TECNICAS DE CONTEO
TECNICAS DE CONTEO
TECNICAS DE CONTEO
TECNICAS DE CONTEO
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Cuando se trata de contar las posibilidades
Cuando se trata de contar las posibilidades
Cuando se trata de contar las posibilidades
Cuando se trata de contar las posibilidades
en una moneda....fácil, pero y si es algo
en una moneda....fácil, pero y si es algo
en una moneda....fácil, pero y si es algo
en una moneda....fácil, pero y si es algo
más complicado que una moneda... ?
más complicado que una moneda... ?
más complicado que una moneda... ?
más complicado que una moneda... ?
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Supongamos que la señora que nos hace
Supongamos que la señora que nos hace
Supongamos que la señora que nos hace
Supongamos que la señora que nos hace
el favor de vendernos el almuerzo
el favor de vendernos el almuerzo
el favor de vendernos el almuerzo
el favor de vendernos el almuerzo
solamente sabe cocinar 4 tipos de sopas
solamente sabe cocinar 4 tipos de sopas
solamente sabe cocinar 4 tipos de sopas
solamente sabe cocinar 4 tipos de sopas
( sopa con verduras, de pasta, de arroz y
( sopa con verduras, de pasta, de arroz y
( sopa con verduras, de pasta, de arroz y
( sopa con verduras, de pasta, de arroz y
de plátano), además sólo sabe hacer 3
de plátano), además sólo sabe hacer 3
de plátano), además sólo sabe hacer 3
de plátano), además sólo sabe hacer 3
tipos de platos fuertes (con frijoles, con
tipos de platos fuertes (con frijoles, con
tipos de platos fuertes (con frijoles, con
tipos de platos fuertes (con frijoles, con
lentejas y con verduras), sabe hacer
lentejas y con verduras), sabe hacer
lentejas y con verduras), sabe hacer
lentejas y con verduras), sabe hacer
además postre de natas, de guayaba y
además postre de natas, de guayaba y
además postre de natas, de guayaba y
además postre de natas, de guayaba y
fresa y sólo da agua con
fresa y sólo da agua con el almuerzo.
el almuerzo.
fresa y sólo da agua con
Entonces las posibilidades son :
Entonces las posibilidades son :
1. sopa de verduras con frijoles, postre de natas y agua
1. sopa de verduras con frijoles, postre de natas y agua
2. sopa de verduras con lentejas, postre de natas y agua
2. sopa de verduras con lentejas, postre de natas y agua
3. sopa de verduras con verduras, postre de natas y agua
3. sopa de verduras con verduras, postre de natas y agua
4. sopa de pasta con frijoles, postre de natas y agua
4. sopa de pasta con frijoles, postre de natas y agua
5. sopa de pasta con lentejas, postre de natas y agua
5. sopa de pasta con lentejas, postre de natas y agua
6. ...
6. ...
etc., etc, etc...
etc., etc, etc...
Alguno dirá : ¡Cambie de restaurante ! (tiene razón)... y otros
Alguno dirá : ¡Cambie de restaurante ! (tiene razón)... y otros
observarán todas las posibles variaciones que se pueden generar
observarán todas las posibles variaciones que se pueden generar
aún siendo tan pequeño el menú, sólo enunciamos 5 de 36
aún siendo tan pequeño el menú, sólo enunciamos 5 de 36
posibilidades para el almuerzo de hoy. Por lo tanto, no es fácil
posibilidades para el almuerzo de hoy. Por lo tanto, no es fácil
hacer el conteo para todas esas variaciones y más si se hace una
hacer el conteo para todas esas variaciones y más si se hace una
por una. Por ello existen técnicas que sin duda facilitan
por una. Por ello existen técnicas que sin duda facilitan
¿QU
¿QU
É PO
É PO
ADE
ADE
S D
S D
E ALMU
E ALMU
ZO T
ZO T
S P
S P
ARA
ARA
HO
LISTAS
LISTAS
LISTAS
LISTAS
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•
Una lista es una sucesión ordenada de objetos, se
Una lista es una sucesión ordenada de objetos, se
Una lista es una sucesión ordenada de objetos, se
Una lista es una sucesión ordenada de objetos, se
escriben entre paréntesis y separando los
escriben entre paréntesis y separando los
escriben entre paréntesis y separando los
escriben entre paréntesis y separando los
elementos por comas. Por ejemplo la lista
elementos por comas. Por ejemplo la lista
elementos por comas. Por ejemplo la lista
elementos por comas. Por ejemplo la lista
(1,2,3,Ζ) es una lista cuyo primer elemento es el 1,
(1,2,3,Ζ) es una lista cuyo primer elemento es el 1,
(1,2,3,Ζ) es una lista cuyo primer elemento es el 1,
(1,2,3,Ζ) es una lista cuyo primer elemento es el 1,
el segundo el 2, el
el segundo el 2, el tercer elemento es el 3 y el
tercer elemento es el 3 y el
el segundo el 2, el tercer elemento es
el segundo el 2, el tercer elemento es
el 3 y el
el 3 y el
cuarto elemento es el conjunto de los números
cuarto elemento es el conjunto de los números
cuarto elemento es el conjunto de los números
cuarto elemento es el conjunto de los números
enteros.
enteros.
enteros.
enteros.
•
•
El orden en que aparecen los elementos en una
El orden en que aparecen los elementos en una
El orden en que aparecen los elementos en una
El orden en que aparecen los elementos en una
lista es de suma importancia, así la lista (2,4,6) es
lista es de suma importancia, así la lista (2,4,6) es
lista es de suma importancia, así la lista (2,4,6) es
lista es de suma importancia, así la lista (2,4,6) es
diferente de la lista (6,4,2) y de la
diferente de la lista (6,4,2) y de la lista (4,2,6) sin
lista (4,2,6) sin
diferente de la lista (6,4,2) y de la
diferente de la lista (6,4,2) y de la
lista (4,2,6) sin
lista (4,2,6) sin
importar que los elementos sean
importar que los elementos sean los mismos.
los mismos.
importar que los elementos sean los
importar que los elementos sean los
mismos.
mismos.
•
•
Los elementos en una lista pueden repetirse como
Los elementos en una lista pueden repetirse como
Los elementos en una lista pueden repetirse como
Los elementos en una lista pueden repetirse como
en (2,2,3).
en (2,2,3).
en (2,2,3).
en (2,2,3).
•
•
La longitud de una lista es la
La longitud de una lista es la
La longitud de una lista es la
La longitud de una lista es la cantidad de
cantidad de
cantidad de
cantidad de
elementos que tiene la lista, así en todos los
elementos que tiene la lista, así en todos los
elementos que tiene la lista, así en todos los
elementos que tiene la lista, así en todos los
ejemplos anteriores la longitud es de tres,
ejemplos anteriores la longitud es de tres,
ejemplos anteriores la longitud es de tres,
ejemplos anteriores la longitud es de tres,
mientras que la lista (2,4,6,8) tiene una longitud
mientras que la lista (2,4,6,8) tiene una longitud
mientras que la lista (2,4,6,8) tiene una longitud
mientras que la lista (2,4,6,8) tiene una longitud
de cuatro.
de cuatro.
de cuatro.
Conteo de listas de dos
Conteo de listas de dos
Conteo de listas de dos
Conteo de listas de dos
elementos o par ordenado.
elementos o par ordenado.
elemento
elemento
s o par ordenado.
s o par ordenado.
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•
Ejemplo.
Ejemplo.
Ejemplo.
Ejemplo.
