o s c a p í t u l o s , es la s u m a dfc u n a o n d a senoidal y cosenoidal de d i f e r e n t e a m p l i t u d : a sen u>í, y

b eos w£. E n este caso los dos vectores son p e r p e n d i c u l a r e s , por lo q u e en el d i a g r a m a de la Fig. 1.6 p u e d e verse de i n m e d i a t o q u e

d o n d e

a sen ait b eos ut = V a2 + b- sen (ut -f <f>)

t a n <p = b/a.

(1.6)

E J E M P L O : mientos

¿Cuál será la m á x i m a amplitud de la s u m a de los dos

movi-xJ = 5 sen 251 cm y x2 — 10 sen (251 + 1) cm?

Solución: El primer movimiento estará representado por u n vector de 5 cm de longitud, el cual puede d i b u j a r s e verticalmente a p u n t a n d o hacia abajo. Puesto que en esta posición el vector carece de proyección horizontal, repre-s e n t a entoncerepre-s el primer movimiento en el i n repre-s t a n t e t = 0. E n ese i n s t a n t e , el segundo movimiento es x2 = 10 sen 1, el cual está representado por un vector de 10 cm de longitud, girado 1 r a d i á n ( 5 0 ° ) con respecto al primer vector, en el sentido de las manecillas de u n reloj. La s u m a vectorial gráfica m u e s t r a el vector s u m a de 13.4 cm de longitud.

CAPITULO 2

SISTEMA CON UN SOLO GRADO D E LIBERTAD

2 1 Grados de libertad. Se dice que u n s i s t e m a m e c á n i c o t i e n e u n e r a d o d e libertad, si p o d e m o s e x p r e s a r su posición g e o m é t r i c a e n c u a l q u i e r i n s t a n t e m e d i a n t e un solo n ú m e r o . Sea, por e j e m p l o u n émbolo q u e se m u e v e c o n f i n a d o en u n cilindro. C o m o su posición en c u a l q u i e r i n s t a n t e , p u e d e d e t e r m i n a r s e por su d i s t a n c i a d e s d e el e x t r e m o del cilindro, t e n e m o s , por lo t a n t o , u n s i s t e m a con u n g r a d o de libertad. Otro e j e m p l o es el c a s o d e u n c i g ü e ñ a l q u e d e s c a n s a en u n o s c o j i n e t e s rígidos Aquí, la posición del s i s t e m a q u e d a c o m p e-u m e n t e d e t e r m i n a d a por el á n g e-u l o q e-u e f o r m a c e-u a l q e-u i e r a de s e-u s

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es e v i d e n t e m e n t e igual a la s u m a de las proyecciones h o r i z o n t a l e s d e s u s dos c o m p o n e n t e s vectoriales, que es j u s t a m e n t e lo que se r e q u e r í a .

L a s u m a d e dos vectores será lícita, s o l a m e n t e si las vibraciones son d e la m i s m a f r e c u e n c i a . Los m o v i m i e n t o s a sen mt y a sen 2o>t

p u e d e n r e p r e s e n t a r s e por m e d i o de dos vectores, el p r i m e r o d e los c u a l e s g i r a r á con u n a velocidad a n g u l a r (U y el s e g u n d o con u n a velo-cidad doble, o sea, 2o>. La posición r e l a t i v a d e estos dos vectores en el d i a g r a m a c a m b i a c o n t i n u a m e n t e y c o m o c o n s e c u e n c i a , la s u m a g e o m é t r i c a c a r e c e r á d e significado.

FIG. 1.6. Suma de u n a onda senoidal y cosenoidal de diferente amplitud Un c a s o especial d e la s u m a vectorial d e la Fig. 1.5, q u e se p r e s e n t a con f r e c u e n c i a e n los p r ó x i m o s c a p í t u l o s , es la s u m a dfc u n a o n d a senoidal y cosenoidal de d i f e r e n t e a m p l i t u d : a sen u>í, y

b eos w£. E n este caso los dos vectores son p e r p e n d i c u l a r e s , por lo q u e en el d i a g r a m a de la Fig. 1.6 p u e d e verse de i n m e d i a t o q u e

d o n d e

a sen ait b eos ut = V a2 + b- sen (ut -f <f>)

t a n <p = b/a.

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E J E M P L O : mientos

¿Cuál será la m á x i m a amplitud de la s u m a de los dos

movi-xJ = 5 sen 251 cm y x2 — 10 sen (251 -f 1) cm?

Solución: El primer movimiento estará representado por u n vector de 5 cm de longitud, el cual puede d i b u j a r s e verticalmente a p u n t a n d o hacia abajo. Puesto que en esta posición el vector carece de proyección horizontal, repre-s e n t a entoncerepre-s el primer movimiento en el i n repre-s t a n t e t = 0. E n ese i n s t a n t e , el segundo movimiento es x2 = 10 sen 1, el cual está representado por un vector de 10 cm de longitud, girado 1 r a d i á n ( 5 0 ° ) con respecto al primer vector, en el sentido de las manecillas de u n reloj. La s u m a vectorial gráfica m u e s t r a el vector s u m a de 13.4 cm de longitud.

CAPITULO 2

SISTEMA CON UN SOLO GRADO D E LIBERTAD

2 1 Grados de libertad. Se dice que u n s i s t e m a m e c á n i c o t i e n e u n e r a d o d e libertad, si p o d e m o s e x p r e s a r su posición g e o m é t r i c a e n c u a l q u i e r i n s t a n t e m e d i a n t e un solo n ú m e r o . Sea, por e j e m p l o u n émbolo q u e se m u e v e c o n f i n a d o en u n cilindro. C o m o su posición en c u a l q u i e r i n s t a n t e , p u e d e d e t e r m i n a r s e por su d i s t a n c i a d e s d e el e x t r e m o del cilindro, t e n e m o s , por lo t a n t o , u n s i s t e m a con u n g r a d o de libertad. Otro e j e m p l o es el c a s o d e u n c i g ü e ñ a l q u e d e s c a n s a en u n o s c o j i n e t e s rígidos Aquí, la posición del s i s t e m a q u e d a c o m p e-u m e n t e d e t e r m i n a d a por el á n g e-u l o q e-u e f o r m a c e-u a l q e-u i e r a de s e-u s

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grados d e libertad. Un disco que se m u e v e en u n p l a n o sin restricción a l g u n a tiene tres grados de libertad q u e s o n : los d e s p l a z a m i e n -tos x y y del c e n t r o d e g r a v e d a d y el á n g u l o d e r o t a c i ó n con respecto a su c e n t r o i d e . Un cilindro que r u e d a por u n p l a n o i n c l i n a d o tiene u n grado d e libertad. Si, por otro lado, su d e s c e n s o consiste t a n t o en r o d a m i e n t o c o m o en d e s l i z a m i e n t o , t e n d r á dos g r a d o s de l i b e r t a d : u n o debido a la traslación y el otro a la r o t a c i ó n .

U n c u e r p o rígido que se m u e v e l i b r e m e n t e en el espacio, tiene seis g r a d o s d e l i b e r t a d : tres por las t r a s l a c i o n e s y tres por las rota-ciones. E n c o n s e c u e n c i a , p a r a d e f i n i r su posición se r e q u i e r e n tres n ú m e r o s o "coordenadas". E s t a s c o o r d e n a d a s se d e n o m i n a n , general-m e n t e x, y, z, 4,, x. Un s i s t e m a d e dos c u e r p o s rígidos u n i d o s por

m e d i o d e u n r e s o r t e o cualquier otra s u j e c i ó n , d e tal s u e r t e que cual-quier c u e r p o p u e d a moverse s o l a m e n t e e n u n a l í n e a r e c t a sin poder girar, ü e n e dos g r a d o s d e libertad ( F i g . 2 . 1 ) . El p a r de m a g n i t u d e s q u e d e t e r m i n a la posición d e este s i s t e m a p u e d e e s c o g e r s e de m a n e r a m á s o m e n o s a r b i t r a r i a . Por e j e m p l o , p o d e m o s l l a m a r xl a la

dis-t a n c i a d e s d e u n p u n dis-t o f i j o O al p r i m e r c u e r p o y x, a la d i s dis-t a n c i a desde el p u n t o O al s e g u n d o cuerpo. Luego x, y x2 s e r á n las coorde-n a d a s . E m p e r o , p o d r í a m o s t a m b i é coorde-n escoger la d i s t a coorde-n c i a d e s d e O al c e n t r o d e g r a v e d a d de los dos c u e r p o s c o m o u n a d e las c o o r d e n a d a s y d e n o m i n a r l a s yy. P a r a la otra c o o r d e n a d a p o d e m o s escoger la

dis-t a n c i a e n dis-t r e los dos cuerpos, y2 = x, - Xl. El p a r d e n ú m e r o s x „ x2

describe c o m p l e t a m e n t e su posición; pero t a m b i é n q u e d a determi-n a d a codetermi-n el par yu yt. E s t a ú l t i m a selección tiene en este caso u n a -cierta v e n t a j a práctica, ya que, en g e n e r a l , n o suele i n t e r e s a r n o s t a n t o la posición del s i s t e m a en c o n j u n t o , c o m o los e s f u e r z o s d e n t r o d e él. El e s f u e r z o en el r e s o r t e de la Fig. 2 . 1 q u e d a c o m p l e t a m e n t e d e t e r m i n a d o por y2, así es que p a r a su cálculo n o se r e q u i e r e el

valor de y,. U n a selección a d e c u a d a d e las c o o r d e n a d a s d e u n s i s t e m a con varios grados d e libertad p u e d e s i m p l i f i c a r c o n s i d e r a b l e m e n t e los cálculos.

