TEMA 03 -PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES-
01. EJERCICIOS DE PROPORCIONALIDAD PROPUESTOS CON SOLUCIÓN: 01-A) PROPORCIONALIDAD DIRECTA:
Calcula la Razón de: 84
=
3216=
42=
5082548 4
=
32 16
=
4 2
=
508
254
= 2
LA RAZÓN o COCIENTE es 2 (y como se puede comprobar es constante). Si dos videojuegos cuestan 30,00 €, 4 videojuegos costaran 60,00 €, y 6 videojuegos 90,00€. Es decir, si aumentamos el número de videojuegos, su coste aumenta en la misma proporción, De la misma forma, si compramos únicamente un videojuego costará 15,00 €. Por tanto, si se disminuye el número de videojuegos, su precio disminuye en la misma PROPORCIÓN, o disminuye con igual RAZÓN o CONSTANTE de PROPORCIONALIDAD y esta relación, razón o constante de proporcionalidad se mantendrá constante (no variará) para cada par de valores, como se puede ver a continuación.
Nº de Videojuegos 2 4 6 1 …
Precio 30 60 90 15 …
30 2
=
60 4
=
90
6
= … = 15
LA RAZÓN o COCIENTE es 15 (y como se puede comprobar es constante). La siguiente tabla muestra la relación entre el Salario y las horas de trabajo de un trabajador. Completa la tabla e indica cual es la constante de proporcionalidad:
Sueldo (€) 60 40 30
SOLUCIÓN Sueldo (€) 60 40 200 30
Tiempo de trabajo (h) 2 10 Tiempo de trabajo (h) 3 2 10 1,5
Constante de Proporcionalidad = 1/20
01-B) PROPORCIONALIDAD INVERSA:
Calcula la Razón de: 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6 = …
1· 24 = 2· 12 = 3· 8 = 4· 6 = … = 24 LA RAZÓN o PRODUCTO es 24 (y como se puede comprobar es constante).
El premio de la lotería para esta semana es de 24 millones de euros. En la siguiente tabla se muestra la cantidad de dinero a percibir por cada acertante según el número de personas acertantes que haya.
Nº de Acertantes 1 2 3 4 5 …
Premio (millones €) 24 12 8 6 4,80 …
1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6 = 5 · 4,80 = … = 24 LA RAZÓN o PRODUCTO es 24 (y como se puede comprobar es constante).
La siguiente tabla muestra la relación entre el Número de Carteros y el tiempo que tardan en repartir mensajería por un barrio. Completa la tabla e indica cual es la constante de proporcionalidad:
Nº de Carteros 8 20 1
SOLUCIÓN Nº de Carteros 8 16 20 1
Tiempo de reparto (h) 4 2 Tiempo de reparto (h) 4 2 1,6 32
02. EJERCICIOS DE REGLA DE TRES PROPUESTOS CON SOLUCIÓN:
02-A) EJERCICIOS DE REGLA DE TRES SIMPLE:
02-A-02) EJERCICIOS DE REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA:
Si 3 litros de gasolina cuestan 4,00€ ¿Cuántos litros se pueden poner en el depósito del coche con 20,00€? Solución: 15 Litros.
Dos litros de gasolina cuestan 2,50€ ¿Cuántos litros se pueden comprar con 40,00€? Solución: 32 Litros.
Datos: Caso “A”:
Litros Gasolina: 3,00 L. Precio Gasolina: 4,00 €
Caso “B”:
Litros Gasolina: x L. Precio Gasolina: 20,00 €
Deducción del tipo de
Proporcionalidad que se trata: A + Litros + será el Precio PROPORCIONALIDAD DIRECTA
RESOLUCIÓN POR REGLA DE 3 SIMPLE DIRECTA Litros Gasolina INCÓGNITA ¿x?
Método-1: Calculo de la regla de tres por flechas (multiplicar en Aspas):
3,00 L D 4,00 €
3· 20 = x· 4 x = 3 · 204 x = 15 Litros
x L 20,00 €
Método - 2: Calculo de la regla de tres por fracciones ó gráfico (Realizar fracciones directas entre las magnitudes que componen la regla de tres).
3,00 L D 4,00 €
= 3x = 204 3· 20 = x· 4 x=3· 204 x = 15 Litros
02-A-02) EJERCICIOS DE REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA:
Si 2 Pintores tardan 5 horas en pintar una sala ¿Cuánto tardarán en el mismo trabajo 4 pintores? Solución: 2,5 horas.
En un campamento hay 50 niños y niñas. Se tiene comida para 30 días. Si llegan 10 niños/as más ¿Para cuánto tiempo tendrán víveres?
Solución: 25 Días de víveres. Datos:
Caso “A”:
Nº de Pintores: 2 Pintores. Tiempo de trabajo: 5 horas.
Caso “B”:
Nº de Pintores: 4 Pintores. Tiempo de trabajo: x horas.
Deducción del tipo de
Proporcionalidad que se trata: A + Pintores - Horas de trabajo
PROPORCIONALIDAD INVERSA
RESOLUCIÓN POR REGLA DE 3 SIMPLE INVERSA Tiempo INCÓGNITA ¿x?
Método-1: Calculo de la regla de tres por flechas (multiplicar en Líneas Rectas):
2 Pintores I 5 h.
2· 5 = 4 · x x = 104 x = 2,5 horas.
4 Pintores I x h.
Método - 2: Calculo de la regla de tres por fracciones ó gráfico (Realizar fracciones inversas entre las magnitudes que componen la regla de tres).
2 Pintores I 5 h.
42 = 5x 4· x = 5· 2 x=104 x = 2,5 horas.
02-B) EJERCICIOS DE REGLA DE TRES COMPUESTA:
02-B-01) EJERCICIOS DE REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA:
Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días. Solución: 40 €.
Si 5 Elefantes consumen 300 kg de pienso en una semana ¿Cuál será el consumo de 7 elefantes en 10 días? Solución: 600 Kg.
Un hombre envía un paquete de 4 kg de peso a una ciudad que se encuentra a 80 km de distancia y la empresa de transporte le cobra por el porte 10,00 € ¿Cuánto le costará enviar un paquete de 40 kg a 150 km de distancia?
Solución: 107,14 €.
Un carpintero tarda 50 días en realizar 5 armarios trabajando 3 horas al día. ¿Cuántos armarios realizará trabajando 5 horas al día durante 18 días?
Solución: 3 Armarios.
Método-1: Calculo de la regla de tres por flechas (Multiplicar en Aspa Consecutivamente):
D D Directa
D D Directa
9 Grif. 20 € 10 h
9 · x · 10 = 15 · 20 · 12
x =
360090 x = 40,00 € 15 Grif. x € 12 h
Método - 2: Calculo de la regla de tres por fracciones ó gráfico (Realizar Fracciones directas entre las magnitudes que componen la regla de tres):
D D Direct a para B1-D
D D Directa para A1-D
9 Grif. 10 h 20 €
---- · ---- = ---- 9
15
·
10 12=
20
x
x =
3600
90
x = 40,00 € 15 Grif. 12 h x
Datos:
9 grifos 10 horas 20 € A más grifos, más euros Directa.
02-B-02) EJERCICIOS DE REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA:
Si 5 obreros trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?
Solución: 2,14 días.
Si 4 albañiles, trabajando 7 horas al día, construyen un muro en 2 días ¿Cuánto tardarán 3 albañiles trabajando 6 horas al día?
