Modelo Generalizado de Hanavan

MODELO GENERALIZADO DE HANAVAN

Modelo creado por Ernest P. Hanavan, capitán de la fuerza aérea estadounidense en el año 1964, para describir matemáticamente el cuerpo humano, el modelo divide el cuerpo en 15 segmentos representadas con sólidos geométricos básicos, estos segmentos son: 1. Cabeza 2. Torso superior 3. Torso inferior 4. Mano derecha 5. Mano izquierda

6. Brazo superior derecho 7. Brazo superior izquierdo 8. Antebrazo derecho 9. Antebrazo izquierdo 10.Pierna superior derecha 11.Pierna superior izquierda 12.Pierna inferior derecha 13. Pierna inferior izquierda 14.Pie derecho

15.Pie izquierdo

Los sólidos utilizados consisten en conos truncados para brazos, piernas y pies, elipses para manos y cabeza y finalmente un par de polígonos regulares para las dos secciones del torso. Para realizar el modelo para las piernas y los brazos es necesario analizar el cono truncado:

Figura 2. Análisis del cono recto circular truncado1_.

Como primer paso para analizar el cono truncado se deben hacer algunas consideraciones a partir de la Figura 2, en donde:

h=h

₁

−

h

_{2 (1)}

h

1

R

=

h

2

RR

=

h

R−RR

(2)

Se procede a despejar cada una de las alturas del cono de la Figura 2a:

h

₁

=

R h

R−RR

(3)

h

₂

=

RR h

R−RR

(4)

Para calcular las masas de los conos de alturas h1 y h2 es necesario considerar su volumen y tener en cuenta la relación masa, densidad, volumen.

V =

π r

2

h

3

(5)

V =

m

ρ

(6)

m

ρ

=

π r

2

h

3

(7)

m=

ρπ r

2

h

3

(8)

Usando la ecuación (8) se procede a calcular la masa de cada uno de los segmentos:

M

₁

=

ρ π R

2

h1

3

(9)

M

₂

=

ρ π RR

2

_h

2

3

(10)

Reemplazando las ecuaciones 3 y 4 en las ecuaciones 8 y 9 respectivamente, se obtiene:

M

₁

=

ρ π R

3

h

3 (R−RR)

(11)

M

2

=

ρ π RR

3

_h

3 (R−RR)

(12)

Para calcular la masa del cono truncado se resta la masa del cono de altura h1 con la masa del cono de altura h2 dando como resultado:

M=M

₁

−

M

_{2 (13)}

M=

ρ π h

(

R

3

−

RR

3

)

3 (R−RR)

(14)

Debido a que el objetivo es encontrar una forma general del modelo de Hanavan se despeja uno de los radios, es este caso se procede a despejar el radio menor RR:

M =ρ π h(R−RR)(R

2

+R∗RR+ RR2

)

3 (R−RR) (15)

Simplificando y multiplicando por 1

3 M

ρ π h

=(

R

2

+

R∗RR+RR

2

₎

RR

2

RR

2 (16)

3 M

ρ π h

=

(

R

2

R R

2

+

R

RR

+1

)

RR

2 (17) Despejando RR

√

3 M ρ π h

(

R 2 R R2+ R RR+1

)

=RR (18)

Usando la ecuación (18) es posible calcular el radio menor del cono truncado con el cual se pueden modelar los brazos, las piernas y los pies según el modelo de Hanavan. Acorde a esto las variables serán:

ρ=Densidad total del cuerpo

[

Kg

c m

3

]

h=Longitud de la sección de cada extremidad

[

cm

]

M =Masa de la secciónde cada extremidad

[

Kg

]

RR=Radio menor del cono

[

cm

]

R=Radio mayor del cono

[

cm

]

Para realizar el cálculo del radio mayor del cono es necesario realizar un análisis de proporción en la pierna humana, mediante algunas mediciones la relación entre el radio mayor y menor del muslo, canilla y pie respectivamente será:

R=1.54 RR ₍₁₉₎

La densidad del cuerpo o densidad promedio es una variable que está en función de la contextura del cuerpo (somatotipo) y se puede calcular mediante las ecuaciones (20) y (21) modelo propuesto por Drillis y Contini (1966) [2].

c=

h

w

1/3 (20)

ρ=0.69+0.9 c

[

Kg

L

]

(21)

Según este modelo la densidad se expresa en términos de c, llamado el índice ponderal o índice de corpulencia, es una medida de contextura calculada como la relación entre masa y altura en donde h es la talla o altura de la persona en metros y w es la masa de la persona en Kilogramos. Debido a que las unidades resultantes de la función son de Kilogramo (Kg) sobre litro (L) es necesario, por efectos prácticos para el cálculo de las dimensiones del cono en centímetros, pasar estas unidades a Kilogramos (Kg) sobre centímetro cubico (cm3_).

