Geometria y Trigonometria

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Texto completo

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Geometría y

Trigonometría

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Clemente Mora González Jefe del Departamento de Fomento Editorial Leticia Mejia García

Coordinadora de Fomento Editorial Ulises Ramírez Hernández Coordinador de Diseño Gráfico Miguel Antonio González Vidales Gestión Administrativa

Mayra Guzmán Gallego Diseño Gráfico DIRECCIÓN GENERAL

Av. Panamá #199 Esquina con Buenos Aires. Col. Cuauhtémoc Sur

Tels. 01 (686) 9 05 56 00 al 08

Correo Electrónico: principal@cecytebc.edu.mx Página Web: www.cecytebc.edu.mx

CICLO ESCOLAR 2012-1

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra incluido el diseño tipográfico y de portada por cualquier medio,

electrónico o mecánico, sin el consentimiento por escrito del editor.

GESTIÓN

DITORIAL

Nota:

Al personal Docente interesado en enriquecer el contenido del presente documento, le agradeceremos hacernos llegar sus comentarios o aportaciones a los siguientes correos:

acaro@cecytebc.edu.mx

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José Guadalupe Osuna Millán Gobernador del Estado

de Baja California Javier Santillán Pérez Secretario de Educación y Bienestar Social del Estado

CECYTE BC Adrian Flores Ledesma

Director General Jesús Gómez Espinoza

Director Académico Ricardo Vargas Ramírez Director de Administración y Finanzas

Olga Patricia Romero Cázares Directora de Planeación Argentina López Bueno Directora de Vinculación Ángela Aldana Torres

Jefe del Departamento de Evaluación Académica MUNICIPIO DE MEXICALI

Cristina de los Ángeles Cardona Ramírez Directora del Plantel Los Pinos

Laura Gómez Rodríguez Encargada del Plantel San Felipe

Carlos Zamora Serrano Director del Plantel Bella Vista

Jesús Ramón Salazar Trillas Director del Plantel Xochimilco

Rodolfo Rodríguez Guillén Director del Plantel Compuertas

Abraham Limón Campaña Director del Plantel Misiones Francisco Javier Cabanillas García Director del Plantel Guadalupe Victoria

Román Reynoso Cervantes Director del Plantel Vicente Guerrero

MUNICIPIO DE TIJUANA Martha Xóchitl López Félix Directora del Plantel El Florido María de los Ángeles Martínez Villegas

Directora del Plantel Las Águilas Amelia Vélez Márquez Directora del Plantel Villa del Sol

Bertha Alicia Sandoval Franco Directora del Plantel Cachanilla Rigoberto Gerónimo González Ramos

Director del Plantel Zona Río Jorge Ernesto Torres Moreno Director del Plantel El Niño

Joel Chacón Rodríguez Director del Plantel El Pacífico

Efraín Castillo Sarabia Director del Plantel Playas de Tijuana

Benito Andrés Chagoya Mortera Director del Plantel Altiplano Juan Martín Alcibia Martínez Director del Plantel La Presa MUNICIPIO DE ENSENADA Alejandro Mungarro Jacinto Director del Plantel Ensenada

Emilio Rios Macias Director del Plantel San Quintín

MUNICIPIO DE ROSARITO Manuel Ignacio Cota Meza Director del Plantel Primo Tapia

Héctor Rafael Castillo Barba Director del Plantel Rosarito Bicentenario

MUNICIPIO DE TECATE Christopher Díaz Rivera Encargado del Plantel Tecate

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MENSAJE DEL GOBERNADOR DEL ESTADO

Jóvenes Estudiantes de CECYTE BC:

La educación es un valuarte que deben apreciar durante

su estancia en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos

del Estado de Baja California, dado la formación y calidad

educativa que les ofrece la Institución y sus maestros.

Por ello, asuman el compromiso que el Gobierno del Estado

hace para brindarles educación media superior, a fin de que en

lo futuro tengan mejores satisfacciones de vida, y se conviertan

en impulsores y promotores del crecimiento exitoso, con la

visión que tiene nuestra entidad en el plano nacional.

Esta administración tiene como objetivo crear espacios

y condiciones apropiadas para que en un futuro inmediato, el

campo laboral tenga profesionistas técnicos de acuerdo al perfil

de la industria que cada día arriba a nuestra entidad; por lo

que los invito a ser mejores en sus estudios, en su familia

y en su comunidad.

En ustedes se deposita la semilla del esfuerzo y dedicación que

caracteriza a los bajacalifonianos. Son el estandarte

generacional que habrá de marcar la pauta de nuestro

desarrollo.Como Gobierno del Estado, compartimos el reto de

ser formadores de los futuros profesionistas técnicos que saldrán

del CECYTE BC.

Unamos esfuerzos, Gobierno, Sociedad, Maestros y Alumnos,

para brindar y recibir una mejor educación en Baja California,

ser punta de desarrollo humano, crecimiento industrial y

económico, y factor importante del progreso de México.

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MENSAJE DEL SECRETARIO DE EDUCACIÓN

Alumno de CECYTE BC:

La educación es una herramienta que aumenta tus oportunidades de desarrollo personal, y permite ampliar tu horizonte de posibilidades de progreso económico y social.

Bajo esa perspectiva, el Gobierno del Estado de Baja California asume con responsabilidad su compromiso con los jóvenes en la tarea de crear espacios educativos en el nivel medio superior, y ofrecerles programas de estudios tecnológicos que les permitan integrarse con competencia a fuentes de trabajo y/o continuar estudios superiores. El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, es un ejemplo de lo anterior. En las escuelas de esta Institución, los estudiantes pueden encontrar el camino de la superación, y el apoyo para alcanzar las metas que visualizan para forjar su futuro.

Entre esos apoyos se encuentran la publicación y entrega de este material educativo, que el CECYTE BC distribuye, con el objetivo de que lo utilices en beneficio de tus estudios.

La tarea que han desarrollado maestros, alumnos y autoridades aducativas en torno a CECYTE BC, han convertido a esta Institución en un modelo para la formación de generaciones de profesionistas técnicos que demanda el sector productivo que se asienta en la región.

Además de eso, el Cole gio se ha destacado por alentar el acercamiento de los padres de familia con la escuela, como una acción tendiente a fortalecer los vínculos que deben existir entre ellos, los docentes y administrativos en el proceso educativo, por ser esta, una responsabilidad compartida.

Por todo esto, te felicito por realizar tus estudios en un plantel del CECYTE BC. Te exhorto a valorar este esfuerzo que hace la sociedad a través de la Administración Estatal, y a que utilices con pertinencia los materiales que se te otorgan para apoyar tu formación profesional.

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Adrian Flores Ledesma

DIRECTOR GENERAL DEL CECYTE BC

Atentamente

PRESENTACIÓN

El libro que tienes en tus manos representa un

importante esfuerzo del Colegio de Estudios Científicos y

Tecnológicos del Estado de Baja California, que a través de sus

academias de profesores te proporciona material de calidad

para el estudio de las distintas asignaturas que cursarás en tu

preparación como Bachiller Técnico.

