Comportamiento del VaR de un portafolio optimizado bajo la medida de riesgo CVaR

Texto completo

(1)COMPORTAMIENTO DEL VaR DE UN PORTAFOLIO OPTIMIZADO BAJO LA MEDIDA DE RIESGO CVaR.. DAVID FERNANDO SILVA RUBIO CODIGO 199912012. Proyecto para optar al título de Ingeniero Industrial. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL BOGOTA D.C., JUNIO DE 2004.

(2) COMPORTAMIENTO DEL VaR DE UN PORTAFOLIO OPTIMIZADO BAJO LA MEDIDA DE RIESGO Y CVaR.. DAVID FERNANDO SILVA RUBIO. Proyecto para optar al título de Ingeniero Industrial. Asesor HECTOR FERNANDO BELTRAN PhD. Profesor Asociado. Ingeniería Industrial. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL BOGOTA D.C, 2004.

(3) CONTENIDO. CONTENIDO .....................................................................................................................................................I ÍNDICE DE TABLAS.................................................................................................................................... III ÍNDICE DE FIGURAS...................................................................................................................................IV RESUMEN.......................................................................................................................................................... V INTRODUCCIÓN............................................................................................................................................. 1 1 ANTECEDENTES Y JUSTIFICACIÓN.................................................................................................. 2 1.1 ANTECEDENTES..................................................................................................................................... 2 1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .............................................................................................. 4 1.3 JUSTIFICACIÓN........................................................................................................................................ 4 1.4 OBJETIVOS................................................................................................................................................. 5 2 RIESGO DE MERCADO........................................................................................................................... 6 2.1 DEFINICIóN............................................................................................................................................... 6 2.2 MEDICIóN................................................................................................................................................... 7 2.2.1 Métodos de valoración ............................................................................................................................. 8 3 TÍTULOS Y VALORACIÓN ...................................................................................................................... 9 3.1 TÍTULOS DE TESORERÍA .................................................................................................................... 9 3.1.2 Especificaciones........................................................................................................................................ 10 3.1.3. Valoración................................................................................................................................................. 11 3.2 DURACIÓN ............................................................................................................... 12 3.3 CURVAS DE TASAS DE INTERES............................................................................... 14 3.3.1 Estructura de las tasas de interés........................................................................................................... 14 3.3.1.1 Tipos de tasas........................................................................................................................................ 14 3.3.2 Nelson y Siegel......................................................................................................................................... 15 3.3.3 Splines ........................................................................................................................................................ 17 4. MEDICIÓN DEL VAR ............................................................................................................................. 20 4.1 JP Morgan RISKMETRICS....................................................................................................................... 20. i.

(4) 4.1.1 Promedios móviles exponenciales (Ewma) ......................................................................................... 21 4.1.2 Vértices ..................................................................................................................................................... 22 4.1.3 Mapeo........................................................................................................................................................ 22 4.1.4 Metodología.............................................................................................................................................. 23 4.2 KEY RATES DURATIONS.................................................................................................................. 25 4.2.1 Definición................................................................................................................................................. 25 4.2.2 Metodología.............................................................................................................................................. 26 5. MODELO DE OPTIMIZACION............................................................................................................ 29 5.1 MINIMIZACION DEL CVAR.............................................................................................................. 30 5.1.2 Formulación .............................................................................................................................................. 34 5.2 CALCULO DE LOS PARAMETROS .................................................................................................. 37 5.2.1 Precios futuros. ......................................................................................................................................... 37 6 RESULTADOS .............................................................................................................................................. 39 6.1 ESCOGENCIA DE LOS TÍTULOS..................................................................................................... 39 6.2 FRONTERA EFICIENTE...................................................................................................................... 42 6.3 CALCULO DEL VAR.............................................................................................................................. 44 7 CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO.......................................................................................... 46 BIBLIOGRAFÍA............................................................................................................................................... 48 ANEXOS............................................................................................................................................................ 50 A 1 Funciones de Nelson & Siegel................................................................................................................. 50 A 2 Calculo de key rate durations.................................................................................................................. 52 A 3 Ejemplo y codigo del calculo del Var usando key rates....................................................................... 53 A 5 Calculo de un portafolio optimizado y CODIGO. .............................................................................. 55 A 6 Estimación de precios de los titulos para dias sin transaccion ........................................................... 58 A 7 Distribución del portafolio....................................................................................................................... 62. ii.

(5) ÍNDICE DE TABLAS. Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3 Tabla 4 Tabla 5 Tabla 6. Títulos escogidos ..............................................................................................................................40 Calculo de los Spreads .....................................................................................................................41 Resultados del VaR mediante el modelo.......................................................................................43 Puntos de la frontera eficiente........................................................................................................43 Estimación de Precios Faltantes.....................................................................................................58 Estimación de los Spreads..............................................................................................................58. iii.

(6) ÍNDICE DE FIGURAS. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 Figura 7 Figura 8 Figura 9 Figura 10 Figura 11 Figura 12 Figura 13 Figura 14 Figura 12. Títulos..............................................................................................................................................11 Splines..............................................................................................................................................18 Mapeo RiskMetrics ........................................................................................................................22 Linealización de la Curva spot (4 nodos) ...................................................................................26 Estimación de Key Rates (4 nodos). ...........................................................................................27 CVaR es una función convexa. ....................................................................................................30 Frontera Eficiente ..........................................................................................................................44 Medición del VaR...........................................................................................................................45 Medición del VaR bajo las medidas que asumen Normalidad. ...............................................45 Funciones Base Nelson & Siegel. ................................................................................................50 Curvas Posibles Nelson & Siegel .................................................................................................51 Ejemplo Key Rates ........................................................................................................................52 Cálculo Key Rates ..........................................................................................................................53 Mapeo RiskMetrics ........................................................................................................................54 Distribución ....................................................................................................................................62. iv.

(7) RESUMEN. El presente documento muestra un acercamiento a la reducción del riesgo de un portafolio de Títulos de Tesorería TES mediante la medida de riesgo VaR y CVaR.. También se incluyen dos medidas del VaR ampliamente usadas y que asumen una distribución normal de los retornos. Esta inclusión se realiza con el fin de comparar los resultados obtenidos bajo diferentes métodos de medición del VaR, especialmente para revisar los supuestos de la normalidad de los retornos. Mediante la utilización del CVaR como medida de riesgo se utilizan herramientas de optimización para la escogencia del portafolio que presente máximo retorno para un nivel de riesgo determinado.. v.

(8) II.04 (1)111.. INTRODUCCIÓN. En el mercado Colombiano, y siguiendo los lineamientos para la medición de riesgo a nivel mundial, la Superintendencia de Valores y la Superintendencia Bancaria han exigido a los entes que regulan un método mas apropiado para la medición del riesgo del portafolio o cartera al cual se hayan expuestos. Como resultado de estas imposiciones y a la necesidad del conocimiento de la exposición al cambio de las variables que determinan el valor de las carteras y en general portafolios de las entidades financieras, se ha dado un gran crecimiento en la implementación de métodos de medición del riesgo de mercado. Este trabajo se basa en la determinación de las posiciones de un portafolio, para un número limitado de activos, que generen el mínimo riesgo de mercado medido por medio del CVaR o valor en riesgo condicional.. Con el fin de comparar las medidas de riesgo tradicionales se realiza el seguimiento del VaR del portafolio optimizado, tanto para verificar los resultados arrojados por el proceso de optimización como también para verificar el comportamiento de las medidas anteriormente nombradas.. En el documento se usa la abreviatura VaR (value at risk) para denotar Valor en Riego por considerar que esta nomenclatura ya es un estándar internacional que da mayor claridad, y es más usada, en el mercado que el VeR, introducido en varios documentos de riesgo en Colombia; de igual manera se usa CVaR (condicional value at risk) para denotar el Valor en riesgo condicional y no el VeRC.. 1.

