Ondas Electromagnéticas

Ondas Electromagnéticas

Bloque II. Líneas de Transmisión

David Cañete Rebenaque

Fernando D. Quesada Pereira

1_{Grados en Ingeniería Telemática y en Sistemas de Telecomunicación}

Departamento de Tecnologías de la Información y las Comunicaciones Universidad Politécnica de Cartagena

21 de octubre de 2013

Índice de Contenidos

Introducción

2

Modelo circuital

Condiciones de Contorno

Coeficientes de reflexión y de transmisión

3

Longitud necesaria para dar una vuelta completa a la fase

Potencia media o activa en la línea

Tensión y corriente en una línea cortorcircuitada

Onda Estacionaria

4

Onda estacionaria producida por una impedancia genérica

Línea de transmisión con pérdidas

Introducción

Potencia en líneas con pérdidas

6

Línea de transmisión con generador y carga

Impedancias de entrada de líneas de transmisión útiles

Carta de Smith

Ejemplo práctico de línea de transmisión

Otros conceptos importantes

Introducción a las líneas de transmisión

Línea de transmisión

Caso más simple que podemos tratar de campos con variación temporal es del la línea de transmisión ideal.

Suponemos que elcampo eléctrico y el magnético tienen una sola componente. Sedesprecia cualquier variación con las coordenadas transversales.

Suponemos que laúnica variación que existe es con la coordenada longitudinal Z hacia donde se dirige la línea.

ˆ

ez

Figura: Esquema de una línea de transmisión. Se desprecian las variaciones del campo en las direcciones del plano transversal (línea punteada).

Potencial escalar eléctrico

Se desprecia la foma concreta de la línea(coaxial, bifilar) y suponemos que no existen variaciones con respecto a estas coordenadas.

~ E=Exˆex

~ H=Hyeˆy

Además suponemos que estamos en unaversión sin fuentes, es decirlejos existen las fuentes que generan los campos, peroen la región donde estoy no hay fuentes. Lasecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuenciaquedan como:

∇ × ~E_{= −}jωµ~H ∇ × ~H=jωǫ~E Se considera que ∂

∂x=0 y

∂

∂y=0. Alfinal del

cur-so se considerará el cacur-so de la forma concreta de la línea, es decir lasvariaciones respecto al plano transversal.

Introducción a las líneas de transmisión. Modelo

circuital

Introducción Líneas de

Transmisión

En coordenadas cartesianas los

rotacionales se calculan fácilmente:

∇ × ~

E

=

ˆ

e

e

ˆ

ˆ

e

0

0

E

0

0

= +ˆ

e

∂

E

∂

z

ˆ

e

∂

E

∂

z

= −

j

ωµ

H

e

ˆ

dE

dz

= −

j

ωµ

H

Modelo circuital

➳

Desaparece el caracter vectorial del

problema, tenemos un problema

es-calar.

➳

Las líneas de campo eléctrico

defi-nen un voltaje entre los dos

conduc-tores de la línea.

➳

A E

se le llama

onda de voltaje

V

(

z

)

.

➳

El

campo magnético produce una

corriente en cada conductor de la

línea. El campo magnético rodea a

los conductores.

➳

El

campo magnético se modela por

una onda de corriente

H

→

I

(

z

)

.

Modelo circuital de líneas de transmisión

~

E

Figura:

Líneas de campo eléctrico

en

la línea de transmisión. Estas líneas

se generan debido a la diferencia de

potencial entre los dos conductores.

~

H

I

−

I

Figura:

Líneas de campo magnético

en una línea de transmisión. El

campo magnético se genera debido

a la circulación de corriente en cada

conductor de la línea.

Modelo circuital de la línea de transmisión

Modelo Circuital

El

problema es escalar

y puede escribirse

como:

dV

(

z

)

dz

= −

j

ωµ

I

(

z

)

D. frecuencia

Haciendo

lo mismo para la ecuación de

rotacional:

∇ × ~

H

=

ˆ

e

ˆ

e

e

ˆ

0

0

0

H

0

= −ˆ

e

∂

H

∂

z

−ˆ

e

∂

H

∂

z

= −

j

ωµ

E

ˆ

e

dH

dz

= −

j

ωµ

E

Modelo Circuital

Escribiendo la ecuación en términos de

las variables de la línea de transmisión

tenemos:

dI

(

z

)

dz

= −

j

ωǫ

V

(

z

)

D. frecuencia

Tenemos que encontrar las

ondas de

tensión y corriente. Derivando:

d

_V

₍

_z

₎

dz

= −

j

ωµ

dI

(

z

)

dz

Sustituyendo se llega a:

d

_V

dz

= −

j

ωµ(−

j

)ωǫ

V

(

z

) = −ω

_µǫ

V

(

z

)

Modelo circuital de la línea de transmisión

Modelo circuital. Constante de propagación

β

Podemos definir unaconstante que depende de la frecuencia y el medioβ2_{= ω}2_{µǫ(constante}

de propagación en el medio). Teniendo en cuenta lo anterior queda:

d2_V(z) dz2 + β

2_{V(z) =0}

La expresión anterior es unaecuación diferencial lineal de coeficientes constantesque se puede resolver de formaanalítica. Elpolinomio característicode la ecuación diferencial es:

x2+ β2₌

0

Lasraices del polinomiocaracterístico son:

x2= −β2

x= ±jβ

Si consideramose−jβz_{la exponencial de una transformación entre los dominios z}

→ β, el tér-minoe−jβz_{representa un desplazamiento en el espacio z. La solución de la ecuación diferencial}

se escribe como:

V(z) =Ae−jβz+Bejβz

Físicamente el primer término de la expresión anterior(e−jβz_{)representa una onda que se}

propaga en dirección z (onda incidente). Elsegundo términorepresenta físicamente una onda que se propaga en dirección−z (onda reflejada). Lasconstantes A y Bse calculan suponiendo lascondiciones de contorno del problema.