Solución: 1,4 Días.
En 8 horas, 10 camiones descargan 800m3 de arena. En 5 horas ¿Cuántos camiones se necesitan
para descargar 125 m3?
Solución: 2,5 Camiones (pero los camiones solo pueden ser unidades enteras) 3 Camiones.
Se calcula que 3 programadores trabajarán 8 horas diarias durante 15 días para desarrollar una aplicación para móviles ¿Cuántos días tardarían en realizar esa aplicación 5 programadores durante 8 horas diarias? ¿y un solo programador trabajando 10 horas diarias?
Solución: 9 días 5 programadores. 36 días un solo programador. Datos:
5 obreros 6 horas 2 días A menos obreros, más días Inversa. 4 obreros 7 horas x días A más horas, menos días Inversa.
Método-1: Calculo de la regla de tres por flechas (Multiplicar en Línea Recta Consecutivamente):
I I Inversa
I I Inversa
5 Obr. 2 días 6 h
5 · 2 · 6 = 4 · x · 7
x =
6028
x = 2, 14 Días. 4 Obr. x días 7 h
Método - 2: Calculo de la regla de tres por fracciones ó gráfico (Realizar Fracciones inversas entre las magnitudes que componen la regla de tres):
I I Inversa
I I Inversa
5 Obr. 6 h 2 días
= 2
x= 4 5·
7
6 2 · 30 = 28 · x x = 60
02-B-03) EJERCICIOS DE REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA:
Si 8 obreros realizan en 9 días un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando realizar los 50 m de muro que faltan?
Solución: 12 días.
Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan? Solución: 9 días.
Para asfaltar 2 km de carretera, se necesitan 50 trabajadores empleando 20 días trabajando 8 horas diarias ¿Cuántos días tardarán 100 operarios (trabajadores) trabajando jornadas de 10 horas al día para asfaltar una carretera de 6 km de longitud?
Solución: 24 Días.
Método-1: Calculo de la regla de tres por flechas (Multiplicar en Línea Recta/Aspas Consecutivamente):
D D Directa
I I Inversa
8 Obr. 9 días 30 m
8 · 9 · 50 = 10 · x · 30
x =
3600300
x = 12 Días. 10 Obr. x días 50 m
Método - 2: Calculo de la regla de tres por fracciones ó gráfico (Realizar Fracciones inversas y Directas entre las magnitudes que componen la regla de tres):
D D Directa
I I Inversa
8 Obr. 30 m 9 días
= 9
x= 10
8 · 30
50 9 · 400 = 300 · x x = 3600
300 x = 12 Días. 10 Obr. 50 m x días
Datos:
EJERCICIOS DE REGLA DE TRES CON SOLUCIÓN:
Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 160 Km. Son magnitudes directamente proporcionales. Regla de tres directa.
Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €, ¿cuánto pagará Ana? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 2,00 €. Son magnitudes directamente proporcionales. Regla de tres directa.
Un grifo que mana 18 L de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 L por minuto? e indica de qué tipo de regla de tres se trata. Solución: 36 horas. Son magnitudes inversamente proporcionales. Regla de tres inversa.
3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros? e indica de qué tipo de regla de tres se trata
Solución: 6 horas. Son magnitudes inversamente proporcionales. Regla de tres inversa.
Si 3 kilos de naranjas cuestan 4,00 $, ¿cuántos kilos de naranjas se pueden comprar con 32,00 $? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 24 Kg. Regla de tres directa.
Una moto recorre 30 km en un 15 minutos, ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 2 horas? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 240 Km. Regla de tres directa.
Si el 50% de una cantidad es 60, ¿Cuánto es el 25% de esa misma cantidad? ¿Cuál es la cantidad? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: el 25%: 30; el 100%: 120. Regla de tres directa.
Un trabajador gana en 1 día 60,00 €, ¿Cuánto ganará en un mes? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 1.800,00 €. Regla de tres directa.
10 obreros tardan 2 meses en construir una casa. ¿Cuántos días tardarían 15 obreros? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Cuatro fuentes abiertas 6 horas y que manan 20 litros cada minuto, llenan completamente un estanque. ¿Cuántas fuentes se deben abrir para llenar el mismo estanque en 8 horas si manan 12 litros cada minuto? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 5 fuentes. Son magnitudes inversamente proporcionales. Regla de tres compuesta inversa.
En la feria de Sevilla se colocan 120 000 farolillos que se encienden 8 horas al día y ocasionan aun gasto de 14.400,00 €. ¿Cuál sería el gasto si se colocasen 180 000 farolillos y se encendiesen 2 horas menos al día? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 16.200 €. Son magnitudes directamente proporcionales. Regla de tres compuesta directa.
1 grifo con un determinado caudal tarda 30 minutos en llenar un depósito. ¿Cuántos minutos tardaría en llenarse el depósito con 3 grifos con el mismo caudal? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 10 minutos. Regla de tres inversa.
Un autobús tarda 1 hora en acabar su trayecto a una velocidad de 80 km/h. Si aumenta la velocidad a 100 km/h, ¿cuánto tardará en terminar su trayecto? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 48 minutos. Regla de tres inversa.
Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 100 vueltas. Regla de tres inversa.
En una lavandería se lavan por cada 32 minutos 10 pantalones. ¿Cuántos pantalones lavará en 1h 20 minutos? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 25 pantalones. Regla de tres directa.
10 obreros pueden hacer una obra en 24 días ¿En cuánto tiempo harán la misma obra 8 obreros? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 30 días. Regla de tres inversa.
6 caballos tienen ración para 15 días, si se aumentan 3 caballos más. ¿Para cuántos días alcanzará la ración anterior? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 10 días. Regla de tres inversa.
¿De qué cantidad es 920,00 € el 20 %?. ¿Cuál es la respuesta? Solución: 4.600,00 €. Regla de tres directa.
En un engranaje, el piñón mayor tiene 40 dientes y el menor tiene 25 dientes. Si el piñón mayor da 200 vueltas. ¿Cuántas vueltas da el menor? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 320 vueltas. Regla de tres inversa.
Una guarnición de 1300 soldados tiene víveres para 120 días. Si se desea que los víveres duren 10 días más. ¿Cuántos soldados habría que retirar de la guarnición? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 100 hombres. Regla de tres inversa.
A un peón se le ofrece un sueldo de 1.900,00 € anuales y un caballo. Al cabo de 8 meses es despedido recibiendo un total de 1.200,00 € y el caballo. ¿Cuál es el valor del caballo? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 200,00 €. Regla de tres directa.
El precio de tres bolígrafos es de 4,50 € ¿Cuánto cuestan 7 bolígrafos? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 10,50 €. Regla de tres inversa.
En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se
compran 100 gallinas más ¿En cuánto tiempo comerán la misma cantidad de grano? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 15 días. Regla de tres inversa.
Dos ruedas están unidades por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: 100 vueltas. Regla de tres inversa.
Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 €. ¿Cuánto costará el hotel para 15 personas durante ocho días?
Solución: 1.320,00 €.
Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.
11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?
Solución: 21 Obreros.
Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?
Solución: 37,5 Horas.
Un agricultor contrata a 24 obreros, los cuales se comprometen a cavar una zanja de 50 m de largo, 8m de ancho y 2 m de profundidad en 10 días. Se decide aumentar todas las dimensiones de la zanja en un 50%. ¿Cuántos obreros se necesitan para terminar el contrato en la mitad del plazo fijado si aumentan su eficiencia en un 50%?