(9) II.04 (1)111.. CAPÍTULO 1. 1 ANTECEDENTES Y JUSTIFICACIÓN. Las entidades reguladoras de los participantes del sistema financiero Colombiano han entendido la necesidad de una clara medición del riesgo de mercado por parte de las entidades que regulan para el correcto y sano funcionamiento del sistema. Por lo anterior se han tomado los lineamentos internacionales que en dicho respecto se han creado como resultado de las reuniones de los bancos centrales de las principales potencias (G10) en Basilea, Suiza, en las cuales se han logrado grandes avances en el tema de medición de riesgos de mercado y se ha puesto de manifiesto la necesidad del mismo.. 1.1 ANTECEDENTES Las entidades reguladoras a nivel mundial han encontrado que es necesario imponer métodos de medición del riesgo de mercado, bajo parámetros comparables, para el funcionamiento claro y seguro del sistema financiero, no solo por las recientes quiebras y escándalos en los mercados financieros internacionales sino también por el aumento en la dependencia de la economía en el sistema financiero al igual que la creación de nuevos y mas complejos instrumentos financieros en el mercado. En 1988, el acuerdo de Basilea creó lineamientos sobre los requerimientos de capital que los bancos comerciales debían mantener en reserva para. respaldar las diversas operaciones en. las cuales. participaban; dicho acuerdo era restrictivo y desigual en la medida que no tenía en cuenta el tipo de exposición que tuviera algún banco. Por lo anterior en 1993 se presentaron modificaciones que incluían el uso de un modelo interno en el cual se usaba la medida de valor en riesgo, VaR histórico.. 2.

(10) II.04(1)111. ANTECEDENTES Y JUSTIFICACION. En la actualidad los diversos métodos de mediciones del VaR como medida de riesgo se pueden dividir en cuatro grandes grupos: Modelos de simulación histórica, modelos de stress testing, modelos de simulación y modelos Delta-Normal. En el presente trabajo se usan modelos basados en el último de los grupos pero se da a continuación una breve descripción de cada grupo. Modelos de simulación histórica: Este tipo de modelos se basa en la representación del futuro por medio de los eventos ocurridos en el pasado, es decir generan como pronóstico de las condiciones del mercado futuro a las condiciones pasadas. Este es el tipo de modelo que se usará en el modelo de optimización que se describe en el capitulo 6. Modelo de stress testing: Este tipo de modelo se basa en la generación de eventos futuros por medio de lo que se espere para el periodo en el cual se esta midiendo el riesgo, en general se puede presentar como un modelo histórico con extensiones a eventos extremos esperados. La gran limitación de este modelo es la suposición de la posible existencia de alguien con un criterio lo suficientemente acertado como para crear medidas coherentes por medio de este método. Modelo de simulación: Este método crea los escenarios futuros por medio de la generación de los mismos con base a la suposición de que dichos eventos se pueden representar por medio de alguna distribución probabilística. Modelo delta-Normal: Este modelo es la extensión mas usada del grupo anterior, por eso se incluye como un nuevo grupo, y asume que la distribución de los retornos de los instrumentos que conforman el portafolio siguen una distribución Normal, lo cual simplifica los cálculos del VaR. El delta implica que solo se miden las exposiciones mediante una aproximación de primer orden (gamma corresponde a ordenes mayores). La principal crítica de estos modelos es la continua observación de distribuciones con colas más grandes de lo pronosticado por la distribución Normal como también asimetría respecto a la media en la distribución. Los modelos de medición del VaR presentados en el presente trabajo se basan en este modelo.1. En la actualidad la Superintendencia Bancaria y la Superintendencia de Valores son las entidades que definen las pautas de los métodos de medición de riesgo de mercado al cual se encuentran expuestas las. 1JORION,. P. (1997) Capitulo 10, para una mayor descripción de los métodos.. 3.

(11) II.04(1)111. ANTECEDENTES Y JUSTIFICACION. entidades reguladas. El capitulo 21 de la circular externa 100 de 1995 de la Superintendencia Bancaria explica el modelo estándar que propone esta entidad para la medición de riesgo.. 1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Basado en una medida coherente de riesgo 2 como lo es el CVaR se busca obtener las posiciones óptimas de una serie de títulos de tesorería para la conformación de un portafolio de mínima varianza.. 1.3 JUSTIFICACIÓN En los años recientes se ha visto un notorio incremento en el número y monto de las transacciones de títulos de tesorería del Gobierno3, lo cual no solo ha llevado a estudios en el sector financiero sobre la estimación de la curva cero cupón sino también a la necesidad de evaluar los riesgos que se toman al tener estos títulos por parte de los inversionistas que tienen en estos papeles una rentabilidad libre de riesgo de contraparte. Por lo anterior, en el presente trabajo se plantea un acercamiento a este problema por medio del cambio en el tiempo de la curva cero cupón, curva spot, que refleja la estructura de tasas en el mercado de estos instrumentos. Las negociaciones son en su mayoría de papeles de renta fija por lo cual en este trabajo solo se trataran este tipo de papeles y más específicamente los emitidos en pesos Colombianos. En la actualidad la duración presenta el principal método usado para la estimación de la exposición al riesgo de las tasas de interés prevalecientes en el mercado, pero esta primera aproximación dista de ser una buena medida del riesgo por ser demasiado simple. En la actualidad la medida del VaR ha sido aceptada como una medida apropiada del riesgo de mercado, sin embargo la utilización de dicha medida, como se verá en el capítulo 6, presenta serios inconveniente para la determinación de portafolios que tengan un máximo retorno y un mínimo riesgo medido a través del VaR. El CVaR supera estos inconvenientes y es sobre esta medida de riesgo que se busca la creación de un portafolio óptimo. 2 3. BOLLERSLEV (1999) CORFINSURA (2003). 4.

(12) II.04(1)111. ANTECEDENTES Y JUSTIFICACION. 1.4 OBJETIVOS Desarrollo de un método para la escogencia de un portafolio con base a las medidas de riesgo que en la actualidad son reconocidas e impuestas por los entes reguladores como también por el propio mercado. •. Presentación de dos métodos para el cálculo sencillo del VaR y comparar estas medidas con los resultados obtenidos para el portafolio óptimo.. •. Exponer la estimación de la estructura de las tasas de interés bajo dos metodologías representativas de los dos principales métodos usados en los mercados internacionales para su estimación.. 5.

(13) II.04 (1)111.. CAPÍTULO 2. 2 RIESGO DE MERCADO. El riesgo, en general, se puede describir como la incertidumbre del desarrollo de eventos futuros que afectan las decisiones tomadas en el presente. En el caso del presente trabajo, el riesgo sobre el cual se trabaja es el relacionado con el cambio del valor de los instrumentos de deuda pública. El valor de estos títulos se aproxima por medio de la curva cero cupón y el riesgo por lo tanto estará determinado por los cambios que dicha estructura tenga.. 2.1 DEFINICIÓN El riesgo financiero se relaciona con el riesgo en que se incurre al tener un instrumento financiero. Dentro de este riesgo se encuentran divisiones según la fuente de riesgo. El riesgo crediticio se genera ante la posibilidad de incumplimiento de las obligaciones que se pactaron en el instrumento financiero. El riesgo de mercado se relaciona con el cambio de las variables que determinan el valor de los instrumentos como lo son las tasas de interés, las tasas de cambio, y el nivel de inflación, para mencionar algunas. También se encuentran otros tipos de riesgo como el riesgo de liquidez, es decir la imposibilidad de cambiar un instrumento financiero por su equivalente monetario.4 Como ya se mencionó, el cambio del valor de los títulos de deuda TES esta relacionado con el cambio en la curva cero cupón, siendo esta una función que determina las tasas a las cuales se han de descontar los flujos para una madurez determinada y por ende a través de la cual se traen a valor presente los flujos de caja de los títulos, determinando de esta manera el precio de los títulos.. 4. JORION, P. (1997) Capítulo 1.. 6.

