Diseño de Cimentaciones IPN.

DISEÑO DE

CIMENTACIONES

ACADEMIA DE ESTRUCTURAS

ING. FERNANDO PAZ RUÍZ

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ÍNDICE

UNIDAD I.- INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS FUNDAMENTALES ... 3

1.1 PRINCIPIOS GENERALES ... 4

1.1.1 ZONIFICACIÓN GEOTÉCNICA DE LA CIUDAD DE MÉXICO ... 6

1.2 TIPOS DE CIMENTACIONES ... 8

1.3 RELACIÓN CON LA MECÁNICA DE SUELOS Y LAS ESTRUCTURAS ... 12

1.4 DISEÑO ESTRUCTURAL ... 13

1.4.1 ELECCIÓN DE TIPO DE CIMENTACIÓN ... 13

1.5 ANÁLISIS ESTRUCTURAL ... 13

1.6 CLASIFICACIÓN DE LAS CIMENTACIONES ... 15

1.7 TIPOS DE CIMENTACIONES MÁS COMUNES PARA LOS TIPOS DE SUELO DE LA CD. DE MÉXICO ... 15

UNIDAD II.- ZAPATAS AISLADAS Y CORRIDAS SUPERFICIALES (CIMENTACIONES SUPERFICALES) ... 17

2.1 ZAPATAS AISLADAS SUJETAS A CARGA AXIAL ... 17

2.2 ZAPATAS AISLADAS SUJETAS A CARGA AXIAL Y MOMENTO ... 30

2.3 ZAPATAS NERVADAS ... 46

ZAPATAS CORRIDAS DE CONCRETO ... 55

2.3 LOSAS MACIZAS DE CIMENTACIÓN ... 74

UNIDAD III.- CAJONES DE CIMENTACIÓN ... 78

UNIDAD IV.-PILAS Y PILOTES (CIMENTACIONES PROFUNDAS) ... 82

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UNIDAD I.- INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS FUNDAMENTALES

La cimentación es un elemento estructural que sirve para transmitir la carga de la

superestructura a estratos inferiores del terreno y cuya finalidad es reducir el

hundimiento medio, así como los hundimientos diferenciales a base de rigidez para no

dañar a las estructuras colindantes y a la estructura misma.

Todos los edificios poseen un peso propio dado por:

• La estructura

• Elementos Constructivos

• Todo aquello que se coloca al momento de habitarlo.

Los objetivos de la cimentación son los siguientes:

1. Funcionamiento: Limitar asentamientos, deformaciones y desplomes.

2. Seguridad: Resistencia del suelo, resistencia de los elementos estructurales.

3. Economía: Condición necesaria de cualquier obra civil.

El edificio debe de estar proyectado contemplándose estas variables para evitar que

llegue a agrietarse, hundirse, inclinarse o colapsarse.

Después de efectuar los movimientos de tierra en una obra, y de transportar las tierras

extraídas, se ejecuta la construcción de la cimentación sobre los que se asentará la

edificación realizando previamente el replanteo.

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1.1 PRINCIPIOS GENERALES

Al comenzar con los trabajos en una obra se inician los movimientos de tierra para dar

lugar a la construcción de los cimientos que sostendrán la construcción.

Para ello se realiza el replanteo y se ejecuta la cimentación de acuerdo al cálculo

estructural y al proyecto elaborado, considerando todas las variables que inciden.

Por lo general, las tensiones admisibles del terreno son inferiores a las de los materiales

de la estructura, de manera que la cimentación debe transmitir las acciones del edificio

dentro de ciertos límites para que la estructura permanezca estable sin alteraciones.

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*Edificio más alto del mundo El Burj Khalifa en la ciudad de Dubai

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7 a) Zona I. Lomas, formadas por rocas o suelos generalmente firmes que fueron depositados

fuera del ambiente lacustre, pero en los que pueden existir, superficialmente o intercalados, depósitos arenosos en estado suelto o cohesivos relativamente blandos. En esta zona, es frecuente la presencia de oquedades en rocas, de cavernas y túneles excavados en suelos para explotar minas de arena y de rellenos no controlados.

b) Zona II. Transición, en la que los depósitos profundos se encuentran a 20 m de profundidad, o menos, y que está constituida predominantemente por estratos arenosos y limo arenosos intercalados con capas de arcilla lacustre; el espesor de éstas es variable entre decenas de centímetros y pocos metros.

c) Zona III. Lacustre, integrada por potentes depósitos de arcilla altamente compresibles, separados por capas arenosas con contenido diverso de limo o arcilla. Estas capas arenosas son generalmente medianamente compactas a muy compactas y de espesor variable de centímetros a varios metros. Los depósitos lacustres suelen estar cubiertos superficialmente por suelos aluviales, materiales desecados y rellenos artificiales; el espesor de este conjunto puede ser superior a 50 m.

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1.2 TIPOS DE CIMENTACIONES

La necesidad de un elemento de transición entre la estructura y el suelo nace de la

diferencia que existe entre la resistencia de los materiales estructurales y los suelos,

generalmente los primeros son mucho más resistentes que los segundos por lo que el

concepto más simple de la cimentación consistirá en una ampliación de la base de las

columnas o muros que transmite la carga al suelo.

Esta concepción elemental de cimentación se va ampliando en medida en que las cargas

de la estructura son mayores o la resistencia del suelo es menor, hasta llegar al extremo

de requerir un área de cimentación mayor que el área disponible, en estos casos se puede

recurrir al concepto de compensación o bien a una cimentación a base de pilotes.

1) Por su desplante

A. Superficiales (Ampliación de la base)

Las Cimentaciones Superficiales reparten la fuerza que le transmite la estructura a través

de sus elementos de apoyo sobre una superficie de terreno bastante grande que admite

esas cargas.

Se considera cimentación superficial cuando tienen entre 0,50 m. y 4 m. de profundidad, y

cuando las tensiones admisibles de las diferentes capas del terreno que se hallan hasta

esa cota permiten apoyar el edificio en forma directa sin provocar asientos excesivos de la

estructura que puedan afectar la funcionalidad de la estructura; de no ser así, se harán

Cimentaciones Profundas.

Debe considerarse como posible que en un mismo solar se encuentren distintos tipos de

terreno para una misma edificación; ésto puede provocar asientos diferenciales peligrosos

aunque los valores de los asientos totales den como admisibles.

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B. Profundas (Pilas, pilotes…)

Las Cimentaciones Profundas son un tipo de Cimentaciones que solucionan la trasmisión

de cargas a los sustratos aptos y resistentes del suelo.

Entre estas cimentaciones se destacan:

•

Muros Pantalla son muros verticales profundos de hormigón.

•

Pilotes son elementos similares a los pilares, hincados a profundidad en el suelo.

•

Micropilotes

2) Por el material empleado

A. Mampostería

En zonas donde la piedra es abundante suele aprovecharse esta como material de

cimentación. Para grandes construcciones es necesario efectuar en un laboratorio de

ensayo pruebas sobre la resistencia de la piedra de que se dispone. Tratándose de

construcciones sencillas, en la mayoría de casos resulta suficiente efectuar la prueba

golpeando simplemente la piedra con una maceta y observando el ruido que se produce.

Si este es hueco y sordo, la piedra es blanda, mientras que si es aguda y metálico, la piedra

es dura.

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B. Concreto

C. Acero

3) Por su forma

A. Zapatas Aisladas

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B. Zapatas Corridas

C. Losas Corridas (con contratrabes o sin contratrabes)

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1.3 RELACIÓN CON LA MECÁNICA DE SUELOS Y LAS ESTRUCTURAS

Dependiendo la importancia de las cargas de la superestructura a cimentar deberá

estudiarse al suelo a base de estudios de Mecánica de Suelos principalmente los que nos

indicaran el o los tipos de cimentación más recomendados. La información requerida en

general será la siguiente:

1.- En terrenos tipo I se debe encontrar la capacidad de carga y hacer sondeos para

detectar la existencia de cavernas se recomienda para lo anterior hacer estudios

geofísicos.

Los asentamientos en este tipo de suelos son únicamente de tipo elástico, por tanto, es

necesario conocer el modulo de elasticidad del suelo.

2.- En terrenos II y III debemos conocer si hay o no aguas freáticas y ubicar su nivel ya que

esto es una limitante en la profundidad de excavación de la cimentación.

a.- Conocer la profundidad a la primera capa dura, conociendo a su vez la estratigrafía del

lugar a base de un sondeo de penetración estándar o cono dinámico.

b.- Conocer que asentamientos se tendrán para una sobrecarga dada. Esto obliga a

realizar sondeos mixtos con tubo Shelby para extraer muestras inalteradas (4 mínimo) a

distintas profundidades, con estas muestras hacer pruebas de consolidación y de ahí

obtener el índice de compresibilidad volumétrica (m

v

). Es conveniente que quien realice la

MS obtenga los asentamientos probables en la estructura en función de la presión neta al

suelo.

c.- También se puede hacer un estudio de cono eléctrico (Holandés)

d.- La Mecánica de Suelos deberá proporcionar en su caso las presiones horizontales a que

van a estar sometidas las contra-trabes perimetrales en un cajón de cimentación.

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1.4 DISEÑO ESTRUCTURAL

1.4.1 ELECCIÓN DE TIPO DE CIMENTACIÓN

Esto se hará en función de la magnitud y distribución de las cargas, de las características

de la estructura, de la resistencia y la deformabilidad del suelo. En terrenos altamente

compresibles la sobrecarga al suelo se limita más en función de los asentamientos que de

la resistencia misma. Esta es una fase de trabajo de conjunto entre el estructurista y el

geotecnista y es quizá la etapa más importante del diseño de la cimentación y de ello

dependerá el éxito o el fracaso de su comportamiento futuro, obviamente habrá que

considerar en las posibilidades alternativas planteadas en el aspecto económico.

1) Selección del tipo de Cimentación

A. Magnitud y distribución de las cargas

B. Características de la estructura

C. Resistencia del Suelo

D. Deformabilidad del suelo

1.5 ANÁLISIS ESTRUCTURAL

Como el diseño de cualquier elemento estructural se requiere implementar una

herramienta matemática en la que a partir de una modelación del elemento se aplicaran

en las acciones externas existentes, en este caso cargas de la estructura y en la reacción

del suelo y se obtendrá por medio de algún método las acciones internas (momentos,

cortantes y deformaciones).

En este caso la idealización de la cimentación como algo independiente de la estructura y

el ignorar las deformaciones diferenciales del suelo solo se pueden justificar en elementos

anclados, como zapatas y algunos tipos de cimentaciones corridas o de otro modo las

acciones internas calculadas podrán diferir de las reales tanto en magnitud como en signo.

De acuerdo con lo anterior los métodos de análisis serán de 2 tipos los que consideran la

interacción suelo estructura y los que la ignoran.

Estos últimos generalmente se emplean en el diseño de zapatas aisladas y en el diseño de

cimentaciones corridas rígidas, en este caso se supone que el suelo es un medio elástico

homogéneo que responde a las acciones de cimentación con una reacción uniformemente

distribuida o con variación lineal según que la resultante esté centrada o no.

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También es posible tener la reacción del suelo en estos términos si la cimentación es

superficialmente rígida para despreciar los hundimientos diferenciales del suelo.

2) Análisis

A. Definición de acciones sobre la cimentación (cargas y momentos)

B. Calculo del área requerida (Por numero de pilotes)

C. Propuesta del modelo estructural de la cimentación incluyendo al suelo

D. Obtención de acciones interiores (Momentos, cortantes, etc.)



Ignorando las deformaciones del suelo y proponiendo la

distribución de la reacción.



