Escuela Técnica Superior de Ingenieros en Topografía, Geodesia y Cartografía
DETERMINACIÓN DE UN MODELO DE GEOIDE GRAVIMÉTRICO
PARA PUERTO RICO COMO SISTEMA DE REFERENCIA PARA LAS
ALTITUDES ORTOMÉTRICAS
Tesis Doctoral
Autor:
ELADIO E. MARTÍNEZ TORO
Ingeniero Industrial y Topógrafo
Escuela Técnica Superior de Ingenieros en Topografía, Geodesia y Cartografía Tesis Doctoral: Determinación de un modelo de geoide gravimétrico
para Puerto Rico como sistema de referencia para las altitudes ortométricas
Autor: Eladio E. Martínez Toro
Ingeniero Industrial y Topógrafo Director de Tesis: Abelardo Bethencourt Fernández
Doctor en Ciencias Físicas Año: 2014
PRESIDENTE: D... (...) VOCALES: D... (...) D... (...) D... (...) SECRETARIO: D... (...) SUPLENTES: D... (...) D... (...)
ha decidido otorgar la cali cación de
Madrid, a ... de ... de ...
A mi padre, D. Eladio E. Martínez Toro.
Que siempre tuvo fe en mí y fue mi apoyo incondicional.
Quiero empezar esta sección dando gracias al Dios Padre y creador de todo lo que nos rodea por darme la oportunidad de pasar por esta gran experiencia de aprendizaje y crecimiento personal. Una experiencia única que no hubiese sido posible sin la ayuda de la persona que por los últimos cinco años ha estado guiando mi investigación, el Dr. Abelardo Bethencourt Fernández, mi director de tesis. Un profesional muy comprometido con su trabajo pero siempre dispuesto a sacar un poco de su tiempo para aconsejarme y compartir sus conocimientos. En los momentos más difíciles, cuando no veíamos la luz al nal del túnel y pensábamos que estábamos en un camino sin salida, siempre tenía unas palabras de aliento. Gracias a su dedicación, experiencia y compromiso, hemos logrado salir adelante. Muchas gracias Abelardo.
Quisiera también agradecer al Dr. Antonio Vázquez Hoehne, quien fue la primera persona que conocí al llegar a la Universidad Politécnica de Madrid. Desde el primer momento estuvo dispuesto a aconsejarme y a mostrarme el camino a seguir para completar esta aventura, aun cuando no era uno de sus estudiantes. También al Dr. Santiago Ormeño Villajos junto a todos los profesores con los que tuve la oportunidad de compartir y aprender de sus conocimientos, a todos ellos mi más sincero agradecimiento.
Durante estos cinco años, muchas personas me acompañaron en esta aventura. Muchos de ellos dejaron una gran huella en mi vida por lo que siempre les estaré agradecido. Inmediatamente vienen a mi mente los dos primeros compañeros de estudio que conocí al llegar a Madrid, el Ingeniero Vladimir Gutiérrez y el Dr. Joaquín A. Rincón. Con Vladimir compartimos muchísimas experiencias, fuimos compañeros de piso, compañeros de estudio y compañeros de laboratorio. Admiro a Vladimir porque es un profesional en todo el sentido de la palabra y un excelente padre de familia. Siempre estuvo dispuesto a echarme una mano en los asuntos informáticos y sé que sin su ayuda, parte de este trabajo no hubiese sido posible de realizar. A Vladi, Elia y a Vladimir Jr., muchas gracias por ser mi familia de Madrid durante casi cinco años. De Joaquín puedo decir que más que un amigo, fue un hermano y un compañero de mil batallas. Fueron muchas las horas que pasamos en el laboratorio de la Escuela de Topografía. Sus amplios conocimientos en sistemas de información geográ ca y sus habilidades para encontrar soluciones a los continuos problemas informáticos a los que me tenía que enfrentar, fueron una gran ayuda para mí. Muchas gracias Joaco, Elvia y Joaquincito por brindarme su amistad y abrirme las puertas de su casa. Siempre les estaré agradecido. Finalizando con ese grupo cercano de compañeros de estudio está el Ingeniero Adolfo Javier Urrutia. Adolfo, compañero de piso por varios años, un ser humano con un espíritu aventurero increíble que ante la adversidad, siempre sabía cómo salir adelante. Gracias Adolfo por demostrarme que cuando se tiene un sueño, la única opción que tenemos es trabajar con todas nuestras fuerzas para alcanzarlo.
Fueron cinco años los que pasamos en el laboratorio de la Escuela de Topografía, cinco años donde conocimos a grandes compañeros y amigos. Primeramente viene a mi mente el Dr. Alberto Hernández. Aun recuerdo aquella primera salida de campo al Valle de los Caídos, luego fueron muchísimas las oportunidades en las que pudimos intercambiar conocimientos y discutir nuestros trabajos. Finalmente, tras obtener Alberto su doctorado, fue la primera persona en leer mi tesis. Gracias Alberto por tu ayuda y consejos. También recuerdo al Ingeniero Víctor Puente, sentado en el último escritorio del laboratorio, todos los días trabajando en sus programas en Matlab. Gracias Víctor, porque tus conocimientos en Matlab y ayuda con el manejo de los modelos digitales del terreno hicieron posible que este trabajo nalmente saliera a la luz. También quiero agradecer al Dr. Marcos Palomo, que con sus conocimientos en topografía, geodesia, teledetección y programación, siempre tenía algún truco para resolver esos problemas que a primera vista parecían casi imposibles de resolver. A todos ellos, muchas gracias.
están los compañeros con los que comparto el día a día. Siempre dispuestos a echarme una mano con los temas relacionados al doctorado. Empezando con mis compañeros españoles Ayar Rodríguez, Alberto Nuñez e Isabel Blasco y continuando con mis compañeros latinoamericanos Xavier Molina de Ecuador y el siempre viajero Víctor Saldaña de Venezuela, fueron muchos los momentos de tertulia que pasamos discutiendo nuestros temas de investigación. Siempre esperanzados en ser los primeros en terminar y salir lo antes posible del laboratorio. A todos ustedes, muchas gracias y les deseo el mayor de los éxitos en sus respectivos trabajos.
También quiero agradecer a una familia muy especial, a mi familia adoptiva en España. Unas personas que siempre me dijeron lo que necesites, ya sabes que cuentas con nosotros y cuando llego el momento, pusieron la acción en la palabra. Muchas gracias al Dr. Enrique Martín y a su esposa, mi compatriota Nieves, porque en todo momento me hicieron sentir como parte de su familia. Gracias a Diego y Andrea, a Marcos y Sofía y a Enrico y Clara porque desde el primer día me trataron como uno más y en los momentos más difíciles, me demostraron que no estaba solo y que podía contar con ellos. A la Familia Martín Montalvo, muchísimas gracias.
No quiero pasar por alto a todas esas personas, que aunque nos separaban muchos kilómetros de distancia, siempre me echaron una mano desde Puerto Rico. Entre esas personas esta el Agrimensor Héctor Sanabria, la Agrimensora y Profesora Ing. Linda Vélez y el Agrimensor José Rivera Cacho. Ellos entre otros muchos compañeros agrimensores del Colegio de Ingenieros y Agrimensores de Puerto Rico que en todo momento me ayudaron a conseguir nanciamiento para mis estudios y aportaron horas de su tiempo libre para ayudarme a realizar los trabajos de campo. A todos ellos, muchas gracias. De mi pueblo Sabana Grande, quiero agradecer a mi antiguo jefe, al alcalde Don Miguel G. Ortiz Vélez. Desde el primer momento que le comuniqué mis planes de venir a España a realizar un doctorado, siempre estuvo dispuesto a ayudarme en lo que necesitara. Muchas gracias Papín por tu ayuda y gracias a todos mis antiguos compañeros de trabajo que siempre estuvieron dispuestos a ayudarme cuando así lo necesité. Quedan muchas otras personas que de una manera u otra me ayudaron para que esta aventura se hiciera realidad. Algunos de ellos ya no forman parte de mi entorno, pero a todos ellos, muchas gracias.
Quiero agradecer a una persona muy especial para mí, con la que quiero compartir el resto de mis días, a Lilian Graciela. Siempre escuché de su boca palabras de aliento, motivadoras y reconfortantes. Siempre me dijo tu puedes, fuerza Ela y sigue adelante que verás que al nal lo conseguirás. En todo momento creyó y con ó en mí y cuando mas necesité de su apoyo, allí estuvo presente. Quizás sean muchos los kilómetros y horas de diferencia que nos separan, pero tu presencia siempre estará conmigo. Muchas gracias Lili. . .
Dejo para el nal a esas personas que siempre estuvieron pendientes de mí, mi familia. Aunque no estuviera en Puerto Rico siempre le preguntaban a mi padre por mí y se preocupaban por mi progreso. La pregunta acostumbrada era: ¾Cuándo regresa Eladio?... Muchas gracias a mis tíos y primos pero muy en especial a la Dra. Luz Enid Martínez y al Dr. José Gerardo Martínez que cuando tuvieron la oportunidad de visitar Madrid, sacaron un poco de tiempo de sus vacaciones para compartir conmigo y me hicieron recordar lo que es el calor de la familia. Gracias a todos por tenerme siempre presente. Quiero terminar agradeciendo a mi padre Don Eladio E. Martínez Toro y a su esposa Lourdes. A mi padre le dedico este trabajo, a él porque siempre tuvo fe en mí y me apoyó en todo momento. Sus oraciones y consejos fueron muy importantes para mí. Sé que sin su ayuda, hoy no podría decir, Don Eladio, ya acabe mi tesis. Simplemente, gracias.
