Proyecto de Grado
Estudio de los métodos numéricos para el análisis de la propagación de una onda acústica en un ambiente de cristales sónicos
Presentado por: Hares Neme Hakim Código Estudiante: 201024777
Asesor de Proyecto: PhD. Andrés González Mancera
Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Mecánica Bogotá D.C., Colombia
Diciembre, 2015
Tabla de Contenido
1. Introducción ... 3
1.1 Objetivos ... 6
1.2 Estructura del Proyecto de Grado ... 7
2. Marco Teórico ... 8
2.1 Ley de Bragg y Ondas Mecánicas ... 8
2.1 Mecánica de Fluidos y las Ecuaciones de Navier-Stokes ... 10
2.2 Navier-Stokes y la Ecuación de Onda ... 13
2.2 Volúmenes Finitos ... 15
2.2.1 Discretización ... 16
2.2.2 Algoritmo PISO ... 21
2.3 Lattice Boltzmann ... 23
3. Simulaciones ... 25
3.1 Lattice Boltzmann ... 25
3.2 Volúmenes Finitos ... 26
3.2.1. Enmallado ... 26
3.2.2. Casos Simulados ... 29
4. Resultados ... 32
4.1 Análisis de Resultados ... 37
5. Conclusiones ... 39
6. Recomendaciones y Trabajos Futuros ... 40
7. Apéndices ... 41
7.1 Código Perfil Másico [Código elaborado por Asistente Graduado Juan Luis Cepeda] ... 41
8. Bibliografía ... 42
1. Introducción
El fundamento de la vida de todos los seres que habitan el planeta tierra es esencialmente sobrevivir. En ese orden de ideas, la capacidad de llevar a cabo este pilar de la evolución se reduce a interactuar de una u otra manera con el entorno e intentar actuar en coherencia con el mismo. Como consecuencia, para poder entender y armonizarse con su ambiente, debe existir un canal de comunicación entre el ser y su entorno, ejemplificado desde los organismos unicelulares hasta la complejidad de un animal, donde vemos una constante transmisión de información que sensibiliza al habitante con su hábitat. Lo anterior sin embargo, en la misma manera que el humano se comunica a través de un idioma en común con su contertuliano, necesita de un instrumento y un medio para poder transmitir el mensaje, dando cabida al desarrollo de los sentidos.
Dependiendo de la complejidad del organismo se encuentran en la naturaleza variedades fenomenales de sistemas sensoriales; sin embargo, todos cumplen el mismo propósito intrínseco de relacionar el animal (o planta) con sus alrededores. En el caso concreto de los humanos, se han distinguido cinco sentidos comunes en nuestra especie: el olfato, la vista, el tacto, el gusto y el oído. Cada uno de estos nos ofrece una manera distinta de percibir el mundo y como consecuencia, el hombre ha venido buscando maneras de mejorar dichos sentidos y tener una mejor perspectiva de su entorno. Aunque todos merecen un estudio detallado, enfoquémonos en el oído para la continuación de este estudio.
El sonido es un fenómeno vibratorio que se da gracias a la existencia de un medio entre el emisor y el receptor. Este se propaga a través de la materia en forma de ondas sinusoidales cambiando su comportamiento de acuerdo con su interacción con diferentes medios. Sin entrar más en profundidad, el oído es entonces el sentido encargado de recibir el sonido he interpretarlo (a través del cerebro) en algo coherente para el receptor. Algunas veces los sonidos que alcanzamos a percibir son indeseados o nocivos, destacándose como uno de los contaminantes más grandes de las últimas décadas. La Organización Mundial de Salud llevó a cabo un estudio en el cual se percibe que en países desarrollados como Estados Unidos se tiene que más del 40% de la población está expuesta durante el día a niveles de ruido mayores a 85dB, un valor problemático en periodos extensos de tiempo, dado que puede causar problemas de salud como pérdidas irreparables de la audición, niveles altos de presión sanguínea, jaquecas, entre otros[16].
La polución auditiva es un contaminante que se destaca como un protagonista pasivo, ya que paradójicamente, aunque causa lesiones de salud cuantificables y significantes este no ha sido considerado como un peligro importante en las vidas de las personas hasta hace unas décadas atrás [16]. Sobre los anterior, la Agencia Europea de Ambiente ha establecido que alrededor del 40% de la población europea esta expuesta a niveles de ruido por encima del límite planteado como riesgoso para la salud [16]. En ese orden de ideas, se han venido incrementando la cantidad de estudios sobre el tema del ruido causado por los mayores aportantes del mismo, entre los cuales se resaltan los medios de transporte en general [18]. Diariamente los humanos nos exponemos a niveles de ruido que resultan nocivos para nuestro bienestar y como consecuencia, con el fin de promover
la salud y la comodidad auditiva de los afectados, se hace necesario controlar este fenómeno ya sea eliminándolo o apaciguándolo.
El manejo del ruido se puede categorizar en tres puntos clave para su intervención: en la fuente, en el camino de propagación y en el receptor [15]. Con respecto al primer punto, este hace referencia al control de la causa del ruido, cosa que lo resalta como el espacio para la solución ideal; sin embargo, resulta más fácil intervenir el sonido en los dos puntos restantes, ya que estos sugieren una forma de obstaculizar la dispersión de las ondas sonoras como método de solución. En cuanto a la intervención en el receptor, esta sólo afectaría al sujeto en discusión, por lo tanto, dado que obstaculizar el camino de propagación del sonido es una solución que abarca a varios individuos, enfocaremos el estudio en una manera de mitigar el problema auditivo en este punto de intervención.
Hoy en día existen en el mercado decenas de materiales distintos especialmente diseñados con el único propósito de mitigar el ruido. Desde la construcción de viviendas sencillas hasta aeronaves de alta tecnología cuentan con estudios detallados sobre la dispersión del sonido y las maneras de reducirlo [17]. Entre la soluciones se destacan ideas innovadoras como el desarrollo de techos y fachadas vegetales[30], espumas altamente porosas de materiales compuestos [11], paneles con múltiples capas de materiales absorbentes como algodones y fibras de vidrio, ABS, cloruro de vinilo, etc. y diseños especiales que intentan cancelar las ondas de sonido [12].
En ese orden de ideas, es plausible dividir el campo de la acústica en dos estrategias de control: control por material absorbente y control por diseño destructivo. Claro está, que en la mayor parte de los casos se llegan a soluciones donde influye tanto el material como el diseño de la estructura absorbente; sin embargo, con el fin de determinar como influye estrictamente el material o la estructura, se estudiarán por separado dichos aspectos. Entrando más en detalle en el ámbito estructural nos encontramos con un problema de diseño, es decir, el control del ruido no radica en las propiedades del material de absorber la onda, sino en su habilidad de obstaculizar el paso del mismo en la manera que este se cancele entre sí. Gracias a la configuración sinusoidal de la onda, podemos sobreponer valles con crestas, cancelando la onda donde se aparezca este fenómeno. Por lo anterior, se busca diseñar estructuras que incentiven este comportamiento y como consecuencia se mitiguen los decibeles en el punto de interés.
Llevar a cabo diseños que cumplan con lo anterior no es una tarea trivial, pues la variedad de frecuencias que son captadas por un oído humano oscilan entre los 20Hz y los 20kHZ, lo que hace que algunas estructuras sean efectivas en un rango de frecuencias mas no en otras. Aunque lo anterior sea una clara limitante de esta estrategia, la gran mayoría de las fuentes de ruido que son nocivas para la salud pueden ser categorizadas en ciertos rangos donde, de acuerdo al diseño de la estructura sónica, se bloqueen las frecuencias de mayor interés. Una estructura sónica es un sinónimo de un arreglo de cristales sónicos, los cuales se definen como obstáculos periódicos que funcionan como dispersores de sonido generalmente posicionados en una celosía rectangular o triangular. La obstrucción periódica de la onda de sonido crea el fenómeno destructivo que se
mencionó anteriormente, donde se forman regiones en las cuales la atenuación del ruido es destacable.
