Los objetivos generales y específicos de la tesina se describen a continuación

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Estimación de parámetros microestructurales en el modelo MED Capítulo 1: Introducción CAPITULO 1: INTRODUCCION

El continuo desarrollo de los métodos numéricos y las técnicas de simulación permiten abordar una amplia gama de problemas de ingeniería cada vez más complejos. A pesar de ello, hay problemas no resolubles mediante las técnicas actuales basadas en la mecánica del continuo. Este es el caso del estudio del comportamiento mecánico de medios de naturaleza discreta tales como los formados por materiales porosos y granulares.

A continuación se presenta un modelo numérico que posibilita el análisis del comportamiento de materiales de naturaleza granular. El modelo numérico adoptado se basa en la técnica de los elementos discretos que posibilita la modelación de sólidos a partir de una colección de partículas o elementos de distintas formas (discos, polígonos, esferas, poliedros) en dos y tres dimensiones.

Para llegar a conseguir dichos objetivos se han estudiado las incursiones que habían hecho autores anteriores en este tema. El desarrollo del método de los elementos discretos en geotecnia fue originado por el estudio de la mecánica de materiales granulares (Cundall and Strack, 1979; Cundall et al., 1982). En las últimas dos décadas, el método de los elementos discretos se ha aplicado en muchas disciplinas y a diferentes escalas, desde la simulación de avalanchas a la identación y problemas de corte en dinámica molecular.

No existe una teoría completa para predecir las propiedades macroscópicas a partir de los parámetros micro y viceversa. Por tanto, el estudio de la relación entre los parámetros microestructurales y las propiedades a nivel macroestructural del material se convierte en la prioridad de este trabajo de investigación.

Las principales novedades de esta tesina son:

• Formulación del método de los elementos discretos

• Desarrollo de una metodología para determinar los parámetros microestructurales de cualquier tipo de material.

HIPOTESIS

La imposibilidad de estudiar las propiedades microestructurales de un material mediante ensayos de laboratorio hace necesario acometer este estudio mediante procedimientos numéricos.

Los objetivos generales y específicos de la tesina se describen a continuación OBJETIVOS GENERALES

Aplicación de la técnica de los elementos discretos. Para ello es necesario realizar previamente un estudio exploratorio de las propiedades microestructurales en las que se basa el modelo.

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Estimación de parámetros microestructurales en el modelo MED Capítulo 1: Introducción

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Estudio de las propiedades microestructurales involucradas en el método MED mediante la realización de ensayos virtuales de compresión y tracción.

Estudio de la relación existente entre los parámetros microestructurales y las propiedades macroestructurales.

Una vez establecida dicha relación desarrollar una metodología para determinar las propiedades microestructurales de cualquier material a partir de sus propiedades macroestructurales (E,υ,G, resistencia a tracción, resistencia a compresión).

TAREAS CIENTÍFICAS

Las tareas científicas que se han llevado a cabo para la realización del estudio son las siguientes:

Recopilación bibliográfica preliminar, definición, aprobación del tema y elaboración del plan de trabajo.

Estudio bibliográfico y análisis del estado del arte de la temática. Formulación del método de los elementos discretos.

Calibración del modelo y adaptación del mismo para la realización de ensayos virtuales de compresión y tracción.

Simulación numérica de los ensayos de compresión y tracción. Análisis de resultados.

El estudio realizado tiene un aporte científico nuevo a la teoría ya existente del método de los elementos distintos.

NOVEDAD CIENTÍFICA.

Formulación y adaptación del MED para la realización de ensayos virtuales de compresión y tracción.

Análisis de la relación existente entre los parámetros microestructurales y macroestructurales para cualquier tipo de material.

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN Definición del problema de estudio

Recopilación bibliográfica Formación de la base teórica Diseño investigación

Desarrollo cada fase de investigación • Formulación MED

• Simulación de los ensayos virtuales y calibración. Conclusiones

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ESTRUCTURA DEL TRABAJO.

El trabajo se estructura de la siguiente manera: Capítulo 1:Introducción

En este primer capítulo se exponen los objetivos del estudio, las tareas científicas a realizar y la metodología a seguir.

Capítulo 2: Estado del arte de la modelización mediante MED

Contiene una descripción del estado de la temática y una visión de la situación histórica del método de los elementos discretos, y las diferentes aplicaciones del mismo a lo largo de la historia. También se expresan los motivos por los cuales la modelación numérica mediante elementos discretos no ha sido utilizada con generalidad en la solución de problemas de ingeniería, y el porqué de la necesidad de utilizar esta técnica.

Capítulo 3:. Formulación del MED.

En este capitulo se describe la formulación del método de los elementos discretos y se definen los parámetros microestructurales de los que se nutre el modelo para su implementación.

Capitulo 4. Estimación de parámetros constitutivos microscópicos..

A lo largo de este capítulo se desarrolla la metodología seguida para el estudio de las propiedades microestructurales del modelo MED. Dicho estudio se lleva a cabo mediante la realización de ensayos virtuales de compresión y tracción fijando los parámetros microestructurales y posteriormente analizando el comportamiento a nivel macroestructural del medio modelado.El valor de los parámetros microestructurales se establece tanto de forma estocástica como determinista, tanto en elasticidad como en plasticidad y se comparan los resultados obtenidos con otras formulaciones existentes. También se describen las consideraciones necesarias a realizar para la simulación de dichos ensayos tales como la velocidad de aplicación de la carga, el valor de la holgura (Gap), etc... Finalmente se lleva a cabo un estudio preliminar para estimar las relaciones entre los parámetros micro y macroestructurales.

Capitulo 5: Conclusiones.

En este capítulo se hace una síntesis de los resultados más relevantes. Entre ellos destacan:

Acotar el rango de valores de los parámetros microestructurales para los que el modelo constitutivo de contacto empleado tiene sentido físico.

Establecimiento de una metodología para estimar los parámetros microestructurales a partir de los parámetros macroestructurales. Esta

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metodología presenta un carácter general y posibilita obtener las propiedades constitutivas del contacto para cualquier material.

Recomendaciones y futuras líneas de investigación.

La modelización mediante MED es una técnica relativamente bastante reciente, por lo tanto existe un campo futuro de investigación. Se puede citar como futuras líneas de investigación las siguientes:

Estudio de propiedades microestructurales en 3D.

Realizar un estudio similar pero utilizando un modelo de contacto viscoso. Aplicación del Método de los elementos distintos en la solución de problemas

reales.

Anejos: Gráficas.

Se exponen todas las curvas obtenidas en la realización de ensayos virtuales para diferentes relaciones Knc/Knt.

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Estimación de parámetros microestructurales en el modelo MED Capítulo 2: Estado del arte de la modelación mediante MED CAPITULO 2: ESTADO DEL ARTE

DE LA MODELACIÓN MEDIANTE MED

La novedad científica que supuso la formulación del método MED a principios de los 70 así como la gran capacidad de cálculo que requiere su implementación son los responsables de la escasez de experiencias previas y de las dificultades a la hora de aplicarlo a casos prácticos.

El modelo MED fue formulado por Cundall en el año 1971 [1] con el objetivo de simular de forma numérica el comportamiento mecánico de un medio discretizado a partir de un conjunto de elementos que componen su totalidad. Los elementos utilizados con dicho fin son considerados cuerpos rígidos, sin capacidad de deformación, siendo la deformación global del conjunto la que tiene lugar en los espacios libres entre partículas.