Se desea hacer una lista de
Se desea hacer una lista de
Se desea hacer una lista de
Se desea hacer una lista de
dos elementos, en los lugares de la
dos elementos, en los lugares de la
dos elementos, en los lugares de la
dos elementos, en los lugares de la
lista pueden estar cualquiera de los
lista pueden estar cualquiera de los
lista pueden estar cualquiera de los
lista pueden estar cualquiera de los
dígitos 2, 4, 6 o
dígitos 2, 4, 6 o 8. ¿Cuántas listas con
8. ¿Cuántas listas con
dígitos 2, 4, 6 o
dígitos 2, 4, 6 o
8. ¿Cuántas listas con
8. ¿Cuántas listas con
estas características son posibles?.
estas características son posibles?.
estas características son posibles?.
estas características son posibles?.
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La forma más directa de
La forma más directa de
La forma más directa de
La forma más directa de responder es
responder es
responder es
responder es
escribiendo todas las posibilidades:
escribiendo todas las posibilidades:
escribiendo todas las posibilidades:
escribiendo todas las posibilidades:
•
•
(2,2)(2,4)(2,6)(2,8)(4,2)(4,4)(4,6)(4,8)(6,2
(2,2)(2,4)(2,6)(2,8)(4,2)(4,4)(4,6)(4,8)(6,2
(2,2)(2,4)(2,6)(2,8)(4,2)(4,4)(4,6)(4,8)(6,2
(2,2)(2,4)(2,6)(2,8)(4,2)(4,4)(4,6)(4,8)(6,2
)(6,4)(6,6)(6,8)(8,2)(8,4)(8,6)(8,8)
)(6,4)(6,6)(6,8)(8,2)(8,4)(8,6)(8,8)
)(6,4)(6,6)(6,8)(8,2)(8,4)(8,6)(8,8)
)(6,4)(6,6)(6,8)(8,2)(8,4)(8,6)(8,8)
•
Vamos a generalizar más este ejemplo. Se desea conocer la
Vamos a generalizar más este ejemplo. Se desea conocer la
cantidad de listas posibles de do
cantidad de listas posibles de do
s elementos donde haya
s elementos donde haya
nnelecciones posibles para cada elemento de la lista. Ahora
elecciones posibles para cada elemento de la lista. Ahora
supongamos que los elementos posibles son los enteros
supongamos que los elementos posibles son los enteros
pares desde
pares desde
el 2 al n. Igual que antes, organizamos todas l
el 2 al n. Igual que antes, organizamos todas l
as listas posibles en
as listas posibles en
una tabla:
una tabla:
(n,n)
(n,n)
(n,6)
(n,6)
(n,4)
(n,4)
(n,2)
(n,2)
:
:
:
:
:
:
:
:
.
.
.
.
.
.
.
.
(6,n)
(6,n)
(6,6)
(6,6)
(6,4)
(6,4)
(6,2)
(6,2)
(4,n)
(4,n)
(4,6)
(4,6)
(4,4)
(4,4)
(4,2)
(4,2)
(2,n)
(2,n)
(2,6)
(2,6)
(2,4)
(2,4)
(2,2)
(2,2)
La primera fila contiene todas las l
La primera fila contiene todas las l
istas que comienzan con 2, la
istas que comienzan con 2, la
segunda fila las listas que comienzan con 4 y así sucesivamente. Hay
segunda fila las listas que comienzan con 4 y así sucesivamente. Hay
en total n filas y n
en total n filas y n
columnas, ya que para renglón o fila hay n l
columnas, ya que para renglón o fila hay n l
istas.
istas.
Por consiguiente hay n x n= n
Por consiguiente hay n x n= n
22listas posibles.
listas posibles.
Hay n filas o renglones (con el pri
Hay n filas o renglones (con el pri
mer elemento igual en cada una de
mer elemento igual en cada una de
las listas), y cada fil
las listas), y cada fil
a contiene m listas. Por consiguiente la cantidad
a contiene m listas. Por consiguiente la cantidad
de listas posibles es:
de listas posibles es:
m
m
+
+
m
m
+
+
m
m
+...+
+...+
m
m
=
=
m
m
X
X
n
n
n
n
veces
veces
Principio de Multiplicación:
Principio de Multiplicación:
Consideremos listas de dos elementos
Consideremos listas de dos elementos
en las que hay
en las que hay
nnopciones para la primera posición, y cada opción del
opciones para la primera posición, y cada opción del
primer elemento tiene
primer elemento tiene
mmopciones para el segundo elemento.
opciones para el segundo elemento.
Entonces la cantidad de estas listas es de
EJEMPLOS
EJEMPLOS
E
E
JEMPLOS
JEMPLOS
•
•
Ejemplo 1:Ejemplo 1:Ejemplo 1:Ejemplo 1:•
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Las iniciales de una persona (suponiendo que sólo nosLas iniciales de una persona (suponiendo que sólo nosLas iniciales de una persona (suponiendo que sólo nosLas iniciales de una persona (suponiendo que sólo nosinteresa el primer nombre así tenga segundo nombre) son las interesa el primer nombre así tenga segundo nombre) son las interesa el primer nombre así tenga segundo nombre) son las
interesa el primer nombre así tenga segundo nombre) son las
listas formadas por las iniciales de su nombre y su apellido listas formadas por las iniciales de su nombre y su apellido listas formadas por las iniciales de su nombre y su apellido
listas formadas por las iniciales de su nombre y su apellido
(primer apellido). Por ejemplo las iniciales del autor son WC. (primer apellido). Por ejemplo las iniciales del autor son WC. (primer apellido). Por ejemplo las iniciales del autor son WC.
(primer apellido). Por ejemplo las iniciales del autor son WC.
•
•
a. ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales de lasa. ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales de lasa. ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales de lasa. ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales de las personas?personas? personas?
personas?
•
•
b. ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales en lasb. ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales en lasb. ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales en lasb. ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales en las que las dos letras sean distintas? (Por ejemplo CC deque las dos letras sean distintas? (Por ejemplo CC de que las dos letras sean distintas? (Por ejemplo CC de
que las dos letras sean distintas? (Por ejemplo CC de
Carmen Cardona no se permitiría). Carmen Cardona no se permitiría). Carmen Cardona no se permitiría).
Carmen Cardona no se permitiría).
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•
Para contestar la pregunta y omitiendo la ch (Chavo oPara contestar la pregunta y omitiendo la ch (Chavo oPara contestar la pregunta y omitiendo la ch (Chavo oPara contestar la pregunta y omitiendo la ch (Chavo o Chávez), la Ll por ser letras dobles y deseamos sólo dos Chávez), la Ll por ser letras dobles y deseamos sólo dos Chávez), la Ll por ser letras dobles y deseamos sólo dosChávez), la Ll por ser letras dobles y deseamos sólo dos
iniciales,y la ñ y con un alfabeto al estilo inglés de 26 letras iniciales,y la ñ y con un alfabeto al estilo inglés de 26 letras iniciales,y la ñ y con un alfabeto al estilo inglés de 26 letras
iniciales,y la ñ y con un alfabeto al estilo inglés de 26 letras
tendremos estos 26 elementos para la primera posición de tendremos estos 26 elementos para la primera posición de tendremos estos 26 elementos para la primera posición de
tendremos estos 26 elementos para la primera posición de
cada lista y así mismo 26 opciones para la segunda posición, cada lista y así mismo 26 opciones para la segunda posición, cada lista y así mismo 26 opciones para la segunda posición,
cada lista y así mismo 26 opciones para la segunda posición,
luego hay
luego hay 262 262 = 676 = 676 listas posibles (o en listas posibles (o en el caso deel caso de luego hay
luego hay 262 262 = 676 = 676 listas posibles (o en listas posibles (o en el caso deel caso de
considerar la ñ 272 =729 listas posibles). considerar la ñ 272 =729 listas posibles). considerar la ñ 272 =729 listas posibles).
considerar la ñ 272 =729 listas posibles).