Modelo circuital de la línea de transmisión

Onda de Corriente

Para hallar laonda de corrientese puede utili-zar: dV(z) dz = −jωµI(z) Sustituyendo se tiene: dV(z) dz =A(−jβ)e −jβz +B(jβ)ejβz =jβh−Ae−jβz+Bejβzi jβh−Ae−jβz+Bejβzi_{= −}jωµI(z) I(z) = β ωµ h Ae−jβz−Bejβzi

Se define Zc=ωµ_β como laimpedancia carac-terística de la línea de transmisión. Es diferen-te a las impedancias localizadas con las que se trabaja en teoría de circuitos.

Impedancia característica

Se trata de unaimpedanciaporque sirve para

pasar de la corriente a la tensión.

Zc=

µ √_µǫ=r µ

ǫ

De esta forma se tiene:

I(z) = 1 Zc h Ae−jβz −Bejβzi V(z) =Ae−jβz+Bejβz

Parapasar al dominio del tiempose hace la siguiente operación:

i(z,t) =RehI(z)ejωti v(z,t) =RehV(z)ejωti

Las relaciones anteriores se tratan deondas reales en el tiempo.

Aplicación de las condiciones de contorno

Figura:Modelo de línea de transmisión.

Como no existe nada donde pueda existir reflexión laonda refle-jada es cero y por tanto B=0, resultando:

V(z) =Ae−jβz

Latensión total en z=0 es Vgimpuesta por el generador V(z=

0) =A=Vg. Luego,resulta que A=Vg. V(z) =Vge−jβz I(z) =Vg Zc e−jβz =V(z) Zc

Eltérmino Zcconvierte tensión en corriente cuando sólo hay onda

incidente. Por ese motivo se llamaimpedancia característica.

Línea terminada por impedancia

+ Vg β,Zc z 0 ZL VL IL −l ρ(z=0) = ρL ρ(z= −l)

Figura:Línea cargada con una impedancia ZL.

V(z) =Ae−jβz₊ Bejβz_; I(z) =1 Zc h Ae−jβz −Bejβzi

Hay que tener en cuenta laonda reflejada.

V(z=0) =VL ; V(z=0) =A+B=VL I(z=0) =IL ; I(z=0) =1

Zc

(A−B) =IL

En la terminaciónse cumple la ley de Ohm:

IL= VL ZL ; ZL =VL IL A  1+B A  =VL; A Zc  1−B_A  =IL

Dividiendo las ecuaciones se llega a:

Zc 1+B A 1−B A =VL IL =ZL

Coeficientes de reflexión y de transmisión

ρL=BA→Es el coeficiente de reflexión en la carga (z=0). B→Es la amplitud de la onda reflejada en z=0.

A→Es la amplitud de la onda incidente en z=0.

Zc 1+ ρL 1− ρL =ZL Zc(1+ ρL) =ZL(1− ρL) ZcρL+ZLρL=ZL−Zc ρL(Zc+ZL) =ZL−Zc

A partir de las relaciones anteriores, el coeficiente de

refle-xión(número complejo) queda:

ρL= ZL−Zc ZL+Zc

Teniendo en cuenta la relación:

V(z) =Ahe−jβz + ρLejβz i I(z) =A Zc h e−jβz − ρLejβz i Coeficiente de Transmisión

El coeficiente de transmisión se define comoτ =VL

A. El

término VL=A+B es latensión que hay en la carga(transmitida

a la carga), mientras que A es laamplitud de la tensión incidente.

VL=V(z=0) =A+B; VL A=1+ B A τ =1+ ρL=1+ B A= VL A IL A= 1 Zc (1− ρL) = 1 Zc  1−B_A  1−B_A=1− ρL= 2ZC ZL+ZC Se tiene, τ =1+ ρL=1+ZL−ZC ZL+ZC = 2ZL ZL+ZC

resulta de la relación anterior que,

τ = 2ZL ZL+Zc ; 1− ρL= 2ZC ZL+ZC = τZc ZL

Elcoeficiente de transmisiónτtiene menos utilidad que el coeficiente de reflexiónρL, ya queeste último mantiene una

relación con las potencias. La relación anterior corresponde al

Impedancia de entrada en un punto de la línea

Impedancia Zinen un lugar de la línea

+ Vg β,Zc z 0 ZL z= −l Zin

Figura:Cálculo de la impedancia de entrada Zinen un punto de la línea

Zin(z= −l) =V(z= −l) I(z= −l) =Zc A ejβl + ρLe−jβl
A(ejβl_{− ρLe}−jβl₎ Usando la relaciónρL= ZL−Zc ZL+Zc se llega a: Zin(z= −l) =Zce jβl₊ZL−Zc ZL+Zce −jβl ejβl₋ZL−Zc ZL+Zce −jβl Zin(z= −l) =Zc(ZL+Zc)e jβl_{+ (} ZL−Zc)e−jβl (ZL+Zc)ejβl_{− (ZL−Zc)e}−jβl=Zc ZL ejβl_+e−jβl
_{+Zc e}jβl −e−jβl
ZL(ejβl_−e−jβl_{) +Zc(e}jβl_+e−jβl₎ Zin(z= −l) =ZcZL+jZctan(βl) Zc+jZLtan(βl)

Longitud para dar una vuelta completa a la fase

Coeficiente de reflexión a distancia l

El coeficiente de reflexión para una distancia dada será, ρ(z= −l) =Be −jβl Aejβl =B Ae −j2βl_{= ρ(} z=0)e−j2βl

Luego vemos que la fase del coeficiente de reflexión se mueve como(2βl)con la distancia. ¿Qué longitud debo moverme para que la fase de una vuelta completa(2π)?.

