Capitulo 9 - Matrices de Impedancia

Curso IEE-443

Curso IEE-443

Sistemas Eléctricos de Potencia

Sistemas Eléctricos de Potencia

Capitulo 9: Matrices de

Capitulo 9: Matrices de

Impedancia y Admitancias

Impedancia y Admitancias

Contenido

Contenido





Modelos de Redes

Modelos de Redes



Matriz de Admitancia de Buses

Matriz de Admitancia de Buses



Matriz de Impedancia de Buses

Matriz de Impedancia de Buses



Matrices de Imp./Adm. de Mallas

Matrices de Imp./Adm. de Mallas



Cortocircuitos con Matriz Impedancias

Cortocircuitos con Matriz Impedancias

Modelos de Redes

Modelos de Redes

 Matemáticamente, las ecuaciones de redes pueden representarseMatemáticamente, las ecuaciones de redes pueden representarse en sistema de nodos (buses), de mallas o de ramas

en sistema de nodos (buses), de mallas o de ramas 

 El mas importante es el sistema de nodosEl mas importante es el sistema de nodos



 Donde las ecuaciones de redes se Donde las ecuaciones de redes se pueden representar a partir depueden representar a partir de parámetros de impedancia o admitancia

parámetros de impedancia o admitancia 

 Su comportamiento se puede analizar con n-1 ecuaciones (bus deSu comportamiento se puede analizar con n-1 ecuaciones (bus de referencia es despreciado pues esta a conectado a tierra).

referencia es despreciado pues esta a conectado a tierra). 

 En la forma de En la forma de admitancia, se escribe como:admitancia, se escribe como:



 IIBB es el vector de inyección de corrientes de buses (positivo si les el vector de inyección de corrientes de buses (positivo si la corriente fluyea corriente fluye

hacia en nodo) hacia en nodo)



 VVBB es el vector de ves el vector de voltajes medido desde el nodo de referenciaoltajes medido desde el nodo de referencia



Modelos de Redes

Modelos de Redes

 La matrizLa matriz YY_BB es:es:



 YY_BB es una matriz no-singular de es una matriz no-singular de orden (n-1)(n-1) y cuya inversa esorden (n-1)(n-1) y cuya inversa es Z

ZBB ::



Matriz de Admitancia de Buses

Matriz de Admitancia de Buses

Y

Y



 La matrizLa matriz YYBB es simple de determinares simple de determinar



 Las ecuaciones de corrientes son determinadas a partir de fuentesLas ecuaciones de corrientes son determinadas a partir de fuentes de tensión e impedancias conocidas

de tensión e impedancias conocidas 

 Las fuentes de voltaje con su Las fuentes de voltaje con su impedancia Z (Thevenin) sonimpedancia Z (Thevenin) son

reemplazadas por fuentes de corriente E*Y en paralelo con una reemplazadas por fuentes de corriente E*Y en paralelo con una impedancia Y=1/Z (Norton)

impedancia Y=1/Z (Norton) 

Matriz de Admitancia de Buses

Matriz de Admitancia de Buses

Y

Y



 Lo primero es transformar las fuente de tensión a Lo primero es transformar las fuente de tensión a fuentes defuentes de corriente:

corriente:



Matriz de Admitancia de Buses

Matriz de Admitancia de Buses

Y

Y



  A  A partir del nuevo partir del nuevo circuito se pueden circuito se pueden escribir las ecuaciones escribir las ecuaciones dede corrientes de nodos:

corrientes de nodos:



 Para el nodo 1:Para el nodo 1:



 Para el nodo 2:Para el nodo 2:



 Para el nodo 3:Para el nodo 3:



 Para el nodo 4:Para el nodo 4:



 Para el nodo 5:Para el nodo 5: b b

Matriz de Admitancia de Buses

Matriz de Admitancia de Buses

Y

Y



 Se determina así la relación de Se determina así la relación de corrientes y voltajes en formacorrientes y voltajes en forma matricial:

matricial:



Matriz de Admitancia de Buses

Matriz de Admitancia de Buses

Y

Y



 De este modo por inspección se De este modo por inspección se tiene que:tiene que:



 YY_iiii : Corresponde a la auto impedancia del nodo “i” en la diagonal de la matriz : Corresponde a la auto impedancia del nodo “i” en la diagonal de la matriz yy

es igual a la suma algebraica de todas las admitancias conectadas al nodo “i” es igual a la suma algebraica de todas las admitancias conectadas al nodo “i”



 YY_ikik = Y= Y_kiki : Corresponde a los elementos fuera de : Corresponde a los elementos fuera de la diagonal o admitanciasla diagonal o admitancias

mutas entre los nodos “i

mutas entre los nodos “i--k” y se calculan como la suma k” y se calculan como la suma negativa de todas lasnegativa de todas las admitancias conectadas entres los nodos “i

admitancias conectadas entres los nodos “i--k”k”



 La suma de las corrientes entrando al nodo “k” es:La suma de las corrientes entrando al nodo “k” es:



Matriz de Admitancia de Buses

Matriz de Admitancia de Buses

Y

Y



 Si quisiéramos encontrar el valor de YSi quisiéramos encontrar el valor de Y₂₂₂₂, se cortocircuitan todos, se cortocircuitan todos los nodos excepto el 2 y se encuentra la razón entre el voltaje V los nodos excepto el 2 y se encuentra la razón entre el voltaje V₂₂ yy la corriente I

la corriente I₂₂



Matriz de Admitancia de Buses

Matriz de Admitancia de Buses

Y

Y



 Ejemplo 1: Para el Ejemplo 1: Para el siguiente circuito construya la matriz desiguiente circuito construya la matriz de admitancia

Matriz de Admitancia de Buses

Matriz de Admitancia de Buses

Y

Y



 Ejemplo 1: Para el Ejemplo 1: Para el siguiente circuito construya la matriz desiguiente circuito construya la matriz de admitancia

admitancia YYBB por inspección:por inspección:



Matriz de Admitancia de Buses

Matriz de Admitancia de Buses

Y

Y



 Calcule YCalcule Y₁₁₁₁usando el método de inyección de usando el método de inyección de corrientes:corrientes:



Matriz de Impedancia de Buses

Matriz de Impedancia de Buses

Z

Z



 La matriz de impedancia de buses (La matriz de impedancia de buses (mm) es:) es:



  A  A diferencia de ldiferencia de la matriz de admia matriz de admitancia de buses, tancia de buses, la matriz dela matriz de impedancias no se puede crear por simple inspección del

impedancias no se puede crear por simple inspección del circuitocircuito 

 Se puede generar de las Se puede generar de las siguientes formas:siguientes formas:



 Inversión de la matriz de admitanciaInversión de la matriz de admitancia



 Pruebas de circuito abiertoPruebas de circuito abierto



 Formación paso a pasoFormación paso a paso



Matriz de Impedancia de Buses

Matriz de Impedancia de Buses

Z

Z



 Inversión de la matriz de admitanciaInversión de la matriz de admitancia



 Proceso complejo para grandes redesProceso complejo para grandes redes



 Generalmente utiliza algoritmos computacionalesGeneralmente utiliza algoritmos computacionales



 Pruebas de circuito abiertoPruebas de circuito abierto



 Se mide el voltaje en Se mide el voltaje en el bus (V1) al inyectar una el bus (V1) al inyectar una corriente de 1.0pucorriente de 1.0pu



 La impedancia Z11 se calcula como VLa impedancia Z11 se calcula como V₁₁/I/I₁₁~ V~ V₁₁



 Se mide el voltaje en V1 al inyectar una corriente en I2Se mide el voltaje en V1 al inyectar una corriente en I2



 La impedancia Z12 se calcula como VLa impedancia Z12 se calcula como V₁₁/I/I₂₂~ V~ V₁₁



Matriz de Impedancia de Buses

Matriz de Impedancia de Buses

Z

Z



 Ejemplo 2: Para el circuito del Ejemplo 1, construya la matriz deEjemplo 2: Para el circuito del Ejemplo 1, construya la matriz de impedancia

impedancia ZZ_{BB por inversión y determine Zpor inversión y determine Z}

1

Matriz de Impedancia de Buses

Matriz de Impedancia de Buses

Z

Z



 Ejemplo 2: cont.:Ejemplo 2: cont.:



 Como se Como se puede observarpuede observar, la , la esparcidadesparcidad (dispersión) (dispersión) de la matrizde la matriz de impedancia (numero de ceros), se pierde en la

de impedancia (numero de ceros), se pierde en la matriz dematriz de impedancia

impedancia 

 Test CA para ZTest CA para Z₁₁₁₁::

Z

Matrices de Imp./Adm. de Mallas

Matrices de Imp./Adm. de Mallas

 En el marco referencial de mallas En el marco referencial de mallas (loops) se cumple que:(loops) se cumple que:



 DondeDonde VV_LL es el vector de voltajes de la mallaes el vector de voltajes de la malla 

 IILL el vector de corrientes de el vector de corrientes de malla (desconocido)malla (desconocido)



 ZZ_LL la matriz de impedancia de mallasla matriz de impedancia de mallas 

 Si la matizSi la matiz ZZ_LL es no singulares no singular  se puede invertir:se puede invertir:



Matrices de Imp./Adm. de Mallas

Matrices de Imp./Adm. de Mallas

 ZZLL la matriz de impedancia de mallas la matriz de impedancia de mallas se puede determinar porse puede determinar por

inspección usando ley de Kirchoff  inspección usando ley de Kirchoff 

Matrices de Imp./Adm. de Mallas

Matrices de Imp./Adm. de Mallas

 ZZLL la matriz de impedancia de mallas la matriz de impedancia de mallas se puede determinar porse puede determinar por

inspección usando ley de Kirchoff  inspección usando ley de Kirchoff 

Matrices de Imp./Adm. de Mallas

Matrices de Imp./Adm. de Mallas

 De este modo por inspección se tiene De este modo por inspección se tiene que:que:



 ZZ_iiii: Corresponde a la auto impedancia del nodo “i” en la diagonal de la matriz : Corresponde a la auto impedancia del nodo “i” en la diagonal de la matriz yy

es igual a la suma algebraica de todas as impedancias en el loop “i” es igual a la suma algebraica de todas as impedancias en el loop “i”



 ZZ_ikik = Z= Z_kiki : Corresponde a los elementos fuera de : Corresponde a los elementos fuera de la diagonal o impedanciasla diagonal o impedancias

mutas entre los nodos “i

mutas entre los nodos “i--k” y se calculan como lk” y se calculan como la suma negativa de todas lasa suma negativa de todas las impedancias comunes a los loop “i

impedancias comunes a los loop “i--k”k”



 La matriz de admitancia de mallas se La matriz de admitancia de mallas se puede determinar invirtiendopuede determinar invirtiendo la matriz de impedancia de mallas

Cortocircuitos con Matriz Impedancias

Cortocircuitos con Matriz Impedancias

 Para el análisis de Para el análisis de cortocircuitos usando la matriz de impedanciascortocircuitos usando la matriz de impedancias se sigue la misma lógica

se sigue la misma lógica vista en capítulos anteriores (análisis devista en capítulos anteriores (análisis de fallas)

fallas) 

 Considerando las matrices de impedanciaConsiderando las matrices de impedancia ZZ₀₀,, ZZ₁₁ yy ZZ₂₂ de unde un sistema son conocidas, las corrientes de secuencia de falla

sistema son conocidas, las corrientes de secuencia de falla en unen un nodo “

nodo “ss” se calculan como (asumiendo V” se calculan como (asumiendo V_FF=1.0pu):=1.0pu):



 Falla monofásica a tierraFalla monofásica a tierra



 Falla bifásicaFalla bifásica



Cortocircuitos con Matriz Impedancias

Cortocircuitos con Matriz Impedancias

 Ejemplo 3: Considere un sistema de 4 Ejemplo 3: Considere un sistema de 4 nodos cuyas impedanciasnodos cuyas impedancias de secuencia 1, 2 y 0 son:

de secuencia 1, 2 y 0 son:



 Para una falla bifásica a tierra en el nodo 4 (VPara una falla bifásica a tierra en el nodo 4 (V_FF=1/_0°), determine:=1/_0°), determine:



 La corriente de falla en el nodo falladoLa corriente de falla en el nodo fallado



 El voltaje en el nodo 4El voltaje en el nodo 4



 El voltaje en los nodos 1, 2, y 3El voltaje en los nodos 1, 2, y 3

Z Z 1 1 == ZZ22 == Z Z_{00 ==}

Cortocircuitos con Matriz Impedancias

Cortocircuitos con Matriz Impedancias

 Ejemplo 3: Cont:Ejemplo 3: Cont: 

Cortocircuitos con Matriz Impedancias

Cortocircuitos con Matriz Impedancias

 Ejemplo 3: Cont:Ejemplo 3: Cont: 

Cortocircuitos con Matriz Impedancias

Cortocircuitos con Matriz Impedancias

 Ejemplo 3: Cont:Ejemplo 3: Cont: 

Cortocircuitos con Matriz Impedancias

Cortocircuitos con Matriz Impedancias

 Ejemplo 3: Cont:Ejemplo 3: Cont: 

Cortocircuitos con Matriz Impedancias

Cortocircuitos con Matriz Impedancias

 Ejemplo 3: Cont:Ejemplo 3: Cont: 

 El voltaje en los nodos 1, 2, y 3El voltaje en los nodos 1, 2, y 3



 Ej.: Voltaje en nodo 1 para una falla en el Ej.: Voltaje en nodo 1 para una falla en el nodo 4nodo 4  Se usa la impedancia ZSe usa la impedancia Z₁₄₁₄



 Método similar se aplica para determinar voltajes en Método similar se aplica para determinar voltajes en nodos 2 y 3:nodos 2 y 3:

-Cortocircuitos con Matriz Impedancias

Cortocircuitos con Matriz Impedancias

 Ejemplo 3: Cont:Ejemplo 3: Cont: 

 El voltaje en los nodos 1, 2, y 3El voltaje en los nodos 1, 2, y 3



Solución de Ecuaciones en Redes Grandes

Solución de Ecuaciones en Redes Grandes



 La solución de redes grandes con varios nodos La solución de redes grandes con varios nodos requiere delrequiere del almacenamiento de cada elemento de la matriz

almacenamiento de cada elemento de la matriz 

 Sin embargo la redes grandes son muy Sin embargo la redes grandes son muy dispersas presentandodispersas presentando una gran cantidad de elementos igual a

una gran cantidad de elementos igual a cero (90%)cero (90%) 

 Existen varias técnicas para resolver matrices Existen varias técnicas para resolver matrices dispersas por mediodispersas por medio de algoritmos computacionales

de algoritmos computacionales 

 Estos algoritmos permiten ahorrar una cantidad significativa deEstos algoritmos permiten ahorrar una cantidad significativa de tiempo computacional:

tiempo computacional:



 TrianTriangulación y gulación y factorizaciónfactorización



 Sustitución Sustitución forward-bforward-backwardackward



Solución de Ecuaciones en Redes Grandes

Solución de Ecuaciones en Redes Grandes



 TriTriangulación y angulación y factorización: Método Croutfactorización: Método Crout



 La matriz se resuelve por medio La matriz se resuelve por medio del producto entre dos matrices triangulares:del producto entre dos matrices triangulares:

superior (U) e inferior (L) superior (U) e inferior (L)

Solución de Ecuaciones en Redes Grandes

Solución de Ecuaciones en Redes Grandes



 TriTriangulación y angulación y factorización: Método Croutfactorización: Método Crout



Solución de Ecuaciones en Redes Grandes

Solución de Ecuaciones en Redes Grandes



 Sustitución de Matriz A: Método Sustitución de Matriz A: Método forward-backwardforward-backward