(14) II.04(1)111. RIESGO DE MERCADO. 2.2 MEDICIÓN El presente trabajo sólo está relacionado con el riesgo de mercado, aún cuando el valor de los títulos se puede ver relacionado con otros tipos de riesgo, como el riesgo de liquidez o contraparte. Los títulos sobre los que se trabaja se consideran libres de estos riesgos. Para este caso se supone que la Nación nunca incumple el pago, el cual se ha comprometido al emitir los títulos y recibir el procedente de su venta. En el medio colombiano el método más utilizado para la medición del riesgo de instrumentos de tasa fija es la duración. Si bien este método es bastante fácil de implementar y es el método estándar dado por la Superintendencia de Valores 5 es bastante limitado en la medición correcta del riesgo por los grandes supuestos en los que incurre, como lo son una estructura de tasas plana, es decir con una tasa a través del tiempo constante, y una matriz de correlaciones constante, actualizada cada 6 meses. Dentro de los métodos usados para la medición del riesgo de mercado se encuentran métodos estadísticos y de probabilidad que por medio de la estimación de una distribución para los retornos del portafolio calculan el riesgo del mismo, y métodos de escenarios que se basan en la generación de eventos futuros, bien sea por medio de la utilización de simulación histórica ó por medio de la creación de dichos eventos por medio de la adopción de un proceso. En los métodos estadísticos se presentan dos partes fundamentales para la medición del riesgo; el cálculo de la matriz de correlaciones y el procedimiento usado para calculan la exposición al mercado una vez tienen esta matriz. Para la primera parte se usan en el presente trabajo promedios móviles exponenciales (Ewma). pero se destaca la relevancia que han tomado métodos autoregresivos. heteroscedásticos, como el Garch multivariado en la estimación de las volatilidades de los factores de riesgo como también en las matrices de covarianzas de los mismos. En cuanto a los métodos de estimación de riesgo se presentan dos metodologías, la del mapeo de los flujos de caja propuesta por RiskMetrics y una extensión a la duración dada por la estimación de puntos clave dentro de la madurez de la estructura de las tasas de interés para la medición de la exposición de los flujos de caja de los títulos a cambios en la curva cero cupón. La medida de riesgo más utilizada a nivel mundial es el Valor en Riesgo, VaR (denotado también sus siglas en español VeR). Si bien esta medida tiene problemas para la especificación correcta del riesgo, se 5. DEL VALLE, C. (2003). 7.

(15) II.04(1)111. RIESGO DE MERCADO. ha convertido en un estándar para la medición del riesgo. El CVaR (ó valor en riesgo condicional) presenta ventajas substanciales como medida de riesgo como se verá en el capítulo 5. En general cuando se tiene un horizonte de tiempo de N días para la estimación de Riesgo y un nivel de confianza del x% ; VaR se define como el percentil correspondiente al (100-x)% de la distribución del cambio del valor del portafolio en los siguientes N días.6 Por otra parte el CVaR se define como el promedio de las pérdidas que son superiores al VaR.. 2.2.1 Métodos de valoración Es importante resaltar el cambio de la valoración de los activos financieros de una valoración en libro a una valoración de mercado. En la valoración de libros los activos son reportados a costo de transacción y los precios de los activos no reflejan su verdadero valor de mercado. En el caso de la medición del riesgo de mercado se suele llevar el tipo tradicional de valoración a final de los periodos de cierre y una valoración paralela para la medición del riesgo de mercado.. 6. HULL, J (2002).. 8.

(16) II.04 (1)111.. CAPÍTULO 3. 3 TÍTULOS Y VALORACIÓN. 3.1 TÍTULOS DE TESORERÍA Los títulos de tesorería, TES, son papeles de deuda emitidos por el gobierno para obtener recursos del mercado. A cambio del título que promete el pago anual de unos cupones y el principal del título, el tenedor, o comprador del título debe pagar una suma de dinero al emisor para recibir el flujo futuro de los cupones más el pago del principal en la fecha de vencimiento del título.. En la actualidad las emisiones de los títulos se realizan por medio del Banco de la República, quien se encarga de la emisión de nuevos títulos, emisiones en el mercado primario, como también de las transacciones de títulos ya existentes en el mercado secundario.. Las transacciones de dichos títulos se registran en el Sistema Electrónico de Negociación SEN. Los títulos son ubicados en el Depósito Centralizado de Valores, DCV, mediante registros electrónicos de los títulos que emite o administra el Banco de la República. Este manejo inmaterial de los títulos presenta una mayor seguridad para los tenedores quienes pueden transferir el título a otro tenedor por medio de este mecanismo.. 9.

(17) II.04(1)111. TITULOS Y VALORACION. 3.1.2 Especificaciones Un título se puede caracterizar por medio de su valor facial, cupón, moneda, frecuencia de pagos, opcionalidades y su fecha de maduración El valor facial es el valor que el emisor del título promete pagar al tenedor en la fecha de maduración del título. El cupón, C, determinará el porcentaje del valor facial que paga el emisor en los periodos determinados en el título, se paga en todos los periodos de pago posteriores a la fecha de compra y comprendidos entre la fecha de compra y la fecha de maduración; puede ser de tasa fija, i.e. 10% o tasa flotante DTF. La moneda en la cual se pagan los flujos de caja usualmente es la moneda nacional o una moneda que sea una moneda estándar, i.e. Pesos Colombianos, dólares de los Estados Unidos, Euros, Libras esterlinas o Unidades de Valor Real UVRs. La frecuencia de los flujos de caja determina los periodos de pago en los cuales el emisor le dará los flujos de caja acordados en el título al tenedor, anual en el caso Colombiano y semestral en otros casos como en los Estados Unidos. La inclusión de opcionalidades le permite al tenedor o emisor redimir el título a las tasas vigentes de manera análoga como un deudor hipotecario puede pagar el total de la deuda a la entidad emisora del préstamo; usualmente para beneficio del emisor en caso que las tasas de interés cambien y le sea rentable recomprar los títulos emitidos con anterioridad y generar una nueva emisión y por último por la fecha de maduración. Los títulos sobre los que se trabaja están libres de opcionalidades. En la siguiente gráfica se muestran los flujos de caja para un título vendido a 90 pesos con una fecha de maduración de 5 años, con una facial de 100 pesos, un cupón fijo de 10 y una frecuencia anual de pagos (figura a.) y un título en libras esterlinas vendido a £90 con una fecha de maduración de 4 años, con una facial de £100, un cupón fijo de 8 y una frecuencia semestral de pagos (figura b).. 10.

(18) II.04(1)111. TITULOS Y VALORACION £ 100. $ 100 £4 $ 10. £ -90 $-90. Figura a.. Figura b.. Figura 1 Títulos. Los títulos emitidos por la nación tienen pagos anuales y son, en su mayoría, títulos de tasa fija en pesos, los cuales son conocidos como títulos TFIT según la nomenclatura del Banco de la República y como TBFT en la Bolsa de Valores de Colombia. Otros tipos de títulos son los denominados en dólares TDO, en UVRs TUV y en ipc TBV. Además del prefijo anteriormente mencionado para la determinación del título a continuación del prefijo se indica el tipo de pagos que efectúa el título; T para cupón más principal, C para cupón y P para principal. El número de años entre la fecha de emisión y la fecha de maduración en dos dígitos, 03 para tres años; finalmente se coloca la fecha de maduración del título mediante dd mm aa (día, mes, año). De modo que un título TFIT03030507 es un título de tasa fija denominado en pesos que paga cupones y principal con tres años entre la fecha de emisión y la fecha de maduración, siendo esta última el 3 de Mayo del 2007. 3.1.3. Valoración. Un estimado del precio que se ha de pagar al emisor para tener el derecho al título se obtiene mediante el valor presente de los flujos de caja futuros descontados a las tasas para cada fecha en la cual se recibe el cupón. n. P=∑ i =1. CFi (1 + si ) i 11. (1).

(19) II.04(1)111. TITULOS Y VALORACION. Siendo CFi el flujo de caja en el periodo i y siendo s i la tasa anual en el periodo anual i. En el caso de los títulos de tasa fija los flujos de caja son iguales al valor del principal multiplicado por el cupón a diferencia del último pago al cual se le añade el valor del principal. En el caso que el título ya haya sido emitido, el precio del mismo se calcula de manera similar a una nueva emisión pero se debe tener en cuenta que el tenedor del título espera una remuneración por poseer el titulo entre el último pago de un cupón y la fecha de negociación, dicho valor se conoce como intereses causados (accrued interest, ai) y es el resultado de los intereses que el vendedor del título espera recibir por el tiempo durante el cual tuvo el título sin recibir ningún flujo de caja. Más específicamente ai = tC en donde t es la proporción en base a un periodo de pago desdela fecha del pago del último cupón y la fecha de venta y C es el valor de dicho cupón7. En general los precios que se publican en el mercado son precios limpios y no tienen en cuenta los intereses causados. Siendo p el precio limpio y P el precio sucio se tiene que para un título que ya fue emitido y cuya temporalidad entre cupones es diferente al tiempo entre la fecha de compra y la fecha del n. flujo de caja más cercano, se tiene:. P = p + ai = ∑ i =1. ai = C. CFi (1 + s i ) i. t actual − túltimoPago t periodo. (2 ). (3). 3.2 DURACIÓN La duración mide la sensibilidad de un instrumento financiero a cambios en la tasa de interés. Asumiendo que todos los flujos de caja se pudieran descontar a una misma tasa, es decir que la estructura de las tasas fuera plana, el precio de un título como los descritos anteriormente esta dado por: n. P=∑ i =1. CFi (1 + y ) i. Y la sensibilidad de dicho título a cambios en la tasa se puede aproximar mediante.. 7. GANDAHAR, D. SUDIPTA, D. VARDHANA, P. (2000):. 12. (4).

