Solucionario. Cómo contar hasta el infinito

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Solucionario

“Cómo contar hasta el infinito”

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www.planetalector.com -2- Introducción

1. La imagen que se suele tener de las matemáticas es la de una materia aburrida e incomprensible, y se considera que quienes las practican son personas alejadas de la realidad y únicamente interesadas en los números.

Respuesta libre.

2. La respuesta a esta pregunta es abierta y podría incluir algunas de las siguientes opciones:

a) Su ámbito lo abarca todo, desde lo microscópico hasta lo infinito.

b) Tienen tanto que ver con lo desconocido como con lo conocido. c) Pueden ser revoltosas y díscolas, pero también serenas y

delicadas.

Capítulo 1. Cómo resolver cualquier ecuación

1. La de contar.

2. Los números racionales expresan la razón o proporción existente entre dos números.

3.

Hacia la izquierda. Hacia la derecha.

4. Significa que no es posible hallar un equivalente exacto a ese número en forma de fracción. Un ejemplo de número irracional es

π. 5.

En el siglo XIX.

Conjunto de los números reales. 6. Se le dio el nombre de i.

7. Diagrama de Argand. Los números reales se sitúan en el eje horizontal, y los imaginarios, en el vertical. De ese modo, cualquier punto que se señale en el plano puede medirse mediante una coordenada real y otra imaginaria.

Capítulo 2. Cómo convertirse en un matemático ilustre

1. Los triángulos rectángulos son las formas más sencillas que se pueden construir mediante líneas rectas. A partir de ellos se pueden generar cuadrados, rectángulos y aun formas de más dimensiones, como cubos u ortoedros.

2. La relación existente entre los lados de un triángulo rectángulo. Según el teorema de Pitágoras los cuadrados de los dos lados

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menores del triángulo (catetos) suman lo mismo que el cuadrado del mayor (hipotenusa).

3. Se puede consultar información sobre Pitágoras y los pitagóricos en

los siguientes enlaces:

http://www.sinfoniavirtual.com/revista/003/pitagoras_musica_mat ematicas.php

http://www.pitagores.com/pythagorasdesamos.htm

4. Las cajas de Euler son poliedros cuyas aristas y cuyas diagonales de sus caras son números enteros. Constituyen el equivalente tridimensional de la terna pitagórica, esto es, conjuntos de tres números que corresponden a los lados de un triángulo rectángulo. Por ejemplo, 3, 4 y 5 forman una terna pitagórica, ya que 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52

5. Andrew Wiles, de la Universidad de Cambridge, al establecer en 1995 que la ecuación = , para todo n ≥ 3, carece de solución, pues no existe ninguna combinación de números enteros que la satisfaga.

Capítulo 3. Cómo hallar la cuadratura del círculo

1. No existe un método geométrico que permita la cuadratura del círculo, es decir, relacionar un círculo y un cuadrado de igual área, únicamente con ayuda de una regla y un compás.

2. Respuesta abierta.

Una posible respuesta por parte de los alumnos podría hacer referencia a que hasta el siglo XVIII, cuando se descubrió que π es

un número irracional, esto es, que nunca podrá expresarse con exactitud mediante una fracción, diversas culturas le atribuyeron un valor aproximado, como los babilonios: (3,125) o los egipcios

(aproximadamente, 3,160).

3. La representación más común de π es 3,141592653..., basada en el sistema decimal.

Capítulo 4. Cómo ganar un millón

1. Los números primos son números enteros no divisibles por ningún otro. Son, por lo tanto, aquellos números a partir de los cuales se construyen todos los demás.