ρ

Re Im

2π

Figura: Longitud que hay que desplazarse para moverse una vuelta completa (2π). El sentido es alejándose de la carga.

Longitud para vuelta completa

Cadaλ/2 la fase deρde una vuelta completa. Re-sulta queβ = ω√µǫ. La velocidad de la luz es

c=_√1 µǫ, luegoβ = ω c. λ =c f  m/seg 1/seg  m λ =cT;T=1 f β =ω λT= 2π λ ω =2π T ;Tω =2π

De las relaciones anteriores resulta l= λ

2 =0,5λ.

Al moverme en una línea de transmisión(0,5λ), el coeficiente ha dado una vuelta completa.

Potencia media o activa en la línea

Definición

Como estamos trabajando conseñales sinusoidales, podemos definir la potencia media o activa en un determinado punto de la siguiente forma: Pm(z) =1 2Re[V(z) ·I ∗_(z)] Pv(z) = 1 2[V(z) ·I ∗_(z)]

Usando lasexpresiones de tensión y corriente:

Pv(z) =A 2 h e−jβz+ ρLejβz i_A∗ Z∗ c h ejβz− ρ∗Le− jβzi Pv(z) = 1 2 |A|2 Z_c∗ h 1− |ρL|2+ ρLej2βz− ρ∗Le−j2βz i

La potencia media quedará, teniendo en cuenta queρLej2βz− ρ∗Le− j2βz_{=2j Im[ρ} Lej2βz], como: Pm=1 2 |A|2 Z_c∗[1− |ρL|2] Es independiente de z

Potencia transmitida

Según la expresión de la potencia media se de-duce que en una línea sin pérdidasla potencia transmitida no depende de la longitud de la línea. La potencia incidente es Pi=12

|A|2

Z∗

c , mientras que la potencia reflejada será Pr =Pi|ρL|2, relación

en la que tenemos el módulo al cuadrado de la fracción de potencia reflejada. Lapotencia trans-mitida en la cargaes:

Pt=Pi−Pr=Pi(1− |ρL|2)

Ley de conservación de potencia.

Unerror gravesería decir que Pt= |τ |2Pi(nunca

se debe usar esta expresión), puesto queτ = 1+ ρLy|τ |2= |1+ ρL|26=1− |ρL|2.

Tensión y corriente en una línea cortocircuitada

Línea acabada en

cortocircuito

Figura:

Línea de transmisión

acabada en cortocircuito

Sabemos que:

V

(

z

) =

A

h

e

+ ρ

e

i

I

(

z

) =

A

Z

h

e

_{− ρ}

e

i

Tensión y corriente

ρ

=

Z

−

Z

Z

+

Z

= −

Z

Z

= −

1

El valor

ρ

= −

1 corresponde al

coeficiente de

reflexión en un cortocircuito.

V

(

z

) =

A

h

e

₋

e

i

=

A2j

e

−

e

2j

= −

2jA sin

(β

z

)

I

(

z

) =

A

Z

h

e

+

e

i

=

2A

Z

cos

(β

z

)

Onda estacionaria producida por un cortocircuito

Tensión

Tensión y corriente tienen forma sinusoidal en fun-ción de la distancia. −λ/4 −λ/2 −3λ/4 −λ −5λ/4 A 0 |V(z)| z

Figura:Distribución de tensión en una línea cortocircuitada

sin(βz) ; βz=nπ ; z= −n_βπ=nπ

2πλ = −

n

2λ En la expresión anterior se toma el valor negativo porque la línea está en z <0. Luego vemos que en función de z la tensión total pasa por máximos y mínimos. Esto es debido a la interacción entre on-da incidente y onon-da reflejaon-da y se denominaonda estacionaria.

Corriente

Figura:Distribución de corriente en una línea cortocircuitada cos(βz) =0 βz= ±(2n−1)π/2 z= −(2n−1)π 2 2π λ = − 2n−1 4 λ En la expresión anterior se toma signo negativo al estar la línea en z<0. Vemos que la corriente está desfasada(π/2)con respecto a la distancia z.

Onda estacionaria producida por un cortocircuito

Análisis temporal

v(z,t) =RehV(z)ejωti

=Re−2jA sin βz
cos(ωt) +j sin(ωt)
 =2A sin(βz)sin(ωt)

i(z,t) =RehI(z)ejωti=Re2A Zc cos(βz) cos(ωt) +j sin(ωt)
 =2A Zc cos(βz)cos(ωt)

Corriente y tensión también están desfasados(π/2)en el tiempo. Para t=0 resulta:

v(z,t) =0;i(z,t) =2A Zc cos(βz) replacements i(z) v(z) 2A −2A 2A/Zc −2A/Zc z

Figura: Distribución de tensión y corriente en t=0

Evolución temporal

Según la expresión anterior la corriente evoluciona hasta hacerse cero entre t = 0 y t = T/4. Para t = T/4, tenemos queωt=2π T T 4=π2. v(z,t) =2A sin(βz) ;i(z,t) =0 i(z) v(z) 2A −2A 2A/Zc −2A/Zc z

Figura:Distribución de tensión y corriente en

t=T/4

La tensión evoluciona desde cero hasta obtener lo que se ve en la última figura, la corriente evoluciona desde la figura de la izquierda hasta cero.