Los contenidos corresponden a los programas establecidos

para cada una de las asignaturas de acuerdo a la reforma

integral de la educación media superior, y enriquecidos por las

competencias comunes del Sistema Nacional de Bachillerato.

Este ejemplar, encierra conocimientos, aprendizaje, análisis y

habilidades que deberás de poner en práctica en tu vida diaria,

convertida en una acción educativa más, que el Colegio

te ofrece para obtener una mejor formación académica.

Te invitamos a que valores y obtengas el mayor provecho a esta

obra, que fue diseñada especialmente para lo más preciado del

Colegio: sus Alumnos.

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gradecimiento

Un especial agradecimiento a los Docentes y Administrativos de

CECYTE BC, que colaboraron e hicieron posible la edición de estas

Guías de Aprendizaje Básicas y Material Didáctico.

El Colegio

• MANUAL DE QUÍMICA II • Mario Báez Vázquez

ASESOR ACADÉMICO DEL DIRECTOR GENERAL DEL CECYTEBC

• GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA •

Andrés Sarabia Ley

COORDINADOR DE FORMACIÓN PROPEDÉUTICA, D.G.

Andrés Aguilar Mezta

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• INGLÉS 2 •

Mauro Alberto Ochoa Solano Alonso Palominos Tapia Bertha Alicia Canceco Jaime Alejandra Agúndez

DOCENTES DEL PLANTEL ENSENADA

• QUÍMICA 2 •

Saúl Torres Acuña Agustín Valle Ruelas

DOCENTES DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• LECTURA, EXPRESIÓN ORAL Y ESCRITA 2 •

María Guadalupe Valdivia Martínez

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

María Elena Padilla Godoy

COORDINADORA DE FORMACIÓN VALORAL, D.G.

María Trinidad Salas Leyva

CAPTURISTA DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIA, D.G.

Lina Rodríguez Escárpita

ENCARGADA DEL GRUPO OVIEDO MOTA

• CÁLCULO •

Silvia Elisa Inzunza Ornelas Manuel Norberto Quiroz Ortega Javier Iribe Mendoza

María Del Carmen Equihua Quiñonez Alvaro Soto Escalante

María Guadalupe Bañuelos Cisneros

DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• INGLÉS 4 •

Adriana Cera Morales

DOCENTE DEL GRUPO PORTALES

Verónica Murillo Esquivias

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

Manuel Arvizu Ruíz

Joaquín Alberto Pineda Martínez Lina Roxana Cárdenas Meza Juan Olmeda González Juliana Camacho Camacho

DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• FÍSICA I •

Andrés Sarabia Ley

COORDINADOR DE FORMACIÓN PROPEDÉUTICA, D.G.

Juan Francisco Cuevas Negrete Silvia Elisa Inzunza Ornelas Manuel Norberto Quiroz Ortega Javier Iribe Mendoza

María Del Carmen Equihua Quiñonez Alvaro Soto Escalante

María Guadalupe Bañuelos Cisneros

DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• ECOLOGÍA •

Aidé Aracely Pedraza Mendoza Clara Angélica Rodríguez Sánchez

DOCENTES DEL PLANTEL COMPUERTAS

Gloria Mosqueda Contreras Sulma Loreto Lagarda Lagarda Petra Cantoral Gómez

Eva Pérez Vargas

DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• MATEMÁTICAS APLICADA •

Manuel Norberto Quiroz Ortega Silvia Elisa Inzunza Ornelas

DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

Eloísa Morales Collín Ismael Castillo Ortíz

DOCENTES DEL PLANTEL COMPUERTAS

• BIOQUÍMICA •

José Manuel Soto

DOCENTE DEL GRUPO PORTALES

Aidé Araceli Pedraza Mendoza

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

Alejandra Machuca Cristina Félix

DOCENTES DEL PLANTEL MISIONES

Enid Quezada Matus

Sergio Alberto Seym Guzmán

DOCENTES DEL GRUPO CENTENARIO

Alberto Caro Espino

JEFE DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIA

Denisse Samaniego Apodaca

RESPONSABLE DE FORMACIÓN PROFESIONAL

SEGUNDO SEMESTRE

CUARTO SEMESTRE

SEXTO SEMESTRE

COORDINACIÓN Y

REVISIÓN ACADÉMICA

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Índice:

Competencia I………………..15

Saberes 1. Conceptos básicos de la Geometría Euclidiana 2. Tipos de líneas y ángulos 3. Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal o secante Ejemplos

1. Como obtener el valor de ángulos dadas ciertas condiciones 2. Como encontrar ángulos entre rectas paralelas

Ejercicios

1. Poniendo letras y números en su lugar 2. Ángulos por todas partes

3. Ángulos entre paralelas

Competencia II………………..42

Saberes

1. Generalidades de los Triángulos 2. Teoremas de importancia en los Triángulos

Ejemplos

1. Como calcular ángulos faltantes de triángulos e identificar triángulos congruentes

2. Aprendamos a utilizar la semejanza entre triángulos y apliquemos los teoremas de Tales y Pitágoras

Ejercicios

1. A encontrar ángulos y lados faltantes en los triángulos

2. A usar el Teorema de Tales, los Triángulos Semejantes y Teorema de Pitágoras

Competencia III……….………..68

Saberes

1. Generalidades de los polígonos 2. Circunferencia y círculo

3.Área y volumen de figuras geométricas

Ejemplos

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2. Practicando con las circunferencias 3. Practicando con áreas y volúmenes

Ejercicios

1. Miscelánea de ejercicios con polígonos 2. Miscelánea de ejercicios con circunferencias 3. A calcular áreas y volúmenes

Competencia IV………………..103

Saberes

1. Funciones trigonométricas en el plano cartesiano y en el triángulo rectángulo 2. Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones

3. Triángulos oblicuángulos 4. Identidades trigonométricas

Ejemplos

1. Practicando con las funciones trigonométricas 2. A resolver y aplicar los triángulos rectángulos 3. Aplicando la Ley de Senos y la Ley de Cosenos 4. Identidades trigonométricas

Ejercicios

1. Ejercitándose con las funciones trigonométricas

2. Aplicando tus conocimientos con los triángulos rectángulos

3. Demostrando tus conocimientos con la Ley de Senos y la Ley de Cosenos 4. Ejercitándose con las identidades trigonométricas

Competencia V………………..150

Saberes

1. Ecuaciones Trigonométricas

2. Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

Ejemplos

1. Calentamiento con las ecuaciones trigonométricas

2. Trabajando con las ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Ejercicios

1. Ejercitando el cerebro con las ecuaciones trigonométricas 2. A practicar las ecuaciones exponenciales y logarítmicas

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15 1. Conceptos básicos de la Geometría Euclidiana. 2. Tipos de líneas y ángulos.

3. Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal o secante.

1. Como obtener el valor de ángulos dadas ciertas condiciones. 2. Como encontrar ángulos entre rectas paralelas.

1. Poniendo letras y números en su lugar. 2. Ángulos por todas partes

3. Ángulos entre paralelas.

Competencia

1

Explicar los conceptos básicos de la Geometría Euclidiana. Utilizar los distintos tipos de líneas, rectas, ángulos y pares de

ángulos para la resolución de problemas prácticos.

Saberes

Ejercicios

Ejemplos

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16 ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA

 Emplea el lenguaje de la notación matemática para representar la simbología de un punto, líneas rectas, semirrectas, segmentos de recta, rectas perpendiculares y paralelas y ángulos.

 Argumenta la naturaleza de las matemáticas como una herramienta para interpretar un axioma, postulado, lema, teorema, corolario,

razonamiento deductivo e inductivo.  Maneja los conceptos y valores de

los ángulos agudos, obtusos, rectos, llanos, ángulos complementarios y suplementarios.

 Domina el algoritmo para convertir de grados a radianes y viceversa.

 Aplica principios algebraicos y aritméticos para encontrar distintos tipos de ángulos en situaciones diversas.

 Elije la estrategia aritmética o algebraica más conveniente, para la resolución de un problema dado en donde intervienen ángulos formados por rectas paralelas.

RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Domina los conceptos fundamentales de la Geometría Euclidiana, así como aplica principios algebraicos y aritméticos para resolver problemas de geometría plana en diversas situaciones.

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Punto. El concepto de punto es difícil de definir. Nos lo podemos imaginar como la huella que dejaría la punta infinitamente afilada de un lápiz. Hay que imaginarlo tan pequeño que carezca de dimensiones; es decir, que no posea longitud, ni ancho, ni fondo.

Los puntos se designan con una letra mayúscula y se representan con un círculo pequeño o una

cruz, como se puede observar en las siguientes figuras:

A • “ Se lee punto A” B “Se lee punto B”

Línea. Es un concepto matemático que tiene distintas acepciones. Podemos definirla como la

"huella" que deja el desplazamiento de un punto, como el borde o limite de una superficie o como la intersección de dos superficies. La línea posee solo una dimensión: la longitud.

Línea recta Línea curva

Superficie. Para la geometría, la superficie es una extensión en la que solo se consideran dos

dimensiones, el ancho y el largo. Por lo tanto se dice que la superficie es una variedad bidimensional.

Algunos ejemplos pueden ser una sombra, la cara de un cuerpo geométrico (la pantalla de la televisión) o las paredes de una habitación (Véanse las figuras).

Saberes

Nombre Conceptos básicos de la geometría Euclidiana No. 1 Instrucciones para el

alumno

Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor

Saberes a adquirir Conceptos de punto, línea, superficie, plano, proposición, axioma, postulado, definición, lema, teorema corolario, razonamiento deductivo e inductivo. Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas

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Superficies

Plano. El plano, en geometría, es una superficie plana que contiene infinitos puntos y rectas (o sea

que se le pueden trazar un infinito de rectas por los puntos que lo forman), es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta. Se dice que un plano se extiende hacia el infinito.

PROPOSICIÓN, AXIOMA, POSTULADO, DEFINICIÓN, LEMA, TEOREMA Y COROLARIO

Proposición matemática. Es un enunciado verdadero. Las proposiciones matemáticas se clasifican

en axiomas, postulados, teoremas, corolarios y lemas.

Axioma. Es una proposición de la cual hemos aceptado que su significado es verdadero, sin

necesidad de demostrarse. Ejemplos:

1) Toda cantidad puede reemplazarse por su igual.

2) Si a cantidades iguales se agregan o se quitan cantidades iguales, los resultados son iguales.

3) El todo es igual a la suma de sus partes.

Postulado. En la actualidad se utilizan de manera indistinta las proposiciones, axiomas y

postulados, cuyo significado hemos aceptado que es verdadero, sin embargo, es conveniente señalar que en matemáticas el axioma tiene aplicación general mientras que el postulado se aplica de manera particular, es decir, el axioma: el todo es mayor que cualquiera de sus partes, se puede aplicar en matemáticas de manera general; mientras el postulado: dos puntos determinan una recta y solo una, tiene aplicación en matemáticas de manera particular, en este caso en geometría. Ejemplos:

1. La recta es la distancia más corta entre dos puntos.

2. Toda figura puede hacerse cambiar de posición sin alterar su forma y dimensiones. 3. El punto medio de un segmento de recta es único.

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Definición. Es una proposición que implica casi siempre una descripción o convención de algo.

Ejemplos:

1. Ángulos opuestos por el vértice son aquellos en que los lados de uno son prolongaciones de los lados del otro.

2. Paralelogramo es el cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos. 3. Dos ángulos que suman son complementarios.

Lema. Es una proposición que se establece y demuestra previo a la demostración de un teorema.

Se puede decir que un lema es un teorema a partir del cual se facilita la demostración de otros teoremas.

Teorema. Es una proposición sujeta a demostración, la cual se apoya en axiomas y lemas para su

desarrollo. Ejemplos:

1. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

2. La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a dos rectos, es decir 180°. 3. Los lados opuestos por un paralelogramo son iguales.

4. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él.

Corolario. Es una proposición cuya validez se desprende de la validez de un teorema y, donde su

demostración requiere un ligero razonamiento y en ocasiones ninguno.

Del teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180° se obtiene:

Corolario 1: La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90°.

Corolario 2: Si dos ángulos de un triángulo son respectivamente iguales a dos ángulos del otro, el tercer ángulo de uno es igual al tercer ángulo del otro.

Razonamiento deductivo. Para realizar la demostración de proposiciones geométricas se utiliza el

método deductivo, el cual consiste en el encadenamiento de conocimientos que se suponen que son verdaderos (axiomas y postulados) de tal manera que se obtengan nuevos conocimientos.

El razonamiento deductivo, aplicado a la demostración del conocimiento matemático, es una herramienta muy importante, ya que la aceptación de una proposición como verdadera no puede basarse en la experimentación, pues ésta depende de las condiciones particulares en las que se realice; tampoco se puede basar en la observación, a causa de que la vista resulta engañosa; ni en la medición, porque el resultado de ella está ligado a la pericia de quien mide y a la precisión del instrumento utilizado.

