IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE SUMA Y RESTA

(1)

 OBJETIVO GENERAL

Derivar las identidades trigonométricas para la suma y diferencia de ángulo y aplicar los resultados para derivar nuevas identidades trigonométricas y hallar el valor de una función trigonométrica en un ángulo no notable.

 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1. Encontrar el valor de las funciones trigonométricas para ángulos no notables. 2. Resolver identidades trigonométricas de suma y diferencia de ángulos.

3. Calcular funciones trigonométricas de funciones inversas.  PALABRAS CLAVES

Función par, Función impar, identidad trigonométrica, ángulos notables, distancia entre dos puntos, altura de un triángulo.

 DESARROLLO TEÓRICO

En el taller anterior se trabajaron las identidades fundamentales y con base en ellas se derivaron nuevas identidades que se constituirán en potentes herramientas para manipular diferentes expresiones y solucionar problemas relacionados con la trigonometría. A continuación se realizará el desarrollo para encontrar identidades que descomponen funciones trigonométricas de suma de ángulos en las funciones sobre cada ángulo.

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS

Y NATURALES

SEMILLERO DE MATEMÁTICAS

GRADO: 10

TALLER Nº: 13

SEMESTRE II

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE SUMA Y RESTA

Karl Gustav Jacob Jacobi: Nació el 10 Diciembre de 1804 en Potsdam, Prussia y Falleció el 18 Febrero 1851 en Berlin, Alemania. Jacobi estableció con Abel la Teoría de las funciones Elípticas. Demostró la solución de integrales elípticas mediante la aplicación de las funciones, series exponenciales introducidas por él mismo. Desarrolló los determinantes funcionales, llamados después jacobianos, y las ecuaciones diferenciales. Obtuvo su Doctorado en 1825 y enseñaba matemática en Koningsberg desde 1826 hasta su muerte. En 1834 probó que si una función uni-valuada de una variable es doblemente periódica entonces la razón de los periodos es imaginaria. Este resultado impulsó enormemente el trabajo en esta área, en particular por Liouville y Cauchy. Jacobi tenía la reputación de ser un excelente maestro, atraía a muchos estudiantes. Introdujo un método de seminario para enseñar a los estudiantes los últimos avances matemáticos.

(2)

2 Es importante antes de iniciar el desarrollo que llevará a las identidades trigonométricas de sumas y restas encontrar la medida de una cuerda sobre una circunferencia conocido su radio y el ángulo central que la subtiende.

Longitud de una Cuerda en función del radio y el Ángulo Central

Sea AB una cuerda sobre una circunferencia de radio uno y determinada por un ángulo central



. El triángulo formado por la cuerda y los segmentos radiales es isósceles de base AB, tracemos la altura del vértice A al lado OB, y sea x la distancia del vértice B al pie de la altura h; se sigue que la distancia de O al pie de la altura es 1x, que es la medida del cateto adyacente; ahora bien, aplicando razones trigonométricas se tiene que:

x x_ _   1 1 1 ) cos(



Por lo tanto: x1cos(



).

Ahora bien, por teorema de Pitágoras se tiene:

 

2 2 2 1 1 h  x Se sigue que:





2 2 ₁ ₁ _x h    ,

y al expandir y sustituir el valor de x se tiene que:

2 2 2 )) cos( 1 ( )) cos( 1 ( 2 2   



 



 x x h ) ( cos ) cos( 2 1 ) cos( 2 2 2 2  



 







h ) ( cos 1 2 2  



h

Como el objetivo es encontrar el valor de la cuerda AB, aplicaremos entonces el teorema de Pitágoras en el triángulo que tiene dicha cuerda como hipotenusa, así:

2 2 2 x h AB   ,

y sustituyendo los valores de h y x en esta ecuación se tiene:

 





 





2 2

 



 



2

 



2

2 ₁_cos  ₁_cos ₁_cos ₁₂_cos _cos

AB

y simplificando se tiene: AB2 22cos

 



Se sigue entonces que la medida de la cuerda subtendida por el ángulo



está dada por:

 



cos 2 2  AB

(3)

3

IDENTIDADES PARA DIFERENCIA DE ÁNGULOS

Se considerarán dos ángulos



y



arbitrarios sobre una circunferencia de radio uno. Las coordenadas del punto A sobre el lado terminal del ángulo



están dadas por



sen(



),cos(



)



y las coordenada del punto B sobre el lado terminal del ángulo



están dadas por



sen(



),cos(



)



. Ahora bien, el interés está centrado en encontrar una expresión para cos











, obsérvese entonces en el gráfico que los puntos A y B determinan una cuerda sobre la circunferencia, y de acuerdo con la medida de una cuerda anteriormente demostrada se tiene que:











  2 2cos ) , (A B d . (1)

Ahora bien, si se aplica la expresión de distancia entre dos puntos se obtendrá una ecuación adicional para la medida de AB.