Onda estacionaria producida por una impedancia

genérica

Figura:Onda estacionaria producida por una impedancia cualquiera ZL

V(z) =Ae−jβz_+Bejβz_=Ae−jβz  1+B Ae j2βz  =Ae−jβz 1+ ρLej2βz 

El coeficiente de reflexión es en general un complejoρL= |ρL|ejθL, por lo que podemos

escribir la ecuación como:

V(z) =Ae−jβz 1+ |ρL|ej(2βz+θL)  =Ae−jβzh1+ |ρL|cos(2βz+ θL) +j|ρL|sin(2βz+ θL) i Onda Estacionaria

Queremos hallar elmódulo de la tensión: |V(z)|2 = |A|2h  1+ |ρL|cos(2βz+ θL) 2 + |ρL|2sin2(2βz+ θL) i = |A|2h 1+ |ρL|2cos2(2βz+ θL) +2|ρL|cos(2βz+ θL) + |ρL|2sin2(2βz+ θL) i = |A|2h 1+ |ρL|2+2|ρL|cos(2βz+ θL) i

Elvalor máximoen función de z se obtiene cuando: cos(2βz+ θL) =1 2βz+ θL= ±2nπ 2βz= ±2nπ − θL z= ±2nπ − θL 2β = ± 2nπ − θL 4π λ; n=0,1 Elvalor mínimose dará para:

cos(2βz+ θL) = −1

2βz+ θL= ±(2n−1)π

2βz= ±(2n−1)π − θL

z= ±(2n−1)π − θL

4π λ ; n=1,2, . . . En las relaciones anterioresse toma el valor negativoporque la línea está en z<0.

Onda estacionaria producida por una impedancia

genérica

Onda Estacionaria

Figura:Onda de tensión estacionaria para una línea acabada en una carga genérica Zl

Vmáx2 = |A| 2 1+ |ρL|2+2|ρL|  Vmín2 = |A| 2 1+ |ρL|2−2|ρL| 

SiρL=0 entonces Vmáx=Vmíny no hay onda es-tacionaria. No hay onda reflejada, se trata del mejor caso.

Vmáx2 = |A|2(1+ |ρL|)2→Vmáx= (1+ |ρL|)|A| Vmín2 = |A|2(1− |ρL|)2→Vmín= (1− |ρL|)|A|

Coeficiente de onda estacionaria

Se define elcoeficiente de onda estacionariacomo:

S=Vmáx

Vmín

=1+ |ρL|

1− |ρL|

Sólo obtenemos el módulo, no la fase.

|ρL| =S−1 S+1

Para hallar la fasehay que medir la distancia al pri-mer máximo o mínimo. Por ejemplo, si medimos un cero en z= −Lmínentonces:

π + θ

4π λ =Lmín π + θ =4π

λLmín

Con lo que lafase del coeficiente de reflexión será:

θ =4π λLmín− π

Línea de transmisión con pérdidas

Punto de Partida

d

_V

₍

_z

₎

dz

= −ω

µǫ

V

(

z

)

Las pérdidas ahora serán por:

ǫ = ǫ

₋

_j

_ǫ

_.

Como el término

(ω

_µǫ)

resulta

comple-jo, es mejor definir la siguiente constante

γ

= −ω

_µǫ

, de forma que entonces:

d

_V

₍

_z

₎

dz

= γ

V

(

z

)

d

_V

₍

_z

₎

dz

− γ

V

(

Z

) =

0

El

polinomio característico:

x

_{− γ}

=

0

;

x

= γ

;

x

_{= ±γ}

Soluciones

Las

soluciones

serán:

V

(

z

) =

Ae

+

Be

Pero, veamos ahora lo que vale la

constante

γ

.

γ

= −ω

µǫ ; γ =

j

ω

√

µǫ

ǫ = ǫ

−

j

ǫ

= ǫ



1

₋

j

ǫ

ǫ



= ǫ

(

1

−

j tan

δ)

γ =

j

ωpµǫ

₍

₁

₋

_{j tan}

_δ)

=

j

ωpµǫ

√

₁

₋

_tan

_δ

Línea de transmisión con pérdidas

Línea con pérdidas

Se asumenpequeñas pérdidas tanδ <<1. Veamos el desarrollo de Taylor:

√ 1+x=1+1 2x− 1 2_·4x 2 + . . .

La expresión anterior es válida para x<<1 (para pequeñas pérdidas, x= −j tanδ).

p 1−j tanδ =1−j tan₂ δ γ =jωpµǫ′  1−j tanδ 2  =ω 2pµǫ′tanδ +jωpµǫ′ Luego obtenemosγ = α +jβ. α → Constante de atenuación. β → Constante de fase.

Línea con pérdidas

Para unalínea infinita sabemos que no hay onda reflejaday que B=0.

V(z) =Ae−γz=Ae−αze−jβz

El término e−γzes una exponencial real que atenúa la onda según se propaga. Por esto

ǫ = ǫ′_−jǫ′′_{. El signo debe ser negativo} pa-ra que la exponencial real sea decreciente. Ahora hallamos laonda de corriente:

dV(z) dz = −jωµI(z) = −Aγe −γz₊ Bγeγz = −γ Ae−γz−Beγz I(z) = γ jωµ  Ae−γz₋Beγz

Líneas de transmisión con pérdidas

Impedancia característica

Definimos ahora laimpedancia característicaZc=jωµ_γ .

