Péndulo Simple P-2

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(3)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE

HUAMANGA

F

FACUL

ACULT

TAD

AD DE ING

DE INGENIERIA DE

ENIERIA DE MINAS,

MINAS, GEOLOGIA Y CIVIL

GEOLOGIA Y CIVIL

INGENIERIA DE MINAS

PRACTICA: Nº 02 PÉNDULO SIMPLE

Asignatura:

FISICA – IIFISICA – II

Alumno:

BARBARAN SULCA Rubén C.BARBARAN SULCA Rubén C.

Grupo de laboratorio:

VIERNESVIERNES

Hora:

2-5 p.m.2-5 p.m.

Ayacucho – Perú

2008.

(4)

(5)

PÉNDULO SIMPLE

11.. O

OB

BJJE

ET

TIIV

VO

OSS::

-- DeDetetermrmininar ar la la rerelalacición empón empíríricica a dedel l pépéndndululo o de oscde oscililacacióión n de de un pénun péndudulolo simple

simple

-- DeterminDeterminar ear el val valor lor de “de “g” pg” para ara la cla ciudiudad dad de Hue Huamanamanga.ga.

22.. MA

MATE

TERI

RIA

ALE

LES:

S:

o

o Soporte universalSoporte universal o

o VVarillas arillas metálicasmetálicas o

o Hilo de 120 cm.Hilo de 120 cm. o

o Regla patrónRegla patrón o

o Una esfera metálicaUna esfera metálica o

o Transportador Transportador o

o CronómetroCronómetro

3. 3. FU

FUND

NDAM

AMEN

ENTO

TO TE

TEOR

ORIC

ICO:

O:

1. 1. Péndulo simple.-

Péndulo simple.-

El péndulo El péndulo es un sistema es un sistema masa-hilo: una masa sumasa-hilo: una masa suspendidaspendida por un hilo desde un punto fijo. Cuando se desplaza de su posición de por un hilo desde un punto fijo. Cuando se desplaza de su posición de

equilibrio un ángulo

equilibrio un ángulo θ θ empieza a oscilar según la ecuación:empieza a oscilar según la ecuación: )) cos( cos( )) (( ω ω φ φ θ θ t t == A A t t ++ donde: donde: g g L L T T ==22π π entoncesentonces L L T T g g ₂₂ 2 2 4 4π π = =

Periodo de movimiento:

Se define como el tiempo que se demora en realizar Se define como el tiempo que se demora en realizar una

una oscoscilacilación ión comcomplepleta. ta. Para Para detedetermirminar nar el el perperíodíodo o se se utilutiliza iza la la sigsiguieuientente expresión T/ N° de Oscilaciones. ( Tiempo empleado dividido por el número de expresión T/ N° de Oscilaciones. ( Tiempo empleado dividido por el número de oscilaciones). oscilaciones). g g L L T T == 22π π

Frecuencia de movimiento:

Se define como el número de oscilaciones que seSe define como el número de oscilaciones que se generan en un segundo. Para determinar la frecuencia se utiliza la siguiente generan en un segundo. Para determinar la frecuencia se utiliza la siguiente ecuación N° de Oscilaciones. / T ( número de oscilaciones dividido del tiempo) ecuación N° de Oscilaciones. / T ( número de oscilaciones dividido del tiempo)

L L g g T T f f π π 2 2 1 1 1 1 = = = =

Amplitud:

Se define como la máxima distancia que existe entre la posición deSe define como la máxima distancia que existe entre la posición de equilibrio y la máxima altura.

equilibrio y la máxima altura.

Ciclo:

Se define como la vibración completa del cuerpo que se da cuando elSe define como la vibración completa del cuerpo que se da cuando el cuerpo parte de una posición y retorna al mismo punto.

cuerpo parte de una posición y retorna al mismo punto.

Oscilación:

Se define como el movimiento que se realiza siempre al mismoSe define como el movimiento que se realiza siempre al mismo punto fijo

(6)

(7)

El

El pépéndndululo o sisimpmple le es es un un momodedelo lo quque e dedebe be cucumpmplilir r cocon n lalas s sisiguguieientnteses características:

características:

1.- El hilo del que pende el cuerpo es inextensible y sin peso. 1.- El hilo del que pende el cuerpo es inextensible y sin peso.

2.- La masa del sistema se considera concentrada en el cuerpo (puntual) que 2.- La masa del sistema se considera concentrada en el cuerpo (puntual) que oscila.

oscila.

3.- No existen agentes que provoquen efec

3.- No existen agentes que provoquen efectos disipativos.tos disipativos.

