Laminado óptimo de materiales compuestos usando recocido simulado

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(1)PROYECTO DE GRADO PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE INGENIERO MEC ÁNICO. LAMINADO ÓPTIMO DE MATERIALES COMPUES TOS US ANDO RECOCIDO S IMULADO. JOS E ADRIAN HOYOS URIBE COD. 200212664. PROFES OR AS ES OR: ALEJANDRO MARAÑÓN Ph.D. UNIVERS IDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MEC ÁNICA BOGOTÁ D.C.-COLOMBIA 2006.

(2) IM -2006-II-16. LAMINADO ÓPTIMO DE MATERIALES COMPUES TOS US ANDO RECOCIDO S IMULADO Jose Adrian Hoyos Uribe. Profesor Asesor: Alejandro Marañón Ph.D. RES UMEN. En este documento, se propone una metodología general para el diseño del laminado óptimo de materiales compuestos usando optimización por Recocido Simulado (RS). Se proponen una viga con apoyos simples y un panel cuadrado empotrado en sus cuatro lados como estudio. Para cada una de estas geometrías, se utiliza el método de optimización formulado para evaluar funciones objetivo de deflexión mínima, resistencia máxima (minimización del criterio de falla de Tsai-Wu), y minimización del número de láminas (minimización del peso) para un laminado seguro considerando como criterio de falla del laminado, la falla en la primera lámina. El material seleccionado para los estudios es un compuesto típico de fibras unidireccionales de carbono en matriz epóxica (A S4/3501-6) y las variables de diseño corresponden a orientaciones de las fibras en ángulos discretos de 0°, ±45° y 90° La evaluación de las funciones objetivo, es realizada mediante análisis por M étodo de Elementos Finitos y. Teoría Clásica de. Laminación. Los resultados obtenidos mediante ambos métodos de evaluación son comparados encontrando resultados muy similares para geometrías relativamente sencillas (viga con apoyos simples) pero para geometrías más complicadas (panel cuadrado) los resultados obtenidos difieren considerablemente.. II.

(3) IM -2006-II-16 TABLA D E CONTENIDO RESUM EN..........................................................................................................................II TABLA DE CONTENIDO................................................................................................III LISTA DE FIGURAS........................................................................................................IV LISTA DE TABLAS ..........................................................................................................V 1.. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................1. 2.. TEORÍA CLÁSICA DE LAM INACIÓN....................................................................4 2.1 CARACTERÍSTICAS ELÁSTICAS DE LOS LAM INADOS.................................4 2.2 FUERZAS Y MOM ENTOS RESULTANTES.........................................................7. 3.. ANÁLISIS POR M ÉTODO DE ELEM ENTOS FINITOS.......................................10. 4.. OPTIMIZACIÓN POR RECOCIDO SIMULADO ..................................................12 4.1 PROCEDIM IENTO DE OPTIMIZACIÓN POR RECOCIDO SIMULADO ........15 4.1.1 CONJUNTO DE CONFIGURACIONES INICIALES........................................15 4.1.2 M ECANISMOS DE GENERACIÓN DE NUEVAS CONFIGURACIONES ....15 4.1.3 ACEPTABILIDAD...............................................................................................17 4.1.3 CURVA DE ENFRIAM IENTO ...........................................................................18 4.1.3.1 VALOR INICIAL DEL PARÁM ETRO DE TEMPERATURA.......................19 4.1.3.2 NUM ERO DE ITERACIONES PARA UNA TEM PERATURA CONSTANTE ........................................................................................................................................19 4.1.3.3 ESQUEM A DE DISM INUCIÓN DEL PARÁM ETRO DE TEM PERATURA ........................................................................................................................................20 4.1.3.4 CRITERIO DE DETENCIÓN...........................................................................21. 5.. RESULTADOS NUM ÉRICOS Y DISCUSIÓN .......................................................26. 5.1 VIGA SIM PLE (GEOM ETRÍA 1)..........................................................................27 5.1.1 M INIM IZACIÓN DE DEFLEXIÓN....................................................................27 5.1.2 M INIM IZACIÓN DEL CRITERIO DE FALLA TSAI-WU ...............................37 5.1.3 M INIM IZACIÓN DEL PESO DEL LAM INADO ..............................................45 5.2 PANEL CUADRADO (GEOM ETRÍA 2)...............................................................46 5.2.1 M INIM IZACIÓN DE DEFLEXIÓN....................................................................47 5.2.2 M INIM IZACIÓN DEL CRITERIO DE FALLA TSAI-WU ...............................51 6. CONCLUSIONES .....................................................................................................55 7.. REFERENCIAS.........................................................................................................57. ANEXO: CATÁLOGO DEL CD-ROM............................................................................59. III.

(4) IM -2006-II-16. LIS TA DE FIGURAS FIGURA 2.1. Sección de laminado antes y después de la deformación..............................5 FIGURA 4.1. Diagrama de Flujo de Recocido Simulado..................................................14 FIGURA 5.1. Viga con apoyos simples (Geometría 1).....................................................27 FIGURA 5.2. Enmallado de la geometría 1.......................................................................28 FIGURA 5.3. Convergencia a la mínima deflexión de la geometría 1 por FEM . Criterio de detención: Número de cambios en el parámetro T ..........................................29 FIGURA 5.4. Convergencia a la mínima deflexión de la geometría 1 por TCL. Criterio de detención: Número de cambios en el parámetro T ..........................................30 FIGURA 5.5. Convergencia a la mínima deflexión de la geometría 1 por FEM . Criterio de detención: Número de iteraciones sin encontrar nuevo mínimo de función ...............................................................................................................................34 FIGURA 5.6. Convergencia a la mínima deflexión de la geometría 1 por TCL. Criterio de detención: Número de iteraciones sin encontrar nuevo mínimo de la función ...............................................................................................................................34 FIGURA 5.7. Convergencia al mínimo índice del criterio de falla de Tsai-Wu para geometría 1 por FEM . Criterio de detención: Número de cambios en el parámetro T ......39 FIGURA 5.8. Convergencia al mínimo índice del criterio de falla de Tsai-Wu para geometría 1 por TCL. Criterio de detención: Número de cambios en el parámetro T.......40 FIGURA 5.9. Convergencia al mínimo índice del criterio de falla de Tsai-Wu para geometría 1 por FEM . Criterio de detención: Número de iteraciones sin encontrar nuevo mínimo en la función...............................................................................................42 FIGURA 5.10. Convergencia al mínimo índice del criterio de falla de Tsai-Wu para geometría 1 por TCL. Criterio de detención: Número de iteraciones sin encontrar nuevo mínimo en la función...............................................................................................43 FIGURA 5.11. Número mínimo de capas para laminado seguro para geometría 1 .........46 FIGURA 5.12. Panel cuadrado empotrado en sus 4 lados (Geometría 2) .........................47 FIGURA 5.13. Enmallado de la geometría 2.....................................................................48 FIGURA 5.14. Convergencia a la mínima deflexión de la geometría 2 por FEM ............49 FIGURA 5.15. Convergencia a la mínima deflexión de la geometría 2 por TCL.............49. IV.

(5) IM -2006-II-16 LIS TA DE TABLAS TABLA 4.1. Analogía del recocido termodinámico y como método de optimización .....13 TABLA 5.1. Propiedades de Lamina Unidireccional Carbono/Epóxica (AS4/3501-6)....27 TABLA 5.2. Resultados de deflexión para geometría 1 por TCL. Criterio de detención: Número de cambios en el parámetro T ..............................................................................32 TABLA 5.3. Resultados de deflexión para geometría 1 por FEM . Criterio de detención: Número de cambios en el parámetro T ..............................................................................33 TABLA 5.4. Resultados de deflexión para geometría 1 por TCL. Criterio de detención: Número de iteraciones sin encontrar nuevo mínimo de la función....................................35 TABLA 5.5. Resultados de deflexión para geometría 1 por FEM . Criterio de detención: Número de iteraciones sin encontrar nuevo mínimo en la función....................................36 TABLA 5.6. Resultados de índice de Tsai-Wu para TCL y FEM en geometría 1. Criterio de detención: Número de cambios en el parámetro T ........................................................41 TABLA 5.7. Resultados de índice de Tsai-Wu para TCL y FEM en geometría 1. Criterio de detención: Número de iteraciones sin encontrar nuevo mínimo en la función .............44 TABLA 5.8. Configuraciones para número de capas mínimas para un laminado seguro sometido a carga W............................................................................................................45 TABLA 5.9. Resultados de Deflexión por TCL y FEM en geometría 2 ..........................50 TABLA 5.10. Resultados de índice de Tsai-Wu para TCL y FEM en geometría 2 ..........54. V.