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A continuación se presenta un esquema de los elementos que integran la demostración geométrica:

Razonamiento inductivo

El razonamiento es el proceso mediante el cual se sacan conclusiones a partir de la información. En ocasiones, la gente saca conclusiones basadas en sus propias observaciones. Al observar varias veces que una acción produce el mismo resultado, se concluye, en general, que esa acción tendrá siempre el mismo resultado. A esta clase de razonamiento se le llama razonamiento inductivo. Y a la conclusión que se saca del razonamiento inductivo se le llama generalización. Ejemplo:

Supóngase que alguien cortó, de una hoja de papel, tres triángulos diferentes:

2 2 2

1 3 1 3 1 3

Las esquinas de cada triángulo se cortaron y colocaron juntas tal como se muestran a continuación:

1 2 3 1 2 3 1 2 3

¿Qué se observa acerca de la suma de las medidas de los ángulos?, ¿Es cierto para todos los triángulos? Por lo tanto la generalización será:

La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, siempre da 180˚

T E O R E M A D E M O S T R A C IO N G E O M E T R IC A F IG U R A H IP O T E S IS T E S IS R A Z O N A M IE N T O C O N C L U S IO N Ilu s t r a la p r o p o s ic ió n q u e s e d e s e a d e m o s tr a r . S u p u e s t o s q u e s e a c e p ta n c o m o v e r d a d e r o s y q u e s ir v e n c o m o b a s e p a r a e l r a z o n a m ie n t o . E s lo q u e s e d e s e a d e m o s t r a r . C o n ju n t o d e a f ir m a c io n e s y r a z o n e s o r d e n a d a s ló g ic a m e n t e y q u e r e la c io n a n d o la h ip ó t e s is c o n la t e s is , p e r m ite n la d e d u c c ió n d e lo q u e s e q u ie r e d e m o s t r a r . T e s is o p r o p o s ic ió n d e d u c id a m e d ia n t e r a z o n a m ie n to . T E O R E M A D E M O S T R A C IO N G E O M E T R IC A F IG U R A H IP O T E S IS T E S IS R A Z O N A M IE N T O C O N C L U S IO N Ilu s t r a la p r o p o s ic ió n q u e s e d e s e a d e m o s tr a r . S u p u e s t o s q u e s e a c e p ta n c o m o v e r d a d e r o s y q u e s ir v e n c o m o b a s e p a r a e l r a z o n a m ie n t o . E s lo q u e s e d e s e a d e m o s t r a r . C o n ju n t o d e a f ir m a c io n e s y r a z o n e s o r d e n a d a s ló g ic a m e n t e y q u e r e la c io n a n d o la h ip ó t e s is c o n la t e s is , p e r m ite n la d e d u c c ió n d e lo q u e s e q u ie r e d e m o s t r a r . T e s is o p r o p o s ic ió n d e d u c id a m e d ia n t e r a z o n a m ie n to .

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21

Nombre Poniendo letras y números en su lugar No. 1 Instrucciones para

el alumno

Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu profesor.

Actitudes a formar Responsabilidad Manera didáctica de lograrlas

Ejercicios y tareas sobre el tema

Competencias genéricas a desarrollar

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Manera didácticas de lograrlas

Participación activa cuando surjan las respuestas ó dudas.

Ejercicios

1. Examinar las proposiciones siguientes e identificar con una A si es axioma, una P si es postulado, una D si es definición o una T si es teorema:

• Si a cantidades iguales se suman cantidades iguales los resultados son iguales. ( )

• Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. ( )

• El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. ( )

• Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido. ( )

• Todo número es igual a sí mismo. ( )

• Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales. ( )

• Dos ángulos que suman son suplementarios. ( )

• Dado un segmento, hay un punto y sólo uno que lo divide en dos partes iguales. ( )

• En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales. ( )

• Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos-internos son iguales. ( )

• Mediatriz de un segmento es la perpendicular trazada en su punto medio. ( )

• Ángulo central es aquel que tiene su vértice en el centro del círculo. ( )

2. Indicar de que teorema es consecuencia inmediata cada corolario (un teorema puede tener más de un corolario). Teorema:

a) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. ( )

b) Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido. ( ) c) En todo triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. ( )

Corolario:

1. Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto, ni más de un obtuso. 2. Todo triángulo equilátero tiene sus tres ángulos iguales.

3. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90°.

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22

RECTA. La línea recta se representa con una figura como la siguiente:

A B El símbolo

se lee “recta AB”.

Las puntas de flecha indican que la figura se puede prolongar en ambos sentidos tanto como se quiera.

La línea recta también se puede designar con una sola letra minúscula.

m El símbolo

se lee “recta m”

SEMIRRECTA O RAYO. Una semirrecta se representa con una figura como la siguiente:

O A El símbolo

se lee “rayo OA”

La figura indica que el rayo tiene su rigen en O, pasa por A en línea recta y se prolonga indefinidamente como indica la flecha.

SEGMENTO DE RECTA. Un segmento de recta, o simplemente, un segmento se representa con una

figura como la siguiente:

El símbolo se lee “segmento AB". También se lee “segmento m”

Saberes

Nombre Tipos de líneas y ángulos No. 2 Instrucciones para el

alumno

Analiza la información que se presenta en este apartado, y aplica tus principios aritméticos y algebraicos para representar ideas.

Saberes a adquirir Tipos de líneas: Rectas, semirrectas, segmentos de recta, rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Manera didáctica de lograrlos Revisando la información, realizando tareas y participando activamente en el grupo. m

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23

TIPOS DE LÍNEAS

Según la posición de una recta con respecto a otra, dos rectas pueden ser: perpendiculares, paralelas y oblicuas.

Rectas perpendiculares. Si dos rectas al cruzarse formas ángulos rectos, se dice que son

perpendiculares entre sí.

Las rectas perpendiculares se representan de la siguiente manera AB CD.

Rectas paralelas. Dos líneas rectas son paralelas, si se prolongan indefinidamente y nunca se

cruzan. Las rectas paralelas se representan por un par de rayas verticales ||.

A B

Se lee “ AB paralela a CD”

C D

Rectas oblicuas. Dos rectas que se cruzan sin formar ángulos rectos se llaman oblicuas, como se

muestra en la figura:

A B

C

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24

ÁNGULOS

Definición de ángulo: Se denomina ángulo a la abertura comprendida entre dos semirrectas o

rayos que parten de un punto común llamado vértice y las semirrectas o rayos reciben el nombre de lados del ángulo.

Nomenclatura del ángulo: Para nombrar un ángulo se puede utilizar cualquiera de las formas siguientes:

Formas de notación:

a) o se lee “ángulo a” b) ∡B o se lee “ángulo B” c) ∡ABC se lee “ángulo ABC” d) ∡CBA se lee “ángulo CBA” e)

Cuando dos o más ángulos tienen el mismo vértice, el uso de una sola letra mayúscula para referirse a uno de ellos crea confusión, por ello, debe utilizarse la notación con tres letras mayúsculas, en la cual la letra del vértice va en medio.

Ejemplo:

En esta figura, es mejor denotar los tres ángulos

posibles de la siguiente manera:

∡ABC

∡ABD

(25)

25

Ángulo Agudo Ángulo Recto Ángulo Obtuso

Es aquél cuya magnitud es menor que 90º

Es aquél cuya magnitud es igual a 90º

Es aquél cuya magnitud es mayor que 90º

Bisectriz de un ángulo: Es la semirrecta que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos partes

iguales.

