1
MATEMÁTICAS
UNIDAD 4
GRADO 9º
Función exponencial y
logarítmica
2
LOGRO:
Reconoce las características y comportamiento de las funciones exponencial y logarítmica.
INDICADORES DE LOGRO:
Reconoce las identidades trigonométricas fundamentales.
3
Función exponencial:
La función exponencial es aquella que tiene la forma:
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de
base a y exponente x. Ejemplo 1 a>1 X Y -6 0,015625 -5 0,03125 -4 0,0625 -3 0,125 -2 0,25 -1 0,5 0 1 1 2 2 4
En este ejemplo podemos observar que a pesar que el dominio o los valores de la “X” que tomemos sean positivos o negativos, los valores de la Y siempre serán positivos por eso el Rango de esta función son los números Reales positivos.
Aprendamos algo
nuevo
4 Ejemplo 2 0<a<1 X Y -3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 0,5 2 0,25 3 0,125 4 0,0625 5 0,03125 6 0,015625 7 0,0078125 8 0,00390625
En este ejemplo podemos ver que cuando la base es un número menor que uno y mayor que cero, entonces la gráfica de la función cambia de sentido conforme crecen los valores de “X”.
5 Ejemplo 3 a<0 f(x)= (-2)x X Y -6 0,015625 -5 -0,03125 -4 0,0625 -3 -0,125 -2 0,25 -1 -0,5 0 1 1 -2 2 4 3 -8 4 16
En este ejemplo podemos ver que es necesario que la base de la función exponencial sea un número positivo porque de lo contrario los resultados, valores de Y o rango oscilan entre valores positivos y negativos, haciendo que deje de ser función.
-10 -5 0 5 10 15 20 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6
Y
Y6
ACTIVIDAD:
1) Graficar en tu cuaderno las siguientes funciones realizando la tabla con al menos 8 valores:
x x x x h c x g b x f a 25 , 1 2 ) 3 2 ) 4 ) x x x x m f x k e x j d 4 1 2 ) 2 2 ) 10 1 3 1 )
Propiedades de la función exponencial Dominio: .
Recorrido: .
Es continua.
Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
7
Creciente si a>1. Decreciente si a<1.
Las curvas y=ax e y= (1/a)x son simétricas respecto del eje OY.
La función logarítmica
Logaritmo de un número es el exponente “y” al que hay que elevar una base “a” para que nos de un número
Ejemplo 2 5 log 25 2 5 25 4 2 log 16 4 2 16 0 3 log 1 0 3 1
Aprendamos algo
nuevo
8
Gráfica de una función logarítmica
Consideremos la función: 10 log y x
Aprendamos algo
nuevo
9
Propiedades de la función logarítmica:
1) El logaritmo del producto de n números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de los números:
logaMN logaM loga N
2) El logaritmo del cociente de dos números es igual al logaritmo del dividendo menor el logaritmo del divisor:
loga M loga M loga N N
3) El logaritmo de un número elevado a una potencia k es igual al producto de k por el logaritmo del número:
logaMk klogaM
Ejemplo:
Aplicar las propiedades de los logaritmos a la siguiente expresión
Aprendamos algo
nuevo
10 a) log 23*12 log 23 log 12
b) 4
5
log log 4 - log 5
c) 6
log 15 6 log 15
d)
23*12
log log 23*12 - log 5 5
log 23 log 12 - log 5
ACTIVIDAD:
1. En cada una de las siguientes expresiones escriba el logaritmo en una forma equivalente, mediante la aplicación de las propiedades de los logaritmos:
a) log 36 23 15
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
11 b) log 10 22 3 c) 213 d) 2 3 3/ 2 100 12 4
2. Para cada una de las expresiones siguientes, expréselas en forma de un solo logaritmo, mediante la aplicación de las propiedades de los logaritmos:
a) log 20 log 100 - log 15
b) 5 log 76
c) log 100 - 4 log 20 - log 44
d) log 1 - log - 1x x
Progresiones aritméticas:
Aprendamos algo
nuevo
12 Es una sucesión de términos en la que cada término después del primero se obtiene sumando al término precedente una determinada cantidad llamada razón.
Ejemplo de una progresión aritmética:
4,7,10,13,…
El elemento enésimo de una sucesión está determinado por:
1 1 n a a n r Donde: n a = elemento enésimo 1
a = primer elemento de la sucesión r = razón común
n = número de términos de la progresión
Ejemplo: Determinar el quinto término de una sucesión en la cual el primer elemento es 1 y la razón es 2.
5 1 5 1 2
13
5 1 6 7
a
ACTIVIDAD:
1. En tu cuaderno debes hallar el: a) 9° término de 7, 10,13, … b) 12° término de 5, 10,15, … c) 19° término de 1 3, 7 8 d) 12° término de 11, 6,1, … e) 19° término de 2 7, 1 8 f) 15° término de 3 5, 14 15
La suma de los primeros n términos de una sucesión aritmética está dada por: 1 2 n a a n S
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
Aprendamos algo
nuevo
14 donde:
1
a es el primer término de la sucesión.
n
a es el último término de la sucesión.
n es el número de elementos a sumar.
Ejemplo: encontrar la suma de los 8 primeros términos de la sucesión aritmética: 15, 19, 23, …
Solución:
La razón de esta sucesión es 4.