(6) IM -2006-II-16. 1. INTRODUCCIÓN Un material compuesto es un sistema de materiales que consiste de dos o más constituyentes a escala macroscópica cuyas características y propiedades mecánicas son diseñadas para ser superiores a aquellas que tendrían sus materiales constituyentes actuando de forma independiente. Su importancia en ingeniería reside en que a partir de estas combinaciones de materiales es posible lograr propiedades poco usuales de rigidez, resistencia, peso, rendimiento a altas temperaturas, resistencia a la corrosión y dureza. Este tipo de materiales han sido utilizados en estructuras como componentes de aviones, automóviles y objetos deportivos. Dentro de este tipo de materiales, los compuestos laminados son una de las formas más utilizadas. Estos están formados por dos o más láminas unidireccionales y ortotrópicas apiladas en distintas orientaciones denotadas según el ángulo formado entre la dirección de las fibras y un eje local X fijo. Las láminas que conforman un laminado pueden ser de distintos espesores e incluso estar formadas por distintos materiales. El diseño de estos compuestos laminados se presta para el uso de técnicas de optimización estocásticas, siendo el espesor de las capas y la secuencia de laminación, algunas de las variables que se busca optimizar, obteniendo así distintas características mecánicas entre las que se puede destacar la resistencia y la rigidez. Dentro de las muchas técnicas de optimización disponibles, la optimización por recocido simulado RS, que toma su nombre del fenómeno físico y termodinámico en que la temperatura de un sólido es elevada hasta un estado en donde sus electrones puedan moverse libremente y luego es enfriado lentamente, es un método de diseño apropiado para problemas con variables de diseño discretas tal como lo son las secuencias de apilamiento con orientaciones 0°, ±45° y 90°. La optimización por medio de algoritmos genéticos AG, es otro de los métodos más populares dentro de la optimización estocástica y ha sido ampliamente usado para resolver problemas de diseño con laminados compuestos, constituyendo una gran parte de los trabajos realizados en el tema. La revisión bibliográfica, muestra un considerable número de estudios asociado con optimización de materiales compuestos laminados. Kim, Kim y Hong [8] propusieron un método de diseño para estructuras de mínimo peso de. 1. materiales compuestos.

(7) IM -2006-II-16 laminados con plydrops utilizando algoritmos genéticos. Por su parte Rhee, Cho y Kim [14] realizaron un tipo de optimización similar al anterior para materiales compuestos con plydrops internos estimando los esfuerzos interlaminares y calculándolos por medio del principio de trabajo virtual. Pese a los trabajos realizados en este campo, los estudios del laminado óptimo de materiales compuestos por RS, han sido escasos y se limita a pocos estudios como los realizados por Erdal y Sonmez [5] para carga de pandeo. Sin embargo, sigue requiriéndose investigación en el área de materiales compuestos, no sólo en los métodos de optimización para condiciones de trabajo dadas, sino también en la caracterización de materiales compuestos y sus constituyentes, el desarrollo de procesos de fabricación eficientes, desarrollo de procesos analíticos para determinar propiedades del material y predicción de características estructurales, entre otros. El estudio de los materiales compuestos es una filosofía del diseño de materiales que tiene en cuenta la composición óptima junto con el diseño estructural. Esta es una ciencia que requiere de la cercana interacción de varias disciplinas tales como la ciencia de los materiales, la resistencia de materiales, el diseño de estructuras y la mecánica computacional. El propósito de este estudio es formular una metodología general que permita desarrollar un método para la optimización de la deflexión, la resistencia y el peso de materiales compuestos laminados usando RS y análisis por Elementos Finitos. Además se realizan los cálculos. para materiales compuestos utilizando la Teoría Clásica de. Laminación usada comúnmente para el diseño de estructuras con materiales compuestos, con el ánimo de comparar resultados obtenidos por ambos métodos. Este estudio ofrece ventajas tales como que al utilizar RS como método de optimización, es posible lograr minimizar una función objetivo sin recurrir a la minimización con uso de derivadas, usando reglas probabilísticas y no deterministas. En todas las aplicaciones de los materiales compuestos, los métodos de optimización se traducen en ahorros de material y por ende de dinero, lo cual solo es posible si el número de capas, las secuencias de apilamiento, el espesor de las capas e incluso los materiales, son ajustados para obtener los requerimientos de diseño necesarios de los compuestos.. 2.

(8) IM -2006-II-16 En el presente documento, se presenta una descripción de la teoría requerida dentro del análisis y diseño de laminados compuestos, en la que se incluye la Teoría Clásica de Laminación TCL y el análisis por M étodo de Elementos Finitos FEM en las secciones 2 y 3 respectivamente. Seguido de esto, en la sección 4, se describe el Recocido Simulado como método de optimización estocástico y se desarrolla la formulación del proceso para el problema de diseño de materiales compuestos laminados teniendo en cuenta como variables de diseño la orientación de las fibras de cada una de las capas del laminado. En la sección 5, se presentan resultados obtenidos para la minimización de funciones objetivo de deflexión, criterio de falla y peso del laminado, para dos geometrías propuestas como casos de estudio: una viga con apoyos simples y un panel cuadrado empotrado los cuatro lados, ambos sujetos a una carga uniformemente distribuida constante. Adicionalmente se realiza una discusión de los resultados en los que se incluye una comparación entre resultados obtenidos mediante TCL y FEM .. 3.

(9) IM -2006-II-16. 2. TEORÍA C LÁS ICA DE LAMINACIÓN La teoría Clásica de Laminación, constituye uno de los método más utilizados dentro del análisis de materiales compuestos laminados, que describe la respuesta mecánica de un laminado sujeto a cargas combinadas en el plano y en flexión, basándose en propiedades mecánicas globales o efectivas del laminado.. 2.1 CARACTERÍS TICAS ELÁS TICAS DE LOS LAMIN ADOS. Las propiedades de un laminado multidireccional son función de las propiedades de las láminas que lo conforman y de la secuencia de apilamiento de las capas. La Teoría Clásica de Laminación TCL, predice las características de los laminados bajo las siguientes suposiciones: [4] a. Cada lámina del laminado ortotrópica y quasi-homogénea b. El laminado es delgado, es decir, sus dimensiones laterales son mucho mayores que su espesor, y es cargado solamente en el plano, encontrándose así en un estado plano de esfuerzos. c. Todas las láminas tienen el mismo espesor. d. Todas las láminas tienen comportamiento elástico e. No hay deslizamiento entre las láminas del laminado. f. Todos los desplazamientos son pequeños comparados con el espesor del laminado g. El desplazamiento es continuo a través de todo el laminado h. Las líneas rectas normales a la superficie media permanecen rectas y normales a la superficie luego de la deformación i.. Las relaciones deformación/desplazamiento y esfuerzo/deformación son lineales. j.. Las distancias normales desde el plano medio permanecen constantes, es decir la deformación perpendicular al plano de laminado es cero.. 4.

(10) IM -2006-II-16. FIG URA 2.1. Sección de laminado antes y después de la def ormación.. Los desplazamientos u0 y v 0 en las direcciones x e y, y el desplazamiento perpendicular al plano w en la dirección z son funciones de x e y únicamente: u 0 = u ( x, y) v0 = v( x, y ) w = f ( x, y ) Las rotaciones de los planos x e y, están dados por: ∂w ∂x ∂w αy = , ∂y. αx =. y en general los desplazamientos de un punto b cualquiera en una de las láminas están dados por:. 5.

(11) IM -2006-II-16 ∂w ∂x ∂w vb = v 0 − z , ∂y. u b = u0 − z. siendo z la coordenada de espesor de un punto en la sección transversal. Para desplazamientos pequeños, las relaciones de deformación desplazamiento por las teorías de elasticidad tienen la forma:. γ xy =. εx =. ∂ u ∂ u0 ∂ 2 w0 = −z ∂x ∂x ∂x 2. εy =. ∂v ∂v 0 ∂ 2 w0 = −z ∂y ∂y ∂y 2. ∂ 2 w0 ∂u ∂v ∂u0 ∂v0 + = + − 2z , ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x∂y. que al ser expresado de forma matricial, se puede ver como: ⎡ ∂u0 ⎤ ⎡ ∂ 2 w0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ − x2 ⎥ ∂x ⎡εx ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ∂2 w ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ∂v 0 ⎢ 0 ⎥ ⎥+ z − 2 ⎥ ⎢εy ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ∂y ∂y ⎢γ xy ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ∂u0 ∂v 0 ⎥ ⎢⎢ ∂ 2 w0 ⎥⎥ ⎢ ⎥ + −2 ∂x ⎦⎥ ⎢⎣ ∂x ∂y ⎥⎦ ⎣⎢ ∂y Análogamente con las ecuaciones de deformación: ⎡ε 0x ⎤ ⎢ 0 ⎥ ⎢ε y ⎥ ⎢γ 0 xy ⎥ ⎣ ⎦. ⎡ ∂u 0 ⎤ ⎢ ⎥ ∂x ⎢ ⎥ ∂v 0 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ∂y ⎢ ∂u ∂v ⎥ ⎢ 0+ 0⎥ ∂x ⎥⎦ ⎢⎣ ∂y. ⎡ ∂2 w ⎤ 0 ⎢− 2 ⎥ ⎡ κ x ⎤ ⎢ ∂2x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂ w0 ⎥ ⎢ κ y ⎥ = ⎢ − ∂y 2 ⎥ ⎢κ xy ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ ∂ 2 w0 ⎥⎥ −2 ⎢⎣ ∂x∂y ⎥⎦. 6.