Índice general
1. Introducción 5
1.1. Descripción del problema . . . 5
1.2. Justi cación . . . 6 1.3. Objetivos . . . 6 1.3.1. Objetivo General . . . 6 1.3.2. Objetivos Especí cos . . . 7 1.4. Estructura de la tesis . . . 7 2. Metodología 8 2.1. Determinación gravimétrica del geoide . . . 8
2.1.1. Campo gravitatorio terrestre . . . 8
2.1.2. Campo gravitatorio normal . . . 12
2.1.3. Campo de gravedad anómalo . . . 16
2.1.4. Reducciones a la gravedad . . . 20
2.1.4.1. Reducción aire libre . . . 20
2.1.4.2. Reducción de Bouguer . . . 21
2.1.4.3. Corrección clásica por efectos de la topográ ca del terreno . . . 22
2.1.4.4. Reducciones Isostáticas . . . 25
2.1.4.5. Corrección por el efecto indirecto . . . 27
2.1.4.6. Corrección a la gravedad por efectos atmosféricos . . . 28
2.1.5. Modelos geopotenciales globales y regionales . . . 29
2.1.5.1. EGM96 . . . 30
2.1.5.2. EGM2008 . . . 31
2.1.5.3. GEOID03 . . . 33
2.1.5.4. GEOID09 . . . 35
2.1.5.5. GEOID12A . . . 36
2.1.6. Segundo Método de Condensación de Helmert . . . 37
2.1.7. Técnica de Sustitución - Restitución . . . 38
2.2. Determinación geométrica del geoide . . . 40
2.2.1. Sistemas de Altitudes . . . 40
2.2.1.1. Número geopotencial . . . 40
2.2.1.2. Altitudes dinámicas . . . 41
2.2.1.3. Altitudes elipsoidales . . . 41
2.2.1.6. Altitudes normales . . . 44
2.2.2. Dátum Verticales . . . 46
2.2.2.1. Nivel promedio del mar . . . 46
2.2.2.2. Dátum vertical de Norte América de 1988 . . . 47
2.2.2.3. Controles verticales en Puerto Rico . . . 47
2.2.2.4. Dátum Vertical de Puerto Rico de 2002 . . . 48
2.2.3. Determinación de la precisión de las altitudes ortométricas Helmert calculadas . . 50
2.2.4. Ondulación del geoide geométrico . . . 54
3. Descripción del área de estudio y fuentes de datos 55 3.1. Datos de gravedad terrestre y marítima (BGI y NOAA) . . . 56
3.2. Datos de gravedad obtenida por altimetría por satélite (Sandwell & Smith) . . . 59
3.3. Modelo digital del terreno (SRTM3 ) . . . 61
3.4. Modelo digital de batimetría (GEBCO08 ) . . . 62
3.5. Modelo geopotencial global (EGM2008 ) . . . 63
4. Análisis y Validación de Datos 65 4.1. Comprobación de la precisión de los modelos geopotenciales globales a lo largo de una línea de nivelación . . . 65
4.1.1. Determinación geométrica del geoide . . . 65
4.1.1.1. Recuperación e identi cación de las estaciones permanentes . . . 66
4.1.1.2. Campaña de observaciones con instrumentos de GNSS y determinación de las altitudes elipsoidales . . . 67
4.1.1.3. Campaña de observaciones gravimétricas y determinación de los valores de gravedad . . . 68
4.1.1.4. Determinación de los valores de gravedad . . . 70
4.1.1.5. Determinación de las altitudes ortométricas Helmert . . . 70
4.1.1.6. Determinación de la ondulación del geoide geométrico . . . 74
4.1.2. Análisis de la precisión de los incrementos de la ondulación del geoide . . . 74
4.1.3. Análisis de los incrementos de la ondulación del geoide en función de las distancias entre líneas observadas y las diferencias de elevación entre estaciones permanentes 79 4.1.4. Ajuste de los valores absolutos de la ondulación del geoide obtenido utilizando los distintos modelos geopotenciales globales . . . 81
4.2. Determinación del modelo digital topo-batimétrico para la zona de estudio . . . 83
4.2.1. Pre-procesamiento del modelo digital del terreno SRTM3 . . . 83
4.2.2. Generación de curvado a cota cero y extracción de las líneas de costa . . . 84
4.2.3. Combinación del modelo digital del terreno SRTM3 y el modelo batimétrico GEB-CO08 . . . 85
4.3. Validación de los datos de gravedad terrestre . . . 86
4.3.1. Preparación de los datos . . . 87
4.3.1.1. Validación grá ca inicial . . . 87
4.3.1.2. Transformación de Dátum NAD27 a NAD83 . . . 89
4.3.2. Validación por altimetría . . . 92
4.3.2.1. Resultado de la Búsqueda Final de Observaciones Repetidas . . . 95
4.3.3. Validación matemática de las anomalías residuales utilizando colocación . . . 96
4.3.3.1. Resultados de la validación por colocación . . . 98
4.3.4. Análisis de los datos de gravedad marinos . . . 102
4.4. Determinación de las anomalías de Faye . . . 104
4.5. Extrapolación de anomalías de aire libre a partir de datos de un modelo digital del terreno 108 4.5.1. Valor medio de las anomalías aire libre ajustadas . . . 115
5. Determinación del modelo del geoide gravimétrico 120 5.1. Preparacion de la malla de anomalías residuales . . . 121
5.2. Solución de la integral de Stokes . . . 123
5.2.1. Aproximación Plana . . . 123
5.2.2. Modi caciones del núcleo de Stokes . . . 125
5.2.2.1. Modi cación de L. Wong y R. Gore . . . 127
5.2.2.2. Modi cación de P. Vanicek y A. Kleusberg . . . 127
5.2.2.3. Modi cación de W. E. Featherstone, J.D. Evans y J.G. Olliver . . . 128
5.2.3. Resultados de la solución de la integral de Stokes - N residual . . . 128
5.3. Cómputo del efecto indirecto . . . 128
5.4. Contribución del modelo geopotencial EGM2008 . . . 130
5.5. Cómputo de los modelos del geoide gravimétrico . . . 132
5.6. Validación de los modelos del geoide gravimétrico . . . 132
5.7. Ajuste del modelo gravimétrico del Geoide WG . . . 136
6. Conclusiones y Trabajos Futuros 138 6.1. Conclusiones . . . 138
6.2. Trabajos Futuros . . . 140
Índice de guras
2.1. Potencial de un cuerpo sólido. . . 9
2.2. Sistema de coordenadas esféricas y rectangulares. . . 10
2.3. Geoide y elipsoide de referencia. . . 17
2.4. Reducción de la gravedad. . . 20
2.5. Lámina de Bouguer. . . 21
2.6. Correcciones Topográ cas. . . 22
2.7. Sistema de referencia para el cómputo de la Corrección Topográ ca. . . 23
2.8. Plantillas zona in uencia correcciones topográ cas. . . 24
2.9. Diferentes casos de las coordenadas verticales del prisma. . . 25
2.10. Topografía y compensación Isostática Modelo Airy - Heiskanen. . . 27
2.11. EGM96. Fuente: J. Frawley (NASA GSFC) . . . 31
2.12. EGM2008. Fuente: U.S. National Geospatial-Intelligence Agency (NGA) . . . 32
2.13. GEOID03. Fuente: National Geodetic Survey (NGS) . . . 34
2.14. GEOID09. Fuente: National Geodetic Survey (NGS) . . . 35
2.15. GEOID12A. Fuente: National Geodetic Survey (NGS) . . . 36
2.16. Sistemas de Altitudes. . . 42
2.17. Altitudes Ortométricas. . . 43
2.18. Altitudes Normales. . . 45
2.19. Estaciones permanentes con elevación conocida del PRVD02. . . 48
2.20. Red de Nivelación del PRVD02. Fuente: Agrimensor Héctor Sanabria, HLCM Group . . . 49
2.21. Primer tramo del PRVD02 nivelado por personal del NGS. Fuente: Google Earth . . . 49
2.22. Estación de origen del PRVD02 - 975 5371 A TIDAL. Fuente: Google Earth . . . 50
3.1. Datos de gravedad terrestres del BGI disponibles en la isla de Puerto Rico. Fuente: Bureau Gravimétrique International (BGI) . . . 56
3.2. Datos de gravedad marino del BGI disponibles para la región de Puerto Rico. Fuente: Bureau Gravimétrique International (BGI) . . . 58
3.3. Datos de gravedad marinos disponibles en la página de NOAA. Fuente: National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA) . . . 59
3.4. Mapa de anomalías aire libre obtenidas mediante altimétrica con satélite. Fuente: Institution of Oceanography, University of California San Diego . . . 60
3.5. Datos existentes del modelo SRTM3 en la zona de estudio. Fuente: National Aeronautics and Space Administration (NASA) . . . 62
Centre (BODC) . . . 63
3.7. Imagen de la cuadrícula de anomalías aire libre derivadas del EGM2008. Fuente: Bureau Gravimétrique International (BGI) . . . 64
4.1. Estaciones permanentes de la línea de nivelación del PRDV02 parcialmente destruidas. . 67
4.2. Gravímetro LaCoste & Romberg modelo G-1001. . . 68
4.3. Per l de las altitudes ortométricas a lo largo de la Línea de Nivelación del PRVD02. . . . 72
4.4. Diferencias de los incrementos de la ondulación del geoide en función de las distancias entre líneas base. . . 80
4.5. Diferencias de los incrementos de la ondulación del geoide en función de las diferencias de altitud entre estaciones permanentes. . . 80
4.6. Per l de la Ondulación del Geoide obtenido con el EGM96 Ajustado. . . 82
4.7. Per l de la Ondulación del Geoide obtenido con el EGM2008 Ajustado. . . 83