Teniendo en cuenta estas características veamos ahora cómo obtener el modelo Teniendo en cuenta estas características veamos ahora cómo obtener el modelo simbólico (ecuación matemática) que se utiliza para describir el movimiento del simbólico (ecuación matemática) que se utiliza para describir el movimiento del sistema.

sistema. En la

En la sisiguguieientnte e figfigurura a se han trazse han trazadado o lolos s ejejes coores coordedenanadodos: el s: el eje x eje x en laen la dirección tangente a la trayectoria descrita por

dirección tangente a la trayectoria descrita por el cuerpo y el eje y el cuerpo y el eje y según el radiosegún el radio de esta trayectoria. Es obvio que esta trayectoria es un arco de circunferencia. de esta trayectoria. Es obvio que esta trayectoria es un arco de circunferencia. Se representan, además, las componentes de la fuerza de gravedad en estos ejes Se representan, además, las componentes de la fuerza de gravedad en estos ejes que

quedandando claro qudo claro que su e su comcomponponentente en e en la direcla direccióción n x x tomtomada es el ada es el ageagentente restaurador para el caso que nos ocupa.

restaurador para el caso que nos ocupa.

Apliquemos ahora la segunda ley de

Apliquemos ahora la segunda ley de Newton al eje Newton al eje x. Así:x. Así:

∑

_F

_x_x

=

_m

_a

_x_x

Se toma el ángulo

θ

como variable para describir la separación del sistema decomo variable para describir la separación del sistema de la posición de equilibrio estable. Entonces:

la posición de equilibrio estable. Entonces:

2 2 2 2

dt

S

d

m

mgsen

ma

mgsen

= = − − = = − −

θ

(8)

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donde S es la longitud del arco de circunferencia que describe la partícula y si donde S es la longitud del arco de circunferencia que describe la partícula y si expresamos el ángulo

expresamos el ángulo

θ

en radianes podemos escribir:en radianes podemos escribir:

θ

l l

S

== Entonces: Entonces: 2 2

))

((

dt

l l

d

gsen

θ

==

θ

− −

Acomodando la expresión anterior y dividiendo por

l l

nos queda:nos queda:

0

2 2 2 2 = = + +

θ

sen

l l

g

dt

d

Comparando la ecuación anterior con la ecuación (1) nos damos cuenta que esta, Comparando la ecuación anterior con la ecuación (1) nos damos cuenta que esta, realmente, no se corresponde con el modelo del oscilador armónico simple pues realmente, no se corresponde con el modelo del oscilador armónico simple pues el agente

el agente restaurestaurador no rador no es proporcioes proporcional a nal a la separaciónla separación

((θ

θ

))

del sistema de ladel sistema de la po

posicisición ón de de equequiliilibribrio o estestable able sinsino o aa

sen

θ

lo lo cucual al no no cocoinincidcide e cocon n laslas características del modelo.

características del modelo.

Para eliminar esta dificultad hagamos que la amplitud de oscilación del sistema Para eliminar esta dificultad hagamos que la amplitud de oscilación del sistema sea

sea lo lo sufsuficieiciententemenmente te peqpequeñueña a comcomo o parpara a conconsidsiderar erar queque

sen

θ

≈

θ

yy entonces la ecuación anterior podrá ser escrita como:

entonces la ecuación anterior podrá ser escrita como:

0

2 2 2 2

=

+

_θ

θ

l l

g

dt

d

(2) (2) Que sí es similar a

Que sí es similar a la ecuación (1) y, bajo estas condiciones se puede afirla ecuación (1) y, bajo estas condiciones se puede afir mar quemar que el péndulo simple realiza oscilaciones armónicas simples.

el péndulo simple realiza oscilaciones armónicas simples.

Por los procedimientos conocidos para resolver ecuaciones diferenciales de este Por los procedimientos conocidos para resolver ecuaciones diferenciales de este tipo podemos obtener como solución para (2) la siguiente:

tipo podemos obtener como solución para (2) la siguiente:

))

((

ω

₀₀

ϕ

₀₀

θ

==

sen

t t

++ m m donde: donde:

θ

es la elongación.es la elongación. → → m m

θ

(10)

(11)

Y

ϕ

₀₀ es la Fase inicial (estado en que se encuentra el sistema cuando sees la Fase inicial (estado en que se encuentra el sistema cuando se comienza a medir el tiempo).

comienza a medir el tiempo).

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

1.

1. ArArmamar el equr el equipipo tal co tal comomo se muo se muesestra etra enn la figura:

la figura: 2

2.. PPaarraa θ θ ∈<∈<88ºº,,1414ºº>> _{y longitud L ponga a}_{y longitud L ponga a}

oscilar el sistema. oscilar el sistema. 3.