Considerando la deformación del suelo, llamado interacción

Suelo-Estructura

3) Dimensionamiento

A. Zapatas



Penetración



Cortante



Flexión

B. Losas



Flexión



Cortante

C. Trabes



Flexión



Cortante



Deformación

D. Pilas y Pilotes



Fuerza Axial



Fuerza Axial en combinación con flexión

E. Muros de Contención



Flexión



Cortante

4) Detallado

A. Elaboración de Planos

B. Especificaciones

C. Procedimiento Constructivo

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1.6 CLASIFICACIÓN DE LAS CIMENTACIONES

1.7 TIPOS DE CIMENTACIONES MÁS COMUNES PARA LOS TIPOS DE

SUELO DE LA CD. DE MÉXICO

TIPO DE CONSTRUCCIÓN I II III CASA HABITACIÓN ZAPATAS CORRIDAS DE MAMPOSTERÍA O CONCRETO REFORZADO. ZAPATAS CORRIDAS DE CONCRETO. LOSAS CORRIDAS DE CIMENTACIÓN CON RETÍCULA DE CONTRATRABES. EDIFICIOS HASTA 5 NIVELES ZAPATAS CORRIDAS O AISLADAS DE CONCRETO. LOSA DE CIMENTACIÓN PARCIALMENTE COMPENSADOS. CAJONES DE CIMENTACIÓN CON PILOTES DE PUNTA DE CONTROL. EDIFICIOS MAYORES A 5 NIVELES ZAPATAS CORRIDAS DE CONCRETO O LOSA DE CIMENTACIÓN CON RETÍCULA DE CONTRATRABE. PILAS O PILOTES DE PUNTA DE CONTROL O CAJONES Y PILOTES. CAJONES DE CIMENTACIÓN CON PILOTES DE FRICCIÓN O PILOTES DE PUNTA DE CONTROL.

Algunas veces se define a la cimentación como parte de la estructura generalmente

enterrada que transmite las acciones de está al suelo. Esta definición suele ser clara para

el estructurista sin embargo para el geotecnista la idea de cimentación se relaciona mas

con una porción de suelo con la que actúan las acciones que la estructura le trasmite. En

realidad es el conjunto de ambas partes es decir una porción de estructura y una porción

de suelo que interactúan en forma integral.

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Al igual que en la estructura un buen diseño de la cimentación requiere satisfacer

requisitos de funcionalidad, seguridad y economía. Los requisitos de funcionamiento

obligan a mantener las deformaciones o asentamientos dentro de ciertos límites.

Por otro lado la seguridad se enfoca en dos tipos de falla, la falla estructural del elemento

que constituye la cimentación y la falla del suelo por capacidad de carga. La falla

estructural puede ocurrir cuando la cimentación no es adecuada para soportar los

esfuerzos impuestos, por ejemplo una zapata puede fallar por cortante sino tiene el

peralte adecuado ó por flexión si tiene refuerzo insuficiente, un pilote puede romperse

durante las maniobras de izado o incado, una pila puede fallar por pandeo o por flexo

compresión.

El nivel de deformaciones para un suelo determinado dependerá de la rigidez de la

cimentación, de la sobrecarga impuesta al suelo y de la excentricidad de la resultante.

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UNIDAD II.- ZAPATAS AISLADAS Y CORRIDAS SUPERFICIALES

(CIMENTACIONES SUPERFICALES)

2.1 ZAPATAS AISLADAS SUJETAS A CARGA AXIAL

Datos: FR = 0.90 b= 100 cm f”c = 0.85 f*c f*c = 0.80 f’c q < qb 𝑞𝑏 =_6000+Fy4800 q= 0.60 a 0.70 qb PTU = PT (Fc) 𝐴2=P Tu FTu 𝑞𝑇𝑉=P Tu BL 𝑞𝑛𝑣= Pu BL Mu = (MR)(FR b d² f”c)(q (1 - 0.5 q) Fc = 1.40 Carga Vertical Fc = 1.10 Carga Horizontal Fc = 1.50 Grupo A Pu = P (Fc) PT = P + Pp + Prelleno PT = w

IPN | 18 PT = ( 0.25 a 0.30) p 𝑑 =_{FR b f′c q (1 − 0.5 q)}√Mu 𝑑 =_{0.9 x 100 x 0.68 f}√Mu_{′c x 0.28 (1 − 0.14 )} 𝑑 = √Mu 14.80 f′_c 𝑑 =_{14.80 f}√Mu′_c + 6 cm h= d + v < 5 cm fy= 4200 𝑞 =_{10200 = 0.47}4800 q= 0.6 qb = 0.6 x 0.47 = 0.28 f”c= 0.8 x 0.85 f’c = 0.68 f’c

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19 ♦ REVISIÓN POR CORTANTE

a) Falla como viga ancha

Vu = qu x ( l – d )

Solo para zapatas aisladas y corridas

𝑉𝑢 =Vu_{l d < 𝐹𝑅 0.50 √f ∗ c = Vcr} Vcr= Esfuerzo Admisible último

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20 ♦ FALLA PERIMETRAL O DE PENETRACIÓN

A Falla = (C2 + d) x (C1 + d)

Vu= (A2 – Af) qnu

𝑉𝑢 =_{b d}Vu < 𝐹𝑅 √f ∗ c < 0.70 CM + CV + CA 0.80 CM + CV

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21 PROBLEMA 1

Diseñar la siguiente zapata sujeta a carga axial P= 73 ton perteneciendo al grupo “B”.

DATOS:

f’c= 200 kg/cm² fy= 4200 kg/cm² fTU= 27 ton/m²

Dimensiones del dado: 45 x 45 cm

Pu= 73 x 1.4 = 102.2 ton PT = P + Pp + P relleno w= (0.25 a 0.30) P PTU = PT (F.C)= (73(1.3)) * 1.4 = 132.86 ton ∆=PTU fTU = 132.86 27 = 4.92 m² B = L = √4.92 = 2.22 m = 2.25 m

♦ Cálculo de presión de contacto.

qnu= Pu BxL = 102.2 272.25 x 2.25 = 20.19 ton / m² qtu= PTU BxL = 132.86 272.25 x 2.25 = 26.24 ton / m²

IPN | 22 MR = 0.90 Mu = MR = FR b d² f”c q (1-0.5 q) Mu = qnu l²₂ = 132.8620.19 (0.9₂ 2) = 8.16 Ton · m 𝑑 =_{14.80 f}√Mu′_c + 6 cm = _{14.80 (200)} √81800 + 6 cm = 22.6 cm h= 25 cm d= 20 cm

*NOTA: Para calcular el voladizo sin relleno hay que quitar el relleno ya que en “qtu “ va implícito.

♦ Revisión por cortante viga ancha.

Vu= quµ ( l – d)= 20.15 (0.9 – 0.22) (1m) Vu= 14.1 ton Vµ = _b∗dVu = _{100 x 20}14100 = 7.05 kg/ cm² 7.05 kg/cm² < Vµ Ѵcv = 0.5 FR �𝑓 ∗ 𝑐 = 0.5 (0.8 √160 =5.06 kg/ cm² NO PASA Se aumentara a 25 cm el “d”

Vu= quµ ( l – d)= 20.15 (0.9 – 0.25) (1m) = 13.09 ton

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23 Se aumentara a 30 cm el “d”

Vu= quµ ( l – d)= 20.15 (0.9 – 0.30) (1m) = 12.09 ton

Vµ = _b∗dVu = _{100 x 30}12090 = 4.03 kg/ cm² < 5.06 kg/ cm² OK!!!

♦ Revisión por cortante de penetración bo= 4 x 75 = 300 Perimetro de falla Afalla = 0.75 x 0.75 = 0.56 m² Vѵ = qn ( Az – Afalla ) = 20.15 (5.06 – 0.56) = 90.67 Vn= 10 000 < V adm = FR �𝑓 ∗ 𝑐 A= 300 x 30 = 9000 σ = V_A= 90670₉₀₀₀ = 10.07 kg /cm³ Vadm = 0.80 √160 = 10.12 kg / cm² Vu < adm 10.07 < 10.12 OK!!!! ♦ Diseño por flexión

IPN | 24 1.33 x 7.99 = 10.63 cm² As min = 0.70√f´c fy x b x d = 0.70√200 4200 = x 30 x 100 = 7.07 cm Nvarilla = Area varilla

As necesaria x 100 ; s = 100 No.varillas N#5 = 7.99 1.99 = 4.02 ; s = 100 4.02 = 25 cm N#4 = 7.99 1.27 = 6.29 ; s = 100 6.29 = 16 cm

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25 Si:

q > qb : Sección sobrereforzada ( falla frágil) q ≤ qb : Sección sobrereforzada (falla dúctil) q ≤ 0.9 qb : Falla dúctil trabes sin sismo q ≤ 0.75 qb : Falla dúctil trabes con sismo qb= Índice de refuerzo balanceado

q= Indice de refuerzo qb= _{6000 ∗fy} 6000 B1 ; B1=0.85 si f*c ≤ 280 kg/ cm² qb= _6000(4200) 6000 (0.85) =0.5 Se propone q= 0.56 : q balanceado qb= 0.56 * 0.5 = 0.28 Mu = MR = FR b d² f”c q (1-0.5 q) 𝑑 = √Mu FR b f′_{c q (1 − 0.5 q)} 𝑑 =_{0.9 x 100 x 0.68 f}√Mu_{′c x 0.28 (1 − 0.14 )} 𝑑 =_{14.80 f}√Mu′_c + 6 cm

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REQUERIMIENTOS ELEMENTALES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE ZAPATAS

Dimensiones (área). Armado ( por flexión)

Especificaciones materiales ( concreto, varilla, agregado) Profundidad de desplante

Especificación de material y relleno Dimensiones y armado del dado. Plantilla

Recubrimiento

Capacidad de carga del suelo. Armado y sección columna. Peralte total de la zapata.

La zapata debe ser revisada ante los siguientes tipos de esfuerzo:  Flexión

 Cortante: Viga ancha y de penetración.