(12) IM -2006-II-16 ⎡εx ⎤ ⎡ε 0x ⎤ ⎡κx ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ε y ⎥ = ⎢ ε y ⎥ + z⎢ κ y ⎥ ⎢γ xy ⎥ ⎢γ 0 xy ⎥ ⎢κ xy ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦. Al considerar una capa individual k en un laminado multidireccional cuyo plano medio está a una distancia z k desde el plano de referencia del laminado. Las relaciones de esfuerzo deformación para esta capa con respecto a los ejes del material, están dados por (asumiendo esfuerzo plano): ⎡σ 1 ⎤ ⎡ Q11 Q12 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢σ 2 ⎥ = ⎢ Q21 Q22 ⎢⎣ τ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 K. 0 ⎤ ⎡ ε1 ⎤ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ε 2 ⎥⎥ Q66 ⎥⎦ K ⎢⎣γ 6 ⎥⎦ K. Al transformar el sistema de coordenadas del laminado se obtiene. ⎡ Q11 ⎡σ x ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢σ y ⎥ = ⎢Q 21 ⎢ ⎢τ xy ⎥ ⎣ ⎦ K ⎣Q16. Q12 Q 22 Q 26. Q16 ⎤ ⎡ ε x ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ Q26 ⎥ ⎢ ε y ⎥ Q66 ⎥⎦ ⎢⎣γ xy ⎥⎦ K K. ⎡σ x ⎤ ⎡Q11 Q12 Q16 ⎤ ⎡ε x0 ⎤ ⎡Q11 Q12 Q16 ⎤ ⎡κ x ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ ⎢σ y ⎥ = ⎢Q21 Q22 Q26 ⎥ ⎢ε y ⎥ + z⎢Q21 Q22 Q26 ⎥ ⎢κ y ⎥ ⎢τ xy ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ ⎣ ⎦ K ⎣Q16 Q26 Q66 ⎦ K ⎣γ xy ⎦ ⎣Q16 Q26 Q66 ⎦ K ⎣κ xy ⎦. 2.2 FUERZAS Y MOMENTOS RES ULTANTES Los esfuerzos que actúan en una capa cualquiera k del laminado pueden ser remplazados por fuerzas y momentos resultantes obteniendo así las relaciones:. 7.

(13) IM -2006-II-16 h/ 2. N xk = ∫−h / 2σ x dz M xk = ∫. h/ 2. −h / 2. σ x zdz. h /2. h /2. N ky = ∫−h / 2σ y dz M yk = ∫. h/ 2. −h / 2. N sk = ∫−h / 2τ xydz. σ y zdz. M sk = ∫. h /2. − h/ 2. τ xy zdz,. en donde Nx , Ny , Nxy, Mx , My, Mxy , representan fuerza normal por unidad de longitud en dirección x, fuerza normal por unidad de longitud en dirección y, fuerza cortante por unidad de longitud, momento flector por unidad de longitud en x, momento flector por unidad de longitud en y, y momento de torsión por unidad de longitud, respectivamente, obteniendo finalmente una matriz de la forma:. ⎧ ⎡ Nx ⎤ ⎪n ⎢ ⎥ N = ⎨∑ ⎢ y⎥ ⎪ k =1 ⎢N xy ⎥ ⎣ ⎦K ⎩. ⎡Q11 Q12 Q16 ⎤ h ⎡ε x0 ⎤⎫ ⎧ n ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥⎪⎪ ⎪ Q Q Q dz 22 26 ⎥ ∫ ⎢ε 0y ⎥⎬ + ⎨∑ ⎢ 21 h ⎢γ xy ⎥⎪⎪ ⎪ k =1 ⎢Q16 Q26 Q66 ⎥ ⎣ ⎦K ⎣ ⎦⎭ ⎩. ⎧ ⎡ Mx ⎤ ⎪n ⎢ ⎥ M = ⎨∑ ⎢ y⎥ ⎪ k =1 ⎢M xy ⎥ ⎣ ⎦K ⎩. ⎡ ε x0 ⎤⎫ ⎧ ⎡Q11 Q12 Q16 ⎤ h ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥⎪ ⎪ n Q Q Q zdz 22 26 ⎥ ∫ ⎢ ε0y ⎥⎬ + ⎨∑ ⎢ 21 h ⎢γ xy ⎥⎪⎪ ⎪ k =1 ⎢Q16 Q26 Q66 ⎥ ⎣ ⎦K ⎣ ⎦⎭ ⎩. k. k −1. k. k −1. ⎫⎡ κ x ⎤ ⎡Q11 Q12 Q16 ⎤ h ⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎢Q21 Q22 Q26 ⎥ ∫ zdz⎬⎢ κ y ⎥ ⎪⎢κ ⎥ ⎢Q16 Q26 Q66 ⎥ h ⎣ ⎦K ⎭⎪⎣ xy ⎦ k. k −1. ⎫⎡κ x ⎤ ⎡Q11 Q12 Q16 ⎤ h ⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ 2 ⎢Q21 Q22 Q26 ⎥ ∫ z dz ⎬⎢κ y ⎥ ⎪⎢κ ⎥ ⎢Q16 Q26 Q66 ⎥ h ⎣ ⎦K ⎭⎪⎣ xy ⎦ k. k −1. Ó. ⎡ N x ⎤ ⎡ A11 A12 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ N y ⎥ = ⎢ A21 A22 ⎢N xy ⎥ ⎢⎣ A16 A26 ⎣ ⎦. A16 ⎤ ⎡ ε x0 ⎤ ⎡ B11 B12 ⎢ ⎥ A26 ⎥⎥ ⎢ ε y0 ⎥ + z⎢⎢B21 B22 A66 ⎥⎦ K ⎢⎣γ xy0 ⎥⎦ ⎣⎢ B16 B26. B16 ⎤ ⎡κ x ⎤ ⎢ ⎥ B26 ⎥⎥ ⎢κ y ⎥ B66 ⎦⎥ K ⎢⎣κ xy ⎥⎦. ⎡ Mx ⎤ ⎡B11 B12 B16 ⎤ ⎡ ε x0 ⎤ ⎡ D11 D12 D16 ⎤ ⎡ κ x ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ M y ⎥ = ⎢B21 B22 B26 ⎥ ⎢ ε y ⎥ + z ⎢D21 D22 D26 ⎥ ⎢ κ y ⎥, 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣M xy ⎥⎦ ⎢⎣B16 B26 B66 ⎥⎦ K ⎢⎣γ xy ⎦ ⎢⎣D16 D26 D66 ⎥⎦ K ⎣κ xy ⎦ K en donde n. Aij = ∑ [(Qij )] k (hk − hk −1 ),. i = 1,2,6;. j = 1,2,6;. k =1. Bij =. 1 n [(Qij )]k ( hk2 − hk2−1), 2∑ k =1. i = 1,2,6;. j = 1, 2,6;. Dij =. 1 n ∑ [(Qij )] k (hk3 − hk3−1 ), 3 k =1. i = 1,2,6;. j = 1,2,6;. 8.

(14) IM -2006-II-16 Estas matrices [A], [B] y [D], son llamadas extensional, acopladora y de rigidez en flexión, respectivamente. Al combinar los sistemas de ecuaciones se obtiene. ⎡ N x ⎤ ⎡ A11 ⎢ N ⎥ ⎢A ⎢ y ⎥ ⎢ 12 ⎢ N xy ⎥ ⎢A16 ⎢ ⎥=⎢ M x ⎢ ⎥ ⎢B11 ⎢ M y ⎥ ⎢B12 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣M xy ⎥⎦ ⎣⎢B16. A12 A22 A26 B12 B22 B26. A16 A26 A66 B16 B26 B66. B11 B12 B16 ⎤ ⎡ ε 0x ⎤ ⎢ ⎥ B12 B22 B26 ⎥⎥ ⎢ ε 0y ⎥ B16 B26 B66 ⎥ ⎢γ 0xy ⎥ ⎥⎢ ⎥ D11 D12 D16 ⎥ ⎢κ x ⎥ , D21 D22 D26 ⎥ ⎢κ y ⎥ ⎥⎢ ⎥ D16 D26 D66 ⎥⎦ ⎢⎣κ xy ⎥⎦. que representa la forma matricial para el diseño de una lámina de material compuesto, de seis ecuaciones con seis incógnitas.. 9.

(15) IM -2006-II-16. 3. ANÁLIS IS POR MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS. Los métodos de solución analíticos para el análisis de compuestos como TCL, son sólo aplicables a casos de poca complejidad geométrica con comportamiento elástico lineal. Por esta razón se hace indispensable contar con herramientas de simulación numérica computacional. Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el análisis de laminados compuestos de geometrías arbitrariamente complejas o con ciertas condiciones de frontera no peden ser resueltas de forma sencilla, por lo que el uso de métodos numéricos facilitan la solución de estos problemas. Dentro de los métodos numéricos disponibles para la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales, el método de elementos finitos es el más efectivo. [14] La forma variacional de la energía potencial que rige la formulación del problema de elementos finitos para un problema estructural con materiales compuestos está dado por: [8]. δΠ = ∫ ( N 1δε10 + M1δκ10 + N 2δε 02 + M 2δκ 02 + N 6δε 60 + M6δκ 60 R. ). ). ). Q1δε 50 + Q1δε 40 − qδw) + ∫ N nδu n dS − ∫ N sδus dS − ∫ M nδφdS ). ). c1. c2. c3. − ∫ M sδφs dS − ∫ QnδwdS = 0, c4. c5. ) ) ) ) ) son N n , N s , M n , M s y Qn siendo las condiciones de fuerzas y momentos en las fronteras. Los desplazamientos son expresados en términos de variables nodales por las funciones de interpolación r. ∆i = ∑ ∆iψ i (x, y) , i. con r, ∆i y ψ i siendo el número de nodo por elemento, las componentes de desplazamiento de un nodo i y la función de interpolación, respectivamente.. 10.