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•
b. La segunda pregunta pide la cantidad de listas de dosb. La segunda pregunta pide la cantidad de listas de dosb. La segunda pregunta pide la cantidad de listas de dosb. La segunda pregunta pide la cantidad de listas de dos elementos, habiendo 26 opciones para el primer elemento elementos, habiendo 26 opciones para el primer elemento elementos, habiendo 26 opciones para el primer elementoelementos, habiendo 26 opciones para el primer elemento
(n=26) y para cada una de ellas, 25 opciones para el segundo (n=26) y para cada una de ellas, 25 opciones para el segundo (n=26) y para cada una de ellas, 25 opciones para el segundo
(n=26) y para cada una de ellas, 25 opciones para el segundo
(m=25). Por consiguiente hay 26 x 25 listas (nm listas (m=25). Por consiguiente hay 26 x 25 listas (nm listas (m=25). Por consiguiente hay 26 x 25 listas (nm listas
(m=25). Por consiguiente hay 26 x 25 listas (nm listas
posibles). posibles). posibles).
Ejemplo 2:
Ejemplo 2:
Un club tiene 15 miembros. Desean elegir un
Un club tiene 15 miembros. Desean elegir un
presidente y alguien más como vicepresidente.
presidente y alguien más como vicepresidente.
¿De cuántas formas pueden llenarse esos cargos?
¿De cuántas formas pueden llenarse esos cargos?
Al reformular la pregunta como una de conteo de
Al reformular la pregunta como una de conteo de
listas, tenemos: ¿Cuántas listas de dos elementos
listas, tenemos: ¿Cuántas listas de dos elementos
se pueden formar en las que dos elementos sean
se pueden formar en las que dos elementos sean
personas seleccionada
personas seleccionada
s de un total de
s de un total de
15
15
candidatos y que la misma persona no se
candidatos y que la misma persona no se
seleccione dos veces (no esté repetida)?.
seleccione dos veces (no esté repetida)?.
hay 15 opciones para el primer elemento de la
hay 15 opciones para el primer elemento de la
lista (primera posición, n=15) y para cada una de
lista (primera posición, n=15) y para cada una de
estas (para cada presidente) hay 14
estas (para cada presidente) hay 14
opciones
opciones
(m=14) para el segundo elemento de la lista (el
(m=14) para el segundo elemento de la lista (el
vicepresidente). Según el principio de la
vicepresidente). Según el principio de la
multiplicación, hay 15 X 14
•
•
El principio de la multiplicación se puede
El principio de la multiplicación se puede
El principio de la multiplicación se puede
El principio de la multiplicación se puede
aplicar a listas más
aplicar a listas más largas. Pensemos en las
largas. Pensemos en las
aplicar a listas más largas.
aplicar a listas más largas.
Pensemo
Pensemo
s en las
s en las
listas de tres elementos o longitud tres.
listas de tres elementos o longitud tres.
listas de tres elementos o longitud tres.
listas de tres elementos o longitud tres.
Supongamos que hay (a) opciones para el
Supongamos que hay (a) opciones para el
Supongamos que hay (a) opciones para el
Supongamos que hay (a) opciones para el
primer elemento, para cada uno de estos hay
primer elemento, para cada uno de estos hay
primer elemento, para cada uno de estos hay
primer elemento, para cada uno de estos hay
(b) opciones para el segundo elemento y para
(b) opciones para el segundo elemento y para
(b) opciones para el segundo elemento y para
(b) opciones para el segundo elemento y para
cada opción del par formado por el primer y
cada opción del par formado por el primer y
cada opción del par formado por el primer y
cada opción del par formado por el primer y
segundo elemento hay (c) opciones para el
segundo elemento hay (c) opciones para el
segundo elemento hay (c) opciones para el
segundo elemento hay (c) opciones para el
tercer elemento. De esta forma hay en total
tercer elemento. De esta forma hay en total
tercer elemento. De esta forma hay en total
tercer elemento. De esta forma hay en total
(abc) listas posibles.
(abc) listas posibles.
(abc) listas posibles.
(abc) listas posibles.
•
•
Una forma provechosa de imaginar problemas
Una forma provechosa de imaginar problemas
Una forma provechosa de imaginar problemas
Una forma provechosa de imaginar problemas
de conteo de listas es hacer una diagrama
de conteo de listas es hacer una diagrama
de conteo de listas es hacer una diagrama
de conteo de listas es hacer una diagrama
con cuadros. Cada cuadro representa una
con cuadros. Cada cuadro representa una
con cuadros. Cada cuadro representa una
con cuadros. Cada cuadro representa una
posición en la lista. Escribimos la cantidad de
posición en la lista. Escribimos la cantidad de
posición en la lista. Escribimos la cantidad de
posición en la lista. Escribimos la cantidad de
elementos posibles en cada cuadro. El total
elementos posibles en cada cuadro. El total
elementos posibles en cada cuadro. El total
elementos posibles en cada cuadro. El total
de listas
de listas posibles se calcula multiplicando
posibles se calcula multiplicando
de listas posibles se
de listas posibles se
calcula multiplicando
calcula multiplicando
entre sí esas cantidades.
entre sí esas cantidades.
entre sí esas cantidades.
entre sí esas cantidades.
s
s e
e
s e o
s
e o
s
s
e
e
s
s
e
e
el
Ejemplo 3:
Ejemplo 3:
Hay un club con 15 socios. Se desea elegir una m
Hay un club con 15 socios. Se desea elegir una m
esa
esa
directiva formada por un presidente, un
directiva formada por un presidente, un
vicepresidente
vicepresidente
, un secretario y
, un secretario y
un tesorero. ¿De
un tesorero. ¿De
cuántas maneras se puede hacer la elección,
cuántas maneras se puede hacer la elección,
suponiendo que un socio puede ocupar sólo un
suponiendo que un socio puede ocupar sólo un
cargo?.
cargo?.
Trazamos el siguiente diagrama:
Trazamos el siguiente diagrama:
12
12
13
13
14
14
15
15
Esto nos muestra que hay 15 socios para elegir el presidente.
Esto nos muestra que hay 15 socios para elegir el presidente.