El primer e indispensable paso a seguir para la implementación del método MED es la caracterización tanto geométrica como mecánica de los elementos que van a representar el comportamiento mecánico del medio a estudiar. Cabe diferenciar claramente en este primer paso lo que son propiedades macroestructurales (Módulo de deformación, coeficiente de Poisson…) del material o medio a estudiar, de las propiedades microestructurales que son las que caracterizan el comportamiento de los elementos discretos. En su formulación inicial Cundall [1] definió los elementos como primas que interactuaban unos con otros evolucionando posteriormente hacia un modelo bidimensional constituido por elementos en forma de discos.

Las propiedades mecánicas del medio (propiedades macroestructurales) dependen fundamentalmente de las propiedades del contacto entre elementos discretos (propiedades microestructurales) que son principalmente una rigidez normal y transversal, en la zona de contacto entre elementos, que relacionan las fuerzas entre partículas con los desplazamientos que tienen lugar entre ellas. Asimismo, también se define un modelo viscoso, donde además de las mencionadas rigideces, se agrega una viscosidad al modelo tanto en dirección normal como transversal posibilitando, de esta forma, la modelización de medios elásticos y viscoelásticos.

Así pues, el método MED ofrece un amplio abanico de posibilidades en lo que respecta a la simulación numérica del comportamiento mecánico de materiales granulares, pudiendo utilizarse en su formulación elementos discretos de geometría cualquiera. La formulación del método está principalmente basada en dos leyes fundamentales de la mecánica clásica. La ley fuerza-desplazamiento que relaciona ambas variables mediante una rigidez y la segunda ley de Newton que permite establecer la relación entre fuerza y aceleración.

A partir de estas dos leyes fundamentales se desarrolla toda la formulación del método. Cundall utiliza esta formulación, para simulaciones en 2D, mediante la utilización de primas. En ellas define un ciclo de cálculo a partir del cual obtienen los desplazamientos y fuerzas en el sistema.

Con posterioridad a Cundall muchos han sido los investigadores que han desarrollado técnicas de análisis mediante el MED. Entre ellos destacan Serrano y Rodríguez-Ortiz [2] en el año 1973 y Rodríguez Ortiz en el 1974 [3] cuyas investigaciones fueron orientadas hacia el desarrollo de un modelo numérico de análisis basado en la discretización mediante conjuntos de discos y esferas.

Siguiendo sus propias líneas de investigación, Cundall continúa con el estudio y desarrollo de aplicaciones del método de los elementos discretos (MED) para la

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Estimación de parámetros microestructurales en el modelo MED Capítulo 2: Estado del arte de la modelación mediante MED

solución de diferentes problemas de ingeniería centrándose principalmente en el estudio de medios granulares. La simulación numérica del comportamiento de este tipo de materiales es de gran interés y constituye un problema no fácilmente resoluble mediante las técnicas actuales de análisis numérico. Para ello, Cundall [4], desarrolló un modelo numérico para describir el comportamiento mecánico de cuerpos discretizados a partir de conjuntos de discos y esferas.

La utilización de elementos discretos con geometría esférica también había sido empleada con anterioridad por Rodríguez-Ortiz [2] [3].

La característica principal del modelo propuesto por Cundall [4] radica en la utilización de un esquema de integración explícito en el tiempo que proporciona una buena eficiencia computacional. También es importante destacar que en este segundo modelo Cundall [4] utiliza dos leyes básicas de la mecánica clásica como son la ley fuerza desplazamiento y la segunda ley de Newton como ya lo hiciera en la formulación original del método. Asimismo, este nuevo modelo, tiene en cuenta el comportamiento viscoso del medio pudiendo utilizarse para la resolución de una amplia gama de problemas tanto elásticos como viscoelásticos.

En el modelo [4], se describen paso a paso todas las ecuaciones que gobiernan el problema así como el orden de resolución de las mismas. Para su formulación se asumen una serie de hipótesis entre las cuales cabe destacar la consideración del elemento discreto como una partícula rígida que, por tanto, no se deforma.

Con el objetivo de verificar la validez del modelo Cundall realiza numerosos ensayos tanto numéricos como de laboratorio así como un estudio comparativo de los resultados obtenidos des de un punto de vista cuantitativo.

Entre los diferentes investigadores que trabajaron en la implementación y desarrollo del MED cabe destacar a Cundall, Drescher y Strack cuyos estudios iban enfocados principalmente hacia el análisis de medios granulares. La utilización de la mecánica de medios continuos para caracterizar medios granulares no describe con exactitud el comportamiento de los mismos, puesto que el medio no es continuo sino que está formado por una serie de elementos discretos. Por ello, la buena adaptabilidad del MED para la resolución de problemas de ingeniería en los que aparecen medios granulares ya que, mediante esta técnica, se pueden caracterizan medios discretos mediante modelos numéricos discretos

El desarrollo teórico utilizado en las simulaciones numéricas [5] y en la resolución de los diversos problemas fue el descrito por anterioridad por Cundall [1] [4], asumiendo todas las hipótesis que el propio Cundall había utilizado en la formulación del método. El estudio realizado se basaba en una comparativa de valores numéricos y experimentales. Una vez realizado dicho análisis se pudo verificar la similitud de resultados y se estableció la validez del modelo para el estudio de problemas que involucraban medios granulares.

La discretización de problemas en dos dimensiones es el principio de la modelización mediante MED. Una vez realizados ensayos en dos dimensiones, el desarrollo de los conocimientos obtenidos permite dar un paso más en la evolución del método posibilitando la resolución de problemas en tres dimensiones.

El paso de dos a tres dimensiones comporta un fuerte incremento del coste computacional de la resolución del problema elemento, que dificulta enormemente la aplicación del método para este tipo de problemas.

Entre los estudios realizados con elementos discretos esféricos se encuentras los de Cundall [6]. En dichos estudios el objetivo principal se centra en la simulación de cuerpos formados por esferas compactas.

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El objetivo principal de dichos experimentos numéricos es el estudio de medios en tres dimensiones. Los resultados obtenidos mediante la simulación, se comparan con los experimentos físicos descritos por Ishiboschi y Cheu [7], y con los resultados teóricos que se deben obtener de Jenkins [8].

Cundall [6] realizó básicamente dos tipos de ensayos tridimensionales. Por una parte utiliza un modelo de contacto lineal entre partículas representado por las correspondientes rigideces y por otra parte un modelo de contacto no lineal entre partículas.

El modelo de contacto no-lineal, se formula de acuerdo con la teoría de Herz descrita en [9].

Los resultados obtenidos por Cundall, son en general bastante buenos desde un punto de vista cualitativo y cuantitativo, excepto en el caso de los resultados que se obtienen para la deformación volumétrica en el ensayo triaxial, donde existen diferencias considerables entre los resultados obtenidos mediante la simulación numérica y los que teóricamente se debían obtener de acuerdo con las teorías clásicas y soluciones analíticas que pueden encontrarse en la literatura.

La modelización de materiales granulares así como el estudio de problemas mecánicos que involucran dicho tipo de materiales, se realiza cada vez con más frecuencia con la técnica de los elementos discretos. Asimismo, se aplica dicha teoría para problemas lineales como para problemas no lineales. La posibilidad de poder analizar problemas no lineales, hace que dicha técnica de análisis sea una herramienta muy potente a la hora de abordar una gran diversidad de problemas.