(20) II.04(1)111. TITULOS Y VALORACION n n − i * CFi i * CFi ∂P 1 =∑ =− ∑ ( i +1) ∂y i =1 (1 + y ) (1 + y ) i =1 (1 + y ) ( i ). Definiendo. (5). 1 n i * CFi ∑ P i =1 (1 + y ) ( i ). (6). 1 ∂P 1 =− DMaa = − DMod P ∂y (1 + y ). (7). DMac =. entonces se tiene:. En donde DMac es la duración de Macaulay y DMod es la duración modificada. Por medio de ecuación (7) se puede estimar el cambio porcentual en el precio del título dado un cambio en la tasa, asumiendo que la tasa a la cual se descuentan los flujos es una tasa constante. Dicho cambio será tan solo una aproximación de primer orden.. Esta aproximación es cercana a los cambios reales para cambios pequeños en la tasa de interés ; para tener una mejor aproximación se deben incluir términos de mayor orden en la siguiente expansión de Taylor.. dP 1 ∂ P 1 ∂2P = ∂y + ( ∂y ) 2 2 p p ∂y P ∂y En la cual. n i (i + 1) * CFi ∂2P = ∑ 2 ( i+ 2) ∂y i =1 (1 + y ). 13. (8). se define como la convexidad...

(21) II.04(1)111. TITULOS Y VALORACION. 3.3 CURVAS DE TASAS DE INTERES 3.3.1 Estructura de las tasas de interés Cuando se llevan a cabo transacciones en el mercado se crean precios para los instrumentos financieros transados y por medio de estos se revela las tasas que los participantes en el mercado consideran como apropiadas para las transacciones que están realizando. Asumiendo que para un periodo futuro determinado el mercado fija, o espera, una tasa determinada, spot rate, entonces se está buscando una función que asigne una tasa a cada madurez, esto es lo que se conoce como la estructura de las tasas de interés8.. Los títulos de deuda emitidos por el gobierno son en general usados para la generación de dicha estructura de las tasas por ser considerados libres de incumplimiento por parte del emisor. Los precios usados para la generación de dicha estructura suelen ser los promedios diarios entre la compra y venta para cada título negociado tanto en el mercado primario como secundario.. 3.3.1.1 Tipos de tasas Al ver la ecuación (1) , donde s i es la tasa spot para el periodo de maduración i , se hace más claro r que el objetivo de la estimación de la estructura de las tasas de interés es el buscar una función f (φ ) r para cada tasa, en la cual φ representa los parámetros de dicha función.. Definiendo δ (t ) =. 1 (1 + si ) i. como el factor de descuento para el periodo i se obtiene una nueva N. relación para el precio del bono por medio de P = ∑ δ (i )CFi i =1. 8. DEACON, M y A, DERRY (1994). 14. (9).

(22) II.04(1)111. TITULOS Y VALORACION. De similar manera definiendo las tasas forward γ i que comprenden el periodo entre i − 1 e i como. 1 = (1 + si ) i = (1 + γ 1 )(1 + γ 2 )...(1 + γ i ) se obtiene una nueva relación para el precio dada por δ (i ) N. P=∑ i =1. CFi. (10). i. ∏ (1 + γ. j. ). j =1. De la relación existente entre las tasas forward y el factor de descuento se puede sacar la siguiente 1. δ (i ). relación. 1. δ ( i −1). =. δ (i − 1) (1 + γ 1 )(1 + γ 2 )...(1 + γ i ) de la se sigue que = δ (i ) (1 + γ 1 )(1 + γ 2 )...(1 + γ i −1 ). δ (i − 1) = 1+ γ i δ (i ) δ (i − 1) − δ (i) − ∆δ (i ) = γi = δ (i ) δ (i ). Que en el caso continuo estaría dado por γ i =. (11). − δ ' (i ) , lo cual toma un mayor sentido cuando se δ (i ) t. encuentra la tasa γ i promedio entre t1 , t 2 dada por γ (t1 ,t2 ). 1 2 γ u du que es una aproximación de = t 2 − t1 ∫t1. la tasa discreta. De lo anterior se puede ver que la tasa spot, compuesta continúa, para el periodo t estará dada por s t = γ ( 0,t ). 1 − ln(δ (t ) , asumiendo que δ (0) = 1 con lo cual se tiene una relación directa γ u du = ∫ t0 t t. y st =. entre las diferentes tasas de interés.. 3.3.2 Nelson y Siegel Como se mencionó anteriormente la estimación del precio dada por (2) requiere la formulación de una función que relacione las diferentes fechas de maduración con las tasas respectivas en el mercado.. 15.

(23) II.04(1)111. TITULOS Y VALORACION. Nelson y Siegel 9. proveen una formulación basada en funciones exponenciales dada por la. representación de la tasa forward de la siguiente manera. f (m, b) = β 0 + β1 exp(−. m. τ. m m ) + β 2 [( ) exp(− )]. τ. (12). τ. En donde m es el tiempo en años a la fecha de maduración y b = [ β 0 , β1 , β 2 ,τ ] es la serie de parámetros que se deben estimar. De (12) se puede derivar la función de las tasas spot dada por : r (m, b) = β 0 + ( β1 + β 2 )[1 − exp(−. m. τ. m m )] /( ) − β 2 exp(− ). τ. τ. (13). Uno de los principales atractivos de esta formulación frente a otros métodos de estimación de curvas es el significado que tienen los parámetros. En la formulación de la curva spot cuando la madurez tiende a infinito la tasa tiende al parámetro β 0 , siendo este parámetro la componente de largo plazo. El valor límite cuando la madurez tiende a cero es β 0 + β1 , lo cual se relaciona con la tasa de corto plazo. Además una vez se determinen los parámetros b = [ β 0 , β1 , β 2 ,τ ] se puede encontrar el valor de cualquier tasa en un tiempo determinado mediante la utilización de (13). A partir de la fórmula para las tasas spot, que son una tasa compuesta continua, la función de descuento, que tendrá los respectivos valores de los factores de descuento para la madurez m , estará dada por. ⎛ r (m, b)m ⎞ d (m, b) = exp⎜ − ⎟ 100 ⎠ ⎝. (14). Para un vector b de parámetros iniciales mediante el descuento de los flujo de caja se llega a un precio estimado, p _ est , para cada bono que al ser comparado con el precio de mercado, pmkt , dará un error estimado e . Con lo cual pmkti = p _ esti + ei .Y la estimación de los parámetros b se hará por medio de la minimización de la suma de los cuadrados de los errores ei . Si bien las diversas formas que puede tomar la estructura de las tasas cero cupón bajo esta aproximación parecería capturar las diferentes formas que se pueden esperar de dicha estructura, Svensson10 introduce 9. NELSON,C. y A. SIEGEL (1987). SVENSSON, L.E. (1994).. 10. 16.