Ángulo Nulo Ángulo Llano Ángulo Cóncavo Ángulo Perigonal Es aquél cuya

magnitud es igual a 0º

Es aquél cuya magnitud es igual a

180º

Es aquél cuya magnitud es mayor que 180º pero menor

que 360º

Es aquél cuya magnitud es igual a 360º

La semirrecta VP es la bisectriz del ángulo ∡MVN

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26

PAREJA DE ÁNGULOS

PAREJA DE ÁNGULOS

PAREJA DE ÁNGULOS

PAREJA DE ÁNGULOS

Ángulos ÁngulosÁngulos Ángulos adyacentes adyacentesadyacentes adyacentes

Son ángulos que tienen un lado

común y el mismo vértice.

BAC es adyacente con DAC

Ángulos Ángulos Ángulos Ángulos opuestos por el opuestos por el opuestos por el opuestos por el vértice vérticevértice vértice

- Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice. – Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

1 = 2 y 3 = 4 Ángulo ÁnguloÁngulo Ángulos s s s complementarios complementarioscomplementarios complementarios

- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90°.

El BAC es adyacente al DAC y viceversa. Ángulos Ángulos Ángulos Ángulos suplementarios suplementariossuplementarios suplementarios

- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180°.

El BAC es adyacente al DAC y viceversa.

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27

UNIDADES DE MEDIDA DE LOS ÁNGULOS

Medidas de ángulos. La magnitud de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la apertura o separación que hay entre ellos, es decir, que dependen de la amplitud o separación que hay entre las dos rectas que lo forman.

Medir un ángulo, es comparar su amplitud con la de otro al que se considera como patrón, los cuales utilizan como unidades de medición los grados sexagesimales ó los radianes.

Sistema sexagesimal

Este es el sistema más común, creado por los sumerios, basándose éstos en los 360 días del año, es decir que su unidad se obtiene al dividir la circunferencias en 360 partes iguales, cada una de las cuales, recibe el nombre de GRADOS.

Esta circunferencia esta dividida en 360 partes ó 360 grados.

Un grado entonces, es equivalente en fracción a quebrado a 1/360 de la circunferencia total, es decir, que un grado es igual a una de las 360 partes en las que se divide una circunferencia. Donde el grado se divide a su vez, en 60 minutos y éste en 60 segundos, representándose de la siguiente forma: Grados (°), minuto (´), segundo (”)

(1 grado = 60 minutos)

(28)

28 0

Sistema circular.

La unidad utilizada en este sistema es el radian. Donde un radian, es el ángulo cuyas lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

Longitud del arco “AB” es igual al radio (r ) de la circunferencia, ∡ AOB = 1 radian.

Relación entre grados y radianes

Se sabe que el radio ( r ) cabe 6.283 veces alrededor de la circunferencia, entonces, tenemos que:

(ya que 1 radio = 1 radián; )

En conclusión, la fórmula que relaciona grados con radianes es:

. Dividiendo todo entre 2 obtenemos una relación equivalente:

A B 1 radián r r r

(29)

29

Nombre Como obtener el valor de ángulos dadas ciertas condiciones No. 1 Instrucciones

para el alumno

1. Repasa los conocimientos estudiados sobre ángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a

formar Orden

Manera didáctica

de lograrlas Exposición y preguntas sobre el tema Competencias

genéricas a desarrollar

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera

didácticas de lograrlas

Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros.

1. Cambiar las siguientes cantidades dadas en grados, a radianes:

(Para cambiar de grados a radianes, se multiplica el ángulo por el factor ).

a) b)

Solución: a)

b)

2. Transformas las siguientes cantidades dadas en radianes, a grados:

(Para cambiar de radianes a grados, se multiplica por el factor )

a) b) Solución: a) b)

Ejemplos

Nota: Si no sabes usar

bien tu calculadora, pregúntale a tu profesor.

(30)

30

3. Encontrar el complemento y suplemento de 35°43′. Recuerda que ;90°=89°60′ y 180°=179°60′.

a) El complemento es: 89°60′−35°43′=54°17′ b) El suplemento es : 179°60′−35°43′=144°17′

4. Si dos ángulos se representan por A y B, plantear la ecuación de cada problema y después hallar sus valores.

Los ángulos son suplementarios y uno es 15 grados menor que el doble del otro.

Datos Planteo Operaciones solución

A = A

5. Hallar el valor de en la siguiente figura:

Solución:

Para resolver este problema se plantean un par de ecuaciones. Hay muchas opciones para plantearlas; A continuación se toma una de estas opciones:

(son ángulos opuestos por el vértice)

(son ángulos opuestos por el vértice)

Podemos expresar estas ecuaciones de la siguiente manera: ;

Que al resolverlas por suma y resta tenemos;

(31)

31

Nombre Ángulos por todas partes No. 2

Instrucciones para el alumno

Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a

formar

Orden

Responsabilidad

Manera didáctica

de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias

genéricas a desarrollar

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Manera didácticas de

lograrlas Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas

1. Observa el mapa con atención y contesta las preguntas indicadas:

1. ¿Cuáles vialidades son paralelas a la calle Avinguda 308?

2. ¿Cuáles vialidades son perpendiculares a la calle Avinguda 308? 3. ¿Cuál vialidad es oblicua a la calle Avinguda 308?

4. Si te toparas con un turista en la intersección de Avinguda 313 y Avinguda 302, ¿cómo le dirías para que llegara a un Burger King que se localiza en la intersección de Doctor Fleming y Arcadi Balaguer?

(32)

32

2. Llenar las siguientes tablas:

Transformación de grados a radianes

Transformación de radianes a grados

3. Hallar el ángulo desconocido que falta

4. La figura muestra una entrada vista desde arriba. Si abres la puerta de forma tal que la medida del sea igual a , ¿Cuántos grados más deberías abrir la puerta para que el ángulo entre la pared y la puerta sea de .

Grados Radianes

Radianes

(33)

33

5. Hallar el valor del en cada una de las siguientes figuras:

A. B. C.

6. Indicar que clase de ángulo es:

a) El complemento de un ángulo agudo. b) El suplemento de un ángulo obtuso. c) El suplemento de un ángulo recto.

7. Hallar dos ángulos complementarios tales que: a) Uno sea el doble que el otro.

b) Uno sea 20° mayor que el otro.

c) Uno sea 10° menor que el triple del otro. d) Uno sea 5° menor que el cuádruplo del otro. e) Uno sea 6° mayor que el doble del otro.

8. Hallar dos ángulos suplementarios tales que: a) Uno es el cuádruplo del otro.

b) Uno sea 20° mayor que el triple del otro. c) Uno sea 60° menor que el doble del otro. d) Uno sea 36° mayor que el doble del otro. e) Uno sea 10° mayor que las 2/3 partes del otro

(34)

34

9. IDENTIFICAR ÁNGULOS. Afirma si los dos ángulos que se muestran son complementarios,

suplementarios o ninguno de los dos.