El carácter de medio granular da como respuesta mecánica un comportamiento no lineal en la mayoría de casos. Asimismo también se abre todo un campo de futuras líneas de investigación para poder añadir al modelo otros componentes que describan no sólo el comportamiento del medio granular sino también la interacción de éste con otros medios, tal y como puede ser por ejemplo el agua. El comportamiento conjunto de ambos materiales es claramente no lineal.

La modelización de medios no lineales, tales como medios elásticos tanto isótropos como anisótropos, elastoplasticidad en su versión asociativa como no asociativa, y otros múltiples mecanismos plásticos, han sido estudiados experimentalmente por Bardet-Proubet [10] en el año 1989. Las teorías constitutivas incrementalmente no lineales que describen el comportamiento de los materiales, tienen unas hipótesis fundamentales. Dichos problemas unidos a las hipótesis que los gobiernan son estudiados [10] mediante ejemplos los cuales han sido modelizados a partir de discos y por lo tanto con un análisis en dos dimensiones.

La simulación numérica del ensayo de laboratorio consiste en el cálculo de la deformación incremental resultante de la aplicación de una sucesión de tensiones incrementales tomando igual amplitud pero diferente dirección. Cabe destacar que los materiales granulares, en su mayoría, presentan un comportamiento no lineal que puede ser descrito con las teorías de plasticidad existentes.

El empleo de modelos basados en el MED va cobrando progresivamente más importancia en el campo de la investigación. Las nuevas aplicaciones del método conjuntamente con la adaptación de la formulación del mismo permiten optimizar la utilización del método desde el punto de vista de la eficiencia computacional.

Una nueva técnica en la simulación numérica mediante MED es el empleo de la ADR (relajación dinámica adaptable) expresamente formulada para el estudio de medios granulares. Dicha técnica fue propuesta por Bardet&Proubet [11] en el año 1991.

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La razón de ser del desarrollo de esta técnica fue la necesidad de optimizar la convergencia de los algoritmos explícitos condicionalmente estables. El algoritmo propuesto por Cundall y Strack [5], origen del método, es condicionalmente estable. El software desarrollado por Cundall y Strack inicialmente fue el BALL y el TRUBALL [1] para el cálculo en dos y tres dimensiones respectivamente. Dichos códigos eran utilizados para describir el comportamiento de materiales granulares y, en el caso particular del BALL, cabe destacar que era condicionalmente estable y requería un control óptimo de los parámetros de amortiguamiento para poder garantizar la estabilidad del algoritmo .Un amortiguamiento excesivamente pequeño da lugar propicio el flujo viscoso de las partículas, fenómeno más característicos en cuerpos inmersos en fluidos de Stokes que en materiales granulares.

La definición de las ecuaciones de equilibrio entre las partículas, y el empleo de una ley fuerza-desplazamiento en los contactos permite mejorar sustancialmente el algoritmo original. Posteriormente se definen las ecuaciones del movimiento de relajación dinámica (ADR) y se hace un estudio de convergencia del método.

Investigadores como Bardet y Proubet [12] centraron sus esfuerzos en el estudio de medios granulares y más concretamente en la aparición de bandas de cortante en la estructura de materiales granulares.

El estudio se realizó en dos dimensiones, modelizando el medio mediante un conjunto de partículas y simulando numéricamente los estados de carga, para posteriormente analizar los resultados obtenidos y estudiar la aparición de bandas de cortante en el medio.

Tanto desplazamientos como deformación volumétrica, rotación de las partículas y la orientación de los contactos, eran examinados dentro de las bandas de cortante. La deformación volumétrica determinada a partir de los gradientes de deformación local se obtenía como estimación de la dilatancia.

Con posterioridad al estudio de estructuras basándose en la simulación numérica y el análisis de las bandas de cortante, Bardet y Proubet [12] llevaron a cabo un estudio empleando la técnica MED sobre de que forma influye la ausencia de tensión en las juntas entre partículas.

En ausencia de contacto entre juntas, el ángulo de fricción del conjunto, es más grande que el ángulo de fricción entre partículas. Ello es debido a la concentración de rotaciones entre partículas dentro de las bandas de cortante.

Cada vez va adquiriendo más importancia el estudio de materiales granulares mediante MED. Se realizan análisis mediante este procedimiento de otros medios que derivan de suelos granulares como es el caso de materiales granulares cementados [13].

Dichos análisis se llevaron a cabo basándose en la teoría de rotura de Griffith la cual es formulada para medios continuos. No parece muy adecuada la validez de esta teoría para medios granulares, los cuales tienen un comportamiento y una formalidad discreta y, por lo tanto, radica aquí el interés de estos análisis. Se puede así estudiar la rotura de diversos medios, utilizando simulaciones discretas.

El estudio fue realizado por Trent y Margolin [13], los cuales realizaron un conjunto de simulaciones numéricas mediante el método de los elementos discretos, y estudiaron la rotura que se produce en el medio, en su caso un medio granular cementado. Posteriormente comparan dicha rotura con la rotura que describe la teoría de Griffith para medios continuos, y la aplicación de ésta para medios granulares.

La idea de la investigación [13], es provocar la rotura macroscópica en el ejemplo numérico que se analiza por rotura de los contactos entre partículas adyacentes. Para ello se someten las partículas a una tensión de tracción en el contorno que provoca la

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Buena parte de los estudios realizados por Bardet [10] [14] fueron en 2D. Para la discretización del medio se utilizaron discos o cilindros. Como consecuencia de la gran utilización de estas figuras geométricas, Bardet [15] hace un estudio sobre la rigidez rotacional de los contactos entre partículas cilíndricas.

La deformación de las superficies de contacto causadas por la rotación es aproximada utilizando polinomios con términos de primer orden y de orden superior. La rigidez rotacional se determina mediante incrementos proporcionales con soluciones analíticas. La determinación de la rigidez rotacional es muy utilizada en el cálculo mediante MED para caracterizar las propiedades micro de cuerpos formados por un conjunto de partículas cilíndricas.

La aplicación del método para el análisis de diversos medios, conduce al objetivo de poder analizar medios granulares parcialmente saturados [14]. El análisis de dichos problemas geotécnicos es de gran utilidad ya que es un problema, hoy en día, por resolver.

Para poder atacar la descripción del comportamiento de materiales porosos y parcialmente saturados, Bardet [14] presenta el año 1994 un modelo viscoelástico a partir del método de los elementos discretos, el cual sirve para caracterizar la respuesta dinámica de un material poroelástico saturado.

En problemas de este tipo, las características de los materiales, están definidas en términos de módulo elástico, porosidad, peso específico, grado de saturación y permeabilidad.

El principal objetivo de la investigación realizada por Bardet [14] es comparar la respuesta en caso de cargas axiles harmónicas en una columna unidimensional.

La formulación para el modelo viscoelástico es más fácil de usar que para el modelo poroelástico. En su estudio, Bardet [14] obtiene como conclusiones principales que los resultados son similares en ambos modelos, para un determinado rango de suelos y cargas dinámicas.