(24) II.04(1)111. TITULOS Y VALORACION. otro parámetro relacionado con otra forma funcional exponencial para generar una mayor posibilidad en el rango de las familias generadas. Ver el anexo 1 para una ilustración de las funciones base y algunas de las posibles formas funcionales que puede tomar la curva cero cupón mediante la estimación presentada por Nelson y Siegel. La formulación de Nelson y Siegel pertenece a un grupo de funciones que estiman la estiman la curva cero cupón basándose en un grupo de funciones determinadas. Esta estimación se ha extendido al caso de exponenciales, en el modelo usado por Merill Linch y series de Fourier, que plantea la creación de la curva cero cupon como la suma de funciones sinusoidales.11. 3.3.3 Splines12 La estimación de la curva de tasas de interés es criticada por las limitaciones en las formas funcionales que puede adoptar. La formulación de splines genera una familia de curvas mucho mayor basada en la creación de polinomios de tercer orden que pueden adoptar un mayor tipo de formas que las correspondientes a la estimación de Nelson & Siegel. Se define el spline cúbico base como el B-spline, B0 ( x) , sobre un intervalo arbitrario. [k i , k i +4 ] de la. siguiente forma13:. ⎧0 : x ∈ (∞, k i ) ⎪ Bi ( x) = ⎨Bi ( x ) : x ∈ [k i , k i + 4 ] ⎪0 : x ∈ (k , ∞) i +4 ⎩. (15). De esta forma, en la definición formal, se adicionan cero extensiones al B-spline definido en [k i , k i + 4 ] .. 11. JAMIESON, D. y G SCOTT (2002). HOLLIG, K. (2003) 13 JAMIESON, D. (2002) 12. 17.

(25) II.04(1)111. TITULOS Y VALORACION. Para emplear esta definición matemática en la construcción de splines cúbicos primero se debe construir una base para los esplines cúbicos en un intervalo dado. Por lo general no se habla de un único Bspline, sino que se considera una secuencia de estos. De este modo para crear una base para la secuencia de nodos, se requiere la serie,. { k −3 ,..., k N +3 }.. { B−3 , B− 2 ,..., B N −1 } ,. que consta de N + 3 B-splines definidos en. La siguiente figura muestra la base del B-spline en la secuencia de nodos {0,1,2,3,4} .. Base de B-splines 0 .5. Valores. 0 .4 0 .3 0 .2 0.1 0 -4. -3. -2. -1. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Nodos. Figura 2 Splines. Para la estimación del método basado en B-splines cúbicos se hace usa de una función recursiva que se basa en B-splines de menor grado. Siendo β i , n ( x) el i-ésimo spline de orden n se tiene la siguiente función recursiva:. β i , n ( x) =. x − ki k −x β i ,n −1 ( x) + i + n β +1i ,n −1 ( x) k i + n−1 k i + n−1 − k i. (16). Si bien en este trabajo no se incluyen directamente resultados de esta metodología se resalta que se encuentra un cambio significativo en la forma de la curva cero cupón mediante el uso de B-splines. Por. 18.

(26) II.04(1)111. TITULOS Y VALORACION. lo cual la inclusión de B-Splines se hace más a manera de guiar nuevos trabajos como también para ilustrar una de las metodologías mas usadas para la estimación de la curva cero cupón.. 19.

(27) II.04 (1)111.. CAPÍTULO 4. 4. MEDICIÓN DEL VAR. En este capitulo se introducen dos medidas del VaR comúnmente usadas por su simplicidad y fácil aplicación. Estas medidas asumen que los retornos del portafolio siguen el siguiente proceso ln( Pt ) = µ + ln(Pt −1 ) + σε t en donde ε t ~ N (0,1) ; lo cual quiere decir los retornos siguen una distribución normal.. r r r La medición del VaR se realiza mediante w T Σw , en donde w es el vector de posiciones en el portafolio y Σ es la matriz de correlaciones de las diferentes posiciones. En las metodologías que a continuación se explican las posiciones están definidas sobre nodos específicos escogidos en la curva cero cupón.. 4.1 JP MORGAN RISKMETRICS14 RiskMetrics ha creado una metodología para la medición del VaR que basándose en una distribución normal de los retornos plantea una solución de amplia aceptación en la medición de riesgo. En general la medición del VaR de un portafolio requiere del cálculo individual del riesgo para cada instrumento que lo conforma como también la agregación de dichos riesgos por medio de cambios relativos entre ellos. La metodología presentada en RiskMetrics permite llegar a este objetivo para un número grande de activos sin necesidad del uso excesivo de cálculos computacionales y por medio de cálculos simples.. 14. JP Morgan Technical Document. 20.

(28) II.04(1)111. MEDICION DEL VAR. La metodología de RiskMetrics se basa en la definición de vértices estándares en la curva spot determinados por unas fechas específicas, para estos vértices calcula las volatilidades de los cambios en los precios para cada tasa, al igual que las correlaciones entre los vértices, por medio de promedios móviles exponenciales (Ewma). Cada flujo de caja de los títulos que conforman el portafolio son mapeados a los vértices adyacentes a la fecha en la cual se ha de generar dicho flujo de caja. De esta manera se logra reducir el cálculo de la volatilidad para todos los flujos de caja que conforman el portafolio al cálculo de las volatilidades del cambio de los precios en los vértices definidos. Dichas volatilidades se pueden estimar por medio de una medida simple pero efectiva como lo es el promedio móvil exponencial. 4.1.1 Promedios móviles exponenciales (Ewma) El cálculo de las volatilidades y correlaciones se realiza por medio de promedios móviles exponenciales (exponential moving average Ewma) con los cuales se busca dar un mayor peso a la información mas cercana en vista de la observación que cambios presentes afectan en mayor medida a los futuros que los cambios pasados. T. El promedio móvil exponencial se define por medio de σˆ = (1 − λ )∑ λi (ri − r ) 2. (17). i =1. En donde λ es el parámetro que determina que tanto peso se le asigna a las observaciones mas recientes, RiskMetrics recomienda el uso de λ = 0.94 para periodos diarios y de λ = 0.96 para 10 días. En el caso del cálculo de las correlaciones ente i, j se tiene de manera similar al caso de las volatilidades T. σˆ ij = (1 − λ )∑ λk (rik − ri )(r jk − r j ). (18). k =1. En particular la estimación de la volatilidad por medio de promedios móviles exponenciales lleva a la siguiente relación recursiva entre las volatilidades: ∞. σ 12,t +1|t = (1 + λ )∑ λi r12,t −1 i =0. 21.

(29) II.04(1)111. MEDICION DEL VAR. = (1 − λ )(r12,t + λr12,t −1 + λ2 r12,t −2 + ...) = (1 − λ )r12,t + λ (1 − λ )( r12,t −1 + λr12,t − 2 + ...). (19). = (1 − λ )r12,t + λσ 12,t|t −1. En donde, σ 12,t +1|t , implica la varianza estimada para un día en t + 1 teniendo la información de t . 4.1.2 Vértices El método de RiskMetrics para la estimación de las volatilidades de las tasas a las cuales se descuentan todos los flujos de caja, aun siendo muy sencillo, pierde su atractivo computacional cuando se tienen 100 bonos posiblemente con flujos de caja con fechas de madurez diferentes. Por esta razón se definen vértices en los cuales se tiene la serie de tasas pasadas y de la cual se puede estimar la volatilidad de cada una de estas tasas pertenecientes a los vértices. Ahora el asunto consiste en distribuir los flujos de caja que no caen en los vértices a los vértices adyacentes de manera que se mida la volatilidad de sus correspondientes tasas, esto se logra por medio del mapeo.. 4.1.3 Mapeo Como se mencionó anteriormente el mapeo es una distribución de los flujos de caja en los vértices adyacentes, como se ilustra a continuación.. ( si +1, ti +1 ). ( yk ,tk ). vi. ( si +1 , ti +1 ). vi +1. Figura 3 Mapeo RiskMetrics. 22.

(30) II.04(1)111. MEDICION DEL VAR. Las fracciones del flujo de caja inicial distribuidas en los vértices adyacentes deben cumplir lo siguiente.. El valor de mercado se preserva, es decir el valor de mercado del flujo inicial debe ser idéntico al valor de mercado de los flujos distribuidos a los vértices adyacentes. El riesgo de mercado se mantiene. El signo se preserva, con lo cual el flujo inicial y los distribuidos a los vértices deben tener el mismo signo. (+ o -).. 4.1.4 Metodología Una vez se han definido los vértices y se tienen las volatilidades de los cambios de precios para los vértices y los flujos de caja definidos tanto en cuantía como en temporalidad, se puede efectuar la siguiente metodología para el cálculo del VaR.. Los pasos que se deben seguir para todos los flujos de caja de un mismo tipo de títulos, en este caso para los títulos TES tasa fija denominados en pesos, son los iguientes:. Cálculo de la tasa interpolada para el flujo de caja actual. Este cálculo se realiza mediante la interpolación lineal de las tasas de los vértices adyacentes.. y k = si + (t k − t i ). (si +1 − si ) (t i +1 − ti ). 23.