A. C.

B. D.

10.Hallar el valor de en cada una de las siguientes figuras:

A. B.

(35)

35 E. F.

11.

(36)

36

Pares de ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una

transversal (secante)

Dos paralelas cortadas por una transversal forman ocho ángulos, cuatro llamados internos por estar situados dentro de las paralelas y cuatro llamados externos por estar fura de ellas.

En la figura son ángulos:

Internos: 3, 4, 5 y 6

Externos: 1, 2, 7 y 8

Se llaman ángulos correspondientes a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (uno interno y otro externo).

Los ángulos correspondientes tienen la propiedad de ser congruentes, es decir, sus medidas son iguales, lo cual se demuestra en el teorema correspondiente.

Saberes

Nombre Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal o secante.

No. 3

Instrucciones para el alumno

Lee y analiza la información que se te presenta y aclara cualquier duda con tu profesor Saberes a adquirir Ángulos alternos internos y externos, opuestos por el vértice, correspondientes y colaterales internos y externos. Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas.

(37)

37

En la figura anterior son pares de ángulos correspondientes:

El es correspondiente con el ;

El es correspondiente con el ;

El es correspondiente con el ;

El es correspondiente con el ;

Se llaman ángulos alternos-internos a dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos) y dentro de las paralelas (internos).

En la figura anterior son ángulos alternos internos:

Con base en la propiedad (demostrable) de que los ángulos correspondientes son iguales, se puede deducir que los ángulos alternos-internos son iguales.

Como por ser correspondientes y por otra parte

por ser opuestos por el vértice, se deduce que

por propiedad transitiva de la igualdad.

Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que: .

Se llaman ángulos alternos-externos a dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos) y fuera de las paralelas (externos). En la figura son ángulos alternos-externos:

Los ángulos alternos-externos son iguales.

Como por ser correspondientes, y por otra parte

por ser opuestos por el vértice, se deduce que

por la propiedad transitiva de la igualdad.

Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que

Se llaman ángulos colaterales-internos a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y dentro de las paralelas (internos). En la figura son ángulos colaterales-internos:

(38)

38

Los ángulos colaterales-internos tienen la propiedad de ser suplementarios.

Como por ser correspondientes, y por otra parte

por formar un ángulo llano, se deduce que

Porque toda cantidad puede ser substituida por si igual. Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que

Se llaman ángulos colaterales-externos a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y fuera de las paralelas (externos). En la figura son ángulos colaterales-externos:

Los ángulos colaterales-externos tienen la propiedad de ser suplementarios.

Como por ser correspondientes, y por otra parte

por formar un ángulo llano, se deduce que

=180 porque toda cantidad pude ser substituida por su igual.

Ejemplos

Nombre Como encontrar ángulos entre rectas paralelas No. 2 Instrucciones

para el alumno

1. Repasa los conocimientos estudiados sobre ángulos entre paralelas. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación.

Actitudes a

formar orden

Manera didáctica

de lograrlas Exposición y preguntas sobre el tema Competencias

genéricas a desarrollar

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera

didácticas de lograrlas

Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros.

(39)

39

Ejemplo 1.Encuentre la medida de los ángulos indicados con letras minúsculas en la figura.

Suponga que las líneas horizontales son paralelas. Justifique su respuesta.

(Ángulos alternos-internos)

Forman un ángulo llano

.

Ejemplo 2. Hallar el valor de , y establecer las relaciones establecidas.

(Ángulos alternos internos)

(Ángulos alternos internos)

(La 1ra. ecuación por 2)

Sustituir el valor encontrado de en una ecuación cualquiera:

(40)

40

1. Pon en línea en blanco si los pares de ángulos que se muestran son correspondientes, alternos-internos, alternos-externos, colaterales-internos y colaterales-externos

_________________ __________________

__________________ __________________

__________________ __________________

_________________ __________________

__________________ __________________

2. Hallar los ángulos que se te piden en la siguiente figura, suponga que .

Ejercicios

Nombre Ángulos entre paralelas No. 3

Instrucciones para el alumno

Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a

formar

Orden

Responsabilidad

Manera didáctica

de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias

genéricas a desarrollar

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Manera didácticas de

(41)

41

3. En la figura de la izquierda, hallar los valores de los ángulos señalados con letras minúsculas, si Las líneas oblicuas son paralelas.

4. Hallar los valores de y según sea el caso, en cada una de las siguientes figuras. Considere que las rectas son paralelas.

a) c)

b) d)

5.

En las siguientes figuras . Hallar el valor de “x”.

(42)

42 1. Generalidades de los Triángulos 2. Teoremas de importancia en los Triángulos

1. Como calcular ángulos faltantes de triángulos e identificar triángulos congruentes 2. Aprendamos a utilizar la semejanza entre triángulos y apliquemos los teoremas de Tales

y Pitágoras

Competencia

2

Explicar la definición y clasificación de los triángulos Utilizar los teoremas del ángulo interior y ángulo exterior Aplicación del Teorema de Tales

Aplicación de Triángulos semejantes Aplicación del Teorema de Pitágoras

Saberes

(43)

43

1. A encontrar ángulos y lados faltantes en los triángulos

2. A usar el Teorema de Tales, los Triángulos Semejantes y Teorema de Pitágoras

ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA

 Emplea sus conocimientos para definir y clasificar a los triángulos.  Argumenta la naturaleza de las

matemáticas como una herramienta para calcular el valor de los ángulos interiores y exteriores de los triángulos.  Maneja los conceptos de

triángulos congruentes para

identificarlos en distintos contextos.  Domina el algoritmo para resolver

problemas en donde se aplica el teorema de tales.

 Aplica principios algebraicos y aritméticos para resolver problemas cotidianos, en donde se aplican los conocimientos sobre triángulos semejantes.

 Elije la estrategia aritmética o algebraica para resolver problemas cotidianos en donde se usa el Teorema de Pitágoras.

RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Domina los conceptos fundamentales, así como aplica principios y teoremas

fundamentales sobre los triángulos.

Ejercicios

(44)

44

TRIÁNGULOS

Definición y notación: El triángulo es un polígono de tres LADOS, que viene determinado por tres

puntos no colineales llamados VÉRTICES.

Los vértices se pueden denotar por letras mayúsculas: A, B y C. Los lados son los segmentos que unen dos vértices del triángulo y se denotan con la misma letra que el vértice opuesto. Es decir: El lado “a” es el segmento que une los vértices B y C, el lado “b” es el segmento que une los vértices A y C y el lado “c” que es el segmento que une los vértices A y B. (Figura 1)

Figura 1 Figura 2

Saberes

Nombre Generalidades de los Triángulos No. 1 Instrucciones para el

alumno

Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu profesor. Saberes a adquirir • Definición, notación y clasificación de los triángulos. • Teoremas del ángulo interior y exterior de los triángulos. • Criterios de congruencia entre triángulos. Manera didáctica de

lograrlos Mediante exposición y tareas.