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2. El mayor número primo conocido en la actualidad es – 1, esto es, el resultado de multiplicar el número 2 por sí mismo 43.112.609 veces y restarle la unidad. Fue descubierto en 2008 por los participantes en el proyecto «Great Internet Mersenne Prime Search», dedicado a la búsqueda de números primos de Mersenne

3. En el siguiente enlace

http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm

se ofrece el texto completo de esta obra, estructurada en 13 libros. En los libros VII, VIII y IX Euclides desarrolla su teoría de los

números. En concreto, en el último de ellos, se refiere a la resolución unívoca de un número en sus factores primeros y el teorema que establece la cantidad infinita de números primos. 4. Dos números primos son primos gemelos cuando entre ellos existe

la menor diferencia posible entre números primos, es decir, 2. La conjetura de los números primos gemelos sostiene que la lista de estos números es infinita, aunque no existe la seguridad de que sea así.

Son ejemplos de números primos gemelos el 3 y el 5, el 17 y el 19 o el 59 y el 61.

5. El número de primos que hay entre 1 y n es aproximadamente igual a , en donde ln n es el logaritmo neperiano de n. Los logaritmos neperianos, basados en el número e, desempeñan un papel relevante en la teoría de los números primos. ln b = a significa que

= b.

6. La hipótesis de Riemann tiene una importancia significativa en la teoría de los números por su relación con la distribución de los números primos. Mediante una fórmula establece la cantidad exacta de números primos existente hasta un límite determinado. Está considerado el mayor enigma matemático de cuantos quedan por resolver

Capítulo 5. Cómo cazar un monstruo matemático

1. En el ámbito matemático, la simetría recibe el nombre de «teoría de grupos». El principal objeto de estudio de esta teoría son los grupos, es decir, entidades abstractas en las que se encierra la esencia de la simetría. Los grupos son colecciones de objetos con una serie de leyes que rigen su combinación.

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2.

a) Siempre que se combinan dos simetrías se obtiene una tercera. b) Existe una simetría especial, la identidad, que no tiene efecto alguno.

c) Toda simetría posee una simetría opuesta o inversa que la contrarresta.

3.

4. El teorema de Jordan y Hölder establece que hay grupos que pueden descomponerse en otros menores y otros que no (llamados «grupos simples»). La condición indispensable para entender los grupos finitos consiste en determinar cuáles son los grupos simples posibles.

5. Hay 18 familias diferentes de grupos simples finitos. Cada familia contiene un número infinito de esos grupos. El teorema de clasificación prueba que todo grupo simple finito debe pertenecer a uno de esos 18 tipos.

6. Existen 26 grupos individuales que no pueden incluirse en las 18 familias establecidas por la teoría de grupos. El mayor de esos 26 grupos, una criatura formidable, se conoce como «el monstruo». La existencia del monstruo la predijeron en 1973 Bernd Fischer y Robert Griess. Este último lo construiría siete años más tarde.

Capítulo 6. Cómo dominar un sudoku

1. Los sudokus se basan en los cuadrados latinos.

Un cuadrado latino es una tabla de 3 3 casillas a cada una de las cuales se asigna un número, del 1 al 3, de tal modo que cada uno de los dígitos aparezca una sola vez en cada fila y en cada columna.

El reto se puede ampliar a estructuras de 4 4, de 5 5 u otras dimensiones que se deseen asignar.

2. Sí, los de 6 6, tal como sugirió Euler y confirmó Gaston Tarry. 3. El diseño de experimentos científicos. El fin es el de hacerlos lo más

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4. La base del sudoku es un cuadrado latino de 9 9 en el que hay que disponer los dígitos del 1 al 9 de manera que ninguno se repita en la misma fila ni en la misma columna. La cuadrícula de 9 9 está dividida, a su vez, en 9 cuadrados de 3 3, cada uno de los cuales debe contener también todas las cifras comprendidas entre el 1 y el 9.

5. Se sospecha que el menor número de pistas que hay que dar al jugador de sudoku para garantizar una solución única es 17. En cualquier caso, no es mayor de esa cifra.