N o d e b e m o s s u p o n e r que u n s i s t e m a con u n solo g r a d o d e liber-tad sea s i e m p r e m u y sencillo. Por e j e m p l o , u n m o t o r d e gasolina d e 12 cilindros con u n c i g ü e ñ a l rígido y u n b l o q u e d e cilindros

rí-gidamente m o n t a d o , tiene u n solo g r a d o de libertad con todos sus émbolos movibles, v á s t a g o s , v á l v u l a s , árbol d e levas, etc. E s t o re-s u l t a are-sí p o r q u e u n re-solo n ú m e r o ( p o r e j e m p l o , el á n g u l o q u e h a

girado el cigüeñal) d e t e r m i n a c o m p l e t a m e n t e l a posición d e c a d a

una de las p a r t e s móviles del m o t o r . Sin e m b a r g o , si el bloque d e

cilindros está m o n t a d o e n resortes flexibles q u e le p e r m i t a n m o v e r s e

en cualquier dirección ( c o m o es el c a s o e n la m a y o r í a d e los

auto-móviles m o d e r n o s ) , el s i s t e m a tiene siete grados d e l i b e r t a d , q u e son los seis p e r t e n e c i e n t e s al bloque c o m o u n c u e r p o rígido libre en el espacio y el á n g u l o del c i g ü e ñ a l c o m o la s é p t i m a c o o r d e n a d a .

U n s i s t e m a c o m p l e t a m e n t e flexible tiene u n n ú m e r o i n f i n i t o d e g r a d o s d e libertad. Considere, por e j e m p l o , u n a v i g a flexible con d o s apoyos. M e d i a n t e u n a solicitación de c a r g a a d e c u a d a , es posible p a n -dear la viga h a c i é n d o l a t o m a r u n a c u r v a de c u a l q u i e r c o n f i g u r a c i ó n ( F i g . 2 . 2 ) . La descripción de e s t a c u r v a r e q u i e r e f u n c i ó n y = f ( x ) .

y

FIG. 2.2. Una viga tiene un número infinito de grados de libertad q u e es e q u i v a l e n t e a u n n ú m e r o i n f i n i t o de p a r e s d e valores E n c a d a p u n t o x de la viga, se p u e d e obtener la f l e c h a y i n d e p e n d i e n -t e m e n -t e de las o -t r a s p a r -t í c u l a s de la viga ( d e n -t r o d e los l í m i -t e s d e elasticidad de la v i g a ) . Así pues, la d e t e r m i n a c i ó n c o m p l e t a de su posición requiere t a n t o s valores de y c o m o p u n t o s tiene el e j e de la viga. E n el c a s o d e la Fig. 2.1, la f u n c i ó n y = f ( x ) no es ú n i c o c o n j u n t o de n ú m e r o s d e q u e se p u e d e disponer p a r a d e f i n i r su po-sición. Otro c a m i n o p a r a d e t e r m i n a r su elástica sería e s p e c i f i c a r todos los valores d e los c o e f i c i e n t e s a„ y K d e su serie de F o u n e r [Ec. ( 1 . 1 1 ) . Pág. 36] la q u e . u n a vez m á s . es n u m é r i c a m e n t e i n f i n i t a .

2.2 Obtención de la ecuación diferencial. C o n s i d e r e u n a m a s a m s u s p e n d i d a d e u n techo rígido por m e d i o d e u n resorte, c o m o se m u e s t r a e n la Fig. 2.3. La "rigidez" del r e s o r t e e s t á d a d a por su cons-t a n cons-t e d e r e s o r cons-t e " A q u e , por d e f i n i c i ó n , es el número de kilogramos de tensión necesarios para alargar el resorte 1 c m . E n t r e la m a s a y la p a r e d rígida h a y t a m b i é n u n m e c a n i s m o a m o r t i g u a d o r d e aire o aceite. Se s u p o n e q u e éste n o t r a n s m i t e f u e r z a a l g u n a a la m a s a s i e m p r e y c u a n d o e s t é e n reposo; pero, t a n p r o n t o c o m o se m u e v a la m a s a , la " f u e r z a d e a m o r t i g u a m i e n t o " del m e c a n i s m o es c * ocdx/dt

es decir p r o p o r c i o n a l a l a velocidad y e n dirección o p u e s t a . L a m a g -n i t u d c se co-noce c o m o c o -n s t a -n t e de amortiguamiento o, s i n abre-viación, c o m o coeficiente de amortiguamiento viscoso.

El a m o r t i g u a m i e n t o q u e tiene e f e c t o en los s i s t e m a s m e c á n i c o s

reales no s i e m p r e s i g u e u n a ley t a n sencilla c o m o l a ^ l a c i ó n ^

(11)

8, P á g . 4 7 7 y 4 9 4 ) , m i e n t r a s q u e con a m o r t i g u a m i e n t o "viscoso" el análisis r e s u l t a r e l a t i v a m e n t e sencillo.

Sea u n a f u e r z a e x t e r i o r a l t e r n a P0 sen wt a c t u a n d o sobre u n a m a s a , o r i g i n a d a p o r a l g ú n m e c a n i s m o q u e n o n e c e s i t a m o s e s p e c i f i c a r en detalle. P a r a u n a visualización m e n t a l s u p o n g a q u e e s t a f u e r z a se h a o b t e n i d o p o r a l g u i e n q u e e m p u j a y tira d e la m a s a artificial-m e n t e .

Auiuuiiít íjuuiauati

Fie. 2.3. El sistema f u n d a m e n t a l de u n solo grado de libertad

El p r o b l e m a c o n s i s t e e n c a l c u l a r el m o v i m i e n t o d e la m a s a ra debido a esta f u e r z a exterior. O, en o t r a s p a l a b r a s , si x es la d i s t a n cia e n t r e c u a l q u i e r posición i n s t a n t á n e a d e la m a s a d u r a n t e su m o -v i m i e n t o y . su posición d e equilibrio, t e n d r e m o s q u e o b t e n e r x en f u n c i ó n del t i e m p o . L a "ecuación del m o v i m i e n t o " q u e v a m o s a de-rivar n o es o t r a q u e l a e x p r e s i ó n m a t e m á t i c a d e la s e g u n d a ley d e N e w t o n .

F u e r z a = m a s a X a c e l e r a c i ó n

T o d a s l a s f u e r z a s q u e a c t ú a n sobre la m a s a se c o n s i d e r a n positivas c u a n d o se e j e r c e n h a c i a a b a j o y n e g a t i v a s c u a n d o se e j e r c e n h a c i a arriba.

La f u e r z a d e l r e s o r t e es d e magnitud kx, p u e s t o q u e es c e r o c u a n -do n o h a y a l a r g a m i e n t o x. C u a n d o x = 1 c m , la f u e r z a del r e s o r t e es, por d e f i n i c i ó n , d e k kg y, c o m o c o n s e c u e n c i a , l a f u e r z a d e l

resor-te para c u a l q u i e r o t r o valor d e x ( e n c e n t í m e t r o s ) será kx ( e n

kilo-g r a m o s ) , d a d o q u e el r e s o r t e sigue l a ley d e p r o p o r c i o n a l i d a d de

Hoo-ke entre la f u e r z a y d e f o r m a c i ó n .

El signo d e l a f u e r z a d e l r e s o r t e es n e g a t i v o , p u e s t o q u e el r e s o r t e tira hacia arriba d e la m a s a , c u a n d o el d e s p l a z a m i e n t o es hacia

aba-S I aba-S T E M A CON U N aba-SOLO GRADO D E L I B E R T A D 47

jo, o bien la f u e r z a del r e s o r t e es n e g a t i v a , c u a n d o x es positiva. Así p u e s , la f u e r z a del resorte está e x p r e s a d a por — kx.