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Problema 2

1. Revisión de datos generales

Datos: F’C= 250 kg / cm2 FY = 4200 kg / cm2 FTU= 40 T / m2 Grupo A  f’c = 1.5 Dado 40 X 40 cm

2. Calculo de carga equivalente

3. Calculo del área de la zapata

𝐴𝑧 =P_fTU

TU =

156

40 = 3.9m2 𝐵 = 𝐿 = √3.9 = 1.97 ≈ 2.00𝑚

4. Cálculo de presión de contacto.

𝑞𝑛𝑢= _BxLPu =_{2 x 2}120 = 30.00 𝑡𝑜𝑛 𝑚� 2 𝑞𝑡𝑢= _BxLPtu=_{2 x 2}156 = 39.00 𝑡𝑜𝑛 𝑚� 2 𝑞𝑡𝑢 = 39.00 𝑡𝑜𝑛 𝑚� 2< 𝑓𝑡𝑢= 40 𝑡𝑜𝑛 𝑚� 2∴ 𝑂𝑘 𝑃𝑢 = 𝐹. 𝑐 × 𝑃𝑈 𝑃𝑢 = 1.5 × 80 = 120 𝑡𝑜𝑛 𝑃𝑇𝑈 = 𝑃𝑇 𝐹′𝑐 𝑃𝑇𝑈 = [80 + (0.30 × 80)] 1.5 = 156 𝑡𝑜𝑛

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5. Calculo del peralte preliminar (d)

𝑀𝑢 =q nu l² 2 = 30 (0.8)2 2 = 9.6 𝑇𝑜𝑛 ∙ 𝑚 𝑑 = √Mu 14.80 f′_{c + 6 cm =14.80 (250) + 6 = 22.10 ≈ 25}√960000 d= 25 cm h= 30 cm

6. Revisión por cortante de penetración

bo= 0.65 X 4 = 2.60 m Perímetro de falla Afalla = 0.65 x 0.65 = 0.42 m² Vѵ = qn ( Az – Afalla ) = 30 (4.0 – 0.42) = 107.4 ton ℧𝑣 =_bVu 0d= 107400 260×25 = 16.51 kg/ cm² V CR = FR �𝑓 ∗ 𝑐 = 0.8 √200 = 11.31 kg/ cm² ℧𝑣 = 16.51_cmkg₂> 𝑉𝐶𝑅= 11.31 kg/ cm² ∴ 𝑵𝒐 𝑷𝒂𝒔𝒂. 𝑺𝒆 𝒂𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒆𝒍 𝒑𝒆𝒓𝒂𝒍𝒕𝒆 𝒂 𝒅 = 𝟑𝟓 bo= 0.75 X 4 = 3.0 m Perímetro de falla Afalla = 0.75 x 0.75 = 0.56 m² Vѵ = qn ( Az – Afalla ) = 30 (4.0 – 0.56) = 103.13 ton ℧𝑣 =_bVu 0d= 103130 300×35 = 9.80 kg/ cm² V CR = FR �𝑓 ∗ 𝑐 = 0.8 √200 = 11.31 kg/ cm² ℧𝑣 = 9.80_cmkg₂< 𝑉𝐶𝑅 = 11.31_cmkg2 ∴ 𝑶𝑲! 𝑺𝒊 𝒑𝒂𝒔𝒂‼!

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7. Revisión por cortante viga ancha.

𝑉𝐶𝑅 = 0.5 × 𝐹𝑅�𝑓∗𝑐 = 0.5 × 0.8 √200 = 5.66 kg/ cm² ℧𝑣 = Vu b0d = 13500 100 × 35 = 3.86 kg/ cm² Vu= qnu ( l – d)= 30 (0.80 – 0.35) (1m) Vu= 13.50 ton ℧𝑣 = 3.86_cmkg₂< 𝑉𝐶𝑅 = 5.66_cmkg2 ∴ 𝑶𝑲! 𝑺𝒊 𝒑𝒂𝒔𝒂‼!

8. Diseño por flexión

As =_{FR Fy z =}Mu _{0.9 x 4200 (0.9 x 35) = 8.06 𝑐𝑚}960000 2

Numero de varillas utilizando del # 4 Nvarilla = Area varilla

As necesaria x 100 ; s = 100 No.varillas N#4 = 8.06 1.27= 10.23 ; s = 100 10.23= 9 cm N#5 = 8.06 1.99= 4.05 ; s = 100 4.05= 24 cm

9. Dibujo y croquis de la Zapata

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2.2 ZAPATAS AISLADAS SUJETAS A CARGA AXIAL Y MOMENTO

Este tipo de zapata empieza ser más complicado ya que las presiones de contacto ya no son uniformes, por la presencia del momento de ahí que dependiendo de la intensidad de este pudiera haber esfuerzos de tensión indesiables en la zapata.

1. Se obtendrá el área de la zapata obteniendo una carga equivalente que produce el momento con la siguiente teoría.

𝑃 𝐴 = 𝑀 𝑆 ∴ 𝑃 = 𝐴 𝑆 𝑀 = 𝛽𝑀 P=1.5 𝑀𝑇 = 𝑀 + 𝑉0𝐹 𝑃0𝑞 = 𝑃𝐸+ 𝑊 + 1.5𝑀𝐸 𝑃0𝑞𝑢= 𝐹. 𝑐 × 𝑃0𝑞 𝐹. 𝑐 = 1.5 𝐺𝑝𝑜. 𝐴 𝐹. 𝑐 = 1.4 𝐺𝑝𝑜. 𝐵 Condición Estática 𝐹 =𝑃_𝐴 𝐹 =𝑀_𝑆

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31 Presiones de contacto

Peso aproximado de la zapata

𝑃𝑒𝑞 = (𝑃𝐸+ 𝑃𝑠) + 𝑊 + 1.5(𝑀𝐸+ 𝑀𝑠) 𝑃𝑒𝑞𝑢= 𝐹. 𝑐 × 𝑃𝑒𝑞

𝐹. 𝑐 = 1.1 Condición Estática + Sismo

𝐴𝑧 =1.4 𝑃𝑒𝑞𝑢_𝐹 𝑇𝑈 𝐵 = 0.6 𝐿 _{𝐿 = �}𝐴𝑧 0.6 𝑊 = 𝐵 × 𝐿 × 𝐷𝐹 × 𝛾𝑝𝑟𝑜𝑚 𝛾 = 2200 𝑘𝑔 𝑚� 3 𝛾 = 1800 𝑘𝑔 𝑚� 3 𝛾 = 2400 𝑘𝑔 𝑚� 3 𝛾 = 2400 𝑘𝑔 𝑚� 3

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32 Para condiciones estáticas.

σ

Resistencia de contacto Para condiciones Estática + Sismo

𝑒 =_𝑃𝑀𝑢 𝑇𝑈 𝐿′_{= 2 �}𝐿 2 − 𝑒� = 𝐿 − 2𝑒 𝑓1 =𝐹. 𝑐. (𝑃_{𝐵 × 𝐿}𝐸+ 𝑤)+𝐹. 𝑐. (𝑀_𝑆 𝑇𝐸)< 𝐹𝑇𝑈 𝑓2=𝐹. 𝑐. (𝑃_{𝐵 × 𝐿}𝐸+ 𝑤)−𝐹. 𝑐. (𝑀_𝑆 𝑇𝐸)< 𝐹𝑇𝑈 𝑆 =𝐵𝐿2 6 = 𝑀𝑂𝐷𝑈𝐿𝑂 𝐷𝐸 𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼Ó𝑁 𝐸𝐿𝐴𝑆𝑇𝐼𝐶𝑂 Max = 0, nunca (-) 𝑓1 =𝐹. 𝑐. (𝑃_{𝐵 × 𝐿}𝐸+ 𝑃𝑆+ 𝑤)+𝐹. 𝑐. (𝑀𝑇𝐸_𝑆+ 𝑀𝑇𝑆)< 𝐹𝑇𝑈 𝑓2=𝐹. 𝑐. (𝑃_{𝐵 × 𝐿}𝐸+ 𝑃𝑆+ 𝑤)−𝐹. 𝑐. (𝑀𝑇𝐸_𝑆+ 𝑀𝑇𝑆)< 𝐹𝑇𝑈

IPN | 33 𝑞𝑇𝑈=𝜎_{𝐵𝐿′ − − − −−> 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒}𝑇𝑈 𝑞𝑛𝑢=_{𝐵𝐿′ − − − −−> 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒}𝜎𝑁 𝑀𝑢𝐿 =𝑞𝑛𝑢𝑙 2 2 Peralte Preliminar:

Revisión por cortante Falla de penetración 10cm s/sismo 15cm c/sismo 𝑀𝑢𝐿 =𝑞𝑛𝑢𝑙 2 2 𝑞𝑇𝑈 =𝑃_𝐵𝐿𝑇𝑈 𝑑 = �_{14.8 𝑓}𝑀𝑢_{′𝑐 +} 10cm s/sismo 15cm c/sismo 𝑉𝑣 = 𝑃𝑢 − 𝑞𝑛𝑢𝐴𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎 Área de la falla

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34 Se debe de revisar si hay transmisión de momento

Cortante como elemento ancho en volados distintos

Si Q < 3 Se trata de un marco no Dúctil. Q = 2

Q = 1.5 Marco no dúctil Q = 1.0

Acero en el lecho superior de la zapata

𝑆𝑖 𝑀𝑢 < 0.20 𝑉𝑢𝑑 → 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑖ó𝑛 ℧𝑣 =_𝑏𝑉𝑢 0𝑑 < 𝐹𝑟 �𝑓 ∗_𝑐 𝑆𝑖 𝑀𝑢 > 0.20 𝑉𝑢𝑑 → 𝑆𝑖 ℎ𝑎𝑦 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑖ó𝑛 ℧𝑣 = 𝑉𝑢 𝑏0𝑑 + 𝛼𝑀𝑢𝐶𝐴𝐵 𝐽𝑐 < 𝐹𝑟 �𝑓∗𝑐 𝛼 = 1 − 1 1 + 0.67�𝐶1+ 𝑑 𝐶2+ 𝑑 𝐽𝑐 =𝑑(𝐶1₆+ 𝑑)3+(𝐶1+ 𝑑)𝑑₆ 3+𝑑(𝐶2+ 𝑑)(𝐶₂ 1+ 𝑑)2→ 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟 𝐶𝐴𝐵 =𝐶1₂+ 𝑑 𝑀𝑢𝐿 =𝑞𝑛𝑢𝑙1 2 2 𝑀𝑢𝐵 = 𝑞𝑛𝑢𝑙22 2 𝐴𝑠𝐿 =_𝐹𝑀𝑈𝐿 𝑅𝐹𝑦𝑍 𝐴𝑠𝐵 = 𝑀𝑈𝐵 𝐹𝑅𝐹𝑦𝑍 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛= �0.7�𝑓′𝑐_𝐹 𝑦 � 𝑏𝑑 ≤ 1.53 𝑏𝑒 𝑍 = 0.85𝑑 𝑍 = 0.90𝑑 𝐴𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑝 = �_𝐹 660 × 1 𝑦(𝑋1+ 100)� × 100 × 1.5 × 1.5 𝐹𝑟 = 0.8 → 𝑠/𝑠𝑖𝑠𝑚𝑜 𝐹𝑟 = 0.7 → 𝑐/𝑠𝑖𝑠𝑚𝑜

IPN |

35

Problema 1

Diseñar una zapata sujeta a carga axial y momento para condición estática mas sismo.

Usar: F’C= 200 kg / cm2 FY = 4200 kg / cm2 FTU= 23 T / m2 Grupo B  f’c = 1.4

Solución

𝐴𝑧 = 2.20 × 3.70 = 8.14 𝑚2 𝑃𝑒𝑞= 𝑃𝐸+ 𝑊 + 1.5𝑀𝐸 𝑃𝑒𝑞= 60 + (0.30 × 60) + 1.5(6.50) 𝑃𝑒𝑞= 87.75 𝑇𝑜𝑛 Condición Estática 𝑃𝑒𝑞= (𝑃𝐸+ 𝑃𝑠) + 𝑊 + 1.5(𝑀𝐸+ 𝑀𝑠) 𝑃𝑒𝑞= (60 + 12) + 0.30(60 + 12) + 1.5(6.5 + 11) 𝑃𝑒𝑞= 119.85 𝑇𝑜𝑛 𝑃𝑒𝑞𝑤= 1.10 𝑃𝑒𝑞 𝑃𝑒𝑞𝑤= 1.10 × 119.825 = 131.84 𝑇𝑜𝑛

Condición Estática + Sismo

Rige 119.85 Ton 𝐴𝑧 =1.4 𝑃𝑒𝑞𝑤_𝐹 𝑇𝑈 𝐴𝑧 =1.4 (131.84)₂₃ 𝐴𝑧 = 8.03 𝑚2 𝐵 = 0.6 𝐿 𝐵 = 0.6 (3.7) 𝐵 = 2.22 ≈ 2.20𝑚 𝐿 = �_{0.6 =}𝐴𝑧 �8.03 0.6 𝐿 = 3.66 ≈ 3.70𝑚 𝑃𝐸= 60 𝑇𝑜𝑛 𝑀𝐸= 6.50 𝑇𝑜𝑛 ∙ 𝑚 𝑃𝑆 = 12 𝑇𝑜𝑛 𝑀𝑆= 11 𝑇𝑜𝑛 ∙ 𝑚 Datos: Dado 65 X 55 cm

IPN |

36 Para condición estática, checamos presiones de contacto con la ecuación de Navier.

Df = 1.20 m  Profundidad de desplante

Peso aproximado de la zapata

Para condiciones estáticas.