En el año 1994 el propio Bardet [15] siguiendo con las investigaciones anteriores [14] propone un modelos simplificado y aproximado para resolver problemas dinámicos en medios poroelásticos.

El método se desarrolla a partir de la definición de equivalencias de materiales viscoelásticos que tienen el mismo número de ondas que un medio poroelástico.

La aproximación viscoelástica estaba aplicada al estudio de diversos estados planos de ondas de compresión para un problema esférico poroelástico no homogéneo. El problema a resolver está formado por un conjunto de ondas dispersas en un medio poroelástico a partir de simulación numérica con un modelo viscoelástico.

Las soluciones obtenidas en el estudio realizado por Bardet [15] muestran que los resultados son idénticos tanto para el problema poroelástico como para el viscoelástico. El método que propone Bardet [15] conlleva la aplicación del método de los elementos discretos para la resolución de problemas dinámicos. Aprovecha el conocimiento de las soluciones analíticas para poder comparar los resultados con las simulaciones numéricas. El método propuesto [15], puede ser aplicado para características de amortiguamiento de pequeñas amplitudes de onda en suelos saturados.

La simulación numérica describiendo el comportamiento de medios granulares y la interacción con líquido entre sus poros, también ha sido investigada por otros autores, Otsu, Mori, Osakada [16], los cuales desarrollaron un modelo para situar el comportamiento microscópico de los procesos de formación muchy-state.

Dicho modelo [16] fue desarrollado en el año 1999 y la principal novedad es que incluye la presión interior de un líquido saturado entre las partículas que componen el medio. Para la simulación se utilizan elementos discretos esféricos para representar las

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partículas y elementos tetraédricos para el líquido. Se resuelven las ecuaciones de Newton bajo la acción de una fuerza repulsiva elástica para la colisión y la presión del líquido de fase.

Las ventajas que comporta este nuevo modelo [16] en la teoría del método de los elementos discretos, es que permite simular problemas con líquido en la interfase entre partículas. Por lo tanto, se dispone de una técnica muy potente que permite estudiar la interacción material granular-líquido cosa que era del todo imposible con las técnicas anteriores tales como los elementos finitos, ya que en su formulación, la interacción entre las fases sólidas y entre la fase sólida y líquida es negligible.

Como se puede apreciar, la aplicación del método de los elementos discretos ha sido muy diversa a lo largo del tiempo. Autores como Selvadurai [17], aplicaron este método, para el estudio mediante simulación numérica de la interacción de una estructura con un cuerpo de hielo.

El estudio llevado a cabo en 1999 por Selvadurai [17] considera un estado de deformación plana a la hora de describir la interacción entre dos materiales distintos como es el caso del movimiento de un cuerpo formado por hielo y el de una estructura estacionaria flexible.

La interacción entre los dos cuerpos influye de manera importantísima en el comportamiento global. Dicha interacción es modelada por condiciones no lineales, como en la mayoría de análisis efectuados mediante el método de los elementos discretos.

En el modelo propuesto se asume un comportamiento friccional de Coulomb, el cual se caracteriza por un ángulo de rozamiento interno, y que influye directamente en la rigidez transversal.

El estudio de geomateriales frágiles y de geomateriales viscoplásticos, ha sido también objeto de estudio de Selvadurai [18]. En el año 1999 se aplicó por primera vez el método de los elementos discretos para el análisis de este tipo de materiales, con el objetivo principal de estudiar el proceso de fragmentación del medio bajo acciones mecánicas.

Una de las principales ventajas de la utilización del MED es la posibilidad de llevar el material hasta la tensión de rotura y poder visualizar como se propaga la misma a lo largo del medio.

El estudio de rotura es un objetivo muy importante y permite analizar la forma de los mecanismos que la provocan.

Selvadurai [18] llevó a cabo su estudio utilizando la teoría del estado plano de deformación. Para su modelización describe un modelo constitutivo entre las diferentes partículas y utiliza un criterio de rotura de Mohr-Coulomb que describe el inicio de la fragmentación, pudiendo determinar la carga de rotura de acuerdo con la tensión máxima que resisten los contactos entre partículas

El modelo propuesto por Gethin, Ranking, Lewins, Dutko y Crokk [19] constituye un paso más en la evolución del proceso de simulación mediante la combinación de elementos discretos y elementos finitos.

La combinación de estas dos técnicas permite abordar problemas que actualmente están todavía por resolver y se propone como una idealización de una nueva técnica numérica que toma los puntos fuertes de cada método y los agrupa en uno sólo.

El objetivo es la descripción de un modelo bidimensional en el que se combinan elementos discretos y elementos finitos. La discretización de las partículas se realiza mediante la técnica de los elementos finitos, mientras que la modelización de los contactos entre cada partícula se hace utilizando la técnica de los elementos discretos.

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La principal novedad que comporta esta nueva técnica es que las partículas dejan de ser cuerpos rígidos como sucedía con la formulación inicial de Cundall [1] [4]. Por lo tanto se puede describir el comportamiento mecánico, permitiendo la deformación de las partículas sólidas, aproximándolo más a la realidad física en la que sí tiene lugar dicha deformación de las partículas.

El análisis [19] pretende demostrar la validez de esta técnica, y para ello, hace una comparativa con el modelo de Gurson [20] el cual es propuesto para el análisis de medios continuos.

La principal ventaja de la combinación de elementos discretos y elementos finitos radica en la posibilidad que ofrecen estos últimos en cuanto a la deformación de las partículas se refiere; todo ello, permite representar un comportamiento más próximo a la realidad de los medios de naturaleza granular.

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Estimación de parámetros microestructurales en el modelo MED Capítulo 3: Formulación del método MED CAPITULO 3: FORMULACION DEL METODO DE LOS ELEMENTOS

DISCRETOS 3.1 - Introducción

El Método de los elementos discretos fue introducido por Cundall (1971) para el análisis de problemas de mecánica de rocas y con posterioridad se aplico a los sólidos por Cundall y Strack (1979) [1].

El método de los elementos discretos simula el comportamiento mecánico de un sistema conformado por una colección o sistema de partículas dispuestas arbitrariamente. Este modelo considera las partículas como elementos discretos que en su conjunto conforman el sistema complejo de partículas. Estos elementos distintos como también se le conoce se desplazan independientemente uno de otros e interaccionan entre sí en las zonas de contacto.