Una vez seleccionado el presidente quedan 14 socios para ser
Una vez seleccionado el presidente quedan 14 socios para ser
elegidos como vicepresidente y en consecuencia hay 15 X 14
elegidos como vicepresidente y en consecuencia hay 15 X 14
formas de elegir al presidente y al vicepresidente. Una vez
formas de elegir al presidente y al vicepresidente. Una vez
elegidos, hay 13 formas de elegir al tercer elemento (el
elegidos, hay 13 formas de elegir al tercer elemento (el
secretario). Una vez elegidos los tres primeros cargos
secretario). Una vez elegidos los tres primeros cargos
quedarán 12 socios para elegir entre estos al tesorero. En
quedarán 12 socios para elegir entre estos al tesorero. En
consecuencia hay 15 X 14 X 13 X 12 formas de seleccionar la
consecuencia hay 15 X 14 X 13 X 12 formas de seleccionar la
mesa directiva.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO
•
•
Si un suceso A presenta n1 maneras
Si un suceso A presenta n1 maneras
Si un suceso A presenta n1 maneras
Si un suceso A presenta n1 maneras
diferentes
diferentes y
y una
una vez
vez este
este suceso
suceso ha
ha ocurrido
ocurrido
diferentes
diferentes
y
y
una
una
vez
vez
este
este
suceso
suceso
ha
ha
ocurrido
ocurrido
un segundo suceso B se puede presentar en
un segundo suceso B se puede presentar en
un segundo suceso B se puede presentar en
un segundo suceso B se puede presentar en
n2
n2 maneras
maneras diferentes
diferentes y
y así
así cuando
cuando ha
ha
n2
n2
maneras
maneras
diferentes
diferentes
y
y
así
así
cuando
cuando
ha
ha
ocurrido este, sucede un tercer suceso C que
ocurrido este, sucede un tercer suceso C que
ocurrido este, sucede un tercer suceso C que
ocurrido este, sucede un tercer suceso C que
se puede presentar en n3 maneras diferentes
se puede presentar en n3 maneras diferentes
se puede presentar en n3 maneras diferentes
se puede presentar en n3 maneras diferentes
y así diferentes sucesos en nk formas,
y así diferentes sucesos en nk formas,
y así diferentes sucesos en nk formas,
y así diferentes sucesos en nk formas,
entonces el número total de maneras
entonces el número total de maneras
entonces el número total de maneras
entonces el número total de maneras
diferentes como pueden darse
diferentes como pueden darse
diferentes como pueden darse
diferentes como pueden darse
simultáneamente los sucesos es :
simultáneamente los sucesos es :
simultáneamente los sucesos es :
simultáneamente los sucesos es :
•
•
•
•
Volviendo al ejemplo inicial de los almuerzos,
Volviendo al ejemplo inicial de los almuerzos,
Volviendo al ejemplo inicial de los almuerzos,
Volviendo al ejemplo inicial de los almuerzos,
entonces los posibles menús con sus 4 sopas,
entonces los posibles menús con sus 4 sopas,
entonces los posibles menús con sus 4 sopas,
entonces los posibles menús con sus 4 sopas,
3 platos fuertes, 3 postres y agua se hubiesen
3 platos fuertes, 3 postres y agua se hubiesen
3 platos fuertes, 3 postres y agua se hubiesen
3 platos fuertes, 3 postres y agua se hubiesen
podido contar más fácilmente así :
podido contar más fácilmente así :
podido contar más fácilmente así :
podido contar más fácilmente así :
4*3*3*1=36 posibles menús.
4*3*3*1=36 posibles menús.
4*3*3*1=36 posibles menús.
4*3*3*1=36 posibles menús.
...
... .*
.*
....
....
.*
.*
Variaciones sin repetición
Variaciones sin repetición
Variaciones sin repetición
Variaciones sin repetición
•
•
En una carrera de carros participan 20 corredores.
En una carrera de carros participan 20 corredores.
En una carrera de carros participan 20 corredores.
En una carrera de carros participan 20 corredores.
Teniendo en cuenta que no es posible llegar la mismo
Teniendo en cuenta que no es posible llegar la mismo
Teniendo en cuenta que no
Teniendo en cuenta que no
es posible llegar la mismo
es posible llegar la mismo
tiempo , ¿ de cuantas maneras podrán llegar a la meta los
tiempo , ¿ de cuantas maneras podrán llegar a la meta los
tiempo , ¿ de cuantas maneras podrán llegar a la meta los
tiempo , ¿ de cuantas maneras podrán llegar a la meta los
tres primeros?
tres primeros?
tres primeros?
tres primeros?
Elegimos una notación adecuada ,
Elegimos una notación adecuada , por ejemplo
por ejemplo
Elegimos una notación adecuada , por
Elegimos una notación adecuada , por
ejemplo
ejemplo
m1,m2...m20, para representar a los 20
m1,m2...m20, para representar a los 20 corredores.
corredores.
m1,m2...m20, para representar a los 20 co
m1,m2...m20, para representar a los 20 co
rredores.
rredores.
Para la primera posición (campeón) hay 20
Para la primera posición (campeón) hay 20 posibilidades;
posibilidades;
Para la primera posición (campeón) hay 20
Para la primera posición (campeón) hay 20
posibilidades;
posibilidades;
para la segunda posición (subcampeón) hay 19
para la segunda posición (subcampeón) hay 19
para la segunda posición (subcampeón) hay 19
para la segunda posición (subcampeón) hay 19
posibilidades , y para el
posibilidades , y para el tercer puesto hay 18 posibilidades.
tercer puesto hay 18 posibilidades.
posibilidades , y para el tercer
posibilidades , y para el tercer
puesto hay 18 posibilidades.
puesto hay 18 posibilidades.
Observamos el diagrama de árbol del margen.
Observamos el diagrama de árbol del margen.
Observamos el diagrama de árbol del margen.
Observamos el diagrama de árbol del margen.
Por tanto, hay 20,19.18=6840 formas distintas de
Por tanto, hay 20,19.18=6840 formas distintas de quedar
quedar
Por tanto, hay 20,19.18=6840 formas distintas de
Por tanto, hay 20,19.18=6840 formas distintas de
quedar
quedar
los tres primeros clasificados .
los tres primeros clasificados .
los tres primeros clasificados .
los tres primeros clasificados .
A estos distintos grupos ordenados de tres
A estos distintos grupos ordenados de tres corredores ,
corredores ,
A estos distintos grupos ordenados de tres co
A estos distintos grupos ordenados de tres co
rredores ,
rredores ,
elegidos de entre los 20 que
elegidos de entre los 20 que tenemos, lo llamaremos
tenemos, lo llamaremos
elegidos de entre los 20 que
elegidos de entre los 20 que
tenemos, lo llamaremos
tenemos, lo llamaremos
variaciones de 20 elementos tomando de a tres cada vez.
variaciones de 20 elementos tomando de a tres cada vez.
variaciones de 20 elementos tomando de a
•
•
Hemos obtenido el número de
Hemos obtenido el número de
Hemos obtenido el número de
Hemos obtenido el número de
formas de clasificarse 20
formas de clasificarse 20 corredores
corredores
formas de clasificarse 20 corredores
formas de clasificarse 20 corredores
para obtener los tres primeros
para obtener los tres primeros
para obtener los tres primeros
para obtener los tres primeros
puestos: 20x19x18.
puestos: 20x19x18.
puestos: 20x19x18.
puestos: 20x19x18.
•
•
En general, si hallamos el número de
En general, si hallamos el número de
En general, si hallamos el número de
En general, si hallamos el número de
variaciones sin repetición que se
variaciones sin repetición que se
variaciones sin repetición que se
variaciones sin repetición que se
pueden formar con n elementos
pueden formar con n elementos
pueden formar con n elementos
pueden formar con n elementos
tomados m a
tomados m a m, obtendremos:
m, obtendremos:
tomados m a m, obtendremos:
tomados m a m, obtendremos:
•
•
Vn,m
Vn,m
Vn,m
Vn,m =n(n-1)(n-2)..
=n(n-1)(n-2).
=n(n-1)(n-2).