Solución: 108 Obreros.
Un artesano, pensó hacer 20 figuras de madera en 15 días, pero tardó 6 días más por trabajar 2 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó diariamente?
Solución: 5 Horas.
Tres pintores tardan 10 días en pintar una tapia. ¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer el mismo trabajo?
Solución: 5 Días.
Si 6 niños comen 160 caramelos en 2 horas, ¿cuántas horas tardan 3 niños en comer 120 caramelos?
Solución: 3 niños tardan 3 horas en comer 120 caramelos.
Si con 4 grifos de agua de diámetro 2cm se obtienen 300 litros en determinado tiempo, ¿cuántos litros se obtienen en el mismo tiempo con 2 grifos de 3cm de diámetro?
Solución: se obtienen 225 litros de agua con 2 grifos de diámetro 3cm.
Se sabe que 6 mangueras abiertas durante 3 horas equivalen a 10.000 litros. ¿Cuánto tiempo se necesita para llenar una piscina de 130.000 litros con 4 de estas mangueras?
Solución: se necesitan 58 horas y media para llenar la piscina.
Un equipo de 8 programadores trabajará 6 horas diarias para desarrollar un software en un año. Si se forma un equipo de 10 programadores trabajando 4 horas diarias, ¿cuántos años se necesitan para realizar un proyecto de la misma envergadura?
Un estadio de futbol tiene una superficie de 7.140 metros cuadrados. Para cortar su césped se emplean 3 máquinas cortacésped funcionando durante 5 horas. ¿Cuánto tiempo se requiere para cortar el césped de un estadio cuya superficie sea la mitad si se emplean 7 máquinas? Solución: se necesitan 1,07 horas. Es decir, 1 hora, 4 minutos y 12 segundos.
Una compañía dispone de 5 máquinas de refresco que llenan 280 botellas que se venden por un total de 400 dólares. Si la compañía compra 3 nuevas máquinas embotelladoras para ganar un total de 550 dólares, ¿cuántas botellas deben llenar?
Solución: 616 botellas.
Dos alumnos/as del centro son aficionados al “rap”. Escriben y componen 6 canciones en 15 días. Si les llama un amigo para que les ayude durante 5 días, ¿cuántas canciones compondrán? Solución: compondrán 3 canciones.
Un atleta corrió 2 horas diarias durante 30 días y adelgazó 5 kilos. Si corriera solamente 20 días, pero lo hiciera por 3 horas, ¿cuántos kilos perdería?
Solución: perdería el mismo número de kilos.
Cuatro empleadas de una tienda de moda tardan 8 días en coser 6 vestidos. Calcular cuánto tiempo se necesita para coser 24 vestidos si se duplica la plantilla.
Solución: se necesita duplicar la plantilla durante 16 días.
Un buque de carga realiza un transporte en 24 días con tan solo 3 motores encendidos con un consumo total de 2.000L de fuel. Si se encienden sus 6 motores para realizar un transporte con un consumo total de 3.000L, ¿cuánto dura el transporte?
Solución: 18 días.
Un novelista que escribe 15 páginas en 90 minutos a una velocidad de 22 palabras por minuto necesita escribir 10 páginas cada 75 minutos para terminar su libro dentro del plazo. ¿Cuántas palabras por minuto debe escribir? ¿Cuántas palabras tiene una página?
Solución: 17,6 palabras por minuto. El número de palabras que escribe en 90 minutos es 1980 y como en 90 minutos escribe 15 páginas, el número de palabras por página es de 132.
El año pasado, una empresa cubana de producción de azúcar contrató 20 operarios que recolectaron al día una media de 100kg de caña por persona en dos semanas de recolecta. Calcular cuántos operarios deben contratar este año para que en una semana recolecten 2.000 kilos en total.
Solución: 80 operarios.
Una empresa cuenta con un equipo de 3 técnicos que pueden reparar los 6 elevadores del edificio en tan solo 180 minutos en caso de avería. Si se necesita reparar 5 elevadores, pero uno de los técnicos no podrá asistir, ¿cuánto tiempo tardarán en repararlos? e indica de qué tipo de regla de tres se trata. Solución: tardarán 225 minutos en reparar los 5 elevadores.
Para construir una casa en 6 meses (183 días), un arquitecto estimó que serían necesarios 16 obreros trabajando 10 horas al día. Sin embargo, limitado por el presupuesto, se decidió por contratar solamente a 8 obreros trabajando 6 horas diarias. ¿Cuánto tiempo durará la construcción?
Solución: 610 días en construir la casa. Es decir, aproximadamente 1 año y 8 meses.
En un sembradío de sandías que es regado 2 veces a la semana se podrían cosechar 12 toneladas de esta fruta en 4 meses. Sin embargo, se riega 4 veces semanales para duplicar la producción. ¿Cuántas toneladas se producen en tres meses?
Solución: se producen 18 toneladas en tres meses si se duplica el riego.
Alberto y Gabriel son dueños de sendas pizzerías. En la de Gabriel se cocinan 4 pizzas en 3 hornos en 30 minutos. Si Alberto dispone de 4 hornos, ¿Cuánto tardará en cocinar 6 pizzas suponiendo que ambos manejan el mismo tipo de horno? e indica de qué tipo de regla de tres se trata.
Solución: Alberto tardará 33,75 minutos. Es decir, 33 minutos y 45 segundos.
Cinco kilos de manzanas cuestan 3,00 €. ¿Cuánto costarán 7 kilos? y ¿Cuánto costará 1 kilo? Solución: 7 kilos costará: 9,80 €. ; 1 kilo costará: 1,40 €.
Cuatro coches, en 10 días, gastan 80,00 € de gasolina ¿Cuánto gastarán 6 coches en 15 días? y ¿Cuánto gastará 1 coche al día?
Solución: 6 coches en 15 días gastarán: 180,00 €. ; 1 coche al día gastará: 2,00 €.
Un padre saca entradas para ir a un festival de Navidad con sus tres hijos, le cuestan 26,00 € ¿Cuánto deberías pagar tu para asistir con tu pareja? Resolver por el método de reducción a la unidad. Solución: 1 Entrada para 1 persona cuesta: 6,50 € (método reducción a la unidad) ; 2 Entradas costarán: 13,00 €.
Un depósito tiene 3 válvulas de desagüe. Si se abren 2, el depósito se vacía en 1 hora ¿Cuánto tardará en vaciarse si se abren las 3 válvulas? Resolver por el método de reducción a la unidad. Solución: 1 sola válvula le costaría: 2 horas. (método reducción a la unidad) ; 3 válvulas les costaría: 0,67 horas.
Una modista le cuesta confeccionar un vestido de novia 30 días y a otra modista le cuesta 20días. Si cosen juntas ¿En cuánto tiempo tendrían el vestido de novia listo? Resolver por el método de reducción a la unidad.
Para calentar 2 litros de agua desde 0ºC a 20ºCse han necesitado 1000 calorías. Si se quieren calentar 3 litros de agua de 10ºC a 60ºC ¿Cuántas calorías son necesarias?