𝛾𝑝𝑟𝑜𝑚 = 1.70 𝑇𝑜𝑛 𝑚� 3→ 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑜 𝑊 = 𝐵 × 𝐿 × 𝐷𝐹 × 𝛾𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑊 = 2.20 × 3.70 × 1.20 × 1.70 𝑊 = 16.10 𝑇𝑜𝑛 𝑆 =𝐵𝐿_{6 =}2 2.20 × 3.70₆ 2= 5.02 𝑓1 =𝐹. 𝑐. (𝑃_{𝐵 × 𝐿}𝐸+ 𝑤)+𝐹. 𝑐. (𝑀_𝑆 𝑇𝐸)< 𝐹𝑇𝑈 𝑓1 =1.4(60 + 18)_8.14 +1.4. (6.50)_5.02 = 15.23 𝑇𝑜𝑛 𝑚� 2 𝑓2=𝐹. 𝑐. (𝑃_{𝐵 × 𝐿}𝐸+ 𝑤)−𝐹. 𝑐. (𝑀_𝑆 𝑇𝐸)< 𝐹𝑇𝑈 𝑓2=1.4(60 + 18)_8.14 −1.4. (6.50)_5.02 = 11.61 𝑇𝑜𝑛 𝑚� 2 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 ∴ 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑓1= 15.23Ton_m2 < FTU= 23 Ton m2 −→ OK!!!

IPN |

37 Para condiciones Estática + Sismo

Se bajan las dimensiones del área porque está sobrada

𝐵 = 2.00 𝑚 𝐿 = 3.50 𝑚 𝐴𝑧 = 7.00𝑚2 𝑆 =𝐵𝐿_{6 =}2 2.00 × 3.50₆ 2= 4.08 𝑚3 𝑓1=1.1(60 + 12 + 21.6)_7.00 +1.1(6.5 + 11)_4.08 = 19.42 𝑇𝑜𝑛 𝑚� 2 𝑓2=1.1(60 + 12 + 21.6)_7.00 −1.1(6.5 + 11)_4.08 = 10 𝑇𝑜𝑛 𝑚� 2 ∴ 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑓1= 19.42Ton_m2 < FTU= 23 Ton m2 −→ OK!!! 𝑓1 =𝐹. 𝑐. (𝑃_{𝐵 × 𝐿}𝐸+ 𝑃𝑆+ 𝑤)+𝐹. 𝑐. (𝑀𝑇𝐸_𝑆+ 𝑀𝑇𝑆)< 𝐹𝑇𝑈 𝑓1 =1.1(60 + 12 + 21.6)_8.14 +1.1(6.5 + 11)_5.02 = 16.49 𝑇𝑜𝑛 𝑚� 2 𝑓2=𝐹. 𝑐. (𝑃_{𝐵 × 𝐿}𝐸+ 𝑃𝑆+ 𝑤)−𝐹. 𝑐. (𝑀𝑇𝐸_𝑆+ 𝑀𝑇𝑆)< 𝐹𝑇𝑈 𝑓2=1.1(60 + 12 + 21.6)_8.14 −1.1(6.5 + 11)_5.02 = 8.81 𝑇𝑜𝑛 𝑚� 2 ∴ 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑓1= 16.49Ton_m2 < FTU= 23 Ton m2 −→ OK!!!

IPN |

38 Presiones L’ de contacto uniformes, para condición estática + sismo

𝑒 =𝑀𝑢 𝑃𝑇𝑈= 𝐹. 𝑐. (𝑀𝐸+ 𝑀𝑆) [(𝑃𝐸+ 𝑃𝑆) + 𝑤]𝐹. 𝑐. 𝑒 =_𝑃𝑀𝑢 𝑇𝑈= 1.10(6.5 + 11) [(60 + 12) + 21.60]1.10 = 0.19 𝑚 𝐿′_{= 𝐿 − 2𝑒 = 3.50 − 0.38 = 3.12 𝑚} 𝑞𝑛𝑢=𝑃_{𝐵𝐿′ =}𝑛𝑢 (60 + 12)1.10_2(3.12) = 12.69 𝑇𝑜𝑛 𝑚� 2 𝑞𝑡𝑢 =𝑃_{𝐵𝐿′ =}𝑡𝑢 [(60 + 12) + 21.60]1.10_2(3.12) = 16.50 𝑇𝑜𝑛 𝑚� 2 Peralte Preliminar: 10cm s/sismo 15cm c/sismo 𝑀𝑢𝐿 =𝑞𝑛𝑢𝑙 2 2 = 12.69(1.425)2 2 = 12.88 𝑇𝑜𝑛 ∙ 𝑚 𝑑 = � 𝑀𝑢 14.8 𝑓′_{𝑐 + 10 = �} 1288000 14.8 (200) + 10 = 30𝑐𝑚 d = 30 cm h = 35 cm

IPN |

39 Momento aplicado no de reacción

𝑀𝑢 = (6.5 + 11)(1.10) = 19.25 𝐴𝑐 = 𝑏0𝑑 𝑏0= [2(85) + 2(95)] = 360 𝑐𝑚 𝑏0𝑑 = (360)(30) = 10800𝑐𝑚2 𝑉𝑣 = 𝑃𝑢 − 𝑞𝑛𝑢𝐴𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑉𝑣 = (60 + 12)1.10 − 12.69(0.95 × 0.85) = 68.95 𝑇𝑜𝑛 0.20 𝑉𝑢𝑑 = 0.20(68.95)(0.30) = 4.14 𝑆𝑖 𝑀𝑢 > 0.20 𝑉𝑢𝑑 → 𝑆𝑖 ℎ𝑎𝑦 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑖ó𝑛 𝐿1𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜. 𝑀𝑢 = 19.25 > 0.20 𝑉𝑢𝑑 = 4.14 ℧𝑣 = 𝑉𝑢 𝑏0𝑑 < 𝐹𝑟 �𝑓 ∗_𝑐 Como: ℧𝐴𝐵 = ℧𝑣 =_𝑏𝑉𝑢 0𝑑 + 𝛼𝑀𝑢𝐶𝐴𝐵 𝐽𝑐 < 𝐹𝑟 �𝑓∗𝑐 𝛼 = 1 − 1 1 + 0.67�𝐶1+ 𝑑 𝐶2+ 𝑑 = 1 − 1 1 + 0.67�65 + 30_{55 + 30} = 0.415 𝐽𝑐 =𝑑(𝐶1₆+ 𝑑)3+(𝐶1+ 𝑑)𝑑₆ 3+𝑑(𝐶2+ 𝑑)(𝐶₂ 1+ 𝑑)2 𝐽𝑐 =30(65 + 30)₆ 3+(65 + 30)30₆ 3+30(55 + 30)(65 + 30)₂ 2= 16′221,250 ℧𝐴𝐵 = ℧𝑣 =68950_{10800 +}0.415(1925000)(47.50)_16221250 = 8.72 𝐾𝑔 𝑐𝑚� 2 𝐹𝑟 �𝑓∗_{𝑐 = 0.70�200(0.80) = 8.85 𝐾𝑔 𝑐𝑚} 2 �

IPN | 40 ℧𝐴𝐵 = 8.72 𝐾𝑔 𝑐𝑚� 2< 𝐹𝑟 �𝑓∗𝑐 = 8.85 𝐾𝑔 𝑐𝑚� 2→ 𝑂𝐾‼ ℧𝐴𝐵 < (0.50 + 𝛾)�𝑓∗𝑐 𝛾 =𝐵_{𝐿 =}200_{350 = 0.57} (0.50 + 𝛾)�𝑓∗_{𝑐 = (0.50 + 0.57)√160 = 13.53 𝐾𝑔 𝑐𝑚} 2 � ℧𝐴𝐵= 8.72 𝐾𝑔 𝑐𝑚� 2< 13.53 𝐾𝑔 𝑐𝑚� 2→ 𝑂𝐾 !!

Diseño por flexión Condición más critica 𝑀𝑢= 12.88 𝑇𝑜𝑛 ∙ 𝑚 En la dirección más corta Croquis 𝐴𝑠 =_𝐹𝑀𝑈𝐿 𝑅𝐹𝑦𝑍 = 1288000 (0.9)(4200)(0.9 × 30) = 12.62 𝑐𝑚2 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 #5 =12.62_{1.99 = 6.34 ; 𝑆 =6.34 = 15.77𝑐𝑚}100 𝑀𝑢𝐵 =𝑞𝑛𝑢𝑙 2 2 = 12.69(0.72)2 2 = 3.34 𝑇𝑜𝑛 ∙ 𝑚 𝐴𝑠 =_𝐹𝑀𝑈𝐿 𝑅𝐹𝑦𝑍 = 334000 (0.9)(4200)(0.9 × 30) = 3.27𝑐𝑚2 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 #3 =3.27_{0.71 = 4.60 ; 𝑆 =4.60 = 21.74 𝑐𝑚}100

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41

EJEMPLO 3

Diseñar la siguiente zapata sujeta a carga y momento en dos direcciones: DATOS:

f”c= 300 kg/cm³ Mex= 18 ton · m fy = 4200 kg/cm² Mey= 6 ton · m FTU= 40 ton/m² Psx= 35 ton

Grupo: A Psy= 22 ton Dado 40 x 60 Msx= 20 ton · m Df= 1.80 m Msy= 12 ton · m PE = 85 ton Carga Equivalente Estática Peq= PE + w + 1.50(Mex) + 1.50(Mey) = 85 + 0.3(85) + 1.50(18) + 1.50(6) = 146.50 ton Pequ= 146.50 (1.50)= 219.75 ton Estática más sismo x

Peq= PE + Psx + 0.30 Psy + 0.30w + 1.50(Mex + Msx) + 1.50(Mey + 0.30Msy)

= 85 + 35 + 0.30(22) + 0.30(126.6) + 1.50(18+20) + 1.50(6+0.3(12)) = 235.98 ton

Pequ= 235.98 (1.10) = 259.57 ton

Estática más sismo y

Peq= PE + 0.30 Psx + Psy + 0.30w + 1.50(Mex +0.30 Msx) + 1.50(Mey +Msy)

= 85 + 0.30(35) + 22 + 0.30(117.50) + 1.50(18+0.3(20)) + 1.50(6+12) = 215.75 ton

Pequ= 215.75 (1.10) = 237.36 ton

RIGE Estática más sismo x= 259.57 ton Área de la zapata 𝐴𝑧 =1.40 P_Ftwequ 𝐴𝑧 =1.40 (259.57)₄₀ = 9.08 m² l1 = l2 = −(C1+C2) 4 + ¼ �(𝐶1 + 𝐶2)2− 4((𝐶1 𝑥 𝐶2)𝐴𝑧) l1 = l2 = 1.25 m L= 2 l1 + C1= 2 (1.25) + 0.60 = 3.10 L= 2 l1 + C2= 2 (1.25) + 0.40 = 2.90

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42 Diagrama de flujo para cálculo de zapata aislada

Datos Generales

Cálculo de carga equivalente (3 condiciones). Cálculo del área de la zapata.