4.8. Modelo digital del terreno SRTM3 de Puerto Rico. . . 84
4.9. Modelo SRTM3 tras el ltrado. . . 85
4.10. Modelo digital de batimetría GEBCO08. . . 85
4.11. Fusión de los modelos SRTM3 y GEBCO08. . . 86
4.12. Grá co inicial anomalías aire libre en función de las altitudes. . . 88
4.13. Vista inicial de los puntos de las anomalías aire libre sobre el terreno. . . 88
4.14. Vista nal de los puntos de las anomalías aire libre sobre el terreno tras la corrección de dátum. . . 90
4.15. Observación sospechosa con su zona de amortiguamiento. . . 93
4.16. Observación sospechosa con zonas del SRTM3 con diferencias entre ± 10 metros. . . 93
4.17. Observación sospechosa con los centróides en las zonas de diferencias de ± 10 metros. . . 94
4.18. Directorio de los programas de Gravsoft en la plataforma de Python. Fuente: PyGravsoft . 97 4.19. Programa EMPCOV para determinar la ecuación de covarianza empírica. Fuente: PyGravsoft 97 4.20. Programa COVFIT empleado para resolver la función de covarianza. Fuente: PyGravsoft 98 4.21. Programa GEOCOL para realizar el procedimiento de colocación. Fuente: PyGravsoft . . 99
4.22. Programa GEOEGM para calcular los valores de las anomalías residuales. Fuente: PyGravsoft 100 4.23. Interpolación kriging de las anomalías aire libre obtenidas mediante altimetría por satélite. 104 4.24. Recorte para extraer los puntos con valores de anomalías aire libre para la zona terrestre. 105 4.25. Recorte para extraer los puntos con valores de anomalías aire libre para la zona marítima. 106 4.26. Diferencias entre las anomalías aire libre medidas y las anomalías aire libre determinadas apartir del Modelo Digital del Terreno en funcion de la altitud. . . 110
4.27. Histograma de las diferencias entre las anomalías aire libre a partir del modelo digital del terreno y las anomalías aire libre validadas Ajuste Global. . . 111
4.28. Representación de las anomalías aire libre calculadas en las zonas 19N 1, 19S 2, 19N 3 y 20S 1. . . 112
4.29. Representación de las anomalías aire libre calculadas a partir del modelo digital del terreno en las zonas 19N 1, 19S 2, 19N 3 y 20S 1. . . 112
en cuadrícula ajustadas en función al plano formado por las anomalías aire libre medidas
(círculos). . . 113
4.32. Histograma de las diferencias entre las anomalías aire libre a partir del modelo digital del terreno y las anomalías aire libre validadas- Ajuste por Zonas. . . 115
4.33. Malla con todos los datos de anomalías aire libre. . . 116
4.34. Localizaciones con valores de anomalías aire libre calculadas a un radio de 1 minuto de arco de un punto de la malla. . . 116
4.35. Datos utilizados para realizar la regresión lineal y determinar el valor medio de la anomalía de Faye en función de la altitud del punto de la malla. . . 117
4.36. Análisis de regresión lineal para un punto de la malla. . . 118
5.1. Zona de cómputo del modelo del geoide gravimétrico. . . 120
5.2. Vista parcial del cómputo de la ondulación del geoide con el modelo EGM2008. . . 130
5.3. Vista parcial del resultado nal del cómputo de la ondulación del geoide con el modelo EGM2008. . . 131
5.4. Descripción del GEOID12A. Fuente: National Geodetic Survey (NGS) . . . 134
5.5. Estaciones de referencia del NGS utilizadas para la validación de los modelos del geoide. . 134
Índice de tablas
2.1. Constantes del elipsoide internacional GRS80. . . 13
2.2. Valores de las coordenadas interiores e inferiores del prisma. . . 25
2.3. Valores de las correcciones atmosféricas a la gravedad δg. . . 28
2.4. Resultados Estudios de Helmert, Niethammer y Mader. . . 52
3.1. Datos de gravedad terrestre descargados de la página del BGI. . . 57
3.2. Ficheros descargados con los imagenes en formato ráster del SRTM3. . . 62
4.1. Valores de las altitudes elipsóidicas con su desviación estándar. . . 69
4.2. Valores de gravedad en las estaciones permanentes del PRVD02. . . 71
4.3. Valores de la elevación y las altitudes ortométricas Helmert calculadas. . . 73
4.4. Valores de las altitudes ortométricas con su desviación estándar. . . 75
4.5. Valores de la ondulación del geoide geométrico en las estaciones de la línea de nivelación del PRVD02. . . 76
4.6. Resultados del cómputo de los valores de la ondulación del geoide en la estación de origen de la línea de nivelación del PRVD02. . . 77
4.7. Valores de la ondulación del geoide en la línea de nivelación del PRVD02 obtenida con los distintos modelos geopotenciales. . . 78
4.8. Resumen de los resultados del análisis de las diferencias de los incrementos de la ondulación del geoide. . . 79
4.9. Resumen transformación de Dátum NAD27 a NAD83. . . 89
4.10. Tabla comparativa transformación de GRS67 a GRS80. . . 91
4.11. Resultados del análisis de la comparación de altitudes BGI SRTM3. . . 92
4.12. Resumen validación por altimetría. . . 95
4.13. Resultados de la comparación de altitudes BGI SRTM3 tras la validación por altimetría. 95 4.14. Resumen del resultado de la validación por colocación. . . 101
4.15. Estadísticos nales de las observaciones validadas por altimetría y por colocación. . . 101
4.16. Muestreo de los cruces de líneas en un mismo itinerario. . . 103
4.17. Resumen del resultado de los valores de las anomalías aire libre obtenidas mediante alti-metría por satélite. . . 106
4.18. Resumen de la interpolación de las altitudes y las profundidades. . . 107
4.19. Límites de la malla para el cómputo del geoide. . . 107
4.20. Límites de la malla exterior. . . 107
4.23. Resumen del cómputo de las anomalías aire libre a partir de un modelo digital del terreno. 109 4.24. Resumen del cálculo de las anomalías aire libre a partir del modelo digital del terreno en
las estaciones con valores de gravedad. . . 110
4.25. Resumen del cómputo del ajuste global de las anomalías aire libre a partir del modelo digital del terreno. . . 111
4.26. Resumen del cómputo del ajuste por zonas de las anomalías aire libre a partir del modelo digital del terreno. . . 114
4.27. Resumen del ajuste por zonas geográ cas de la malla de anomalías aire libre obtenidas a partir de un modelo digital del terreno. . . 115
4.28. Resumen del cómputo del valor medio de las anomalías de Faye. . . 119
5.1. Anomalías de Faye para la zona terrestre. . . 121
5.2. Anomalías aire libre del modelo EGM2008 para la zona terrestre. . . 121
5.3. Anomalías residuales para la zona terrestre. . . 122
5.4. Anomalías aire libre para la zona marítima. . . 122
5.5. Anomalías aire libre del modelo EGM2008 para la zona marítima. . . 122
5.6. Anomalías residuales para la zona marítima. . . 123
5.7. Valores anomalías residuales de las mallas utilizadas para el cómputo del geoide. . . 123
5.8. Resultados de la solución de la integral de Stokes N residual. . . 128
5.9. Resultados de la aportación del primer término y del segundo término variando el radio de in uencia (25, 50, 75 y 100 km). . . 129
5.10. Resultado del cómputo del efecto indirecto total variando los radios de in uencia. . . 129
5.11. Aportación de las zonas de in uencia en el cómputo del efecto indirecto. . . 129
5.12. Aportación del modelo EGM2008 para el cómputo del geoide. . . 131
5.13. Resultados del cómputo de la ondulación del geoide para los modelos del geoide gravimétrico.132 5.14. Estaciones de referencia del NGS utilizadas para validar los modelos del geoide. . . 133
5.15. Valores de la ondulación del geoide en las estaciones de validación del NGS. . . 134
5.16. Resumen de los resultados del análisis de las diferencias de los incrementos de la ondulación del geoide. . . 136
El geoide, de nido como la super cie equipotencial que mejor se ajusta (en el sentido de los mínimos cuadrados) al nivel medio del mar en una determinada época, es la super cie que utilizamos como referen-cia para determinar las altitudes ortométricas. Si disponemos de una super cie equipotenreferen-cial de referenreferen-cia como dátum altimétrico preciso o geoide local, podemos entonces determinar las altitudes ortométricas de forma e ciente a partir de las altitudes elipsoidales proporcionadas por el Sistema Global de Navegación por Satélite (Global Navigation Satellite System, GNSS).