Capítulo 7. Cómo desatar el caos

1. Una aplicación logística es el ejemplo más simple de proceso matemático caótico. Para definirla se precisan tres números. Uno de los datos, x, toma un valor entre 0 y 1. El segundo valor es 1 –

x. El tercero (llamado parámetro) constituye la clave de todo el sistema. Se designa con la letra r y se mantiene constante durante todo el proceso, que se puede expresar mediante la siguiente fórmula:

2. Dadas determinadas condiciones iniciales en un sistema caótico, la menor alteración o evolución en estas puede provocar en el comportamiento a largo plazo de la secuencia cambios que la harían irreconocible.

Al parecer, la expresión «efecto mariposa» proviene de un proverbio chino según el cual el aleteo de las alas de una mariposa puede sentirse al otro lado del mundo, puede provocar un tsunami al otro lado del mundo o, también, puede cambiar el mundo.

Capítulo 8. Cómo sobrevivir a un remolino

1. El espacio recorrido por el tren, en el eje vertical, y el tiempo, en el horizontal.

2. Una línea recta.

3. Gradiente. En el ejemplo del tren, el gradiente señala la tasa de variación en la posición de ese medio de transporte.

4. El cálculo infinitesimal tuvo gran importancia en el estudio de la dinámica de fluidos, desarrollada por Leonhard Euler a mediados del siglo XVIII.

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www.planetalector.com -7- Capítulo 9. Cómo hacerse millonario en la Bolsa

1. Lewis Fry Richardson consiguió importantes avances en campos como la previsión meteorológica, la dinámica de fluidos y la estadística. Además contribuyó al desarrollo de lo que en la actualidad se conoce con el nombre de «fractales».

2. L. F. Richardson se crió entre cuáqueros y ese hecho determinó sus convicciones pacifistas, que impidieron su participación en la primera guerra mundial, así como que formara parte de cualquier investigación científica destinada a usos militares.

3. La alfombra de Sierpiński, uno de los primeros fractales, se construye trazando un cuadrado que se divide en nueve cuadrados más pequeños para después eliminar el del centro. Luego se vuelven a dividir en nueve los ocho cuadrados restantes, y se suprime de nuevo el central. El proceso se repite infinitas veces hasta obtener la alfombra.

Capítulo 10. Cómo correr más que una bala

1. Zenón demostraba sus hipótesis mediante paradojas. Una de las más conocidas es la de Aquiles y la tortuga, que se describe de

forma sencilla en el siguiente enlace:

http://www.xatakaciencia.com/matematicas/aquiles-y-la-tortuga

Capítulo 11. Cómo resolver el código Da Vinci

1. Fibonacci estableció la sucesión que lleva su nombre a partir de la experimentación con una pareja de conejos, que aisló en un huerto cercado y a resguardo de los depredadores. El científico se propuso averiguar cuántos conejos habría al cabo de un año. Llegó a estos resultados: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

En esta serie establecida por Fibonacci cada número se obtiene sumando los dos que lo anteceden.

2. La sucesión de Fibonacci se observa en numerosas configuraciones biológicas, por ejemplo, el número de ramas de los árboles o los pétalos de muchas especies de flores (girasol).

3. La letra griega fi: Φ.

El valor exacto del número llamado sección áurea es , aproximadamente, 1,618.

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www.planetalector.com -8- Capítulo 12. Cómo admirar una obra maestra de las matemáticas

1. A Leonhard Euler, activo en el siglo XVIII.

La fórmula de Euler ( ) contiene los cinco números más importantes que existen (e, i, π, 1, 0) y está expresada mediante tres de las operaciones matemáticas más importantes: la suma, el producto y la potenciación.

Capítulo 13. Cómo contar con un superordenador

1. El hueso de Lebombo, hallado en Suazilandia, de unos 35.000 años de antigüedad. Se trata del peroné de un babuino en el que hay 29 hendiduras. Posiblemente fue utilizado como calendario lunar o como forma de recuento de los ciclos menstruales por parte de las mujeres; en cualquier caso, existe la certeza de que se trataba de un instrumento de recuento.

Capítulo 14. Cómo visitar cien ciudades en un día

1. En la teoría de grafos. Un grafo es un conjunto de objetos (representados gráficamente mediante puntos) llamados vértices que se unen mediante líneas (aristas).