(16) IM -2006-II-16 A partir de las anteriores formulaciones, la ecuación de elementos finitos es obtenida a partir de: [ K ]{∆} = {F}. Partiendo de la relación anterior, es posible determinar además las deformaciones y los esfuerzos en un elemento mediante el cálculo de las expresiones:. {ε} = [B]{∆e } y {σ} = [D ][B]{∆e }, siendo [B] = [∂ ] [N ] , con [N] siendo la matriz de forma.. 11.

(17) IM -2006-II-16. 4. OPTIMIZACIÓN POR RECOCIDO S IMULADO. El recocido simulado (RS) es una técnica de optimización que atrae significativamente la atención como un método. adecuado para problemas de alta. complejidad, especialmente aquellos en donde un extremo global deseado se encuentra escondido entre muchos otros extremos locales más pobres. El método se presenta como una analogía del recocido en termodinámica en donde un líquido es enfriado lentamente y cristalizado o los metales son enfriados lentamente y recocidos (alivio de esfuerzos). A altas temperaturas, los átomos ganan energía cinética logrando moverse libremente unos con respecto a los otros, pero al ser enfriados lentamente, esta movilidad se pierde debido a la disminución de energía cinética en el sistema. Los átomos son capaces de reorganizarse y alinearse para formar cristales ordenados que establecen un estado de menor energía del sistema: para enfriamientos lentos la naturaleza es capaz de encontrar el estado de mínima energía del sistema. Por el contrario para tasas de enfriamiento más altas, no se alcanzan estos estados de baja energía sino que por el contrario se consiguen estados policristalinos o amorfos de mayor energía, en cuyo caso se hace referencia a un tratamiento de templado. Entonces es posible afirmar que la esencia de este proceso es el enfriamiento lento que proporciona el tiempo suficiente para la redistribución de átomos antes de que ellos pierdan movilidad. El proceso natural termodinámico está basado en la distribución de probabilidad de Boltzman:. Prob(E)~exp(-E/kT), expresando la idea de que un sistema térmico en equilibrio a una temperatura T tiene una energía distribuida de forma estocástica a lo largo todos los estados diferentes de energía. E. Incluso a bajas temperaturas existe una oportunidad, aunque muy baja, de que un sistema se encuentre en un estado de energía alto. La cantidad k (Constante de Boltzman) es una constante física que relaciona la temperatura con la energía.. 12.

(18) IM -2006-II-16 En 1953, M etropolis et al [10] incorporaron este tipo de principios en los cálculos numéricos. Kirkpatrick et al [5] fueron los primeros en proponer el Recocido Simulado (RS) como una poderosa técnica estocástica de búsqueda basándose en repetitivos ciclos del algoritmo de M etropolis con disminuciones en el parámetro T para cada uno de ellos. En un sistema termodinámico se asume un cambio en su configuración energética desde un estado E1 hasta uno E2 con una probabilidad p= exp[-(E2-E1)/kT]. Para esta expresión se observa que si E2 < E1 la probabilidad p es mayor que la unidad por lo que se asigna una probabilidad arbitraria de p=1. La tabla 4.1 muestra la analogía entre el recocido termodinámico y el recocido como método de optimización.. 7. OPTIMIZACION Función Objetivo: Variable a optimizar Generación aleatoria de posibles soluciones Parámetro de Control T aumenta: Alta movilidad de las configuraciones El parámetro de Control T disminuye y las configuraciones pierden movilidad Las configuraciones se ordenan formando clusters, cerca del valor mínimo de la función Soluciones del problema Criterio de evaluación. 8. Solución óptima. Función Objetivo: Energía Acomodación Aleatoria de los átomos La Temperatura aumenta y los átomos se mueven libremente al ganar Energía Cinética La Temperatura disminuye lentamente y los átomos pierden movilidad térmica Los átomos se alinean y forman cristales puros y alineados en su estado de baja energía Estados del sistema. Energía del estado. Estado fundamental de menor energía. 9. Prob(E)~exp(-(fh-ft)/T). Prob(E)~exp(-(E2-E1)/kT). 1 2. 3. 4. 5 6. TERMODINAMICA. TAB LA 4.1. Analogía del recocido termodinámico y como método de optimización. Para llevar a cabo un algoritmo de este tipo es necesario tener en cuenta los siguientes aspectos: 1. Descripción de posibles configuraciones soluciones. 2. Generación de cambios aleatorios en la configuración. 3. Función objetivo E cuya minimización es la meta del procedimiento.. 13.

(19) IM -2006-II-16 4. Parámetro de control T. y curva de enfriamiento que establece como la. temperatura disminuye desde un valor alto a uno bajo. 5. Criterio de detención, que marca el momento en que el algoritmo debe terminar.. El procedimiento de RS puede ser sintetizado en el siguiente diagrama de flujo: Generación y ev aluación del conjunto inicial de soluciones. Estimación de la Temperatura Inicial. Generación y ev aluación de nuev a solución. Determinación del criterio de Aceptación. Aceptar nueva solución?. No. Si Actualización de v alores máximo y mínimo. Actualización de Temperatura. No. Terminación de la búsqueda?. Si Terminar. FIG URA 4.1. Diagrama de Flujo de Recocido Simulado. 14.

(20) IM -2006-II-16 4.1 PROCEDIMIENTO DE OPTIMIZACIÓN POR RECOCIDO S IMULADO. Para el problema de diseño óptimo considerado, una configuración representa un laminado compuesto de capas cuyas fibras son orientadas en determinadas direcciones discretas de 0°, 90° +45° y -45°, siendo estas orientaciones las variables de diseño a trabajar. Por la variación de las orientaciones, se pueden obtener distintas configuraciones de las láminas logrando así diferentes respuestas de cierta función objetivo. El espesor de las capas se considera constante para todas las capas. 4.1.1 CONJUNTO DE CONFIGURACIONES INICIALES El recocido simulado parte de un conjunto de configuraciones iniciales A generadas de forma aleatoria, en vez de empezar con una sola configuración. Esto permite que las posibles soluciones se distribuyan en diferentes puntos a lo largo de la función objetivo. El número de configuraciones depende de las dimensiones del problema y está dado por: [5]. N = 7 (n + 1) , donde n es la dimensión del problema, en este caso el número de variables de diseño. Siempre que el laminado sea simétrico y la orientación de las fibras en cada lámina sea una variable de diseño, n está dada por:. n=. nm 2. ,. en donde nm es el número total de capas. Para cada una de estas configuraciones, el valor del costo (valor de función objetivo) es calculado, y los valores mayor y menor de la función son almacenados como fh y fl respectivamente.. 4.1.2 MEC ANIS MOS DE GEN ERACIÓN DE NUEVAS CONFIGURAC IONES. Existen dos mecanismos diferentes para la generación de nuevas configuraciones dentro del algoritmo RS. Una configuración puede ser generada de forma 15.

(21) IM -2006-II-16 aleatoria con probabilidad q, o puede ser generada usando un número n+1 de configuraciones seleccionadas desde A con una probabilidad de 1-q, la que es llamada generación controlada.. ⎧ ⎪Controlada, si w ≥ q Mecanismo de Generacion= ⎨ ⎪ Aleatoria, si w < q , ⎩ donde w es un número aleatorio generado en el algoritmo y q es la probabilidad de que se de generación aleatoria definida por el diseñador.. En la generación aleatoria, una nueva configuración con orientación de las fibras θi es generada de forma totalmente aleatoria. En la generación controlada una selección aleatoria de n+1 configuraciones es hecha a partir de A y las orientaciones de las fibras θi, de cada capa son calculadas de forma que:. θi = 2θi − θin+1 , donde θi es el promedio de la orientación i de las configuraciones seleccionadas.. Debido a que los ángulos de las fibras son restringidas a tener valores discretos, los valores de θ i, deben ser redondeados al valor de orientación del conjunto. θ = 0°,90°,±45° más cercano. En este estudio se utilizan las dos formas de generación de nuevas configuraciones: generación aleatoria y generación controlada de acuerdo a una probabilidad q=0.7, pues se presentó como un valor apropiado para los casos de estudio trabajados. La generación controlada es muy útil en estos casos de optimización y es de gran ayuda en acelerar el proceso de convergencia al mínimo de la función. permitiendo. explorar configuraciones cercanas a las obtenidas dentro de la población actual.. 16.