En este método a nivel de cada partícula se hace uso de la mecánica del cuerpo rígido y los elementos discretos se consideran elementos rígidos en sí. El modelo constitutivo o de comportamiento del material es establecido en las zonas de contactos entre partículas y queda caracterizado por varios elementos mecánicos como: muelles, pistones y elementos de fricción. Los elementos muelles describen la fase de comportamiento elástico del medio en la zona de contacto entre cada partícula. Este comportamiento elástico queda caracterizado por dos muelles uno en la dirección de contacto normal y otro en la dirección tangencial, los cuales corresponden con la descomposición de fuerzas de contacto que se utilizan en la formulación del método. Los elementos de fricción describen la descohesión y la falla del material en la zona de contacto entre cada partícula. Por su parte los pistones son elementos que toman en cuenta la viscosidad del medio que se simula y son elementos reguladores de la energía. En la formulación establecida indistintamente puede emplearse varios modelos de contacto que pueden ser delimitados en modelos de contacto viscoso y no viscoso

Como el medio es descrito por un sistema de partículas es necesario emplear la ecuación de balance de la cantidad de movimiento. Supóngase para ello de un sistemas discreto formado por n elementos distintos tal que cada partícula i tiene una masa mi, que se mueve con una aceleración ai y esta sometida a una fuerza fi. En este caso la segunda ley de Newton establece que la fuerza que actúa sobre las partículas es igual a la masa de cada elemento distinto o discreto por su aceleración. Utilizando la definición de aceleración como la derivada material de la velocidad y teniendo en cuenta el principio de conservación de la masa (variación de la masa de la partícula es igual a cero) se tiene:

(

i i

)

i i i i i mv dt d dt dv m a m f = = =

Definiendo la cantidad de movimiento de la partícula como el producto de su masa por su velocidad (mi , vi), expresa que la fuerza que actúa sobre el elemento distinto es igual

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Estimación de parámetros microestructurales en el modelo MED Capítulo 3: Formulación del método MED       = = = =

_∑

i i i i i i i i i i i v m dt d dt dv m a m f ) t ( R

partiendo del principio que se cumple el principio de conservación de la masa

      _{= 0} dt dmi

La ecuación anterior expresa que la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el sistema discreto de partículas es igual a la variación por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento del mismo.

La ley de Newton proporciona la relación fundamental entre el movimiento del sistema de partículas y las fuerzas que causan dicho movimiento. El sistema de fuerzas puede estar en equilibrio estático cuando estas no están en movimiento o no actúan fuerzas sobre los diferentes elementos distintos o el medio en cuestión.

Las fuerzas, los desplazamientos, tensiones y deformaciones son determinados a nivel de cada contacto entre los elementos distintos. En correspondencia con el modelo constitutivo empleado estos elementos mecánicos son descompuestos en sus componentes normal y desviadora.

La formulación establecida parte de una serie de hipótesis que permiten simplificar el problema real desechando los aspectos menos significativos y permitiendo establecer un modelo físico y matemático del problema en estudio. Estas hipótesis son:

1. Las partículas son consideradas como cuerpos rígidos.

2. El contacto ocurre en el punto o área muy pequeña de contacto entre cada partícula.

3. En las uniones entre partículas se considera que existe contactos entre los elementos discretos.

4. Todas las partículas son circulares. En 2D se empelan discos y en 3D esferas. Si embargo, la formulación puede considerar o emplear otros tipos de partículas con formas diversas y arbitrarias.

5. La generación del medio empleando elementos discretos debe ser aleatoria y los diámetros de los mismos deben ser tratados de forma similar (posición y diámetro de los elementos distintos aleatorio).

6. Se trabaja en el campo de las pequeñas deformaciones.

7. El comportamiento constitutivo en la zona de contacto emplea un tolerancia (separación / penetración) donde las partículas o elementos distintos se le permite cierto solape (holgura, gap o penetración) o separación en el punto de contacto. Este aspecto implica desde el punto de vista numérico un contacto aproximado.

8. La magnitud del solape (holgura, penetración o gap) y la separación está relacionada con la fuerza de contacto, la ley fuerza-desplazamiento (modelo constitutivo de contacto), y la magnitud de estos es pequeña con relación al tamaño de los elementos distintos o partícula.

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Estimación de parámetros microestructurales en el modelo MED Capítulo 3: Formulación del método MED

Asumir que las partículas son elementos rígidos es bueno más cuando la deformación en un sistema físico es considerada a partir del movimiento a lo largo de las interfaces o zona de contacto entre las partículas.

En la formulación del modelo se han incluido elementos rígidos o paredes a los cuales se le pueden imponer condiciones de contorno como velocidades impuestas, desplazamientos, fuerzas o el caso totalmente opuesto como restricciones de movimiento.

En el método de los elementos discretos, la interacción de las partículas es abordada en el proceso de cálculo como un proceso dinámico con desarrollo de estados de equilibrio siempre y cuando exista un balance de las fuerzas interiores. La fuerza de contacto, los desplazamientos, tensiones y deformaciones relativas de una partícula del conjunto son determinadas a través de los movimientos que presentan las partículas individuales. Los movimientos son el resultado de la propagación a través del sistema de partículas de perturbaciones (condiciones de contorno impuestas: fuerzas, desplazamientos, velocidades, etc.) causadas por las paredes o por condiciones impuestas a los mismos elementos discretos. En este proceso dinámico la velocidad de propagación de las perturbaciones impuestas sobre el sistema de partículas dependen de las propiedades físicas y mecánicas del sistema discreto en cuestión. La estimación de estas propiedades microestructurales y su relación con la macroestructurales son en esencia el objetivo esencial de esta investigación.

El comportamiento dinámico del sistema de partículas es numéricamente representado por un algoritmo explícito con determinados paso de tiempo considerando que las velocidades y aceleraciones son constantes dentro de cada paso de tiempo. El método de los elementos discretos se basa en la idea de que el paso de tiempo escogido tiene que ser muy pequeño de forma tal que durante las propagación de una perturbación de una partícula a otra en un pasos de tiempo determinado no se puede propagar la misma mas allá que a los vecinos inmediatos de cada partícula. Este aspecto propicia que en todo momento, las fuerzas que actúan en cualquier partícula son exclusivamente determinadas por su interacción con las partículas que está en contacto. El paso de tiempo se asume en función de las propiedades físicas y mecánicas del medio, lo que posibilita asegurar que la velocidad a que una perturbación determinada se propaga cumpla con la restricción y suposiciones anteriores.

El proceso de cálculo en el método de los elementos discretos se realiza alternando la aplicación de la segunda ley de Newton y una ley de fuerza-desplazamiento (ecuación constitutiva de contacto) en los contactos existentes entre cada elementos distinto que conforma el sistema de partículas. La segunda ley de Newton se usa para determinar el movimiento de cada partícula que se origina como resultado de la acción de las fuerza de contacto y las fuerzas volumétricas, mientras que la ley constitutiva (ley fuerza-desplazamiento) se emplea para actualizar las fuerzas originadas por el movimiento relativo en cada contacto. En los contactos esfera pared solo se requiere aplicar la ley de fuerza-desplazamiento para cada contacto y no es necesario aplicar la ley de Newton porque en el caso de las paredes los movimientos son prefijados como condiciones impuestas.

El modelo consiste en emplear elementos esféricos rígidos para modelar el medio. Esta forma de modelación es apropiada para la modelación de materiales granulares,

(15)

rígidos y concentrar la deformación en los punto de contacto entre ellos es una modelación adecuada para describir y caracterizar el comportamiento de los materiales (metales, terreno, rocas, suelo, etc) y el movimiento de las discontinuidades a nivel microscópico y macroscópico. Por consiguiente este modelo también puede aplicarse para modelar el problema a diversas escalas (modelos multiescalas) en función de las dimensiones de los diversos elementos que conforman el medio. En la definición de las leyes de contacto entre elementos se incluye las fuerzas de cohesión y fricción, aspectos que permite modelar la fractura y la descohesión o pérdida de cohesión del material. Esta consideración en el modelo permite a su vez delimitar la formación de micro-fisuras y micro-fisuras que provocan al final el colapso de una estructura. Tener en cuenta en el modelo de contacto la cohesión y ficción del material permite modelar materiales como rocas y suelos, que colapsarán, para ciertos rangos de esfuerzos, debido a la propagación de fisuras en el seno de los mismos.