2. Las ciudades que se propone visitar el viajante son los vértices del grafo; las carreteras que las unen son las aristas; y el peso de estas, la longitud de cada una.

Capítulo 15. Cómo organizar una velada perfecta

1. El matemático húngaro Paul Erdős dio ese nombre al problema porque dos investigadores que lo abordaron, Esther Klein y George Szekeres, además de trabajar juntos en su resolución, iniciaron una relación de pareja y acabaron contrayendo matrimonio.

Capítulo 17. Cómo estar vivo y muerto simultáneamente

1. Con el experimento de la doble rendija Young investigó acerca de la naturaleza de la luz, con el fin de averiguar si se transmite mediante ondas o en partículas.

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www.planetalector.com -9- Capítulo 18. Cómo trazar un triángulo imposible

1. Los cinco postulados establecidos por Euclides en los Elementos, referidos a la geometría plana, son los siguientes:

a) Dos puntos cualesquiera pueden unirse mediante un segmento de línea recta.

b) Cualquier segmento de línea recta es susceptible de extenderse de forma indefinida en uno u otro sentido.

c) Dado un punto cualquiera, es posible trazar una circunferencia que lo tenga por centro con un radio de cualquier magnitud. d) Todos los ángulos rectos son iguales.

e) Dados una línea recta y un punto externo a ella, habrá solo una posible línea paralela a la recta que pase por el punto.

Capítulo 19. Cómo desenrollar el ADN

1. El nudo más simple y carente de cruces se conoce como «nudo trivial». El nudo de tres cruces también recibe el nombre de «nudo de trébol».

2. James Watson y Francis Crick descubrieron en 1953 la estructura de las moléculas de ADN en doble hélice.

Capítulo 20. Cómo hallar todos los agujeros del universo

1. La topología estudia las propiedades de las figuras que permanecen invariables aun en el caso de ser sometidas a estiramiento o compresión.

2. La superficie se define como un objeto bidimensional en el que toda región parece un plano.

3. Fue el matemático ruso Grigori Perelman quien, sobre la base de los trabajos de Henri Poincaré, William Thurston y Richard Hamilton, demostró la conjetura de Poincaré y estableció una relación completa de las variedades tridimensionales posibles.

Capítulo 21. Cómo sentirse en casa en la quinta dimensión

1. El cubo se encuentra entre los poliedros más simétricos porque cada una de sus seis caras es idéntica al resto y todas poseen forma de cuadrado, figura geométrica de gran simetría que, por ser un polígono regular, tiene idénticos todos sus ángulos y lados.

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2. Platón demostró la existencia de cinco poliedros: el tetraedro (formado por cuatro triángulos equiláteros), el cubo (poliedro de seis caras cuadradas cuyas aristas confluyen de tres en tres en un vértice), el octaedro (poliedro formado por ocho triángulos equiláteros), el dodecaedro (poliedro cuyas doce caras son pentágonos) e icosaedro (veinte triángulos equiláteros que confluyen de cinco en cinco en su vértice).

3. Un balón de fútbol es un icosaedro truncado.

4. El geómetra suizo Ludwig Schläfli clasificó los polícoros convexos regulares en seis: pentácoro (construido a partir de cinco tetraedros), hipercubo (de ocho cubos), hexadedácoro (de dieciséis tetraedros), icositetrácoro (de veinticuatro octaedros), hecatonicosácoro (de ciento veinte dodecaedros) y hexacosícoro (seiscientos tetraedros).

Capítulo 22. Cómo diseñar el estampado perfecto

1. Simetría por rotación, por reflexión y de antitraslación.

2. La simetría antitraslación, descrita por John Conway, se crea reflejando primero el motivo sobre un eje y deslizándolo después en paralelo.

Capítulo 23. Cómo construir una colmena perfecta

1. El triángulo, el cuadrado y el hexágono.

El hexágono. En este polígono es menor la proporción entre longitud y área. Los tubos de sección hexagonal son los que menos cantidad de cera requieren para su construcción.