(31) II.04(1)111. MEDICION DEL VAR. y k = si. (t i +1 − t k ) (t − t ) + si +1 k i (t i +1 − t i ) (ti +1 − t i ). y k = si (1 − a ) + si +1 (a). (20). En donde t es el tiempo en el cual se ha de recibir dicho flujo de caja. Vea la figura 3.. Determinación del valor presente del actual flujo de caja. Lo cual se realiza trayendo a valor presente el flujo de caja con la tasa y interpolada.. Cálculo de la desviación estándar. Se realiza la interpolación entre las tasas de los vértices adyacente por medio de los pesos que se dieron en la ecuación 19.. σ k = σ i (1 − a ) + σ i +1 (a). (21). Determinación de los pesos de los flujos de caja α y 1 − α en los vértices adyacentes var(rk ) = var(αri + (1 − α )r j ). σ k2 = α 2σ i2 + 2α (1 − α ) ρ ij σ iσ j + (1 − α ) 2 σ 2j Lo cual lleva a una ecuación de segundo orden dada por aα 2 + bα + c = 0 en donde. a = σ i2 + σ i2+1 − 2 ρ i ,i +1σ iσ i +1 b = 2 ρ i ,i +1σ iσ i +1 − 2σ i2+1 c = σ i2+1 − σ i2 De donde se obtienen dos soluciones α =. − b ± b 2 − 4ac . 2a. 24. (22).

(32) II.04(1)111. MEDICION DEL VAR. Se toma el α que genere que los flujos de caja distribuidos tengan el mismo valor que el flujo de caja original.. Una vez se ha obtenido el mapeo total de los flujos de caja de los títulos que conforman el portafolio se puede proceder al calculo del VaR por medio de la matriz de correlaciones de los retornos de los vértices calculada por medio de Ewma.. 4.2 KEY RATES DURATIONS En el capítulo anterior se mostró cómo la duración podía ser utilizada como una aproximación de la sensibilidad del precio del título a cambios en la tasa de interés; sin embargo esta aproximación asume que la tasa es constante para los diferentes flujos futuros. Para permitir cambios en diferentes puntos de la curva de tasas de interés se introducen duraciones parciales definidas en distintas fechas de maduración, de manera similar a como se introdujeron los vértices en el caso del mapeo en RiskMetrics, en las cuales se observa el efecto que tiene el cambio de las tasas en dihos periodos, key rates, sobre el cambio en el precio del título, key rate durations. 4.2.1 Definición15 Si se define el precio del título en base a la curva actual de tasas spot , entonces se tendrá n. p( s1 ,..., s n ) = P = ∑ i =1. CFi (1 + s i ) i. (23). Y por de lo anterior dado un cambio en cada una de las tasas el precio del título se puede aproximar mediante.. p( s1 + ∆S1 ,..., sn + ∆sn ) = p ( s1 ,..., sn ) +. 15. ZHENG. ,H. LYN, T. y D, ALLEN (2001). 25. ∂p ∂p ∆s1 + ... + ∆s n ∂s1 ∂s n. (24).

(33) II.04(1)111. MEDICION DEL VAR. ∆P 1 ∂p 1 ∂p = ∆s1 + ... + ∆sn P P ∂s1 P ∂sn. Definiendo. Dmk = −. 1 ∂p P ∂sk. (25). ∆P = − Dm1∆s1 + ... − Dmn ∆s n P. se obtiene de (25). (26). Por medio de la anterior ecuación se puede capturar la sensibilidad en el cambio de precio, al menos en primer orden, pero requeriría la estimación de las duraciones para cada flujo de caja. En la práctica se fija un número determinado de tasas, ket rates, y se determina la duración de las mismas.. 4.2.2 Metodología Denotando a las n key rates como, sik k = 1...n , donde t implica el cambio temporal de las tasas, se puede aproximar la curva continua estimada por medio de la unión de rectas entre las key rates, interpolación lineal. Lo anterior se puede ver en el siguiente gráfico.. Tasa Spot. Interpolada. 14 13 12. Tasa (%). 11 10 9 8 7 6 5 4 0. 1. 2. 3. 4. 5 Años. Figura 4 Linealización de la Curva spot (4 nodos). 26. 6. 7. 8. 9.

(34) II.04(1)111. MEDICION DEL VAR. En donde n = 4. Con las key rates definidas el siguiente paso consiste en mover la curva de tasas actuales en un número determinado de puntos básicos hacia arriba y hacia debajo, secuencialmente en cada una de las tasas claves. Para una aproximación de la curva cero cupón se definen semirrectas entre puntos equidistantes y respecto a estos se calculan las nuevas tasas, tal como se ilustra en la siguiente gráfica para el caso del vértice de 2 años. Tasa Spot. Interpolada. up. down. 14 13 12. Tasa (%). 11 10 9 8 7 6 5 4 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Años. Figura 5 Estimación de Key Rates (4 nodos). A partir de esta nueva curva se estima el nuevo precio del instrumento, por medio de la ecuación 8 con las si dadas por la nueva curva , y se estima la duración efectiva tanto para un cambio positivo, Dtk+ ,en la tasa como para uno negativo, Dtk− . En donde la duración efectiva se define como Dureff =. Po − P∆bp 1 Po ∆bp. (27). Con lo anterior se puede calcular la key rate duration para una de las key rates por medio de. krDtk =. 1 + 1 − Dtk + Dtk 2 2. 27. (28).

(35) II.04(1)111. MEDICION DEL VAR + − 1 Po − P∆bp 1 Po − P∆bp = + 2 ∆bp.Po 2 ∆bp.Po + − 1 P∆bp − Po 1 Po − P∆bp ) )+ ( = ( 2 ∆bp.Po 2 ∆bp.Po − + 1 P∆bp − P∆bp ) = ( 2 ∆bp.Po. La anterior ecuación es la referente a las duraciones en la ecuación (26) , por lo cual para calcular el cambio en el precio, que es lo que se necesita para continuar con el cálculo del VaR se multiplica cada una de las key rates por la volatilidad estimada de cada una de las key rates logrando tener de esta manera un medida del riesgo del cambio en el precio del bono a cambios en diferentes puntos de la curva spot. En los anexos 2 y 3 se encuentran ejemplos de esta metodología.. 28.

(36) II.04 (1)111.. CAPITULO 5. 5. MODELO DE OPTIMIZACION. La escogencia de portafolios óptimos mediante el uso del modelo de Markowitz16, ha demostrado estar lejos de la optimalidad respecto a una medida de riesgo coherente. Por esta razón se han realizado varios acercamientos para establecer portafolios óptimos (de mínima varianza y máximo retorno) basado en otras medidas de riesgo. Como ya se ha mencionado anteriormente la medida actualmente usada para el riesgo de mercado de un portafolio es el VaR; lastimosamente tal medida presenta problemas para la optimización lineal por lo cual este concepto ha sido extendido al CVaR que se presenta como una medida coherente para la estimación de portafolios óptimos a la luz de la optimización lineal17. La medida del VaR debe no solo ser una medida de la exposición de riesgo sino también una manera mediante la cual se pueda tener una herramienta para la colocación de inversiones en los instrumentos de menor riesgo y mayor retorno. La desventaja del VaR es que para un nivel de confianza dado no dice nada acerca de las pérdidas que sobrepasan dicho nivel. Una ventaja del CVaR es que está íntimamente relacionada con el VaR; ya por definición se tiene que el VaR de un portafolio con un nivel de confianza α , α − VaR , es la mínima cantidad β tal que las pérdidas, con una probabilidad α no superan a β ; y el CVaR , α − CVaR , se define como las pérdidas esperadas que superan a β . De lo anterior se desprende que portafolios con una medida dada de. α − CVaR siempre tendrán un menor valor de α − VaR . Además de lo anterior se puede notar que el C-VaR es una mejor medida del riesgo de un portafolio por especificar de cierta manera cuan mayor del VaR pueden ser las pérdidas, lo cual suele ser una de las críticas presentadas al adoptar el VaR como medida de riesgo. 16 17. DICLEMENTE A (2003). PALMQUIST, J, URYASEV, S. y P, KROKHMAL (1999).. 29.

