5.2
Integral Definida
Definici´on de Integral Definida
El concepto de integral definida se construye a partir de la idea de pasar al l´ımite una suma cuando el n´umero de sumandos tiende a infinito y simult´aneamente cada uno de los sumandos tiende a cero. Para determinar con precisi´on esta idea introduciremos las siguientes definiciones:
Definici´on. Dado un intervalo [a, b] llamaremos partici´on de [a, b] a toda colecci´on de n+ 1 puntos P = {x0, x1,· · ·, xn} tales que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.
Toda partici´on P del intervalo [a, b] lo divide en n subintervalos [xk−1, xk] de anchuras
respectivas ∆xk=xk−xk−1.
Definici´on. Dada una funci´on f(x) definida en el intervalo [a, b], una partici´on P = {x0, x1,· · ·, xn} de [a, b] y dados n puntos ξ ={ξ1, ξ2,· · ·, ξn} tales que ξk ∈[xk−1, xk],
se llama suma integral o suma de Riemann de la funci´on f(x) en [a, b] correspondiente a la partici´onP y a la elecci´on de puntosξ a la suma siguiente:
S(f, P, ξ) =
n
∑
k=1
f(ξk)∆xk=f(ξ1)∆x1+· · ·+f(ξn)∆xn
Si suponemos que la funci´on es continua2en [a, b] entonces, por el teorema de Weierstrass, f(x) alcanza su valor m´aximo Mk y su m´ınimo mk en cada subintervalo [xk−1, xk],
podemos entonces construir las sumas de Riemann correspondientes a dichos valores, obteniendo lasuma superior de Riemanndef(x) en [a, b] con respecto a la partici´onP:
U(f, P) =
n
∑
k=1
Mk∆xk
y la respectiva suma inferior:
L(f, P) =
n
∑
k=1
mk∆xk
Es evidente entonces que el conjunto de todas las sumas de Riemann de una funci´on dada en un intervalo, con respecto a una partici´on concreta P, est´a acotado superiormente por U(f, P) e inferiormente porL(f, P).
Definici´on. Se dice que una funci´onf(x) definida en [a, b] es integrable (en el sentido de Riemann, o simplemente integrable) en [a, b] si el supremo de todas sus sumas inferiores
de Riemann coincide con el ´ınfimo de todas sus sumas superiores. A dicho n´umero se le denominaintegral definida o integral de Riemannde f(x) en [a, b] y se denota como:
∫ b
a
f(x)dx
Es posible definir de manera equivalente la integral definida como el l´ımite de las sumas de Riemann de la funci´on en el intervalo cuando el n´umero de puntos de las particiones consideradas tiende a infinito mientras que la anchura m´axima de los subintervalos deter-minados por la partici´on tiende a cero, siempre que dicho l´ımite sea adem´as independiente de la elecci´on de puntos realizada para construir las sumas de Reiemann.
La definici´on de integral definida se completa a˜nadiendo que se considerar´a tambi´en el caso en el quea > b, y el caso a=b, de la forma:
∫ b
a
f(x)dx=− ∫ a
b
f(x)dx ;
∫ a
a
f(x)dx= 0
Propiedades b´asicas
1. Sif(x) es integrable en [a, b] entonces est´a acotada en [a, b]. 2. Sif(x) es continua en [a, b] entonces es integrable en [a, b].
3. Si f(x) est´a acotada en [a, b] y presenta en dicho intervalo un n´umero finito de discontinuidades, entonces es integrable en [a, b].
4. La integral definida es lineal, es decir: Si f(x) y g(x) son dos funciones integrables en [a, b], entonces su suma tambien lo es y se verifica:
∫ b
a
(f(x) +g(x))dx= ∫ b
a
f(x)dx+ ∫ b
a
g(x)dx mientras que sik es un n´umero real cualquiera, entonces:
∫ b
a
kf(x)dx=k ∫ b
a
f(x)dx 5. Dados tres n´umeros reales a, byc, se verifica:
∫ b
a
f(x)dx= ∫ c
a
f(x)dx+ ∫ b
c
f(x)dx siempre que las integrales anteriores existan.
6. Sif(x)≤g(x), ∀x∈[a, b] y ambas son integrables en [a, b], entonces se verifica: ∫ b
a
f(x)dx≤ ∫ b
a
g(x)dx 7. Sia < b yf(x) es integrable en [a, b], se verifica:
∫abf(x)dx≤ ∫ b
a
5.2.1 Teorema Fundamental del C´alculo y Regla de Barrow
Teorema del Valor Medio del C´alculo Integral. Sif(x) es una funci´on continua en el intervalo [a, b], entonces existe en [a, b] al menos un punto ctal que se verifica:
∫ b
a
f(x)dx= (b−a)f(c)
Nota: al n´umero real ¯f = b−1a∫abf(x)dx se le llama valor medio o valor promedio def(x) en [a, b].