ρ=0.69+0.9 c

1000

[

Kg c m3

]

(22)

Para el cálculo de la longitud de las extremidades del cuerpo se usa otro modelo plateado también por Drillis y Contini (1966) [2], el cual descompone las longitudes de las partes del cuerpo en función de la altura total del mismo (Ver Figura 3). Se va a referir a la altura del individuo como la talla,

representada en la Figura 3 como H.

Para realizar el cálculo de la masa de cada segmento se utiliza un modelo desarrollado durante años del cual se crearon tablas que ponen la masa de cada segmento en función de la masa total del cuerpo. Por otra parte los centros de masa se pueden ubicar usando tablas que tienen parámetros que describen la ubicación de dicho punto en función de una porción de la longitud total de la sección, esta se puede medir respecto a dos puntos de referencia el punto distal y el proximal. Estos son conceptos de distancia que tienen como punto de referencia el pecho, de allí las partes del cuerpo más alejadas a dicho punto se Figura 3. Descomposición de la longitud

de las piernas en función de la altura total. (Autor)

consideran distales y las más cercanas proximales, también se pueden tener otros puntos de referencia en cada segmento como por ejemplo, la mano es distal al hombro, teniendo en cuenta esto las medidas seleccionadas para el cálculo serán las proximales.

Tabla I. Parámetros para el cálculo de las masas y centro de masa de las piernas [2]. Segmento Masa del segmento/Mas a total del cuerpo Centro de masa/Longitud del segmento Proximal Distal Muslo 0.1 M 0.433 0.567 P Canilla 0.0465 M 0.433 0.567 P Pie 0.145 M 0.5 0.5 P Pie y canilla 0.061 M 0.606 0.394 P Pierna completa 0.161 M 0.447 0.553 P

El modelo que se propone para las piernas es el siguiente:

Sección Modelo Variables Ecuaciones

Cuerpo entero MT=Masa total de la persona Talla=Altura total de la persona ρ=Densidad promedio del cuerpo

ρ=

0.69+0.9 c

1000

c=

h

w

1/3

Muslo o pierna superio r (Autor) hm=Longitud del muslo. Rm=Radio mayor del muslo. rm=Radio menor del muslo. Mm=Masa del muslo. CMm=Ubicación del centro de masa del muslo respecto al proximal.

h

_m

=0.245∗Talla

R

_m

=1.54 r

_m

M

_m

=0.1 M

_T rm=

√

3 M_m ρ π hm

(

Rm 2 r_m2+ Rm rm +1

)

CM

m

=0.433∗h

m Canilla o pierna inferior (Autor) hc=Longitud de la canilla. Rc=Radio mayor de la canilla. rc=Radio menor del canilla. Mc=Masa del muslo. CMc=Ubicación del centro de masa de la canilla respecto al proximal.

h

_c

=

0.246∗Talla

R

c

=

r

c

M

_c

=0.0465 M

_T

r

c

=

√

3 M

c

ρ π h

c

(

R

_c2

r

_c2

+

R

_c

r

c

+1

)

CM

_c

=

0.433∗h

_c Pie (Autor) hp=Longitud del pie. Rp=Radio

mayor del pie. rp=Radio menor

del pie.

CMp=Ubicación

del centro de masa del pie

respecto al

proximal.

h

_p

=0.152∗Talla

R

_p

=

0.5∗0.039∗Talla

rp=

√

3 M_p ρ π hp

(

R_p2 r_p2 + R_p rp +1

)

CM

_p

=0.5∗h

_p

 Cálculo de los momentos de inercia:

Para poder realizar el dimensionamiento de los motores que van a componer las articulaciones del exoesqueleto es necesario calcular los momentos de inercia de cada una de las secciones de las extremidades. Debido a que están modeladas todas con conos truncados se buscan los momentos de inercia presentes en la figura, ya que el motor de cada una de las partes debe ser capaz de soportar y mover la totalidad de masa de la sección es necesario hallar los tensores de inercia en la base de cada una de las formas.