(37) MODELO DE OPTIMIZACION. II.04(1)111.. La principal propiedad del CVaR es el ser una función convexa, es decir ∀ x, y vectores distintos de posiciones en un portafolio se tiene que λ (CVaR x ) + (1 − λ )CVaR y ≤ CVaR( λx+ (1−λ ) y ) , por lo cual se asegura la existencia de un único optimo global y local. Lo anterior no se cumple en el caso de la medida del VaR la cual puede contener varios óptimos locales lo cual puede llevar a identificar a un punto como optimo global, siendo local si se usan técnicas de optimización lineal para minimizar esta medida.. En la siguiente gráfica se ilustra el problema.. Figura 6 CVaR es una función convexa.. 5.1 MINIMIZACION DEL CVAR Antes de plantear el problema de minimización se darán unas definiciones y se presentarán algunos de los resultados que hacen del CVaR una medida que permite generar portafolios como VaR mínimo y máximo retorno.. 30.

(38) MODELO DE OPTIMIZACION. II.04(1)111.. r r Sea f ( x , y ) la función de perdida asociada con el vector de posiciones en los diferentes instrumentos r xr ∈ R n y por el vector de posibles factores que afecten el valor del portafolio y ∈ R m . Para cada xr la r r r pérdida f ( x , y ) es una variable aleatoria cuya distribución estará determinada por la distribución de y r r r determinada por la distribución de probabilidad p( y ) . La probabilidad que f ( x , y ) no exceda un valor determinado, β , estará dada por ψ ( xr , β ) =. r r. ∫ pβ( y )dy. (29)18. r r f ( x , y )≤. r La función ψ ( x , β ) es creciente con respecto a β y define los valores de VaRα y de CVaRα , que en lo r r siguiente serán denotados por β α (x ) y por φα (x ) respectivamente, donde α ∈ (0,1) es el nivel de confianza determinado para la estimación de la medida de riesgo respectiva. De las definiciones para las medidas de riesgo mencionadas anteriormente se sigue que:. r r VaRα = β α ( x ) = min{β ∈ R :ψ ( x , β ) ≥ α }. (30). Con lo cual el VaR la máxima pérdida estimada para un nivel de probabilidad α y durante un tiempo determinado.. φα ( xr) = (1 − α ) −1. r r. r r. ∫ βf ( x, y) p( y)dy. r r f ( x , y )≥. (31). r α ( x). r r Por lo cual φα (x ) es el valor esperado de la perdida, condicionado a que sea mayor o igual a β α (x ) .. Definiendo a Fα ( xr , β ) = β + (1 − α ) −1. r r. r r. ∫ max{ f ( x, y) − β ,0} p( y)dy. se siguen las siguientes. r y∈R n. propiedades:. r Teorema 1. Como función de β , Fα ( x , β ) es convexa y diferenciable, el α − CVaR asociado a r r cualquier xr puede ser determinado mediante la fórmula φα ( x ) = min Fα ( x , β ) (32) β ∈R. 18. Las definiciones presentadas en el siguiente capítulo han sido obtenidas de PALMQUIST, J, URYASEV, S. y P, KROKHMAL (1999).. 31.

(39) MODELO DE OPTIMIZACION. II.04(1)111.. r En donde siempre Aα ( x ) = arg min Fβ ( x, β ) es un conjunto cerrado no vacio, posiblemente un β ∈R. r único punto, y el α − VaR esta dado por el punto a la izquierda de Aα (x ) . En particular siempre se r r r r tiene que β α ( x ) ∈ arg min Fβ ( x, β ) y φα ( x ) = Fα ( x , β α ( x )) β ∈R. (33). r Teorema 2. La minimización del α − CVaR asociado a x es equivalente a la minimización de r r Fα ( x , β ) sobre todo ( x , β ) , es decir:. r r min Fα ( x , β ) r φα ( x ) = min r x. ( x,β ). (33). r Ademas ( xr * , β * ) será el mínimo del lado derecho ssi xr * es el mínimo del lado izquierdo y β * ∈ Aα ( x ) . r r En particular, en casos en los cuales Aα ( x * ) se reduce a un único punto la minimización de Fα ( x , β ). r sobre todo ( x , β ) produce un par ( xr * , β * ) tal que xr * minimiza el α − CVaR y β * es el respectivo. α − VaR . r r r Mas aun Fα ( x , β ) es convexa con respecto a (c.r.a.) ( x , β ) y φα (x ) es convexa c.r.a xr , cuando r r f ( x , y ) es convexa con respeto a xr .. Teorema 3.. r r Dada la función de riesgo φα (x ) y la función de retorno R(x ) y dados los siguintes. problemas:. r r min r φα ( x ) − µ 1 R ( x ) ,. µ1 ≥ 0 ,. ( P1 ). r min r φα ( x ) ,. r R(x ) ≥ ρ .. ( P2 ). r min r − R( x ) ,. φα (x ) ≤ ω ,. x. x. x. r. 32. ( P3 ).

(40) MODELO DE OPTIMIZACION. II.04(1)111.. Por medio de la variación de los parámetros µ1 , ρ , w se obtienen las fronteras eficientes para los r r r problemas respectivos. Si φα (x ) es convexa, R(x ) es concavay el conjunto X , en donde x ∈ X es convexo, entonces los problemas P1 , P2 , P3 generan la misma frontera eficiente.. Teorema 4. Los siguientes problemas de minimización son equivalentes. r min r − R( x ) , x. r. φα (x ) ≤ ω ,. ( P3 ). y. r min r − R( x ) ,. r Fα (α , x ) ≤ ω ,. (α , x ). ( P '3 ). Son equivalentes en la medida que ambos obtienen el mismo valor objetivo.. Teorema 5. 19 Los siguientes problemas de minimización. r r min r φα ( x ) − µ 1 R ( x ) ,. µ1 ≥ 0 ,. ( P1 ). r r min r Fα ( x , β ) − µ 1 R ( x ) ,. µ1 ≥ 0 ,. ( P '1 ). x. y (α , x ). Son equivalentes en la medida que ambos obtienen el mismo valor objetivo.. Para simplificar la formulación del problema líneal en base a las medidas anteriormente descritas se r necesita de la aproximación de la integral que define a Fα ( x , β ) , la cual se puede hacer por medio de la r r r r función p( y ) . Si se tienen una serie de vectores y1 , y 2 …. y J se puede aproximar r Fα ( x , β ) = β + (1 − α ) −1. 19. r r. r r. ∫ max{ f ( x, y) − β ,0} p( y)dy. por medio de. r y∈R n. Las demostraciones de Th 4 Th 5 se encuentran en los apéndices de PALMQUIST, J, URYASEV, S. y P, KROKHMAL (1999). 33.

(41) MODELO DE OPTIMIZACION. II.04(1)111.. J F~α ( xr , β ) = β + (1 − α ) −1 ∑ π j max{ f ( xr , yr j ) − β ,0}. (34). j =1. r En donde π j es la probabilidad del escenario dado por y j . ~ r r r Si la función de pérdidas f ( x , y ) es lineal c.r.a. xr , entonces la función Fα ( x , β ) es lineal a trozos y. convexa.. La ecuación (31) puede ser linealizada por medio de la inclusión de variables dummy z j j = 1,..., J en J ~ r donde la función Fα ( x , β ) es reemplazada por β + (1 − α ) −1 ∑ π j z j y las restricciones lineales j =1. r r z j ≥ f ( x, y j ) − β ,. zj ≥ 0 ,. j = 1,..., J .. r Mediante el uso del teorema 4 la restricción φα (x ) ≤ ω puede ser reemplazada y aproximada por ~ r Fα ( x , β ) ≤ ω y reducida al siguiente conjunto de restricciones J. β + (1 − α ) −1 ∑ π j z j ≤ ω j =1. r r z j ≥ f ( x, y j ) − β ,. zj ≥ 0 ,. j = 1,..., J .. 5.1.2 Formulación r Considerando un portafolio con n instrumentos financieros, (i = 1,..., n) . Sea x 0 = ( x10 , x 20 ,..., xn0 ) el r vector de posiciones iniciales en el portafolio, cantidad de dinero en cada bono y sea x = ( x1 , x 2 ,..., x n ). el vector de posiciones óptimas que se desea encontrar. Los precios iniciales estarán dados por r r r q = (q1 , q2 ,..., qn ) . De lo anterior se sigue que mediante el producto q T x 0 20 se obtiene el valor inicial del portafolio. Los precios para instrumento al final del periodo, en este caso diario, estarán dados por r el vector y = ( y1 , y 2 ,..., y n ) . Los costos de transacción ci , i = 1,..., n , están determinados por un porcentaje fijo del monto transado. La función de pérdidas estará dada por 20. En donde. r r a T indica el vector transpuesto del vector a . 34.