Demostraci´on: Dado que f(x) es continua en [a, b], por el teorema de Weierstrass alcanza en [a, b] su valor m´aximo,M y su m´ınimo, m. Tendremos entonces, utilizando las propiedades anteriormente expuestas:
m≤f(x)≤M, ∀x∈[a, b]⇒
∫ b
a
m dx≤ ∫ b
a
f(x)dx≤ ∫
M dx⇒m(b−a)≤
∫ b
a
f(x)dx≤M(b−a) y as´ı:
m≤ ∫b
a f(x)dx b−a ≤M
Pero al ser M ymalcanzados en [a, b] (supongamos que en los puntosx1 yx2, [x1, x2]⊂[a, b]), tendremos que f(x) alcanza todos los valores intermedios entre m y M, y por tanto: ∃c ∈ [x1, x2]⇒c∈[a, b] tal que:
f(c) =
∫b a f(x)dx
b−a Q.E.D.
Plantearemos a continuaci´on el Teorema Fundamental del C´alculo, que relaciona dos conceptos aparentemente diferentes como son el de integral indefinida (operaci´on inversa o rec´ıproca de la derivaci´on) y el de integral definida (l´ımite de sumas cuando el n´umero de sumandos tiende a infinito mientras que cada sumando tiende a cero):
Teorema Fundamental del C´alculo. Seaf(x) una funci´on continua en el intervalo [a, b], entonces la funci´on F(x) definida de la forma:
F(x) = ∫ x
a
f(t)dt
en el intervalo [a, b] es derivable en (a, b) y adem´asF′(x) =f(x).
Nota: Sif(x) es integrable pero no continua en [a, b] entonces s´olo podemos asegurar queF(x) es continua en [a, b], pero la derivabilidad deF(x) s´olo est´a garantizada en los puntos de continuidad def(x).
La funci´on F(x) tiene un significado geom´etrico evidente dado que nos proporciona el “´area determinada3” por la gr´afica def(x) entre el punto inicialay un punto concretoxdel intervalo [a, b].
3
Regla de Barrow. Si f(x) es continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f(x) en [a, b], entonces se verifica:
∫ b
a
f(x)dx= G(x)|ba=G(b)−G(a)
Demostraciones:
Demostraremos en primer lugar el Teorema Fundamental del C´alculo: Dada la funci´onf(x) continua en [a, b], definiremos entonces en [a, b] la funci´on:
F(x) =
∫ x
a
f(u)du
Consideremosh >0 tal quexyx+hpertenezcan ambos al intervalo [a, b], tendremos entonces (aplicando las propiedades b´asicas de las integrales) que:
F(x+h)−F(x) =
∫ x+h
a
f(u)du− ∫ x
a
f(u)du=
∫ x+h
x
f(u)du
Aplicando a continuaci´on el Teorema del Valor Medio en el intervalo [x, x+h], existir´a un valor c∈[x, x+h] tal que:
∫ x+h
x
f(u)du=f(c)(x+h−x) =f(c)h Pero entonces la derivada deF(x) en el punto xse re-escribe de la forma:
F′(x) = lim h→0
F(x+h)−F(x)
h = limh→0f(c)
y dado quef(x) es continua en [a, b] y, en consecuencia, en [x, x+h], tendremos que h→0 nos lleva a quex≤c≤x+h⇒x≤c≤x, y en definitiva, al serf(x) continua:
lim
h→0f(c) = limc→xf(c) =f(x)⇒F
′(x) =f(x)
Q.E.D4.
Demostraci´on de la regla de Barrow:
Dada al funci´on continuaf(x) en [a, b], si G(x) es una primitiva def(x) en [a, b] tendremos que, dado queF(x) definida anteriormente tambi´en lo es, ambas deben diferenciarse tan s´olo en una constanteC, de esta forma:
G(x)−F(x) =C , ∀x∈[a, b] En particular:
G(a)−F(a) =C⇒G(a)−
∫ a
a
f(x)dx=C
G(b)−F(b) =C⇒G(b)−
∫ b
a
f(x)dx=C
restando ambas expresiones, y considerando que∫aaf(x)dx= 0, tendremos:
∫ b
a
f(x)dx=G(b)−G(a)
Q.E.D.
4
5.3
Integrales Impropias
En la construcci´on y definici´on de integral definida o integral de Riemann hemos par-tido de una funci´on f(x) definida en un intervalo finito [a, b] y adem´as acotada en el mismo. Las integrales impropias se definen precisamente para contemplar la posibilidad de integrar en intervalos infinitos, por un lado, e integrar funciones no acotadas, por otro.