Mediante el uso de la ecuación (15) se procede a realizar otra generalización de la fórmula de masa:

M=

ρ π h ( R−RR)

(

R

2

+

R∗RR+RR

2

)

3 ( R−RR)

(

R

2

R

2

)

(23)

M=

ρ π h R

2

(

1+

RR

R

+

RR

2

R

2

)

3

(24)

Para realizar el cálculo de los momentos de inercia del cono de altura h1 y del cono de altura h2 es necesario expresar cada una de sus masas en función de la masa del cono truncado con el fin de relacionarlos al final para hallar el momento de inercia del cono truncado:

M

₁

=

M R

(

1+

RR

R

+

RR

2

R

2

)

(

R−RR)

(25)

M

₂

=

M RR

(

1+

RR

R

+

RR

2

R

2

)

(

R−RR)

(

RR

2

R

2

)

(26)

El momento de inercia del cono de altura h1 pasando por el centro de masa respecto al eje C-C será (Ver figura 2):

I

CC

=

3

20

M

1

(

R

2

+

h

1 2

4

)

(27)

Aplicando el teorema de ejes paralelos para los momentos de inercia:

I=I

c. g .

+

M D

2 ₍₂₈₎

Usando las ecuaciones (27) y (28) se obtiene el momento de inercia respecto al eje X’-X’:

I

_X'_X'₁

=

I

_CC

+

M

₁

x1

2

(29) En donde:

x

₁

=0.25 h

_{1 (30)}

El momento de inercia del cono de altura h2 pasando por el centro de masa respecto al eje B-B será (Ver figura 2):

I

_BB

=

3

20

M

2

(

RR

2

+

h

2 2

4

)

(31)

Usando las ecuaciones (31) y (28) se obtiene el momento de inercia respecto al eje X’-X’:

I

_X'_X'₂

=

I

_BB

+

M

₂

(

x

₂

+

h

)

2 (32) En donde:

x

₂

=0.25 h

_{2 (33)}

Ya que el análisis parte de los dos conos de alturas diferentes se puede calcular el momento de inercia respecto al eje X’-X’ del cono truncado restando el momento de inercia del cono de altura h1 con el momento de inercia del cono h2 como se muestra a continuación

I_X'_X'=I_X'_X'₁−I_X'_X'₂

(34)

I

_X'_X'

=

I

_CC

+

M

₁

x

₁

2

−

(

I

_BB

+

M

₂

(

x

₂

+

h

)

2

)

₍₃₅₎ Usando las ecuaciones (3), (4), (11) y (12) se procede a simplificar la ecuación dando como resultado:

I

_X' X'

=

M

[

3 R

2

20

(

1+

RR

R

+

RR

2

R

2

)

(

1+

RR

R

+

RR

2

R

2

+

RR

3

R

3

+

RR

4

R

4

)

+

h

2

10

(

1+

RR

R

+

RR

2

R

2

)

(

1+3

RR

R

+

6

RR

2

R

2

)

]

(36) El centroide del cono truncado está dado por:

x=

h

4

R

2

+2 R ( RR)+3 R R

2

R

2

+

R ( RR)+R R

2 (37) Usando las ecuaciones (28), (37) y (24) se obtiene:

I_XX=M

[

9 M 20 πρh

(

1+RR R + RR2 R2 + RR3 R3 + RR4 R4

)

(

1+RR R + RR2 R2

)

2 + 3 h2 80

(

1+4 RR R +10 RR2 R2 +4 RR3 R3 + RR4 R4

)

(

1+RR R + RR2 R2

)

2

]

(38)

El momento de inercia respecto al eje Z-Z pasando por el centro de masa será:

I

_ZZ

=

3 M

10

(

R

5

−

R R

5

R

3

−

R R

3

)

(39)

Usando las ecuaciones (24) y (39) se puede obtener el momento de inercia respecto a Z:

I

_ZZ

=

18 M

2

20 ρhπ

(

1+

RR

R

+

RR

2

R

2

+

RR

3

R

3

+

RR

4

R

4

)

(

1+

RR

R

+

RR

2

R

2

)

2 (40) El tensor de inercia estará dado por:

T =

[

I

_XX

0

0

0

I

_YY

0

0

0

I

_ZZ

]

[

M

[

9 M

20 πρh

(

1+

RR

R

+

RR

2

R

2

+

RR

3

R

3

+

RR

4

R

4

)

(

1+

RR

R

+

RR

2

R

2

)

2

+

3 h

2

80

(

1+4

RR

R

+

10

RR

2

R

2

+

4

RR

3

R

3

+

RR

4

R

4

)

(

1+

RR

R

+

RR

2

R

2

)

2

]

0

0

0

I

_YY

0

0

0

18 M

2

20 ρhπ

(

1+

RR

R

+

RR

2

R

2

+

RR

3

R

3

+

RR

4

R

4

)

(

1+

RR

R

+

RR

2

R

2

)

2

]

(42) Referencias

[1] E.P.Hanavan, “Mathematical Model of the Human Body”, (AMRL-TR-64-102), Wright-patterson Air Force Base. Ohio. 1964.

[2] WINTER, D. Biomechanics and motor control of human movement. John Wiley & Sons. Toronto, 1979.