La f u e r z a de a m o r t i g u a m i e n t o q u e a c t ú a sobre la m a s a t a m b i é n es n e g a t i v a , siendo su valor —cxL ya q u e e s t á dirigida contra la

ve-locidad x; a c t ú a h a c i a arriba ( n e g a t i v a ) , m i e n t r a s q u e x e s t á d i r i g i d a

hacia abajo ( p o s i t i v a ) . Las tres f u e r z a s q u e a c t ú a n sobre J a ma.-sa h a c i a a b a j o son

— kx — ex + Po sen ut L a ley d e N e w t o n n o s d a

d2x

m = mx = - kx - ex + Po sen wí,

dt-o mx + ex + kx = Po sen ut (2.1)

E s t a e c u a c i ó n t a n i m p o r t a n t e * se c o n o c e c o m o la ecuación diferen-cial del movimiento de un sistema con un solo grado de libertad. Los c u a t r o t é r m i n o s de la Ec. ( 2 . 1 ) son la f u e r z a d e i n e r c i a , l a f u e r z a d e a m o r t i g u a m i e n t o , la f u e r z a del r e s o r t e y la f u e r z a exterior.

Antes d e proceder a c a l c u l a r x d e la Ec. ( 2 . 1 ) , es decir, a la solución d e la ecuación d i f e r e n c i a l , es c o n v e n i e n t e c o n s i d e r a r algu-nos otros p r o b l e m a s q u e n o s lleven a la m i s m a e c u a c i ó n .

2.3. Otros casos. L a Fig. 2.4 r e p r e s e n t a u n disco con m o m e n t o de i n e r c i a 1 s u j e t o a u n a flecha con u n a rigidez torsional fe, d e f i n i d a como el momento en kilogramos-centímetros necesario para lograr un giro de torsión del disco de 1 radián. C o n s i d e r e el m o v i m i e n t o d e torsión del disco b a j o la i n f l u e n c i a de u n p a r d e torsión T0 sen <ot, aplicado e x t e r n a m e n t e . U n a vez m á s e s t e es ü n p r o b l e m a con u n solo g r a d o de libertad, ya q u e el d e s p l a z a m i e n t o t o r s i o n a l del disco desde su posición de equilibrio p u e d e e x p r e s a r s e con u n a sola m a g -n i t u d : el á -n g u l o La ley d e N e w t o -n , a p l i c a d a a u -n c u e r p o q u e gira, establece q u e

P a r de torsión = m o m e n t o d e i n e r c i a X aceleración a n g u l a r

- i - i * - - *

dt2

(12)

Sustituyendo estos valores en la Ec. ( 2 . 5 ) , t e n e m o s :

my — maow'sen«/ -f cy + caou eos cot + ky + kao senul — ka o sen ut + caoui eos ojt

my + cy + ky = maow'senuí (2.6)

Así, el movimiento relativo entre la m a s a y el techo en movimiento actúa de igual m a n e r a que el movimiento absoluto de u n a m a s a con el techo en reposo y con u n a f u e r z a de amplitud m a „ a c t u a n d o en la m a s a . El segundo m i e m b r o de la ( 2 . 6 ) es la f u e r z a de inercia de la m a s a , si se moviera con amplitud a,„ y, por ende, puede considerarse como la f u e r z a que tendría que aplicarse en la parte superior del resorte si éste f u e s e rígido, es decir, si se impide el movimiento y.

2.4. Vibraciones libres sin a m o r t i g u a m i e n t o . A n t e s d e d e s a r r o -llar la solución de la e c u a c i ó n g e n e r a l ( 2 . 1 ) , es útil c o n s i d e r a r p r i m e r o los casos m á s sencillos. Si n o h a y n i n g u n a f u e r z a exterior aplicada P„ sen u>t n i a m o r t i g u a m i e n t o ( c = 0 ) , la e x p r e s i ó n ( 2 . 1 ) se r e d u c e a

mx + kx = 0 (2.7)

fc o X = X

m

o, en l e n g u a j e c o m ú n : La deformación x es una función del tiempo tal que al obtener su segunda derivada, se obtiene una vez más la misma función, multiplicada por una constante negativa. A u n des-c o n o des-c i e n d o las e des-c u a des-c i o n e s d i f e r e n des-c i a l e s , p o d e m o s r e des-c o r d a r q u e exis-ten f u n c i o n e s d e este tipo, a s a b e r , s e n o s y c o s e n o s , y u n a t e n t a t i v a n o s m u e s t r a q u e sen t \Jk/m y eos t \/k/m s o n , de h e c h o , soluciones d e l a ( 2 . 7 ) . La f o r m a m á s g e n e r a l en q u e se p u e d e escribir la solu-ción d e la ( 2 . 7 ) es

Z = Cx sen t . p + C2 eos t . p (2.8) \ m \ m

d o n d e C, y C> son c o n s t a n t e s a r b i t r a r i a s . P u e d e c o m p r o b a r s e fácil-m e n t e q u e la ( 2 . 8 ) es u n a solución d e la ( 2 . 7 ) , s i fácil-m p l e fácil-m e n t e obte-n i e obte-n d o la s e g u obte-n d a d e r i v a d a d e la ( 2 . 8 ) y s u s t i t u y e obte-n d o este valor eobte-n l a ( 2 . 7 ) . N o existe n i n g u n a solución d e l a ( 2 . 7 ) q u e n o s e a l a ( 2 . 8 ) . E s t o n o se n e c e s i t a d e m o s t r a r a q u í ; es cierto y se d a r á p o r s u p u e s t o . I n t e r p r e t e m o s a h o r a f í s i c a m e n t e l a ( 2 . 8 ) . P r i m e r a m e n t e se ve q u e el r e s u l t a d o , tal c o m o a p a r e c e , es b a s t a n t e i n d e f i n i d o . L a s cons-t a n cons-t e s C j y C¿ p u e d e n t e n e r c u a l q u i e r valor q u e q u e r a m o s a s i g n a r l e s . P e r o el p r o b l e m a e n sí n o se h a p l a n t e a d o p o r c o m p l e t o . El

resul-@

t a d o ( 2 . 8 ) describe todos los m o v i m i e n t o s q u e s o n c a p a c e s d e l o g r a r el s i s t e m a d e m a s a y resorte. E n t r e otros, está el c a s o ^ r a el c u a l C\ = C2 = 0, d a n d o x = 0, lo q u e s i g n i f i c a q u e l a m a s a p e r m a n e c e p e r e n n e m e n t e e n reposo.

F i e . 2.8. Vibración libre sin amortiguamiento, p a r t i e n d o de un desplaza-miento inicial

E s p e c i f i c a r e m o s a h o r a en f o r m a d e f i n i t i v a q u e l a m a s a se h a d e s p l a z a d o d e su posición d e equilibrio a x = x0, y d e s p u é s se h a

libe-r a d o sin velocidad inicial. Midiendo el t i e m p o , d e s d e el i n s t a n t e en que se libera, las dos condiciones son

e n t = 0, x — xq y x = 0

S u s t i t u y e n d o la p r i m e r a condición e n la ( 2 . 8 ) , o b t e n e m o s

Xo = Ci • 0 + Ct • 1 0 C2 =

P a r a l a s e g u n d a condición d e b e r e m o s d e r i v a r p r i m e r o la E c . ( 2 . 8 ) , o b t e n i e n d o d e s p u é s

o - c ^ - i T É Í - J s - o o c , = o

S u s t i t u y e n d o estos r e s u l t a d o s en la ( 2 . 8 ) , l o g r a r e m o s l a solución e s p e c í f i c a

S = COS { J - (2.8a) \ m

E s t o r e p r e s e n t a u n a vibración sin amortiguamiento, u n ciclo d e la c u a l o c u r r e c u a n d o t \[W/m v a r í a al t r a v é s d e 3 6 0 ° o 2TT r a d i a n e s

(13)

Es u s u a l d e n o m i n a r a y/k/m p o r a>n l l a m a d a " f r e c u e n c i a c i r c u l a r n a t u r a l " . El valor V k / m = con es la velocidad a n g u l a r del vector rotativo que r e p r e s e n t a el m o v i m i e n t o v i b r a t o r i o ( v é a s e P á g . 1 7 ) .

