Operaciones algebraicas

(1)

II. OPERACIONES ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

1. ADICIÓN O SUMA: es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una expresión algebraica (suma). En algebra la suma puede significar aumento o disminución, ya que hay sumas algebraicas que equivalen a una resta aritmética.

Regla: para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay.

1.1. Suma de monomios: Sumar: 7a, 8b, 15a, 9b,  4c, 8 Se obtiene:



8

 

15



9



4



8

7a   b   a  b   c   7a 8b15a  9b4c 8 8

4

8   



 a b c

1.2. Suma de polinomios: Se colocan los polinomios unos debajo de los otros de modo que los términos semejantes queden en columna; se hace la reducción de éstos, separándolos unos de otros con sus propios signos. : Sumar:



a b

 

, 2a  3b c

 

,  4a 5b



Se

obtiene:

c b a

b a

c b a

b a

  

 

  

7 5 4

3 2

Otro Ejemplo: Calcular el perímetro de la figura 1. El perímetro de la figura es la suma de sus lados, como los lados están determinados por monomios semejantes, entonces, el perímetro es: P  4p3q  3,2p3q  7,5p3q 5,8p3q



43,27,55,8



p3q  20,5p3q



2. RESTA O SUSTRACCIÓN: es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (diferencia). En aritmética la resta siempre implica disminución, mientras que la resta algebraica tiene un carácter más general, puede significar disminución o aumento.

Regla: para restar se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes, si los hay. 2.1. Resta de monomios: De – 4 restar 7. Se escribe el minuendo – 4 con su propio signo y a continuación el sustraendo 7 con el signo cambiado y la resta será: – 4 – 7 = – 11. Restar

b

4 de2a.

Se escribe el minuendo 2a con su signo y a continuación el sustraendo 4b con el signo contrario y la resta será: 2a4b. Restar 4a2b de5a2b. Se escribe el minuendo 5a2b con su signo y a continuación el sustraendo 4a2b con el signo contrario y la resta será:

b a b a b

a2 4 2 9 2

5   

 . De ab

2 1

 restar ab 4 3

 . Se escribe el minuendo ab 2 1

 con su

propio signo y a continuación el sustraendo ab 4 3

 con el signo cambiado y la resta será:

ab ab ab

ab ab

ab

4 1 4

3 2 4

3 2 1 4

3 2

1

    

     

 _ 

 .

2.2. Resta de polinomios: cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo, así que a continuación del minuendo se escribe el sustraendo cambiándole el signo a todos sus términos. Ejemplos: a) De:

3,2

5,8

7,5

4

(2)

z y x3 

4 restar: 2x5z 6. Se obtiene:

6 4 3 2

6 5 2

3 4

  

 

z y x

z x

z y x

b) Restar:

3 2 2

5 6

8a x  ax  x

 de:7a3 8a2x 7ax2 4 . Se obtiene:

10 7 16

12

6 8

5

4 7 8

7

3 2 2 3

2 2 3

3 2

2

  



 



  

a x a ax x

x a ax x

a x a ax

c) Determinar el área de la parte sombreada de la figura, si

el área del cuadrado está dada por la expresión



8x2 6y2



y el área del sector circular es



2 2



5x  y . Para determinar el área sombreada, se resta al área del cuadrado el área del sector circular. Así:



2 2

 

2 2



5 6

8x y x y

Asombreada    

2 2 2 2

5 6

8x y x y

Asombreada    



2 2 2 2

6 5

8x  x  y  y

 2 2

7 3x  y

 El área de la parte sombreada es:

. 7 3x2  y2

2.3. Suma y resta combinadas: De x3 4x2y 5y3 restar la suma de

3 2 2

3

6

5x y xy y

x   

 con 6x2y  9xy2 16 y3. Se efectúa primero la suma:

3 2 2

3

3 2 2

3

15 3

16 9

6

6 5

y xy

y x x

y xy y x

y xy

y x x

  



  

 

. Esta suma que es el sustraendo, tengo que restarla de

3 2

3

5 4x y y

x   que es el minuendo, así se tendrá:

3 2 2

3

3 2 2

3

3 2

3

20 3

3 2

15 3

5 4

y xy y x x

y y

x x

  

  

 

. Otro ejemplo:

De la suma de x3  4x2 6 con 5x2 11x  5 restar x4 1 Se efectúa primero la suma:

1 11

5 11 5

6 4

2 3

2 2 3

  