2. La conjetura de Kepler plantea encontrar el modo idóneo de apilar balas de cañón a bordo de una embarcación, de forma que ocupen el menor espacio posible.

En 1998 Thomas Hales elaboró una prueba basada en cálculos informáticos dirigidos a desechar las demás opciones posibles. Los expertos encargados de constatar la validez de esa demostración no pudieron concluir su trabajo en el transcurso de cinco años, aunque sí afirmaron estar convencidos de que la prueba era correcta en un 99 por 100.

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www.planetalector.com -11- Capítulo 24. Cómo contar hasta el infinito

1. Con la metáfora de un hotel de capacidad infinita. Frente a un hotel de capacidad limitada, que no puede ofrecer más alojamiento por falta de espacio —algo que ocurrirá siempre, con independencia del tamaño del hotel— David Hilbert presentó su modelo de hotel Infinito, esto es, un establecimiento con un número ilimitado de habitaciones, capaz de albergar a un grupo infinito de visitantes. Hilbert se proponía probar con esta metáfora que el infinito permanecerá siempre inmutable, por más que lo sumemos o multipliquemos por sí mismo.

Georg Cantor probó lo errado del planteamiento de Hilbert sirviéndose de la teoría de conjuntos.

Capítulo 25. Cómo construir un cerebro

1. El juego de la vida es un ejemplo de autómata celular. Ilustra la aparición de lo complejo a partir de las reglas más sencillas imaginables.

El creador del juego de la vida, John Conway, es un matemático británico que ha llevado a cabo destacadas aportaciones a la teoría de nudos, la teoría de grupos y la teoría de juegos. Ideó el juego de la vida en 1970.

Capítulo 26. Cómo destruir Internet

1. La máquina calculadora de Gottfried Leibniz (1694), la máquina diferencial de Charles Babbage (1847) y la máquina de Turing (1937). Esta última, un mecanismo conceptual más que una herramienta física como las otras dos, es un mecanismo destinado a ejecutar con precisión conjuntos ordenados de instrucciones (algoritmos).

Capítulo 27. Cómo hacer una pregunta imposible de responder

1. La más antigua y más pura de todas las paradojas la formuló el filósofo Eubúlides de Mileto en el siglo IV a. C. Conocida como

«paradoja del mentiroso», plantea lo siguiente: un hombre dice que miente; si es verdadero, entonces ese hombre no miente; y si miente, entonces es falsa la proposición de que mienta. Eubúlides la formuló en los siguientes términos: «Esto es mentira».

2. Los Principia mathematica son fruto de la colaboración entre Bertrand Russell y un antiguo profesor suyo, Alfred North

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Whitehead. En los Principia Russell desarrolla la conocida como «teoría de los tipos».

3. El teorema de Gödel se denomina «teorema de la incompletitud». Formulado a imagen y semejanza de la paradoja del mentiroso de Eubúlides, sostiene: «Esta proposición no puede demostrarse». La proposición puede demostrarse o no: si puede demostrarse, cabe concluir que las leyes permiten deducir una proposición falsa y, por lo tanto, el sistema es incoherente; si no puede demostrarse, la proposición es cierta y el sistema coherente.

Capítulo 28. Cómo detectar fraudes fiscales

1. La fórmula de la ley de Benford es .

Sistematiza la tendencia observada, entre otros, por el astrónomo y matemático Simon Newcomb y el físico Frank Benford.

Newcombn se dio cuenta de que las primeras páginas de las tablas de logaritmos —empleadas en matemáticas para multiplicar y dividir cifras elevadas, antes de la aparición de las calculadoras— estaban notoriamente más usadas que las últimas; dedujo que el 1 aparece como dígito inicial más frecuente, seguido del 2, etc., hasta el 9, que sería el menos frecuente.