Como es sabido uno de los problemas no resueltos de la geodesia (quizás el más importante de los mismos en la actualidad) es la carencia de un dátum altimétrico global (Sjoberg, 2011) con las precisiones adecuadas. Al no existir un dátum altimétrico global que nos permita obtener los valores absolutos de la ondulación del geoide con la precisión requerida, es necesario emplear modelos geopotenciales como alternativa. Recientemente fue publicado el modelo EGM2008 en el que ha habido una notable mejoría de sus tres fuentes de datos, por lo que este modelo contiene coe cientes adicionales hasta el grado 2190 y orden 2159 y supone una sustancial mejora en la precisión (Pavlis et al., 2008).
Cuando en una región determinada se dispone de valores de gravedad y Modelos Digitales del Terreno (MDT) de calidad, es posible obtener modelos de super cies geopotenciales más precisos y de mayor resolución que los modelos globales. Si bien es cierto que el Servicio Nacional Geodésico de los Estados Unidos de América (National Geodetic Survey, NGS) ha estado desarrollando modelos del geoide para la región de los Estados Unidos de América continentales y todos sus territorios desde la década de los noventa, también es cierto que las zonas de Puerto Rico y las Islas Vírgenes Estadounidenses han quedado un poco rezagadas al momento de poder aplicar y obtener resultados de mayor precisión con estos modelos regionales del geoide. En la actualidad, el modelo geopotencial regional vigente para la zona de Puerto Rico y las Islas Vírgenes Estadounidenses es el GEOID12A (Roman y Weston, 2012). Dada la necesidad y ante la incertidumbre de saber cuál sería el comportamiento de un modelo del geoide desarrollado única y exclusivamente con datos de gravedad locales, nos hemos dado a la tarea de desarrollar un modelo de geoide gravimétrico como sistema de referencia para las altitudes ortométricas.
Para desarrollar un modelo del geoide gravimétrico en la isla de Puerto Rico, fue necesario implementar una metodología que nos permitiera analizar y validar los datos de gravedad terrestre existentes. Utilizando validación por altimetría con sistemas de información geográ ca y validación matemática por colocación con el programa Gravsoft (Tscherning et al., 1994) en su modalidad en Python (Nielsen et al., 2012), fue posible validar 1673 datos de anomalías aire libre de un total de 1894 observaciones obtenidas de la base de datos del Bureau Gravimétrico Internacional (BGI). El aplicar estas metodologías nos permitió obtener una base de datos anomalías de la gravedad able la cual puede ser utilizada para una gran cantidad de aplicaciones en ciencia e ingeniería.
Ante la poca densidad de datos de gravedad existentes, fue necesario emplear un método alternativo para densi car los valores de anomalías aire libre existentes. Empleando una metodología propuesta por Jekeli et al. (2009b) se procedió a determinar anomalías aire libre a partir de los datos de un MDT. Estas anomalías fueron ajustadas utilizando las anomalías aire libre validadas y tras aplicar un ajuste de mínimos cuadrados por zonas geográ cas, fue posible obtener una malla de datos de anomalías aire libre uniforme a partir de un MDT.
Tras realizar las correcciones topográ cas, determinar el efecto indirecto de la topografía del terreno y la contribución del modelo geopotencial EGM2008, se obtuvo una malla de anomalías residuales. Estas
entre las que se encuentran la aproximación plana de la función de Stokes y las modi caciones al núcleo de Stokes, propuestas por Wong y Gore (1969), Vanicek y Kleusberg (1987) y Featherstone et al. (1998). Ya determinados los distintos modelos del geoide gravimétrico, fue necesario validar los mismos y para eso se utilizaron una serie de estaciones permanentes de la red de nivelación del Datum Vertical de Puerto Rico de 2002 (Puerto Rico Vertical Datum 2002, PRVD02 ), las cuales tenían publicados sus valores de altitud elipsoidal y elevación. Ante la ausencia de altitudes ortométricas en las estaciones permanentes de la red de nivelación, se utilizaron las elevaciones obtenidas a partir de nivelación de primer orden para determinar los valores de la ondulación del geoide geométrico (Roman et al., 2013). Tras establecer un total de 990 líneas base, se realizaron dos análisis para determinar la `precisión' de los modelos del geoide. En el primer análisis, que consistió en analizar las diferencias entre los incrementos de la ondulación del geoide geométrico y los incrementos de la ondulación del geoide de los distintos modelos (modelos gravimétricos, EGM2008 y GEOID12A) en función de las distancias entre las estaciones de validación, se encontró que el modelo con la modi cación del núcleo de Stokes propuesta por Wong y Gore presentó la mejor `precisión' en un 91,1 % de los tramos analizados. En un segundo análisis, en el que se consideraron las 990 líneas base, se determinaron las diferencias entre los incrementos de la ondulación del geoide geométrico y los incrementos de la ondulación del geoide de los distintos modelos (modelos gravimétricos, EGM2008 y GEOID12A), encontrando que el modelo que presenta la mayor `precisión' también era el geoide con la modi cación del núcleo de Stokes propuesta por Wong y Gore. En este análisis, el modelo del geoide gravimétrico de Wong y Gore presento una `precisión' de 0,027 metros en comparación con la `precisión' del modelo EGM2008 que fue de 0,031 metros mientras que la `precisión' del modelo regional GEOID12A fue de 0,057 metros. Finalmente podemos decir que la metodología aquí presentada es una adecuada ya que fue posible obtener un modelo del geoide gravimétrico que presenta una mayor `precisión' que los modelos geopotenciales disponibles, incluso superando la precisión del modelo geopotencial global EGM2008.
The geoid, de ned as the equipotential surface that best ts (in the least squares sense) to the mean sea level at a particular time, is the surface used as a reference to determine the orthometric heights. If we have an equipotential reference surface or a precise local geoid, we can then determine the orthome-tric heights e ciently from the ellipsoidal heights, provided by the Global Navigation Satellite System (GNSS).
One of the most common and important an unsolved problem in geodesy is the lack of a global altimetric datum (Sjoberg, 2011)) with the appropriate precision. In the absence of one which allows us to obtain the absolute values of the geoid undulation with the required precision, it is necessary to use alternative geopotential models. The EGM2008 was recently published, in which there has been a marked improvement of its three data sources, so this model contains additional coe cients of degree up to 2190 and order 2159, and there is a substantial improvement in accuracy (Pavlis et al., 2008).
When a given region has gravity values and high quality digital terrain models (DTM), it is possible to obtain more accurate regional geopotential models, with a higher resolution and precision, than global geopotential models. It is true that the National Geodetic Survey of the United States of America (NGS) has been developing geoid models for the region of the continental United States of America and its territories from the nineties, but which is also true is that areas such as Puerto Rico and the U.S. Virgin Islands have lagged behind when to apply and get more accurate results with these regional geopotential models. Right now, the available geopotential model for Puerto Rico and the U.S. Virgin Islands is the GEOID12A (Roman y Weston, 2012). Given this need and given the uncertainty of knowing the behavior of a regional geoid model developed exclusively with data from local gravity, we have taken on the task of developing a gravimetric geoid model to use as a reference system for orthometric heights.
To develop a gravimetric geoid model in the island of Puerto Rico, implementing a methodology that allows us to analyze and validate the existing terrestrial gravity data is a must. Using altimetry validation with GIS and mathematical validation by collocation with the Gravsoft suite programs (Tscherning et al., 1994) in its Python version (Nielsen et al., 2012), it was possible to validate 1673 observations with gravity anomalies values out of a total of 1894 observations obtained from the International Bureau Gravimetric (BGI ) database. Applying these methodologies allowed us to obtain a database of reliable gravity anomalies, which can be used for many applications in science and engineering.
Given the low density of existing gravity data, it was necessary to employ an alternative method for densifying the existing gravity anomalies set. Employing the methodology proposed by Jekeli et al. (2009b) we proceeded to determine gravity anomaly data from a DTM. These anomalies were adjusted by using the validated free-air gravity anomalies and, after that, applying the best t in the least-square sense by geographical area, it was possible to obtain a uniform grid of free-air anomalies obtained from a DTM.