(45)

45

Ángulos interiores:son aquellos formados por cada par de lados consecutivos del

triángulo. Se denominan por las tres letras mayúsculas de los vértices o por una letra griega ubicada entre los lados del ángulo. (Figura 1)

Ángulos exteriores:son los ángulos formados por un lado del triángulo y la prolongación de otro hacia la región exterior. (Figura 2)

Notación de triángulos

Los triángulos se nombran por sus tres letras de sus vértices anteponiendo un símbolo en forma de triángulo. Ejemplo: En la figura anterior el triángulo se denota como ABC.

♦ ♦ ♦

Clasificación de los triángulos

Los triángulos se clasifican según sus lados y sus ángulos.

Según sus lados Según sus ángulos

equilátero tres lados iguales acutángulo tres ángulos agudos

isósceles Por lo menos dos lados iguales rectángulo un ángulo recto

escaleno tres lados desiguales obtusángulo un ángulo obtuso

Además, a los triángulos en general que no sont rectángulos se les llama oblicuángulos.

Por la medida de sus lados:

(46)

46

Por la medida de sus ángulos

(Ángulo recto)

Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a .

M N Hipótesis

son ángulos interiores

de un triángulo.

Tesis

Trazo auxiliar: Trazar por ,

Plan: Al trazar por uno de sus vértices del triángulo la paralela al lado opuesto, se obtiene

(47)

47

RAZONAMIENTO Afirmación Razón

1. 1. Por construcción

2. 2. Por ser alternos internos

3. 3. Por formar un ángulo llano.

4. 4. Substituyendo ( 2 ) en ( 3 ).

Teorema: Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes con él.

Criterios de congruencia entre triángulos

Primer criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido

(48)

48

Segundo criterio: Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales, son iguales. (a.l.a.=a.l.a.)

Tercer criterio: Dos triángulos que tienen sus tres lados respectivamente iguales, son iguales. (l.l.l.=l.l.l.)

Cuarto criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al lado mayor respectivamente iguales, son iguales.

(49)

49

1. Hallar los valores de los ángulos faltantes en las siguientes figuras

a) b) ° = ∠ + ∠ + ∠A B C 180 En el ABC: ∠A+∠B+∠C =180° ° = ∠ + ° + ° 35 180 50 C A+40°+95°=180° ° − ° = ∠C 180 85 A=180°−135°=45° ° = ∠C 95 (usando el ) ( ∠y es un ángulo exterior)

Ejemplos

Nombre Como calcular ángulos faltantes de triángulos e identificar triángulos congruentes.

No. 1

Instrucciones para el alumno

1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a

formar

Orden Manera didáctica de lograrlas

Exposición y preguntas sobre el tema

Competencias genéricas a desarrollar

1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos

contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Manera didácticas de lograrlas

Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros.

(50)

50

2. Determinar que triángulos son congruentes y señalar en cada caso el postulado correspondiente. a) b) c) Soluciones: a)I ≅ ∆II b) I ≅ ∆III c) II ≅ ∆III l.a.l =l.a.l a.l.a.=a.l.a. l.l.l.=l.l.l.

En el III∆ el ángulo de 60° En el II el lado de 28 En el I∆ sus lados no está comprendido entre los no está comprendido entre tienen medidas dife-

lados de 8 y 12. los ángulos de 40° y 85° rentes a las de los triángulos II y III.

(51)

51

1. Mide los lados de los siguientes triángulos y escribe el nombre de cada uno de ellos.

Triángulo _____________ Triángulo __________ Triángulo ___________

Ejercicios

Nombre A encontrar ángulos y lados faltantes en los triángulos No. 1 Instrucciones

para el alumno

Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden y responsabilidad Manera didáctica de lograrlas

Ejercicios y tareas sobre el tema

Competencias genéricas a desarrollar

1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos

contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Manera didácticas de lograrlas

(52)

52

2. Une según corresponda.

3. Une según corresponda.

Tiene sus 3 lados de igual medida.

Tiene 2 de sus lados de igual medida.

Tiene sus 3 lados de diferente medida. Triángulo isósceles. Triángulo equilátero. Triángulo escaleno.

Tiene 3 ángulos agudos

agudos.

Tiene un ángulo de 90 grados

Tiene un ángulo mayor de 90 grados Triángulo acutángulo. Triángulo obtusángulo. Triángulo rectángulo.

(53)

53

4. COMBINAR TRIÁNGULOS. En los ejercicios siguientes, combina la descripción del triángulo con su nombre específico:

1. Longitudes de los lados: 2cm, 3cm, 4 cm A. Equilátero 2. Longitudes de los lados: 3cm, 2cm, 3cm B. Escaleno 3. Longitudes de los lados: 4cm, 4cm, 4cm C. Obtusángulo 4. Medidas de los ángulos: D. Equiángulo 5. Medidas de los ángulos: E. Isósceles 6. Medidas de los ángulos: F. Rectángulo

5.

(54)

54

4. Hallar los valores de “x” e “y” en cada inciso de las siguientes figuras:

b) Nota: ∆ABC es equilátero.∠D=90°

a)

5. Identificar en cada inciso los triángulos que son congruentes y dar el postulado de congruencia que lo

Justifica.

a)

(55)

55

c)

6. En las siguientes figuras I ≅ ∆II , hallar “x” e “y”.

(56)

56

El Teorema de Tales establece que:

Sí un sistema de rectas paralelas que cortan a dos transversales, determinan en ellos segmentos correspondientes proporcionales.

Aplicado a los triángulos establece que:

Toda paralela a un lado de un triangulo, divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales.

A Q B La figura muestra al teorema de Tales

Demostración:

X n Y (1) AB II XY II PR (Rectas paralelas entre sí)

(2) QP y QR son transversales

P R (3) Por el teorema de Tales:

Saberes

Nombre Teoremas importantes de los Triángulos No. 2 Instrucciones para el

alumno

Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu profesor.

Saberes a adquirir

• Teorema de tales

• Condiciones para que dos triángulos sean semejantes, y aplicaciones. • Teorema de Pitágoras y aplicaciones Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas.

(57)

57 La figura anterior muestra el teorema de Tales de Mileto

Demostración:

(1) AB II XY II PR (Rectas paralelas entre sí)

(2) QP y QR son transversales

(3) Por el teorema de Tales:

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Relación entre dos figuras geométricas que tienen la misma forma, aunque distinto tamaño. Entre los elementos (puntos, rectas, ángulos,…) de esas dos figuras se establece una relación por la que cada elemento f le corresponde otro de f´. Dos figuras semejantes f y f´ cumplen con las siguientes relaciones métricas: ' ' ' ' ' ' AB BC AC K A B = B C = A C =

Proporcionalidad de Segmentos: entre dos figuras semejantes, los pares de segmentos

correspondientes son proporcionales. Si A, B, C son puntos de f y A’, B’, C’ los correspondientes puntos de f entonces se cumple que:

' ' ' ' ' '

AB BC AC

K

A B =B C = A C =

La razón de proporcionalidad K se llama razón de semejanza. Por ejemplo, entre dos figuras semejantes cuya razón de semejanza es 2, cada segmento de la primera es de longitud doble que el correspondiente segmento de la segunda.

