ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL PLANO

Texto completo

(1)

ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL

PLANO

Para dar la ecuación de una recta se necesita o

 1 punto A( xA , yA ) y un vector v( vx , vy)  1 punto y la pendiente

 Dos puntos (se calcula el vector con los 2 puntos y se uno de ellos) CALCULO DE UN VECTOR CON DOS PUNTOS:

Dados A( xA , yA ) y B( xB , yB ) (Se restan) 𝐴𝐵⃗ = B – A = ( xB − xA , yB − yA )

TIPOS DE ECUACIÓN DE LA RECTA:

Dados el punto A( xA , yA ), el vector v( vx , vy) y las coordenadas generales X( x , y ) (incógnitas de la ecuación)  VECTORIAL: ( x , y ) = ( xA , yA ) + t ·( vx , vy)  PARAMÉTRICA: x = xA + t · vx y = yA + t · vy

CONTINUA: (se  despeja      “t”  de  la  paramétrica  y  se  iguala) 𝒙−𝒙𝑨

𝒗𝒙 =

𝒚−𝒚𝑨

𝒗𝒚

GENERAL: (se obtiene a partir de la continua multiplicando en cruz, se pasa todo a un miembro y se iguala a 0)

Vy ·( x − xA ) = vx · (y − yA ) 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶= 0

Donde para obtener el vector se hace v( -B , A ) y para obtener puntos por los cuales pasa la recta se hace una tabla de valores x y

PUNTO – PENDIENTE:

(2)

Donde m es la pendiente de la recta y se calcula: 𝑆𝑖𝑡𝑒𝑑𝑎𝑛 𝑣 𝑣𝑥,𝑣𝑦 ⇒ 𝑚= 𝑣𝑦 𝑣𝑥 𝑆𝑖𝑡𝑒𝑑𝑎𝑛𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝛼𝑑𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑐𝑜𝑛𝑒𝑙𝑒𝑗𝑒𝑋(𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎𝑠) ⇒ 𝑚= 𝑡𝑔𝛼 Y α n

EXPLICITA: (se  despeja    “y”  de  cualquier  ecuación) 𝒚=𝒎·𝒙+𝒏

Donde    “m”  es  la  pendiente    y  “n”  es  la  ordenada  en  el  origen  (lo  que  vale  “y”  cuando  x=0)  

es decir ( 0 , n )

POSICIONES RELATIVAS ENTRE 2 RECTAS (INCIDENCIAS)

Tenemos que poner las dos rectas en forma general:

r≡ 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶= 0 s ≡ 𝐴′𝑥+𝐵𝑦+𝐶= 0 COINCIDENTES: 𝐴 𝐴′= 𝐵 𝐵′= 𝐶 𝐶′  PARALELAS: 𝐴 𝐴′= 𝐵 𝐵′≠ 𝐶 𝐶′

SECANTES: (las rectas se cortan en un punto)

𝐴 𝐴′≠

𝐵 𝐵′

Para calcular el punto de corte entre las 2 rectas se resuelve el sistema por sustitución,

reducción  o  igualación  y  se  despeja    “x”  e  “y”  

PERPENDICULARES:

(3)

RECTAS PARALELAS:

 Las rectas paralelas tienen el mismo vector director o la misma pendiente.

 Dada la recta≡ 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶= 0 cuyo vector director es (-B , A) ¿Cuál es el vector director de su paralela? EL MISMO

RECTAS PERPENDICULARES

 Dada la recta≡ 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶= 0 cuyo vector director es (-B , A) ,EL DE SU RECTA PERPENDICULAR SERÁ: ( A , B )

VECTORES PERPENDICULARES

Dado el vector v( vx , vy) entonces su perpendicular será: v (vy , − vx) . (Se intercambian las componentes y se cambia el signo a uno de los dos).

TRIANGULOS

 MEDIANA: Ecuación de la recta que pasa por el PUNTO MEDIO de uno de los lados del triangulo y por el punto del vértice opuesto. Es decir, recta que pasa por 2 puntos. Calculamos el vector 𝑃𝑀𝐴𝐵𝐶⃗ y tomamos uno de los puntos para dar la recta mediana.

CALCULO DEL PUNTO MEDIO ENTRE A y B: 𝑃𝑀𝐴𝐵= ( 𝑥𝐴+𝑥𝐵

2 ,

𝑦𝐴+𝑦𝐵

2 )

Longitud de la mediana: distancia entre el punto medio y el vértice opuesto (fórmula de la distancia entre 2 puntos C

A PMab B

Baricentro: punto donde se cortan las medianas.