After applying the topographic corrections, determining the indirect eect of topography and the contribution of the global geopotential model EGM2008, a grid of residual anomalies was obtained. These residual anomalies were used to determine the gravimetric geoid by using various techniques, among which are the planar approximation of the Stokes function and the modi cations of the Stokes kernel, proposed by Wong y Gore (1969), Vanicek y Kleusberg (1987) and Featherstone et al. (1998). After determining the dierent gravimetric geoid models, it was necessary to validate them by using a series of stations of the Puerto Rico Vertical Datum of 2002 (PRVD02 ) leveling network. These stations had published its
obtained from rst order leveling to determine the geometric geoid undulation (Roman et al., 2013). After determine a total of 990 baselines, two analyzes were performed to determine the ' accuracy ' of the geoid models. The rst analysis was to analyze the dierences between the increments of the geometric geoid undulation with the increments of the geoid undulation of the dierent geoid models (gravimetric models, EGM2008 and GEOID12A) in function of the distance between the validation stations. Through this analysis, it was determined that the model with the modi ed Stokes kernel given by Wong and Gore had the best 'accuracy' in 91,1 % for the analyzed baselines. In the second analysis, in which we considered the 990 baselines, we analyze the dierences between the increments of the geometric geoid undulation with the increments of the geoid undulation of the dierent geoid models (gravimetric models, EGM2008 and GEOID12A) nding that the model with the highest 'accuracy' was also the model with modifying Stokes kernel given by Wong and Gore. In this analysis, the Wong and Gore gravimetric geoid model presented an `accuracy' of 0,027 meters in comparison with the 'accuracy' of global geopotential model EGM2008, which gave us an `accuracy' of 0,031 meters, while the 'accuracy ' of the GEOID12A regional model was 0,057 meters. Finally we can say that the methodology presented here is adequate as it was possible to obtain a gravimetric geoid model that has a greater 'accuracy' than the geopotential models available, even surpassing the accuracy of global geopotential model EGM2008 .
Capítulo 1
Introducción
1.1. Descripción del problema
La forma tradicional de obtener las altitudes ha sido a partir de las redes de nivelación de alta precisión que materializan la componente vertical del sistema de referencia. Sin embargo estas redes son muy costosas y difíciles de mantener, por lo que muchos países carecen de esta infraestructura. Aun teniéndola, las obtención de altitudes precisas por estos métodos clásicos además de ser muy complicada, requiere una costosa inversión en tiempo y dinero. Un ejemplo de esto es la problemática aún existente en el momento de determinar rigurosamente las altitudes ortométricas. La obtención de estas altitudes se hace muy complicada ya que nos enfrentamos al problema de tener que evaluar el valor medio de la gravedad a lo largo de la línea de la plomada cuando consideramos los efectos de la topografía del terreno (Tenzer et al., 2005). Así pues, disponer de una super cie equipotencial de referencia como dátum altimétrico preciso o geoide local es de gran importancia por cuanto ello nos permitiría determinar las altitudes ortométricas de forma e ciente a partir de las altitudes elipsoidales proporcionadas por el Sistema Global de Navegación por Satélite (Global Navigation Satellite System, GNSS). Si bien esto es cierto para cualquier país tanto más lo es para aquellas regiones que carecen de una red de nivelación, como es el caso de algunas zonas en el Caribe, especí camente en el área de Puerto Rico.
Como es sabido uno de los problemas no resueltos de la geodesia (quizás el más importante de los mismos en la actualidad) es la carencia de un dátum altimétrico global (Sjoberg, 2011). El geoide, de nido como la super cie equipotencial que mejor se ajusta (en el sentido de los mínimos cuadrados) al nivel medio del mar en una determinada época, no es accesible actualmente desde los dátum altimétricos locales con su ciente precisión, por lo que resulta imposible la uni cación de los mismos. Al no existir un dátum altimétrico global que nos permita obtener los valores absolutos de la ondulación del geoide, es necesario emplear modelos geopotenciales como alternativa. Los modelos geopotenciales pueden dividirse en globales y regionales. Los modelos globales vienen dados por los coe cientes de Stokes correspondientes al desa-rrollo del potencial en armónicos esféricos y algunas otras constantes que los determinan. Sus valores se obtienen esencialmente mediante tres fuentes de datos. Los que proceden de la observación del movimiento perturbado de los satélites arti ciales de la Tierra que contribuye proporcionando los coe cientes de menor grado (mayor longitud de onda). La altimetría de satélite, que permite disponer de valores asociados a los océanos, y por último de gravimetría terrestre (y muy recientemente aerotransportada) a partir de los que se determinan los coe cientes de mayor grado y por lo tanto de mayor resolución (menor longitud de
onda). Durante mucho tiempo el mejor Modelo Geopotencial Global (Earth Gravitational Model, EGM ) para nes geodésicos fue el EGM96, de grado y orden 360, con una resolución de 55,5 kilómetros (Lemoine et al., 1998). Recientemente fue publicado el modelo EGM2008 en el que ha habido una notable mejoría en las tres fuentes de datos mencionadas anteriormente, este modelo contiene coe cientes adicionales hasta el grado 2190 y orden 2159 y supone una sustancial mejora en la precisión (Pavlis et al., 2008). A partir de estos modelos geopotenciales globales es posible calcular las magnitudes gravimétricas derivadas, en particular el geoide.
1.2. Justi cación
Cuando en una región determinada se dispone de valores de gravedad y modelos digitales del terreno de calidad es posible obtener modelos de super cies geopotenciales más precisos y de mayor resolución que los modelos globales. Estas super cies equipotenciales locales ajustadas al dátum altimétrico nacional o regional no son estrictamente hablando un geoide, aunque en la literatura cientí ca abunda esta ter-minología especi cando a veces para ellos el término local como son los casos del IGG2005 (Corchete et al., 2005), Ibergeo2006 (Sevilla, 2006), ITG2009 (Corchete, 2010) o del GEOID12A (Roman y Weston, 2012), adoptaremos en adelante esta terminología. Para su realización se parte de un modelo global que constituye una primera aproximación, a partir de la cual mediante variaciones introducidas a la fórmula de Stokes (que es la solución al problema de valores de contorno geodésico), se calcula una malla de valores de ondulación del geoide para la citada región.
Si bien es cierto que el Servicio Nacional Geodésico de los Estados Unidos de América (National Geodetic Survey, NGS) ha estado desarrollando modelos del geoide para la región de los Estados Unidos de América continentales y todos sus territorios desde la década de los noventa, también es cierto que las zonas de Puerto Rico y las Islas Vírgenes Estadounidenses han quedado un poco rezagadas al momento de poder aplicar y obtener resultados de mayor precisión con estos modelos regionales del geoide. En estos momentos la isla de Puerto Rico no cuenta con un modelo del geoide local por lo que siempre ha sido necesario esperar que los modelos del geoide que desarrolla el NGS sean validados para los Estados Unidos de América continentales y luego adaptados para esta región. Dada esta necesidad y ante la incertidumbre de saber cuál sería el comportamiento de un modelo del geoide desarrollado única y exclusivamente con datos de gravedad locales, nos hemos dado a la tarea de desarrollar un modelo de geoide gravimétrico como sistema de referencia para las altitudes ortométricas.
1.3. Objetivos
Los objetivos de esta tesis doctoral han sido divididos en dos secciones; objetivo general y los obje-tivos especí cos los cuales fueron necesarios completar para poder alcanzar el objetivo general de esta investigación.
1.3.1. Objetivo General
Desarrollar un modelo de geoide gravimétrico para Puerto Rico que pueda ser utilizado como un sistema de referencia para la determinación de las altitudes ortométricas.
1.3.2. Objetivos Especí cos
Desarrollar una metodología que nos permita determinar las altitudes ortométricas con la mayor precisión posible.
Comprobar la precisión de los modelos geopotenciales globales y/o regionales disponibles para la zona de Puerto Rico.
Analizar y validar datos de gravedad terrestre existentes.
Desarrollar una base de datos de anomalías de gravedad con able que nos permita realizar otros trabajos relacionados con medidas gravimétricas.
Desarrollar la metodología para determinar anomalías aire libre partiendo de los datos de un modelo digital del terreno.
Validar el modelo del geoide gravimétrico utilizando estaciones permanentes del NGS las cuales tienen valores o ciales de su elevación y altitud elipsoidal.
1.4. Estructura de la tesis
Esta tesis doctoral está estructurada en seis capítulos. En el Capítulo 2 se presenta la metodología relacionada con la determinación gravimétrica del geoide, la teoría del campo gravitatorio terrestre, del campo de gravedad normal y del campo de gravedad anómalo. Además presentamos la metodología re-lacionada con la determinación del geoide geométrico, sistemas de altitudes y dátum verticales. En el Capítulo 3 se presenta una descripción del área de estudio y de las distintas fuentes de datos utilizadas durante esta investigación. En el Capítulo 4 se presenta el análisis y validación de datos utilizados para la comprobación de la precisión de los modelos geopotenciales globales a lo largo de una línea de nivelación, la determinación de un modelo topo batimétrico para la zona de estudio, el análisis y validación de los datos de gravedad terrestre y la determinación de anomalías aire libre partiendo de los datos de un modelo digital del terreno. En el Capítulo 5 presentamos la aplicación práctica para la determinación del modelo gravimétrico del geoide donde implementamos distintas metodologías que van desde la aproximación plana de la función de Stokes a las distintas modi caciones del núcleo de la función de Stokes. Finalmente en el Capítulo 6 se presentan las conclusiones y sugerimos varias líneas de investigación futuras que han sido generadas a partir del desarrollo de un modelo gravimétrico del geoide como sistema de referencia para las altitudes ortométricas en Puerto Rico.
Capítulo 2
Metodología
En este capítulo se presenta una descripción de la metodología utilizada para determinar el modelo del geoide gravimétrico además de los conceptos básicos de la teoría del campo gravitatorio terrestre, del campo de gravedad normal, el campo de gravedad anómalo y las reducciones a la gravedad. Además presentamos una descripción de los modelos geopotenciales globales y regionales disponibles para la región de Puerto Rico, la metodología relacionada al Segundo Método de Condensación de Helmert y a la Técnica de Sustitución Restitución. Finalmente se presenta la metodología relacionada con la determinación geométrica del geoide la cual incluye una descripción de los diferentes sistemas de altitudes y de los dátum vigentes en la zona de estudio.