El r e c í p r o c o d e T o frecuencia natural fn es

m e d i d a en ciclos p o r s e g u n d o . D e a q u í se sigue q u e si m se s u s t i t u y e por u n a m a s a d e doble peso, l a vibración s e r í a V 2 ~ v e c e s m á s l e n t a q u e en el caso a n t e r i o r . De i g u a l m a n e r a , si el r e s o r t e f u e r a la m i t a d de resistente, m a n t e n i e n d o c o n s t a n t e lo d e m á s , l a v i b r a c i ó n sería t a m b i é n V T v e c e s m e n o r . Debido a l a a u s e n c i a d e l a f u e r z a a p l i c a d a P„ sen o>t a esta vibración se le l l a m a vibración libre.

Si p a r t i m o s d e la suposición d e q u e el m o v i m i e n t o e s a r m ó n i c o , -la f r e c u e n c i a p u e d e c a l c u l a r s e e n f o r m a m u y s e n c i l l a d e -la consi-deración de la energía. E n el c e n t r o d e u n a oscilación la m a s a tiene u n a e n e r g í a c i n é t i c a c o n s i d e r a b l e , m i e n t r a s q u e e n las posiciones e x t r e m a s p e r m a n e c e i n s t a n t á n e a m e n t e e n r e p o s o , c a r e c i e n d o e n t o n -c e s d e e n e r g í a -cinéti-ca. E n e s t e i n s t a n t e el r e s o r t e e s t á e n e s t a d o de tensión ( o c o m p r e s i ó n ) y, por e n d e , con e n e r g í a elástica a l m a c e n a d a en él. E n c u a l q u i e r posición e n t r e el p u n t o m e d i o y el e x t r e m o , tiene s i m u l t á n e a m e n t e e n e r g í a cinética y elástica, la s u m a d e l a s c u a l e s es c o n s t a n t e , p u e s t o q u e las f u e r z a s e x t e r i o r e s n o e f e c t ú a n t r a b a j o a l g u n o e n el s i s t e m a . E n c o n s e c u e n c i a , l a e n e r g í a c i n é t i c a e n ei p u n t o m e d i o d e su r e c o r r i d o d e b e r á ser i g u a l a la e n e r g í a elástica a l m a c e n a d a e n su posición e x t r e m a .

P r o c e d e r e m o s a c a l c u l a r e s t a s e n e r g í a s . L a f u e r z a del r e s o r t e es

kx, y el t r a b a j o e f e c t u a d o al a u m e n t a r el d e s p l a z a m i e n t o e n dx

es kx - dx. L a e n e r g í a p o t e n c i a l o elástica del r e s o r t e , c u a n d o se c o m p r i m e u n a longitud x, es fo kx - dx = y2kx2. L a e n e r g í a c i n é t i c a

e n c u a l q u i e r i n s t a n t e es y2mv2. S u p o n g a m o s q u e el m o v i m i e n t o es

x = x0 sen Ü>Í, e n t o n c e s

V Xqiú COS wt. L a e n e r g í a p o t e n c i a l e n la po-sición e x t r e m a e s y2kjc*, y l a e n e r g í a c i n é t i c a e n l a posición n e u t r a l , d o n d e l a velocidad es m á x i m a , e s V2mv2míx = ^ m »2*2.

Por lo t a n t o , Mkxg = ^ m ^ x l

e n l a c u a l «>2 = k/m, i n d e p e n d i e n t e m e n t e d e la a m p l i t u d x0. E s t e

" m é t o d o

energético" p a r a c a l c u l a r la f r e c u e n c i a es d e s u m a i m p o r -t a n c i a . E n los C a p s . 4 y 6 se v e r á , al -t r a -t a r con s i s -t e m a s m á s com-plejos, q u e l a d e t e r m i n a c i ó n d e l a f r e c u e n c i a , p a r t i e n d o d e l a

ecua-ción d i f e r e n c i a l , r e s u l t a , a veces, t a n c o m p l i c a d a q u e se h a c e p r á c t i c a m e n t e imposible. E n tales casos, la g e n e r a l i z a c i ó n del m é t o d o de la e n e r g í a , conocida c o m o m é t o d o d e Rayleigh, n o s p r o p o r c i o n a r á los r e s u l t a d o s ( v é a n s e Págs. d e la 191 a la 2 0 9 ) .

L a f ó r m u l a o„ = V k/m p u e d e escribirse d e m a n e r a algo dife-r e n t e . E l peso d e la m a s a m es m g , y la d e f o dife-r m a c i ó n del dife-r e s o dife-r t e o r i g i n a d a por este peso e s mg/k. Y se le l l a m a d e f o r m a c i ó n e s t á t i c a 8est o flecha e s t á t i c a del r e s o r t e b a j o el peso.

s - m9

t>est ; k k g

Por lo t a n t o , —

m 5 est

o>n — J - S - ( 2 . 1 1 )

I Oest

Si 8««t se e x p r e s a e n c m , g = 9 8 1 c m / s e g2 y la f r e c u e n c i a es

fn = x / 9 8 1. J — = 5 J — ciclos por s e g u n d o

27T * 8e»t 1

fn = 3 0 0 J - i - ciclos por m i n u t o ( 2 . 1 1 a )

\

E s t a r e l a c i ó n , q u e es b a s t a n t e útil p a r a e s t i m a r e n f o r m a r á p i d a las f r e c u e n c i a s n a t u r a l e s o velocidades críticas, se m u e s t r a g r á f i c a m e n t e en la Fig. 2.9. E n p a p e l logarítmico a p a r e c e c o m o u n a l í n e a r e c t a . 2.5. Ejemplos. C o n s i d e r e a l g u n o s e j e m p l o s n u m é r i c o s a p l i c a n d o l a f ó r m u l a f u n d a m e n t a l ( 2 . 1 0 ) .

1. U n a b a r r a d e acero d e 1 por % c m d e sección t r a n s v e r s a l e s t á s ó l i d a m e n t e s u j e t a a u n b a n c o d e s u s e x t r e m o s y s o p o r t a n d o u n p e s o d e 2 0 kg e n el otro ( F i g . 2 . 1 0 ) . ( a ) ¿Cuál s e r á su f r e c u e n c i a de vibración, si la d i s t a n c i a e n t r e la c a r g a y el e m p o t r e es d e 3 0 c m ? ( b ) ¿Cuál será el p o r c e n t a j e d e v a r i a c i ó n d e la f r e c u e n c i a , si acor-t a m o s la barra V4 c m ?

a. E l peso propio d e la b a r r a es */2 p o r 1 por 3 0 c m3 y por 0 . 0 0 7 7 4 k g por c e n t í m e t r o cúbico, o s e a a p r o x i m a d a m e n t e , 0 . 1 2 kg. L a s m o -l é c u -l a s de l a b a r r a c e r c a n a s a la p e s a d e 2 0 k g v i b r a n en su e x t r e m o

prácticamente con l a m i s m a a m p l i t u d q u e la p e s a , n i e n t r a s q u e las m o l é c u l a s cercanas al e x t r e m o del e m p o t r e c a s i n o v i b r a n . E s t o se

(14)

t o m a e n c u e n t a s u m a n d o p a r t e del peso d e la b a r r a al peso en su ext r e m o . E n la P á g . 2 0 9 se m u e s ext r a q u e h a y q u e s u m a r , a p r o x i m a d a -m e n t e , l a c u a r t a p a r t e del peso de la b a r r a . Por lo t a n t o , la -m a s a -m d e la E c . ( 2 . 1 0 ) es 20.03/g = 2 0 . 0 3 / 9 8 1 kg cm"1 seg-.

-—..i—i : ii-i.::.

Ì ' ; : i T" i ; i • i ! ; ; j j " '

• j - p

- . ; i 14

-• 'S; ~T~ :r .t "i r : r • 'S;

1 '

j !

• i !n

!

¡¡i

: i 1

~T ; : _

- —

1 ' '

i ;

U í S j

\

FIG. 2.9. Curva representativa de la Ec. ( 2 . 1 1 a ) p a r a la f r e c u e n c i a nattfral de u n sistema sin a m o r t i g u a m i e n t o con u n solo grado de libertad

U n a f u e r z a P e n el e x t r e m o d e u n volado o r i g i n a u n a d e f o r m a c i ó n S = Pl'/3EI. La c o n s t a n t e del r e s o r t e es por d e f i n i c i ó n

k = P/5 = 3EI/13

El m o m e n t o de i n e r c i a d e la sección es J = V^bh3 = ( o %6> de-p e n d i e n d o esto si la vibración t i e n e l u g a r e n su de-p a r t e m á s rígida o e n el p l a n o m á s flexible. L a f r e c u e n c i a c i r c u l a r e s

Vl¿ 13 ( 2 ) 10° ( 9 8 1 )

— - t i = 13 r a d i a n e s p o r s e g u n d o

m 1 24 (30:i) 2 0 . 0 3 r 6

L a f r e c u e n c i a f„ = m„/2-n = 2 . 3 8 ciclos p o r s e g u n d o .