=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)
..(n-m+1)
..(n-m+1)
.(n-m+1)
o
o e
e
o
o
e
e
EJEMPLOS RESUELTOS:
EJEMPLOS RESUELTOS:
EJEMPLOS RESUELTOS:
EJEMPLOS RESUELTOS:
•
•
1. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden
1. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden
1. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden
1. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden
formar con los dígito
formar con los dígitos 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y
s 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9
9
formar con los díg
formar con los díg
itos 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y
itos 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y
9
9
sin que se repita ninguna cifra?
sin que se repita ninguna cifra?
sin que se repita ninguna cifra?
sin que se repita ninguna cifra?
•
•
2. Se quiere cambiar la bandera de una
2. Se quiere cambiar la bandera de una
2. Se quiere cambiar la bandera de una
2. Se quiere cambiar la bandera de una
ciudad de tal forma que esté formada por tres
ciudad de tal forma que esté formada por tres
ciudad de tal forma que esté formada por tres
ciudad de tal forma que esté formada por tres
franjas horizontales de igual ancho y distinto
franjas horizontales de igual ancho y distinto
franjas horizontales de igual ancho y distinto
franjas horizontales de igual ancho y distinto
color. ¿Cuántas banderas distintas se podrán
color. ¿Cuántas banderas distintas se podrán
color. ¿Cuántas banderas distintas se podrán
color. ¿Cuántas banderas distintas se podrán
formar con los siete colores del arco iri
formar con los siete colores del arco iris?
s?
formar con los siete colores del arco iris?
formar con los siete colores del arco iris?
•
•
3. ¿De cuántas maneras distintas se pueden
3. ¿De cuántas maneras distintas se pueden
3. ¿De cuántas maneras distintas se pueden
3. ¿De cuántas maneras distintas se pueden
sentar 12 alumnos en los cuatro asientos de
sentar 12 alumnos en los cuatro asientos de
sentar 12 alumnos en los cuatro asientos de
sentar 12 alumnos en los cuatro asientos de
la primera fila de la clase? ¿Y si
la primera fila de la clase? ¿Y si el primer
el primer
la primera fila de la clase? ¿Y si
la primera fila de la clase? ¿Y si
el primer
el primer
asiento está siempre reservado para el
asiento está siempre reservado para el
asiento está siempre reservado para el
asiento está siempre reservado para el
delegado del curso?
delegado del curso?
delegado del curso?
1.- Como el número 123
1.- Como el número 123
es diferente del número 321, luego influye el
es diferente del número 321, luego influye el
orden y además no se puede repetir ninguna cifra. Por lo tanto
orden y además no se puede repetir ninguna cifra. Por lo tanto
debemos calcular el número de varia
debemos calcular el número de varia
ciones de nueve elementos (n=9)
ciones de nueve elementos (n=9)
tomando tres cada vez (m=3):
tomando tres cada vez (m=3):
V9,3 = 9·8·7 = 504
V9,3 = 9·8·7 = 504
números distintos.
números distintos.
SOLUCIONES:
SOLUCIONES:
2.-Como influye el orden en que se establezcan los colores y además
2.-Como influye el orden en que se establezcan los colores y además
no se puede repetir ningún color,
no se puede repetir ningún color,
tendremos que calcular el número de
tendremos que calcular el número de
variaciones ordinarias de siete elementos (n=7) tomando tres cada
variaciones ordinarias de siete elementos (n=7) tomando tres cada
vez:
vez:
V7,3 = 7·6·...(7-3+1) = 7·6·5 = 210 banderas distintas, Ya
V7,3 = 7·6·...(7-3+1) = 7·6·5 = 210 banderas distintas, Ya
necesitaríamos a un buen diseñador gráfico para que nos muestre las
necesitaríamos a un buen diseñador gráfico para que nos muestre las
mejores combinaciones de colores de las
mejores combinaciones de colores de las
banderas ganadoras.
banderas ganadoras.
3.-Para el primer caso debemos calcular el número de variaciones de 12
3.-Para el primer caso debemos calcular el número de variaciones de 12
elementos (n=12) tomados de a cuatro cada vez (m = 4):
elementos (n=12) tomados de a cuatro cada vez (m = 4):
V12,4 = 12·11·...(12-4+1) = 12·11·10·9 = 11880 formas distintas.
V12,4 = 12·11·...(12-4+1) = 12·11·10·9 = 11880 formas distintas.
En el segundo caso como
En el segundo caso como
hay un estudiante menos (n=11) en el j
hay un estudiante menos (n=11) en el j
uego de
uego de
posibilidades (el delegado siempre va a estar en el primer asiento) y
posibilidades (el delegado siempre va a estar en el primer asiento) y
un
un
asiento menos (m=3), luego vamos a calcular el número de varia
asiento menos (m=3), luego vamos a calcular el número de varia
ciones
ciones
de 11 elementos tomados de a
VARIACIONES CON REPETICIÓN
VARIACIONES CON REPETICIÓN
VARIACIONES CON REPETICIÓN
VARIACIONES CON REPETICIÓN
•
•
Lanzamos cuatro veces consecutivas
Lanzamos cuatro veces consecutivas
Lanzamos cuatro veces c
Lanzamos cuatro veces consecutivas
onsecutivas
una moneda obteniendo en c
una moneda obteniendo en cada
ada
una moneda obteniendo en cada
una moneda obteniendo en cada
caso una Cara (C) o Cruz (X).
caso una Cara (C) o Cruz (X).
caso una Cara (C) o Cruz (X).
caso una Cara (C) o Cruz (X).
Cuántos resultados distintos
Cuántos resultados distintos
Cuántos resultados distintos
Cuántos resultados distintos
podremos obtener?
podremos obtener?
podremos obtener?
podremos obtener?
•
•
Formemos el diagrama de árbol
Formemos el diagrama de árbol
Formemos el diagrama de árbol
Formemos el diagrama de árbol
correspondiente:
correspondiente:
correspondiente:
Las distintas ordenaciones que acabamos de obtener se llaman
Las distintas ordenaciones que acabamos de obtener se llaman
variaciones con repetición de dos elementos tomados de a cuatro
Observamos que ahora sigue influyendo el orden, como en el caso
Observamos que ahora sigue influyendo el orden, como en el caso
anterior, pero además l
anterior, pero además l
os elementos se pueden repetir:
os elementos se pueden repetir:
Variaciones con repetición
Variaciones con repetición
de
de
n
n
elementos tomados
elementos tomados
m
m
cada
cada
vez (m ≤ n) son los
vez (m ≤ n) son los
distintos grupos o listas que se pueden formar
distintos grupos o listas que se pueden formar
con los
con los
n
n
elementos, de manera que:
elementos, de manera que:
- En cada grupo entren
- En cada grupo entren
m
m
elementos, repetidos o no.
elementos, repetidos o no.
- Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el
- Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el
orden de colocación de éstos .
orden de colocación de éstos .
El número de variaciones con repetición de
El número de variaciones con repetición de
n
n
elementos tomando
elementos tomando
m
m
cada vez
cada vez
se representa por
se representa por
VRn,m.
VRn,m.
Número de Variaciones con Repetición.
Número de Variaciones con Repetición.
Hemos hallado el número de resultados distintos que se obtienen
Hemos hallado el número de resultados distintos que se obtienen
al lanzar cuatro
al lanzar cuatro
veces una moneda: 2 · 2 · 2 · 2 = 2
veces una moneda: 2 · 2 · 2 · 2 = 2
44= 16
= 16
De la misma forma, podemos hallar
De la misma forma, podemos hallar
el número de resultados distintos
el número de resultados distintos
que se obtienen al lanzar:
que se obtienen al lanzar:
- Una vez una moneda: 2.
- Una vez una moneda: 2.