Por lo anterior, comprender la manera en la que se propagan las ondas acústicas es el fundamento de cualquier diseño que intente manipularlas a su propia voluntad. Tras largos desarrollos experimentales, se han derivado ecuaciones que encierran la física detrás de las ondas mecánicas, permitiendo comprender de manera predictiva el comportamiento del sonido en determinados ambientes [3]. En este caso concreto, dado que se trata de un fluido compresible (el aire), se utilizarán las ecuaciones de Navier-Stokes para modelar la efectividad de la interacción del arreglo sónico con el ruido incidente. Solucionar estas ecuaciones de manera analítica es una posibilidad dentro de ciertas condiciones de frontera; sin embargo, a medida que la complejidad y cantidad de las ecuaciones que surgen de la descripción del problema aumenta, la posibilidad de solucionarlo analíticamente decae. Por ende, se han planteado aproximaciones para solucionar estos problemas por medio de métodos numéricos, los cuales consisten en disolver la traba en una serie de operaciones aritméticas, que si bien resultan ser más sencillas de solucionar, no dejan de ser muchas y tediosas. No obstante, con el desarrollo de los computadores capaces de hacer estos cálculos aritméticos en cuestión de momentos, el papel de los métodos numéricos ha crecido de manera asombrosa.
Los métodos numéricos, dado que solucionan ecuaciones diferenciales por medio de operaciones aritméticas, se han convertido en la base de los programas de simulación de problemas físico-mecánicos. En ese orden de ideas, para verdaderamente comprender el alcance y la coherencia de las simulaciones computacionales, es esencial entender cómo se está llevando a cabo la aproximación numérica. Existen varios tipos de estrategias para alcanzar el acercamiento discutido como solución; sin embargo, para el dominio de este estudio, donde la finalidad de la simulación es solucionar las ecuaciones de Navier-Stokes, resaltan dos técnicas importantes: el método de lattice Boltzmann y el método volúmenes finitos.
El método de lattice Boltzmann (LBM) es en esencia la discretización de la ecuación de Boltzmann para modelar el comportamiento de gases. Este es un descendiente directo del modelo “lattice gas automata” (LGA), el cual es un método que describe de una manera sencilla el comportamiento y la interacción de partículas independientes dentro de un gas. El LGA presenta las partículas de un gas como esferas rígidas que se mueven dentro de un plano con un serie de velocidades discretas. Las mismas colisionan con otras de manera elástica dando lugar a una nueva serie de velocidades y direcciones de movimiento, siempre y cuando se mantengan las propiedades intrínsecas del sistema como la masa y el momento. Este modelo es de carácter booleano y como consecuencia, sufre de ruido estadístico al ponderar las propiedades de cada partícula. Como solución a lo anterior, se propone la ecuación de Boltzmann, la cual elimina este fenómeno estadístico al utilizar como entrada inicial un promedio del arreglo de partículas y sus propiedades, descartando la entrada booleana y por consiguiente las limitantes que suceden de la misma. El LBM se destaca como una muy buena aproximación numérica dado que es capaz de modelar la dispersión y la disipación de un fluido con gran exactitud; sin embargo, para poder utilizar el método se deben escalar las magnitudes
físicas del problema en unas que vayan de acuerdo a la configuración del domino a simular. Este proceso no es nada trivial ya que las dimensiones se relacionan entre sí provocando que variaciones mínimas en algunas de estas cambie drásticamente las propiedades del dominio y el fluido. Por otro lado, la definición de las fronteras también prueba ser un tema complejo ya que estas interactúan con el fluido de manera discreta, es decir, las fronteras asumen una colisión unitaria entre las partículas del gas y la misma en vez de ponderar un comportamiento en común. Lo anterior hace que el método de lattice Boltzmann sea de difícil implementar, por lo tanto, este sigue siendo desarrollado como un tema académico y no comercial[1].
Por otro lado, están los métodos de volúmenes finitos los cuales se destacan por ser los más utilizados en la simulación computacional de fluidos (CFD). Estos buscan discretizar las ecuaciones de Navier-Stokes en el espacio físico, dividiendo el mismo en una seria de volúmenes finitos los cuales generan una solución coherente al integrar Como lo dice su nombre, este método se basa en dividir el domino en volúmenes finitos de tal manera que la integración de sus partes generen una solución coherente[2].
Por otro lado, están los métodos de volúmenes finitos los cuales se destacan por ser comúnmente utilizados en la simulación computacional de la dinámica de fluidos (CFD). Este busca discretizar la forma integral de las ecuaciones de Navier-Stokes en el espacio físico. Con lo anterior, lo que busca este modelo es dividir el dominio en una serie de volúmenes finitos que al ser sus soluciones integradas, generen un resultado coherente sobre el espacio modelado[2]. Gracias al avance en las interfaces de programación de este método, el estudio realizado sobre los cristales sónicos se llevó a cabo utilizando un software que se basa en este sistema de solución.
En síntesis, el objetivo de este proyecto es evaluar, por medio de simulaciones computacionales, la efectividad de los cristales sónicos como elementos de control para la dispersión del ruido. Por lo tanto, este estudio se convierte en un problema tanto de diseño como de convergencia numérica, ya que llevar a cabo la simulación del mismo supone un minucioso estudio de las variables y los algoritmos a utilizar para llegar a la solución. En ese orden de ideas, se van a analizar dos posibilidades de configuraciones cristalinas las cuales se deben considerar más que una solución, un recurso para la futura investigación en el campo de la acústica.
1.1 Objetivos
Objetivo general:
Determinar la efectividad de un arreglo de cristales sónicos para el control de la dispersión de ondas acústicas por medio de simulaciones computacionales.
• Revisión detallada de los fundamentos teóricos detrás de lo métodos de solución numérica a utilizar (Lattice Boltzmann y Volúmenes Finitos), con el fin de demostrar que estos solucionan las ecuaciones de Navier-Stokes correctamente. • Simular la dispersión de una onda acústica ante su interacción con un arreglo
cristalino rectangular, que sea consistente con un prueba experimental semejante y su teoría.
• Simular la dispersión de una onda acústica ante su interacción con un arreglo cristalino triangular, que sea consistente con un prueba experimental semejante y su teoría.
• Concluir sobre las capacidades de los métodos numéricos en cuestión para el
análisis de fluidos compresibles en ambientes de cristales sónicos.
1.2 Estructura del Proyecto de Grado
1. Introducción: Este capítulo
2. Marco Teórico: Repaso de la teoría detrás de la formulación y solución del
problema en cuestión.
3. Simulaciones: Consideraciones y metodología utilizada para plantear el dominio
computacional en Ansys Fluent.
4. Resultados: Discusión sobre los datos obtenidos a partir de las simulaciones
5. Conclusiones: Puntos a destacar de lo que se logró con este proyecto de grado.
6. Recomendaciones y Trabajos Futuros: Preguntas a indagar como continuación
2. Marco Teórico
Con el fin de contextualizar a lectores con diversos bagajes académicos, es fundamental introducir a los mismos a los modelos físicos y matemáticos que se utilizaron para el desarrollo de este estudio.
2.1 Ley de Bragg y Ondas Mecánicas
En la naturaleza las ondas mecánicas son aquellas que se desplazan a través de un medio deformable o elástico. Es decir, a diferencia de las ondas electromagnéticas que pueden viajar por vacíos, las ondas de esta índole necesitan de medio material por el cual se pueden propagar sin que este se traslada de un lugar a otro. En ese orden de ideas, una onda mecánica es una perturbación que se desarrolla de un lado a otro gracias a la compresibilidad del medio en el cual se dio el evento inicial. Las ondas de sonido pertenecen a este selecto grupo de ondas, razón por la cual este fenómeno se comporta distinto dependiendo del medio en el cual se esté propagando (en este estudio, el medio simulado fue el aire).