I(z) = 1 Zc



Ae−γz−Beγz Parabajas pérdidastenemos:

Zc= jωµ jω√µǫ′ 1−jtanδ 2
= r µ ǫ′ 1+jtanδ 2 1+tan2_δ 4 El términotan2δ

4 es despreciable para tanδ <<1. De esta forma resulta:

Zc=r µ ǫ′  1+jtanδ 2 

En la expresión anteriorla impedancia característica puede ser compleja cuando existen pérdidas. Aún así en muchos casos pondremos Zcreal si las pérdidas son bajas. Al igual

que antes podemos usar elcoeficiente de reflexión. V(z) =A e−γz+ ρLeγz  I(Z) = A Zc  e−γz− ρLeγz 

Potencia en líneas de transmisión con pérdidas

Potencia transmitida en la línea

Pv(z) =1 2V(z)I ∗_(z) =1 2A h e−αz_e−jβz_{+ ρ} Leαzejβz i ·A ∗ Zc h e−αz_ejβz − ρ∗Le αz_e−jβzi =1 2 |A|2 Zc h e−2αz − |ρL|2e2αz+ ρLej2βz− ρ∗Le−j2 βzi

Lapotencia media o activaserá:

Pm(z) =1 2 |A|2 Zc h e−2αz− |ρL|2e2αz i =1 2 |A|2 Zce −2αzh 1− |ρ(z)|2i

Lapotencia incidenteserá:

Pi(z) =1

2

|A|2 Zc e

−2αz

Por otra parte, lapotencia reflejadaes:

Pr(z) =1 2 |A|2 Zc|ρL| 2 e2αz

Lapotencia incidente se atenúa debido al término e−2αz_{. Ahora hay}

que tener cuidado porque si tomo una línea muy grande me quedo sin potencia.

z= −l z=0 z ZL

Figura:Atenuación en una línea cargada con ZL.

Coeficiente de reflexión al alejarme de la carga

ρ(

z

=

0

) = ρ

=

Z

−

Z

Z

+

Z

ρ(

z

_{= −}

l

) =

Be

Ae

=

B

A

e

=

B

A

e

e

= ρ

e

e

|ρ(

z

_{= −}

l

_{)| = |ρ}

|

e

Figura:

Atenuación del coeficiente de

reflexión

ρ

a lo largo de la línea. Las

flechas indican el sentido de giro.

+

ρl

ρ(z= −l)

Zl

Figura:

La

potencia que no se refleja es

porque se pierde en la línea. No hay

reflexión a la entrada, ya que toda la

potencia que entra se atenúa antes de

llegar a la carga. La

energía se disipa en

la línea de transmisión.

Línea de transmisión con generador y carga

Resolución circuito total

+ Vg Zg V0 I0 (d−z) z γ,Zc ρ0 ρL VL ZL Zin 0 d d z z

Figura:Problema de generador y una carga

En el punto de generadorρo=B_A=Z_Zin−Zc in+Zc. V(z) =Ae−γz+Beγz I(z) = 1 Zc  Ae−γz−Beγz En lacarga, ρL= ZL−Zc ZL+Zc

Resolución circuito total

Si muevo este coeficientehacia el generador ob-tengo: ρ(z) = ρLe−j2β(d−z) para z = 0 obtenemos ρ(z = 0) = ρ0 = ρLe−j2βd. En el generador, V(z=0)=V0=A  1+B A  =A(1+ ρ0) =A 2Zin Zin+Zc I(z=0)=I0= A Zc  1−B A  = A Zc (1− ρ0) En elgeneradortenemos: + 0 + − Vg Zg V0 I0 Zin

Figura:Problema equivalente

Vo=A 2Zin Zin+Zc =Vg Zin Zin+Zg ⇒ A=Vg 2 Zin+Zc Zin+Zg

Línea de transmisión con generador y carga

Resolución circuito total

Vg=I0Zg+V0

Introduzco los valores de V0y de I0en la ecuación.

Vg=ZgA Zc (1− ρ0) +A(1+ ρ0) =A[1+ ρ0+ Zg Zc (1− ρ0)] = A Zc (Zc+Zcρ0+Zg−Zgρ0) = A Zc [Zc+Zg− ρ0(Zg−Zc)] =AZg+Zc Zc  1− ρ0 Zg−Zc Zg+Zc 

Defino uncoeficiente de reflexiónque mira hacia el generador:

+ Vg Zg ρg ρ0 Zc

Figura:Coeficiente de reflexión hacia el generadorρg

Resolución circuito total

ρg= Zg−Zc Zg+Zc Vg=AZg +Zc Zc (1− ρ0ρg) A=Vg Zc Zg+Zc 1 1− ρ0ρg 1− ρg=1−Zg−Zc Zg+Zc = 2Zc Zg+Zc A=Vg 2 1− ρg 1− ρ0ρg Si Zg=Zcentoncesρg=0 y entonces A=Vg 2 que es lo que obtuvimos antes.

Línea de transmisión con generador y carga

Atenuación

Sedefine la atenuación de un cable en neperiosde la siguiente forma:

At|nep=ln s

Potencia que entrega en la línea Potencia en un punto a una distancia Z =ln

s

P(z=0)

P(z)

Suponemos unalínea sin reflexión|ρl| =0.

P(z) =1 2

|A|2

Zc e −2αz

Lapotencia que entra en la línea z=0.

P(z=0) =1 2

|A|2

Zc

Paralíneas adaptadas,

P(z) =P(z=0)e−2αz At|nep=ln s 1/2|A|2_/Z c 1/2|A|2_/Zce 2αz_{=ln e}αz_{= αz} Atenuación

De la expresión anterior resulta que: α =At|nep

z (nep/m)

Luegoαes laatenuación en neperios de la línea por unidad de longitud. La atenuacióntambién puede medirse en dB.

