TABLAS, GRÁFICOS Y REGLAS

TABLAS, GRÁFICOS Y REGLAS

3.1.1 – 3.1.7

Tres maneras para escribir relaciones para datos son tablas, palabras (descripciones) y reglas. El patrón en la tabla entre los valores de entrada (x) y salida (y) usualmente establece la regla para la relación. Si sabe la regla, se podría usar para generar conjuntos de valores de entradas y salidas. Una descripción de una relación se puede traducir en una tabla de valores y regla general (ecuación) que describa la relación entre los valores de entrada y salida. Cada una de estas tres formas de relación se puede usar para crear un gráfico para representar visualmente la relación. Para más información, vea los recuadros de Apuntes de matemáticas en las Lecciones 3.1.3, 3.1.4, 3.1.5 y 3.2.1 del texto Core Connections en español, Curso 3.

Ejemplo 1

Complete la tabla y determine la relación entre los valores de entrada (x) y valores de salida (y), escriba la regla de la relación y después ponga los datos en un gráfico.

valor de entrada (x) 4 –3 5 0 3 –2 x

valor de salida (y) 8 4 10 0 –2 –4

Empiece examinando los cuatro pares de los valores de entrada: 4 y 8, 5 y 10, 0 y 0, –2 y –4. Determine cuáles operación(es) aritméticas se aplican al valor de entrada de cada par para recibir el segundo valor. Las operaciones aplicadas al primer valor deben ser el mismo en los cuatro casos para producir cada valor de salida. En este ejemplo, el segundo valor en cada par es el doble del primero valor. Ya que el patrón funciona para todos los cuatro puntos, haga la conjetura que la regla representa y (valor de salida) = 2x (valor de entrada). Esto crea los valores que faltan –3 y –6, 2 y 4, –1 y –2, 3 y 6. La regla es y = 2x.

Finalmente, grafique cada par de datos en un sistema de coordenadas xy, como a la derecha.

2 4 – 2 – 4 2 4 6 8 1 0 – 2 – 4 – 6 x y

Ejemplo 2

Complete la tabla determinando la relación entre los valores de entrada (x) y los valores de salida (y), luego escriba una regla para la relación.

valor de entrada (x) 2 –1 4 –3 0 –2 1 x

valor de salida (y) 3 –3 7 –7 –1 –5 1

Use el mismo enfoque como en el Ejemplo 1. En esta tabla, la relación es más complicada que una multiplicación simple del valor de entrada o sumando (restando) un número. Use el enfoque de “Adivine y Revise” para intentar diferentes patrones. Por ejemplo, el primer par de valores se puede encontrar con la regla x + 1, es decir 2 + 1 = 3. Sin embargo, esa regla fracasa cuando lo revise por –1 y –3: –1 + 1 ≠ 3. De esta adivinanza sabe que la regla debe ser alguna combinación de multiplicación de la entrada y después sumando o restando al producto. La próxima

adivinanza podría ser para multiplicar x por 2. Inténtelo con los primeros dos otros valores y vea que tan cerca cada resultado esta al valor de salida conocido: para 2 y 3, 2(2) = 4; para –1 y –3, 2(–1) = –2; y para 4 y 7, 2(4) = 8. Note que cada resultado es uno más que el valor de salida actual. Haga la conjetura que la regla es y (valor de salida) = 2x (valor de entrada) – 1 y examínelo para los otros valores de entrada: para –3 y –7, 2(–3) – 1 = –7; para 0 y –1,

2(0) – 1 = –1; para –2 y –5, 2(–2) – 1 = –5; y para 1 y 1, 2(1) – 1 = 1. Así que la regla y = 2x – 1.

Ejemplo 3

Complete la tabla a continuación para la regla y = 2x + 1 y después grafique cada punto de la tabla.

valor de entrada (x) –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x

valor de salida (y)

Remplace x con cada valor de entrada, multiplíquelo por –2 y suma 1. Los

resultados son pares ordenados: (–4, 9), (–3, 7), (–2, 5), (–1, 3), (0, 1), (1, –1),

(2, –3), (3, –5) y (4, –7). Dibuje los puntos en el gráfico (vea Capítulo 1 si necesita ayuda con los fundamentales de graficar.)