Cuando se genera una onda mecánica, las partículas del medio se mueven de manera armónica simple asemejando una función de seno, una característica que es de vital importancia para el desarrollo de los arreglos cristalinos. En términos generales, las propiedades de una onda se relacionan entre sí de la siguiente manera:
𝜆 =𝑐𝑇 (2.1)
lo que significa que:
𝜆
𝑇=𝑐 (2.2)
y, dado que el recíproco del periodo es la frecuencia, obtenemos la siguiente ecuación:
𝜆𝑓 =𝑐 (2.3)
Donde:
• λ = longitud de onda [m]
• f = frecuencia [Hz]
• T = periodo [s]
• c = velocidad del sonido [340 m/s]
En ese orden de ideas, pasemos a analizar el fenómeno de la interferencia destructiva/constructiva de las ondas en el cual se basa el diseño de los arreglos cristalinos. Como se mencionó anteriormente, dado el carácter sinusoidal de las ondas de sonido, estas se pueden cancelar o aumentar dependiendo del desfase en el que se encuentren en el espacio. Es decir, si una onda interactúa en fase con otra, se va a
presenciar una interferencia constructiva; sin embargo, en la eventualidad que este evento no ocurra, las ondas se anularan entre sí a medida que su desfase es más notorio, siendo su punto crítico, el instante donde su desfase sea de 90º[32]. Teniendo en cuenta lo anterior, lo ideal es construir un arreglo de cristales sónicos que incentiven una dispersión tal que las ondas sonoras experimenten una interferencia destructiva. Para llevar a cabo lo dicho, se consideraron las siguientes ecuaciones para dimensionar la celosía cristalina:
𝜆𝑛= 2𝑑 𝑆𝑖𝑛𝜃 (2.4)
𝑓𝑓 =𝜋𝑟!
𝑑! (2.5)
Donde:
• n = número natural
• d = distancia entre centros de las barreras en el eje paralelo a la fuente de sonido
[m]
• r = radio de las barreras [m]
Ilustración 2. Diagrama heurístico de la Ley de Bragg [32]
La ecuación (2.4) es conocida como la ley de Bragg, y es utilizada para predecir la manera en la que van a incidir las ondas en la red cristalina. Si al despejar por el valor de “n” en esta expresión matemática el resultado no es un número entero, entonces se está experimentando en alguna proporción una interferencia destructiva, ya que este valor demuestra la cantidad de ciclos que se desfasa la onda al incidir con el cristal en sus diferentes niveles[34]. La ecuación que le sigue es el factor de relleno (2.5), y es un número adimensional que relaciona el tamaño de los cristales con el espaciamiento que hay entre ellos ( se recomienda que este sea 0.3-0.4 para optimizar la efectividad del arreglo). Combinando las ecuaciones (2.4 y 2.5) se obtienen valores necesarios para diseñar un arreglo cristalino que se óptimo bajo ciertas condiciones de frecuencia y relleno. Por último, es de destacar que la ecuación para el cálculo del factor de relleno fue desarrollada para arreglos de carácter rectangular, y como consecuencia, el factor de relleno del arreglo triangular resulta ser un aproximación gruesa.
2.1 Mecánica de Fluidos y las Ecuaciones de Navier-Stokes
En el análisis de la dinámica de los fluidos es posible tomar dos caminos que contrastan entre sí por la manera en la que se escala el problema. El primero se entiende como una visualización general, donde se estiman los efectos generales de las propiedades del fluido dentro de un volumen de control; mientras el segundo busca comprender el flujo punto por punto en regiones infinitesimalmente pequeñas. La última aproximación será la que se va a utilizar para la continuación de este estudio.
El estado de un fluido se describe utilizando una serie de variables intrínsecas del mismo entre las cuales se destacan la densidad ρ, la velocidad del flujo ū, la presión p y la viscosidad µ. Por medio de estas es posible interpretar las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de un fluido, las cuales son, en esencia, la representación matemática de
las leyes de conservación de la física. Entremos entonces en el estudio de las expresiones mencionadas y su funcionalidad.
En primer lugar está la ley de conservación de la masa. Esta señala que la velocidad en la que incrementa la masa de un fluido en un elemento del mismo, es equivalente al flujo neto de masa que atraviesa el elemento diferencial. Por lo tanto, esta se expresa de la siguiente manera:
𝜕𝜌
𝜕𝑡 + ∇ . 𝜌𝑢 = 0 (2.6)
cabe destacar, que para el análisis de un líquido incompresible, esta ecuación se reduce a simplemente la divergencia del vector de velocidad (u); sin embargo, ya que la acústica es un fenómeno compresible del aire, esta simplificación no se puede considerar.
Luego tenemos la segunda ley de Newton aplicada a la dinámica de fluidos. Esta demuestra una relación equivalente entre la rata de cambio de momento en un fluido y la suma de las fuerzas actuantes en una partícula del mismo. En ese orden de ideas, cabe distinguir las dos tipos de fuerzas que actúan sobre un fluido, siendo las primeras las de mayor importancia para este caso concreto:
• Fuerzas de superficie
o Fuerzas de presión
o Fuerzas viscosas
o Fuerza gravitacional
• Fuerzas de cuerpo
o Fuerza centrifuga
o Fuerza de Coriolis
o Fuerza electromagnética
Al hacer el análisis diferencial de las fuerzas superiores, llegamos a las ecuaciones de conservación de momento en cada una de las coordenadas cartesianas:
Componente en x:
𝜌𝐷𝑢
𝐷𝑡 =
𝜕 −𝑝+𝜏!!
𝜕𝑥 +
𝜕𝜏!"
𝜕𝑦 +
𝜕𝜏!"
𝜕𝑧 +𝑆!! (2.7)
Componente en y:
𝜌𝐷𝑣𝐷𝑡 =𝜕𝜏𝜕𝑥!!+𝜕 −𝑝𝜕𝑦+𝜏!! +𝜕𝜏𝜕!"
! +𝑆!! (2.8)
𝜌𝐷𝑤 𝐷𝑡 = 𝜕𝜏!" 𝜕𝑥 + 𝜕𝜏!" 𝜕𝑦 +
𝜕 −𝑝+𝜏!!
𝜕𝑧 +𝑆!! (2.9)
Cabe resaltar que las fuerzas mencionadas anteriormente se consideran dentro de las ecuaciones superiores en dos partes. Las fuerzas de superficie hacen parte explicita de la ecuación entre sus términos diferenciales, mientras las fuerzas de cuerpo se resumen en el último término (S).
Por último, de la misma manera que se aplica la segunda ley de Newton a la dinámica de fluidos, derivamos la tercera ley de la conservación de la física con base a la primera ley de la termodinámica. Esta expone que la rata de cambio de energía en una partícula de fluidos es igual a la suma de la rata de adición de calor y trabajo hecho sobre la misma, generando la siguiente expresión:
𝜌𝐷𝑖
𝐷𝑡= −𝑝 ∇.𝑢+∇. 𝑘∇𝑇 +𝜏!! 𝜕𝑢
𝜕𝑥+𝜏!"
𝜕𝑢 𝜕𝑦+𝜏!"
𝜕𝑢
𝜕𝑧+𝜏!"
𝜕𝑣
𝜕𝑥+𝜏!!
𝜕𝑣
𝜕𝑦+𝜏!"
𝜕𝑣 𝜕𝑧
+𝜏!"𝜕𝑤
𝜕𝑥 +𝜏!!
𝜕𝑤
𝜕𝑥 +𝜏!!
𝜕𝑤
𝜕𝑧 +𝑆! (2.10)
Definido el comportamiento de un fluido de manera matemática, nos enfrentamos entonces con un problema de gran complejidad, cuya solución depende exclusivamente de las condiciones de frontera que proponga el problema. Como consecuencia, resulta de vital importancia acotar el problema dentro de unos límites físicos conocidos por el calculista, con el fin de definir la mayor cantidad de variables para poder llevar el problema a un estado cerrado (misma cantidad de variables que ecuaciones). Por lo anterior, dado que es plausible considerar el aire como un fluido Newtoniano[3], comenzamos por definir los términos tensoriales de los esfuerzos por medio de la ley de viscosidad de Newton para flujos compresibles, relacionando así la viscosidad con las variables mencionadas de la siguiente manera:
𝜏!! =2𝜇𝜕𝑢
𝜕𝑥+𝜆𝛻.𝑢 , 𝜏!! =2𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑦+𝜆𝛻.𝑢 , 𝜏!! = 2𝜇 𝜕𝑤
𝜕𝑧 +𝜆∇.𝑢
𝜏!" =𝜏!" =𝜇 𝜕𝑢
𝜕𝑦+
𝜕𝑣
𝜕𝑥 , 𝜏!" = 𝜏!" = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑧+
𝜕𝑤
𝜕𝑥 , 𝜏!"= 𝜏!" = 𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑧+
𝜕𝑤 𝜕𝑦
donde 𝜆 ≈ −!