  

 

x y x x

x x

. Esta suma que es el minuendo, luego debajo de ella se escribe el

sustraendox4 1 con los signos cambiados. Así se tendrá:

x x x x x

x x x

11 1 1 11

2 3 4 4

2 3

   

 

  

2.4. Signos de agrupación: Los signos de agrupación se suprimen de dentro hacia fuera teniendo en cuenta: 1) Si el signo de agrupación está precedido del signo (+), las cantidades se escriben con el mismo signo. 2) Si el signo de agrupación está precedido del signo (–), se cambia el signo de todas las expresiones que están dentro del paréntesis. Ejemplo: Simplificar la siguiente expresión suprimiendo signos de agrupación: 5x2 



3y



4x2  2y







y x y



x 3 4 2

5 2   2 



a b b a b a a b

a 2 3 4

3        

b a  2 Rta.

3.2. Introducción de signos de agrupación: Regla: 1) Para introducir cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo (+) se deja a cada una de las cantidades con el mismo signo que tengan. 1) Para introducir cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo (–) se cambia el signo a cada una de las cantidades que se incluyen en él.

Ejemplos: a) Introducir los tres últimos términos de la expresión x3 2x2  3x4en un paréntesis precedido del signo + x3 



2x2 3x 4



Rta. b) Introducir los tres últimos términos de la expresión 2 2 2

2ab b a

x    en un paréntesis precedido del signo – así:



2 2



2

2ab b a

x    Rta.

4. MULTIPLICACIÓN: es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad llamada producto. El multiplicando y multiplicador son llamados factores del producto. El orden de los factores no altera el producto. (Propiedad conmutativa). Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo (Propiedad asociativa)

LEY DE SIGNOS: a) Cuando los signos son iguales el producto es positivo. b) Cuando los signos son diferentes el producto es negativo. c) El signo del producto de varios factores es positivo cuando tiene un número par de factores negativos o ninguno. d) el signo del producto de varios factores es negativo cuando tiene un número impar de factores negativos.

LEY DE LOS EXPONENTES: Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores. Así

9 2 3 4 2 3 4

a a

a      

LEY DE LOS COEFICIENTES: El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores. Así: 3a4b 12ab

CASOS DE LA MULTIPLICACIÓN: Son tres: multiplicación de monomios, multiplicación de polinomio por monomio y multiplicación de polinomios por polinomios.

4.1. Multiplicación de monomios: Regla: se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo del producto vendrá dado por la ley de signos. Ejemplos: Multiplicar: a)





2 3 5

3 2

6 3

2 3

(4)

b)  xy 2 5mx 4y3 



1 5



mx 14 y23  5mx 5y5Rta. c) x

b b

a2 4 2

3  



34



a2b12x  12a2b3xRta. d) 2a 3a2bab3





1 2 1 1 3

1 3

2       

 a b  6a4b4Rta. e)

4.2. Multiplicación de polinomios por monomios: Regla: Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos. (Ley distributiva de la

multiplicación). Ejemplos: Multiplicar: a)



2



2





2 2





1 2





2

4 7 4

6 4

3 4

7 6

3x  x   ax   ax    ax    ax 2

3 4

28 24

12 ax  ax  ax

 Rta. b)



a a a a



m

y x y

x y x y a y

x 1 3 2  2 1 3  2 4 3 2





1 2 1





2 2





1 2 3





2 2 4

3 1 3

2 3

3 3

1                 

 a m a m a m a m

y x y

x y

x

4 3

1 2

2 1

3

3 6

9

3          



 a m a m a m a m

y x y

x y

x Rta. c) Hallar el área de un rectángulo

cuya base es 2x4  y y cuya altura es3x .

Para hallar el área se multiplica la medida de la base por la medida de la altura así:



x y



 

x

A_rec_tan_gulo  2 4  3 



2x4



   

3x  y



2x4



xy

x 3

6 5 



Por tanto, el área del rectángulo es: 6x5 3xy

(5)

12 12 3

4 3 4

2 2

 

  

   

a a

a a a a a

b) 

  



 _

    



 _

y x xy

x

5 4

3 2

3 1

2 1 2

2 2

2

2 2

2 2 2

15 4

45 28

3 1

15 4

5 2 9 2

3 1

5 4

3 2

3 1

2 1

xy y

x x

xy y

x y x x

y x

xy x

 

 

 

 