2 4 – 2 – 4 2 4 6 8 1 0 – 2 – 4 – 6 x y

2 4 – 2 2 4 6 8 1 0 – 2 y x

Ejemplo 4

Complete la tabla a continuación con y = x2 – 2x + 1, después grafique los pares de puntos y conéctelos con una curva suave.

valor de entrada (x) –2 –1 0 1 2 3 4 x

valor de salida (y) x2 – 2x + 1

Remplace x en la ecuación con cada valor de entrada. Eleve el valor al cuadrado,

multiplique el valor por –2, después suma los dos resultados y 1 para obtener el valor de salida (y) para cada valor de entrada (x). Los resultados son pares ordenados: (–2, 9), (–1, 4), (0, 1), (1, 0), (2, 1), (3, 4) y (4, 9).

Ejemplo 5

Haga una tabla de x → y para el gráfico a la derecha, y luego escriba la regla para la tabla.

Trabajando de izquierda a la derecha en el gráfico, lea las coordenadas de cada punto y apúntelos en la tabla.

Adivine y revise multiplicando el valor de entrada, luego suma o reste los números para obtener el valor de salida. Por ejemplo puede empezar multiplicando el valor de entrada por 2:

2(–4) = –8, 3(–4) = –12, 2(–3) = –6, etc. Los resultados no están cerca al valor de salida

correcto. El producto también tiene el signo opuesto (+ –) de lo que quiere. Su próxima opción podría ser multiplicar por –2: –2(–4) = 8, –2(–3) = 6, –2(–2) = 4. Cada resultado es tres más que el valor de salida esperado, así que haga la conjetura que la regla es y = –2x – 3. Examínelo con los puntos que faltan: –2(–1) – 3 = –1, –2(0) – 3 = –3 y –2(1) – 3 = –5. La regla es y = –2x – 3.

valor de entrada (x) –4 –3 –2 –1 0 1 x

valor de salida (y) 5 3 1 –1 –3 –5 –2x – 3 –4 –2 2

2 4 6 –2 –4 –6 x y

Problemas

Complete cada tabla. Después escriba la regla relacionado a la x e y.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Complete la tabla para cada regla, después póngalo en un gráfico y conecte los puntos para cada regla, empiece con una tabla como la de abajo.

valor de entrada (x) –3 –2 –1 0 1 2 3

valor de entrada (y)

valor de entrada (x) 10 5 20 –7 3 x valor de salida (y) 14 9 –4 –3 valor de entrada (x) 22 5 11 –9 12 x valor de salida (y) 19 2 –8 –12 valor de entrada (x) 10 –3 4 –5 15 x valor de salida (y) –30 9 –12 –1 valor de entrada (x) 10 0 15 –7 6 x valor de salida (y) 25 –5 –8 13 valor de entrada (x) 4 –6 2 –12 x valor de salida (y) 7 –3 6 –9 1 valor de entrada (x) –4 0 12 –16 x valor de salida (y) 0 2 –4 –6 6 valor de entrada (x) 2 0 –4 –13 x valor de salida (y) –5 1 –20 40 –17 valor de entrada (x) 3 0 –12 16 9 x valor de salida (y) 3 –3 13 29 valor de entrada (x) –3 –2 –1 0 1 2 x valor de salida (y) –7 – 4 –1 2 5 8 valor de entrada (x) 9 –6 0 3 –3 x valor de salida (y) 3 –2 4 1 valor de entrada (x) –2 –1 0 1 2 3 x valor de salida (y) 5 2 1 2 5 10 valor de entrada (x) –6 – 4 –2 0 2 4 x valor de salida (y) 1 2 3 4 5 6

2 – 2 2 4 6 8 – 2 – 4 – 6 – 8 – 1 0 – 1 2 x y 2 – 2 2 – 2 y x

Respuestas

1. 24, –8, 7; y = x + 4 2. 8, –5, 9; y = x – 3 3. 40, –1, –26; y = 3x – 5 4. 1₃, 15, –45; y = –3x 5. 8, –12, 8; y = –1₂x + 2 6. 3, 5, –2; y = x + 3 7. 8, –27, 15; y = 2x – 3 8. 13, 7, 6; y = –3x + 1 9. 12, 0, –1; y = x 3 10. y = 3x + 2 11. y = 1₂x + 4 12. y = x2 + 1 13. 14. valor de entrada (x) _{–3 –2 –1 0 1 2 3}

valor de salida (y) _{–0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5}

15.

valor de entrada (x) _{–3 –2 –1 0 1 2 3}

valor salida (y) _{5 4 3 2 1 0 –1}

16.

valor de entrada (x) _{–3 –2 –1 0 1 2 3}

valor de salida (y) _{3 –2 –5 –6 –5 –2 3}

valor de entrada (x) _{–3 –2 –1 0 1 2 3}

valor de salida (y) _{–11 –8 –5 –2 1 4 7}

2 4 – 2 – 4 2 4 – 2 x y 2 4 – 2 – 4 2 4 – 2 – 4 – 6 x y

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

3.2.5

La Propiedad distributiva muestra cómo expresar sumas y productos de dos maneras: a(b + c) = ab + ac. Esto también puede ser escrito (b + c)a = ab + ac.