El octavo término lo podemos calcular con la ayuda de :
1 1
n
a a n r
Sustituyendo valores: a8 15 8 1 4 43
Calculamos ahora la suma de los primeros 8 términos:
S= = 232
Ejemplo: encontrar la suma de los 60 primeros términos de la sucesión aritmética: 11, 1, -9, …
15 Solución:
La razón de esta sucesión es -10.
El sesentavo término lo podemos calcular con la ayuda de :
1 1 n a a n r sustituyendo valores: a60 11 60 1 10 579 S= = -34080
ACTIVIDAD:
Hallar la suma de los primeros 10, 20, 50 y 100 términos de las siguientes sucesiones aritméticas:
1. 1, 2, 3, 4, 5… 2. 3, 6, 9, 12, 15…
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
16 3. 1, 8, 15, 22, 29… 4. 2, 42, 82, 122, 162… 5. 2, 4, 6, 8, 10… 6. 9, 18, 27, 36… 7. 6, 12, 18, 24, 30… 8. 5, 10, 15, 20, 25, 30… 9. 11, 22, 33, 44, 55, 66…
17
Progresiones geométricas. Es una sucesión de términos en la que
cada término después del primero se obtiene multiplicando el término precedente por un mismo número fijo llamado razón común.
Ejemplo de una sucesión:
3, 9, 27, 81...
En donde se puede apreciar que la razón común es el número 3.
El elemento enésimo de una sucesión está determinado por:
1 1 n n a a r Donde: n a = elemento enésimo 1
a = primer elemento de la sucesión r = razón común
Aprendamos algo
nuevo
18 n = número de términos de la progresión
La suma de los primeros n términos de una sucesión está determinada por: 1 1 n n a ra S r n a = elemento enésimo 1
a = primer elemento de la sucesión r = razón común
n
S = suma de los primeros n términos
La suma de los elementos de una progresión infinita está determinada por: 1 1 n a S r
19
ACTIVIDAD:
1. Hallar el término pedido en cada una de las progresiones
propuestas:
a) Hallar el 7° término de la la progresión geométrica: 3, 6, 12, … b) Hallar el 8° término de la la progresión geométrica: 1
3, 1, 3 , …
c) Hallar el 20° término de la la progresión geométrica: 8, 4, 2, … d) Hallar el 5° término de la la progresión geométrica: 5
6, 1 2 …
e) Hallar el 8° término de la la progresión geométrica: 16, -4, 1
2. Hallar la suma de los términos pedidos en cada una de las
siguientes progresiones:
a) Hallar la suma de los 5 primeros términos de la progresión: 6, 3, 1
2
1
b) Hallar la suma de los 6 primeros términos de la progresión: 4, -8, 16
c) Hallar la suma de los 10 primeros términos de la progresión: 1
4
, 1
2, 1
d) Hallar la suma de los 8 primeros términos de la progresión: 2, -1, 1
2
e) Hallar la suma de los 6 primeros términos de la progresión: 9, -3, 1
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
20
Suma de una progresión geométrica decreciente infinita
La suma de una progresión geométrica cuando n es infinito se expresa como: 1 1 a S r
Ejemplo: Hallar la suma de la progresión: 4, 2, 1, , …
El primer elemento es 4, en tanto que la razón es 1
2, sustituyendo en la formula se tiene: 1 4 8 1 1 1 2 a S r
Esto significa que la suma cuando n es infinito es 8.
Aprendamos algo
nuevo
21
ACTIVIDAD:
En tu cuaderno halla la suma de las siguientes progresiones utilizando la ecuación usada anteriormente:
a) 27, 9, 3, 1, … b) 64, 16, 4, 1, … c) 125, 25, 5, 1… d) 216, 36, 6, 1… e) 343, 49, 7, 1… f) 512, 64, 8, 1…
Interpolación de medios geométricos
La interpolación de medios geométricos entre dos números es formar una progresión geométrica cuyos extremos sean los números dados: Para este caso la razón se calcula como:
Aprendamos algo
nuevo
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
22 1 1 n n a r a
Ejemplo: Interpolar 4 medios geométricos entre 96 y 3.
Calculamos primeramente la razón con la ayuda de 1 1 n n a r a , en donde a1 = 96 y an = 3 Sustituyendo: 6 1 1 1 3 1 96 2 n n a r a
El primer elemento de la progresión es 96
El segundo elemento de la progresión es 96 1 48 2
El tercer elemento de la progresión es 48 1 24 2
El cuarto elemento de la progresión es 24 1 12 2
El quinto elemento de la progresión es 12 1 6 2
23 El sexto elemento de la progresión es 6 1 3
2
ACTIVIDAD:
a) Interpolar 3 medios geométricos entre 5 y 3125 b) Interpolar 4 medios geométricos entre -7 y -224 c) Interpolar 4 medios geométricos entre 1
2
4 y 16 27
d) Interpolar 4 medios geométricos entre 4 9 y
27 256
e) Interpolar 7 medios geométricos entre 8 y 1 32
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
24 a) Graficar las siguientes funciones exponenciales:
a) y 3x b)y 4x c) y 2x
b) Encontrar los primeros 5 términos de la progresión geométrica en la cual su primer elemento es 5 y su razón es 2.
c) Una persona invierte $ 100.00 al principio de un año; si la inversión rinde un 5 % de interés compuesto anualmente, )cuánto vale su inversión al final de 5 años?
d) Encontrar la suma y la razón de la progresión geométrica infinita dada por: 4 16 64 1, , , ,..., 5 25 125
Recolectemos
lo aprendido
25 e) Un automóvil que costó $10,000.00 se desprecia el 10 % cada
26