Solución:
Lítros de agua Salto térmico Calorías
2 20 1000
1 20 1000/2 =500 Para calentar un litro de agua 20ºC hacen falta 500 calorías
1 1 500/20=25 Para calentar un litro de agua 1 grado hacen falta 25 calorías
3 50 25·3·50=3750 Luego para calentar 3 litros 50ºC harían falta 3750 calorías
Se han necesitado 2000 calorías para calentar 2 litros de agua desde 10ºC a 50ºC. Si a 5 litros de agua a la misma temperatura inicial le suministramos 8000 calorías ¿Qué temperatura alcanzarán? Solución:
Calorías Litros de agua Salto térmico
2000 2 40
1 2 40/2000=0.02 Si aplicamos una caloría a 2 litros de agua su temperatura
subirá 0.02 grados
1 1 0.02·2=0.04 Si en lugar de calentar 2 litros queremos calentar 1 se subirá
la temperatura en 0.04 grados
8000 5 0.04·8000/5=64 Luego la temperatura del agua suburá 64ºC y será de 74ºC
Cuatro obreros trabajando 10 horas diarias han empleado 9 días en hacer la estructura de una nave industrial. Otra cuadrilla trabajando 6 horas diarias realiza el mismo trabajo en 12 días ¿Cuántos obreros tienen la otra cuadrilla?
Solución:
Horas Días Obreros
10 9 4
1 9 4 · 10 = 40 Si en lugar trabajar 10 horas trabajan 1 haran falta 40 obreros para
hacer el trabajo que hacen 4
1 1 40 · 9= 360 Si en lugar de hacer el trabajo en 9 días lo queremos hacer en 1,
habrá que aumentar la plantilla hasta 360 obreros
6 12 360/(6·12) = 360/72=5 Luego la otra cuadrilla tiene 5 obreros.
En un día de trabajo de 8 horas, un obrero ha hecho 10 cajas. ¿Cuántas horas tardará en hacer 25 de esas mismas cajas?
Solución: 20 h.
¿Cuál será la altura de una columna que produce una sombra de 4,5 m sabiendo que a la misma hora una varilla vertical de 0,49 m arroja una sombra de 0,63 m?
Si para pintar 180 m2 se necesitan 24 kg de pintura. ¿Cuántos kg se necesitarán para pintar una superficie rectangular de 12 m de largo por 10 m de ancho?
Solución: 16 kg.
Para hacer 96 m2 de un cierto género se necesitan 30 kg de lana;¿ cuántos kg se necesitarán para tejer una pieza de 0,90 m de ancho por 45 m de largo?
Solución: 12,656 kg.
Un automóvil recorre 50 km en 1 h 32 m. ¿en qué tiempo recorrerá 30 km? Solución: 55 min 12 seg.
Doce obreros han hecho la mitad de un trabajo en 18 horas. A esa altura de la obra 4 obreros abandonan el trabajo. ¿Cuántas horas tardan en terminarlo los obreros que quedan? Solución: 27 h.
Un ganadero tiene 36 ovejas y alimento para ellas por el término de 28 días. Con 20 ovejas más, sin disminuir la ración diaria y sin agregar forraje ¿durante cuántos días podrá alimentarlas?
Solución: 18 días.
Para empapelar una habitación se necesitan 15 rollos de papel de 0,45 m de ancho, ¿cuántos rollos se necesitarán, si el ancho fuera de 0,75 m?
Solución: 9 rollos.
Un comerciante compró 33 kg de yerba a razón de $62 el kg. ¿cuántos kg de $66 podría haber comprado con esa misma suma de dinero?
Solución: 31 kg.
Un trabajo puede ser realizado por 80 obreros en 42 días. Si el plazo para terminarlo es de 30días ¿cuántos obreros deberán aumentarse?
Solución: 32 Obreros.
A razón de 70 km/h un automovilista emplea 2 hs 30 min para recorrer cierta distancia. ¿qué tiempo empleará para recorrer la misma distancia a razón de 45 k/h?
Solución: 3 hs 53 min 20 seg.
Una familia compuesta de 6 personas consume en 2 días 3 kg de pan. ¿Cuántos kg de pan serán consumidos en 5 días, estando dos personas ausentes?
Para cavar una zanja de 78 m de largo, 90 cm de ancho y 75 cm de profundidad, se necesitan 39 obreros .¿cuántos obreros habrá que disminuir para hacer en el mismo tiempo una zanja de 60 m de largo, 0,5 m de ancho y 45 cm de profundidad?
Solución: 29 Obreros.
Se han pagado 144. 000 € a 24 obreros que han trabajado 8 días de 8 horas diarias. ¿Cuánto se
abonará en las mismas condiciones, a 15 obreros que deben trabajar 12 días a razón de 9 horas por día? Solución: 151.875 €.
Un ciclista marchando a 12 km por hora recorre en varias etapas un camino empleando 9 días a razón de 7 horas por día. ¿A qué velocidad tendrá que ir si desea emplear sólo 6 días a razón de 9 horas diarias? Solución: 14 km/h.
Una pileta se llenó en 3 días dejando abiertas 2 canillas que arrojan 20 litros por hora, durante 6 horas diarias. ¿Cuántos días se precisarán para llenar la misma pileta si se dejan abiertas, durante 5 horas diarias, 4 canillas que arrojan 18 por hora?
Solución: 2 días.
Si 24 obreros pueden finalizar un trabajo en 46 días trabajando 7 horas diarias. ¿Cuántos días emplearán si se aumenta en un 75% el número de obreros y trabajan 8 horas diarias? Solución: 23 días.
Un socio que ha colocado 7.000 € durante 5 meses, ha ganado 1.200 €. ¿cuál es el capital de un segundo socio que ganó 4.200 €, si lo colocó durante 7 meses?
Solución: 17.500 €.
Cuatro máquinas que fabrican latas para envase, trabajando 6 horas diarias, han hecho 43200 envases en 5 días. Se detiene una de las máquinas, cuando faltan hacer 21600 envases, que deben ser entregados a los 2 días. ¿Cuántas horas diarias deben trabajar las máquinas que quedan para cumplir el pedido? Solución: 10 horas.
03. EJERCICIOS DE PORCENTAJES EN LA ECONOMÍA:
03-A) EJERCICIOS DE AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES:
Un alumno/a compra una calculadora que costaba 42,00 € y ha aumentado su precio en un 5,00% ¿Cuánto cuesta ahora? Solución: 44,10 €.
Un alumno/a compra una chaqueta que costaba 80,00 €, pero esta rebajada en un 40,00% por el Black Friday ¿Cuántos euros esta rebajada la chaqueta? ¿Cuánto le ha costado al alumno/a la cazadora en el Black Friday? Solución: Rebaja: 32,00 €. Precio Final: 48,00 €.
Datos:
Precio Inicial: 42,00 €
Precio Inicial Aumentado Porcentaje del Aumento: 5,00%
Precio Final ¿x?
Método-1:
Calculo numérico del Aumento = Valor inicial · Aumento100 en % Aumento = 42,00 € · 5,00100% = 42· 0,05 = 2,10 €
Calculo del Valor Final = Valor Inicial + Calculo numérico del Aumento Valor Final = 42,00 € + 2,10 € = 44,10 € ; Precio Final = 44,10 €
Método - 2:
Calculo del Valor Final = Valor inicial · (1 + Aumento100en %) Valor Final = 42,00 € · (1 + 5,00100%) = 42 · (1+ 0,05) = 42 · 1,05 = 44,10 €
Precio Final = 44,10 €
Datos:
Precio Inicial: 80,00 € Precio Inicial Disminuido Porcentaje de la Rebaja: 40,00%
Valor de la Rebaja ¿x?