!𝜇 (este término hace referencia a la viscosidad volumétrica del fluido).
(2.11)
Introduciendo estos términos en las ecuaciones 2.7 a 2.9, obtenemos las famosas ecuaciones de Navier-Stokes, protagonistas en la solución del problema acústico en cuestión. En ese orden de ideas, llevando a cabo la sustitución mencionada y organizando los términos de la manera adecuada, generamos las expresiones que gobiernan el flujo de un fluido Newtoniano compresible:
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝜕𝜌
𝜕𝑡 +𝛻. 𝜌𝒖 = 0 (2.6)
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜−𝑥: 𝜕 𝜌𝑢
𝜕𝑡 +𝛻. 𝜌𝑢𝒖 = − 𝜕𝑝
𝜕𝑥+𝛻. 𝜇𝛻𝑢 + 𝑆!! (2.7)
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜−𝑦: 𝜕 𝜌𝑣
𝜕𝑡 +𝛻. 𝜌𝑣𝒖 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑦+𝛻. 𝜇𝛻𝑣 + 𝑆!! (2.8)
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜−𝑧∶ 𝜕 𝜕𝑡𝜌𝑤 +𝛻. 𝜌𝑤𝒖 = −𝜕𝑝𝜕𝑧+𝛻. 𝜇𝛻𝑤 + 𝑆!! (2.9)
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎: 𝜕 𝜌𝑖
𝜕𝑡 +𝛻. 𝜌𝑖𝒖 = −𝑝 𝛻.𝒖+𝛻. 𝑘𝛻𝑇 + Φ+𝑆!! (2.10)
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑔𝑎𝑠𝑒𝑠 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 : 𝑝 =𝜌𝑅𝑇 , 𝑖 =𝐶!𝑇 (2.11)
Dada la compresibilidad de los gases a altas velocidades, es necesario considerar las ecuaciones de estado (2.11), ya que estas serán la manera de relacionar la ecuación de energía (2.10) con las expresiones de momento y masa. Este vínculo se genera por la variación existente en la densidad del fluido como resultado de los cambios de presión y temperatura dentro del volumen de control.
2.2 Navier-Stokes y la Ecuación de Onda
Para el análisis lineal del fenómeno acústico se suele derivar una ecuación de onda a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes, la cual asemeja el comportamiento físico de dicho suceso con ciertas suposiciones que se detallarán a continuación [24].
Se comienza por determinar un factor de equilibrio referido como la condensación del medio, el cual se expresa de la siguiente manera:
𝑠= 𝜌−𝜌!
𝜌! (2.12)
Esta expresión mide la proporción en la cual se perturba la densidad de equilibrio “Po” por efectos de las compresiones y la rarefacción del medio.
Reemplazando la ecuación (2.12) en la ecuación de continuidad (2.6), obtenemos la siguiente expresión:
𝜕 𝜌! 𝑠+1
En ese orden de ideas, considerando que la densidad del medio no varía y que el valor de la relación de condensación es mucho menor a la unidad, la expresión anterior se reduce a:
𝜕𝑠
𝜕𝑡+𝛻.𝑢 =0 (2.14)
Por otro lado, introducimos la ecuación general de Navier-Stokes para un fluido compresible:
𝜌 𝜕𝑢
𝜕𝑡 + 𝑢.𝛻 𝑢 +𝛻𝑝−
4
3𝜇+𝜇! 𝛻 𝛻.𝑢 +𝜇𝛻 × 𝛻 × 𝑢 = 𝑓 (2.15)
Dado que estamos solucionando para un caso lineal, la derivada de “u” con respecto al tiempo es mucho mayor que el producto de su gradiente por sí misma, razón por la cual podemos simplificar el primer término de la ecuación superior a sólo la derivada de “u”. Así mismo, despreciamos las fuerzas de cuerpo y, dado que las vorticidades que se forman en la difusión de una onda sonora son extremadamente pequeñas, el término del producto cruz también se puede aproximar a cero.
Por otro lado, reestructurando la expresión de la presión acústica, considerada como la suma entre la presión de equilibrio y la presión ambiental, y la ecuación de condensación en otros términos, llegamos a las siguientes expresiones para estas variables:
𝑝= 𝑐!!𝜌
!+𝑐!!𝜌!𝑠 (2.16)
𝑠 = 𝑝!
𝑐!!𝜌
! (2.17)
Finalmente, considerando que la relación entre la densidad y su desfase es cercana a uno, podemos reorganizar las ecuaciones (2.14-2.17) para generar la ecuación de onda:
1+𝜕𝜏!
𝜕𝑡 𝛻!𝑝! =
1 𝑐!!
𝜕!𝑝
!
𝜕𝑡! (2.18)
donde
𝜏! = 1
𝑐!!
4
3𝜈+𝜈!
En el evento de que se considere el término viscoso cercano a cero, la ecuación superior pasa a ser:
𝛻!𝑝
! =
1
𝑐!!
𝜕!𝑝
!
𝜕𝑡! (2.19)
En el estudio de la acústica es común aproximarse a la solución por medio de la expresión (2.19); sin embargo, este no será el caso en el presente documento, ya que no se van a dar las suposiciones hechas anteriormente para llegar la ecuación de onda.
2.2 Volúmenes Finitos
Para el estudio de cualquier problema físico es fundamental determinar el sistema de coordenadas a utilizar y acotar el espacio físico que se va a considerar. En ese orden de ideas, los siguientes principios se desarrollarán exclusivamente en coordenadas cartesianas para un sistema en 2D, ya que este es el dominio que se utilizará en las simulaciones; sin embargo, cabe destacar que la teoría se puede extender a todo tipo de coordenadas y dimensiones espaciales.
Partiendo de las ecuaciones que gobiernan la dinámica de fluidos (2.6-2.11), podemos expresar de manera general las mismas utilizando una variable general (ϕ) la cual representa las propiedades alrededor de las cuales se forman las leyes de conservación de la física. De esta manera se nos presenta la ecuación de transporte, la cual será discretizada en volúmenes finitos para su solución computacional:
𝜕 𝜌𝑢
𝜕𝑡 +𝛻. 𝜌𝜙𝒖 = 𝛻. 𝛤𝛻𝜙 + 𝑆! (2.20)
(Si igualamos la propiedad general conservativa (ϕ) a 1, u, v, w e i, obtenemos las ecuaciones de conservación).
La ecuación anterior expone que la suma entre la tasa de incremento de la propiedad ϕ y el flujo neto de la misma hacia fuera del elemento diferencial (término convectivo), es igual a la suma de la tasa de incremento de la propiedad ϕ debido a los fenómenos difusivos, más la rata de incremento de la misma debido a efectos externos.
Con lo anterior, debido a que se quiere solucionar la ecuación (2.20) para cada elemento con respecto al tiempo (flujo en estado transiente), se debe integrar la expresión mencionada en el espacio y tiempo definido. Para esto, primero consideremos la siguiente igualdad de integrales:
𝜕 𝜌𝜙
𝜕𝑡 𝑑𝑉
!"
+ 𝛻. 𝜌𝜙𝒖 𝑑𝑉
!"
= 𝛻. 𝛤𝛻𝜙 𝑑𝑉 !"
+ 𝑆!𝑑𝑉
!"
(2.21)
Utilizando el teorema de divergencia de Gauss, reformulamos las integrales del término convectivo y difusivo en términos de la superficie del elemento diferencial:
𝛻.( !"
𝒂)𝑑𝑉 = 𝒏.𝒂 𝑑𝐴
!
(2.22)
sustituyendo (2.22 en 2.21):
𝜕
𝜕𝑡 𝜌𝜙𝑑𝑉
!"
+ 𝒏. 𝜌𝜙𝒖 𝑑𝐴
!
= 𝒏. 𝛤𝛻𝜙 𝑑𝐴
!
+ 𝑆!𝑑𝑉 !"
(2.23)
Finalmente, consideramos el cambio en el tiempo integrando dentro de un lapso finito:
𝜕 𝜕𝑡
∆!
𝜌𝜙𝑑𝑉 !"
𝑑𝑡+ 𝒏 . 𝜌𝜙𝒖 𝑑𝐴𝑑𝑡 !
∆!
= 𝒏 . 𝛤𝛻𝜙 𝑑𝐴𝑑𝑡+ 𝑆!𝑑𝑉𝑑𝑡
!"