3.2. - Proceso de cálculo del método de los elementos discretos.

El proceso del cálculo es un algoritmo cíclico o repetitivo que requiere la aplicación de la ley de movimiento a cada partícula, una ley del fuerza-desplazamiento en cada contacto, y una actualización constante de posiciones de las paredes. En cada paso de tiempo cambian de forma dinámica la estructura de contacto existente entre elementos distintos o entre las esferas y las paredes. Este aspecto implica tener un control estricto de los contactos en cada paso de tiempo, además de tener implementado un algoritmo eficiente que actualice constantemente los mismos durante el transcurso de la simulación. De forma muy simplificada el proceso de cálculo se ilustra en la figura siguiente:

Figura 1: Esquema explicito del Método de los elementos discretos.

En el proceso de cálculo en cada instante de tiempo, los contactos se actualizan y son determinados los diferentes contactos entre esferas y esferas-pared, conociéndose además la posición de cada partícula y de las paredes. Por su parte la ley

fuerza-Ley fuerza Desplazamiento Ecuación Constitutiva de contacto

(se aplica en cada contacto)

• Movimiento relativo.

• Ley constitutiva. Ley movimiento

(se aplica a cada partícula)

• Fuerzas resultantes

(16)

desplazamiento es aplicada en cada contacto para actualizar las fuerzas basándose en el movimiento relativo entre las partículas en contacto y el modelo constitutivo empleado. Seguidamente, la ley de movimiento se aplica a cada partícula para actualizar su velocidad y la posición basada en las fuerzas y momentos resultantes que se origina como resultado de la acción de las fuerza de contacto y las fuerzas volumétricas en cada elementos distinto. Análogamente la posición de la pared es actualiza basándose en las velocidades especificada como condición impuesta.

Análisis Temporal Tiempo Ti...Tn

Partícula i...n

Verificación de contacto

Calculo de las aceleraciones

(lineales y angulares) Cálculo de velocidades (lineales y angulares) Cálculo de desplazamientos (lineales y angulares) Partícula i+1 Tiempo T+∆T

Final del Cálculo

(17)

Estimación de parámetros microestructurales en el modelo MED Capítulo 3: Formulación del método MED 3.3 - Formulación de Método de los Elementos Discretos.

3.3.1 – Ecuaciones de Movimiento.

El estudio de modelos de partículas a través del Método de los Elementos Distintos con el empleo de nuevos modelos constitutivos micro-estructurales es un tema de indudable interés científico en el campo de los métodos numéricos en la ingeniería.

La finalidad de acercase cada vez más al micro-mundo y a la esencia micro-estructural de los fenómenos físicos, permite realizar estudios de seguridad estructural con un alto grado de precisión y fiabilidad, lo que a su vez posibilita prever fallos estructurales severos, ya que los modelos discretos (modelos de partículas) permiten detectar fallos a nivel micro. El hecho de poder estudiar los estados tensionales y deformacionales a un nivel microscópico posibilita detectar las aparición de microfisuras y discontinuidades que son el comienzo de las cadenas de fallos estructurales y la formación de micro-zonas de plastificación que culminan desafortunadamente a nivel macroscópico en el fallo estructural. Estas delimitaciones no apreciables por los métodos macroscópicos convencionales, posibilita estudiar la evolución de las micro-grietas y posibilita prevenir catástrofes y desastres que pueden afectar a las estructuras.

El movimiento de los diferentes elementos discretos que conforman el modelo de partículas se rigen por las leyes de la dinámica de la mecánica del sólido rígido. La translación y la rotación de las partículas esféricas o cilíndricas rígidas se describen por medio de las ecuaciones de la dinámica de Newton-Euler (figura 3). El movimiento del elemento i-ésimo del conjunto de elementos discretos se describe por las siguientes ecuaciones: i i i ü F m = (1) i i i T I _ω& = (2) donde :

u - es el vector de desplazamiento del centroide del elemento en un sistema de

coordenadas X.

ω - velocidad angular del elementos respecto a sistema de referencia móvil x, con el elementos y el origen en el centro del mismo.

m - masa del elemento o partícula i-ésimo. I - momento de la inercia.

F - fuerza resultante T - el momento resultante.

(18)

Figura 3: Movimiento de sólido rígido en un sistema de referencia espacial

l

3.3.2 - Amortiguamiento Global.

Los códigos dinámicos explícitos satisfacen mejor la simulación de procesos dinámicos, no obstante se pueden aplicar fácilmente a la simulación problemas cuasi-estáticos. Una de las metodologías elaboradas para analizar los problemas cuasi-estáticos con el modelo dinámico es la relajación dinámica [21]. Un factor importante para el éxito del análisis de los problemas cuasi-estáticos con un código dinámico consiste en la aplicación de un amortiguamiento adecuado. En el modelo de los elementos discretos, las oscilaciones con las frecuencias más altas se amortiguan con el amortiguamiento impuesto al contacto. Igualmente en los problemas cuasi-estáticos, es necesario amortiguar las oscilaciones de los modos de vibración más bajos a través de un amortiguamiento exterior o global. Esto puede lograrse aplicando el amortiguamiento viscoso global cerca del valor crítico para las frecuencias más bajas. La velocidad de las cargas también debe corresponder a las propiedades dinámicas del sistema, y debe introducirse durante un tiempo suficientemente largo comparado con el periodo de vibraciones en el modo natural más bajo.

El estado de equilibrio del sistema de partículas puede ser logrado por la aplicación de un amortiguamiento adecuado. A veces es necesario la aplicación de un amortiguamiento para disipar la energía cinética de las partículas que no están en contacto y esta es la justificación para el empleo de un amortiguamiento global del sistema de partículas. En el caso del amortiguamiento global al igual que en el

t=ti u y T F x y x z z t=0 Z Y X X Xo

(19)

En los dos casos los términos de amortiguamiento FiAmortig y

Amortig i T se agregan a las ecuaciones de movimiento (1) y (2): Amortig i i i i ü F F m = + (3) i Amortig i i i T T I _ω& = + (4)

Figura 4 : Fuerzas en el contacto entre partículas o elementos distintos.

El cálculo del amortiguamiento global es diferente para el caso viscoso y no viscoso. En el viscoso el amortiguamiento queda definido por:

i i VT amortig i mu F =−α & i i Vr amortig i I T =−α ω

y para el caso no viscoso :

i i i nVT amortig i u u F F & & α − = i i i nVr amortig i T T ω ω α − =

• Conexión entre esferas

i i

F

g r1 r2 r3 r4

F

1

F

2

F

3

F

4

(

)

( )

∑

= = = + = n 1 i i i n 1 i i gi r F T F F F

(20)

donde: αv T, α v r, α n v T , α n v r son las constantes de amortiguamiento. En estas ecuaciones queda expresado el amortiguamiento del sistema global para el caso viscoso y no viscoso. En el caso del amortiguamiento viscoso la fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad, mientras que en el no viscoso es proporcional a la fuerza y al momento resultante.

3.3.3 - Determinación de la densidad y masa micro-estructural.

La masa de cada elementos distinto se puede estimar conociendo de antemano la densidad de material y los diámetros o radios de cada una de las esferas que conforman el medio. Este cálculo de la masa (Figura 5) puede realizar por:

i

i V

m = γ

donde:

γ - densidad micro del material.