Precio Final ¿x?
Método-1:
Calculo numérico de la Disminución = Valor inicial · Rebaja100 en % Disminución o Rebaja = 80,00 € · 40,00100% = 80· 0,40 = 32,00 € Rebaja = 32,00 €
Calculo del Valor Final = Valor Inicial - Calculo numérico de la Disminución Valor Final = 80,00 € - 32,00 € = 48,00 € ; Precio Final = 48,00 €
Método - 2:
Calculo del Valor Final = Valor inicial · (1 - Disminución100 en %) Valor Final = 80,00 € · (1 - 40,00100%) = 80 · (1- 0,40) = 80 · 0,60 = 48,00 €
Precio Final = 48,00 €
Las entradas para un concierto de Rock cuestan 115,00 € y si se adquieren con una antelación de un mes, tienen un descuento del 10,00%. Si se cogen las entradas en taquilla el día de concierto ¿Cuánto costarían? Y si se adquieren las entradas con un mes de antelación ¿Cuánto costarían? Solución: Precio con Rebaja: 113,50 €. Precio sin Rebaja: 115,00 €.
Un alumno/a compra un traje/vestido para celebrar el cotillón de Noche Vieja en una macro discoteca. En una tienda de moda encuentra un traje/vestido rebajado un 15,00% y su precio rebajado es de 170,00 € ¿Cuánto costaba el traje/vestido antes de la rebaja?
Solución:
En un famoso centro comercial de mobiliario y artículos del hogar, tus padres compran una estantería para tu sala de estudio que cuesta 150,00 €. Pero, no les entra en el coche y piden que se la lleven a casa y que se la monten. Este servicio de transporte y montaje supone un incremento en el precio del 4,00% por transporte y de un 4,00% por montaje, es decir un incremento total del 8,00% sobre su precio ¿Cuánto cuesta al final la estantería una vez transportada y montada en tu sala de estudio?
Solución: 159,00 €
Resta el 20% de 100. A la cantidad resultante súmale el 20% ¿Obtendrás el mismo resultado inicial? ¿Por qué? (Razona la respuesta y escribe tu razonamiento y/o explicación a que es debido este resultado). Solución: No se obtienen el mismo resultado por que el 20% de 100 es mayor que el 20% de 80.
Datos:
Precio Inicial: 115,00 € Precio Inicial Disminuido Porcentaje de la Rebaja 10,00%
a) Precio Final con Rebaja ¿x? b) Precio Final sin Rebaja ¿x?
Método-1:
Calculo numérico de la Disminución = Valor inicial · Rebaja100 en % Disminución o Rebaja = 115,00 € · 10,00100% = 115· 0,10 = 11,50 € Rebaja = 11,50 €
Calculo del Valor Final = Valor Inicial + Calculo numérico de la Rebaja Valor Final =115,00 € - 11,50 € = 103,50 € ; Precio Final = 113,50 € a) Precio de la Entrada comprada con Rebaja = 113,50 € b) Precio de la Entrada comprada sin Rebaja = 115,00 €
Método - 2:
Calculo del Valor Final = Valor inicial · (1 + Aumento100en %) Valor Final = 115,00 € · (1 - 10,00100%) = 115· (1- 0,10) = 115· 0,90 = 103,50 €
Precio Final = 113,50 €
03-B) EJERCICIOS DE PORCENTAJES SUCESIVOS:
Visitando una página web de ventas un alumno/a se fija en un móvil que le gusta mucho y que cuesta 240,00 €, se fija en él porque aparece con un descuento o rebaja del 25,00% y sin gastos de envió, pero se le debe aplicar el impuesto del IVA que en España para estos productos actualmente es del 21,00% ¿Cuánto cuesta el móvil que se ha fijado el alumno/a? Solución: Precio Final: 217,80 €.
Datos:
Precio Inicial: 240,00 € Precio Inicial Disminuido Porcentaje de la Rebaja: 25,00%
Gastos de envió: 0,00 €
Precio Inicial Aumentado Porcentaje Aumento por
impuestos (IVA): 21,00%
PORCENTAJES SUCESIVOS
Precio Final ¿x?
PORCENTAJES SUCESIVOS: se debe aplicar sucesivamente el porcentaje sobre el valor anterior obtenido.
DISMINUCIÓN: REBAJA 25,00% AUMENTO: IMPUESTOS (IVA) 21,00%
Método-1:
Calculo numérico de la Disminución = Valor Inicial · Rebaja100 en % Disminución o Rebaja = 240,00 € · 25,00100% = 240· 0,25 = 60,00 € Rebaja = 60,00 €
Calculo del Valor Final1 = Valor Inicial - Calculo numérico de la Disminución
Valor Final1 = 240,00 € - 60,00 € = 180,00 € ; Precio Final1 = 180,00 €
Calculo numérico del Aumento = Valor Final1 · Aumento100 en %
Aumento = 180,00 € · 21,00100% = 180,00· 0,21 = 37,80 €
Calculo del Valor Final2 = Valor Final1 + Calculo numérico del Aumento
Valor Final = 180,00 € + 37,80 € = 217,80 € ; Precio Final = 217,80 €
Método - 2:
Calculo del Valor Final1 = Valor Inicial · (1 - Disminución100 en %)
Valor Final1 = 240,00 €· (1 - 25,00100%) = 240· (1- 0,25) = 240· 0,75 = 180,00 € Precio Final1 = 180,00 €
Lógicamente Rebaja = Precio Inicial – Precio Final1 = 240 – 180 = 60,00 € Rebaja = 60,00 €
Calculo del Valor Final2 = Valor Final1 · (1 + Aumento100 en %)
Valor Final2 = 180,00 €· (1 + 21,00100%) = 180· (1+ 0,21) = 180· 1,21 = 217,80 € Precio Final2 = 217,80 €
Lógicamente Aumento = Precio Final2 - Precio Final1 = 217,80 – 180,00 = 37,80 € Aumento por Impuestos (IVA) = 37,80 €
Método - 3:
Calculo del Valor Final = Valor Inicial· (1 - Disminución%100 )· (1 + Aumento%100 ) Calculo del Valor Final = 240· (1 - 25,00%100 )· (1 + 21,00%100 ) = 240· 0,75· 1,21=217,80 €
Una tienda de sudaderas y camisetas, sube el importe de las camisetas de 40,00 € un 50,00% de cara a la campaña de verano. Al finalizar Agosto la tienda rebaja el importe de las camisetas en el mismo porcentaje. ¿Continúa costando lo mismo las camisetas en Mayo, en Julio y en
Septiembre? Indica cual es el valor en euros de las camisetas de esta tienda en los meses de Mayo, Julio y Septiembre.
Solución: Precio Final: 30,00 €, un 25,00% menos.
Una tablet que costaba 150,00 € ha sufrido dos aumentos de precios sucesivos uno del 20,00% y otro del 15,00% ¿Cuánto cuesta ahora?
Solución: Precio Final: 207,00 €.
Una compañía de venta de móviles ha visto variada sus tarifas de venta a lo largo de los años. Hace dos años aumento el número de ventas un 10,00%. El año pasado aumento un 5,00% sobre el anterior. ¿Cuál ha sido el porcentaje de variación de sus tarifas de ventas durante estos tres años? Solución: 33%.