∆! !
∆!
(2.24)
2.2.1 Discretización
Solucionar la expresión (2.24) en cada uno de los elementos diferenciales es sinónimo de resolver el problema en cuestión. Para llevar a cabo lo anterior, es primero necesario discretizar la ecuación de transporte (2.24) en una serie de relaciones aritméticas que, con base a la información de los elementos vecinos, se vaya despejando el valor correspondiente del volumen de control central. En ese orden de ideas, con el fin de garantizar un método que no sólo converja, sino que también de una solución coherente con su contraparte analítica, se deben destacar tres propiedades fundamentales de los métodos de discretización:
Conservación:
Esta propiedad se asemeja a la ley de la continuidad, ya que establece que el flujo de la propiedad general ϕ hacía afuera de un elemento diferencial, debe ser igual al flujo de entrada de esa misma propiedad en el volumen de control adyacente por la misma frontera. En ese orden de ideas, para asegurar el cumplimento de este estatuto, la manera en la que se lleva a cabo la discretización de los elementos diferenciales debe ser congruente entre volúmenes vecinos, ya que de no ser así, no es posible asegurar la continuidad de la propiedad general.
Fronterización:
Los métodos numéricos son en esencia de carácter iterativo y se utilizan para solucionar un sistema de ecuaciones de gran magnitud y complejidad; por ende, para asegurar que la solución converja, es necesario que la siguiente condición se cumpla en los nodos:
∑𝑎!" 𝑎!!
<≤1 𝑒𝑛 𝑎𝑙 1 𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑑𝑜 (2.25)
donde:
• anb = coeficientes de nodos vecinos
• a’p = coeficiente neto del nodo central [ap-Sp]
La ecuación superior, refleja una relación entre el nodo central (ap) y la sumatoria de los nodos vecinos (anb). En ese orden de ideas, si la condición superior se cumple la matriz de coeficientes resultantes será diagonalmente dominante, una característica que beneficia la convergencia de la solución. Por ejemplo, si se utiliza un método de Gauss-Seidel para factorizar una matriz, la solución siempre va a converger, sí y sólo sí, la matriz es diagonalmente dominante. Finalmente, la propiedad de fronterización también requiere que el signo de los términos manipulados siempre sea el mismo.
Transporte:
Esta última propiedad se basa en el número de Peclet:
𝑃! = 𝐹
𝐷 =
𝜌𝑢
𝛤
𝛿𝑥
(2.26)
Volviendo a la ecuación general de transporte (2.24), vemos que esta tiene cuatro términos, de los cuales dos hacen referencia al comportamiento convectivo y difusivo del flujo. El número de Peclet, es justamente un parámetro adimensional que mide la
proporción en la cual el flujo es dominante convectivo (Pe => ∞) o dominante difusivo
(Pe => 0).
Para el entendimiento de esta propiedad consideremos un espacio lineal con tres puntos (A, B, C) separados entre sí de manera equitativa comenzando con el punto A (es decir, B es el punto central). Ahora bien, si el número de Peclet se aproxima a cero, el flujo es de carácter difusivo, lo que sugiere que las propiedades del mismo en el nodo central B, serán influenciadas por su interacción con los nodos vecinos A y C. En el otro extremo, si tenemos un flujo completamente convectivo, las propiedades de los nodos serán equivalentes a las de su nodo aguas arriba, es decir, para el caso concreto, B se aproximará a A y puede despreciar los valores de C.
2.2.1.1 Discretización del tiempo
Teniendo en cuenta las anteriores propiedades para la discretización de las ecuaciones a solucionar, pasemos entonces a examinar la manera en la que se va a llevar a cabo dicho proceso. En primer lugar, dado que el problema en cuestión es de carácter transiente, se
debe considerar la manera de expresar la integral en el tiempo como una expresión aritmética sencilla. Para hacerlo, se utilizan tres métodos distintos, cuyas diferencias yacen en la manera en la que manipulan la variable general ϕ en el tiempo. Estos son:
• Método explícito
La ecuación discreta en el tiempo toma los valores de la iteración anterior para calcular los siguientes en un tiempo t+1. Este esquema de solución esta basado en un método de diferenciación que genera resultados de precisión de primer orden.
• Método de Crank-Nicolson
Se consideran dentro de la ecuación discreta valores en el tiempo t/2, lo que hace coexistan las soluciones en el tiempo t y t+1. Por ende, para solucionar este tipo de análisis numérico es necesario solucionar las ecuaciones para ambos tiempos simultáneamente, razón por la cual se dan resultados de precisión de segundo orden.
• Método implícito
Este método es el que se va a utilizar para continuar con la discretización de nuestro problema por su robustez y estabilidad. El método implícito se basa en solucionar la ecuación discreta en un tiempo t+1, y utilizar esos resultados para repetir el proceso avanzando un Δt definido para cada iteración. Por lo tanto, en cada iteración se deben solucionar un sistema de ecuaciones; sin embargo, los coeficientes siempre serán positivos, garantizando que se cumpla la segunda propiedad de fronterización.
2.2.1.2 Discretización y Diferenciación de la Ecuación General de Transporte
Definido el trato del término independiente, pasamos a discretizar los términos de las integrales de volumen y superficie que componen la ecuación general de transporte en el esquema implícito mencionado anteriormente. En ese orden de ideas, cabe destacar que existen una gran variedad de maneras de llevar a cabo lo anterior, donde cada una expone una aproximación que trae sus ventajas y desventajas en el momento de solucionarlas. Entre estas están:
• Esquema de diferenciación central
• Esquema de diferenciación “upwind”.
• Esquema de diferenciación híbrido (utiliza diferenciación central y “upwind”
según el número de Peclet)
• Esquema de la ley de poderes
• Esquemas de diferenciación de alto orden
Para este estudio se utilizó el esquema de diferenciación upwind de segundo orden, razón por la cual entraremos en detalle sobre el mismo; sin embargo, cabe destacar que por motivos de simplicidad y entendimiento, el procedimiento a exponer es del esquema upwind de primer orden en una malla estructurada[Ilustración 3]. Este método es mucho más preciso que el esquema de diferenciación central, ya que considera dentro de su análisis la dirección del flujo, con el fin de determinar el peso que se le debe dar al valor
de la propiedad general ϕ que se recibe de los nodos vecinos[3]. Continuemos entonces con el desarrollo de la discretización:
Ilustración 3. Malla estructurada para el Método de Volúmenes Finitos [3]
Partiendo de la ecuación general de transporte, podemos integrar la misma sobre un volumen de control (Ilustración 3) para generar una ecuación discreta en el punto central P:
𝑑
𝑑𝑥 𝜌𝑢𝜙 − 𝑑 𝑑𝑥 𝛤
𝑑𝜙
𝑑𝑥 −𝑆∆𝑉 =0 (2.27)
𝑑
𝑑𝑦 𝜌𝑢𝜙 −
𝑑 𝑑𝑦 𝛤
𝑑𝜙
𝑑𝑦 −𝑆∆𝑉 = 0 (2.28)
Por otro lado, podemos llevar a cabo una aproximación lineal sobre el flujo de la propiedad ϕ para cada una de las caras contrarias (e contra w y s contra n), evaluando los términos difusivos y convectivos como:
𝜌𝑢𝐴𝜙 !− 𝜌𝑢𝐴𝜙 ! = 𝛤𝐴𝑑𝜙
𝑑𝑥 !− 𝛤𝐴
𝑑𝜙
𝑑𝑥 ! (2.29)
donde
𝛤𝐴𝑑𝜙𝑑𝑥
! =𝛤!𝐴!
𝜙! −𝜙!
𝛿𝑥!" (2.30)
𝛤𝐴𝑑𝜙
𝑑𝑥 ! =𝛤!𝐴!
𝜙! −𝜙!
𝛿𝑥!" (2.31)
𝑆∆𝑉 =𝑆!+𝑆!𝜙! (2.32)
En ese orden de ideas, para que se cumpla la ley de continuidad, el término convectivo debe ser igual a cero:
𝜌𝑢𝐴𝜙 !− 𝜌𝑢𝐴𝜙 ! = 0 (2.33)
Dado que las áreas son iguales para ambas partes, se factoriza este término y se anula.