At|dB=20 log10 s P(z=0) P(z) =10 log10[ P(z=0) P(z) ] =10 log10(e 2αz_{) =} 20αz(log10e) = αz 8,686 At|dB=At|nep8,686

La expresión anterior es la forma deconvertir la atenua-ción en neperios en atenuaatenua-ción en dBs. Es un parámetro importante a la hora de planificar sistemas de transmisión. Llamando, α(nep/m) =At|nep z α(dB/m) =At|dB z α(dB/m) = α(nep/m)8,686

En las ecuaciones que hemos visto hay que operar en (nep/m)paraα.

Línea acabada en cortocircuito

Línea acabada en cortocircuito

ρ = −1 Zin

l

β,Zc

Figura:

Línea de transmisión de

longitud l acabada en cortocircuito

Z

=

Z

Z

+

jZ

tan

(β

l

)

Z

+

jZ

tan

(β

l

)

Si Z

=

0 se tiene que:

Z

=

Z

jZ

tan

(β

l

)

Z

=

jZ

tan

(β

l

)

Si l

=

,

β =

=

, tan

(

) → ∞

Impedancia y admitancia

Esto es lo que ocurre en un circuito LC

paralelo en resonancia:

Y

=

j

ω

C

+

1

j

ω

L

=

j



ω

C

₋

1

ω

L



=

j

ω

_LC

−

1

ω

L

De la ecuación resulta que:

Z

=

ω

L

(ω

_LC

₋

₁

₎

1

j

en

ω =

tenemos que Z

→ ∞

. La

condición l

= λ/

4

sólo ocurre a una

fre-cuencia, alrededor de esa frecuencia la

línea se comporta como un

circuito

reso-nante paralelo.

Línea acabada en circuito abierto

Línea en circuito abierto

ρ =

1

Z

l

β,

Z

Figura:

Línea de transmisión de

longitud l acabada en circuito abierto

Z

=

Z

Z

+

jZ

tan

(β

l

)

Z

+

jZ

tan

(β

l

)

Impedancia y admitancia

Si Z

→ ∞

resulta:

Z

=

Z

Z

jZ

tan

(β

l

)

=

Z

j tan

(β

l

)

De la ecuación tenemos que:

Y

=

jY

tan

(β

l

)

Para

l

= λ/

4 se comporta como un

circui-to resonante serie. Para l

= λ/

4, Y

→

∞

, Z

=

0. Luego la línea alrededor de

la frecuencia en la que

l

≃ λ/

4 se

com-porta como un resonador en serie.

Línea adaptada

Características

ρ

=

Z

−

Z

Z

+

Z

No hay reflexión

ρ

=

=

0

Z

=

Z

l

β,

Z

_Z

Figura:

Línea adaptada.

Z

=

Z

Z

+

jZ

tan

(β

l

)

Z

+

jZ

tan

(β

l

)

=

Z

Condición de adaptación

Esta situación Z

=

Z

es la

misma que en una línea infinita al no existir reflexión.

Línea transformadora en

λ/

4

Transformador en

λ/

4

λ/

4

β,

Z

c

_Z

c

Figura:

Línea en

λ/4

Z

=

Z

Z

+

jZ

tan

(β

l

)

Z

+

jZ

tan

(β

l

)

Adaptación de impedancias

Se cumple que

β

l

=

= π/

2 y

tan

(π/

2

) → ∞

.

Z

=

Z

jZ

tan

(β

l

)

jZ

tan

(β

l

)

=

Z

Z

Z

=

Z

Z

Transformador de impedancias

en

λ/

4. Podemos

usar este

transformador para adaptar

impedancias

.

Línea transformadora en

λ/

4

Adaptación de impedancias

Figura:

Transformador de

impedancias con línea en

λ/4.

Z

=

Z

Queremos esto para que la

potencia

en-tregada sea máxima. Por tanto:

Z

=

Z

Z

=

p

Z

·

Z

=

p

Z

·

Z

Adaptación de impedancias

Escogiendo una línea de la impedancia

característica anterior adaptamos el

cir-cuito. Se tiene un

circuito equivalente

co-mo el representado en la figura.

+ Zg

Zin=Zg Vg

Figura:

Circuito equivalente del

transformador en

λ/4

Luego vemos la importancia del

adapta-dor de impedancias para evitar

reflexio-nes.

Introducción

Para ayudarnos en este proceso de adaptación podemos utilizar la llamada Carta de

Smith. La carta de Smith es simplemente la

representación en el plano complejo del

coeficiente de reflexión

ρ

, donde además

se representan la parte real e imaginaria de

impedancias, con el fin de adaptar en los problemas de adaptación de impedancias.

En el

plano de

ρ

es interesante ver impedancias.

ρ = −

1

Cortocircuito

(mínimo de tensión)

Adaptación

ρ =

0

|ρ| =

1

|ρ|

θ

Re

Im

Representación de impedancias en el plano complejo

Representación de impedancias

Para representar impedancias en este plano to-mo la ecuación que liga el coeficiente de refle-xión con las impedancias.