El precio de unas zapatillas de deporte es de 75,00 €. En la etiqueta marca que tienen una rebaja sobre su precio, marcando lo siguiente: “REBAJA 25%” y también marca “IVA NO INCLUIDO” ¿Cuánto
tendrás que pagar al pasar por caja con esas zapatillas de deporte, si las compras? (IVA=21,00%). Solución: Precio Final: 68,00 €.
Un establecimiento anuncia en grandes carteles, por radio, TV y redes sociales «semana sin IVA» y ofrece todos sus productos con un 21% de descuento. ¿Realmente te puedes ahorrar el
equivalente al IVA? (IVA=21,00%).
Solución: Ahorramos un valor superior al IVA.
Las entradas para un concierto de Rock cuestan 115,00 € (sin incluir el IVA) y si se adquieren con una antelación de un mes, tienen un descuento del 10,00%, Además hay que añadirle un coste de tramitación del 15,00% y el impuesto del IVA. Si se cogen las entradas en taquilla el día de concierto ¿Cuánto costarían? Y si se adquieren las entradas con un mes de antelación ¿Cuánto costarían? Solución: Precio con Rebaja: 113,50 €. Precio sin Rebaja: 115,00 €.
Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?
Solución: 5,00 %.
Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%? Solución: Precio Final: 1.392,00 €
Nota: Debido al IVA hay un recargo del 16%, es decir, de cada 100 € pagamos 16 € más, por tanto en vez de los 100 € se paga 116 €.
De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? Solución: 75,00%
Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
Solución: Precio Final: 8.800 € − 660 € = 8.140,00 €
Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar? Solución: Precio Final: 414,00 €
Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%.
Solución: 198,00 €.
¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280 €, para perder el 12% sobre el precio de venta?
Solución: 250,00 €.
Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €.
Solución: 120,00 €.
En la floristería de Inés 7/10 de las flores son rosas y en la floristería de Luis las rosas son el 75% de las flores. ¿Quién tiene un mayor porcentaje de rosas?
Solución: recibe más dinero Irene.
Un ordenador está valorado en 500 € sin IVA, si el IVA es el 21% del precio. ¿Cuánto costará el ordenador?
Solución: Pago Final: 605,00 €
La etiqueta de un pantalón marca 40 € y nos hacen un descuento del 20% ¿Cuánto cuesta el pantalón?
En las rebajas están que lo tiran. Un ordenador que costaba 500€ lo han rebajado un 60% ¿cuánto cuesta ahora?
Solución: 200,00 € cuesta con el descuento incluido.
En las aulas de sexto hay 30 chicas y 20 chicos ¿qué porcentaje representan los chicos de sexto? ¿y las chicas?
Solución: Los chicos son 40%, por lo tanto las chicas son el 60%
En las elecciones al consejo escolar el 30% de los 80 votantes eligió a Pedro ¿Cuántos votos obtuvo Pedro? Solución: 24 votos.
Una moto cuyo precio era de 5.000 € cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento? Solución: El incremento es del 5%
Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7,5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
Solución: 8800 - 660 = 8.140,00 € hay que pagar.
Mónica ha comprado un CD. El dependiente le dice que ha descontado el 20%→ de su valor, siendo ese descuente 3 € ¿cuánto costaba inicialmente el CD?
04) INTERÉS y CÁLCULO DE LOS INTERÉS FINANCIEROS O ECONÓMICOS:
04-A) EJERCICIOS DE INTERÉS SIMPLE:
Calcula el interés producido durante 3años por un capital de 5.000 € al 3,5%. Solución: I = 525,00 €.
Te diriges a un banco para realizar un depósito (una inversión de capital a cambio de una remuneración, que puede ser fija o variable) de 500 € a un interés simple del 4,5% durante 4 años. Deseas conocer los intereses que te van a generar cada año ese capital invertido y el capital total (el dinero total) que podrás retirar
del banco pasado ese tiempo. Solución: Capital Total = 590,00 €.
Datos: C = 5.000 € r = 3,5 % t = 3 años
Cálculo de interés simple anual. CALCULO de INTERES SIMPLE I = Interés ¿x?
CÁLCULO DEL INTERÉS SIMPLE ANUAL
Cálculo del interés simple por el uso del dinero de un préstamo o depósito a un interés
Si el tiempo viene expresado en años I = C· r· t100 r = tasa en %100
I = C· r· t100 I = 5000· 3,5· 3100 I = 50 · 3,5 · 3 = 525 € I = 525,00 €.
Datos: C = 500 € r = 4,5 % t = 4 años
Cálculo de interés simple anual. CALCULO de INTERES SIMPLE
a) I = Interés anual (cada año) ¿x?
b) Capital a los 4 años. ¿Capital TOTAL?
CÁLCULO DEL INTERÉS SIMPLE ANUAL
Cálculo del interés simple por el uso del dinero de un préstamo o depósito a un interés
Si el tiempo viene expresado en años I = C· r· t100 r = tasa en %100 a) Interés generado cada año:
I = C· r· t100 I = 500· 4,5· 1100 I = 5 · 4,5 · 1 = 22,50 € I = 22,50€
b) Dinero Retirado a los 4 años:
Capital TOTAL = Capital Inicial + (t TOTAL· I)
Capital TOTAL = 500€ + (4 años· 22,50€) = 500 + 90 = 590 Capital TOTAL = 590,00€
ACLARACIÓN: Los depósitos bancarios son productos financieros que se caracterizan por tratarse de un contrato en el cuál una de las partes, ya sea una
Un capital de 25.000 € ha generado unos intereses de 6.000 € al 6% anual. ¿Cuánto tiempo ha estado depositado el capital en el banco si el interés es simple? Solución: t = 4 años
Se prestan 6.000 €. Pasados un año, cuatro meses y veinte días se perciben 6.500 € ¿Cuál fue la tasa o el tipo de interés simple aplicado al préstamo? Solución: r = 6,00%
Calcula la tasa de interés simple a la que se deberá prestar un capital para que, al cabo de 10 años, los intereses sean la mitad del capital prestado.
Solución: r = 5,00%
Hallar el interés producido durante cinco años, por un capital de 30 000 €, al 6%. Solución: I = 9.000,00 €.
Calcular en qué se convierte, en seis meses, un capital de 10.000 €, al 3.5%. Solución: Capital Total = 10.000 + 175 = 10.750,00 €.
Datos:
C = 25.000 € r = 6,0 % I = 6.000 €
Cálculo de interés simple anual. CALCULO de INTERES SIMPLE
t = Nº de años depositado ¿x?
CÁLCULO DEL INTERÉS SIMPLE ANUAL
Cálculo del interés simple por el uso del dinero de un préstamo o depósito a un interés
Si el tiempo viene expresado en años I = C· r· t100 r = tasa en %100
I = C· r· t100 6000 = 25000· 6,0· t100 6000 · 100 = 25000 · 6 · t 600.000 = 150000 · t t = 600000150000 = 4 años t = 4 años
Datos: C = 6.000 € r = ¿? %
I = 6.500 € - 6.000 € = 500 € t = 1 año, 4 meses y 20 días.
t = 360 + (4· 30) + 20 t = 360 + 120 + 20 t = 500 días
Cálculo de interés simple diario. CALCULO de TASA
= Tasa en % ¿x?