2.1. Determinación gravimétrica del geoide
2.1.1. Campo gravitatorio terrestre
Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en reposo sobre la super cie terrestre son las resultantes de la fuerza gravitacional y de la fuerza centrífuga de la rotación de la Tierra. Estas fuerzas son determinantes al momento de de nir o determinar la super cie del geoide. El potencial gravitatorio W, se de ne como la suma de los potenciales de la fuerza gravitacional V, y de la fuerza centrífuga Φ y puede ser expresado de la siguiente manera (Heiskanen y Moritz, 1967):
W = V + Φ (2.1)
De acuerdo con la ley de gravitación de Newton el potencial gravitatorio se puede de nir como: V = G
Z Z Z
v
ρ
ldv (2.2)
Donde G es la constante de gravitación de Newton con un valor aproximado de6, 67428∗10−11m3kg−1
s−1,
ρes el valor promedio de la densidad de la Tierra, l es la distancia entre el elemento de masa de nido
como dm y el punto de interés denominado como P de nido por las coordenadas (X, Y, Z) ( Figura 2.1) y dv es el elemento de volumen de un cuerpo sólido en la Tierra (Heiskanen y Moritz, 1967).
Figura 2.1: Potencial de un cuerpo sólido.
El potencial V es continuo en todo el espacio y se hace cero en el in nito. Las primeras derivadas del potencial, serían las componentes de la fuerza y también son continuas en el espacio, algo que no sucede con las segundas derivadas. En puntos donde la densidad cambia discontinuamente, alguna segunda derivada tendrá una discontinuidad. Esto es así debido a que el potencial en el interior de las masas satisface la Ecuación de Poisson (Heiskanen y Moritz, 1967).
4V = −4πGρ (2.3) Dónde: 4V = ∂ 2V ∂x2 + ∂2V ∂y2 + ∂2V ∂z2 (2.4)
El símbolo 4 representa el operador laplaciano y tiene la forma de:
∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z2 (2.5)
En el espacio donde la densidad ρ es cero, la Eq. 2.3 se convierte en:
4V = 0 (2.6)
Conocida como la Ecuación de Laplace. Sus soluciones se llaman funciones armónicas por lo que el potencial gravitatorio es una función armónica fuera de las masas atrayentes pero no dentro de las mismas, porque allí satisface la Ecuación de Poisson (Heiskanen y Moritz, 1967).
Las funciones de los armónicos esféricos pueden ser expresadas en coordenadas esféricas. (Ver Figura 2.2)
Figura 2.2: Sistema de coordenadas esféricas y rectangulares.
Si consideramos el radio vector r , la distancia polar θ y la longitud geocéntrica λ, podemos expresar las coordenadas cartesianas por las siguientes ecuaciones:
x = r sin θ cos λ (2.7)
y = r sin θ sin λ (2.8)
z = r cos θ (2.9)
Si sustituimos las Eq. 2.7, la Eq. 2.8 y la Eq. 2.9 en la ecuación de Laplace 4V (Eq.2.4), podemos obtener la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas (Heiskanen y Moritz, 1967).
4V = 1 r2 ∂ ∂r r2∂V ∂r + 1 r2sin θ ∂ ∂θ sin θ∂V ∂θ + 1 r2sin2θ ∂2V ∂λ2 (2.10)
Cuya solución es el potencial V en términos de los armónicos esféricos, quedando expresado de la siguiente manera: V = GM r 1 + ∞ X n=2 n X m=0 a r n [CnmRmn (θ, λ) + SnmKnm(θ, λ)] ! (2.11) Donde si Cm
n y Snmson constantes adimensionales, denominadas constantes de Stokes que determinan el
potencial y Rm
n (θ, λ)y Knm(θ, λ)son funciones denominadas armónicos esféricos de super cie, o armónicos
de Laplace, de nidos como (Heiskanen y Moritz, 1967):
Rmn (θ, λ) = Pnm(cos θ) cos mλ (2.12)
Siendo Pm
n (cos θ) las funciones de Legendre de grado n y orden m. Así pues podemos expresar el
potencial V como: V = GM r 1 + ∞ X n=2 n X m=0 a r n
[Cnmcos mλ + Snmsin mλ] Pnm(cos θ)
!
(2.14) Donde el termino n comienza en 2 debido a que el origen del sistema de coordenadas se encuentra ubicado en el centro de masas de la Tierra.
El potencial de las fuerzas centrífugas debido a la rotación de la Tierra viene dado por la expresión (Heiskanen y Moritz, 1967):
Φ = 1
2ω
2 x2+ y2
(2.15) Las fuerzas centrífugas no son conservativas ya que su potencial no cumple la ecuación de Laplace:
4Φ =∂ 2Φ ∂x2 + ∂2Φ ∂y2 + ∂2Φ ∂z2 = 2ω 2 (2.16)
Y si combinamos la Eq. 2.16 con la Ecuación de Poisson (Eq.2.3), obtenemos la Ecuación de Poisson generalizada para el potencial gravitatorio de W (Heiskanen y Moritz, 1967).
4W = −4πGρ + 2ω2 (2.17)
Las super cies equipotenciales del campo gravitatorio terrestre vendrán dadas por la expresión:
W (x, y, z) = W0= constante (2.18)
El geoide es una super cie equipotencial y él mismo se de ne como una prolongación del nivel medio del mar hacia los continentes, pero este tema se discutirá detalladamente en la Sección 2.1.3.
Como hemos mencionado, el potencial gravitatorio terrestre W es la suma de los potenciales de la fuerza gravitacional y de la fuerza centrífuga. El mismo quedaría de nido de la siguiente manera (Heiskanen y Moritz, 1967): W = W (x, y, z) = V + Φ = G Z Z Z v ρ ldv + 1 2ω 2 x2+ y2 (2.19)
Sustituyendo la Eq. 2.14 en la Eq. 2.19, podemos expresar el potencial gravitatorio W en términos de los armónicos esféricos:
W (r, θ, λ) = GM r 1 + ∞ X n=2 n X m=0 a r n
[Cnmcos mλ + Smn sin mλ] Pnm(cos θ)
!
+1
2ω
2r2sin2θ (2.20)
Si introducimos en la Eq. 2.20 el término m, denominado Constante de Helmert:
m = ω
2a3
GM (2.21)
expresada de la siguiente manera: W (r, θ, λ) = GM r 1 + ∞ X n=2 n X m=0 a r n
[Cnmcos mλ + Snmsin mλ] Pnm(cos θ) +1
2m r a 3 sin2θ ! (2.22) Por razones de cálculo resulta más conveniente expresar el potencial en función de los armónicos esféricos de super cie totalmente normalizados:
¯ Pmn (cos θ) = s (2 − δ0,m) (2n + 1) (n − m)! (n + m)!P m n (cos θ) (2.23) Y: ¯ Cmn ¯ Sm n = s 1 (2 − δ0,m) (2n + 1) (n + m)! (n − m)! ( Cnm Sm n (2.24) Siendo: δ0,m ( = 1 si m = 0 = 0 si m 6= 0 (2.25)
Con lo que la expresión del campo gravitatorio terrestre vendrá dada por:
W (r, θ, λ) = GM r 1 + ∞ X n=2 a r nXn m=0 ¯ Cmn cos mλ + ¯Smn sin mλ ¯ Pmn (cos θ) +1 2m r a 3 sin2θ ! (2.26)
2.1.2. Campo gravitatorio normal
Tradicionalmente se ha de nido la forma de la Tierra como una esfera, algo que podría entenderse como una primera aproximación de la forma de la Tierra. Si consideráramos una segunda aproximación de la forma de la Tierra, podríamos de nirla como un elipsoide de revolución. Aunque se sabe que la Tierra no es exactamente un elipsoide, considerarla como tal es muy práctico debido a la facilidad para manejar matemáticamente el mismo. Adicionalmente, las diferencias entre el campo gravitatorio real y el del campo normal del elipsoide son tan pequeñas que pueden permitir las linealización de las ecuaciones en que intervenga tal diferencia.
Consideraremos un elipsoide cuya super cie es equipotencial de su propio campo de gravedad, que tiene la masa de la Tierra y gira con su velocidad angular. Todas las propiedades geométricas y físicas del
elipsoide normal quedan determinadas por el semieje mayor a, por el coe ciente de segundo orden J2para
cuyo valor se toma el coe ciente de segundo grado y orden cero de la Tierra, la masa total de la Tierra (M) y la velocidad angular ω (Heiskanen y Moritz, 1967).
Si consideramos un elipsoide S0 como:
x2+ y2
a2 +
z2
b2 = 1 (2.27)
Por de nición seria una super cie equipotencial donde:
Y el componente del vector de la gravedad normal quedaría de nido por: −
→γ =−−→gradU (2.29)
En la XVII Asamblea General de la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (International Union of Geodesy and Geophysics, IUGG) fue adoptado como elipsoide internacional el Sistema Geodésico de Referencia 1980 (Geodetic Reference System 1980, GRS80 ) (Moritz, 2000). En la Tabla 2.1 se presentan los constantes que de nen el elipsoide internacional GRS80 :
Tabla 2.1: Constantes del elipsoide internacional GRS80.