Cálculo de presiones máximas de contacto (Navier). Cálculo de presiones uniformes y presiones netas. Cálculo del peralte en función de momento último. Revisión de cortante por penetración.

Revisión de cortante como viga ancha. Cálculo por flexión.

Dibujo y croquis de la zapata. Cálculo de presiones máximas Az= 3.10(2.90) = 8.99 m² 𝑆𝑥 =BL²₆ = 2.90 (3.10₆ 2)= 4.64 𝑆𝑦 =B²L₆ = 2.90²(3.10)₆ = 4.34 W= Az δm Dp = 8.99(1.70)(1.80)= 27.50 ton PTU = (P + W) 1.10= (PE + Psx + 0.30 Psy + w)1.10 PTU = (85 + 35 + 0.3(22) + 27.5) (1.10) = 161.59 ton

MTUX = (Mex + Msx) 1.10 = (18 + 20)(1.10) = 41.80 ton·m

MTUY = (Mey +0.30 Msy) 1.10 = (6 + 0.3(12))(1.10) = 10.56 ton·m

P= PE + Psx + 0.30 Psy = 85 + 35 + 0.30 (22) = 126.60 ton

Pu= 126.60 (1.10) = 139.26 ton Revisión por Navier

𝑓1 =PTU_Az + Mtxu_Sx + Mtuy_Sy

𝑓1 =161.59_8.99 + 41.80_4.64 + 10.56_4.34 = 30.28 ton/m² f1 < FTU

30.28 < 40 OK!!!! Para ver si hay tensiones:

IPN |

43 Cálculo de presiones uniformes

𝑒𝑥 =MTXU_PTu = _2𝑎161.5941.80 = 0.24 𝑒𝑦 =MTXU_PTu = _161.5910.56 = 0.062 L’ = L – 2ex = 3.10 – 2(0.24) = 2.62 m B’ = B – 2 ey = 2.90 – 2(0.062) = 2.77 m A’z= 2.62 (2.77)= 7.25 m² qnu = Pu A´z = 139.26 7.25 = 19.2 ton /m² qTu = PTu A´z = 161.59 7.25 = 23.40 ton /m² Cálculo de peralte 𝑑 =_{14.80 f′c}√Mu + 20

MuL= qnu (l₂ 2) = 15 ton · m

MuB= qnu (l₂ 2) = 15 ton · m

𝑑 =_{14.80 (300)}√1500000 + 20 = 38.3 d= 40 h= 45

Revisión de transmission de momentos Si Mu > 0.2 Vud Si habrá transmisión Vu = Pu – (Afalla x qnu)

Vu = 139.26 – [(0.6 + 0.4)(0.4 + 0.4)] x 19.20 Vu = 123.90 ton

Afalla = (C1 + d) x (C2 + d) = 0.80

0.20 Vud= 0.20 (123.90)(0.40)= 9.90 Mux= 41.80 > 9.90 Si hay transmisión Muy= 10.56 > 9.90 Si hay transmisión

IPN |

44 Cálculo de Vu

𝑉𝑢 =_{bo d}Vu + MTXU ·∝ ·CAB_Jc + MTYU ·Xx ·CCB_Jc 𝐶𝐴𝐵 =C1+d₂ = 0.60+0.40₂ = 0.50 𝐶𝐶𝐵 =C2+d₂ = 0.40+0.40₂ = 0.40 Acr = (bo)(d) = (360) (40) = 14400 𝑉𝑢 =123.90₁₄₄₀₀ + 4180000 (0.42)(50)_23733333 + 1056000(0.37)(40)_23733333 = 12.94 kg/cm² ∝x = 1 - 1 1+0.67 �C1+d_C2+d = 0.42 ∝y = 1 - 1 1+0.67 �C2+d_C1+d = 0.37 Jc = d (C1+d)²₆ + (C1+d)d³₆ + d (C2+d)(C1+d)²₂ Jc = 40 (60+40)²₆ + (60+40)40³₆ + 40(40+40)(60+40)²₂ Jc = 23733333 Vcr= 0.70 �𝑓 ∗ 𝑐 = 0.70 �(0.80)(300) = 10.84 kg/ cm² Vcr= fr (0.50 + δ) �𝑓 ∗ 𝑐 = 0.70 (0.50 + 0.66) �0.80 (300) = 12.58 kg/ cm² RIGE EL MENOR= 10.84 kg/ cm² δ = B/L= 0.40/0.60 = 0.66 Vu > Vcr 12.94 > 10.84 NO PASA Revisión como viga ancha

Vu = qnu (l-d)= 19.20 (1.25-0.45)= 15.36 ton

Vu= _(100)(45)15360 = 3.41 kg/ cm²

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45 = 6.19 kg/ cm²

Como Vu < Vcr PASA Ok!!!!!!!!! Condiciones para revisión como viga ancha 1.- B > 4d = 2.90 > 4 (0.45) = 1.80 Ok!!!!! 2.- h < 60 cm = 50 < 60 Ok!!!!! 3.- _{Vu d}Mu < 2 Donde: Mu = qnu (l−d)²₂ = (19.20)(1.25−0.45)²₂ = 6.14 ton·m Por lo tanto: _{Vu d}Mu = _{(15.36)(0.45)}6.14 = 0.88 < 2 Ok!!!!!! Cálculo por flexión.

AsL= AsB = _{Fr Fy z}Mu = _{(0.9)(4200)(0.9x46)}1500000 = 9.80 cm² Z= 0.85 d

Z= 0.90 d

V#5 @ 20 de ambos lados

IPN |

46

2.3 ZAPATAS NERVADAS

Ejemplo

Diseñar una zapata con nervios, sujeta a carga axial y momento, Grupo B, de acuerdo a los siguientes datos:

Resistencia del terreno 𝑓𝑡𝑢= 13 𝑇𝑜𝑛/𝑚2; la profundidad de desplante Df = 1.60 m. Columna C1 =

50 cm, C2 = 40 cm, f’c = 250 kg/cm2, f*c = 200 kg/cm2, f’’c = 170 kg/cm2, acero Fy = 4200 kg/cm2_. 𝐶𝑀 + 𝐶𝑉 → 𝑃𝐸= 80 𝑇𝑜𝑛, 𝑀𝐸 = 0 𝐶𝑀 + 𝐶𝑉 + 𝐶𝐴 = � _𝑀𝑃𝑆= 0 𝑇𝑜𝑛 𝑆 = 20 𝑇𝑜𝑛 ∙ 𝑚 1) Carga equivalente Condición Estática 𝑃𝑢= 1.4 × 80 = 112 𝑇𝑜𝑛 𝑃𝑒𝑞= 𝑃𝐸+ 𝑊 + 1.5𝑀𝐸 𝑃𝑒𝑞= 80 + (0.30 × 80) + 1.5(0) 𝑃𝑒𝑞= 104 𝑇𝑜𝑛

Condición carga Vertical + Sismo

𝑃𝑒𝑞= (𝑃𝐸+ 𝑃𝑠) + 𝑊 + 1.5(𝑀𝑠)

𝑃𝑒𝑞= (80 + 0) + 0.30(80) + 1.5(0 + 20) 𝑃𝑒𝑞= 134 𝑇𝑜𝑛

𝑃𝑒𝑞𝑢= 1.10 𝑃𝑒𝑞

𝑃𝑒𝑞𝑢= 1.10 × 134 = 147.4 𝑇𝑜𝑛

“Se usará el valor mayor para encontrar el área de la Zapata” 𝑃𝑒𝑞𝑢= 147.4 𝑇𝑜𝑛

DIMENSIONAMIENTO DE LA ZAPATA 𝐴𝑧 =1.2 𝑃𝑒𝑞𝑤_𝐹 𝑇𝑈 𝐴𝑧 =1.2 (147.4)₁₃ 𝐴𝑧 = 13.6 𝑚2 ∴ 𝐴𝑧 = 2.8 × 4.75 = 13.3𝑚2 𝐵 = 0.6 𝐿 𝐵 = 0.6 (4.76) 𝐵 = 2.86 𝑚 ≈ 2.8 𝑚 𝐿 = �𝐴𝑧 0.6 =�13.60.6 𝐿 = 4.76 𝑚 ≈ 4.75𝑚

IPN | 47

2) Presiones de Contacto

𝑊 = 𝐵 × 𝐿 × 𝐷𝐹 × 𝛾𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑊 = 2.80 × 4.75 × 1.60 × 2.00 𝑊 = 42.56 𝑇𝑜𝑛 𝑃𝑢= 𝐹. 𝐶. (𝑃𝐸+ 𝑃𝑆) = 1.1(80 + 0) = 88 𝑇𝑜𝑛 𝑃𝑇 = 𝑃𝐸+ 𝑃𝑆+ 𝑊 = 80 + 0 + 42.56 = 122.56 𝑇𝑜𝑛 𝑃𝑇𝑈= 𝐹. 𝐶. 𝑃𝑇 = 1.1 × 122.56 = 134.82 𝑇𝑜𝑛 𝑀𝑈= 𝐹. 𝐶. (𝑀𝐸+ 𝑀𝑆) = 1.1 (0 + 20) = 22 𝑇𝑜𝑛 ∙ 𝑚 𝑆 =𝐵𝐿2 6 = 2.80 × 4.752 6 = 10.53 𝑚3 𝑓1=𝐹. 𝑐. (𝑃_{𝐵 × 𝐿}𝐸+ 𝑃𝑆+ 𝑤)+𝐹. 𝑐. (𝑀𝑇𝐸_𝑆 + 𝑀𝑇𝑆)< 𝐹𝑇𝑈 𝑓1=134.82_{13.3 +10.53 = 12.22}22 𝑇𝑜𝑛�_𝑚2< 13 𝑇𝑜𝑛 𝑚� 2 𝑓2=𝐹. 𝑐. (𝑃_{𝐵 × 𝐿}𝐸+ 𝑃𝑆+ 𝑤)−𝐹. 𝑐. (𝑀𝑇𝐸_𝑆 + 𝑀𝑇𝑆)< 𝐹𝑇𝑈 𝑓2= 10.13 − 2.09 = 8.04 𝑇𝑜𝑛 𝑚� 2, 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 La presión uniforme equivalente es;

𝑞𝑢=𝑃_{𝐵𝐿′ =}𝑇𝑈 _{2.8(4.43) = 10.86} 134.82 𝑇𝑜𝑛� _𝑚2 𝑞𝑛𝑢=_{𝐵𝐿′ =}𝑃𝑢 _{2.8(4.43) = 7.09} 88 𝑇𝑜𝑛� _𝑚2 𝑒 =_𝑃𝑀𝑢 𝑇𝑈 = 22.00 134.82 = 0.16 𝑚 𝐿′_{= 𝐿 − 2𝑒 = 4.75 − 2 × 0.16 = 4.43 𝑚}

IPN | 48 DISEÑO DE NERVADURAS Área tributaria (AT) 𝐴𝑇1= �2.37 × 2.80₂ � = 3.318 𝑚2→ 𝐴𝑇2 = �1.40 × 4.75₂ � = 3.325 𝑚2∴ 𝑈𝑠𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐴𝑇1 𝑒1= 2.25 ; 𝑒2= 1.275 𝑚.