(42) MODELO DE OPTIMIZACION. II.04(1)111.. r r r r r r r r f ( x , y, x 0 , q ) = q T x 0 − y T x. (32). La función objetivo se define como el retorno en el periodo en el cual se presentará la optimización, diario, lo cual es el valor esperado del valor del portafolio al final del periodo dividido por su valor inicial.. r La función de retorno R(x ) estará dada por el valor esperado del portafolio al final del periodo, n r r r R( x ) = Ε[ y T x ] = ∑ xi Ε[ y i ] i =1. Definida de esta manera la función de retorno se relaciona con la función de perdida mediante r r r r R( x ) = − Ε[ f ( x , y )] + q T x 0 siendo esta función lineal y convexa respecto a la xr . Los costos de transacción ci , i = 1,..., n , definen una restricción de balance de la cantidad de dinero antes y después de un día, se asumirá que no se incrementa el capital disponible para el portafolio. n. n. ∑q x = ∑c q i. i =1. 0 i. n. lo que es equivalente a. ∑q x i =1. i. 0 i. i. i =1. n. i. | x − xi | + ∑ q xi 0 i. i =1. n. n. i =1. i =1. i. = ∑ ci qi (δ i + δ i ) + ∑ qi xi. xi0 − δ i + δ i = xi , i = 1,..., n. δ i ≥ 0, δ i ≥ 0,. i = 1,..., n. Además de las anteriores restricciones también se incluirán restricciones en la cantidad de la posición que un activo tome dentro del portafolio al no permitir que el activo i conforme mas de un ν i por n. ciento del valor del portafolio es decir qi xi = ν i ∑ x k qk . k =1. Por último se incluye una restricción en el CVaR que determina que su máximo valor será el VaR de lo cual se tiene que r. r r. φα ( x ) ≤ ω .q T x 0. 35.

(43) MODELO DE OPTIMIZACION. II.04(1)111. J. n. j =1. i =1. rr. β + (1 − α ) −1 ∑π j z j ≤ ω ∑ qi xi0 n. z j ≥ ∑ (qi xi0 − y ij xi ) − β , i =1. zj ≥ 0 ,. j = 1,..., J .. De lo anterior se tiene que el problema de optimización en el caso de restricciones en el CVaR está dado por:. n. min ∑ − xi Ε[ yi ] x,β. Sujeto a. (33). i =1. J. n. j =1. i =1. rr. β + (1 − α ) −1 ∑π j z j ≤ ω ∑ qi xi0 n. z j ≥ ∑ (qi xi0 − y ij xi ) − β ,. zj ≥ 0 ,. i =1. n. n. n. i =1. i =1. i =1. (34). j = 1,..., J .. ∑ qi xi0 = ∑ ci qi (δ i − δ i ) + ∑ qi xi. (35). (36). xi0 − δ i + δ i = xi , i = 1,..., n. (37). δ i ≥ 0, δ i ≥ 0,. i = 1,..., n. (38). i = 1,..., n. (39). n. qi xi = ν i ∑ xi qi , i =1. r De lo cual se obtiene un vector x * de las posiciones óptimas del portafolio y el correspondiente β * que corresponde al VaR del portafolio siguiendo la metodología anteriormente descrita. Para el desarrollo del modelo de optimización el valor esperado del retorno se calculó por medio de simulación histórica basada en las funciones de las curvas cero cupón publicadas por el Sisval diariamente.. 36.

(44) MODELO DE OPTIMIZACION. II.04(1)111.. 5.2 CALCULO DE LOS PARAMETROS 5.2.1 Precios futuros. Para la serie de precios futuros del portafolio se realizo una simulación histórica, la escogencia de este método no solo tuvo en cuenta la sencillez de la metodología sino también la distribución estimada de los retornos del portafolio, que no cumple con los supuestos de normalidad. Para la simulación se tomaron los precios de los títulos21 durante 293 días y se genero el precio futuro, al siguiente día, asumiendo que los retornos de los días anteriores se repetirian para el siguiente periodo. De lo anterior se sigue que si el precio del j − ésimo título en el día para el cual se quiere generar la serie de precios futuros es v mj , entonces teniendo el i − ésimo precio del título dado por vij con 1 < i ≤ 293 se tiene que el i − ésimo precio estimado estará dado por vmj. vij v( i −1) j. con lo cual se genera un serie de. 292 precios futuros basados en los precios pasados. Si bien esta estimación de precios asume que los precios futuros se han de generar por medio de un proceso como el pasado tienen la ventaja de no asumir alguna distribución en particular. Con la anterior formulación se tiene un total de 310 variables en el modelo. En el modelo de optimización, ecuaciones (33) a (39), el precio esperado se calculó como el promedio de los precios de la serie, el porcentaje del valor del portafolio que se podía arriesgar w se vario para le generación de la frontera eficiente de igual manera que se varió el parámetro que restringe el porcentaje del valor del portafolio que puede conformar un título del total del portafolio.. 21. Notese que en esta serie de precios algunos fueron estimados.. 37.

(45) II.04 (1)111.. CAPITULO 6. 6 RESULTADOS. Este capítulo presenta el desarrollo de los temas expuestos en los capítulos previos. A su vez se introducen otras metodologías para especificar el procedimiento usado en el trabajo. La mayor parte de este capítulo hará referencia a los anteriores en cuanto a la metodología y nomenclatura, sin embargo cuando se estime necesario se hará referencia al capítulo en donde se encuentran las definiciones.. 6.1 ESCOGENCIA DE LOS TÍTULOS. Para la selección de los títulos de tasa fija denominados en pesos, TFITxxddmmaa22, que se han de tener en cuenta para el modelo de optimización se utilizo la medida de liquidez de los mismos presentada en CORFINSURA (2003). La liquidez de los títulos se mide mediante la participación, en monto, del total del monto transado en un periodo. En este caso se tomaron datos desde el 2 de Enero del 2003 hasta el 19 de Marzo del 2004.. La liquidez del título i estará dada por. Li =. Qi. ∑Q j =1. 22. (40). N. CAPITULO 3, 3.1.. 39. j.

(46) RESULTADOS. II.04(1)111.. En donde Qi es el monto transado del instrumento i y N es el total de los instrumentos que se tenían en dicho periodo.. Los resultados de dichos cálculos, para el periodo anteriormente mencionado se presentan en la tabla 2. Los datos de los montos de las transacciones fueron obtenidas del Sistema de Negociación electrónico, SEN, del banco de la República y fueron usados los precios promedios para las fechas de transacciones.. TFIT03171003 TFIT02090905 TFIT03080503 TFIT02120303 TFIT01180303 TFIT01110603 TFIT02081003 TFIT05081105 TFIT07120209 TFIT05040205 TFIT01080104 TFIT05030506 TFIT03160404 TFIT01110604 TFIT03250604 TFIT02060504 TFIT06120210 TFIT04091107 TFIT02270505 TFIT07220808 TFIT03110305 TFIT10250112 TFIT10260412 TFIT05250706 TFIT05140307. 0.0017% 0.0049% 0.0070% 0.0121% 0.0150% 0.0789% 0.0941% 0.1137% 0.3627% 0.4243% 0.4879% 0.5566% 0.5798% 0.6350% 0.6441% 0.8226% 0.8574% 4.4275% 6.9519% 9.4380% 10.3605% 11.8604% 13.5390% 17.3631% 20.3617%. Tabla 1 Títulos escogidos. En donde los títulos presentados en azul y en un mayor grosor de letra fueron los títulos seleccionados para conforman el conjunto de posibles activos que podían ser seleccionados para conformar el portafolio. La selección mediante este criterio se hizo para que los resultados obtenidos para la escogencia del portafolio fueran los mas realizables en la realidad; es necesario tener en cuenta que para 40.