- Dos veces una moneda: 2 · 2 = 2
- Dos veces una moneda: 2 · 2 = 2
22= 4 (Di cuáles son estas
= 4 (Di cuáles son estas
posibilidades)
posibilidades)
- Tres veces una moneda: 2 · 2 · 2 = 2
- Tres veces una moneda: 2 · 2 · 2 = 2
33= 8
= 8
- Cinco veces una moneda: 2 · 2 · 2 · 2
- Cinco veces una moneda: 2 · 2 · 2 · 2
= 2
= 2
55.= 32
.= 32
- Ene (n) veces una moneda: 2 · 2 · 2... ·
- Ene (n) veces una moneda: 2 · 2 · 2... ·
2 = 2
2 = 2
nn.
.
En general si queremos hallar el número de variaciones con
EJEMPLOS RESUELTOS
EJEMPLOS RESUELTOS
EJEMPLOS RESUELTOS
EJEMPLOS RESUELTOS
•
•
1. Resolver VRx,2 + 5VRx-2, 2 =
1. Resolver VRx,2 + 5VRx-2, 2 =
1. Resolver VRx,2 + 5VRx-2, 2 = 224
1. Resolver VRx,2 + 5VRx-2, 2 = 224
224
224
•
•
Como VRx,2 = x
Como VRx,2 = x
Como VRx,2 = x
Como VRx,2 = x
2222y VRx-2, 2 = (x-2)
y VRx-2, 2 = (x-2)
y VRx-2, 2 = (x-2)
y VRx-2, 2 = (x-2)
2222,
,,,
sustituyendo:
sustituyendo:
sustituyendo:
sustituyendo:
•
•
x
x
x
x
2222+ 5 (x-2)
+ 5 (x-2)
+ 5 (x-2)
+ 5 (x-2)
2222= 244
= 244
= 244
= 244
•
•
x
x
x
x
2222+ 5 (x
+ 5 (x
+ 5 (x
+ 5 (x
2222-4x
-4x
-4x +
-4x
+
+
+ 4)
4)
4)
4) =
=
=
= 244
244
244
244
•
•
x
x
x
x
2222+ 5x
+ 5x
+ 5x
+ 5x
2222-20x
-20x
-20x +
-20x
+
+
+ 20
20
20
20 =
=
=
= 244
244
244
244
•
•
6x
6x
6x
6x
2222-
-
- 20x
-
20x
20x
20x -
-
-
- 224
224
224
224 =
=
=
= 0
0
0
0 ,
,
,
, resolviendo
resolviendo
resolviendo
resolviendo la
la
la
la ecuación
ecuación
ecuación
ecuación
cuadrática
cuadrática
cuadrática
cuadrática
•
•
x = 8 o X = -14/3
x = 8 o X = -14/3
x = 8 o X =
x = 8 o X = -14/3
-14/3
•
•
La solución válida es x=8 ya que la
La solución válida es x=8 ya que la
La solución válida es x=8 ya que la
La solución válida es x=8 ya que la otra solución
otra solución
otra solución
otra solución
carece de sentido.
carece de sentido.
carece de sentido.
2. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden
2. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden
formar con los dígito
formar con los dígito
s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 y 9
7, 8 y 9
si se pueden repetir las cifras?
si se pueden repetir las cifras?
3. Se lanzan tres dados de distintos colores una
3. Se lanzan tres dados de distintos colores una
vez. ¿Cuántos resultados distintos se pueden
vez. ¿Cuántos resultados distintos se pueden
obtener?
SOLUCIONES:
SOLUCIONES:
SOLUCIONES:
SOLUCIONES:
•
•
2.- Tenemos que hallar el número de variaciones con
2.- Tenemos que hallar el número de variaciones con
2.- Tenemos que hallar el número de variaciones con
2.- Tenemos que hallar el número de variaciones con
repetición de 10 elementos tomados de a tres, es
repetición de 10 elementos tomados de a tres, es
repetición de 10 elementos tomados de a tres, es
repetición de 10 elementos tomados de a tres, es
decir:
decir:
decir:
decir:
•
•
VR10,3 = 10
VR10,3 = 10
VR10,3 = 10
VR10,3 = 10
3333= 1000
= 1000
= 1000
= 1000
•
•
Ahora bien, de estos 1000
Ahora bien, de estos 1000
Ahora bien, de estos 1000
Ahora bien, de estos 1000 números habrá muchos que
números habrá muchos que
números habrá muchos que
números habrá muchos que
inicien con cero como por ejemplo 035, 099, 001 por lo
inicien con cero como por ejemplo 035, 099, 001 por lo
inicien con cero como por ejemplo 035, 099, 001 por lo
inicien con cero como por ejemplo 035, 099, 001 por lo
cual no se pueden considerar de tres cifras. Por esto
cual no se pueden considerar de tres cifras. Por esto
cual no se pueden considerar de tres cifras. Por esto
cual no se pueden considerar de tres cifras. Por esto
debemos descontar estos números, y tendremos:
debemos descontar estos números, y tendremos:
debemos descontar estos números, y tendremos:
debemos descontar estos números, y tendremos:
•
•
VR10,3 - VR10,2 = 10
VR10,3 - VR10,2 = 10
VR10,3 - VR10,2 = 10
VR10,3 - VR10,2 = 10
3333- 10
- 10
- 10
- 10
2222= 1000 - 100 = 900
= 1000 - 100 = 900
= 1000 - 100 = 900
= 1000 - 100 = 900
3.- Son VR6,3 = 6
3.- Son VR6,3 = 6
33= 216
= 216
resultados diferentes.
resultados diferentes.
Algunas veces queremos saber cuántos
Algunas veces queremos saber cuántos
arreglos
arreglos
podemos obtener con un grupo de elementos,
podemos obtener con un grupo de elementos,
para
para
ello podemos utilizar la
ello podemos utilizar la
técnica conocida como
técnica conocida como
permutación que veremos a continuación en el
permutación que veremos a continuación en el
siguiente tema.
PERMUTACIÓN
PERMUTACIÓN
PERMUTACIÓN
PERMUTACIÓN
•
•
Hasta aquí hemos contado listas de
Hasta aquí hemos contado listas de
Hasta aquí hemos contado listas de
Hasta aquí hemos contado listas de elementos de
elementos de
elementos de
elementos de
diversas longitudes, en las que permitimos o
diversas longitudes, en las que permitimos o
diversas longitudes, en las que permitimos o
diversas longitudes, en las que permitimos o
prohibimos la repetición de los elementos. Un caso
prohibimos la repetición de los elementos. Un caso
prohibimos la repetición de los elementos. Un caso
prohibimos la repetición de los elementos. Un caso
especial de este problema es contar las listas de
especial de este problema es contar las listas de
especial de este problema es contar las listas de
especial de este problema es contar las listas de
longitud
longitud
longitud
longitud
formadas por un conjunto de
formadas por un conjunto de
formadas por un conjunto de
formadas por un conjunto de
objetos, en
objetos, en
objetos, en
objetos, en
•
•
(n)
(n)
(n)
(n)
nnnn=n(n-1)(n-2)...
=n(n-1)(n-2)...
=n(n-1)(n-2)... 2,
=n(n-1)(n-2)...
2,
2,
2, 1
1
1
1 La
La
La
La cantidad
cantidad
cantidad
cantidad (n)n
(n)n
(n)n
(n)n es
es
es
es n
n
n
n factorial
factorial
factorial
factorial y
y
y
y
se expresa en matemáticas como n!. Por ejemplo 5!
se expresa en matemáticas como n!. Por ejemplo 5! =
=
se expresa en matemáticas como n!. Por ejemplo 5!
se expresa en matemáticas como n!. Por ejemplo 5!