La carga por nervadura será:

𝑊𝐿= 𝐴𝑇1× 𝑞𝑛𝑢= 3.318 × 7.06 = 23.42 𝑇𝑜𝑛

𝑀𝑢𝐿= 𝑊𝐿× 0.67𝑒1= 23.42 × 0.67(2.25) = 35.32 𝑇𝑜𝑛 ∙ 𝑚 𝑊𝐵 = 𝐴𝑇2× 𝑞𝑛𝑢= 3.325 × 7.06 = 23.47 𝑇𝑜𝑛

𝑀𝑢𝐵= 𝑊𝐵× 0.67𝑒2= 23.47 × 0.67(1.275) = 20.04 𝑇𝑜𝑛 ∙ 𝑚

Despejamos ahora el peralte de la nervadura con el momento mayor 𝑀𝑢𝐿 Suponemos (por ser volado) 𝑏 ≈2𝑒1

30 = 450 30 = 15.00, despejamos b = 25 cm 𝑑 = �_𝐹 𝑀𝑢𝐿 𝑅𝑓′𝑐𝑏𝑞(1 − 0.5𝑞) Donde: 𝑞𝑏 =_{6000 + 4200 = 0.5 ; 𝑞 = 0.75𝑞}6000 × 0.85 𝑏= 0.375 (𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑡𝑟𝑎𝑏𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑚𝑜) Sustituyendo: 𝑑 = �_{0.9 × 25 × 170 × 0.375 × (1 − 0.1875) = 55.05 𝑐𝑚}3532000 ∴ 𝑑 = 55 𝑐𝑚, → ℎ = 60 𝑐𝑚, → 𝑏 = 25 𝑐𝑚, ℎ1= 0.6ℎ = 0.6 × 60 = 36 𝑐𝑚 ≈ 40 𝑐𝑚

IPN |

49 DISEÑO DE LA DE NERVADURA POR FLEXIÓN

a) Dirección larga 𝐴𝑠𝐿 =_𝐹𝑀𝑈𝐿 𝑅𝐹𝑦𝑍 = 3327000 (0.9)(4200)(0.85 × 55) = 18.83 𝑐𝑚2 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =0.70√𝐹𝑐_𝐹 𝑦 𝑏𝑑 = 0.70√250 4200 (25)(55) = 3.62 𝑐𝑚2 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥= 0.375 ×_{4200 × 25 × 55 = 20.87 𝑐𝑚}170 2 ∴ 𝐴𝑠𝐿 → 𝑄𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 #8 =18.83_{5.05 = 3.73 ≈ 4#8, 𝑙𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑏𝑎𝑗𝑜.} 𝐴ʹ𝑠 = 0.5 𝐴𝑠 = 0.5 × 18.33 = 9.16𝑐𝑚2 ≈ 2#8 (10.10 𝑐𝑚2)𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑙𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑜. b) Dirección corta 𝐴𝑠𝐵 =_𝐹𝑀𝑈𝐵 𝑅𝐹𝑦𝑍 = 1729000 (0.9)(4200)(0.85 × 55) = 9.78 𝑐𝑚2 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 #8 =9.78_{5.05 = 1.94 ≈ 2#8, 𝑙𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑏𝑎𝑗𝑜.} 𝐴ʹ 𝑠 = 0.5 𝐴𝑠 = 0.5 × 9.78 = 4.89 𝑐𝑚2 ≈ 2#6 (5.74 𝑐𝑚2)𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑙𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑜.

DISEÑO POR CORTANTE b) Dirección larga 𝑉𝑢𝐿 = 23.42 𝑇𝑜𝑛 𝑊𝑢𝐿=_{0.5𝐿 =}𝑊𝐿 23.42_{2.375 = 9.86}𝑇𝑜𝑛_𝑚 𝑊𝑢𝐿× 𝑑 = 9.86 × 0.55 = 5.43 Cortante de diseño 𝑉𝑢= 𝑉𝑢𝐿− 𝑊𝑢𝐿× 𝑑 = 23.42 − 5.43 = 17.99 𝑇𝑜𝑛 𝑃 =𝐴𝑠_{𝑏𝑑 =25 × 55 = 0.0146 < 0 − 015}20.20 𝑉𝐶𝑅 = 𝐹𝑅(0.20 + 20𝜌)�𝑓 ∗ 𝑐 × 𝑏𝑑 𝑉𝐶𝑅 = 0.85(0.20 + 20 × 0.01476)√200 × 25 × 55 = 7.65 𝑇𝑜𝑛 𝑉𝑢= 17.99 > 7.65 ∴ → 𝑁𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙

IPN | 50 𝑉𝑢− 𝑉𝐶𝑅 = 17.99 − 7.65 = 10.34 𝑇𝑜𝑛 𝑎𝑉= 0.1 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟= 0.1 × 5.05 = 0.51 𝑐𝑚2 𝑎𝑠#3 = 0.71 𝑐𝑚2 𝑆#3=𝐹_𝑉𝑅𝐴𝑣𝐹𝑦𝑑 𝑢− 𝑉𝐶𝑅 = 0.8 × 2 × 0.71 × 4.2 × 55 10.34 = 25.37 𝑐𝑚 1.5𝐹𝑅𝑏𝑑�𝑓 ∗ 𝑐 = 1.5 × 0.8 × 25 × 55√200 = 23.33 𝑇𝑜𝑛 2.5𝐹𝑅𝑏𝑑�𝑓 ∗ 𝑐 = 2.5 × 0.8 × 25 × 55√200 = 38.89𝑇𝑜𝑛 𝐶𝑜𝑚𝑜 7.65 < 17.99 < 23.33; 𝑆𝑚𝑎𝑥=𝑑_{2 =}55_{2 = 27.5 𝑐𝑚 ≈ 27 𝑐𝑚} ∴ → 𝑆 = 25 𝑐𝑚.

c) Cortante Dirección corta 𝑉𝑢𝐵= 23.47 𝑇𝑜𝑛 𝑊𝑢𝐵 =_{0.5𝐵 =}𝑊𝐵 23.47_{1.4 = 16.76}𝑇𝑜𝑛_𝑚 𝑊𝑢𝐵× 𝑑 = 16.76 × 0.55 = 9.22 𝑇𝑜𝑛 Cortante de diseño 𝑉𝑢= 𝑉𝑢𝐵− 𝑊𝑢𝐵× 𝑑 = 23.47 − 9.22 = 14.25 𝑇𝑜𝑛 𝑉𝑢> 𝑉𝐶𝑅 ∴→ 𝑁𝐸𝐶𝐸𝑆𝐼𝑇𝐴 𝑅𝐸𝐹𝑈𝐸𝑅𝑍𝑂 𝑇𝑅𝐴𝑁𝑆𝑉𝐸𝑅𝑆𝐴𝐿 𝑉𝑢− 𝑉𝐶𝑅= 14.25 − 7.65 = 6.6 𝑇𝑜𝑛 𝑆#3=𝐹_𝑉𝑅𝐴𝑣𝐹𝑦𝑑 𝑢− 𝑉𝐶𝑅 = 0.8 × 2 × 0.71 × 4.2 × 55 6.6 = 39.76 𝑐𝑚 7.65 < 14.25 < 23.33 𝑇𝑜𝑛 𝑆𝑚𝑎𝑥=𝑑_{2 =}55_{2 = 27.5 𝑐𝑚} ∴ → 𝑆 = 27 𝑐𝑚.

IPN |

51 DISEÑO DE LA ZAPATA

El más desfavorable

La presión en la zapata se obtienen los coeficientes de porcentaje de carga que se va en cada dirección de la tabla de cuartas potencias ya que trabaja en dos direcciones, por lo tanto: L/B = 2.25/1.275 = 1.76, interpolando entre 1.7 y 1.8 obtenemos C = 0.099, C1 = 0.905

MuL = 7.06 x 0.099 x (2.25 2₎ 2 = 1.796 Ton-m MuB = 7.06 x 0.905 x (1.275 2₎ 2 = 5.19 Ton-m

IPN |

52 =_{14.8 x 250}√529000 + 6 = 17.84 cm

Por lo tanto dejamos d = 20 cm ; h = 25 cm

ARMADO POR FLEXIÓN

=_{0.9 X 4200 X 0.85 X 20}179600 = 2.79 cm² 1.33 x 2.79 = 3.71 cm²

As min = 0.7√250

4200 x 100 x 20 = 5.27 cm²

As máx = 0.47x (170/4200) x 100 x 20 = 38.04 cm²

Por lo tanto queda As L = 3.71 cm²

As B = MUB FR x Fy x Z = 519000 0.9 x 4200 x 0.85 x 20 = 8.07 cm² 5.27 < 8.07 < 38.04 Queda As B = 8.07 cm² N°3= 𝐴𝑠 𝐵_𝑎𝑠 =3.71_0.71 = 5.22 ; S= _5.22100= 19.5 cm = 20 cm # 3 @ 20 N°5= 8.07_1.99= 4.05 ; S= _4.05100= 24.69 = 25 cm # 5 @ 15

IPN |

53 REVISIÓN POR CORTANTE

Como viga ancha dirección larga

La presión de la zapata por trabajar en dos direcciones; entonces el qnu será igual a 6.22 Ton/m²

Vu = Cqnu (l1 – d) = 0.698 (2.25 – 0.20) = 1.43 Ton Vu = _{b x d}Vu = _{100 x 20}1430 = 0.715 kg/cm²; Pasa el cortante M = Cqnu (l1 – d )²₂ = 0.698 (2.25−0.2)²₂ = 1.47 Ton-m As = (100/20) x 0.71 = 3.55 cm² p = _{100 x 20}3.55 = 0.001775 V CR = 0.8 (0.20 + 20(0.001775))√200 = 2.66 kg/cm² Vu < V CR = Esta bien

Como viga ancha dirección corta

Vu = Cqnu (l2 – d) = 0.905 (7.06)(1.275 – 0.20) = 6.86 Ton M = 0.639 (1.275−0.2)²₂ = 3.69 Ton-m M Vd = 3.69 6.86 x 0.2 = 2.71 > 2 As = (100/25) x 1.99 = 7.96 cm² p = _{100 x 20}7.96 = 0.00398 V CR = 0.8 (0.20 + 20(0.00398))√200 = 3.16 kg/cm² Vu = Vu_bd = _{100 x 20}6860 = 3.43 kg / cm²

IPN |

54 Vu ≈ VCR

3.43 ≈ 3.16 kg / cm²

Croquis de armado lado largo

IPN |

55

ZAPATAS CORRIDAS DE CONCRETO

Diseñar una zapata corrida de concreto de un edificio a base de muros de carga de 5 niveles destinado a vivienda, utilizando f ‘c =250 kg/cm2_{, Fy =4200 kg/cm}2_{, F}

TU = 20 Ton/m2. Se usara losa

de vigueta y bovedilla h=20cm los serán de tabique rojo recosido.

1.- Impermeabilizante 5 kg/m

2

2.- Enladrillado 0.02 X 1000 = 32 kg/m

2

3.- Mortero 0.02 X 2000 = 40 kg/m

2

4.- Losa Viga y Bov. 0.19 X 0.65 X 2400 = 296 kg/m

2

5.- Yeso 0.15 X 1300 = 20 kg/m

2

* 0.65 Adicional .