ρL= ZL−Zc ZL+Zc

Si trabajamos con impedancias normalizadas (Z¯L) respecto al de la impedancia característica

de la línea tenemos:

ρ =Z¯_¯L−1 ZL+1

A partir de esta expresión obtenemos las si-guientes relaciones: ρ ¯ZL+ ρ = ¯ZL−1 ρ +1= ¯ZL(1− ρ) ¯ ZL= 1+ ρ 1_{− ρ}

Representación de impedancias

Ahora consideramosZ¯Lyρcomplejos:

¯ ZL=x+jy ρ = µ +jv x+jy=1+ µ +jv 1− µ −jv= (1+ µ +jv)(1− µ +jv) (1− µ)2_+v2 =(1+ µ)(1− µ) −v 2 +jv[(1− µ) + (1+ µ)] (1− µ)2_+v2 =1− µ 2 −v2 +jv 2 (1− µ)2_+v2

A partir de la relación anterior, igualando parte real e imaginaria tenemos:

x=1− (µ 2 +v2 ) (1− µ)2_+v2 y= 2v (1− µ)2_+v2

Parte real

Curva parte real

Vamos a suponer x=cte, y vemos que curva resulta:

(1− µ)2_x +xv2 =1− (µ2 +v2 ) (1+ µ2 −2µ)x+xv2 =1− µ2 −v2 x+xµ2 −2µx+xv2 =1− µ2 −v2 (x+1)µ2 −2µx+ (x+1)v2 =1−x µ2 −2µ x (x+1)+v 2 =1−x 1+x

En vista de este resultados vamos a calcular:  µ −_xx +1 2 = µ2 −2µ x x+1+ x2 (x+1)2  µ −_x+x₁ 2 − x 2 (x+1)2= µ 2 −2µ x x+1  µ −_xx +1 2 +v2=1−x 1+x+ x2 (x+1)2 1−x 1+x+ x2 x2_+2x+1= (1−x)(1+x) +x2 (x+1)2 =1−x 2 +x2 (x+1)2 = 1 (x+1)2 Parte real  µ −_x+x₁ 2 +v2 = 1 (x+1)2

ρ = −

1

ρ =

1

u

v

Figura:Carta de Smith, parte real.

En el plano complejo deρ = µ +jv esto es un círculo de

centro x x+1,0

y radio r= 1

(x+1). Luego valores de

impe-dancia de parte real constante se transforman en estos círculos.

Parte Imaginaria

Obtención de la curva

y(1− µ)2+yv2=2v

Tomamos y=cte, parte imaginaria de la impe-dancia constante y vemos la curva en el plano (µ,v):

(µ −1)2₊

v2−2v_y =0 En virtud de esto calculamos:

 v−1_y 2 =v2−2v y+ 1 y2  v−1_y 2 −_y12 =v 2 −2v y (µ −1)2₊  v−1_y 2 = 1 y2

Obtención de la curva

Tenemos un círculo con centro(1,1/y)y con ra-dio r= 1 y2. −1 1 u v r=1/2 r=1 y=1 Parte Positiva Parte Negativa

Figura:Carta de Smith, parte imaginaria

Laparte imaginaria de una impedancia puede ser negativa.

Ejemplo de línea de transmisión

Utlización de la carta de Smith

ρ0;Zin

l=2,5 mm

β,Zc _Z

l

Figura:Línea cargada como ejemplo de utilización de la carta de Smith.

➳ Utilizaremos la siguienteconfiguración para la línea:

ZL=65+j37,5, Zc=50Ω, f=10 GHz,λ =_f(GHz30) (cm),λ =30

10=3 cm,l= λ/12=30/12=2,5 mm.

➳ En primer lugar normalizamos laimpedancia de cargaZ¯L=Z50L=1,3+j0,75. Vamos a situar esta

impedancia en la carta de Smith.

➳ Elcoeficiente de reflexiónρLlo podemos calcular

midiendo la longitud y la fase. Las longitudes se escriben enfracciones de longitud de ondaλ.

Ejemplo de línea

Ejemplo de línea de transmisión

Utilización de la carta de Smith

Ahora debo desplazarme hasta el generador y sabemos que el coeficiente de

reflexión

ρ

lo que hace es girar (suponiendo que no hay pérdidas). El giro es en el

sentido de las agujas del reloj. Vemos que distancia debo moverme. Las longitudes

son

λ =

30

/

10

=

3 cm y

λ =

30 mm, hay que

expresarlas en fracciones de la longitud

de onda

resultando l

/λ =

30

=

y l

=

λ

12

=

0

,

0833

λ

. Luego debo girar hasta el

punto:

0

,

18

λ +

0

,

0833

λ =

0

,

2633

λ

Luego

Z

¯

=

1

,

95

−

j 0

,

25, Z

=

97

,

5

−

j 12

,

5. El

coeficiente de reflexión

ρ

se

obtiene midiendo el nuevo vector que da Z

. Vamos a calcular el coeficiente de

reflexión en la entrada. El módulo es el mismo y vale la longitud del vector (no hay

pérdidas). La fase en fracciones de

λ

es: 0

,

2633

_{λ −}

0

,

25

λ =

0

,

0133

λ

. Veamos

cuanto es el ángulo: 2

β

l

=

2

0

,

0133

λ =

0

,

052

π ≃ −

9

,

6

, es una fase negativa.

Se ve que si l

= λ/

2, 2

β

l

=

2

λ λ

2

=

2

π

, se tiene un

giro completo en la carta de

Smith.

Onda Estacionaria

0,2 1 2

Figura: Impedancias reales carta de Smith

ZL

ZC

z

Figura: Onda estacionaria en una línea con una carga ZL

Cuando existedesadaptación de impedancias se produce una onda estacionaria. Nosotros hemos calculado los puntos máximos y mínimos. Sabemos que en unmáximo de tensión, la tensión vale: Vmáx=A(1_{+ |ρ|)}y además en este punto hay unmínimo de corrienteque vale:

Imín= A Zc(1− |ρ|).

La impedancia en este punto vale:

Zin=Vmáx

Imín =

1+ |ρ|

1_{− |ρ|}Zc Obtenemos una impedancia real

¯

Zin=1+ |ρ|

1_{− |ρ|}=S Precisamente, el coeficiente de onda estacionaria La impedancia es real y mayor que uno. Luego, laimpedancia es un máximo de tensión.