CÁLCULO DEL INTERÉS SIMPLE DIARIO
Cálculo del interés simple por el uso del dinero de un préstamo o depósito a un interés
Si el tiempo viene expresado en Años I = C· r· t100 t= 1 Año Si el tiempo viene expresado en Meses I = C· r· t1200
Si el tiempo viene expresado en Días I = 36000C· r· t
¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta en 30.000 €? Solución: t = 4 Años.
Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25.000 € invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.
Solución: 6.000 € en intereses.
Calcular el interés simple producido por 30.000 € durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %. Solución: El interés simple producido al cabo de 90 días es de 369,86 €
Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, 970 €. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año?
Solución: El saldo medio (capital) anual de dicha cuenta fue de 48.500 €.
Por un préstamo de 20.000 € se paga al cabo de un año 22.400 €. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada? Solución: La tasa de interés anual es del 12 %.
Un capital de 300.000 € invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de 12.000 €. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido?
Solución: El tiempo es de 0,5 año (medio año); es decir, 6 meses.
Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 € invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.
Solución: El interés es de 6 000 €.
Calcular el interés simple producido por 30 000 € durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %. Solución: I = 375 €.
Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, 970 €. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año?
Solución:
El saldo medio ha sido de 48 500 €.
Un préstamo de 20 000 € se convierte al cabo de un año en 22 400 €. ¿Cuál es la tasa de interés cobrado?
Un capital de 300 000 € invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de 12 000 €. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido?
Solución: El tiempo que ha estado invertido es de 0,5 años, es decir, 6 meses.
¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta en 30.000 €? Solución: t = 4 Años.
Se prestan 45 000 € y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben 52 500 €. Calcular el tanto por ciento de interés.
Solución: r = 12%
Hallar él tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse un capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado.
Solución: r = 5%
¿En cuánto tiempo se triplica un capital colocado al 6%? Solución: t = 50 Años.
Hallar el interés producido durante cinco años, por un capital de 30 000 €, al 6%. Solución: I = 9.000,00 €.
Calcular en qué se convierte, en seis meses, un capital de 10.000 €, al 3.5%. Solución: Capital Final = 10.175,00 €
Calcula el interés simple de un capital de 24.000€ invertido durante 3 años al 5% anual. Solución: I = 3.600,00 €.
Calcula el interés simple de un capital de 29.000€ invertido durante 89 días al 4% anual. Solución: I = 282,50 €.
Al cabo de un año, el banco nos ha ingresado en nuestra cuenta de ahorro la cantidad de 870€ en concepto de intereses. Siendo la tasa de interés del 2% anual, ¿cuál es el capital de dicha cuenta?
Por un préstamo de 19.000€ hemos tenido que pagar 21.200€ al cabo de un año. ¿Cuál es la tasa de interés que nos han cobrado?
Solución: La tasa de interés anual es de 11,58%
Invertimos un capital de 250.000€ a una tasa de interés anual del 6% durante un cierto tiempo, ha generado unos intereses de 10.000€ ¿cuánto tiempo ha estado invertido?
Solución: t = 8 meses.
Hemos invertido durante cierto tiempo un capital de 24.000€ a una tasa de interés simple anual del 5%. Al final hemos obtenido un capital de 29.000€. ¿Durante cuánto tiempo ha estado invertido? Solución: t = 4 años y 2 meses.
¿Cuál será el tanto por ciento de interés simple al que debemos prestar un capital para que pasado 30 años, los intereses generados sean equivalentes al capital prestado?
Solución: El tanto de interés simple que iguala ambos importes es de 3,33%
¿Cuánto tiempo a de pasar para que un capital se triplique al 4% de interés simple? Solución: t= 75 años para que un capital invertido al 4% de interés simple se triplique.
Invertimos durante 3 años un capital de 28.000€ al 4,5% de interés simple, ¿cuál es el importe de interés generado?
Solución: I = 3.780€.
Si invertimos 9.500€ durante 8 meses al 3,5% de interés simple, ¿cuál es el capital que recibimos? Solución: I = 221,67 €.
¿Cuánto tiempo ha de invertirse un capital de 22.000€ al 5% de interés simple para que se convierta en 29.000€?
Solución: t = 6 años, 4 meses y 11 días.
Halla el interés que produce en 7 años un capital de 20.000€ prestados al 9% simple anual. Solución: I = 12.600,00 €.
Solución: Así, 20.000€ en 7 años al 9% simple anual producen 12.600€ de interés. Cada año, el interés que habrá que pagar al prestamista es de 1.800€.
Halla durante cuánto tiempo, expresado en días, presté un capital de 10.000€ al 12% anual simple, si el interés recibido ha sido de 174,25€.
Solución: Ha de pasar 53 días para que un capital de 10.000€ invertido al 12% anual generen 174,25€.
¿Cuál es el interés simple generado en un plazo fijo, por un capital de 10000 €, al 4% trimestral durante 2 años?
Solución: I = 3.200,00 €
Hace 4 años de pidió un préstamo de 7000 € y la cantidad pagada al terminar el periodo del préstamo han sido 9500 €. ¿Qué tipo de interés se le aplicó?
Solución: i = 8,92%
Después de 3 años, un banco ha pagado en concepto de interés la cantidad de 840 € a una persona por depositar un plazo fijo. La tasa de interés ha sido del 2% anual. ¿Cuál fue el capital inicial con el que se hizo el depósito?
Solución: Ci = 14.000,00 €.
Calcula el interés simple que se producirá sobre 1.250,00 € en un fondo de inversiones para 2 años al 5%.
Solución: I = 125,00 €.
Si al capital inicial de 1.250,00 € se obtienen 1.362,50 € en un fondo al acabar su duración que ha sido de 2 años a una tasa de interés simple ¿Cuál será dicha tasa de ese fondo de inversión bancario?
Solución: r = 4,50 %.
¿En cuánto tiempo 500,00 € producirán 525,00 € a un interés simple del 4,00% en un fondo de inversión?
Solución: t = 1 ¼ Años.
Calcula el interés simple que se producirá sobre 285,00 € en un fondo de inversiones para un año y medio al 4 ¾%.
Solución: I = 20,31 €.
Calcula el interés simple que se producirá sobre 530,00 € en un fondo de inversiones para cuatro meses al 4 ½%.
04-B) EJERCICIOS DE INTERÉS COMPUESTO:
Calcula ¿en cuanto se convierten 1000€ durante 3 años al 10% de interés compuesto? Solución: Capital Final = 1.331,00 €.
Tu tía deposita 20.000,00 € en un banco durante 4 años a un rédito del 5,00% y te pregunta a ti: a) Hazme sobrino/a una tabla conde pueda ver claramente los intereses que percibo (recibo)
cada año.
b) Dime cual será el capital final que tendré al final de esos 4 años. Solución:
a) Tabla de Intereses percibidos o recibidos anualmente con interés compuesto:
Tiempo Capital INICIAL (€) Intereses Capital FINAL (€)
Año 1 20.000,00 €. 20.000,00 · 5% = 1.000,00 €. 21.000,00 €.
Año 2 21.000,00 €. 21.000,00 · 5% = 1.050,00 €. 22.050,00 €.
Año 3 22.050,00 €. 22.050,00 · 5% = 1.102,50 €. 23.152,50 €.
Año 4 23.152,50 €. 23.152,50 · 5% = 1.157,63 €. 24.310,13 €.
b) Capital Final = 24.310,13 €. Datos:
C = 1.000 € r = 10,00 % t = 3 años
Cálculo de interés compuesto.
CALCULO de CAPITAL FINAL.