BAR ( 𝑥𝐴+𝑥𝐵+𝑥𝐶

3 ,

𝑦𝐴+𝑦𝐵+𝑦𝐶

3 )

 MEDIATRIZ: Ecuación de la recta que pasa por el punto medio de uno de los lados y su dirección o vector director es perpendicular a dicho lado. Recta: Pto Medio BC ;vector

𝐵𝐶⃗perpendicular

Circuncentro: punto de corte de las mediatrices.

A

(4)

 ALTURA: Ecuación de la recta que pasa por uno de los vértices (punto) del triangulo y su vector es el perpendicular al lado opuesto a dicho vértice. (Recta perpendicular a la base que pasa por el vértice opuesto. Recta: punto C y vector 𝐴𝐵⃗perpendicular

Longitud de la altura: Distancia de un punto a una recta: Punto = vértice y recta = lado opuesto a dicho vértice ⇒ d(C , rAB)

C

Figura 1

A B

Ortocentro: Punto donde se cortan las alturas.

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

PRODUCTO ESCALAR ENTRE DOS VECTORES: 𝒗⃗(vx , vy) y 𝒘⃗(wx , wy)

Tenemos:

Definición: 𝑣⃗·𝑤⃗=|𝑣|⃗·|𝑤|⃗· cos(𝑣,𝑤)

Donde |𝑣|⃗ = 𝑣𝑥2+𝑣

𝑦2 es el módulo del vector

Expresión analítica: 𝑣⃗·𝑤⃗=𝑣𝑥 ·𝑤𝑥+𝑣𝑦 ·𝑤𝑦

Y despejando el coseno del ángulo de la 1ª nos queda: cos(𝑣,𝑤)= 𝑣⃗·𝑤⃗

|𝑣|⃗·|𝑤 |⃗ =

𝑣𝑥·𝑤𝑥+𝑣𝑦·𝑤𝑦

𝑣𝑥2+𝑣𝑦2 · 𝑤𝑥2+𝑤𝑦2

Entonces podemos calcular el ángulo entre las rectas de 2 formas: ⇒ Dadas las rectas r≡ 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶= 0 y s ≡ 𝐴′𝑥+𝐵𝑦+𝐶= 0

cos(𝑟,𝑠)= 𝐴·𝐴′+𝐵·𝐵′

√𝐴2+𝐵2 · √𝐴′2+𝐵′2

(Recordar: cos 90º = 0 (rectas perpendiculares ; vectores ortogonales =perpendiculares u ortonormales = perpendiculares y de módulo 1) ; cos 0º = 1 (rectas paralelas)

O bien: tan(𝑟,𝑠)= 𝑚 −𝑚 ′

1+𝑚·𝑚 ′ donde    m    y      m’  son  las  pendientes  de  cada  una  

de las rectas.

(Recordar: tan 0º = 0; tan30º = √3

(5)

DISTANCIAS

ENTRE DOS PUNTOS: A(xA , yA) y B(xB , yB)

𝒅(𝑨,𝑩)= (𝒙𝑩− 𝒙𝑨)𝟐+(𝒚

𝑩− 𝒚𝑨)𝟐

ENTRE UN PUNTO A(xA ,yA) Y UNA RECTA r≡ 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶= 0 𝒅(𝑨 ,𝒓)= |𝑨· 𝒙𝑨 +𝑩· 𝒚𝑨 +𝑪|

𝑨𝟐+𝑩𝟐 ENTRE DOS RECTAS PARALELAS:

Se saca un punto de una de las rectas y se calcula distancia de ese punto a la otra recta.

ÁREA DEL TRIÁNGULO

2 formas:  A = 1

2·𝐵𝑎𝑠𝑒·𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 1

2 d (A , B) · d ( C , rAB ) Mirar Figura 1

 A = 1

2 𝐴𝐵𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒⃗ · |𝐴𝐶|⃗

PUNTO SIMÉTRICO

Para calcular el punto simétrico P’(P’x , P’y) al punto P(Px , Py) respecto de la recta

𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶= 0 debemos seguir los siguientes pasos:

1. Se calcula una recta (en forma general ) con el punto dado y el vector perpendicular a la recta dada vperp(A , B).

2. Se calcula el punto de corte entre la recta dada y la calculada resolviendo el sistema entre ambas y así obtenemos la “x” y la “y” del punto medio PM(PMx , PMy) entre P y su simétrico.

3. Con las fórmulas del punto medio se despeja el simétrico: 𝑃𝑀𝑥 =𝑃𝑥+𝑃′𝑥 2 ⇒ 𝑃′𝑥 = 2𝑃𝑀𝑥− 𝑃𝑥 𝑃𝑀𝑦 = 𝑃𝑦+𝑃′𝑦 2 ⇒ 𝑃′𝑦 = 2𝑃𝑀𝑦− 𝑃𝑦 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶= 0 P P’

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...