Como las coordenadas de A son



sen(



),cos(



)



y las de B



cos



,sen





, la distancia d entre estos dos puntos, que se define como: 2 2 1 2 2 1 ) ( ) (x x y y d    ,

queda dada por:

 

   

cos sen

   

sen ) (cos 2 2 ) , ( ) sen (sen ) cos (cos ) , ( 2 2

















       B A d B A d (2)

Igualando las expresiones (1) y (2) se tiene:

   







   





 













 2 2(cos cos sen sen ) 2 2cos )

, (A B d

Luego, si elevábamos al cuadrado a ambos lados de la igualdad y simplificamos se obtiene que :









cos

   



cos



sen

   



sen



cos   

Lo que establece una identidad para el coseno de la diferencia de dos ángulos.

Las identidades trigonométricas de sumas y diferencias de ángulos permiten calcular el valor de algunas funciones trigonométricas en ángulos no notables, como muestra el siguiente ejemplo.

(4)

4 Ejemplo Calcular       12

cos



a partir de los 3

_y

4

_. Solución:

Antes de iniciar a aplicar el concepto de funciones trigonométricas puedes notar que:

4 3 12



_ _

Luego sustituyendo el en ejercicio inicial se tiene:

              4 3 cos 12 cos



Ahora bien, aplicando la identidad del coseno de la diferencia de dos ángulos se tiene:

                                 3 4 4 cos 3 cos 4 3

cos



sen



sen



,

y utilizando la tabla de los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos notables se tiene: 4 2 6 4 3 cos 4 6 4 2 2 3 2 2 2 2 2 1 4 3 cos                      



Se sigue entonces que :

4 2 6 12 cos       



Ejemplo

Establezca que cos











cos

   



cos



sen

   



sen



Solución:

Como ya se sabe por la demostración anterior que cos











cos

   



cos



sen

   



sen



, se hará uso de este resultado para establecer lo que se pide. Para tal efecto es importante recordar que la resta se define como un caso particular de la suma, a saber:

)

( B

A B

A    , con base en esto se puede escribir ABA(B), por lo tanto se tiene:

















   





   











         sen sen cos cos cos ) ( cos cos (1)

Ahora bien, recordemos que en un taller anterior se estableció que la función seno era una función impar y que la función coseno era una función par, por lo que se tiene:

(5)

5

 



 



sen sen cos cos    

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1) se tiene:









cos

   



cos



sen

 





sen

 





cos    









cos

   



cos



sen

   



sen



cos    Actividad 1. Calcular       12 7

cos



a partir de los valores

4 5



y 3 2



. 2. Calcular       8 11

cos



4 5



y 2 3



 . 3. Calcular       2 11

cos



3 7



y 3 4



 . 4. Calcular       6 17

cos



3 4



y 2 3



 .

De manera análoga al desarrollo anterior se pueden encontrar las identidades para suma y resta del resto de las funciones trigonométricas, la siguiente tabla resume las identidades trigonométricas para la suma y resta de ángulos

Tabla 1

Identidades Trigonométricas para la Suma y Diferencia de ángulos Coseno: cos











cos

   



cos



sen

   



sen













cos

   



cos



sen

   



sen



cos

Seno: sen











sen

   



cos



sen

   



cos











sen

   



cos



sen

   



cos



sen    Tangente:









 



_{   }

_

 



_

tan tan 1 tan tan tan    





 

_{   }

 













tan tan 1 tan tan tan     Ejemplo Calcular       12 7

sen



a partir de las funciones de

3



y 4



.

(6)

6

Solución:

Una vez más recordemos que

12 7 4 3



_ _

, por lo tanto, sustituyendo se tiene:

              4 3 sen 12 7 sen



ahora bien, si se aplica la identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos, (ver tabla 1) se tiene:

                                  3 cos 4 sen 4 cos 3 sen 4 3 sen



2 1 2 2 2 2 2 3 4 3 sen          



4 2 4 6 4 3 sen        



4 2 6 12 7 sen       



Como se dijo en el taller anterior, las identidades trigonométricas son una herramienta útil para simplificar expresiones trigonométricas, como muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplos

1. Establezca la siguiente identidad.





2





cos(



)

sen

2. Establezca la siguiente identidad.





   

1 tan

 

tan( ) cos cos cos

_

_









  . Solución.