Integrales Impropias de Primera Especie
Una integral impropia de primera especie es una integral extendida a un intervalo no finito. Para definirla utilizaremos la siguiente expresi´on:
∫ ∞
a
f(x)dx= lim
b→∞
∫ b
a
f(x)dx
Si dicho l´ımite existe y es finito diremos que la integral impropia de primera especie ∫ ∞
a
f(x)dx es convergente, en caso contrario ser´a divergente.
De manera an´aloga se definen las integrales impropias de primera especie siguientes: ∫ b
−∞f(x)dx= lima→−∞
∫ b
a
f(x)dx ; ∫ ∞
−∞f(x)dx= limk→∞
∫ k
−k
f(x)dx
Integrales Impropias de Segunda Especie
Una condici´on necesaria para quef(x) fuera integrable en [a, b] era que estuviera acotada en [a, b]. Sif(x) es integrable en [a, b−ε] y no est´a acotada en un entorno deb, definimos la integral impropia de segunda especie:
∫ b
a
f(x)dx= lim
ε→0+
∫ b−ε
a
f(x)dx La integral ser´a convergente si el l´ımite existe y es finito. Ejemplos: Una integral impropia de primera especie convergente:
∫ ∞
0
dx
x2+ 1 = limb→∞(arctanb−arctan 0) =
π 2
y otra de segunda especie:
∫ 1
0
dx √
1−x2 = limε→0+(arcsen(1−ε)−arcsen 0) =
5.4
Aplicaciones geom´
etricas de la Integral definida
C´alculo de ´Areas.
Funciones expl´ıcitas en Coordenadas Cartesianas.
Dada una curvay =f(x), el ´area determinada por dicha curva, las rectas x=a, x=b (cona < b) y el eje de abscisas nos viene dada por la integral definida:
A = ∫ b
a
|f(x)|dx
En el caso de que la variable despejada sea la x, es decir una ecuaci´on expl´ıcita de la formax=g(y), la expresi´on:
A = ∫ d
c
|g(y)|dy
nos proporciona el ´area determinada por el eje de ordenadas, las rectas y =c, y=d y la gr´afica deg(y).
Expresiones en param´etricas:
El ´area delimitada por la curvacexpresada en ecuaciones param´etricas,c≡ {
x=x(t) y=y(t) y el eje OX entre las abscisasx(t1) y x(t2) es,
A= ∫ t2
t1
|y(t)||x′(t)|dt
Expresiones en coordenadas polares:
El ´area delimitada por la curva cexpresada en ecuaciones polares r =r(θ) y las rectas radialesθ=θ1 yθ=θ2 es dada por,
A= 1 2
∫ θ2
θ1
r2(θ)dθ
C´alculo de longitudes de arco de curva:
Expresiones en coordenadas cartesianas:
La longitud de la curva y = f(x) entre las abscisas x = x1 y x = x2 viene expresada
mediante la f´ormula:
L= ∫ x2
x1
√
Expresiones en param´etricas:
La longitud de la curvac≡ {
x=x(t)
y =y(t) entre las abscisasx(t1) yx(t2) viene dada por:
L= ∫ t2
t1
√
(x′(t))2+ (y′(t))2dt
Expresiones en coordenadas polares:
La longitud de la curva r =r(θ) entre las coordenadas angulares θ=θ1 yθ=θ2 viene
dada como:
L= ∫ θ2
θ1
√
(r(θ))2+ (r′(θ))2dθ
C´alculo de vol´umenes de revoluci´on (alrededor del eje OX):
Expresiones en coordenadas cartesianas:
El volumen generado por la curvay=y(x) al girar alrededor del eje OX entre las abscisas x1 yx2 corresponde a la f´ormula:
V =π ∫ x2
x1
(f(x))2dx
Expresiones en param´etricas
El volumen de revoluci´on respecto del eje OX de la curva (x(t), y(t)) delimitado por las abscisasx(t1) y x(t2) est´a dado por:
V =π ∫ t2
t1
(y(t))2|x′(t)|dt
Expresiones en coordenadas polares:
El volumen de revoluci´on de la curvar=r(θ) sobre el eje OX delimitado por las variables angulares θ1 yθ2 es
V = 2π 3
∫ θ2
θ1
r3(θ)|senθ|dθ
C´alculo de ´areas de revoluci´on (alrededor del eje OX):
Expresiones en coordenadas cartesianas:
El ´area lateral referido anteriormente de la curva y = f(x) entre las abscisas x1 y x2
ser´a:
AL= 2π
∫ x2
x1
|f(x)|√1 + (f′(x))2dx
Expresiones en param´etricas:
En ecuaciones param´etricas, el ´area lateral limitada por las abscisasx(t1) yx(t2) viene
dada por:
AL= 2π
∫ t2
t1
|y(t)|√(x′(t))2+ (y′(t))2dt
Expresiones en coordenadas polares:
La expresi´on en coordenadas polares es:
AL= 2π
∫ θ2
θ1