IPN | 56

𝑊 = 5 + 413 = 418 → 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑦 ℎ𝑢𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜

𝑊

𝑎

= 20 + 413 = 433 → 𝑊

𝑆𝐼𝑆𝑀𝑂

𝑊

𝑚𝑎𝑥

= 40 + 413 = 453 → 𝑊

𝑆𝐼𝑆𝑀𝑂

1.- Loseta Vinilica = 8 kg/m

2

2.- Fino 0.01 X 2000 = 20 kg/m

2

3.- Losa = 296 kg/m

2

4.- Yeso = 20 kg/m

2

- Adicional = 20 kg/m

2

364 kg/m

2

𝑊 = 70 + 364 = 434

𝑊

𝑎

= 90 + 364 = 454

𝑊

𝑚𝑎𝑥

= 170 + 364 = 534

𝐴́𝑅𝐸𝐴 𝑇𝑅𝐼𝐵𝑈𝑇𝐴𝑅𝐼𝐴 2.90 × 3.9 = 11.31𝑚2 De acuerdo a la orientación que tengan las viguetas.

IPN | 57

𝐿𝑜𝑠𝑎 5 → (11.31)

�����

𝐿

(0.453)

�����

𝑊𝑎

_{= 5.12 𝑇𝑜𝑛}

𝑀𝑢𝑟𝑜 5 → (2.25)

���

ℎ

(2.90)(0.25)

���������

𝑊𝑚𝑢𝑟𝑜

_{= 1.63 𝑇𝑜𝑛}

𝐿𝑜𝑠𝑎 4 → (11.31)

�����

𝐿

(0.534)

�����

𝑊𝑎

_{= 6.04 𝑇𝑜𝑛}

𝑀𝑢𝑟𝑜 4 → (2.25)

���

ℎ

(2.90)(0.25)

���������

𝑊𝑚𝑢𝑟𝑜

_{= 1.63 𝑇𝑜𝑛}

𝐿𝑜𝑠𝑎 3 → (11.31)

�����

𝐿

(0.534)

�����

𝑊𝑎

_{= 6.04 𝑇𝑜𝑛}

𝑀𝑢𝑟𝑜 3 → (2.25)

���

ℎ

(2.90)(0.25)

���������

𝑊𝑚𝑢𝑟𝑜

_{= 1.63 𝑇𝑜𝑛}

𝐿𝑜𝑠𝑎 2 → (11.31)

�����

𝐿

(0.534)

�����

𝑊𝑎

_{= 6.04 𝑇𝑜𝑛}

𝑀𝑢𝑟𝑜 2 → (2.25)

���

ℎ

(2.90)(0.25)

���������

𝑊𝑚𝑢𝑟𝑜

_{= 1.63 𝑇𝑜𝑛}

𝐿𝑜𝑠𝑎 1 → (11.31)

�����

𝐿

(0.534)

�����

𝑊𝑎

_{= 6.04 𝑇𝑜𝑛}

𝑀𝑢𝑟𝑜 1 → (2.25)

���

ℎ

(2.90)(0.25)

���������

𝑊𝑚𝑢𝑟𝑜

_{= 1.63 𝑇𝑜𝑛}

.

37.43 Ton

1.- Yeso = 13 kg/m

2

2.- Tabique 0.14 X 1000 = 224 kg/m

2

3.- Yeso = 13 kg/m

2

250 kg/m

2

IPN | 58

𝑃 = 37.43 𝑇𝑜𝑛

𝑃𝑢 = 1.40(37.43) = 52.40 𝑇𝑜𝑛

𝑃

𝑇

= 𝑃 + 𝑊 = 37.43 + [0.3(37.43)] = 48.66 𝑇𝑜𝑛

𝑃

𝑇𝑈

= 1.40(48.66) = 68.03 𝑇𝑜𝑛

𝐴

𝑍

=

𝑃

_𝐹

𝑇𝑈 𝑇𝑈

=

68.03

20 = 3.4 𝑚

2

𝐵 =

𝐴

_{𝐿 =}

𝑍

3.4

_{2.9 = 1.17 𝑚 ≈ 1.15 𝑚}

𝐴

𝑍

= (1.15)(2.9) = 3.33 𝑚

2

𝑞

𝑛𝑢

=

𝑃𝑢

_{𝐴𝑧 =}

52.40

_{3.33 = 15.73}

𝑇𝑜𝑛_𝑚2

𝑀

𝑢

=

(15.73) (0.475)

2

2

= 1.77 𝑇𝑜𝑛 𝑚

⁄

𝑑 = �

_{14.8(250) + 6 = 12.92 𝑐𝑚 ≈ 15 𝑐𝑚}

177000

𝑑 = 15 𝑐𝑚 ; ℎ = 20 𝑐𝑚



Solo se revisa cortante como viga ancha

𝑉𝑉 = 𝑞𝑛𝑢(𝑙 − 𝑑) = (15.73)(0.325) = 5.11 𝑇𝑜𝑛 𝜐𝑢=_{𝑏𝑑 =}𝑉𝑉 _{(100)(15) = 3.41} 5110 𝑘𝑔�_𝑐𝑚2

𝑉𝑎𝑑𝑚 = 0.5𝐹𝑅√𝐹 ∗ 𝑐 = 0.5(0.8)√200 = 3.65 𝑘𝑔 𝑐𝑚� 2 𝜐𝑢= 3.41 𝑘𝑔 𝑐𝑚� 2< 𝑉𝑎𝑑𝑚= 3.65 𝑘𝑔 𝑐𝑚� 2

IPN |

59



Revisión por flexión

𝐴𝑠=_𝐹𝑀𝑈𝐿 𝑅𝐹𝑦𝑍 = 177000 (0.9)(4200)(0.9 × 15) = 3.47 𝑐𝑚2 𝐴𝑚𝑖𝑛 =0.7√250_{4200 × 100 × 15 = 3.95 𝑐𝑚}2→ 𝑆𝑒 𝑢𝑠𝑎‼ 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 #3 =3.95_{0.71 = 5.56 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 ; 𝑆 =5.56 = 17.98 𝑐𝑚}100

IPN |

60

Ejemplo de Zapata Corrida

Datos:

F’c = 250 kg/cm

2

Clase 2

Fy = 4200 kg/cm

2

F

TU

= 17 Ton/m

2

Dado 25 X 60

Σ𝑝 = 65 + 65 = 130 𝑇𝑜𝑛 Σ𝑃𝑢 = (130)1.4 = 182 𝑇𝑜𝑛 Σ𝑃𝑇 = Σ𝑃 + 0.30Σ𝑃 = 130 + (0.30 × 130) = 169 𝑇𝑜𝑛 Σ𝑃𝑇𝑈= 169 × 1.4 = 236.6 𝑇𝑜𝑛 𝐴𝑧 =Σ𝑃_𝐹𝑇𝑈 𝑇𝑈 = 236.6 17 = 13.88 𝑚2 𝐵 =𝐴𝑧 𝐿 = 13.88 8 = 1.735 𝑚 = 1.8 𝑚 𝑞𝑛𝑢=Σ_{𝐴𝑧 =}𝑃𝑈 _{1.8(8) = 12.62} 182 𝑇𝑜𝑛� _𝑚2 𝑏 =_{30 =}𝐿 800_{30 = 26.6 𝑐𝑚 ≈ 25 𝑐𝑚} 𝑀𝑢=𝑞𝑛𝑢𝑙 2 2 = 12.64(0.775)2 2 = 3.8 𝑇𝑜𝑛 ∙ 𝑚 𝑑 = �_{14.8 𝑓}𝑀𝑢_{′𝑐 + 6 = �14.8 (250) + 6 = 16.13 𝑐𝑚 ∴ 20 𝑐𝑚}380000

IPN |

61 Revisión por cortante

𝑉𝑢 = 𝑞𝑛𝑢(𝑙 − 𝑑) = (12.64)(0.75 − 0.20) = 7.268 𝑇𝑜𝑛 ℧𝑣 = 𝑉𝑢 𝑏0𝑑 = 7268 (100)(20) = 3.63𝐾𝑔�𝑐𝑚2 𝑉𝐶𝑅 = 0.5 𝐹𝑅�𝑓∗𝑐 = 0.5 (0.8)�250(0.8) = 5.66 𝐾𝑔 𝑐𝑚� 2 Si se disminuye d = 15 cm 𝑉𝑢 = 7.90 𝑇𝑜𝑛 ℧𝑣 = 5.26 𝐾𝑔 𝑐𝑚� 2 ℧𝑣 = 5.26 𝐾𝑔 𝑐𝑚� 2< 𝑉𝐶𝑅= 5.66 𝐾𝑔 𝑐𝑚� 2→ 𝑂𝐾‼

𝑑 = 15 𝑐𝑚 ; ℎ = 20 𝑐𝑚

 Diseño por flexión 𝐴𝑠=_𝐹𝑀𝑈 𝑅𝐹𝑦𝑍 = 380000 (0.9)(4200)(0.9 × 15) = 7.44 𝑐𝑚2 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =0.70√𝐹𝑐_𝐹 𝑦 𝑏𝑑 = 0.70√250 4200 (100)(15) = 3.95 𝑐𝑚2 ∴ 𝑆𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝐴𝑠 = 7.44 𝑐𝑚2  Utilizando varillas # 5 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 #5 =7.44_{1.99 = 3.73 ∴ 4 ; 𝑆 =}100_{4 = 25 𝑐𝑚} 𝐴𝑆 𝑇𝐸𝑀𝑃= 0.0015 𝑏ℎ = 0.0015(100)(20) = 3 𝑐𝑚2 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 #3 =_{0.71 = 4.22 ; 𝑆 =}3 _{4.22 = 23.70 𝑐𝑚}100

IPN | 62



Calculo de contratrabe

𝑊 = 𝑞

𝑛𝑢

𝐵 = 12.64(1.80) = 22.75 𝑇𝑜𝑛 𝑚

�

𝑉𝑣 = 𝑅 =

𝑤𝑙

_{2 =}

22.75(8)

₂

_{= 91 𝑇𝑜𝑛 𝑚}

�

𝑀

𝑚á𝑥

=

𝑤𝑙

2

8 =

22.75(8)

2

8

= 182 𝑇𝑜𝑛 ∙ 𝑚

→Como viga articulada, en la realidad en un marco.

𝑑 = �_{14.8 𝑏𝑓}𝑀 _{′𝑐 = �14.8 (25)(250) = 140.27 𝑐𝑚 ∴ 140 𝑐𝑚 ≈ 1.40 𝑚}18200000 𝐴𝑠=_𝐹𝑀𝑈 𝑅𝐹𝑦𝑍 = 18200000 (0.9)(4200)(0.9 × 140) = 38.21 𝑐𝑚2→ 𝑅𝑖𝑔𝑒‼ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =0.70√𝐹𝑐_𝐹 𝑦 𝑏𝑑 = 0.70√250 4200 (25)(140) = 9.22 𝑐𝑚2 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 #10 =38.21_{7.94 = 4.81 ∴ 5 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 #10}

IPN | 63 ∅8= 3.175 12∅ = 3.175 × 12 = 38.10 ≈ 40𝑐𝑚

𝑑 = 140 𝑐𝑚 ; ℎ = 145 𝑐𝑚

3 4 ℎ = 3 4 × 145 = 108.75 ≈ 110 𝑐𝑚

→Trabe doblemente armada: Es cuando se mete acero en zona de compresión para ayudar y equilibrar el par.

𝑑 × 𝑊𝑛𝑢= 22.75 (1.40) = 31.85 𝑇𝑜𝑛

𝑉𝑑𝑢 = 91 − 31.8 = 59.15 𝑇𝑜𝑛 → 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜

 Calculo de Cuantía de acero.