V- Volumen.

Figura 5: Definición del volumen de control para evaluar la densidad microestuctural En los modelos de partículas como su nombre lo indica, se discretiza el medio por elementos discretos esféricos, lo que propicia la formación de zonas de vacío o huecos que a su vez delimitan la porosidad del material. Estos implica que sea necesario tomar en cuenta este aspecto para el cálculo de la densidad micro-estructural. Para ello en cada partícula se define un volumen de control (Vc), lo que posibilita definir la densidad micro para cada elementos distinto:

∑

− − = − γ = γ _o(i) _c _i _j(i) c ) i ( o c ) i ( V V V V , V V V 3 i i r 3 4 V = π (3D - esferas)

que para el caso de 2D se trabaja con el concepto de área de control (Ac) y queda definido por:

∑

− (i) (i) (i) ) i ( _A _A

•

Conexión entreesferas

Vi ) i ( j __ V

(21)

Estimación de parámetros microestructurales en el modelo MED Capítulo 3: Formulación del método MED 2

i r

A =π (2D - cilindros)

3.3.4 - Integración del problema con un esquema de diferencia finita central.

El movimiento rotatorio se describe con respecto al corrotacional de un sistema de coordenadas locales x incluido en cada elemento. El vector F y T son las sumas de todas las fuerzas y momentos aplicadas en el elemento i-ésimo debido a la carga externa, y a las interacciones de contacto entre las esferas, etc., así como a las fuerzas que son el resultado del amortiguamiento en el sistema.

Las ecuaciones de movimiento (1), (2) o (3) (4) se integran en el tiempo usando un esquema de diferencias finitas central. La integración del movimiento traslacional de los elementos discretos para el paso de tiempo i-ésimo se realiza como sigue:

i n i n i m F u&& = (5)

que de incluir las fuerzas de amortiguamiento:

i n i amortig i n i m F F u&& = + (6) t u u u 2 n_i 1 n i 2 1 n i = + ∆ − + && & & (7) t u u u 2 1 n i n i 1 n i = + ∆ + + & (8)

En el caso del movimiento rotacional también se emplea un esquema en diferencias finitas central lo que implica que para el caso de la velocidad y el desplazamiento angular sea: i n i n i I T = ω& (9)

que de tomar en cuenta el amortiguamiento global:

i n i amortig i n i I T T + = ω& (10) t n i 2 1 n i 2 1 n i =ω +ω ∆ ω + − & (11)

Si se esta estudiando el problema en 2D el ángulo de la rotación (θ) se puede obtener de modo similar al vector del desplazamiento ui (8):

t 2 1 n i n i 1 n i = θ +ω ∆ θ + + ₍₁₂₎

(22)

En el caso del movimiento tridimensional, es decir en 3D, la matriz de rotatoción define el cambio de coordenadas del sistema de referencia móvil en cada paso de tiempo xi

respecto al sistema de referencia fijo Xi:

i ix

X = Λ (13)

La matriz de rotación se formula para cada paso de tiempo [22], [23] por:

t 2 1 n i ∆ ω = θ ∆ + (14) T i i 2 i i i i i i i cos 1 ~ sin 1 cos ∆θ + − ∆θ ∆θ∆θ θ ∆ θ ∆ + θ ∆ = ∆Λ

θ

∆

(15) n i i 1 n i =∆Λ Λ Λ + ₍₁₆₎ donde: T z y x, , } {∆θ ∆θ ∆θ = θ

∆ denota el vector de rotación incremental,

∆Λ es la matriz rotacional incremental,

i

~θ

∆ es una matriz ansimétrica con respecto a la diagonal principal, definida como:

          θ ∆ θ ∆ − θ ∆ − θ ∆ θ ∆ θ ∆ − = θ ∆ 0 0 0 ~ x y x z y z (17)

3.3.5 - Estabilidad numérica del esquema de integración explicito.

La integración explícita en el tiempo presenta una alta eficiencia computacional y no es incondicionalmente estable. La desventaja del esquema de la integración explícito es conocida, su estabilidad numérica condicional impone una limitación en el paso o discretización del tiempo. Para cumplir con la estabilidad del método es necesario que el paso de tiempo sea menor o igual al tiempo crítico:

critico

t

t ≤∆

∆ (18)

Para calcular el tiempo critico es necesario determinar la frecuencia natural más alta o mayor del sistema ωmax:

max critico 2 t ω = ∆ (19)

Si existe el amortiguamiento, el incremento de tiempo crítico se da por:

(

+ξ −ξ

)

= ∆ 2 max critico 1 w 2 t (20)

(23)

donde:

ξ - es el fracción del amortiguamiento crítico que corresponde a la frecuencia más alta ωmax.

La determinación exacta de la frecuencia más alta o mayor ωmax requiere la solución de

un problema de auto valores definidos para el sistema de n partículas rígidas conectadas entre sí. En un procedimiento de solución aproximado, pueden definirse los problemas de autovalores separadamente usando las ecuaciones linealizada del movimiento:

0 r k r m_i &&_i + _i _i = (21) donde

{

}

{

}

T i z i y i x i z i y i x i T i i i i i i i m ,m,m ,I,I,I ,r (u ) ,(u ),(u ) ,( ),( ) ,( ) m = = θ θ θ (22)

ki - matriz rigidez que toma en cuenta la contribución o el aporte de todas las partículas

i.

La ecuación (22) define los vectores mi y ri para una partícula esférica en el espacio

tridimensional. Para una partícula cilíndrica en un modelo bidimensional se definen como sigue:

{

}

{

}

T i z i y i x i T i i i i m ,m ,I , r (u ),(u ) ,( ) m = = θ ) (23)

La ecuación (21) conduce a resolver el problema de autovalores siguiente:

i i i i ir m r k = λ (24)

donde: los autovalores λj (j ∈ {1,....,6} en el caso de 3D, y para el caso de 2D j ∈

{1,....,3}) son los cuadrados de la frecuencias de vibraciones libres:

2 j j =ω

λ (25)

En los problemas de 3D, tres de las seis frecuencias son de translación, y el otras tres de rotación, mientras que en 2D dos frecuencias son de traslación y una de rotación.

Una forma de simplificar el problema de autovalores para el cálculo de la frecuencia máxima ωmax puede ser estimar la misma como la máxima frecuencias natural de un

sistemas masa-resorte definido para todas las partículas con una translación y un rotación por grado de libertad. Las translaciones y la rotaciones de las vibraciones libre son gobernadas por las ecuaciones siguientes:

m_iu&&_n_i +k_nu_n_i =0 (26)

0 u k

I_iθ&&_n_i + _θ _n_i = (27)

donde se asume que el movimiento de traslación es debido a la interacción de contacto en la dirección normal (kn es la rigidez elásticas del contacto en la dirección normal), y

(24)

del contacto en la dirección tangencial al mismo). Dado la restricción tangencial, puede mostrarse que la rigidez rotatoria puede obtenerse como:

2 Tr

k

kθ = (28)

donde r es la longitud del vector que conecta el centro de masa de los puntos en contacto

La frecuencia natural de las vibraciones de translación vienen dadas por la ecuación siguiente: i n n m k = ω (29)

mientras la frecuencia rotacional puede obtenerse por la fórmula i I k_θ θ = ω (30)

Como la inercia rotacional es:

2 r m 5 2 I= (3D, esferas) (31) 2 r m I 2 = (2D, discos) (32) y kθ esta dado por la ecuación (28), la frecuencia rotacional puede calcularse como:

i T m 2 k 5 = ω_θ (3D, esferas) (33) i T m k 2 = ω_θ (2D, discos) (34)

Si kT=kn la frecuencia rotacional ωθ es considerablemente mayor que la frecuencia de translación ωn obtenido por la ecuación (30), como resultado el incrementos del tiempo

critico tiene que ser menor que la obtenida por la ecuación (19). Para evitar la determinación de un paso de tiempo crítico con las frecuencias rotacional, es necesario escalar adecuadamente las condiciones de inercia rotatorias.