(22) IM -2006-II-16 Sin embargo la probabilidad de que exista generación controlada no debe ser muy alta, pues esto disminuye la diversidad de generaciones, sobre todo cuando las evaluaciones de las configuraciones están formando grupos densos alrededor de un mínimo que puede no ser el global. Para contrarrestar este efecto, se da con mayor probabilidad de ocurrencia las generaciones aleatorias, cuyos valores de la función objetivo pueden distribuirse a lo largo de la función. 4.1.3 ACEPTABILIDAD. La aceptabilidad de una nueva configuración generada depende del costo de la función f t en determinada iteración, así como del parámetro T de temperatura en que se encuentre el sistema. La aceptabilidad está dada por la distribución de probabilidad de Boltzmann:. ⎧ ⎪1 si f t ≤ f h , At = ⎨ ⎪ exp(( f − f ) / T ) si f > f ⎩ h t k t h en donde fh es el menor costo en A. Esto quiere decir que todos los nuevos diseños con un costo menor que el peor diseño son aceptados, pero si el costo es mayor, la configuración actual puede ser aceptada dependiendo del valor que tome At. Si este es mayor que un número aleatorio generado Pr, (Probabilidad de rechazo) la nueva configuración es aceptada dentro del conjunto de soluciones actuales A, o de lo contrario, rechazada. En caso de que la nueva configuración sea aceptada, esta remplaza la peor configuración en. A. En cada iteración los valores de fh y fl deben ser actualizados. A altas temperaturas es poco probable que A forme un grupo denso cercano al óptimo, lo que quiere decir que las configuraciones actuales son dispersas dentro del dominio de soluciones. A bajas temperaturas esto cambia y se forma un grupo denso cercano al óptimo debido a que la probabilidad de aceptar una configuración peor es baja, tal y como ocurre en la analogía del recocido termodinámico en donde a altas temperaturas las moléculas adquieren suficiente energía para moverse libremente en el espacio, logrando. 17.

(23) IM -2006-II-16 llegar a configuraciones de más alta energía, pero al reducir la temperatura las moléculas pierden movilidad y la probabilidad de llegar a estados de mayor energía disminuye.. 4.1.3 CURVA D E ENFRIAMIENTO. El proceso de Recocido Simulado consiste en primero “fundir” el sistema a optimizar a una alta temperatura T, y luego bajar la temperatura lentamente hasta que el sistema se “cristalice” alcanzando un valor mínimo de energía y no se den más cambios significativos en el sistema. Sin embargo en el problema de optimización la temperatura T no tiene ningún significado físico y es sólo un parámetro de control del algoritmo. El “fundido” corresponde al estado en que las configuraciones iniciales son generadas dentro del dominio de soluciones S sin mucho interés en el costo. A altas temperaturas la probabilidad de aceptación es alta. Como consecuencia las configuraciones que incluso tienen mayor costo pueden ser aceptadas, tal y como sucede en el proceso físico de recocido en donde a altas temperaturas los átomos pueden lograr estados de alta energía, ganar energía cinética e incrementar su movilidad térmica. A bajos valores del parámetro de temperatura, la aceptabilidad se hace baja y la aceptación de peores configuraciones se reduce, como en el proceso físico de recocido los átomos alcanzan un configuración estable de baja energía. La curva de enfriamiento en RS controla la convergencia del algoritmo a un mínimo global de la misma manera que en el proceso físico se controla la microestructura, por esto la curva de enfriamiento es crítica para lograr un buen procedimiento de optimización.. 18.

(24) IM -2006-II-16 4.1.3.1 VALOR INIC IAL D EL PARÁMETRO DE TEMPERATURA El valor del parámetro inicial de temperatura T debe ser lo suficientemente alto para permitir que virtualmente todas las nuevas configuraciones generadas sean aceptadas, por lo que la probabilidad de aceptación debe ser cercana a 1. Basándose en esto, se puede establecer este parámetro encontrando una temperatura para la cual todas las nuevas configuraciones sean aceptadas. De otra manera la región de búsqueda puede ser muy pequeña y el algoritmo puede quedar atrapado en un mínimo local. En la analogía física escoger un T alto corresponde a calentar el sólido hasta que todas las partículas se rearreglen aleatoriamente al ganar energía cinética. El valor de T debe ser determinado experimentalmente estableciendo un conjunto de configuraciones aleatorias y usarlo para determinar un rango de valores de. fh-ft, Con esto es posible. establecer el parámetro T,. para el cual la expresión. exp(( f h − f t ) / T ) , se hace igual a uno. Para este estudio se tomó el parámetro T=500 de forma indistinta y se manipuló una constante K o amplitud,a manera de constante de Boltzmann, resolviendo de la misma forma que se describió anteriormente la expresión exp(( f h − f t ) / 500 K ) para la cual la aceptabilidad se hace virtualmente igual a uno.. 4.1.3.2. NUMERO. DE. ITERACIONES. PARA. UNA. TEMPERATURA. CONSTANTE. El número de iteraciones para un mismo valor de temperatura constante está dado por la longitud de las cadenas de M arkow, que corresponde a una serie de eventos en la cual la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos depende del evento inmediatamente anterior. Esta longitud es dada por: [1]:. Lk = L + L(1 − e f − f ) , l. h. en donde L=10n siendo n las dimensiones del problema, entiéndase por esto la mitad del número de capas dentro del laminado simétrico.. 19.

(25) IM -2006-II-16 A altas temperaturas, cuando las configuraciones forman un grupo disperso (fh-fl es grande) la longitud de las cadenas de M arkow es cercana a 2L. Por otro lado cuando las configuraciones forman un grupo denso a bajas temperaturas, la longitud de la cadena se acerca a L. Durante la ejecución de las iteraciones correspondientes a una cadena de M arkow k con longitud Lk , si la configuración generada tiene un costo menor que fl, la mejor solución en A, la cadena es detenida y no se realizan más iteraciones para el valor actual de temperatura. Si no es encontrada una mejor solución, la cadena completa es ejecutada.. 4.1.3.3 ES QUEMA DE D IS MINUCIÓN DEL PARÁMETRO DE TEMPERATURA. Una vez el valor inicial de temperatura T inicial es determinado, una regla de decremento debe ser establecida para valores siguientes de este parámetro. La probabilidad de alcanzar un óptimo global depende de que tan rápido el parámetro de temperatura decrezca. Si la tasa de enfriamiento es alta el proceso de optimización probablemente concluirá con uno de los mínimos locales con más alto costo. Por el contrario si la tasa de enfriamiento es baja, el óptimo local será alcanzado pero el proceso de optimización tomará mucho tiempo y una gran cantidad de iteraciones. Por consiguiente la escogencia de la tasa de enfriamiento es esencial para un algoritmo efectivo. En el algoritmo de RS, un factor de escala de temperatura (αk+1) es especificado para calcular el valor del parámetro de temperatura en la siguiente cadena de M arkow Tk+1. Tk +1 = α k +1Tk Donde Tk es el valor actual del parámetro de temperatura. Para este estudio se utilizó un decremento del 5% de la temperatura en cada paso, es decir un valor α=0,95.. 20.

(26) IM -2006-II-16 4.1.3.4 CRITERIO DE D ETENCIÓN. El proceso de optimización puede terminar cuando dos condiciones se satisfacen. La primera de estas corresponde a que el parámetro de temperatura alcanzado sea pequeño, es decir que sea cercano a un valor de temperatura de congelación y no ocurran más mejoras en la búsqueda del mínimo. Segundo, que el conjunto de configuraciones actuales A, forme un grupo denso alrededor del valor mínimo, como análogamente ocurre en el proceso termodinámico en la formación de cristales. De. acuerdo con esto el criterio de detención puede ser expresado como:. Tk < ε 1. fh − fl < ε 2 ,. y. en donde ε 1 y ε 2 son valores pequeños. Un método alternativo que logra reducir el número de iteraciones en la búsqueda del mínimo global, consiste en detener el algoritmo una vez no se encuentren nuevos valores mínimos de la función después de un número de iteraciones especificado por el diseñador. Este último criterio fue el utilizado en este estudio, pues logra limitar el número de iteraciones y por ende tiempo de máquina de forma más adecuada.. 4.2 DES CRIPCIÓN DEL MECAN IS MO DE LAMIN ADO.. En el estudio fueron considerados los diseños de la secuencia de laminación de laminados compuestos, para minimización de deflexión y minimización del criterio de falla de Tsai-Wu (ver sección 4.3), utilizando el método de RS anteriormente descrito. El procedimiento de diseño se muestra en la figura 4.2.. 4.3 MINIMIZACIÓN DEL PES O DEL LAMINADO. Para aplicar el método de diseño de layup del laminado, se propone determinar un número de capas iniciales del laminado como punto de partida del proceso de optimización, utilizando el procedimiento de capas de referencia. Esto permite reducir. 21.