E n c a s o d e q u e l a b a r r a v i b r e e n la dirección d e la p a r t e m á s débil d e la sección I = y /» r e s u l t a l a m i t a d d e su valor original, o s e a 1.19 ciclos p o r s e g u n d o .

b. L a p r e g u n t a r e s p e c t o al c a m b i o d e f r e c u e n c i a debido al c a m -bio d e longitud p u e d e c o n t e s t a r s e c o m o sigue. La c o n s t a n t e d e re-sorte fe es p r o p o r c i o n a l a l / P y la f r e c u e n c i a , p o r c o n s i g u i e n t e s , es proporcional a V l / *3 - l"A/2 El acortar la b a r r a 1 por ciento, i n c r e -m e n t a r á la f r e c u e n c i a en V/>> por ciento. Así p u e s , el a c o r t a -m i e n t o d e V4 d e c m a u m e n t a r á la f r e c u e n c i a en 1V4 por ciento.

F I G . 2 . 1 0

2. Como u n s e g u n d o e j e m p l o , c o n s i d e r e u n t u b o e n f o r m a d e U, lleno de a g u a ( F i g . 2 . 1 1 ) . Sea la longitud total d e la c o l u m n a l, la sección t r a n s v e r s a l del t u b o A y la m a s a d e a g u a por c e n t í m e t r o cú-bico m , . Si el a g u a oscila h a c i a a t r á s y h a c i a a d e l a n t e , la m a s a e n m o v i m i e n t o es m, • A • l. E n e s t e p r o b l e m a n o h a y u n r e s o r t e especí-fico, pero, a u n así, la f u e r z a g r a v i t a c i o n a l tiende a m a n t e n e r el a g u a

FIG. 2.11. Oscilación de u n a columna líquida en u n tubo en f o r m a de U

(15)

Por lo t a n t o , la c o n s t a n t e e f e c t i v a de r e s o r t e en l a m a s a es k • ( a / i y . El e f e c t o d e la rigidez del r e s o r t e p u e d e v e r s e q u e dismi-n u y e r á p i d a m e dismi-n t e a m e d i d a q u e se d e s p l a z a h a c i a la i z q u i e r d a .

L a f r e c u e n c i a es

a I k

« n = y x —

l \ m

Con el m é t o d o de la e n e r g í a de la Pág. 56, los c á l c u l o s son los siguientes: Sea el m o v i m i e n t o de la m a s a x = xn sen o>nt, d o n d e «„

es todavía d e s c o n o c i d a . La a m p l i t u d del m o v i m i e n t o e n el r e s o r t e s e r á e n t o n c e s xn a/l y la e n e r g í a p o t e n c i a l del r e s o r t e s e r á

V2k8- = lúk(xua/iy. La e n e r g í a cinética d e la m a s a es y2mv- =

^ m ^ x " - . I g u a l a n d o e s t a s dos, la a m p l i t u d x„ d e c r e c e y 2 = A

W n m l2

Algunos d e los p r o b l e m a s del f i n a l d e este c a p í t u l o p u e d e n re-solverse m á s f á c i l m e n t e con el m é t o d o d e la e n e r g í a q u e por l a aplicación d i r e c t a de l a f ó r m u l a q u e c o m p r e n d e la y/Y/rñ.

2.6. Vibraciones libres con amortiguamiento viscoso. Hemos visto q u e u n a vibración libre sin a m o r t i g u a m i e n t o c o n t i n ú a p e r e n n e -m e n t e [Ec. ( 2 . 8 ) o ( 2 . 8 a ) ] . Es obvio q u e esto n u n c a o c u r r e e n la n a t u r a l e z a ; todas las vibraciones libres a c a b a n por s u c u m b i r des-p u é s d e cierto tiemdes-po. Considere, des-por lo t a n t o , la Ec. ( 2 . 1 ) , inclu* yendo el t é r m i n o d e a m o r t i g u a m i e n t o ex, a s a b e r

mx + ex -f kx = 0 (2.12)

El t é r m i n o del a m o r t i g u a m i e n t o viscoso se asocia u s u a l m e n t e con la expresión ex, p u e s t o q u e r e p r e s e n t a a c e r t a d a m e n t e las condicio-n e s d e a m o r t i g u a m i e condicio-n t o d e b i d a s a la viscosidad del aceite e condicio-n u condicio-n a m o r t i g u a d o r . Existen otros tipos d e a m o r t i g u a m i e n t o q u e se dis-c u t i r á n m á s a d e l a n t e ( P á g . 4 7 7 ) . L a soludis-ción d e la ( 2 . 1 2 ) n o p u e d e o b t e n e r s e t a n f á c i l m e n t e c o m o la d e la ( 2 . 7 ) . E m p e r o , si conside-r a m o s la f u n c i ó n x = e", d o n d e t es el t i e m p o y s u n a c o n s t a n t e des-conocida, se ve que, al o b t e n e r la d e r i v a d a , r e s u l t a l a m i s m a f u n c i ó n , pero m u l t i p l i c a d a por u n a c o n s t a n t e . S u s t i t u y e n d o e s t a f u n c i ó n e n la ( 2 . 1 2 ) , n o s p e r m i t e dividir por e" lo q u e n o s lleva a u n a e c u a c i ó n

algebraica, en l u g a r d e u n a e c u a c i ó n diferencial, lo c u a l e s u n a g r a n simplificación. Así p u e s , s u p o n e m o s q u e l a solución es e " . Con este supuesto, la Ec. ( 2 . 1 2 ) r e s u l t a

(ms2 + es + k)e" = 0 (2.13)

Si la ( 2 . 1 3 ) se s a t i s f a c e , n u e s t r a suposición x = est c o m o

solu-ción es correcta. P u e s t o q u e la Ec. ( 2 . 1 3 ) es d e s e g u n d o g r a d o , e n s h a y dos valores sx y s2, q u e h a c e n q u e el p r i m e r m i e m b r o d e la ( 2 . 1 3 ) s e a igual a cero

- - ¿ ± - i «•»>

d e m a n e r a q u e e*»' y e'-s son las dos soluciones d e la Ec. ( 2 . 1 2 ) . La solución m á s g e n e r a l es

x = Cíe"* + C2eait (2.15)

d o n d e C, y C, son c o n s t a n t e s a r b i t r a r i a s

Al dilucidar el s i g n i f i c a d o físico d e e s t a e c u a c i ó n , d e b e m o s dis-tinguir dos c a s o s , q u e d e p e n d e n d e q u e las e x p r e s i o n e s d e s e n l a Ec. ( 2 . 1 4 ) s e a n r e a l e s o c o m p l e j a s . P u e d e v e r s e c l a r a m e n t e q u e c u a n -do ( c / 2 m ) - > h / m , la expresión d e n t r o del r a d i c a l es positiva, s i e n d o , por lo t a n t o , r e a l e s los dos valores d e s. M á s a ú n , a m b o s son n e g a t i -vos, p u e s t o q u e la raíz c u a d r a d a es m e n o r q u e el p r i m e r t é r m i n o c / 2 m . Así, la ( 2 . 1 5 ) describe u n a solución q u e c o n s i s t e en la s u m a d e dos c u r v a s e x p o n e n c i a l e s d e c r e c i e n t e s , c o m o se m u e s t r a e n la Fig. 2 . 1 4 . C o m o u n e j e m p l o r e p r e s e n t a t i v o , el caso C1 = 1, Ct = - 2 se h a d i b u j a d o con u n a línea p u n t e a d a .

FIG. 2.14. Movimiento de u n sistema con u n solo grado de libertad con amor-tiguamiento mayor que el a m o r t i g u a m i e n t o crítico cc

(16)

sino m á s bien u n lento regreso a la posición de equilibrio. Esto se debe al h e c h o de que c u a n d o ( c / 2 m ) - > k/m, a m o r t i g u a m i e n t o c es s u m a m e n t e g r a n d e . P a r a valores m e n o r e s d e c que c o n c i e r n e n m á s a los casos prácticos, la ( 2 . 1 4 ) da valores c o m p l e j o s p a r a s, y la solución de la ( 2 . 1 5 ) , tal como está escrita, r e s u l t a sin significa-do alguno. Al a m o r t i g u a m i e n t o c, e n el que o c u r r e esta transición, se le llama a m o r t i g u a m i e n t o crítico cr:

cr - 2m = 2 \/mk = 2mun (2.16)

En el caso de que el a m o r t i g u a m i e n t o sea m e n o r que éste, la ( 2 . 1 4 ) puede escribirse m e j o r c o m o

Sl

-' = - L

± J

" (¿j)' - - É

1

•">

l

'-'-

17)

d o n d e j = V - l . A u n q u e el radical r e s u l t a a h o r a u n n ú m e r o real, los dos valores de s c o n t i e n e n a j y, c o m o c o n s e c u e n c i a , la solución de la ( 2 . 1 5 ) c o n t i e n e t é r m i n o s de la f o r m a e'"', q u e debe interpre-t a r s e por medio de la Ec. ( 1 . 8 ) , de la Pág. 29.