Luego, agrupando variables de una manera conveniente:
𝐹 =𝜌𝑢 , 𝐷 = 𝛤 𝛿𝑥
Por lo tanto
𝐹! = 𝜌𝑢 ! , 𝐹! = 𝜌𝑢 !
𝐷! = 𝛤!
𝛿𝑥!" , 𝐷! = 𝛤!
𝛿𝑥!"
Sustituyendo las ecuaciones (2.30-2.33) en la ecuación (2.27) obtenemos la ecuación discreta de transporte:
(𝐷! +𝐹! + 𝐷!+ 𝐹!−𝐹! ]𝜙! = 𝐷!+𝐹! 𝜙!+𝐷!𝜙!
Finalmente, llevando a cabo el procedimiento anterior para las dos caras restantes (n y s) y diferenciando el resultado dentro del volumen de control (Ilustración 3), obtenemos la siguiente expresión discreta diferenciada:
𝑎!𝜙! =𝑎!𝜙!+ 𝑎!𝜙!+ 𝑎!𝜙!+ 𝑎!𝜙!+𝑎!!𝜙
!!+𝑆! (2.34)
donde
𝑎! = 𝑎!+𝑎!+𝑎!+𝑎!+𝑎!! +∆𝐹−𝑆 !
considerando que
𝑎!! = 𝜌!!∆𝑉
∆𝑡 , 𝑆∆𝑉= 𝑆!+𝑆!𝜙!
𝑎! 𝑎! 𝑎! 𝑎! ∆𝐹
𝐷!+max (𝐹!,0) 𝐷!+max (0,−𝐹!) 𝐷!+max (0,−𝐹!) 𝐷!+max (𝐹!,0) 𝐹!−𝐹!+𝐹!−𝐹! Tabla 1. Coeficientes de la ecuación discreta
2.2.2 Algoritmo PISO
El algoritmo de solución PISO (Pressure Implicit with Splitting of Operators) es originalmente un método computacional no iterativo para solucionar las ecuaciones discretas de la malla por medio del cálculo de la presión y la velocidad de los elementos. Cabe destacar, que este hace parte de un grupo de algoritmos que se utilizan comúnmente para la solución de volúmenes finitos entre los cuales se destacan: SIMPLE, SIMPLEC y el SIMPLER. El algoritmo PISO consta de 6 pasos importantes que se demuestran a continuación de manera secuencial:
La secuencia observada en la figura (Ilustración 4) corresponde a una iteración dentro del campo de la solución, lo que nos lleva a definir las ecuaciones mencionadas en la ciclo del proceso computacional. Comencemos primero definiendo el volumen discreto como se observa en la figura(Ilustración 5):
Ilustración 5. Volumen de Control [3]
A partir de la división del domino superior, se formulan una serie de ecuaciones discretas las cuales se resuelven mediante el uso de las expresiones derivadas anteriormente para el volumen de control (Ilustración 5). Es decir, los términos definidos por medio de la diferenciación upwind se relacionan con los de las ecuaciones en cuestión, y así se determinan los valores de las variables del flujo. De la secuencia presentada para el algoritmo PISO se deben utilizar las siguientes expresiones para la elaboración de los primeros tres pasos:
Ecuaciones discretas de momento:
𝑎!𝑢!,!∗ = ∑𝑎
!"𝑢!"∗ + 𝑝!∗!!,!−𝑝!,!∗ 𝐴!,!+𝑏!,! (2.35)
𝑎!,!𝑣!,!∗ =∑𝑎
!"𝑣!"∗ + 𝑝!,∗!!!−𝑝!,!∗ 𝐴!,!+𝑏!,! (2.36)
Ecuación de corrección para la presión:
𝑎!,!𝑝!!,! =𝑎
!!!,!𝑝!!!,! !+𝑎!!!,!𝑝!!!,!+𝑎!,!!!𝑝!,!! !!+𝑎!,!!!𝑝!,!!!+𝑏!!,! (2.37)
Velocidades y Presiones corregidas:
𝑝!,! = 𝑝!∗,!+𝑝
!,!! (2.38)
𝑢!,! =𝑢!,!∗ + 𝑑
𝑣!,! = 𝑣!,∗!+𝑑
!,! 𝑝!,!! !!−𝑝!!,! (2.40)
2.3 Lattice Boltzmann
El método de Lattice Boltzmann (LB) se genera como una solución al problema de ruido inherente a la condición booleana en la cual se basa el método para la solución de gases LGA (Lattice Gas Automata). Este sistema de análisis se basa en una matriz cartesiana donde los nodos de la misma tiene asociados una serie de variables. Entre estas se encuentran la densidad de la partícula, la cual está viajando desde un inicial hacía otro en una dirección (ci) y tiempo (t) determinado, tal como se muestra en la siguiente
ilustración:
Ilustración 6. Diagrama esquemático de un partícula y su distribución en el espacio [24]
A cada partícula en un dominio en 2D se le asignan 9 posibles direcciones con sus respectivas velocidades dándole el nombre característico de D2Q9 a esta configuración. En ese orden de ideas, las propiedades macroscópicas del gas se calculan como la sumatoria de las propiedades individuales de cada nodo:
Para la densidad ρ, y la velocidad u se tienen las siguientes ecuaciones,
𝜌 𝑥,𝑡 =∑𝑓! 𝑥,𝑡 (2.41)
𝜌 𝑥,𝑡 𝑢 𝑥,𝑡 =∑𝑐!𝑓! 𝑥,𝑡 (2.42)
donde:
• fi(x,t) = función de probabilidad de las propiedades de las partículas
• ci = velocidad de la partícula en unidades de lattice Boltzmann
Donde la función “f” hace referencia a la distribución probabilística de las variables asociadas con el nodo en cuestión. Así mismo se trata la propagación y las colisiones entre las partículas, relacionando la función mencionada con un factor de relajación que depende de la viscosidad cinemática del flujo:
𝑓! 𝑥+𝑐!,𝑡+1 = 1−1
𝜏 𝑓! 𝑥,𝑡 +
1
𝜈= 𝑐!! 𝜏−1
2 (2.44)
Donde cs es la velocidad del sonido en el fluido (1/√3) en las unidades escaladas al
domino de solución). Sobre lo anterior, cabe destacar que el método se vuelve inestable cuando el valor del factor de relajación (τ) se aproxima a 0.5, ya que la viscosidad tendería a cero.
La distribución de equilibrio de las partículas para cada nodo se aproxima mediante las variables de entrada de velocidad y densidad por medio de la siguiente ecuación:
𝑓!! =𝜌𝑡
! 1+ 𝑢𝑐!
𝑐!! + 𝑢𝑐! !
2𝑐!! − 𝑢!
2𝑐!! (2.45)
Donde ti se destaca como un factor de escala el cual toma los siguientes valores
dependiendo del vector de velocidad correspondiente:
𝑡! = 0.111, 20.444, 𝑖≤𝑖 =≤04
0.0278, 5≤𝑖 ≤8 (2.46)
El algoritmo en el cual se basa la solución del método consta de 4 partes:
1. Equilibrio: se calculan los valores de equilibrio para la velocidad y la densidad del fluido en cada nodo utilizando la ecuación (2.45).
2. Colisión: Utilizando la ecuación (2.43) se calcula la distribución de las partículas
en el tiempo t+1.
3. Flujo: Se propagan las condiciones obtenidas de la colisión en el sentido t+1,x+1
para generar la nueva distribución de las partículas
4. Propiedades: De los valores obtenidos tras solucionar la ecuación (2.43) se vuelven a calcular las variables ρ y u completando el ciclo del algoritmo de iteración.
3. Simulaciones
Hasta ahora sólo hemos discutido sobre la teoría detrás del comportamiento de los fluidos y los métodos numéricos que se utilizan para simularlos. Por consiguiente, se van a llevar a cabo una serie de simulaciones utilizando ambos métodos numéricos (Lattize Boltzmann y Volúmenes Finitos) con el fin de determinar su aplicabilidad al problema en cuestión. Luego, en base a los resultados de las simulaciones primarias, se continúa el estudio de la efectividad de los arreglos sónicos por medio del método de volúmenes finitos solamente.