(27) IM -2006-II-16 el número de iteraciones, explorando solamente laminados con un número n de capas cercano al óptimo. Contando con el número de capas de referencia se procede a realizar las optimizaciones de las secuencias de laminación tomando como criterio de falla el de Tsai-Wu. De esta forma si los esfuerzos en el laminado con layup óptimo no sobrepasan este criterio es posible disminuir el número de capas en dos, pero si el criterio no es satisfecho se deben agregar dos capas más al laminado En este estudio, la función objetivo es el volumen del laminado compuesto sujeto a la restricción del criterio de falla de Tsai-Wu. Esto se enuncia a continuación:. Minimizar f = As t c n (k ) 2 sujeto a TSW = F11 (σ1( k ) ) 2 + F22 (σ 2( k ) ) 2 + F66 (τ 12 ) + 2 F12σ1( k )σ 2( k ). + F1σ 1( k ) + F2σ (2k ) ≤ 1. θ = {0º ,90º , ± 45º}, en donde As representa el área superficial de una lámina. tc el espesor de una lámina y n el número de laminas dentro del laminado, y los parámetros de resistencia F11, F22, F66, F12,. F1 y F2 son dados por: F11 = F2 =. 1. XT XC 1. YT. −. 1. YC. ,. F11 =. 1. YT YC. F12 = −. F66 =. ,. 1. G. 2. ,. F1 =. 1. XT. −. 1. XC. ,. 1 F F 2 11 22. y XT, XC, YT, YC corresponden a las resistencias a tensión y a compresión del material compuesto en direcciones de las fibras y en dirección transversal y G corresponde a la resistencia en cortante en el plano.. 22.

(28) IM -2006-II-16 Generación de N configuraciones. Cálculo de cos tos f N Determinación de f H y f L Especificaci ón de T emperatura inicial T0 K=0. L=0 y K=K+1. Cálculo de longitud de C adenas de Mar kow Lk. L=L+1. Generación de nueva configuración (Aleatoria o controlada). Cálculo del costo de la nueva configuración f T y la ac eptabilidad AT. Generación de número Al eatorio PR(0,1). AT >PR. No. Si Aceptación de la nueva c onfiguración y r eemplaz o por la peor en A Actualizaci ón de f H y f L. Si. fT < fL No. L=LK. L ≥ Lk. No. Si. Tk < ε. No. Si Terminar. FIG URA 4.2. Procedimiento de Optimización por RS. 23. T k+1=α T k.

(29) IM -2006-II-16. 1. Determinación del Número de Capas de Referencia. Un procedimiento simple para determinar el número de capas de referencia inicial, es tomar el esfuerzo último del material en la dirección principal (en la orientación de las fibras) y compararlo con el esfuerzo máximo en el componente. Para el caso de una viga apoyada simple, soportando una fuerza distribuida uniforme, este procedimiento equivale a:. σ 1T. My I. <1,. en donde M representa el momento máximo en la viga, y la distancia desde el eje neutro hasta la superficie de la viga (0.5 veces el espesor de la viga) e I la inercia del área transversal de la viga. Con esto se puede resolver el problema inverso para obtener el espesor crítico de la viga, el cual al dividirlo entre el espesor de la capa de compuesto con fibras unidireccionales se obtiene el número de capas de referencia inicial. En este trabajo se resolvió la ecuación de forma iterativa, partiendo de un espesor equivalente a 2 láminas para mantener la condición de laminado simétrico y evaluando la expresión para esfuerzo máximo aplicado. Si la desigualdad no se cumple, el espesor debe aumentarse en el equivalente a dos capas más, para seguir conservando la característica simétrica del laminado, hasta que la desigualdad sea cumplida. Esto permite obtener un número de capas de referencia correspondiente al límite inferior del número de capas a utilizar en el laminado a optimizar, así como disminuir tiempo de operación durante el proceso de minimización del peso.. 2. Optimización por Recocido Simulado para N Capas. Una vez obtenido el número total de capas de referencia, se procede a usar el método RS para obtener la configuración óptima para las N capas de referencia, y remplazar cada una de estas por las capas reales con las propiedades correspondientes a su orientación. Si el criterio el criterio de falla es violado, se deben agregar dos capas más al laminado para conservar la característica de simetría y realizar nuevamente la optimización de secuencias de laminación. En caso de ser satisfecho, se habrá encontrado el número óptimo de láminas en el laminado sujeto al estado de esfuerzos dado, teniendo. 24.

(30) IM -2006-II-16 en cuenta que las capas de referencia halladas en el paso 1, representa el número límite inferior de capas.. Optimización por Recocido Simulado para N capas. Determinación del Índice de Criterio de f alla de Tsai-Wu (TSW). N=N+2. Si. TSW ≥ 1. No Terminar. FIG URA 4.3. Proceso de minimización del peso en un laminado compuesto.. 25.

(31) IM -2006-II-16. 5. RES ULTADOS NUMÉRICOS Y DISCUS IÓN. Para el problema de diseño del laminado óptimo de materiales compuestos usando optimización por recocido simulado, se proponen dos geometrías de prueba como casos de estudio (secciones 5.1 y 5.2). El material seleccionado para las pruebas es un compuesto típico de fibras unidireccionales de carbono en matriz epóxica (AS4/3501-6). Sus propiedades se muestran en la tabla 5.1. Se realizó la optimización de secuencias de laminado para cada una de estas geometrías usando RS y los procedimientos descritos en la sección anterior. En cada una de las geometrías se realizaron pruebas de minimización de deflexión y del índice de criterio de falla de Tsai-Wu, para posteriormente aprovechar esta última optimización para lograr encontrar el número mínimo de capas necesarias para soportar determinada carga en flexión. Las funciones objetivo fueron evaluadas usando TCL y FEM .. Propiedades de una lámina unidireccional Carbón/Epóxica AS 4/3501-6 Fracción en Volumen de fibras, Vf 0,61 Densidad , ρ, g/cm3 (lb/in3) 1,60(0,058) M ódulo Longitudinal, E1, GPa (M si) 147(21,3) M ódulo Transversal en el plano, E2, GPa(M si) 10,3(1,50) M ódulo Transversal fuera del plano, E3, GPa(M si) 10,3(1,50) M ódulo en Cortante en el plano, G12, GPa(M si) 7,00(1,00) M ódulo en Cortante fuera del plano, G23, GPa(Msi) 3,7(0,54) M ódulo en Cortante fuera del plano, G13, GPa(Msi) 7,0(1,00) M ódulo de Poisson mayor υ12 0,27 M ódulo de Poisson menor υ21 0,54 M ódulo de Poisson fuera del plano υ13 0,27 Resistencia en tensión longitudinal, XT, M Pa(ksi) 2280(330) Resistencia en tensión transversal, YT, M Pa(ksi) 57(8,3) Resistencia en tensión fuera del plano, ZT, M Pa(ksi) 57(8,3) 26.

(32) IM -2006-II-16 Resistencia en compresión longitudinal, XC, M Pa(ksi) Resistencia en comprensión transversal, YC, M Pa(ksi) Resistencia en compresión fuera del plano, ZC, M Pa(ksi) Resistencia en cortante, G, Mpa(ksi) Espesor de lámina, t, (mm). 1725(250) 228(33) 228(33) 76(11,00) 0,035. TAB LA 5.1. Propiedades de Lamina Unidireccional Carbono/Epóxica (AS4/3501-6). 5.1 VIGA S IMPLE (GEOMETRÍA 1). La primera geometría de estudio, consiste en una viga de sección transversal rectangular, con apoyos simples en ambos extremos y sometida a una carga distribuida uniforme constante, tal y como se muestra en la figura 5.1.. FIG URA 5.1. Viga con apoyos simples (G eometría 1). Para esta geometría se realizaron 3 tipos de optimización: M inimización de deflexión, minimización del criterio de falla de Tsai-Wu, y minimización del peso del laminado para un laminado seguro, que no exceda el índice de falla de Tsai-Wu.. 5.1.1 MINIMIZACIÓN DE D EFLEXIÓN El primer caso de optimización consiste en la minimización de la deflexión de la geometría 1 con un laminado simétrico de 16 capas, para una carga uniformemente distribuida constante w=200 N/m. El proceso se llevó acabo usando el procedimiento optimización por RS descrito en la sección 4 y evaluando la función objetivo de deflexión por M étodo de Elementos Finitos y por Teoría Clásica de Laminación.. 27.

(33) IM -2006-II-16 Para la evaluación de la deflexión por FEM , se utilizaron elementos de tipo SHELL99 de 8 nodos con 6 grados de libertad por nodo. En la figura 5.2 se muestra el enmallado utilizado para el análisis. Para esta evaluación, se generó media geometría aprovechando la característica de simetría de la geometría. Esto permite reducir el tiempo de ejecución de una iteración, al reducirse el número de elementos y por ende de nodos.. FIG URA 5.2. Enmallado de la geometría 1.. En el caso del análisis por TCL, es posible estudiar la viga de material compuesto laminado como si se tratase de una viga isotrópica usando las ecuaciones típicas de deflexión en vigas de Euler. Para este caso específico la deflexión máxima en el centro de la viga está dada por. ∂ max =. 5wl 4 , 384 Ex I. con l siendo la longitud de la viga; I, la inercia y Ex el módulo elástico efectivo del laminado compuesto que en este caso está dado por [7]:. 28.

(34) IM -2006-II-16. Ex =. 12. h D.*11 3. ,. siendo h la altura del laminado y D*11 , el término (1,1) de la matriz inversa de rigidez en flexión. Se realizaron 20 pruebas para cada uno de los métodos de evaluación con los mismos parámetros dentro del procedimiento de Recocido Simulado, con el fin de comprobar la confiabilidad del algoritmo. El criterio de detención inicialmente propuesto fue un valor de T=8.25 lo que corresponde a 80 cambios de temperatura durante el algoritmo. En las figuras 5.3 y 5.4 se muestran gráficas típicas obtenidas del procedimiento de optimización usando elementos finitos y teoría clásica de laminación como mecanismos de evaluación de deflexión, respectivamente.. FIG URA 5.3. Convergencia a la mínima def lexión de la geometría 1 por FEM. Criterio de detención: Número de cambios en el parámetro T. 29.

(35) IM -2006-II-16. FIG URA 5.4. Convergencia a la mínima def lexión de la geometría 1 por TCL. Criterio de detención: Número de cambios en el parámetro T. Como se aprecia en las gráficas anteriores, el valor máximo en la población actual A, muestra la alta movilidad de las configuraciones, aceptando durante las primeras iteraciones (temperaturas altas) muchas de las nuevas configuraciones generadas, siendo estas incluso peores soluciones que las actuales en A. Sin embargo al final de las iteraciones, en donde el parámetro de temperatura T es bajo, la probabilidad de aceptación de configuraciones con valores mayores de deflexión a las existentes dentro de la población actual A, es prácticamente nula y soluciones peores a las existentes no son aceptadas. Igualmente, es posible notar que el valor de deflexión mínima en A, converge rápidamente hasta un valor en el cual no se presentan más mejoras en la búsqueda del mínimo a través de las iteraciones. Al analizar las gráficas obtenidas a partir de las 20 repeticiones para cada método de evaluación de la función objetivo cuyos resultados se muestran en la tablas 5.2 y 5.3, fue posible establecer como criterio de detención para análisis subsiguientes, un número de iteraciones sin que un nuevo mínimo de la función. 30.

(36) IM -2006-II-16 fuera encontrado. El número de iteraciones sin hallar nuevos mínimos obtenido a partir de los análisis de los resultados obtenidos por TCL y FEM , fue fijado en 2000 iteraciones. Este constituye la estimación de un nuevo criterio de detención. Al implementar este nuevo criterio de detención en los procedimientos de optimización de deflexión se logró reducir el número de iteraciones en más de un 50%, obteniendo resultados muy cercanos y en algunas ocasiones iguales para la deflexión a los obtenidos mediante el procedimiento con el primer criterio de detención usado. De este modo es posible reducir el tiempo de máquina sin mayores sacrificios en los resultados finales. Los datos obtenidos se muestran en las tablas 5.4 y 5.5, y las gráficas típicas correspondientes al algoritmo con el nuevo criterio de detención para los análisis por TCL y FEM se muestran en las gráficas 5.5 y 5.6 respectivamente. En las gráficas correspondientes a la evolución de los valores máximos en A, es posible notar que incluso hacia las últimas iteraciones del algoritmo es permitido que peores soluciones que las presentes en el conjunto de población actual sean aceptadas. Esto se da debido a que el valor inicial del parámetro de temperatura T y el parámetro de amplificación k, son obtenidos a partir de las condiciones iniciales planteadas para el criterio de detención de número de cambios de temperatura. Esto se debe a la imposibilidad de calcular los parámetros para evoluciones impredecibles sujetas al comportamiento aleatorio del procedimiento. Por esta razón las gráficas de las Figuras 5.5 y 5.6 parecen ser los segmentos iniciales de las gráficas de las figuras 5.3 y 5.4.. 31.

(37) IM -2006-II-16. TCL Prueba Mínimo(m) Máximo(m) Iteraciones Configuración %Diferencia con Obj etiv o 1 0,0242 0,0271 6351 [0 7,-45]s 2 0,025 0,0263 6210 [0 5,-45,0,-45]s 3,31 3 0,0245 0,0276 6108 [0 6,90,45]s 1,24 4 0,0253 0,0263 6284 [0 5,90,-45,0]s 4,55 5 0,0245 0,0253 6195 [0 6,45,-45]s 1,24 6 0,0249 0,0261 6276 [0 5,-45,02]s 2,89 7 0,0245 0,0259 6157 [0 6,45,-45[s 1,24 8 0,0245 0,026 6158 [0 6,90,0]s 1,24 9 0,0245 0,0309 6422 [0 6,902]s 1,24 10 0,025 0,1029 6287 [0 5,45,0,45]s 3,31 11 0,0242 0,0303 6461 [0 7,45]s 0,00 12 0,0242 0,0306 6231 [0 7,45]s 0,00 13 0,0245 0,0267 6312 [0 6,45,-45]s 1,24 14 0,0242 0,1172 6431 [0 8]s 0,00 15 0,0245 0,0254 6137 [0 6,45,-45]s 1,24 16 0,0245 0,0261 6001 [0 6,45,-45]s 1,24 17 0,0242 0,0263 6246 [0 6,-45 2]s 0,00 18 0,0245 0,0278 6451 [0 6,90,45]s 1,24 19 0,0243 0,0272 6045 [0 7,90]s 0,41 20 0,0245 0,0269 5966 [0 6,902]s 1,24 0,024525 0,035445 6236,45 Promedio 0,00029812 0,02502144 141,522251 Desv iación 0,0242 [0 8]s OBJETIVO TAB LA 5.2. Resultados de deflexión para geometría 1 por TCL. Criterio de detención: Número de cambios en el parámetro T En las 20 pruebas realizadas se encontraron valores muy cercanos de deflexión mínima, con una diferencia máxima con relación al valor objetivo mínimo de 4,55%, y con una diferencia de 1.3% entre el promedio de las iteraciones y el objetivo. La desviación estándar entre las desviaciones es del 0,00029812, por lo que a partir de una prueba t de Student es posible afirmar con un 95% de confianza que la media se encuentra en el intervalo µ=0,024525±1.4e-4. El promedio de No. de Iteraciones es 6236,45 .. 32.

(38) IM -2006-II-16. Prueba 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Promedio Desv iación OBJETIVO. Mínimo(m) 0,0245841235 0,0254137938 0,0242827126 0,0245841235 0,0245775804 0,0245841235 0,0254137938 0,0242827126 0,0254137938 0,0245775804 0,0242410000 0,0245841235 0,0245775804 0,0242827126 0,0242410000 0,0245775804 0,0254137938 0,0245841235 0,0242410000 0,0253830884 0,0246920170 0,0004463215 0,0242410000. Máximo(m) 0,0309784772 0,0309067795 0,0308219448 0,0307985409 0,0309067795 0,0308408670 0,0308219448 0,0305469767 0,0308408670 0,0308219448 0,0302165110 0,0322967070 0,0308408670 0,0309067795 0,0322967070 0,0308219448 0,0387073333 0,0322967070 0,0309784772 0,0354235645 0,0316535360 0,0020073880. FEM Iteraciones 6295 6160 6275 6245 6141 6206 6188 6168 6208 6321 6531 6523 6521 6168 6398 6199 6225 6235 6111 6581 6284,95 146,08. Configuración [0 6,90,45]s [0 5,90,45,-45]s [0 7,90]s [0 6,90,45]s [0 6,90,-45]s [0 6,90,45]s [0 5,90,-45,45]s [0 7,90]s [0 5,90,45,-45]s [0 6,90,-45]s [0 8]s [0 6,90,45]s [0 6,90,-45]s [0 7,90]s [0 8]s [0 6,90,-45 ]s [0 5,90,-45,45]s [0 6,90,45]s [0 8]s [0 5,90,45,0]s. %Diferencia con Obj etiv o 1,42 4,84 0,17 1,42 1,39 1,42 4,84 0,17 4,84 1,39 0,00 1,42 1,39 0,17 0,00 1,39 4,84 1,42 0,00 4,71. [0 8]s. TAB LA 5.3. Resultados de deflexión para geometría 1 por FEM. Criterio de detención: Número de cambios en el parámetro T En las pruebas realizadas evaluando con FEM, se encontró una media que difiere en un 2% con el valor mínimo objetivo. Dentro de las pruebas se encontró una diferencia máxi ma con el objetivo de 4.84%. La desviación entre las mediciones es baja (0,0004463215). Con un 95% de confiabilidad es posible afirmar que la media de mínima deflexión se encuentra en un intervalo µ=0,024692017±2.08e-4. El promedio de No. de Iteraciones es de 6284,95.. 33.

(39) IM -2006-II-16. FIG URA 5.5. Convergencia a la mínima def lexión de la geometría 1 por FEM. Criterio de detención: Número de iteraciones sin encontrar nuevo mínimo de la f unción. FIG URA 5.6. Convergencia a la mínima def lexión de la geometría 1 por TCL. Criterio de detención: Número de iteraciones sin encontrar nuevo mínimo de la f unción. 34.

(40) IM -2006-II-16. TCL Prueba Mínimo(m) Máximo(m) Iteraciones Configuración 1 0,0242 0,0242 2313 [0 8]s 2 0,0245 0,0249 2067 [0 6,45,0]s 3 0,0254 0,0288 2443 [0 7,902,45]s 4 0,0242 0,026 5690 [0 8]s 5 0,0251 0,027 2628 [0 5,90,0,45]s 6 0,0242 0,0261 3217 [0 8]s 7 0,026 0,0467 2090 [0 4,-45,0,45 2]s 8 0,0251 0,0252 2406 [0 5,90,0,90]s 9 0,0242 0,0258 2646 [0 7,45]s 10 0,0245 0,0245 2597 [0 6,452]s 11 0,0259 0,0266 2001 [0 4,90,0 2,90]s 12 0,025 0,0424 3123 [0 5,45,0,45]s 13 0,0242 0,026 4966 [0 7,-45]s 14 0,0242 0,0279 3826 [0 7,45]s 15 0,0245 0,0245 3678 [0 6,452]s 16 0,0245 0,0245 3262 [0 6,45,0]s 17 0,0245 0,0266 3616 [0 6,90,45]s 18 0,0242 0,0258 2139 [0 7,45]s 19 0,0245 0,0282 3188 [0 6,452]s 20 0,0242 0,0242 2891 [0 6,45]s 0,027795 3039,35 Promedio 0,024655 0,0005581 0,00577144 942,572664 Desv iación 0,0242 [0 8]s OBJETIVO. %Diferencia con Obj etiv o 0,00 1,24 4,96 0,00 3,72 0,00 7,44 3,72 0,00 1,24 7,02 3,31 0,00 0,00 1,24 1,24 1,24 0,00 1,24 0,00. TAB LA 5.4. Resultados de deflexión para geometría 1 por TCL. Criterio de detención: Número de iteraciones sin encontrar nuevo mínimo de la f unción Aunque con el nuevo criterio de detención, se encontraron en algunas pruebas mayores diferencias con el objetivo (7.445%), la diferencia de la media con el objetivo no supera el 2% con una desviación relativamente baja de 0,0005581. Nótese que el promedio de iteraciones para el nuevo criterio de detención es de 3039.35, que comparado con las 6236.45 del criterio de detención anterior repres enta una reducción del 50% en el No. de Iteraciones. Se puede afirm ar con 95% de confi abilidad que. la media de mínima deflexión se encuentra en el intervalo µ=0,02465±2.61e-4.. 35.

(41) IM -2006-II-16. Prueba 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Promedio Desv iación OBJETIVO. Mínimo(m) 0,0245841235 0,0254137982 0,0254137938 0,0242410000 0,0253830884 0,0242827126 0,0242410000 0,0242827126 0,0254137938 0,0242410000 0,0253830884 0,0242827126 0,0245775804 0,0254137938 0,0242410000 0,0245775804 0,0245841235 0,0242410000 0,0254137938 0,0242410000 0,0247226348 0,0005288412 0,0242410000. Máximo(m) 0,0322967070 0,0387073333 0,0295262149 0,0609583919 0,0421640550 0,0609583919 0,0518680415 0,0308219448 0,0568998564 0,0298435424 0,0402340110 0,0309067795 0,0308408670 0,0308219448 0,0459865656 0,0495268544 0,0387073333 0,0345322690 0,0308219448 0,0289646542 0,0397693851 0,0109586207. FEM Iteraciones 4681 2081 3254 4326 3254 3156 3248 4215 3110 2598 2894 3444 3271 3511 2984 2541 4301 3321 3558 3526 3363,70 640,12. Configuración [0 6,90,45]s [0 5,90,-45,45]s [0 5,90,-45,45]s [0 8]s [0 5,90,45,0]s [0 7,90]s [0 8]s [0 7,90]s [0 5,90,-45,45]s [0 8]s [0 5,90,45,0]s [0 7,90]s [0 6,90,-45]s [0 5,90,-45,45]s [0 8]s [0 6,90,-45]s [0 6,90,45]s [0 8]s [0 5,90,-45,45]s [O8]s. %Diferencia con Obj etiv o 1,42 4,84 4,84 0,00 4,71 0,17 0,00 0,17 4,84 0,00 4,71 0,17 1,39 4,84 0,00 1,39 1,42 0,00 4,84 0,00. [O8]s. TAB LA 5.5. Resultados de deflexión para geometría 1 por FEM. Criterio de detención: Número de iteraciones sin encontrar nuevo mínimo en la f unción P ara el nuevo criterio de detención, las diferencias con el objetivo no superan el 5% y la diferencia entre el Objetivo y la media no supera el 2%. El P romedio de Iteraciones fue de 3363,70 que comparado con las 6284,95 iteraciones del criterio anterior representa casi un 50% en el número de iteraciones para resultados de deflexión con un 95% de confiabilidad entre µ=0,02472±2.47e-4.. 36.

(42) IM -2006-II-16 Al comparar los resultados obtenidos por medio de TCL y FEM para un mismo criterio de detención, se presenta con un 95% de confiabilidad que no existe diferencia significativa entre los dos métodos, tanto para valores de deflexión mínima como en número de iteraciones, esto indica que a nivel de resultados de deflexión y de número de iteraciones, la evaluación con ambos métodos produce resultados similares. Sin embargo es necesario tener en cuenta que una iteración usando FEM es significativamente más lenta que una para TCL. 5.1.2 MINIMIZACIÓN DEL CRITERIO DE FALLA TS AI-WU De la misma manera como se hizo para el caso de deflexión, se realizó la minimización del índice de falla de Tsai-Wu (TSW) para un laminado simétrico de 16 capas. Este procedimiento de minimización de este índice de falla equivale a realizar la maximización de la resistencia del laminado, pues permite establecer la secuencia de laminación óptima para que el laminado esté lejos de sufrir la falla. El criterio propuesto para la falla del laminado, fue la falla en la primera de las capas del laminado con un factor de seguridad de 1, por lo cual es necesario hacer una revisión del criterio de TsaiWu en cada una de las capas que conforman el laminado. El proceso se llevó acabo inicialmente realizando la optimización por RS evaluando la función objetivo TSW utilizando análisis por FEM Y TCL. En el análisis por FEM , se utilizaron las mismas condiciones y tipo de elemento que se usaron para el análisis de deflexión y el tipo de enmallado mostrado en la Figura 5.2. Para esto es necesario considerar los diferentes valores de resistencia en tensión, compresión y cortante para cada una de las direcciones. Adicionalmente al hallar los valores del criterio de falla, es indispensable recorrer capa por capa el laminado para establecer el valor mayor del criterio de falla. Recuérdese que el criterio de Tsai-Wu, está definido como un criterio de falla para una lámina ortotrópica y no para el laminado completo. Por esto al aplicar una carga al laminado, es necesario inspeccionar capa por capa para identificar si en alguna de estas se supera el valor permisible del criterio TsaiWu.. 37.

(43) IM -2006-II-16. De igual forma ocurre al realizar el análisis por TCL. Se deben encontrar los esfuerzos principales en cada una de las láminas k del laminado utilizando las ecuaciones mostradas en la sección 2 de este documento, para de esta forma resolver la expresión de índice de falla de Tsai-Wu (TSW) tal y como se especificó en la sección 4.3. Este procedimiento debe ser realizado para todas capas del laminado para verificar si en alguna de ellas se sobrepasa el criterio. Si en ninguna de estas se sobrepasa, se puede referir a un laminado seguro (no falla), mientras que si en al menos una de las láminas se sobrepasa, se considera que el laminado ha fallado. TCL calcula el valor TSW a partir de esfuerzos promedio sobre una capa k que deben ser orientados en dirección de los ejes principales. Para este caso se realizaron 20. pruebas para cada una de los métodos de. evaluación con el fin de comprobar la confiabilidad del algoritmo. El criterio de detención inicialmente propuesto fue un valor de T=8.25, lo que corresponde a 80 cambios de temperatura durante el algoritmo. Las gráficas típicas obtenidas del procedimiento utilizando FEM y TCL como mecanismos de evaluación de la función objetivo de criterio de falla, son mostradas en las figuras 5.7 y 5.8 respectivamente. Los resultados correspondientes a estos análisis se muestran en la tabla 5.6.. De igual manera que para el caso de deflexión, se determinó por inspección de las gráficas obtenidas de las 20 pruebas realizadas para TCL y el mismo número de pruebas correspondientes a FEM , un número de iteraciones sin encontrar nuevos valores mínimos de la función objetivo. Este número fue fijado en 4000. Los datos se muestran en la tabla 5.7 y puede apreciarse la evolución del nuevo algoritmo en las figuras 5.9 y 5.10.. 38.

(44) IM -2006-II-16. Convergencia al mínimo índice de falla Tsai-Wu 100,000 90,000 80,000. TSAI-WU. 70,000 60,000 Val or máximo en A. 50,000 40,000 30,000 20,000 10,000. 9316. 8695. 8074. 7453. 6832. 6211. 5590. 4969. 4348. 3727. 3106. 2485. 1864. 1243. 622. 1. 0,000. No. Iteraciones. Convergencia al mínimo índice de falla Tsai-Wu 0,900 0,800 0,700. Tsai-Wu. 0,600. Valor mínimo en A. 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100. 9457. 8866. 8275. 7684. 7093. 6502. 5911. 5320. 4729. 4138. 3547. 2956. 2365. 1774. 1183. 592. 1. 0,000. No. Iteraciones FIG URA 5.7. Convergencia al mínimo índice del criterio de falla de Tsai-Wu para geometría 1 por FEM. Criterio de detención: Número de cambios en el parámetro T. 39.

(45) IM -2006-II-16. FIG URA 5.8. Convergencia al mínimo índice del criterio de falla de Tsai-Wu para geometría 1 por TCL. Criterio de detención: Número de cambios en el parámetro T. 40.