Con la ( 2 . 1 7 ) y la ( 1 . 8 ) la solución de la ( 2 . 1 5 ) resulta

X = c [Ci(cos qt + j sen qt) + C2( e o s qt j sen $ ) ]

= í(6'i 4- Ci) eos qt 4- (j:C1 - jC») sen qt] (2.48) Puesto que C, y C. e r a n c o n s t a n t e s a r b i t r a r i a s , (C, 4- Ct) y

( j C , — jC.) s e r á n t a m b i é n a r b i t r a r i a s , q u e en f o r m a m á s sencilla, podemos escribirlas c o m o C y C ' . Así,

x = (C", eos qt 4- C', sen qt) )

d o n d e ¡y "cr (2.19a, b)

q = \m " )

Esta es la solución p a r a un a m o r t i g u a m i e n t o m e n o r que cv. C o n s t a

de dos f a c t o r e s : el primero, u n a e x p o n e n c i a l d e c r e c i e n t e (Fig. 2 . 1 4 ) , y el segundo, u n a o n d a senoidal. El r e s u l t a d o c o m b i n a d o es "una o n d a senoidal a m o r t i g u a d a " d e s c a n s a n d o en el espacio e n t r e la c u r v a e x p o n e n c i a l y su i m a g e n r e f l e j a d a ( F i g . 2 . 1 5 ) . C u a n t o m á s p e q u e ñ a sea la c o n s t a n t e de a m o r t i g u a m i e n t o c, m á s a p l a s t a d a r e s u l t a r á la c u r v a e x p o n e n c i a l y m á s ciclos se r e q u e r i r á n p a r a que se d e s v a n e z c a n las vibraciones.

La relación de este d e s v a n e c i m i e n t o es i n t e r e s a n t e y p u e d e calcu-larse en f o r m a sencilla c o n s i d e r a n d o dos m á x i m o s c o n s e c u t i v o s cualesquiera de la c u r v a : A-B, tí-C, etc. D u r a n t e el i n t e r v a l o de tiempo e n t r e dos de estos m á x i m o s , es decir, d u r a n t e 2Tr/q seg, la amplitud de la vibración ( q u e en este m á x i m o p r á c t i c a m e n t e coincide con 6' " 4 ' ) d i s m i n u y e de a c " ¿ 0 + ? ) . V e m o s que la ú l t i m a de estas dos expresiones es igual a la p r i m e r a m u l t i p l i c a d a por u n factor c o n s t a n t e e factor que, n a t u r a l m e n t e , es m e n o r q u e la u n i d a d . Puede verse que este factor es el m i s m o p a r a dos m á x i m o s sucesivos cualesquiera, i n d e p e n d i e n t e m e n t e de la a m p l i t u d de vibra-ción o del tiempo. La relavibra-ción e n t r e dos m á x i m o s sucesivos es cons-tante. Las a m p l i t u d e s decrecen en progresión g e o m é t r i c a .

Fie. 2.15. Vibración libre de un sistema con amortiguamiento menor que el amortiguamiento crítico de la Ec. ( 2 . 1 6 )

Hemos visto que si .v„ es la enésima amplitud m á x i m a d u r a n t e u n a vibra-ción y es el siguiente máximo, entonces .v,ltl = xne-*r"*» o también log,.

(xJxn+S~- ~c'mcl ~ L a magnitud 5 se conoce como el decremento

loga-rítmico. Para pequeño amortiguamiento tenemos

5 = ma -mq 277 Ce í \ 1 W

y también xntì/xn = c-« ~ 1 - 6, de modo que

?I£ (2.20)

Vemos que la frecuencia de la vibración d i s m i n u y e al i n c r e m e n -tar el a m o r t i g u a m i e n t o de acuerdo con la ( 2 . 1 9 / ; ) , que, escrita e n f o r m a no d i m e n s i o n a l con la a y u d a de la ( 2 . 1 6 ) , resulta

(17)

E s t a relación se e n c u e n t r a r e p r e s e n t a d a g r á f i c a m e n t e en la Fig. 2 . 1 6 , d o n d e la o r d e n a d a q/»n es la relación d e la f r e c u e n c i a n a t u r a l a m o r

-t i g u a d a con r e s p e c -t o a la n o a m o r -t i g u a d a , m i e n -t r a s q u e la abscisa es la razón de la c o n s t a n t e real a la c o n s t a n t e de a m o r t i g u a m i e n t o

Fig. 2.16. Frecuencia natural de u n sistema con u n solo grado de libertad amortiguado, en f u n c i ó n del amortiguamiento; Ec. (2.19¿>)

crítico. La f i g u r a es un círculo; por s u p u e s t o , p a r a el a m o r t i g u a -m i e n t o crítico ( c = c,.) la f r e c u e n c i a n a t u r a l q e s cero. El d i a g r a m a se ha d i b u j a d o t a m b i é n con valores negativos d e c, cuyo signifi-c a d o se explisignifi-cará p o s t e r i o r m e n t e en el Cap. 7 ( P á g . 3 7 5 ) . Debido a la t a n g e n t e horizontal de círculo en c = 0, la f r e c u e n c i a n a t u r a l es p r á c t i c a m e n t e c o n s t a n t e e igual a \ ' k / m p a r a todos los valores téc-nicos del a m o r t i g u a m i e n t o ( c / c , < 0 . 2 ) .

La vibración libre sin a m o r t i g u a m i e n t o p u e d e r e p r e s e n t a r s e por un vector rotativo, y a q u e es un m o v i m i e n t o a r m ó n i c o , cuyo p u n t o e x t r e m o describe u n círculo. En el p r e s e n t e c a s o de m o v i m i e n t o

amortiguado, esta r e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a sigue s i e n d o válida, a ex-cepción de q u e la a m p l i t u d decrece con el t i e m p o . Así p u e s , al girar, el vector se encoge con r a p i d e z p r o p o r c i o n a l a su l o n g i t u d , d a n d o

así u n a d i s m i n u c i ó n en progresión g e o m é t r i c a . El p u n t o e x t r e m o d e este vector describe u n a "espiral l o g a r í t m i c a " ( F i g . 2 . 1 7 ) . La ampli-tud d e un d i a g r a m a c o m el d e la Fig. 2 . 1 5 p u e d e o b t e n e r s e d e la Fig. 2.17, t o m a n d o la proyección horizontal del vector cuyo e x t r e m o d e s c a n s a en la espiral y que gira con u n a velocidad a n g u l a r uni-f o r m e q [Ec. ( 2 . 1 9 ) ] .

U n c a s o especial c o m o el p r e c e d e n t e a c o n t e c e c u a n d o la m a s a o inercia del s i s t e m a es p e q u e ñ a y p u e d e d e s p r e c i a r s e , d e m a n e r a q u e sólo quede u n r e s o r t e y u n a m o r t i g u a d o r . D e s e a m o s c o n o c e r el m o v i m i e n t o del é m b o l o ( s i n m a s a ) del a m o r t i g u a d o r c u a n d o se le li-b e r a d e u n a d e f o r m a c i ó n original x„. Su e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l es

c ~ -f kx = 0

la cual p u e d e resolverse d i r e c t a m e n t e escribiendo

Q

- (log x + const.)

rC

C u a n d o R — 0 la d e f o r m a c i ó n es .V =. A,,, de m a n e r a q u e la c o n s t a n t e es - log x„. Y por e n d e

t = - j log * y x = x0e~<, (2.21)

K X o J

esta relación está r e p r e s e n t a d a por u n a de las c u r v a s c o m p a c t a s d e la Fig. 2.14. E v i d e n t e m e n t e el e x p o n e n t e de la f u n c i ó n e es u n a

m a g n i t u d , sin d i m e n s i ó n , d e m a n e r a q u e c/k d e b e r á t e n e r p o r d i m e n s i ó n u n i d a d e s d e tiempo. E s t a se conoce c o m o tiempo de rela-jamiento, q u e , p o r d e f i n i c i ó n , es el t i e m p o en el q u e la d e f o r m a c i ó n del s i s t e m a x„ se " r e l a j a " en l/e veces su valor original. E n la Pág.

185 t e n d r e m o s o p o r t u n i d a d d e utilizar e s t e c o n c e p t o .