3.1 Lattice Boltzmann
Las primeras aproximaciones computacionales se hicieron utilizando el método de Lattice Boltzmann. Para esto, se programó el domino en el lenguaje computacional de C++con la ayuda de la librería de Palabos. Esta se ofrece como una compilación de algoritmos diseñados para llevar a acabo simulaciones específicamente en base al método de Lattice Boltzmann, donde se encuentran códigos desarrollados para generar el dominio, las condiciones de frontera, las propiedades del fluido, y la iteración del flujo entre otros.
Este método, según la literatura [25] muestra grandes capacidades para modelar problemas aero-acústicos, superando, en términos de su dispersión y peso computacional, su contraparte en los métodos de solución numérica utilizados comúnmente para la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes; sin embargo, para resolver el problema en cuestión el método de Lattice Boltzmann no fue concluyente, ya que las condiciones de frontera no fueron adaptables al dominio creado. Es decir, las condiciones de borde son formulaciones de primer orden[24], por ende, cuando se impone una condición de cero gradiente de presión para todas las direcciones, se alcanzan a formar unas reflexiones artificiales que deterioran la precisión de la simulación. Lo anterior se ve reflejado en la siguiente figura:
Ilustración 7. Simulación en Palabos
En la figura anterior vemos dos ondas incidiendo en el arreglo cristalino. La primera y más disipada es la onda en estudio, mientras la segunda es causa de una reflexión indeseada en el borde lo que altera la precisión de la solución final.
3.2 Volúmenes Finitos
Concluida la parte del estudio con referencia a Lattice Boltzmann, pasemos a examinar la manera en la que se elaboraron las simulaciones del fluido utilizando el método de volúmenes finitos. Para lo anterior se usó la interface de manejo de fluidos de Ansys conocido como Fluent, donde se encuentran la gran mayoría de los métodos de diferenciación y los algoritmos de solución mencionados anteriormente.
En es orden de ideas, comencemos por detallar la manera en la que se discretizó el domino:
3.2.1. Enmallado
El enmallado es la manera en la que se discretiza el espacio en volúmenes finitos, como consecuencia, es fundamental elaborar este proceso de la manera más detallada posible con el fin de mejorar la exactitud y precisión de la simulación. Es plausible decir, como una nota aparte, que si fuera posible discretizar el espacio en infinitos elementos, la aproximación numérica sería casi perfecta con respecto a los resultados teóricos. Por lo anterior, se debe intentar llevar a cabo un proceso de enmallado en el cual se tenga una cantidad de elementos tal que la solución sea convergente y coherente, pero a su vez no se de un costo computacional demasiado elevado. En ese orden de ideas, la malla se
determina con respecto al tamaño y la complejidad del domino, donde se pueden hacer dos tipo característicos de mallas para cubrir el volumen de control general.
La primera y más sencilla se basa en discretizar el domino en una estructura cartesiana, razón por la cual se le denomina malla estructurada (Ilustración 8). Fue en base a este tipo de enmallado que se llevó a cabo la discretizción de la ecuación de transporte (2.21) detallada anteriormente; sin embargo, cabe destacar que la malla utilizada en las simulaciones no es de esta índole, ya que la misma presenta imperfecciones en la manera de adaptarse a geometrías complejas. En la ilustración 9 se observa como la malla aproxima las fronteras de medio cilindro en una forma escalonada. La geometría de esta frontera no sólo presenta un peso computacional más alto, sino que además causa imperfecciones en la medición de los esfuerzos cortantes, la dirección de flujo y la velocidad entre otros.
Ilustración 9. Aproximación de una malla estructurada a la frontera de medio cilindro [3]
De acuerdo a lo primero, la malla utilizada para la simulación del dominio en cuestión fue una no estructurada (Ilustración 10). Esta recibe su nombre dado que no sigue ningún patrón coordenado, razón por la cual tiene la capacidad de formar volúmenes de control de cualquier geometría. En ese orden de ideas, al no tener una forma definida, las mallas no estructuradas son óptimas para la aproximación de geometrías complejas, por lo tanto se utilizan extensamente en este tipo de simulaciones. En el caso concreto se utilizó un malla de elementos triangulares con tres refinamientos en los puntos de frontera entre los cristales y el espacio, tal como se aprecia en la figura(Ilustración 10).
Ilustración 10. Malla no estructurada [3]
Por otro lado, cabe destacar que la manera en la que se discretiza la ecuación de transporte para este esquema cambia con relación a la forma en la que se hace para una malla estructurada; sin embargo, aunque no entraremos en detalle al respecto, es de resaltar que se deben hacer las siguientes consideraciones para la formulación de las expresiones discretas de convección y difusión:
• Se debe ajustar la difusión cruzada por la característica de no-ortogonalidad de la
malla.
• Para evitar resultados de difusiones artificiales, se deben utilizar esquemas de alto orden (upwind de segundo orden o TVD).
3.2.2. Casos Simulados
Teniendo en cuenta la teoría expuesta anteriormente sobre los cristales sónicos y la aplicabilidad de las simulaciones, se resolvió estudiar dos tipos de configuraciones (triangular(Ilustración 12) y rectangular(Ilustración 11)) cuyas dimensiones se asemejan a las de una cortina verde [Tabla 2][26]:
Ilustración 12. Domino Triangular en Ansys Fluent
Arreglo a[m] p[m] Radio [m] Factor de
relleno Frecuencia de
Bragg[Hz]
Triangular 0.7 0.6 0.25 0.47 283
Rectangular 0.7 0.6 0.25 0.47 283
Tabla 2. Dimensiones Características de los Cristales Sónicos
Con el fin de comparar la eficiencia del arreglo y del método numérico a al vez, se mantuvo el factor de relleno y la frecuencia de Bragg constante para ambos arreglos. Por lo tanto, como se puede apreciar en la Tabla 2, las dimensiones características de los arreglos son iguales.
Por otro lado, y no menos importante, tenemos las condiciones de frontera del domino:
Color Condición de Frontera
Azul Entrada (Perfil de flujo másico)
Blanco Pared (No deslizamiento)
Rojo Salida de Presión (Gradientes = 0)
Tabla 3. Condiciones de Frontera para los dominios en Ansys Fluent
Entrada:
La fuente de la onda a analizar se impone a la entrada como un pulso de flujo másico de carácter sinusoidal de medio periodo. Luego, se analiza la dispersión de la onda por
medio de los sensores ubicados a lo largo del dominio, donde se escogen sólo los datos que no contengan las reflexiones causadas por las fronteras y los obstáculos dispersores de sonido. Según la literatura [19] este análisis es útil y coherente para caracterizar el comportamiento acústico de un objeto, donde se evita simular el arreglo para cada una de las frecuencias de interés, ya que el carácter harmónico de la fuente hace que la onda se desarrolle de tal manera que se propaguen diferentes frecuencias. En ese orden de ideas, la señal trata de asemejar una fuente de ruido blanco para así analizar la efectividad de los cristales sónicos en un amplio espectro frecuencial.
(Detalles de la formulación y escritura del perfil de entrada se encuentran en el apéndice del presente documento.)
Pared:
Las paredes se inician con una condición de no deslizamiento en su punto de contacto con el fluido. Estas cumplen con el propósito de direccionar la onda hacía los cristales sónicos, y además dan un espacio para que el pulso de entrada se desarrolle correctamente.
Salidas de Presión:
Con el fin de disminuir en lo posible las reflexiones que se dan cuando interactúa la onda con los fronteras del domino, se impone una condición de presión en los bordes donde la presión manométrica de estos puntos es igual a cero, y los gradientes de presión de la onda en todas las direcciones se anulan al incidir con el mismo.
Finalmente, teniendo en cuenta lo anterior, se lleva a cabo una simulación para cada arreglo con los siguientes parámetros iterativos:
• Time Step: 1e-06
• Number of Time Steps: 40000
4. Resultados
Al finalizar las simulaciones para ambos arreglos, se exportan los datos obtenidos por los sensores de presión estática para poder analizar la onda y su comportamiento en el tiempo. A continuación, veremos los resultados de los dos primeros sensores, los cuáles arrojan, por obvias razones, el mismo resultado para ambos tipos de cristales sónicos:
Figura 2.