Radio en el ecuador a = 6 378 137 m
Constante gravitacional geocéntrica de la Tierra GM = 3 986 005 ∗ 108m3s−2
Factor de forma dinámica de la Tierra J2= 108 263 ∗ 10−8
Velocidad angular de la Tierra ω = 7 292 ∗ 10−11rad s−1
La constante del factor de forma dinámica de la Tierra J2 se determina como ya dijimos como el
coe ciente C2
0 de nido como:
J2=
C − A
M a2 (2.30)
Donde C representa el momento de inercia respecto al eje de Z, A es el resultado del promedio de los momentos de inercia respecto a los ejes de X y Y, M es la masa total de la Tierra y a es el radio en el ecuador (Heiskanen y Moritz, 1967).
Podemos de nir α como el aplanamiento del elipsoide:
α = (a − b)
a (2.31)
La primera excentricidad e, está de nida como:
e2=a
2− b2
a2 (2.32)
Como segunda excentricidad e0, la cual está de nida como:
e02 =a
2− b2
b2 (2.33)
Finalmente podemos utilizar la abreviatura m0 para de nir la siguiente expresión (Heiskanen y Moritz,
1967):
m0=ω
2a2b
GM (2.34)
Como hemos mencionado previamente, el elipsoide de referencia es una super cie con un potencial de la gravedad normal constante. El potencial de la gravedad normal también puede ser expresado en términos de los armónicos esféricos (Heiskanen y Moritz, 1967):
U = GM r 1 − ∞ X n=1 J2n a r 2n P2n(cos θ) ! (2.35)
Donde el término J2n puede ser determinado utilizando la siguiente expresión (Heiskanen y Moritz, 1967): J2n = (−1)n+1 3e2n (2n + 1) (2n + 3) 1 − n + 5nJ2 e2 (2.36)
La gravedad normal en el ecuador γe y la gravedad normal en los polos γp pueden ser determinadas
utilizando las siguientes expresiones (Heiskanen y Moritz, 1967):
γe= GM ab 1 − m0−m 0 6 e0q00 q0 (2.37) γp= GM a2 1 +m 0 3 e0q00 q0 (2.38)
Donde los términos q0y q00 pueden de nirse como (Heiskanen y Moritz, 1967):
q0= 1 2 1 + 3 e02 arctan e0− 3 e0 (2.39) q00 = 3 1 + 1 e02 1 − 1 e02 arctan e 0 − 1 (2.40)
Si relacionamos la gravedad normal en el polo γp y la gravedad normal en el ecuador γe, podemos
de nir el aplanamiento gravimétrico β el cual puede ser expresado como (Heiskanen y Moritz, 1967):
β = γp− γe
γe (2.41)
Si introducimos la latitud geográ ca sobre el elipsoide Φ, que se de ne como el ángulo entre la normal del elipsoide y el plano ecuatorial, podemos obtener la formula rigurosa para determinar la gravedad normal sobre el elipsoide conocida como la Fórmula Somigliana de 1929 (Heiskanen y Moritz, 1967).
γ = aγecos
2Φ + bγ
psin2Φ
p
a2cos2Φ + b2sin2Φ (2.42)
Para efectos computacionales, la formula mayormente utilizada es la siguiente (Moritz, 2000):
γ = γe
1 + k sin2Φ
p
1 − e2sin2Φ (2.43)
Con un valor de k de nido por (Moritz, 2000):
k = bγp
aγe
− 1 (2.44)
La fórmula de la gravedad normal puede ser expandida en la serie (Moritz, 2000):
γ = γe 1 + ∞ X n=1 a2nsin2nΦ ! (2.45)
Donde los términos a2n son de nidos como (Moritz, 2000): a2= 1 2e 2+ k (2.46) a4= 3 8e 4+1 2e 2k (2.47) a6= 5 16e 6+3 8e 4k (2.48) a8= 35 128e 8+ 5 16e 6k (2.49)
Al expandir la Eq. 2.45 , la misma queda expresada como (Moritz, 2000):
γ = γe 1 + a2sin2Φ + a4sin4Φ + a6sin6Φ + a8sin8Φ
(2.50) Sustituyendo los valores del GRS80 en la Eq. 2.50 , obtenemos la siguiente expresión (Moritz, 2000):
γGRS80= γe 1 + 0, 005 279 0414 sin2Φ + 0, 000 023 2718 sin4Φ + 0, 000 000 1262 sin6Φ + 0, 000 000 0007 sin8Φms−2 (2.51)
En el caso del GRS80, γe toma un valor de9,7803267715 m2s−2. Esta ecuación presenta un error
rela-tivo de 10−10, correspondiente a 10−3µms−2= 10−4mGal (Moritz, 2000).
También podemos considerar la expansión convencional de la serie abreviada la cual podemos repre-sentar de la siguiente manera (Heiskanen y Moritz, 1967):
γ = γe 1 + β sin2Φ + β1sin22Φ
(2.52)
Y los términos β y β1 en aproximación de segundo orden vienen dados por las siguientes expresiones:
β = 2m −3 2J2− 75 14J2m − 9 8J 2 2 117 56m 2 (2.53) β1= − 9 32J 2 2 + 3 4J2m + 9 32m 2 (2.54)
Si sustituimos los parámetros del GRS80 en la Eq. 2.52 , obtenemos la ecuación abreviada de la gravedad normal (Moritz, 2000).
γGRS80 = 9, 780 327 1 + 0, 005 3024 sin2Φ − 0, 000 0058 sin22Φ ms−2 (2.55)
La cual tiene una precisión de 1µms−2= 0, 1mGal(Moritz, 2000).
Si queremos obtener la gravedad normal en un punto de latitud Φ, situado a una altitud h por encima
del elipsoide, γh , podemos utilizar la siguiente expresión (Heiskanen y Moritz, 1967):
γh= γe 1 − 2 a 1 + α + m 0− 2α sin2Φ h + 3 a2h 2 (2.56)
Finalmente de niremos la curvatura media del elipsoide, la cual viene dada por: J = 1 2 1 M + 1 N (2.57) Donde M y N son los radios principales de curvatura; M es el radio medio en la dirección del me-ridiano y N es el radio de curvatura normal. Estos términos pueden ser expresados de la siguiente manera:
M = a 1 − e 2 1 + e2sin2Φ32 (2.58) N = a 1 + e2sin2Φ12 (2.59)
Y el radio de curvatura en el polo puede ser expresado como:
c = a
2
b2 (2.60)
2.1.3. Campo de gravedad anómalo
Como hemos mencionado anteriormente, entre el potencial gravitatorio W y el potencial de la gravedad normal U existe una pequeña diferencia que se puede designar como T (Heiskanen y Moritz, 1967), tal que:
W (x, y, z) = U (x, y, z) + T (x, y, z) (2.61)
Donde T se llama el potencial anómalo o potencial perturbador. Si el potencial gravitatorio W de nido como el geoide se puede expresar de la siguiente manera:
W (x, y, z) = W0 (2.62)
Y consideramos el potencial normal U del elipsoide de referencia:
U (x, y, z) = W0 (2.63)
Si ambos tienen un mismo potencial U0 = W0, un punto P del geoide se puede proyectar como un
punto Q en el elipsoide por medio de la normal elipsóidica. La distancia de P a Q entre el geoide y el elipsoide se llama ondulación del geoide y se designa como N. (Figura 2.3)
Figura 2.3: Geoide y elipsoide de referencia.
Si consideramos el vector de la gravedad −→g en el punto P y el vector de gravedad normal ~γ
Q en el
punto Q, la diferencia entre ambos vectores se puede de nir como el vector de la anomalía de la gravedad
4−→g (Heiskanen y Moritz, 1967).
4−→g = −g→P− ~γQ (2.64)
Un vector está compuesto por su magnitud y dirección, por lo que la diferencia en la magnitud es lo que se conoce como la anomalía de la gravedad 4g (Heiskanen y Moritz, 1967).
4g = gP− γQ (2.65)
También podemos comparar los vectores de gravedad ~g y de gravedad normal ~γ en el punto P, obte-niendo el vector de la perturbación de la gravedad δ~g (Heiskanen y Moritz, 1967).
δ~g = ~gP− ~γP (2.66)
Y su diferencia en magnitud quedaría expresada como la perturbación de la gravedad δg (Heiskanen y Moritz, 1967).
δg = gP− γP (2.67)
Lo más importante de la anomalía de la gravedad 4g es que la misma puede ser obtenida directamente, es decir, la gravedad g es medida sobre la super cie de la Tierra y luego reducida al geoide y la gravedad normal γ se calcula sobre el elipsoide.
Hay varias relaciones que se pueden hacer partiendo de las expresiones que acabamos de de nir. El potencial normal U en el punto P, lo podemos de nir como (Heiskanen y Moritz, 1967):
UP = UQ+ ∂U ∂n Q N = UQ− γN (2.68)
De la misma manera podemos de nir el potencial gravitatorio W en el punto P como (Heiskanen y Moritz, 1967):
WP = UP + TP = UQ− γN + TP (2.69)
Por lo que podemos concluir que:
WP = UQ = W0 (2.70)
Obteniendo:
T = γN (2.71)
Que también puede ser expresado de la siguiente manera:
N = T
γ (2.72)
Conocida como la Fórmula de Bruns la cual relaciona la ondulación del geoide con el potencial per-turbador (Heiskanen y Moritz, 1967).