(58)

58

TEOREMA DE PITÁGORAS

“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

Ejemplo 1 Aplique el Teorema de Tales para hallar el valor de “x” .

Solución:

⇨ ⇨

por lo tanto

Ejemplos

Nombre Aprendamos a utilizar la semejanza entre triángulos y apliquemos los teoremas de Tales y Pitágoras.

No. 2

Instrucciones para el alumno

1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a

formar

Orden Manera didáctica de lograrlas

Exposición y preguntas sobre el tema

Competencias genéricas a desarrollar

1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos

contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Manera didácticas de lograrlas

Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros.

(59)

59 11 220 20 10 20 11 2 = = = x x x 36 20 ) 240 ( 3 3 20 240 10 20 3 24 = = = = y y y

Ejemplo 2: Cálculo de la altura de un árbol usando la longitud de su sombra, por medio de

triángulos semejantes:

En cualquier día soleado, se puede medir la altura de un árbol usando solo su sombra siguiendo el siguiente procedimiento: Se entierra una vara o pértiga a un lado del árbol a medir y se toman las siguientes medidas; la longitud de la sombra BC, la altura de la vara ab y la sombra que proyecta la pértiga bc, dejando como incógnita la longitud AB que es la altura del árbol. A continuación se hace la siguiente proporción,

AB BC

ab = bc , que al despejar AB nos queda

(ab BC)( ) AB

bc

=

Supongamos que se midieron las distancias BC = 12 m, ab = 1.5 m y bc = 2 m, la altura del árbol sería,

(1.5)(12) 9 2

AB= = metros

Ejemplo 3. Hallar el valor de “x” e “y” en la figura por medio de triángulos semejantes:

(60)

60

Ejemplo 4: Calcular el valor del cateto que falta en el triángulo rectángulo siguiente:

Si es la hipotenusa, entonces tenemos:

Despejando tenemos:

Sustituyendo datos y sacando raíz a ambos lados,

= a

Ejemplo 5 : Calcular el lado de un rombo cuyas diagonales miden 32 mm y 24 mm .

Puede observarse que se forman cuatro triángulos rectángulos

iguales, cuyos catetos son la mitad de cada diagonal.

Por lo tanto, la hipotenusa del triángulo es el lado del rombo.

(61)

61

Ejercicio 1: Encuentre el valor de “x” en cada caso, aplicando el Teorema de Tales.

Ejercicio 2: En cada uno de los siguientes ejercicios, cada par de triángulos son semejantes. Calcular el valor que representan las letras:

Ejercicios

Nombre A usar el Teorema de Tales, los triángulos Semejantes y el Teorema de Pitágoras

No. 2

Instrucciones para el alumno

Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a

formar

Orden y

responsabilidad

Manera didáctica

de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema

Competencias genéricas a desarrollar

1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos

contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Manera didácticas de lograrlas

(62)

62

Ejercicio 3: Ambrosio va a pintar un muro del que conoce la dimensión de su base pero le falta la altura porque no cuenta, por el momento, con una escalera para medirla.

¿Cómo podría Ambrosio conocer la altura del muro y con ello poder calcular el área que va a pintar?

Una forma de calcular la altura del muro, con mucha mayor precisión, es utilizando la geometría, por medio de las razones semejantes. Observe usted lo que hace Ambrosio:

(63)

63

La sombra que da el Sol cuando pasa por el muro a las 11 a.m. mide 16 m.

La sombra de Ambrosio, también a las 11 a.m., es de 3.0 m y él sabe que mide 1.75 m. Con esta información él podrá calcular la altura del muro, ya que si usted observa los dos dibujos, en cada uno de ellos hay un triángulo rectángulo semejante.

Entonces, ¿cuánto vale la altura del muro?

Ejercicio 4: Martín necesita medir el ancho del río que pasa cerca de su propiedad, pero no puede llegar al otro lado. ¿Cómo podría medir el ancho del río?

Para resolver su problema, Martín le pide a unos amigos que le ayuden a hacer las siguientes mediciones y observaciones:

(64)

64

Observemos que sucede si obtuvieron los siguientes datos:

¿Cuál será entonces el ancho del río?

TEOREMA DE PITÁGORAS

Ejercicio 5. Para evitar que un poste de luz se rompa, Rocío debe colocar un cable de acero desde

su punta hasta el piso como se muestra en el dibujo.

El poste mide de altura 4m y el cable en el piso debe estar separado 3m de la base del poste. Rocío debe comprar el cable de acero a la medida adecuada, pues no le debe faltar ni sobrar.

(65)

65

TEOREMA DE PITÁGORAS

Ejercicio 6: ¿A que distancia de la pared se encuentra la escalera de la siguiente figura?

Ejercicio 7: Calcula la distancia que debe recorrer un teleférico, sabiendo que debe salir de la

estación de servicio y llegar a la cima de la montaña, cuya altura es de 650m, como se muestra en la figura.

(66)

66

Ejercicio 8: Antonio tiene un terreno rectangular cuyas medidas son 23m de largo por 41m de

ancho, por el cual debe atravesar un cable de teléfono para establecer comunicación de la bodega ubicada en la parte final del terreno, empleando la mínima cantidad posible de cable de teléfono. ¿Qué medida deberá tener el cable?

Ejercicio 9: ¿Cuánto debe medir la varilla de soporte que se emplea para construir el soporte del

(67)

67

Ejercicio 10: Cuando se descubrió la pirámide Keops de Egipto, fácilmente pudieron medir cuánto medía cada lado de su base (233 m) y la longitud de su pendiente (186.784 m), pero la altura no la midieron físicamente, sino que la calcularon.

¿Cómo calcularía usted la altura de la gran pirámide?

Ejercicio 11: Calcula los centímetros de cuerda que se necesitan para formar las letras N, Z y X

(68)

68 1. Generalidades de los polígonos

2. Circunferencia y círculo

3. Área y volumen de figuras geométricas

1. Ejercitando nuestro cerebro con los polígonos 2. Practicando con las circunferencias

3. Practicando con áreas y volúmenes

Competencia

3

Explicar la definición y clasificación de los polígonos

Calcular los ángulos interiores, ángulos exteriores y número de diagonales de los polígonos.

Conocer las rectas y ángulos notables de la circunferencia Aplicación de las fórmulas para calcular el área de los polígonos

en diferentes contextos

Aplicación de las fórmulas para calcular el volumen de los cuerpos sólidos en diferentes contextos

Saberes

Figure

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