E J E M P L O: En el sistema mostrado en la Fig. 2.13, Pág. 61, la m a s a pesa 1 onza * y el resorte tiene u n a rigidez de 10 kg por era; l = 4 c m ; a = b = 2 c m .

c dx k x

r — = - dt dx

x

(18)

Más a ú n , se ha acoplado u n mecanismo amortiguador en el p u n t o medio de la viga, es decir, el m i s m o p u n t o en el que se ha s u j e t a d o el resorte. El amorti-guador produce u n a f u e r z a de 0.001 kg con u n a velocidad de 1 cm por segundo.

a. ¿Cuál es la razón de la declinación de las vibraciones libres? b. ¿Cuál será el a m o r t i g u a m i e n t o crítico en el amortiguador?

Solución. Responderemos primero a la p r e g u n t a (b) por medio de la Ec. ( 2 . 1 6 ) . La frecuencia n a t u r a l sin a m o r t i g u a m i e n t o es w„ = y / k / m . En la Pág. 62 encontramos que la c o n s t a n t e equivalente del resorte de la Fig. 2.13 es ka-/l- o fe/4 = 2.5 kg por cm. Así,

l 2.5 X 981

= - 292.6 r a d i a n e s / s e g u n d o 0.02835

La constante crítica de a m o r t i g u a m i e n t o del sistema (es decir, el amortigua-miento crítico en la masa de un amortiguador i m a g i n a r i o ) es, Ec. ( 2 . 1 6 ) ,

0.02835

2 X X 292.6 = 0.0169 k g / c m / s e g 981

Puesto que el amortiguador está en realidad situado en el p u n t o medio de la viga, el amortiguador deberá tener u n a c o n s t a n t e que es c u a t r o veces mayor, por la m i s m a razón que el resorte deberá tener c u a t r o veces la rigidez del resorte equivalente (véase la Pág. 6 2 ) . Así pues, la respuesta a la p r e g u n t a ( b )

cc = 0.0169 k g / c m / s e g

a. La razón de declinación se obtendrá de la Ec. ( 2 . 2 0 ) Ax c 0.001

= Ó = 2TT — = 2tt = 0.371 X c„ 0.0169

x

~ = 1 - 0.371 = 0.629

2.7. Vibraciones f o r z a d a s sin a m o r t i g u a m i e n t o . Otro c a s o par-ticular i m p o r t a n t e d e la Ec. ( 2 . 1 ) es a q u e l en q u e el t é r m i n o del a m o r t i g u a m i e n t o ex se h a c e cero, m i e n t r a s q u e el r e s t o se

conserva.-m.r + kx = Po sen ut (2.22)

Es r a z o n a b l e s u p o n e r q u e la f u n c i ó n x = x„ sen wf p u e d a s a t i s f a c e r esta e c u a c i ó n . E n e f e c t o , al s u s t i t u i r esta f u n c i ó n la Ec. ( 2 . 2 2 ) r e s u l t a

— mar.í-,, sen' ul -f kx0 sen ut = P0 sen ut dividiendo c a d a t é r m i n o e n t r e sen oí, o b t e n d r e m o s

Xn(A- - mu-) = PQ

- - _ , , J a *

I: - mu- 1 - mu-/k 1 — (u

'u,)-y r _ Pn.'k

•r ~ 1 _ (a, a, „ y - ' 'S ( W (2.2;?)

que es u n a solución d e la ( 2 . 2 2 ) . La expresión P0/k del n u m e r a d o r

tiene u n significado físico sencillo: es la d e f o r m a c i ó n e s t á t i c a del resorte b a j o la carga ( c o n s t a n t e ) P„. Por lo t a n t o , p o d e m o s escribir

k y así la solución resulta

f =» , / / T, - s e n ut (2.24)

XfH, 1 — \U/ un)

-Aunque es válido establecer que e s t a expresión e s " u n a " solución de la ( 2 . 2 2 ) , n o puede ser la solución m á s general, la cual debe con-tener dos c o n s t a n t e s de i n t e g r a c i ó n . P u e d e verificarse f á c i l m e n t e por sustitución que

.r = í ' i s e n unt -+- ''"s unt + , T ', ... sen ut (2.25)

1 -- lu>

a'„)-s a t i a'„)-s f a c e la ( 2 . 2 2 ) . Loa'„)-s doa'„)-s p r i m e r o a'„)-s t é r m i n o a'„)-s c o n a'„)-s t i t u y e n la vibra-ción libre sin a m o r t i g u a m i e n t o ; el tercer t é r m i n o es la vibración f o r z a d a n o a m o r t i g u a d a . Esto es u n a m a n i f e s t a c i ó n de la propiedad m a t e m á t i c a general de las e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s de este tipo, c o m o se establece en el siguiente t e o r e m a :

Teorema: La solución g e n e r a l ( 2 . 2 5 ) d e la e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l c o m p l e t a ( 2 . 2 2 ) es la s u m a de la solución g e n e r a l ( 2 . 8 ) de la Ec. ( 2 . 7 ) con el s e g u n d o m i e m b r o igual a cero, y la solución particu-lar ( 2 . 2 3 ) de la Ec. ( 2 . 2 2 ) c o m p l e t a .

Se ve que los dos p r i m e r o s t é r m i n o s d e la ( 2 . 2 5 ) ( l a vibración libre) f o r m a n u n a o n d a senoidal de f r e c u e n c i a n a t u r a l o libre Ü>„, m i e n t r a s que la vibración f o r z a d a ( e l tercer t é r m i n o ) es u n a o n d a d e f r e c u e n c i a forzada *>. P u e s t o q u e e s t a m o s en libertad de d a r a <o los valores que deseemos, es evidente q u e o y «„ son c o m p l e t a m e n t e i n d e p e n d i e n t e s e n t r e sí. La solución ( 2 . 2 5 ) por ser la s u m a d e d o s o n d a s senoidales de d i f e r e n t e s f r e c u e n c i a s , n o es en sí u n m o v i m i e n t o a r m ó n i c o ( v é a s e la Fig. 2.25c, Pág. 8 3 ) .

Es i n t e r e s a n t e e x a m i n a r a h o r a m á s de cerca las i m p l i c a c i o n e s del r e s u l t a d o ( 2 . 2 4 ) . Es evidente que x/xe,, es u n a o n d a s e n o i d a l d e

a m p l i t u d 1 / [ 1 — («/<o„)8l, d e p e n d i e n d o de la razón de f r e c u e n c i a s ,./*>„. La Fig. 2.18 r e p r e s e n t a esta relación.

(19)

suposición de q u e x0 sen «oí sea la solución h e c h a i n m e d i a t a m e n t e a c o n t i n u a c i ó n . P a r e c e ser q u e en la región «,/«,„ > 1 los r e s u l t a d o s de x0 son negativos. Pero p o d e m o s escribir.

- x0 sen «i = + xt¡ sen (u>t + 1 8 0 ° )

lo q u e m u e s t r a q u e u n a " a m p l i t u d n e g a t i v a " es e q u i v a l e n t e a la a m p l i t u d positiva d e u n a o n d a que esté s i m p l e m e n t e d e f a s a d a 180° con ( e n oposición a ) la o n d a original. F í s i c a m e n t e esto s i g n i f i c a q u e m i e n t r a s q u e w/w„ < 1 la f u e r z a y el m o v i m i e n t o e s t á n en f a s e , e s t a r á n en oposición c u a n d o <„/„,„ > 1. M i e n t r a s q u e c u a n d o W/U n < 1 la m a s a e s t á d e b a j o de la posición d e equilibrio c u a n d o l a f u e r z a e m p u j a h a c i a a b a j o ; e n c o n t r a m o s q u e c u a n d o «/«„ > 1 la m a s a e s t á por enci-m a de la posición d e equilibrio enci-m i e n t r a s la f u e r z a e enci-m p u j a h a c i a a b a j o .

E n g e n e r a l e s t a relación d e f a s e s se c o n s i d e r a d e poca i m p o r t a n -cia, m i e n t r a s q u e la a m p l i t u d es d e u n a i m p o r t a n c i a vital; p o r lo t a n t o , p u e d e i g n o r a r s e el signo n e g a t i v o a p a r e c i e n d o la línea p u n t e a d a d e la Fig. 2.18.