Como se sugirió en el taller anterior, se recomienda partir de uno de los lados de la identidad para llegar al otro, se sugirió que se partiera del lado más extenso, puesto que en la mayoría de los casos en más directo simplificar que expandir. Por lo tanto en la solución de este ejercicio se partirá de sen





2





, así, por la identidad del seno de la suma de ángulos se tiene:





2





sen

 



2 cos(



) sen

   



cos



2

sen   

pero sabemos por la tabla de las funciones de los ángulos notables que:

 

2 0 cos 1 2  



sen

luego, sustituyendo se tiene:

Solución.

Si bien en este caso ambos lados de la identidad son compuestos, se partirá del lado que contiene la suma de ángulos.

Aplicando la identidad del coseno de la suma de ángulos se tiene:





   





   



cos



   



cos



   





cos cos cos cos

cos  _ sen sen

Luego por propiedad de reales se tiene:





   





cos

   



cos



cos

   



cos



cos cos cos

cos

cos  _ _sen sen





   



cos



1 cos

 



cos

 



cos

cos  _ _sen sen

(1) Pero por las identidades fundamentales se

(7)

7





2





(1)cos(



) sen

 



(0)

sen   

Que era lo que se quería establecer.





2





cos(



) sen sabe que:

 



 



tan cos  sen

Por lo tanto, sustituyendo en (1) se tiene:





   



cos



1 tan

   



tan



cos

cos  _ _

Que era lo que se quería demostrar.

Para Tener en Cuenta:

Para tener mayor éxito en la demostración de identidades, las siguientes sugerencias te pueden ser útiles.

1. Recuerda las identidades fundamentales en todas sus formas.

2. Algunos artificios algebraicos como multiplicar por la unidad pueden ser útiles. 3. Escoger el lado más complicado como el lado para ser transformado.

4. Factorizar y evitar la utilización de radicales  EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Utilice los valores



/4 y



/6 para encontrar el valor exacto de las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente) evaluadas en

12



.

2. Determinar los valores exactos de sen





/12



y tan





/12



, tomando



/3 /4



12

/



  .

3. Encuentre una identidad para sen

 

2



y tan

 

2



si se sabe que 2



aa 4. Hallar:

) (







sen , cos(







), sen(







), tan(







), tan(







), si se sabe que: a. 5 3 ) (



 sen ; 2 0







; 5 2 ) cos(



 con 0 2   





. b. 3 4 ) tan(



 ;











2 ; 2 1 ) cos(



 con 2 0







. c. 13 5 ) (



 sen ; 











2 3 ; tan(



) 3 con











2 .

(8)

8 5. Establezca las siguientes identidades trigonométricas:

a. cos











cos

 



b.





cos

 



2 3 __       _ sen

c. cos











coscos











2coscos

   



cos



d. tan



2









tan

 



e.

_{   }





1 cot

 

tan( ) cos













  sen sen f.





   

_{   }













tan tan 1 sec sec sec   

g. sen









 

sen









sen2

 



sen2

 



h.



_



_

) tan( ) tan( ) tan( ) tan(

















     sen sen

6. Encuentre el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones: a.



 

cos1

 

0



2 1 1   _ sen sen b.

 

_            _  1 cos 2 3 1 1 sen sen c. _  _       6 3 5 sec cot 1



_d.     _               5 3 12 5 tan 1 _sen1 sen e. _ _               13 5 cos 3 4 tan cos 1 1 f. _ _               12 5 cot 3 4 tan sec 1 1  PEQUEÑOS RETOS

1. Dos insectos se arrastran alrededor de un círculo unitario empezando juntos en (0,1), uno se mueve en una unidad por segundo, el otro se mueve dos veces más rápido. ¿Cuándo estará un insecto directamente arriba del otro?

2. En un estanque experimental se han sembrado dos especies de peces designadas como A y B respectivamente. Al cabo exactamente de un año se ha hecho un censo de ambas especies y se encontró que mientras la población de A se incrementó en el 20%, la población de B disminuyó en el 10% y el número de peces de ambas especies resultó al final igual.

Entonces la razón entre las poblaciones iniciales de la especie A, con relacion a la especie B es:

A. 1/2 B. 3/4 C. 5/6 D. 8/9

3. Un estudio realizado a una máquina productora de tornillos ha establecido que de cada 4 tornillos producidos, 1 es defectuoso. Si se requiere cubrir un pedido de 48 tornillos, entonces de las siguientes afirmaciones la única verdadera es:

A. Basta con producir 60 tornillos. B. Es necesario producir 64 tornillos. C. Es suficiente producir 56 tornillos o

más.

D. Es necesario producir más de 64 tornillos.