3. ElaElaborbore une una taa tabla bla con con los los datdatos.os. 4.

4. AjAjususte lote los pus puntntos a los a la fora formama:: y y == aLaL

5

5.. CCoommppaare el vare el valloor r dde e ““a” ya” y g g 2 2 4 4π π para para 2 2 8 8 .. 9 9 s s m m g g ==

4. 4. T

TOM

OMA

A DE

DE DA

DATO

TOSS

1.

TTomamos los datos del omamos los datos del experimentoexperimento

)) (( L L Longitud

Longitud TiempoTiempo((t t )) Periodo Periodo((T T ==t t //1010)) T T 22 == yy g g _T_T22 LL 2 2 4 4π π = = 0 0,,1 1 66,,553 3 00,,66553 3 00,,44226644009 9 99,,2266 0 0,,2 2 88,,997 7 00,,88997 7 00,,88004466009 9 99,,8811 0 0,,3 3 1100,,996 6 11,,00996 6 11,,22001122116 6 99,,8866 0 0,,4 4 1122,,663 3 11,,22663 3 11,,55995511669 9 99,,9900 0 0,,5 5 1144,,004 4 11,,44004 4 11,,99771122116 6 1100,,0011 0 0,,6 6 1155,,552 2 11,,55552 2 22,,44008877004 4 99,,8833 0 0,,7 7 1166,,663 3 11,,66663 3 22,,77665555669 9 99,,9999 0 0,,8 8 1177,,884 4 11,,77884 4 33,,11882266556 6 99,,9922 0 0,,9 9 1188,,997 7 11,,88997 7 33,,55998866009 9 99,,8877 83 83 .. 9 9 = = g g

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5. 5. RE

RESU

SUL

LT

TAD

ADOS

OS

Haciendo un ajuste lineal del

Haciendo un ajuste lineal del experimento

experimento

Grafico Grafico y y vs vs LL 0 0 0,5 0,5 1 1 1,5 1,5 2 2 2,5 2,5 3 3 3,5 3,5 4 4 0 0,,1 1 00,,2 2 00,,3 3 00,,4 4 00,,5 5 00,,6 6 00,,7 7 00,,8 8 00,,99 L L Serie1 Serie1 Lineal (Serie1) Lineal (Serie1) Tiemp

Tiempo o vs vs LogitudLogitud

12 12 14 14 16 16 18 18 20 20 tt Serie1 Serie1

(14)

Cancel Anytime.

66.. CO

CONC

NCLU

LUSI

SIO

ONE

NESS

Después de haber realizado las mediciones y cálculos respectivos con respecto al Después de haber realizado las mediciones y cálculos respectivos con respecto al péndulo simple y su relación con la longitud, ángulo y masa se ha llegado a las péndulo simple y su relación con la longitud, ángulo y masa se ha llegado a las

siguientes conclusiones: siguientes conclusiones:

-- DeDesasarrrrolollalandndo la exo la expeperirienencicia dea del mol movivimimienento pto penendudulalar her hemomos pos podidido vdo vererifificicar ar la

las s leleyyes es quque e ririgegen n eseste te momovivimimienentoto. . ReRealalizizanando do nonososotrtros os mimismsmos os lalass experiencias necesarias. Estas leyes que fueron establecidas hace muchos años, experiencias necesarias. Estas leyes que fueron establecidas hace muchos años, aun siguen vigentes como los primeros tiempos en que fueron escritas.

aun siguen vigentes como los primeros tiempos en que fueron escritas. -

- El El período período de de un un péndulo péndulo sólo sólo depende depende de de la la longitud longitud de de la la cuerda cuerda y y el el valor valor dede la gravedad (la gravedad varia en los planetas y satélites naturales).

la gravedad (la gravedad varia en los planetas y satélites naturales).

-- DeDebibiddo a quo a que el pe el pereríoíodo edo es ins indedepepenndidienente dte de la me la masasa, pa, pododememos dos dececir eir enntotonncecess que todos los

que todos los péndupéndulos simples de los simples de igual longituigual longitud en d en el mismo el mismo sitio oscilan consitio oscilan con períodos iguales.

períodos iguales.

-- A A mmaayyor or lloonnggiittuud d dde e ccuueerrdda a mmayayor or ppeeríríooddoo..

-- SSe e obobtutuvvo o apaproroxiximamaddamamenente te la la grgravavededad ad de de HuHuamamanangaga g g ==99..8383mm//ss22