Forma factorizada Forma distributiva Forma simplificada

a(b + c) a(b) + a(c) ab + ac

Para simplificar: Multiplique cada término dentro de los paréntesis por el término afuera. Si es posible, combine los términos.

Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 3.2.5 del texto Core Connections en español, Curso 3.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

2(47)=2(40+7) =(2⋅40)+(2⋅7) =80+14=94 3(x+4)=(3⋅x)+(3⋅4) =3x+12 4(x+3y+1)=(4⋅x)+(4⋅3y)+4(1) =4x+12y+4

Problemas

Simplifique cada expresión a continuación aplicando la Propiedad distributiva.

1. 6(9 + 4) 2. 4(9 + 8) 3. 7(8 + 6) 4. 5(7 + 4) 5. 3(27) = 3(20 + 7) 6. 6(46) = 6(40 + 6) 7. 8(43) 8. 6(78) 9. 3(x + 6) 10. 5(x + 7) 11. 8(x – 4) 12. 6(x – 10) 13. (8 + x)4 14. (2 + x)5 15. –7(x + 1) 16. –4(y + 3) 17. –3(y – 5) 18. –5(b – 4) 19. –(x + 6) 20. –(x + 7) 21. –(x – 4) 22. –(–x – 3) 23. x(x + 3) 24. 4x(x + 2) 25. –x(5x – 7) 26. –x(2x – 6)

Respuestas

1. (6 ⋅ 9) + (6 ⋅ 4) = 54 + 24 = 78 2. (4 ⋅ 9) + (4 ⋅ 8) = 36 + 32 = 68 3. 56 + 42 = 98 4. 35 + 20 = 55 5. 60 + 21 = 81 6. 240 + 36 = 276 7. 320 + 24 = 344 8. 420 + 48 = 468 9. 3x + 18 10. 5x + 35 11. 8x – 32 12. 6x – 60 13. 4x + 32 14. 5x + 10 15. –7x – 7 16. –4y – 12 17. –3y + 15 18. –5b + 20 19. –x – 6 20. –x – 7 21. –x + 4 22. x + 3 23. x2 + 3x 24. 4x2 + 8x 25. –5x2 + 7x 26. –2x2 + 6x

Cuando la Propiedad distributiva se usa al revés, se llama factorización. Factorización cambia una suma de términos (sin paréntesis) a un producto (con paréntesis).

ab + ac = a(b + c)

Para factorizar: Escriba el factor común de todos los términos afuera de los paréntesis. Ponga los factores que queden de cada término original dentro de los paréntesis.

Ejemplo 4

4x+8=4⋅x+4⋅2 =4(x+2)

Ejemplo 5

6x2−9x=3x⋅2x−3x⋅3 =3x(2x−3)

Ejemplo 6

6x+12y+3=3⋅2x+3⋅4y+3⋅1 =3(2x+4y+1)

Problemas

Factorice cada expresión a continuación usando la Propiedad distributiva al revés.

1. 6x + 12 2. 5y – 10 3. 8x + 20z 4. x2 + xy

5. 8m + 24 6. 16y + 40 7. 8m – 2 8. 25y – 10

9. 2x2 – 10x 10. 21x2 – 63 11. 21x2 – 63x 12. 15y + 35 13. 4x + 4y + 4z 14. 6x + 12y + 6 15. 14x2 – 49x + 28 16. x2 – x + xy

Respuestas

1. 6(x + 2) 2. 5(y – 2) 3. 4(2x + 5z) 4. x(x + y)

5. 8(m + 3) 6. 8(2y + 5) 7. 4(2m – 1) 8. 5(5y – 2)

9. 2x(x – 5) 10. 21(x2 – 3) 11. 21x(x – 3) 12. 5(3y + 7) 13. 4(x + y + z) 14. 6(x + 2y + 1) 15. 7(2x2 – 7x + 4) 16. x(x – 1 + y)