=
=
5 X 4 X 3 X 2 X 1
5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 120. Recuerde que 1! = 0! = 1
= 120. Recuerde que 1! = 0! = 1
5 X 4 X 3 X 2 X 1
5 X 4 X 3 X 2 X 1
= 120. Recuerde que 1! = 0! = 1
= 120. Recuerde que 1! = 0! = 1
•
•
De esta forma una permutación es un arreglo de todos
De esta forma una permutación es un arreglo de todos
De esta forma una permutación es un arreglo de todos
De esta forma una permutación es un arreglo de todos
o parte de un conjunto de objetos. Arreglos que se
o parte de un conjunto de objetos. Arreglos que se
o parte de un conjunto de objetos. Arreglos que se
o parte de un conjunto de objetos. Arreglos que se
puedan distinguir:
puedan distinguir:
puedan distinguir:
puedan distinguir:
a).- Si se
a).- Si se quieren arreglar objetos, donde todos los
quieren arreglar objetos, donde todos los
a).- Si se quieren arreglar objetos, donde todos los
a).- Si se quieren arreglar objetos, donde todos los
objetos sean diferentes entre sí, la
objetos sean diferentes entre sí, la permutación (el
permutación (el
objetos sean diferentes entre sí, la
objetos sean diferentes entre sí, la
permutación (el
permutación (el
número de arreglos que se pueden obtener) es n ! (n
número de arreglos que se pueden obtener) es n ! (n
número de arreglos que se pueden obtener) es n ! (n
número de arreglos que se pueden obtener) es n ! (n
factorial).
factorial).
factorial).
factorial).
las que se prohíbe la repetición. En otras palabras, se
las que se prohíbe la repetición. En otras palabras, se
las que se prohíbe la repetición. En otras palabras, se
las que se prohíbe la repetición. En otras palabras, se
desea tener
desea tener
desea tener
desea tener
objetos en listas, usando cada objeto
objetos en listas, usando cada objeto
objetos en listas, usando cada objeto
objetos en listas, usando cada objeto
Según el principio
Según el principio
exactamente una vez en cada lista.
exactamente una vez en cada lista.
exactamente una vez en cada lista.
exactamente una vez en cada lista.
Según el principio
Según el principio
de la multiplicación, la cantidad de listas posibles es
de la multiplicación, la cantidad de listas posibles es
de la multiplicación, la cantidad de listas posibles es
de la multiplicación, la cantidad de listas posibles es
de:
de:
de:
EJEMPLOS:
EJEMPLOS:
EJEMPLOS:
EJEMPLOS:
•
•
E
E
Ejemplo 1:
Ejemplo 1:
jemplo 1:
jemplo 1:
•
•
Cinco amigos que están en una piscina,
Cinco amigos que están en una piscina,
Cinco amigos que están en una piscina,
Cinco amigos que están en una piscina,
después de haberse lanzado por el
después de haberse lanzado por el
después de haberse lanzado por el
después de haberse lanzado por el
deslizadero gigante, observan que cada vez
deslizadero gigante, observan que cada vez
deslizadero gigante, observan que cada vez
deslizadero gigante, observan que cada vez
que llegan a la parte superior para el nuevo
que llegan a la parte superior para el nuevo
que llegan a la parte superior para el nuevo
que llegan a la parte superior para el nuevo
lanzamiento hacen cola en distinto orden.
lanzamiento hacen cola en distinto orden.
lanzamiento hacen cola en distinto orden.
lanzamiento hacen cola en distinto orden.
¿De cuántas formas podrán hacer cola para
¿De cuántas formas podrán hacer cola para
¿De cuántas formas podrán hacer cola para
¿De cuántas formas podrán hacer cola para
arrojarse de nuevo?
arrojarse de nuevo?
arrojarse de nuevo?
arrojarse de nuevo?
•
•
Observe que para la primera posición hay
Observe que para la primera posición hay
Observe que para la primera posición hay
Observe que para la primera posición hay
cinco personas, cuatro para la segunda, etc.
cinco personas, cuatro para la segunda, etc.
cinco personas, cuatro para la segunda, etc.
cinco personas, cuatro para la segunda, etc.
De esta forma tenemos que el número de
De esta forma tenemos que el número de
De esta forma tenemos que el número de
De esta forma tenemos que el número de
formas
formas distintas
distintas de
de hacer
hacer cola
cola es:
es:
formas
formas
distint
distint
as
as
de
de
hacer
hacer
cola
cola
es:
es:
•
•
V5,5 = 5! = 5·4·3·2·1 = 120
V5,5 = 5! = 5·4·3·2·1 = 120
V5,5 = 5! = 5·4·3·2·1 = 120
V5,5 = 5! = 5·4·3·2·1 = 120
•
•
Como observamos, en este caso intervienen a
Como observamos, en este caso intervienen a
Como observamos, en este caso intervienen a
Como observamos, en este caso intervienen a
la vez todos los elementos y únicamente
la vez todos los elementos y únicamente
la vez todos los elementos y únicamente
la vez todos los elementos y únicamente
varía el orden de colocación.
varía el orden de colocación.
varía el orden de colocación.
Ejemplo 2:
Ejemplo 2:
Queremos permutar (arreglar) las letras a
Queremos permutar (arreglar) las letras a
bc. Cuáles arreglos
bc. Cuáles arreglos
se obtienen ?
se obtienen ?
abc, acb, bac, bca, cab y cba . Son 6 permutaciones
abc, acb, bac, bca, cab y cba . Son 6 permutaciones
diferentes. También hubiéramos podido decir :
diferentes. También hubiéramos podido decir :
Son 3 letras diferentes a, b y c por l
Son 3 letras diferentes a, b y c por l
o tanto son 3 ! (3 factor
o tanto son 3 ! (3 factor
ial)
ial)
permutaciones
permutaciones
3 ! = 3·2·1 = 6
3 ! = 3·2·1 = 6
Vemos que hay efectivamente 3 opciones para la primera
Vemos que hay efectivamente 3 opciones para la primera
posición (cualquiera de las letras
posición (cualquiera de las letras
a,b
a,b
o
o
c
c
), luego quedan sólo
), luego quedan sólo
dos opciones para la segunda posición (por ejemplo si se
dos opciones para la segunda posición (por ejemplo si se
escogió
escogió
a
a
para la primera posición, quedarían
para la primera posición, quedarían
b
b
o
o
c
c
para la
para la
segunda posición), y quedaría una sola letra para la
segunda posición), y quedaría una sola letra para la
tercera
tercera
posición.
posición.
Permutaciones ordinarias de n elementos son los distintos grupos
Permutaciones ordinarias de n elementos son los distintos grupos
que se
que se
pueden
pueden
formar de mane
formar de mane
ra que:
ra que:
- En cada
- En cada
grupo (o lista)
grupo (o lista)
están los n elementos. - Un grupo se diferencia de otro
están los n elementos. - Un grupo se diferencia de otro
únicamente en el orden de colocación de
únicamente en el orden de colocación de
los elementos.El número
los elementos.El número
de permutaciones ordinarias de n
de permutaciones ordinarias de n
elementos se representa por
elementos se representa por
Pn
Pn
y es igual a
Ejemplo 3:
Ejemplo 3:
En un campeonato suramericano de Fútbol llegan a un
En un campeonato suramericano de Fútbol llegan a un
cuadrangular final los cuatro seleccionados de Brasil, Argentina,
cuadrangular final los cuatro seleccionados de Brasil, Argentina,
Colombia y Uruguay. Formar las
Colombia y Uruguay. Formar las
diferentes clasificaciones para
diferentes clasificaciones para
los cuatro primeros puestos del torneo. ¿Cuántas hay?
los cuatro primeros puestos del torneo. ¿Cuántas hay?
