Sistema Educacional Liahona Departamento de Matemática
Proyecto de Aseguramiento del Aprendizaje
FICHA DE APRENDIZAJE 2.5
Nombre: __________________________________________ Curso: ____________________________
Conceptos básicos:
Experimento aleatorio: Experiencia en la que bajo el mismo conjunto de condiciones iniciales, no se puede predecir con exactitud su resultado final.
Al efectuar el experimento aleatorio “lanzar un dado”, los resultados son
{
1,2,3,4,5,6
}
. Este conjunto se denomina espacio muestral, y se denota por la letra E.Recuerda que la cantidad de elementos que tiene un conjunto, se denomina cardinalidad y se simboliza con #. Así, # E = 6
Espacio muestral: Conjunto que incluye todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Ejemplos: 1) En el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral está definido como:
E =
{
cara, sello
}
2) En el lanzamiento de un dado, el espacio muestral está definido como: E =
{
1, 2, 3, 4, 5, 6
}
3) En el lanzamiento de dos monedas que es lo mismo que lanzar una moneda seguida de otra moneda (es lo mismo que lanzar una moneda dos veces), el espacio muestral está definido como:
E =
{
(cara, cara), (cara, sello), (sello, cara), (sello, sello)}
Actividad 1: Determina los espacios muestrales de los siguientes experimentos aleatorios y determina sus cardinalidades:
1) Se lanzan una moneda y un dado. 2) Responder dos preguntas de selección múltiple al azar.
Suceso: Se denomina evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Se utilizan las letras mayúsculas A, B, C, D, F,………
Probabilidad: Chance de ocurrencia o medida de cuan probable es un suceso definido en un espacio muestral, de un experimento aleatorio.
Definición clásica de la probabilidad
Espacio muestral equiprobable: “Todos los sucesos elementales tienen igual probabilidad de ocurrir” En estas condiciones se define la probabilidad del suceso A como:
P (A) = Casos favorables al evento ACasos posibles o totales
Ejemplo 1: Si una caja contiene 12 bolitas de los cuales 8 son rojas y 4 blancas, la probabilidad de que, al extraer una bolita de la caja, ésta sea roja es:
Indicadores de evaluación:
sello cara sello moneda sello (sello,cara) cara cara moneda (sello,sello) (cara,sello) (cara, cara)
P (roja) =
8
12
=
2
3
=
0
,
6
=
66
,
6 %
Ejemplo 2: Dado el experimento aleatorio: “Lanzar un dado”, calcular las probabilidades de los siguientes sucesos: A: “Salga nº par”
E =
{
1,2,3,4,5,6
}
# E = 6 A ={
2,4,6
}
#A = 3 P (A) =3
6
=
1
2
=
0,5
=
50 %
B: “Salga un múltiplo de 3 o múltiplo de 2”.
B =
{
3,6,2,4
}
# B = 4 P (B) =4
6
=
2
3
=
0
,
6
=
66
,
6 %
C:”Salga un nº primo y mayor que 4”
C =
{
5
}
# C = 1 P (C) =1
6=0,16=16,6 %
Actividad 2: Calcula las siguientes probabilidades: 1) En una caja hay 5750 clavos, de los cuales 255 son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer un clavo de la caja al azar, éste se defectuoso?
2) Un juego de 25 tarjetas se numera con los números enteros positivos del 1 al 25. Si luego de barajarlas se saca una tarjeta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número en la tarjeta sea divisible por 4 o por 6?
3) En una baraja de naipe inglés (54 cartas) se saca una carta al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que la carta elegida sea de la pinta trébol y además sea menor que 7?
4) Dibuja en la siguiente caja cierta cantidad de bolitas negras y blancas de manera que al sacar al azar una bolita, la probabilidad de que esta sea de color negro sea de 75%.
Diagrama de árbol y gráfico de un espacio muestral
Estos esquemas se usan para representar situaciones en las que se repite un experimento aleatorio o en las que hay sucesos independientes el uno del otro, es decir el acontecer de uno no afecta el acontecer del otro.
Ejemplo: En el lanzamiento de dos monedas, encontrar el espacio muestral, hacer un diagrama de árbol y un gráfico para encontrar los posibles resultados y calcular la probabilidad de que salgan dos sellos.
1º lanzamiento 2º lanzamiento
Indicadores de evaluación:
sello cara cara
sello
E = {(c, c), (c, s), (s, c), (s, s)} #E = 4 A = Salgan dos sellos A = {(s, s)} #A = 1 P(A) = 14=0,25=25 %
Actividad 3: Calcula las siguientes probabilidades, encontrando el espacio muestral, haciendo un diagrama de árbol y un gráfico en las siguientes situaciones:
1) Se lanzan 3 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que?:
a) Salgan al menos dos caras. b) Salgan menos de dos sellos.
2) Si se lanzan dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que?:
a) La suma de ellos sea 7. b) La diferencia sea 2.
Si se lanza una moneda y un dado:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par y una cara?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 4 o un sello?
Indicadores de evaluación:
Resuelve el siguiente problema, realizando un diagrama de árbol:
4) En una pareja, cada uno de sus miembros posee genes para ojos castaños y azules. Teniendo en cuenta que cada uno tiene la misma probabilidad de aportar un gen para ojos castaños que para ojos azules y que el gen para ojos castaños es dominante, obtener la probabilidad de que un hijo nacido de esta pareja tenga los ojos castaños.
Suceso cierto o seguro: Es el suceso que siempre ocurre y la probabilidad de que ocurra es 1.
Ejemplo: Al lanzar un dado, considerar el evento A; que salga un número menor que 10.
Suceso imposible: Es el suceso que nunca ocurre y la probabilidad de que ocurra es 0.
Ejemplo: Al lanzar un dado, considerar el evento B, que salga el número 17.
Nota: Si P(A) es la probabilidad de que ocurra el suceso A, entonces la probabilidad de que no ocurra A es
P
(
A
)
o complemento de A y se cumple que:P
(
A
)
= 1 – P(A) Además P(A)+P(A)=1Axiomas de probabilidad
Sea Ω, el espacio muestral asociado a un cierto experimento aleatorio, Α un suceso definido en dicho espacio muestral y P una medida de probabilidad definida sobre Α, tal que se cumplen los tres axiomas (axiomas de kolmogorov):
a) 0 ≤ P(A) ≤ 1, para todo suceso A, subconjunto del espacio muestral Ω. b) P(Ω)= 1
c) Si (A∩B) =∅ , entonces P(A∪B)= P(A) + P(B)
Actividad 4: Resuelve los siguientes problemas: 1) La probabilidad de que mañana llueva es 0,12. ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva?
2) La probabilidad de que un evento A ocurra es 2x y la de que no ocurra es 3x. Calculas ambas probabilidades expresadas en porcentajes.
3) En un videojuego se gana, se pierde o empata. La probabilidad de ganar es 0,36 y la de perder es 15 veces la probabilidad de empatar. ¿Cuáles son las
probabilidades de empatar y de perder? Después del tratamiento intervienen en una carrera. El caballo C tiene doble probabilidad de ganar que B, y B doble que A. Calcular las probabilidades de que gane cada uno.
Indicadores de evaluación:
