Profesor: Freddy Cardoza Materia: Matemáticas II
Clase del día 25/04/2011 Turno Tarde Preámbulo:
Un hombre invierte dinero en una cantidad de acciones de Savoy, CANTV y EDC, se conoce que el precio total de las acciones era de 138900 Bsf. para el 21 de Nov., 131220 para el 28 de Nov. y de 121280 para el 5 de Dic., adicionalmente se sabe que:
– 21 de Nov. Cada acción valía 16,98 Bsf, 9,0 Bsf y 9,0 Bsf respectivamente. – 28 de Nov. Cada acción valía 15,90 Bsf, 8,72 Bsf y 8,52 Bsf respectivamente. – 5 de Dic. Cada acción valía 14,08 Bsf, 8,2 Bsf y 8,76 Bsf respectivamente. Determine el número de acciones de cada tipo.
Respuesta:
Si observamos con cierto detalle notamos que tenemos tres incógnitas que corresponde al número de acciones que ha adquirido el hombre de las tres empresas; además de ello podemos ver que existe una relación directa entre el precio total de las acciones y el costo individual de cada una de ellas.
Si agrupamos estos datos por fechas vemos que contamos con tres ecuaciones, cada una con tres incógnitas:
16,98X + 9,0Y + 9,0Z = 138900 15,9X + 8,72Y + 8,52Z = 131220 14,08X + 8,2Y + 8,76Z = 121280 Donde,
X es el número de acciones de Savoy. Y es el número de acciones de CANTV. Z es el número de acciones de EDC.
El sistema de ecuaciones de arriba puede resolverse mediante los métodos visto en secundaria (sustitución, igualación, eliminación, etc.), pero esto en la mayoría de los casos puede ser una tarea tediosa debido al trabajo que debe realizarse, por lo que es conveniente desarrollar un método que me permita resolver con una mayor celeridad sistemas como el de arriba y muchos más complejos que este.
Método Gauss Jordan:
Antes de explicar el método, realicemos una representación matricial con los datos del problema del preámbulo
Este sistema corresponde a la forma:
Donde,
A corresponde a los coeficientes asociados a las variables. x corresponde a las variables involucradas.
b corresponde a los términos independientes Cuya matriz ampliada corresponde a:
Dejemos atrás el problema del preámbulo para concentrarnos en la forma de resolver sistemas como el que se mencionó arriba.
En principio el objetivo del método Gauss Jordan es llegar a una matriz escalonada (matriz cuya diagonal principal todos sus elementos son iguales a 1 y el resto iguales a 0), para ello primero se determinará un pivote (elemento de la diagonal principal que debe ser igual a 1) y mediante operaciones fila – columna reducir el resto de los elementos de esa columna a 0.
Las operaciones fila – columna mencionadas en el párrafo anterior pueden ubicarse en alguna de estas tres opciones:
– Suma y resta de filas.
– Multiplicación por un escalar. – Intercambio de filas.
Un poco más adelante se explicará mediante un ejercicio como se aplica este método, antes de ellos haremos un pequeño paréntesis para mencionar los tipos de soluciones que podemos encontrar al resolver un sistema de ecuaciones lineales, los cuales son:
– Solución única (las variables involucradas pueden tomar un único valor), a esto se llama
16,98 9,0 9,0 138900
15,9 8,72 8,52 131220
14,08 8, 2 8,76 121280
X Y Z
=
Ax br r=
16,98 9,0 9,0 138900 15,9 8,72 8,52 131220 14,08 8, 2 8,76 121280
sistema compatible determinado.
– Infinitas soluciones (todas las variables quedan en función de una o más variables del sistema), esto es un sistema compatible indeterminado.
– Sin solución (no es posible encontrar valores numéricos de las variables que satisfagan todas las ecuaciones del sistema), esto es un sistema incompatible.
Ejemplo 1:
Encontrar la solución del siguiente sistema:
Escribimos primero la matriz ampliada:
Las columnas corresponde a los coeficientes de las variables a, b, c y d respectivamente, la línea punteada se coloca para diferenciar las variables de los términos independientes (última columna a la derecha).
Comenzamos a resolver:
Tomamos el elemento a11 que corresponde al ubicado en la esquina superior izquierda, este elemento
debe hacerse igual a 1, como ya presenta esta condición omitimos este paso, este elemento se convierte en mi primer pivote.
Con ese pivote procedemos a hacer cero el resto de elementos de esa columna, para ello realizamos la operación f4 = f4 - 2f1 la letra f corresponde a una abreviatura para la palabra fila, el subíndice me dice
que filas están involucradas en la operación, realizando una lectura completa la expresión anterior me dice que a la fila 4 le estoy restando dos veces la fila 1 (negativo por que el elemento a41 es positivo y
dos veces por que el término es 2), esta operación es la que se observa a continuación.
Observa que a las filas dos y tres se colocan igual por que no se realizó ninguna operación con ellas. 6
3
2 4
2 3 5
a b b c
c d
a d
− = −
+ =
+ =
− =
1 1 0 0 6
0 1 1 0 3
0 0 1 2 4
2 0 0 3 5
− −
−
4 4 2 1
1 1 0 0 6 1 1 0 0 6
0 1 1 0 3 0 1 1 0 3
0 0 1 2 4 0 0 1 2 4
2 0 0 3 5 0 2 0 3 17
f = −f f
− − − −
→
− −
columna 2 con el siguiente pivote ubicado en el elemento a22.
Como este elemento es igual a 1 puedo proceder a hacer cero el resto de los elementos de esa columna (a12 y a42).
De igual forma repetimos el procedimiento con las columnas 3 y 4,
Donde se concluye que:
a = 31, b = 37, c = -34 y d = 19 Ejemplo 2:
Resolver:
Al realizar la matriz ampliada se nota que el primer término no es igual a 1, por lo que procedemos a dividir entre 3 toda la fila 1 para hacerlo igual a 1 y poder aplicar el método.
Aplicado esto me quedan algunas fracciones (lo que es muy común al realizar este método), por lo que al realizar los cálculos siguientes no debo olvidar determinar el mínimo común múltiplo en las secciones donde corresponda hacerlo.
1 1 2 4 4 2 2
1 1 0 0 6 1 0 1 0 3
0 1 1 0 3 0 1 1 0 3
0 0 1 2 4 0 0 1 2 4
0 2 0 3 17 0 0 2 3 11
f f f
f f f
= + = −
− − −
→
− − −
1 1 3 2 2 4
2 2 3 3 3 4
4 4 3 1 1 4
2 2
2 2
1 0 1 0 3 1 0 0 2 7 1 0 0 0 31
0 1 1 0 3 0 1 0 2 1 0 1 0 0 37
0 0 1 2 4 0 0 1 2 4 0 0 1 0 34
0 0 2 3 11 0 0 0 1 19 0 0 0 1 19
f f f f f f
f f f f f f
f f f f f f
= − = +
= − = −
= + = −
− −
− −
→ →
−
− −
3 2 3 5
2 4 2
x y z
x y z
− − =
+ − =
1 1
1 3
2 1
1 1
3 2 3 5
3 3
2 4 1 2 2 4 1 2
f= f − −
− −
→
−
Al llegar a este momento, vemos que se me acabaron los pivotes, por lo que la ecuación me queda de la siguiente forma:
Despejando ambas ecuaciones en función de la variable z nos queda:
Lo que es lo mismo,
Que es un ejemplo de un sistema que tiene infinitas soluciones.
2 2 1 1 2
2 2 1
3 2
2 16 3
2 1 2 1 7 1
2 1 1 1 1 1 1 0
1 1 3 3 3 3 8 2
3 3
16 4 3 1 3 1
2 4 1 2 0 1 0 1 0 1
3 3 16 4 16 4
f f f f f
f =f− f = = +
− − − − − − −
→ → →
−
7 1
8 2
3 1
16 4
x z
y z
− =
+ =
1 7 2 8
1 3
4 16
x z
y z
= +
= −
1 7 2 8
1 3
4 16
x
y
z
τ
τ τ = +
= −