↔↔P4 = 4!
P4 = 4!
= 4·3·2·1 = 24 clasificaciones distintas.
= 4·3·2·1 = 24 clasificaciones distintas.
Representamos por sus iniciales a cada
Representamos por sus iniciales a cada
seleccionado y mediante
seleccionado y mediante
un diagrama de árbol se obtiene:
b.
b.
Las variaciones sin repetición
Las variaciones sin repetición
también se puedentambién se puedenrepresentar con factoriales, según: Si se quieren arreglar
representar con factoriales, según: Si se quieren arreglar
objetos diferentes, pero se van a tomar
objetos diferentes, pero se van a tomar objetos deobjetos de
ellos los cuales son distinguibles entre sí, entonces :
ellos los cuales son distinguibles entre sí, entonces :
Ejemplo 4:
Ejemplo 4:
De cuántas formas puedeDe cuántas formas puede colocar a 3colocar a 3programadores de sistemas en 3 diferentes ciudades. Si los
programadores de sistemas en 3 diferentes ciudades. Si los
programadores están disponibles para cualquiera de 5 ciudades.
programadores están disponibles para cualquiera de 5 ciudades.
Entonces se tienen 3 programadores disponibles pero hay 5
Entonces se tienen 3 programadores disponibles pero hay 5
posibles ciudades a donde ellos pueden ir. ¿De cuántas formas
posibles ciudades a donde ellos pueden ir. ¿De cuántas formas
podríamos ubicarlos?
podríamos ubicarlos?
Tenemos 60 formas posibles de ubicarlos en las 5 ciudades.
Tenemos 60 formas posibles de ubicarlos en las 5 ciudades.
Parece que de todos modos va tocar pensar bien dónde
Parece que de todos modos va tocar pensar bien dónde
ubicarlos... ubicarlos...
,r =
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cespro.com
cespro.com
Ejemplo 5
Ejemplo 5
: ¿Cuántas palabras se pueden formar con ocho: ¿Cuántas palabras se pueden formar con ocholetras de forma que dos de ellas estén siempre juntas y
letras de forma que dos de ellas estén siempre juntas y
guardando el mismo orden?
guardando el mismo orden?
Como las dos letras siempre van a estar juntas y en el mismo
Como las dos letras siempre van a estar juntas y en el mismo
orden, las podemos considerar como si fuera una sola letra.
orden, las podemos considerar como si fuera una sola letra.
Por esta razón es una permutación realmente de sólo siete
Por esta razón es una permutación realmente de sólo siete
elementos:
elementos:
P7 = 7! = 7·6·5·4·3·2·1 = 5040 palabras diferentes
P7 = 7! = 7·6·5·4·3·2·1 = 5040 palabras diferentes
Ejemplo 6
Ejemplo 6
: ¿De cuántas formas se pueden sentar nueve: ¿De cuántas formas se pueden sentar nuevepersonas en una mesa circular?
personas en una mesa circular?
Hay que tener en cuenta que una vez sentadas, si trasladamos
Hay que tener en cuenta que una vez sentadas, si trasladamos
a cada persona un asiento a la izquierda obtendremos una
a cada persona un asiento a la izquierda obtendremos una
posición idéntica a la anterior. Por ello dejamos fija una
posición idéntica a la anterior. Por ello dejamos fija una
persona y permutamos todas las demás:
persona y permutamos todas las demás:
P8 = 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 40320 formas distintas
P8 = 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 40320 formas distintas
A estas permutaciones se las denomina
A estas permutaciones se las denomina
y
y se se representan representan por por PCn.PCn.
permutaciones
permutaciones
circulares de n elementos
Si se quiere permutar (arreglar) objetos, dentro de los cuales hay
Si se quiere permutar (arreglar) objetos, dentro de los cuales hay
varios repetidos, entonces se pueden contar las posibilidades de
varios repetidos, entonces se pueden contar las posibilidades de
arreglos diferentes usando:
arreglos diferentes usando:
Ejemplo 7
Ejemplo 7
: Supongamos que queremos hacer un arreglo de: Supongamos que queremos hacer un arreglo deluces, con 4 bombillas amarillas, 3 bombillas azules y 3 rojas.
luces, con 4 bombillas amarillas, 3 bombillas azules y 3 rojas.
En total se tienen 10 bombillas. Pero, ¿qué arreglos de colores
En total se tienen 10 bombillas. Pero, ¿qué arreglos de colores
puedo tener?
puedo tener?
Uno de los arreglos podría ser así:
Uno de los arreglos podría ser así:
Pero si se intercambian las dos primeras bombillas amarillas
Pero si se intercambian las dos primeras bombillas amarillas
entre sí vemos:
entre sí vemos:
.-
¡ No se aprecia el cambio ! Por lo tanto, ese cambio no cuenta
¡ No se aprecia el cambio ! Por lo tanto, ese cambio no cuenta
como arreglo, de modo que al aplicar la fórmula anterior se
como arreglo, de modo que al aplicar la fórmula anterior se
descuentan todos esos arreglos que son iguales entre sí, de
descuentan todos esos arreglos que son iguales entre sí, de
forma tal que las posibilidades de arreglos diferentes que se
forma tal que las posibilidades de arreglos diferentes que se
tienen son:
tienen son:
Ejemplo 8
Ejemplo 8
: Imaginemos que tenemos 5 monedas de 100: Imaginemos que tenemos 5 monedas de 100centavos, de las cuales dos están en posición de cara y tres
centavos, de las cuales dos están en posición de cara y tres
en posición de cruz. ¿Cuántas ordenaciones diferentes
en posición de cruz. ¿Cuántas ordenaciones diferentes
podremos formar en las que siempre estén dos en posición
podremos formar en las que siempre estén dos en posición
de cara y tres en posición de cruz?
de cara y tres en posición de cruz?
Las ordenaciones posibles son:
Las ordenaciones posibles son:
(CCXXX),(CXCXX),(CXXCX),(CXXXC),(XCCXX),(CXCXX),(CXXCX),(X
(CCXXX),(CXCXX),(CXXCX),(CXXXC),(XCCXX),(CXCXX),(CXXCX),(X
CCXX),(XXCXC),(XXXCC)
CCXX),(XXCXC),(XXXCC) Si Si las las monedas monedas son son distinguiblesdistinguibles
tendríamos: P5 = 5! =120 formas distintas
tendríamos: P5 = 5! =120 formas distintas
Pero como son del mismo tipo de moneda, sólo se deben
Pero como son del mismo tipo de moneda, sólo se deben
considerar una por cada 2!·3! = 12. En consecuencia, de las 120
considerar una por cada 2!·3! = 12. En consecuencia, de las 120
permutaciones ordinarias iniciales solo tendremos:
permutaciones ordinarias iniciales solo tendremos:
120
120 = = (5!)/10 (5!)/10 = 12 = 12 = = 2!·3! Esta 2!·3! Esta es es una una permutación permutación concon
repetición de cinco elementos, donde uno se repite dos veces y
repetición de cinco elementos, donde uno se repite dos veces y
otro tres veces.