𝜌 =𝐴𝑠_{𝑏𝑑 =(25 × 140) = 0.0068}23.76 𝐴𝑠 3#10 = 7.92 × 3 = 23.76 𝑐𝑚2_{→ 𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛} 𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝐿_{ℎ ≥ 5 →} 𝐿_{ℎ =}800_{145 = 5.52} 𝜌 < 0.015 → 𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 2.5.1.1 𝜐𝐶𝑅= 𝐹𝑅𝑏𝑑[0.2 + 20𝜌]�𝑓∗𝑐 𝜐𝐶𝑅= 0.8 × 25 × 140[0.2 + 20(0.0068)]√200 = 13304𝑘𝑔 ≈ 13.304 𝑇𝑜𝑛

IPN |

64



Separación de refuerzo transversal

𝑆 =𝐹𝑅∆_𝑉𝑣𝐹𝑦𝑑 𝑆𝑅 Con # 4

∆𝑣= 2.54

𝑉𝑆𝑅 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝐶𝑅 = 59.15 − 13.304 = 45.85 𝑇𝑜𝑛

Vu max (Sección 2.5.2.4) máximo que puede tomar el estribo

2.5𝐹𝑅𝑏𝑑�𝑓∗𝑐 = 2.5 × 0.8 × 25 × 140 × √200 = 98990 𝐾𝑔 ≈ 98.99 𝑇𝑜𝑛 𝑆 =𝐹𝑅∆_𝑉𝑣𝐹𝑦𝑑

𝑆𝑅 =

(0.8)(2.54)(4200)(140)

45 850 = 26 𝑐𝑚 ∴ # 4 @ 26 𝑐𝑚



Separación de estribos en extremos Secc. (2.5.2.3. b y c)

𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑉𝑣 < 1.50𝐹𝑟𝑏𝑑�𝑓 ∗ 𝑐 →

𝑑

₂

𝑉𝑣 > 1.50𝐹𝑟𝑏𝑑�𝑓 ∗ 𝑐 →

𝑑

₄

→ 1.5 × 0.80 × 25 × 140 × √200 = 59.39 𝑇𝑜𝑛

𝑆𝑚𝑎𝑥=

𝑑

_{2 =}

140

_{2 = 70 𝑐𝑚 ∗ 𝑃𝑒𝑟𝑜 𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑚𝑒𝑛𝑑𝑎𝑏𝑙𝑒}

𝑆𝑚𝑎𝑥= 30 𝑐𝑚

𝑉𝑣 = 59.15 < 59.39

*Nota: Sección 2.5.1 NTC Concreto

Si h > 70 cm

VCR afectada por: 1 − 0.004(ℎ − 700) … … 𝑒𝑐. 2.18 → min. 0.80 y máx. 1.00 *Nota: 𝑆𝑖 𝐿_{ℎ ≥ 5 ; 𝜌 → 𝑒𝑐. 2.19 𝑎 2.20} 𝑆𝑖 𝐿_{ℎ < 4 ; 𝜌 → 𝑃𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙} Y 𝑉𝐶𝑅

=

�0.5𝐹𝑟𝑏𝑑�𝑓 ∗ 𝑐� �3.5 − 2.5_𝑉𝑑𝑀�

IPN |

65



Diseño por flecha

Clase II

𝐸𝑐 = 8000√250 = 1.20 × 10

5

𝑘𝑔

𝑐𝑚

2

𝐸𝑠 = 2 × 10

6

𝑘𝑔

𝑐𝑚

2

𝑛 =

𝐸𝑠

𝐸𝑐 =

2 × 10

6

1.20 × 10

5

= 17

(𝑛 − 1) = 6

𝐻 = 145 ; 𝑑

′

_{= 4 ; 𝐵 = 25}



Calculo de ubicación del eje neutro

5 # 10

𝐴𝑠 = 39.70 𝑐𝑚

2

_{𝑛𝐴𝑠 = 674.90}

2#10

𝐴

′

_{𝑠 = 15.88 (𝑛 − 1)𝐴}

′

_{𝑠 = 254.08}

𝑛𝐴𝑠(𝑑 − 𝑐) =

𝑏𝑐

_{2 +}

2

(𝑛 − 1)𝐴

′

_{𝑠(𝑐 − 𝑑}

′

_{) + ΣM}

EN

674.90(140 − 𝑐) =

25𝑐

_{2 + 254.08}

2

(𝑐 − 4)

(94486 − 674.9𝑐) = 12.5𝑐

2

_{+ 254.08(𝑐 − 4)}

(94486 − 674.9𝑐) = 12.5𝑐

2

_{+ 254.08𝑐 − 1016.32}

IPN |

66

12.5𝑐

2

_{+ 928.98𝑐 − 95502.32 = 0}

𝑐 = 57.81 𝑐𝑚



Calculo del momento de inercia de la sección transformada agrietada

𝑛𝐴𝑠(𝑑 − 𝑐)

2

_{= 674.90(140 − 57.81)}

2

_{= 4559081.848}

𝑏𝑐

3

12 + 𝑏𝑐 �

𝑐

2�

2

=

𝑏𝑐

_{3 = 1610006.621}

3

(𝑛 − 1)𝐴

′

_{𝑠(𝑐 − 𝑑}

′

₎

2

_{= 254.08(57.81 − 4)}

2

_{= 735 692}

𝐼 = 4559081 + 1610006 + 735692 = 6904781

𝑊𝑢 = 22.75 𝑇𝑜𝑛/𝑚

𝑊 =

22.75

_{1.4 = 16.25}

𝑇𝑜𝑛

_𝑚

𝐴𝑖 =

₃₈₄

5

𝑤𝑙

_{𝐸𝐼 =}

4

_{384(1.2 × 10}

5(0.60)(162.5)(800)

₅

_{)(6.9 × 10}

4₆

_{) = 0.63𝑐𝑚}

∆𝑐 =

0.40

_{0.60 × 0.63 = 0.42 → 𝐹𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎}



Flecha Diferida

∆𝑑 = 0.63 �

_{1 + 50𝑝}

4

_′

�

𝑝

′

₌

𝐴

′

𝑠

𝑏𝑑 =

15.88

25 × 140 = 0.0045

∆𝑑 = 0.63 �

_{1 + 50(0.0045)� = 2.06}

4



Flecha Total

∆

𝑇

= ∆𝑖 + ∆𝑐 + ∆𝑑 = 0.63 + 0.42 + 2.05 = 3.11

∆

𝑎𝑑𝑚

=

_{240 + 0.50 =}

𝐿

800

_{240 + 0.50 = 3.83 𝑐𝑚}

𝐿

480 + 0.30 → 𝑆𝑖 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑚𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛

3.11 < 8.83 → OK!!!

IPN |

67

Ec Deformación del concreto por trabajo (Unitaria X Compresión)

Ecc Deformación por contracción

Eccc Deformación por flujo plástico

𝐼

𝑎𝑔𝑟

=

𝐼1+𝐼₃2+𝐼3

IPN | 68

Ejemplo 2

Σ𝑝 = 75 45(6) − 75 𝑥 = 0 𝑥 = 3.6 2(3.6) = 7.2 Grupo A Σ𝑝 = 75 𝑃𝑢 = (75)1.5 = 112.5 𝑇𝑜𝑛 𝑃𝑇 = 𝑃 + 0.30𝑃 = 75 + (0.30 × 75) = 97.5 𝑇𝑜𝑛 𝑃𝑇𝑈= 97.5 × 1.5 = 146.25 𝑇𝑜𝑛 𝐴 =𝑃𝑇𝑈 𝐹𝑇𝑈 = 146.25 25 = 5.85𝑚2 𝐵 =𝐴_{𝐿 =}5.85_{7.2 = 0.81 𝑚 = 1.0 𝑚} 𝑞𝑛𝑢=Σ_{𝐴𝑧 =}𝑃𝑈 _7.2𝑚112.5₂= 15.60 𝑇𝑜𝑛 𝑚� 2 𝑏 =_{30 =}𝐿 720_{30 = 25 𝑐𝑚} 𝑀𝑢=𝑞𝑛𝑢𝑙 2 2 = 15.6(0.375)2 2 = 1.09 𝑇𝑜𝑛 ∙ 𝑚 𝑑 = � 𝑀𝑢 14.8 𝑓′_{𝑐 + 6 = �} 109000 14.8 (250) + 6 = 11.5 𝑐𝑚 ∴ 15 𝑐𝑚 ℎ = 𝑑 + 5 = 15 + 5 = 20 𝑐𝑚 𝑉𝑢 = 𝑞𝑛𝑢(𝑙 − 𝑑) = (15.6)(0.375 − 0.15) = 3.51 𝑇𝑜𝑛 ℧𝑣 =_𝑏𝑉𝑢 0𝑑 = 3500 (100)(15) = 2.33𝐾𝑔�𝑐𝑚2 𝑉𝐶𝑅 = 0.5 𝐹𝑅�𝑓∗𝑐 = 0.5 (0.8)√200 = 5.66 𝐾𝑔 𝑐𝑚� 2 ℧𝑣 = 2.33 𝐾𝑔 𝑐𝑚� 2< 𝑉𝐶𝑅 = 5.66 𝐾𝑔 𝑐𝑚� 2→ 𝑂𝐾‼

IPN | 69

CALCULO DE CONTRATRABE

𝑊 = 𝑞

𝑛𝑢

𝐵 = 15.63 𝑇𝑜𝑛 𝑚

�

𝐴𝑠=_𝐹𝑀𝑈 𝑅𝐹𝑦𝑍 = 109000 (0.9)(4200)(0.9 × 15) = 2.14 𝑐𝑚2 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛=0.70√𝐹𝑐_𝐹 𝑦 𝑏𝑑 = 0.70√250 4200 (100)(15) = 3.95 𝑐𝑚2 ∴ 𝑆𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 3.95 𝑐𝑚2 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 #3 =3.95_{0.71 = 5.56 ∴ 6 ; 𝑆 =}100_{6 = 16.6 𝑐𝑚 ∴ 15 𝑐𝑚} 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 #4 =3.95 1.27 = 3.11 ∴ 4 ; 𝑆 = 100 4 = 25 𝑐𝑚

IPN |

70

Calculo de elementos mecánicos

Diagrama de momentos

Tramo A – B

𝑀 = 45𝑥 −

𝑤𝑥

₂

2

X

M

0

0

1

37.5

1.5 49.92

2.0 58.74

2.5 63.66

3.0 64.67

3.5 61.76

4.0 54.96

4.5 44.24

5.0 29.63

6.0 -11.3

Tramo B - C

𝑀 = 45(𝑥 + 6) − 𝑊(𝑥 + 6) �

𝑥 + 6

_{2 � + 67.5 𝑥}

X

M

0

-11.3

0.2 -7.91

0.4

-5.1

0.6

-2.92

0.8

-1.36

1.0

-0.43

1.2

-0.13

IPN | 71

Diagrama de cortante

Tramo A – B

𝑉 = − 45 − 𝑤𝑥

X

V

0

-45

1

-29.37

2.0 -13.74

2.5

-5.93

3.0

1.89

3.5

9.7

4.0 17.52

5.0 33.15

6.0 48.78

Tramo B - C

𝑉 = −18.72 + 𝑥𝑤

X

V

0

-18.75

0.2 -15.59

0.4 -12.96

0.6

-9.34

0.8

-6.22

1.0

-3.09

1.2

-0.04