Onda Estacionaria

1

¯

Zin=S

Figura: Tramo donde se encuentran los puntosmáximos de tensión, además del coeficiente de onda estacionaria

1

¯

Zin=1 S

Figura: Tramo en el que se encuentran las impedancias en losmínimos de tensión Se encontrará en esta región. En este tramo se encuentran las impedancias en los puntos máximos de tensión. Además da elcoeficiente de onda estacionaria. Vemos en un punto mínimo de tensión: Vmín= |A|(1− |ρ|) ;_Imáx= |A| Zc (1+ |ρ|) Zin=Vmín Imáx =Zc 1− |ρ| 1+ |ρ|; ¯Zin= 1− |ρ| 1+ |ρ|= 1 S

Vemos que laimpedancia en un mínimo es real y menor que uno, luego estará la impedancia en (ver la figura). En este tramo se encuentran lasimpedancias en los mínimos de tensión.

Ejemplo de utilización de la carta de Smith

Ejemplo

Se mide un coeficiente de onda estacionaria S = |Vmáx|

|Vmín| =2,5. Además se mide un mínimo que se encuentra a 0,5833λde la carga. Para medir el valor de la impedancia, debo despla-zarme 0,5833λdesde el mínimo hasta llegar a la carga. Como 0,5833λes mayor que 0,5λ, su-poniendo 0,5λdar una vuelta entera, lo que ha-remos es dar una vuelta entera 0,5λmás lo que quede hasta completar la distancia de 0,5833λ hasta llegar a la carga.

|V|

0,5833λ

Figura:

Desplazamiento de 0

,

5833

λ

hasta

llegar a la carga

Representación Carta de Smith

Figura:

Ejemplo de utilización de la carta de Smith

Análisis carta de Smith

0,5λ +xλ =0,5833λ x= (0,5833−0,5)λ =0,0833λ

¯

ZL=0,51−j 0,46 para Zc=50 ZL= (25,5−j 23)Ω Impedancia capacitiva

En la carta de Smithtambién podemos usar admitancias: ρ =ZL−Zc ZL+Zc = 1/YL−1/Yc 1/YL+1/Yc =Yc−YL Yc+YL= − YL−Yc YL+Yc

Podemos reemplazar impedancias por admitancias, pero entonces hay quecambiar el signo al coeficiente de reflexiónρlo que supone añadir 180o_.

Representación

YL

ZL

Figura:

reflexión

Carta de Smith con elementos concentrados

Impedancia de entrada

Figura:Línea cargada con inductancia concentrada a la entrada XL

El valor de la inductancia concentrada es XL =

70, que normalizada esXL¯ =1,4Ω. Por otra par-te, la impedancia de carga normalizada esZL¯ =

0,5+j0,4. Ahora me muevo una longitud 0,02λ.

(0,073+0,02)λ =0,093λhay que moverse hacia el generador.ZA¯ =0,62+j0,55, Zin=jXL+0,62+ j0,55=0,62+j(0,55+XL). Misma parte real y la parte imaginaria varía Zin=0,62+j1,95Ω. La

reso-lución se obtiene manejando la carta de Smith como se muestra en la figura.

Carta de Smith

Carta de Smith para adaptación de impedancias

Adaptación de impedancias

La carta de Smith también sirve

para adaptar impedancias.

Zin=50 YA l=0,02λ Zc=75Ω _Z L=50+j 80 Xc Vg Z0=50Ω

Figura:

Línea cargada con una

capacitancia concentrada a la

entrada X

Adaptación de impedancias

Los datos de configuración de la línea

son f

=

1 GHz, Z

=

= −

jX

,Y

=

−

−jXc

=

jB

. Hay que

normalizar

con

res-pecto de la impedancia característica de

la línea.

¯

Z

=

50

+

j80

75

=

0

,

67

+

j1

,

07

Queremos llegar a una impedancia de

entrada normalizada de

Z

¯

=

50

/

75

=

0

,

67. En primer lugar vemos que es

más

sencillo trabajar con admitancias

ya que

Y

=

jB

+

Y

. ¿Cómo se podría hacer

un condensador en RF?, con una línea

terminada en circuito abierto. Tenemos

¯

Y

=

1

,

5

=

, luego

¯

Y

=

j

B

¯

+ ¯

Y

=

1

,

5,

Y

¯

=

1

,

5

−

j

B

¯

.

Carta de Smith para adaptación de impedancias

Adaptación de impedancias

LuegoY¯Adebe tener parte real 1,5, ademásY¯A

se obtiene moviendo YLuna longitud

determinada por la línea. Moveré YLhasta

encontrar el círculo de parte real 1,5. Tengo dos posibilidades, sin embargo, vemos queY¯Adebe

tener parte imaginaria negativa, luego debemos tomar la segunda posibilidad. Sale

¯

YA=1,5−j1,7, entonces vemos queB¯c=1,7, Zcom=_jω1_c, Ycom=jωC,Y¯com=jB¯c.

¯ Z= Z Zc = 1/Y 1/Yc =1/ ¯Y , 1/ ¯Y= Yc Y. Vemos que ¯ Y= Y

Yc también se normaliza con admitancia. Luego,B¯c=B_Yc

c, Bc= ¯Bc·Yc, Bc=1,7/75. Finalente se tiene: Ycond=jωC=jBc, Bc= ωC, 1,7 75 =2πfC, C= 1,7 75·2πf = 1,7 75·2πf =3,6 pF. Se

puede ver elmovimiento reflejado en la carta de Smith.

Adaptación de impedancias

Figura: Adaptación de impedancias con carta de Smith