Capítulo 29. Cómo idear un código indescifrable

1. Un mensaje cifrado es una forma de escritura secreta consistente en cambiar cada una de las letras que componen ese mensaje por otras, generalmente mayúsculas, previamente asignadas de acuerdo con determinada regla. El método de cifrado más sencillo, llamado «cifrado monoalfabético» consiste en mezclar las letras del alfabeto antes de componer el mensaje. Para que funcione la comunicación, el emisor y el receptor deben conocer la clave del cifrado. Con el fin de complicar que el mensaje sea descifrado por terceros suelen omitirse los signos de puntuación y los espacios entre palabras.

2. Los mensajes cifrados fueron determinantes durante la segunda guerra mundial, cuando los aliados consiguieron descifrar los códigos de la máquina Enigma en Europa y de la Purple en el Pacífico, algo que les otorgó una ventaja estratégica crucial.

3. La criptografía asimétrica, también llamada «de clave pública» es una forma moderna de escritura cifrada que se introdujo en la década de 1970. Entre sus aplicaciones actuales figuran las de los códigos de seguridad de las cuentas de correo electrónico.

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www.planetalector.com -13- Capítulo 30. Cómo eludir una pena de cárcel

1. El dilema del prisionero. El enunciado clásico de este dilema plantea que la policía arresta a dos sospechosos de haber cometido un delito fiscal. No hay pruebas suficientes para condenarlos y, mientras esperan condena, se les encierra en celdas separadas y se les ofrece idéntico trato: si el primero confiesa y el cómplice no, este último será condenado a la pena máxima (diez años) y el primero quedará libre. Si el primero no colabora y el cómplice confiesa, entonces el primero será condenado a diez años y el segundo saldrá libre. Si ambos confiesan, los dos serán condenados a ocho años. Y si ambos no colaboran, permanecerán encerrados dos años por cargo menor de evasión de impuestos. Aunque aparentemente la mejor opción para los dos sería la cuarta, la mejor estrategia que podría seguir cada uno por separado sería la de confesar pero, paradójicamente, de hacerlo ambos, recibirían la pena mayor.

2. Puede encontrarse información sobre la película basada en la vida de Nash, por ejemplo, en los siguientes enlaces:

http://www.imdb.es/title/tt0268978/

http://www.labutaca.net/52berlinale/unamentemaravillosa.htm

Capítulo 31. Cómo engañar a un jurado

1. La teoría de la probabilidad condicionada tiene su base en la obra del reverendo presbiteriano Thomas Bayes, que llevó a cabo sus investigaciones en el siglo XVIII.

Capítulo 32. Cómo ralentizar el paso del tiempo

1. La paradoja de los gemelos analiza la distinta percepción del tiempo por parte de dos observadores en diferentes estados de movimiento. Se debe a Albert Einstein, quien la propuso al desarrollar su teoría de la relatividad especial, que sostiene que el espacio y el tiempo son medidas relativas y dependientes del estado de movimiento del observador.

Capítulo 33. Cómo ganar a la ruleta

1. Jacob Bernoulli, tío del también matemático Daniel Bernouille. La demostró en 1713 y explica la relación entre los conceptos de esperanza, procedente de la teoría de probabilidad, y media.

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www.planetalector.com -14- Capítulo34. Cómo tener hijos hermosos

1. El genetista Reginald Punnett empleó por primera vez los cuadros que llevan su nombre en 1905. Se trata de unas tablas que permiten comprender la expresión aritmética de la herencia. Recogen las posibles combinaciones de los alelos durante la reproducción.

2. La media (expresa el lugar en que se halla el centro) y la desviación típica (indica su grado de dispersión).

Capítulo 35. Cómo hablar a los ordenadores

1. Sistema sexagesimal (de base 60), sistema decimal (de base 10) y sistema binario (de base 2).

2. El lenguaje informático está basado en el sistema binario.

Ese sistema lo describió siglos antes Gottfried Leibnitz, al darse cuenta de las posibilidades del sistema binario para la expresión numérica. Se ocupó de este tema en su obra Essai d’une nouvelle

science des nombres («Ensayo sobre una nueva ciencia de los números»).