FIG. 2.18. D i a g r a m a de resonancia para el movimiento absoluto de u n sistema cuya m a s a está sujeta a u n a f u e r z a de amplitud constante y f r e c u e n c i a variable;

Ec. 2.23. Este d i a g r a m a es diferente al de la Fig. 2.20

S I S T E M A C O N U N S O L O G R A D O D E L I B E R T A D 71 E x i s t e n tres p u n t o s i m p o r t a n t e s , A, B y C e n la Fig. 2 . 1 8 e n los cuales es posible inferir el valor de la o r d e n a d a b a s á n d o n o s en razo-n a m i e razo-n t o s p u r a m e razo-n t e físicos. C o razo-n s i d e r e p r i m e r o el p u razo-n t o A m u y c e r c a n o a ... = 0; la f r e c u e n c i a de la f u e r z a es s u m a m e n t e l e n t a y la m a s a se h a b r á d e f o r m a d o por la f u e r z a , s o l a m e n t e en la m a g n i t u d de su d e f o r m a c i ó n estática. Esto r e s u l t a f í s i c a m e n t e claro, y, por lo t a n t o , las a m p l i t u d e s d e la c u r v a c e r c a n a s al p u n t o A d e b e r á n ser a p r o x i m a d a m e n t e iguales a la u n i d a d . Por otro lado, p a r a fre-c u e n fre-c i a s m u y altas «/«„ > 1 la f u e r z a se m u e v e h a fre-c i a a r r i b a y h a fre-c i a a b a j o t a n de prisa q u e la m a s a s i m p l e m e n t e n o tiene t i e m p o p a r a se-guirla y la a m p l i t u d resulta m u y p e q u e ñ a ( p u n t o B).

Pero el c a s o m á s i n t e r e s a n t e o c u r r e en el p u n t o C, d o n d e la a m p l i t u d se h a c e i n f i n i t a m e n t e g r a n d e . E s t o p u e d e t a m b i é n e n t e n -d e r s e f í s i c a m e n t e . C u a n -d o w/u>„ = 1, la f r e c u e n c i a f o r z a -d a coinci-de e x a c t a m e n t e con la f r e c u e n c i a n a t u r a l . La f u e r z a e n t o n c e s p u e d e s i e m p r e e m p u j a r a la m a s a en el m o m e n t o o p o r t u n o en la direc-c i ó n a d e direc-c u a d a y la a m p l i t u d p u e d e a u m e n t a r i n d e f i n i d a m e n t e . Es el c a s o d e u n p é n d u l o al q u e se le e m p u j a l i g e r a m e n t e en la direc-ción d e su m o v i m i e n t o c a d a vez q u e se b a l a n c e a : U n a f u e r z a r e l a t i v a m e n t e p e q u e ñ a p u e d e h a c e r la a m p l i t u d s u m a m e n t e g r a n d e . E s t e f e n ó m e n o t a n i m p o r t a n t e se c o n o c e c o m o " r e s o n a n c i a " , y a la f r e c u e n c i a n a t u r a l se la suele l l a m a r t a m b i é n " f r e c u e n c i a d e reso-n a reso-n c i a " .

H a s t a a h o r a la teoría se h a c i r c u n s c r i t o a u n a f u e r z a i m p r i m i d a e n la que la a m p l i t u d P„ es independiente d e la f r e c u e n c i a o>. Otro c a s o de i m p o r t a n c i a técnica r e s u l t a c u a n d o P„ es p r o p o r c i o n a l a u>'¿. Por ejemplo, la Fig. 2.19 r e p r e s e n t a u n a viga s u s t e n t a d a e n dos apo-yos s o p o r t a n d o u n motor d e s b a l a n c e a d o e n su c e n t r o . Al a n d a r el

41= 41 -, . „ f e l f e n . . .

FIG. 2.19. Motor desbalanceado proporcionando u n a f u e r z a mw-a0 que origina el d i a g r a m a de resonancia de la Fig. 2.20

(20)

En apariencia el sistema se h a excitado con 3 1%9 0 = 1.08 veces la

resonan-cia. Así es que por la Fig. 2.18 o la Ec. ( 2 . 2 4 ) , e"l efecto del par motor se h a a u m e n t a d o por el factor

1 - (í.OS)' = <,-°

De la Ec. ( 2 . 4 ) vemos que el p a r motor en cuestión es C 0%5 ( ) T0 o sea, cuatro quintos de la amplitud de la componente a l t e r n a n t e del p a r motor. Como establecimos, el p a r motor consiste de u n a parte constante T„ y u n a parte alternante con igual amplitud Tn. El p a r motor m á x i m o e n la flecha es

7'o + ti.o X H To = 5.807'o

El par motor estable T0 puede obtenerse de la velocidad y del c a b a l l a j e así:

cv. 200 X 4 500

Tu = - ,0_ v - = 197 kg m = 19 700 kg-cm

o (¿o x ¿-x

El esfuerzo cortante en la f l e c h a debido a este p a r motor estable es „ _ TV _ 7V¿/2 , 7 ' o 5 X 19 700

" 7 7 - jr¿V32 = 5 Si" = — 4 i ) 7 - = 3 6 8 kS/ c m 2

Debido a la proximidad de la resonancia, este e s f u e r z o está multiplicado por 5.8, de m a n e r a que el m á x i m o e s f u e r z o de corte total es 2 134 k g / c m2. La

"resistencia a la f a t i g a " del acero m e n c i o n a d a se h a derivado de u n a s prue-bas de tensiones, donde el esfuerzo de tensión es el doble del e s f u e r z o cortante. El límite usual de fatigas en flechas de acero es m e n o r de 2 000 k g / c m2 por

lo que la flecha deberá fallar. El diseño puede m e j o r a r s e reduciendo el diá-metro de la flecha a 3 cm. Así, la f r e c u e n c i a n a t u r a l resulta 62 radianes por segundo, y el factor de amplificación del nuevo esfuerzo m á x i m o de tensión resulta 2.04 que está dentro de los límites de seguridad.

2.8. Vibraciones forzadas con amortiguamiento viscoso. Finalmen-te c o n s i d e r a r e m o s l a Ec. ( 2 . 1 ) c o m p l e t a

mx + ex + kx = P o s e n w / (2.1)

Puede c o m p r o b a r s e q u e el t e o r e m a d e la P á g . 69 es válido t a m b i é n aquí. De a c u e r d o con e s e t e o r e m a , la solución c o m p l e t a d e la ( 2 . 1 ) c o n s t a de la s u m a de la solución c o m p l e t a d e la Ec. ( 2 . 1 2 ) , q u e es la ( 2 . 1 ) con el s e g u n d o m i e m b r o igual a cero, y la solución parti-c u l a r d e toda l a Eparti-c. ( 2 . 1 ) . Pero la soluparti-ción d e la e parti-c u a parti-c i ó n parti-con el s e g u n d o m i e m b r o igual a c e r o h a sido y a o b t e n i d a ( E c . 2 . 1 9 ) , d e m a n e r a q u e

C

x = e 2 m (Ci sen qt + C2 eos qt) -f solución p a r t i c u l a r (2.27) Basta por lo tanto o b t e n e r s i m p l e m e n t e la solución p a r t i c u l a r .

Aná-logamente al caso del Art. 2.7, p o d e m o s s u p o n e r x = x0 sen a>t, p e r o

e n t o n c e s el t é r m i n o ex n o s d a r á eos U, de m a n e r a q u e este s u p u e s t o es e v i d e n t e m e n t e incorrecto. Es posible s u p o n e r

sen x = A sen td + fí eos ut

y s u s t i t u i r este valor en la ( 2 . 1 ) . En este caso se p r e s e n t a n s o l a m e n -te los t é r m i n o s q u e c o n t e n g a n sen <,,t y eos «.,t p e r o q u e d a n dos cons-tantes A y B disponibles. Resolviendo A y B a l g e b r a i c a m e n t e , p u e d e o b t e n e r s e u n a solución p a r t i c u l a r . Aquí d e r i v a r e m o s el r e s u l t a d o en f o r m a d i f e r e n t e , p a r a p r o p o r c i o n a r u n a c o m p r e n s i ó n f í s i c a m á s c l a r a del f e n ó m e n o .

S u p o n g a m o s q u e la solución es u n a o n d a senoidal con f r e c u e n c i a f o r z a d a <o. E n t o n c e s las c u a t r o f u e r z a s de la Ec. ( 2 . 1 ) s e r á n o n d a s

kx0

FIG. 2.21. Diagrama vectorial del que puede deducirse la Fig. 2.22 senoidales con esta f r e c u e n c i a y p o d r á n r e p r e s e n t a r s e por m e d i o de vectores. Su d e r i v a d a es e q u i v a l e n t e a m u l t i p l i c a r l a longitud del vector por w con un giro h a c i a a d e l a n t e de 9 0 ° , c o m o se explica en la Pág. 18

Si r e p r e s e n t a m o s el d e s p l a z a m i e n t o por

sen x = x0 sen (o>t — <¿>),

d o n d e x,t y <p son todavía desconocidas y d i b u j a m o s este

Figure

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