Puesto que:
−
→g =−−→gradW (2.73)
−
→γ =−−→gradU (2.74)
Podemos decir que:
− → δg =−−→grad (W − U ) =−−→gradT ≡ ∂T ∂x, ∂T ∂y, ∂T ∂z (2.75) Considerando que: g = −∂W ∂n, γ = − ∂U ∂n0 . = −∂U ∂n (2.76)
Ya que las direcciones normales n y n0casi coinciden, podemos decir que la perturbación de la gravedad
viene dada por:
δg = gP− γP = − ∂W ∂n − ∂U ∂n0 . = − ∂W ∂n − ∂U ∂n (2.77) Quedando expresado de la siguiente manera:
δg = −∂T
∂n0 (2.78)
Dado que la altitud h se mide a lo largo de la normal, también podemos escribir la expresión de la siguiente manera:
δg = −∂T
∂h (2.79)
Considerando que podemos de nir la gravedad normal γ en el punto P como:
γP = γQ+
∂γ
∂hN (2.80)
Tenemos entonces que:
−∂T
∂h = δg = gP− γP = gP− γQ−
∂γ
Si consideramos la de nición de la anomalía de la gravedad 4g (Eq. 2.65) y teniendo en cuenta la Fórmula de Bruns (Eq. 2.72), podemos obtener la siguiente ecuación equivalente:
∂T ∂h − 1 γ ∂γ ∂h + 4g = 0 (2.82)
Conocida como la Ecuación Fundamental de la Geodesia Física ya que relaciona la cantidad medida
4g con el potencial anómalo desconocido T. (Heiskanen y Moritz, 1967) Debido a que 4g es conocida
solo sobre la super cie del geoide, esta ecuación solo puede usarse como una condición de contorno. Para considerar esta ecuación no puede haber masas fuera del geoide, algo que no es posible, ya que las medidas no se realizan sobre el geoide sino en la super cie. Por esta razón es necesario eliminar el efecto de las masas y reducir la gravedad al geoide utilizando algunas aproximaciones que serán discutidas más adelante. Si en la expresión anterior se desprecian los términos de primer orden, es decir los términos del orden de αT, αN, queda de la siguiente forma:
∂T
∂r +
2
RT + 4g = 0 (2.83)
Resultando en la aproximación esférica de la condición de contorno fundamental (Heiskanen y Moritz, 1967). Dónde: 4g +2T r + ∂T ∂r = 0 si r = R (2.84) 4T = 0 si r > R (2.85)
El signi cado exacto de esta aproximación esférica debe ser cuidadosamente analizado ya que solo debe usarse en ecuaciones que relacionan las pequeñas cantidades T, N, 4g, etc. Como el aplanamiento
αes muy pequeño, las formulas elipsódicas se pueden desarrollar en serie de potencias en función de α, y
entonces los términos que contienen αT y αN se desprecian (Heiskanen y Moritz, 1967).
Si consideramos las coordenadas esféricas, sobre el geoide tenemos que r = R y si designamos T (R, θ, λ) simplemente como T, resolviendo la Eq. 2.83 podemos obtener la ecuación de Stokes:
T = R 4π Z Z σ 4g S (ψ) dσ (2.86) Dónde: S (ψ) = 1 sinψ2 − 6 sin ψ 2 + 1 − 5 cos ψ − 3 cos ψ ln sinψ 2 + sin 2ψ 2 (2.87) Es la función de Stokes (Heiskanen y Moritz, 1967).
También podemos expresar la Eq.2.87 en términos de los polinomios de Legendre (Heiskanen y Moritz, 1967). S (ψ) = ∞ X n=2 2n + 1 n − 1Pn(cos ψ) (2.88)
Finalmente, por la Fórmula de Bruns (Eq. 2.72), podemos obtener: N = R 4πγ Z Z σ 4g S (ψ) dσ (2.89)
Conocida como la fórmula de Stokes o integral de Stokes (Heiskanen y Moritz, 1967). Esta fórmula nos permite determinar el geoide utilizando datos gravimétricos.
2.1.4. Reducciones a la gravedad
El uso de la fórmula de Stokes para la determinación del geoide requiere que las anomalías de la gravedad estén reducidas a la super cie del geoide, y la condición impuesta para la obtención de la Ecuación Fundamental de la Geodesia Física exige que el campo debe ser armónico en el exterior de las masas que lo generan. Esto implica dos condiciones importantes: la gravedad debe referirse al geoide y no puede haber masas fuera del geoide.
Esto requiere que las masas topográ cas sean eliminadas (restituyendo el efecto que esto produce condensándolas en una capa sobre el geoide o de alguna otra forma) y que la medida de gravedad que fue
realizada en la super cie de la Tierra en un punto P, sea bajada al geoide a un punto conocido como P0
. (Ver Figura 2.4)
Figura 2.4: Reducción de la gravedad. 2.1.4.1. Reducción aire libre
La primera reducción que presentaremos es la reducción aire libre. La misma lo que pretende es reducir la gravedad observada a la super cie del geoide. Como se ha supuesto que no existen masas entre la super cie del terreno y el geoide, la estación P queda al aire libre. La misma puede ser expresada de la siguiente manera (Heiskanen y Moritz, 1967):
F = −. ∂g
∂H H (2.90)
nes prácticos se utiliza el gradiente de la gravedad normal, quedando expresada de la siguiente manera (Heiskanen y Moritz, 1967):
F= −. ∂γ
∂HH = 0, 3086 H (mGal) (2.91)
Esta reducción es la que da base a la anomalía aire libre (Heiskanen y Moritz, 1967):
4gAL= gP+ 0, 3086 H − γQ (2.92)
La anomalía aire libre lo que hace es aplicarle a la gravedad medida en P la reducción aire libre y
luego restarle la gravedad normal sobre el elipsoide γQ . Estas serán las anomalías que utilizaremos para
los propósitos de nuestra investigación. 2.1.4.2. Reducción de Bouguer
El propósito de la reducción de Bouguer es la eliminación de todas las masas topográ cas, es decir todas las masas exteriores que afectan al geoide. Primeramente de niremos la lámina de Bouguer. Esta lámina asume que alrededor de la estación donde se realiza la medida de gravedad existe una capa in nita completamente plana y horizontal y que las masas entre el geoide y la super cie tienen una densidad constante. (Ver Figura 2.5)
Figura 2.5: Lámina de Bouguer.
Podemos expresar el efecto gravitacional de la lámina de Bouguer de la siguiente manera (Heiskanen y Moritz, 1967):
AB = 2πGρH (2.93)
Donde la densidad estándar se de ne como ρ = 2, 67 g
cm3 . Sustituyendo los valores numéricos de la
ecuación, obtenemos entonces (Heiskanen y Moritz, 1967):
AB= 0, 1119 H (mGal) (2.94)
Al proceso de quitar la lámina de Bouguer y aplicar la reducción aire libre, podemos llamarlo como la reducción de Bouguer completa (Heiskanen y Moritz, 1967).
gB = g − AB+ F (2.95)
Sustituyendo los valores numéricos, podemos obtener (Heiskanen y Moritz, 1967):
gB= g + 0, 1967 H (2.96)
Si nalmente a la reducción de Bouguer le restamos el valor de la gravedad normal referida al elipsoide de referencia, obtendremos la anomalía de Bouguer (Heiskanen y Moritz, 1967).
4gB= gB− γQ (2.97)
2.1.4.3. Corrección clásica por efectos de la topográ ca del terreno
Las correcciones topográ cas básicamente son un re nado que considera las desviaciones topográ cas reales respecto a la lámina de Bouguer. El valor de la gravedad en un punto es in uenciado por la topografía circundante, por lo tanto es necesario compensar los excesos y defectos de las masas. (Ver Figura 2.6)
Figura 2.6: Correcciones Topográ cas.
En términos generales, el terreno se descompone en prismas y aplicando algún tipo de algoritmo se puede calcular la atracción de cada prisma hacia cada punto de interés. (Ver Figura 2.7).
Figura 2.7: Sistema de referencia para el cómputo de la Corrección Topográ ca.
En nuestro caso hemos aplicado el algoritmo propuesto por Nagy et al. (2000), el cual nos permite determinar los componentes para realizar el cómputo de la corrección topográ ca.
CTi,j = Gρ L X l=1 M X m=1 2 X q=1 2 X r=1 2 X s=1 (−1)(q+r+s) ξqln ηr+ ωqrs lqs + ηrln ξq+ ωqrs lrs − δsarctan ξ qηr δsωqrs (2.98) ξ1= |xl− xi| − 4x 2 ξ2= |xl− xi| + 4x 2 (2.99) η1= |ym− yj| − 4y 2 η2= |ym− yj| + 4y 2 (2.100) δ1= p δ2= Hl,m− (Hi,j− p) (2.101) ωqrs = q ξ2 q + η2r+ δs2 (2.102) lrs= p η2 r+ δ2s (2.103) lqs = q ξ2 q + δs2 (2.104)