Solución de Ecuaciones en Redes Grandes

Solución de Ecuaciones en Redes Grandes



Solución de Ecuaciones en Redes Grandes

Solución de Ecuaciones en Redes Grandes



 Ejemplo 4: Para la siguiente Ejemplo 4: Para la siguiente matriz de impedancias, determine lasmatriz de impedancias, determine las sub-matrices L/U y resuelva las corrientes de nodo dado el

sub-matrices L/U y resuelva las corrientes de nodo dado el vectorvector de voltajes por medio de

de voltajes por medio de sustitución forward-backward:sustitución forward-backward:

Z=A= Z=A= L= L= U=U= V=b= V=b= 1.01 1.01 0.98 0.98 1.00 1.00 1.02 1.02 I=x= I=x= ???? Z*I=V

Solución de Ecuaciones en Redes Grandes

Solución de Ecuaciones en Redes Grandes



 Ejemplo 4: Cont.:Ejemplo 4: Cont.:



 Resolviendo usando sustitución se obtienen las corrientes deResolviendo usando sustitución se obtienen las corrientes de nodo: nodo: y y₁₁==11..001100 II₁₁= 0.5129= 0.5129 y y₂₂=0.327 =0.327 II₂₂= 0.2550= 0.2550 y y₃₃=0.072 =0.072 II₃₃= -0.0129= -0.0129 y y₄₄=0.254 =0.254 II₄₄= 0.2536= 0.2536 Z*I=V

Solución de Ecuaciones en Redes Grandes

Solución de Ecuaciones en Redes Grandes

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 Ejemplo 5: Para el siguiente Ejemplo 5: Para el siguiente circuito asuma que todas lascircuito asuma que todas las impedancias son

impedancias son igual a 1.0 Ohm igual a 1.0 Ohm y y las fuentes de las fuentes de tensión igual atensión igual a 1.0 V

1.0 V. Determine los . Determine los voltajes en todos voltajes en todos los nodos del los nodos del sistemasistema respecto

respecto del nodo del nodo de referencia de referencia usando sususando sustitución titución forward- forward-backward.

Solución de Ecuaciones en Redes Grandes

Solución de Ecuaciones en Redes Grandes



 Ejemplo 5: Primero se construye la matriz de Ejemplo 5: Primero se construye la matriz de admitancias poradmitancias por inspección:

Solución de Ecuaciones en Redes Grandes

Solución de Ecuaciones en Redes Grandes



 Ejemplo 5: Luego se computan los voltajes Ejemplo 5: Luego se computan los voltajes usando factorizaciónusando factorización L/U y sustitución F-B: L/U y sustitución F-B: 3 3 -1 -1 -1 -1 0 0 00 -1 -1 3 3 0 -1 0 -1 -1-1 -1 -1 0 0 3 -1 3 -1 00 0 0 -1 -1 -1 -1 3 3 -1-1 0 0 -1 -1 0 -1 0 -1 22 2 2 1 1 -1 -1 0 0 -1 -1 = = 0.933 0.933 0.733 0.733 0.067 0.067 0.267 0.267 0.000 0.000 = = x x

Resumen

Resumen



 Un circuito eléctrico se puede resolver utilizado las Un circuito eléctrico se puede resolver utilizado las matrices dematrices de impedancia o admitancia de barras (buses/nodos)

impedancia o admitancia de barras (buses/nodos)



 La regla general será utilizar matrices de admitancia pues La regla general será utilizar matrices de admitancia pues sonson mas fáciles de derivar usando la

mas fáciles de derivar usando la regla de inyección de corrientesregla de inyección de corrientes de nodos

de nodos



 Esto implica que se requiere la inversión de una matriz (Esto implica que se requiere la inversión de una matriz (ZZ_BB) para) para obtener los voltajes de nodos dado el

obtener los voltajes de nodos dado el vector de corrientes (ovector de corrientes (o cargas)

cargas)



 Para sistemas grandes existe mucha dispersidad matricial conPara sistemas grandes existe mucha dispersidad matricial con varios elementos iguales a cero

varios elementos iguales a cero



 Para resolver estos sistemas grandes se usan los métodos dePara resolver estos sistemas grandes se usan los métodos de factorización L/U y sustitución forward-backward los cuales son factorización L/U y sustitución forward-backward los cuales son fáciles de implementar en