Cf = Capital Final ¿x?
CÁLCULO DEL INTERÉS COMPUESTO
Cálculo del interés compuesto por el uso del dinero de un préstamo o depósito a un interés.
Método - 1 Cálculo realizado anualmente mediante tabla: Tiempo Cantidad Inicial Interés Cantidad Final
1º Año 1.000 € 1.000 · 10 %100 = 100 € 1.100 € 2º Año 1.100 € 1.100 · 10 %100 = 110 € 1.210 € 3º Año 1.210 € 1.210 · 10 %100 = 121 € 1.331 € CAPITAL FINAL (Cf) al finalizar el periodo de tiempo = 1.331,00 €
Método - 2 Cálculo realizado globalmente mediante fórmula: I = C· r· t100 ; r = tasa en % 100
r = tasa en % 100 r = 10 % 100 r = 0,1
Cf = C · (1 + r)t Cf = 1000· (1 + 0,1)3 = 1000 · (1,1)3 = 1000 · 1,331 = 1.331
Calcula el monto final de un depósito inicial de 1.000.000 € a 5 años plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual).
Solución: Capital Final = 1.610.510,00 €.
Un alumno/a desea formar un capital de 30.000,00 € en 12años ¿Cuánto dinero ha de ingresar en el banco si este le da anualmente una tasa de interés compuesto del 5,00%?
Solución: Capital Final = 16.705,12 €.
Una persona deposita 600,00 € en una entidad bancaría que le da un rédito del 4,00% con interés compuesto ¿Cuánto dinero tendrá cuando transcurran 9 años de dicho depósito?
Solución: Capital Final = 853,99 €.
Calcular el ingreso de 30.000 € depositados para 3 años bajo el interés anual de 10 por ciento si al final de cada año el porcentaje se sumaba al depósito.
Solución: Ingreso = 9.930,00 €. Datos:
C = 1.000.000 € r = 10,00 % t = 5 años
Cálculo de interés compuesto.
CALCULO de CAPITAL FINAL.
Cf = Capital Final ¿x?
CÁLCULO DEL INTERÉS COMPUESTO
Cálculo del interés compuesto por el uso del dinero de un préstamo o depósito a un interés.
Método - 1 Cálculo realizado anualmente mediante tabla: Tiempo Cantidad Inicial Interés Cantidad Final
1º Año 1.000.000 € 1.000.000· 10 %100 = 100.000€ 1.100.000 € 2º Año 1.100.000 € 1.100.000· 10 %100 = 110.000€ 1.210.000 € 3º Año 1.210.000 € 1.210.000· 10 %100 = 121.000€ 1.331.000 € 4º Año 1.331.000 1.331.000· 10 %100 = 133.100€ 1.464.100 € 5º Año 1.464.100 1.464.100· 10 %100 = 146.410€ 1.610.510 € CAPITAL FINAL (Cf) al finalizar el periodo de tiempo = 1.610.510,00 €
Método - 2 Cálculo realizado globalmente mediante fórmula: I = C· r· t100 ; r = tasa en % 100
r = tasa en % 100 r = 10 % 100 r = 0,1
Cf = C · (1 + r)t Cf = 1000000· (1 + 0,1)5 = 1000000 · (1,1)5 =
= 1000000 · 1,61051 = 1.610.510
Averiguar en qué se convierte un capital de 1.200.000,00 € al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %.
Solución: El capital final es de 1.763.194,00 €.
Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10 % se ha convertido en 1.583.945,00 €. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente. Solución: Redondeando la cifra resultante, el capital inicial fue de 800.000,00 €.
Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de 1.500.000,00 € para que al cabo de 4 años se haya convertido en 2.360.279,00 €.
Solución: La tasa de interés compuesto anual ha sido de 12 %.
Se pretende tener 2.000.000,00 € dentro de 5 años. Si el banco paga una tasa de 10% anual ¿cuánto necesitamos como capital inicial?
Solución: Un capital inicial de 1.241.842,64 € crecerá hasta 2.000.000 € si se invierte al 10% durante 5 años.
¿Cuánto hay que invertir ahora para tener 10.000.000,00 € dentro de 10 años al 8% de interés? Solución: Capital Inicial = 4.631.989,00 €.
Sabiendo que la tasa de interés anual del depósito es el 12%, calcular la tasa de interés mensual que le equivale. Solución: La tasa de interés mensual equivale a 0.9488792934583046%.
Calcular el ingreso de 30.000,00 € depositado para el término de 3 años bajo el 10% de interés anual, si al final de cada año el porcentaje se sumaban al dinero depositado.
Solución: Capital Inicial o ingreso es 9930,00 €
En un banco para el término de 3 años han depositado 30.000,00 € bajo el 10% de interés anual. a) Calcular ¿cuánto más beneficioso sería la variante cuándo el ingreso anual se suma a la cuenta para la cual concederá el interés que la variante cuando el interés se recoge por el cliente cada año? b) ¿Cuál será la diferencia dentro de 10 años?
Solución: a) 900,00 € ; b) 17.812,27 €.
Se depositan 8.000,00 € en un banco que reconoce una tasa de interés del 36% anual, capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto (total) acumulado en cuatro años? Solución: 33.058,01 €.
Se deposita 50.000,00 € en un banco durante 3 meses. Calcula: a) Hallar el valor final a la tasa de interés simple del 30% anual.
b) Hallar el valor final a la tasa de interés del 30% anual capitalizable mensualmente. c) ¿Cuál es mayor?
Solución: a) 95.000,00 € ; b) 121.626,76 €. ; c) El mayor es el cálculo con la forma de interés compuesto.
Ingreso 15.000,00 € en un banco y se comprometen a pagarme un 3,7 % anual, abonando los intereses semestralmente. ¿Cuánto dinero tengo al cabo de 4 años?
Solución: a) 17.368,50 €. (Como son 4 años, se aplica la fórmula de interés compuesto, adaptada en este caso a pagos semestrales).
Un banco que opera por internet ofrece su cuenta azul a un 5,5 % anual de interés que se paga mensualmente. Si abro una cuenta con 4.000,00 € y acumulo en esa cuenta los intereses
mensuales que me pagan, ¿cuánto dinero tendré al cabo de 3 años? Solución: C = 4.715,60 €.
Un capital de 100.000,00 € se coloca al 6,5 % anual durante 6 meses, 1 año o 5 años. Calcula el capital final producido en los diferentes periodos de tiempo tanto a interés simple o compuesto y determina cuál de ellos es beneficioso según el tiempo.
Solución: a)
6 meses a interés simple el Capital Final es: 103.250,00 €. 6 meses a interés compuesto el Capital Final es: 103.190,00 €.
El capital final es mayor aplicando interés simple cuando el tiempo es 6 meses, por lo que nos resulta beneficioso frente al interés compuesto.
Solución: b)
1 año a interés simple el Capital Final es: 106.500,00 €. 1 año a interés compuesto el Capital Final es: 106.500,00 €.
En este caso, cuando el tiempo es 1 año, el capital final es el mismo tanto para interés simple como para interés compuesto.
Solución: c)
5 años a interés simple el Capital Final es: 132.500,00 €. 5 años a interés compuesto el Capital Final es: 137.010,00 €.
En este caso el capital final es mayor cuando palicamos interés compuesto frente al uso al interés simple. Conclusión: Para periodos inferiores al año, será más beneficioso aplicar interés simple, mientras