3.3.6 - Modelo constitutivo de contacto micro estructural y evaluación de las fuerzas de contacto.

(25)

entre un par de partículas, se procede a calcular las fuerzas que ocurren en este punto de contacto. Si se considera dos partículas, la interacción entre estas se puede representar por la aplicación de las tercera ley de Newton. La interacción entre estos dos elementos distintos se representa por las fuerzas de contacto F1 y F2, que por principio de acción y

reacción satisfacen las relación siguientes:

2

1 F

F =− (35)

Si se descomponen las fuerzas (F1 o F2 que ahora se denota por F) en sus componentes

normales y tangenciales, Fn y FT, respectivamente:

T n T n F F n F F F= + = + ₍₃₆₎ donde:

n - es el vector de la unidad normal a la superficie de la partícula en el punto de contacto

(por tanto, para elementos esféricos o discos tiene la dirección de la recta que une las dos partículas y su dirección es apuntando hacia afuera respecto la partícula 1).

Figura 6: Descomposición de las fuerzas en sus componentes normal y tangencial. La fuerza de contacto Fn y FT se obtiene a través del modelo constitutivo empleado

para describir el comportamiento en el contacto entre las esferas. En este caso se han formulado dos modelos constitutivos: uno con comportamiento viscoso y otro no viscoso (figura 7). El comportamiento no viscoso es un caso particular del viscoso cuando las viscosidad en el contacto es cero.

Estos modelos quedan caracterizados por diferentes elementos que describen la parte elástica y plástica del comportamiento del material y en el caso especifico del modelo viscoso existe un pistón que describe el comportamiento viscoso del contacto. Como para el estudio del contacto las fuerzas han sido descompuestas en su componente normal y tangencial, en consecuencia con esto se ha formulado el modelo constitutivo de contacto, lo que implica que la interfase del contacto se caracteriza por: una rigidez normal kn y otra tangencial kT, por la fuerza de cohesiva normal Rn (fuerza máxima en

la dirección normal) y tangencial RT (fuerza máxima en la dirección tangencial), por el

coeficiente de fricción de Coulomb µ, la intensidad de adhesión o adherencia β, y el coeficiente de amortiguamiento (c- en el modelo viscoso).

ωi FT vi Fn ωi+1 FT vi+1 Fn Fi+1 i+1 Fi i F=Fn+FT

(26)

Figura 7: Tipos de modelos constitutivos de contacto.

En el caso del modelo viscoso se introduce un amortiguamiento en el contacto con la finalidad de disipar la energía cinética y disminuir las oscilaciones de las fuerzas de contacto. Por esta razón se asume la contribución de una fuerza de amortiguamiento en la componente de fuerza de contacto normal. Por tanto, se puede descomponer las fuerzas de contacto normal Fn en su parte elástica Fne y en su respectiva fuerza de

contacto de amortiguamiento Fnd. Esta fuerza Fnd no existe en el caso del modelo no

viscoso.

nd ne

n F F

F = + (37)

Por su parte en el caso del modelo de contacto viscoso la fuerza de amortiguamiento se determina por:

n r nd cv

F = (38)

donde la componente de fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad relativa normal vr n de los centros de las dos partículas en el contacto.

n ) u u ( v_r_n = &₂− &₁ ⋅ (39)

El valor de amortiguamiento c se puede tomar como la fracción del amortiguamiento crítico Ccr para el sistema de dos cuerpos rígidos con masas m1 y m2, conectadas por un

muelle con rigidez kn.

n 2 1 r c m m k m m 2 C + = (40) Modelo viscoso µ cn kT kn Modelo no viscoso µ kT kn

(27)

Figura 8: Modelo constitutivo viscoso y no viscoso. Comportamiento a compresión y tracción en la dirección normal.

La parte elástica de la fuerza del contacto normal Fne es proporcional a la rigidez normal kn (knc – rigidez compresión y knt - tracción) y a la separación existente entre las partícula urn (Figura 8). n r n ne k u F = (41)

En el caso de materiales sin cohesión (β =0) no podrá desarrollarse fuerzas de contacto normal de tracción:

0

F_ne ≤ (42)

La separación entre partículas urn se calcula como la distancia entre los centro (d)

menos los radios (r1 y r2) de las esferas en contacto:

2 1 n r d r r u = − − (43) Fn=knc un un knc Fn cn=0 cn=0 Rn Fn < Rn Fn=knc un Fn ≥Rn Fn=0, Ft=0 un knt Fn Decohesión Modelo no viscoso une Fne=knc une knc Fne Fnd=cn vrn vrn cn Fnd Fn=Fne+Fnd Fn=Fne+Fnd une Rn knt Fne Fne=knt un Decohesión Fne < Rn Fne=knc une, Fn=knc une+cn vrn Fne≥Rn Fn= 0, Ft=0 Fnd=cn vrn vrn c Fnd Decohesión Rn Modelo viscoso

(28)

donde:

d - distancia entre los centro de las partículas r1, r2 - radios.

Si ur n ≤0, la fórmula (41) es valida, y por su parte Fne = 0.

Si el material es cohesivo (β=1) las fuerzas del contacto normales pueden ser de compresión o de tracción indistintamente. La fuerza del contacto normal debido a la cohesión es calculada por la ecuación (41), pero en este caso la separación urn es

calculada como la componente relativa del desplazamiento normal entre los puntos en contacto: n u u_r_n = _r ⋅ (44) ) r X ( ) r X ( u_r_n = ₂n +Λn₂ _c₂ − ₁n +Λn₁_c₁ (45) En el momento que se establece la adherencia cohesiva los puntos en cuestión coincide y se establece: 1 c 0 1 0 1 2 c 0 2 0 2 r X r X +Λ = +Λ (42) donde: 0 1

X ,X0₂,Xn₁ y Xn₂ - denotan las posiciones del centro de las partículas en el sistema de la coordenada global en un instante de tiempo to y el instante de

tiempo de estudio tn. Este aspecto denotando la configuración

presente y la configuración cuando la cohesión se ha establecido.

0 1

Λ ,Λ0₂,Λn₁ y Λn₂ - son las correspondientes matrices de rotación (matriz de cósenos directores),

rc1, rc2 - son los vectores que conectan los centros de la partícula con el punto de

contacto en el momento de establecerse la conexión entre esferas.

La fuerza elástica correspondiente a la dirección tangencial (Figura 9) se puede calcular por: rT T T k u F = (46) donde n u u u_rT = _r − _r_n ₍₄₇₎

La existencia de cohesión también implica que existe fuerza de contacto tangencial al mismo.