Siguiendo el método de estudio mencionado para analizar sistemas por medio de pulsos acústicos[19], se toman los datos de la onda en el tiempo hasta que se comienza a ver un cambio en el patrón de entrada, ya que esto sugiere el comienzo de una reflexión. En ese orden de ideas, a partir del segundo 0.024 para ambos puntos de entrada, se aproximan los datos a cero, generando la siguiente gráfica en el tiempo:
Figura 4.
Por otro lado, se lleva a cabo el mismo procedimiento para la señal de salida de ambos arreglos, produciendo los siguientes resultados:
Figura 5.
Obtenidas las señales filtradas en el tiempo para el punto incidente y el punto de salida, se utiliza la ecuación inferior para ajustar los datos de presión estática, a presión sonora.
𝐿! =20∗𝐿𝑜𝑔 𝑝
𝑝!"# (4.1)
Donde:
• Lp = Presión de Sonido [dB]
• p = presión estática [Pa]
• pref = presión de referencia [2e-5 Pa]
Finalmente, con el fin de poder apreciar el espectro de frecuencias en el cual se desarrolla la señal de ruido, se aplica una transformada rápida de Fourier (FFT) a los mismos datos, resultando en lo siguiente:
Figura 8.
4.1 Análisis de Resultados
Primero, antes de entrar en el detalle sobre análisis de los resultados obtenidos por la simulaciones, repasemos la ley de Bragg y su importancia en esta actividad. En ese orden de ideas, utilizando las características de los arreglos cristalinos resumidos en la Tabla 2, obtenemos la frecuencia de Bragg como 283 HZ para ambos arreglos. (Esta sale de introducir el valor de la longitud de onda obtenida como resultado de la ecuación 2.4 en la ecuación 2.3, asumiendo que el ángulo de incidencia de la onda en el arreglo es de 90º). Con lo anterior en mente, pasemos entonces al análisis de los resultados.
Los puntos a destacar de las gráficas anteriores (Figura 7. y Figura 8.) son aquellos donde la señal atenuada tenga picos de concavidad positiva, ya que es en estos espacios donde la onda va a experimentar la mayor cantidad de interferencia destructiva. En ese orden de ideas, para el arreglo rectangular, el punto que tiene las características mencionadas es el que corresponde a una frecuencia de 290 Hz, cosa que era de esperar ya que la frecuencia de Bragg para el arreglo es de 283 Hz. Por ende, con un error relativo del 2.5%, la simulación prueba ser coherente con la teoría de cristales y la experimentación de la cortina verde llevada a cabo en la referencia [26].
Por otro lado tenemos el arreglo triangular. Considerando las mismas condiciones anteriores, los puntos de interés de la Figura 8. se distinguen en dos frecuencias, 230Hz y 450 Hz. Ahora bien, recordando que la teoría sobre arreglos cristalinos sugiere que la interferencia destructiva se da en lo múltiplos de la frecuencia de Bragg, se tiene que los errores relativos con respecto a las frecuencias teóricas de 283 Hz y de 566 Hz son del 18.7% y del 20.5% para las frecuencias de 230 Hz y 450 Hz, respectivamente; sin embargo, es plausible decir que esta simulación, aunque tiene más error asociado, también cumple con el comportamiento sugerido por el análisis teórico del arreglo cristalino ya que, sí se toman de manera independiente los resultados de la simulación, se tiene que la segunda frecuencia de mayor interferencia destructiva, 450Hz, es un valor cercano al múltiplo de la primera (230 x 2 = 460Hz). En ese orden de ideas, la simulación cumple con un error relativo del 2.2% la conducta esperada del arreglo. Como consecuencia de lo anterior, es de destacar que el error asociado a los resultados se dieron por motivos externos al método numérico utilizado, siendo este, posiblemente, un tema de la formulación teórica del factor de relleno, debido a que, como se menciona en la sección correspondiente a la ley de Bragg, este es una aproximación para el arreglo triangular. Es decir, el método numérico utilizado probó ser coherente en el primer arreglo (rectangular), lo que significa que este está bien formulado con respecto a la teoría de los cristales sónicos y la dispersión de una onda de sonido. Por lo anterior, al resultar con la discrepancia mencionada para el arreglo triangular, se asocia el error encontrado a una falla en la formulación de la frecuencia de Bragg, la cual se pudo haber dado por la aproximación que se la da a su factor de relleno. Por otro lado, la simulación demostró un patrón de interferencia característico de la ley de Bragg y los cristales sónicos, cosa que también acierta con la verosimilitud del método numérico.
5. Conclusiones
Los arreglos cristalinos prueban ser barreras eficientes para el control del ruido; sin embargo, cabe destacar que su funcionamiento va de acuerdo a determinadas frecuencias tal como lo sugiere la ley de Bragg. Por este motivo, los cristales sónicos seguramente no se destacan frente a otras soluciones como el método óptimo para la atenuación de ruido blanco, sino que se proponen como una alternativa ante un ambiente con unas frecuencias determinadas, convirtiéndolos en estructuras con características de filtraje apreciables para atacar ruidos específicos. En los resultados anteriores (Figura 7 y Figura 8), se puede ver con facilidad como se llega a disminuir los decibeles de ruido hasta puntos tolerables e inofensivos para la salud, lo que promueve futuras investigaciones sobre el tema en cuestión.
Por otro lado, en referencia a los métodos numéricos, es de destacar una vez más la complejidad que se presentó ante la formulación de las condiciones de borde por parte del método de Lattice Boltzmann. Este método, aunque tiene cualidades destacables para el modelamiento de problemas aéreo-acústicos [19], no fue el indicado para el estudio en cuestión debido a la manera en la que desarrolla las fronteras del domino, siendo estas ecuaciones de primer orden. Por lo anterior, la interacción de la onda de sonido con los límites del dominio producían una especie de reflexiones artificiales que alteraban la precisión y la calidad de los resultados.
En ese orden de ideas, pasando al método de los volúmenes finitos como herramienta matemática para el desarrollo de la simulación, observamos resultados coherentes con la teoría existente sobre los cristales sónicos y la dispersión de una onda sonora. Este hallazgo demuestra la flexibilidad y la precisión a la cual se puede llegar por medio de este procedimiento matemático, destacándolo como un posible camino para continuar profundizando en tema. Finalmente, cabe destacar que ambos métodos numéricos solucionan las ecuaciones de Navier-Stokes, lo que los hace viables para el estudio de fluidos.
6.
Recomendaciones y Trabajos Futuros
• Cambiar el método de diferenciación por uno de carácter híbrido, ya que de esta
manera, la diferenciación asume en su formulación el cambio del número de Peclet a lo largo del dominio. Es decir, mientras el método de diferenciación utilizado asume el número adimensional mencionado dominante convectivo, una aproximación híbrida ajusta su procedimiento de diferenciación con respecto al número Peclet y por ende, va de acuerdo al carácter difusivo o convectivo que tenga el fluido en ese instante. De esta manera, la simulación llega a reflejar con mayor precisión y exactitud la realidad física del problema.
• Simular arreglos cristalinos donde se varíen las geometrías de los elementos que
lo componen (i.e. Triangular, Diamante, Cuadrados, etc.)
• Simular arreglos combinados, donde el factor de relleno cambie a lo largo del cristal sónico.
• Simular en 3D.
7.
Apéndices
7.1 Código Perfil Másico [Código elaborado por Asistente Graduado Juan Luis Cepeda]
%Genera el archivo del perfil para la condicion de frontera t=0:1e-6:0.001; %
%f=4000; Frecuencia en Hz T=1/f; %Periodo de la onda
omega=f*2*pi; %Frecuencia angular en rad/s A=0.3; %Amplitud de la onda
Vin=0; %velocidad de estado estacionario
perfil=fopen('perfil_2.txt','w'); %Abrir el archivo de texto
for i=1:length(t)
if t(i)<T/2
v(i)=Vin+A*sin(omega*(t(i))); else
v(i)=Vin; end
end
%escritura del archivo
fprintf(perfil, '((perfil_vel_inlet transient %d 0) \n',length(t)); fprintf(perfil, '(time\n');
fprintf(perfil','%d \n',t); fprintf(perfil, ')\n'); fprintf(perfil, '(u\n'); fprintf(perfil','%d \n',v); fprintf(perfil, '))');
fclose(perfil);
plot(t,v)
xlabel('tiempo [s]') ylabel('vel [m/s]')