2 2

2

2 2

2 2 2

15 4

45 28

3 1

15 4

5 2 9 2

3 1

5 4

3 2

3 1

2 1

xy y

x x

xy y

x y x x

y x

xy x

 

 

 

 



c) Una fábrica de empaques desea construir cajas rectangulares a partir de láminas de cartón, como se muestra en la figura. De cada esquina se corta un cuadrado de xcm de lado. Al doblar los rectángulos sobrantes se forma una caja como se muestra en la figura. Determinar el volumen de la caja.



ancho

 

l

o

 

alto



V

_prisma



arg

Para resolver la expresión se multiplican los dos binomios y el producto de este se multiplica porx . Luego, se reducen los términos semejantes. En este caso, son necesarios los signos de agrupación y tener en cuenta la ley de signos como se muestra a continuación:



 





x x



x

Vprisma  8 2 3 2





    

8 3  8 2x

 

 2x

  

3  2x



 2x





x

4.4. Multiplicación por coeficientes separados: Regla: abrevia la operación y se aplica en los dos casos siguientes:

(6)

  

  

3 4 2

2 5 2 3

2 2 3

x x

x x x

6 23 22 7 8 6

6 15 6 9

8 20 8 12

4 10 4 6

3 4 2

2 5 2 3

    

   

   

  

  

  

6 23 22

7 8

6x5  x4  x3  x2  x Rta.

4.4.2. Multiplicación de dos polinomios homogéneos que contengan sólo dos letras comunes y estén ordenados en el mismo orden con relación a una de las letras.

Ejemplo: Multiplicar:

 

 



2 2

4 2 2 3

4

2 3

3 7

5

m a

m m a m a a

6 0 23 10 19 15 3

9 0 21 15 3

0 0 0 0 0

6 0 14 10 2

2 0 3

3 0 7 5 1

     

   

    

  

   

6 4 2 3

3 2

4 5

6

6 23

10 19

3 3 6

3 x x  x2  x  x2  x



x2  x 12

 

 3x2  3x 6



 4x2  2x 18 Rta. Otro ejemplo:





2





2

4x a b b

(cociente). De esta definición se deduce que el cociente multiplicado por el

divisor reproduce el dividendo.

LEY DE SIGNOS: La ley de signos en la división es la misma que en la multiplicación. a) Cuando los signos son iguales es positivo. b) Cuando los signos son diferentes es negativo. LEY DE LOS EXPONENTES: Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se le pone de exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del

divisor. Así 5 3 2

3 5 3 5

a a a a a

(7)

LEY DE LOS COEFICIENTES: El coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. Así: 20a2 5a  4a

CASOS DE LA DIVISIÓN: Son tres: división de monomios, división de polinomio por monomio y división de polinomios por polinomios.

5.1. División de monomios: Regla: se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en l divisor. El signo lo da la Ley de signos. . Ejemplos: Dividir:

a) a b a b

ab b a ab b

a 3 1 2 1 2

2 3 2 3 2 2 2 4 2

4    

  

  

Rta. b) 5a4b3c a2b

c b a c b a b a c b

a ₄ ₂ ₃ ₁ ₂ ₂

2 3 4 5 5 5       

Rta. c)20mx 2y3 4xy3

3 3 1 2 3 3 2 5 4

20  

  

 mx y

xy y mx

5mx Rta. d)

3 2 1 3 2 3 2 3 1 3

3       



 m n a

a n m a n m z y x z xy z y x z xy z y x

5.2. División polinomios entre monomios: Regla: se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos. . Ejemplos: Dividir:

a) 2 2 2 1 1 1 2 1 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 3 9 3 6 3 3 3 9 6 3 3 9 6 3 b ab a b a b a a a ab a b a a a a ab b a a a ab b a a                   Rta.

b)2axbm 6ax1bm1 3ax2bm2 2a3b4

6 1 5 2 4 3 4 2 3 2 4 1 3 1 4 3 4 3 2 2 4 3 1 1 4 3 4 3 2 2 1 1 2 3 3 2 3 3 2 3 2 6 2 2 2 3 6 2                                          m x m x m x m x m x m x m x m x m x m x m x m x b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a Rta.

c) x y x y xy y y

6 5 2 1 6 5 3 2 4

3 3 _ 2 2 _ 3 _ 4 _

1 4 1 3 1 2 2 1 1 3 4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 10 6 30 30 15 12 20 18 6 5 2 1 6 5 6 5 6 5 3 2 6 5 4 3 6 5 2 1 6 5 3 2 4 3                  y xy y x y x y y y xy y y x y y x y y xy y x y x

3 2 2 3 5 3 5 4 10 9 y xy y x

(8)

5.3. División de dos polinomios: Regla: se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y se tiene el primer término del cociente. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor.

Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y se tendrá el segundo término del cociente. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores, y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

Prueba de la división: la división puede verificarse cuando es exacta, multiplicando el divisor por el cociente, y obteniendo como resultado el dividendo, si la operación esta correcta. Ejemplos: Dividir:

a) 28x2  30 y2 11xy  4x 5y

2 2 2

2 2

30 24

6 7 35

28

5 4 30 11

28

y xy

y x xy

x

y x y xy x

 

 

 



 



y x 6

7  Rta. b)

2 2

3 4 4

3 2 2

3 5

4 5

32 21

64 10

3a  a b  a b  a b ab a  a b ab

4 3

2 2

3

4 3

2 2

3

3 2 2

3 4

3 2 2

3 4

2 2

2 3 4

5

2 2

3 4 3

2 2

3 4

5

32 40

8

32 40

8

24 30

6

64 22

6

8 6 3 12

15 3

4 5

32 64

10 21

3

ab b

a b

a

ab b

a b

a

b a b

a b a

b a b

a b a

b ab a

b a b a a

ab b a a ab b

a b

a b a a

 



 



 



 



  

 

 

 

 

2 2

8 6

3a  ab  b Rta. c) 2x3 2 4x2x2

2 2

4 2

1 2

2

2 2 2 4 2

2 2

3 3

 

 

 

 

  



 



x x x x

x x

x x x

x

x x

x

(9)

d) x x y xy y x y 2 3

3 2

8 3

3 2

36 35

3

1 3 _ 2 _ 2 _ 3 _ _

3 2

2 2

2 3

3 2

2 3

8 3 6

1

8 3 6

1 2 1 9

2

3 2 9

2

4 1 3

1 2

1 4

3 3

1

2 3 3

2 8

3 3

2 36

35 3

1

y xy

xy y

x

xy y

x

y x

x y

x x

y x

y xy

y x x

 

 



 

  



 

 

2 2

4 1

3 1

2 1

y x

x   Rta.

5.4. División de polinomios por el método de coeficientes separados: Regla: abrevia mucho la operación puede usarse en los mismos casos de la multiplicación.

5.4.1. División de dos polinomios que contengan una sola letra y estén ordenados en el mismo orden con relación a esa letra. Ejemplo: Dividir:

6 3 4 36 18 24

6 16

8x6  x5  x4  x2  x  x3  x

36 18 0 24

24 12 0 16

6 0 4 2 12

6 0 8

6 3 0 4 36 18 24 0 6 16 8

   

   

  

   

   

  

   

    

6 4

2x3  x2  Rta.

5.4.2. División de dos polinomios homogéneos que contengan sólo dos letras comunes y estén ordenados en el mismo orden con relación a una de las letras. Ejemplo: Dividir:

2 2

5 4

4 3 2 2

3 5

4 3 24

38 7

37

21a b a b a b ab b a ab b

a        

24 18 6

20 15 5

38 21 5

16 12 4

37 17 4

6 5 4 1 4

3 1

4 3 1 24 38 37 21 7 1

  

  

 

  

  

   

 

  

   

3 2 2 3

6 5

4a b ab b

(10)

5.5. Cociente mixto: Regla: cuando el dividendo no es divisible exactamente por el divisor, la división no es exacta, se obtiene un residuo y esto origina los cocientes mixtos: que constan de una parte entera y una parte fraccionaria. Cuando la división no es exacta se debe detener cuando el primer término del residuo es de grado inferior al inferior al primer término del divisor con relación a una misma letra, o sea, cuando el exponente de una letra en el residuo es menor que el exponente de la misma letra en el divisor y se suma al cociente el número fraccionario que se forma, poniendo por numerador el residuo y por denominador el divisor. Ejemplo: Dividir:

a)

x2  x6 x 3

6 12 4

6 4

3 6 4 3

3 6

2 2

 

 

   



 



x x

x x x

x

x x

x

3 6 4

  

x

x Rta.

b) 4 3 2 2 4 6 8 2 4

2 4

3 4

6m  m n  m n  mn n  m n