Demostración por el método directo

Demostraciones.

Demostraciones.

¿Qué es una demostración? ¿Qué es una demostración?

Hipótesis. Hipótesis.

Conclusión. Conclusión.

Métodos Deductivos de demostración. Métodos Deductivos de demostración.

Según el sistema aristotélico,el método deductivo es un proceso que

Según el sistema aristotélico,el método deductivo es un proceso que parte departe de un conocimiento general, y arriba a uno

un conocimiento general, y arriba a uno particular. La aplicación del métodoparticular. La aplicación del método deductivo nos lleva a

deductivo nos lleva a un conocimiento con grado de certeza absoluta, y un conocimiento con grado de certeza absoluta, y estaesta cimentado en proposiciones llamadas

cimentado en proposiciones llamadasSILOGISMOSSILOGISMOS..

He aquí un ejemplo: He aquí un ejemplo: “

“Todos las venezolanas son bellasTodos las venezolanas son bellas” , ” , (Este es (Este es el conocimiento general)el conocimiento general) “

luego: luego: “

“Marta Colomina es bellaMarta Colomina es bella””

Se puede observar que partiendo de dos premisas, una de las cuales es una Se puede observar que partiendo de dos premisas, una de las cuales es una hipótesis general se llega a una

hipótesis general se llega a una conclusión particulconclusión particular. También es de ar. También es de hacer notarhacer notar que en este ejemplo las premisas pueden ser verdaderas o pueden ser falsas, y por que en este ejemplo las premisas pueden ser verdaderas o pueden ser falsas, y por consiguient

consiguiente la e la conclusión puede ser igualmente verdadera o falsa.conclusión puede ser igualmente verdadera o falsa.

En la lógica formal y sobre todo en el universo matemático, el proceso En la lógica formal y sobre todo en el universo matemático, el proceso deductivo tiene un significado un poco diferente, pues esta basado en

deductivo tiene un significado un poco diferente, pues esta basado en  AXIOMAS

 AXIOMAS, o , o proposicioproposiciones quenes que son verdaderas por definiciónson verdaderas por definición..

Por ejemplo, un axioma es: Por ejemplo, un axioma es: “

“EL TODO ES MAYOR QUE LA PARTEEL TODO ES MAYOR QUE LA PARTE” , otro axioma es” , otro axioma es “

“DOS COSAS IGUALES A UNA TERCERA SON IGUALES ENTRE SI”DOS COSAS IGUALES A UNA TERCERA SON IGUALES ENTRE SI”.. El primer axioma define el concepto

El primer axioma define el concepto dedeMAYOR MAYOR , y el , y el segundo el concepto desegundo el concepto de IGUAL

IGUAL..

El método deductivo nos permite partir de un conjunto de hipótesis y llegar El método deductivo nos permite partir de un conjunto de hipótesis y llegar a una conclusión, pudiendo ser esta

a una conclusión, pudiendo ser esta inclusive que el conjunto de inclusive que el conjunto de hipótesishipótesis sea invalido.

sea invalido.

Generalmente, en matemáticas, la deducción es un proceso concatenado del Generalmente, en matemáticas, la deducción es un proceso concatenado del tipo "si A entonces B, si B

tipo "si A entonces B, si B entonces C, si C entonces D..." hasta llegar aentonces C, si C entonces D..." hasta llegar a una conclusión.

 Al conjunto de

 Al conjunto de HIPOTESIS + DEMOSTRACION + CONCLUSIHIPOTESIS + DEMOSTRACION + CONCLUSIÖNÖNsese denomina

denomina TEOREMA TEOREMA ..

La práctica de los razonamientos deductivos en el proceso de

La práctica de los razonamientos deductivos en el proceso de desarrollo deldesarrollo del pensamiento lógico matemático es muy importante. Constituye una herramienta pensamiento lógico matemático es muy importante. Constituye una herramienta fundamental para el trabajo en la matemática y otras ciencias..

fundamental para el trabajo en la matemática y otras ciencias..

Demostración por el método directo. Demostración por el método directo.

Si tomamos una frase lógica condicional sencilla del tipo: Si tomamos una frase lógica condicional sencilla del tipo:

P P⇒⇒QQ

Que podemos analizar como

Que podemos analizar como “ si se cumple P entonces se cumple“ si se cumple P entonces se cumple Q”

Q” , esto lo , esto lo hacemos de forma natural hacemos de forma natural sin complicarnos en hacersin complicarnos en hacer

análisis mas intensivos o mas extensivos pues lo hacemos de una forma análisis mas intensivos o mas extensivos pues lo hacemos de una forma innata.

innata.

Si decimos:

Si decimos:“El cielo esta encapotado, va a llover”“El cielo esta encapotado, va a llover” estamosestamos realizando una asociac

realizando una asociación de causa y ión de causa y efecto. En la cual “el cielo esta encapotado” esefecto. En la cual “el cielo esta encapotado” es la causa y el efecto

la causa y el efecto lógicológico es que, “va a llover”.es que, “va a llover”. Desde el punto de vista de la

Desde el punto de vista de la lógica esta relación es irrevocalógica esta relación es irrevocable.ble.  Así mismo en una relación matemática se puede

 Así mismo en una relación matemática se puede verificaresta sencilverificaresta sencillala relación en la cual si se cumple la premisa P entonces se puede decir que se relación en la cual si se cumple la premisa P entonces se puede decir que se cumplira la consecuencia Q.

cumplira la consecuencia Q.

 A este proceso formal se le denomina “

 A este proceso formal se le denomina “demostración mediante eldemostración mediante el método directo

método directo” es innecesario decir que si no se cumple o ” es innecesario decir que si no se cumple o verifica P entoces suverifica P entoces su consecuenc

consecuencia tampoco ia tampoco se verificará.se verificará.

¬

¬PP ⇒⇒ ¬¬QQ

Supóngase que P

Supóngase que P ⇒⇒ Q Q es una tautologíaes una tautología, en donde P y Q pueden , en donde P y Q pueden serser

proposicion

proposiciones compuestas, en es compuestas, en las que las que intervengaintervengan cualquier número de n cualquier número de variablesvariables propositivas, se dice que

Supóngase una implicación de la forma. Supóngase una implicación de la forma.

(P

(P

P

P

P

P

...

...

P

P

))

Q

Q

Es una tautología. Es una tautología.

Entonces está implicació

Entonces está implicación es vn es verdadera sin importar los valores de verdad deerdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componente

cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que s. En este caso, se dice que q se desprendeq se desprende lógicamen

lógicamente de te de P1,P2,...,PnP1,P2,...,Pn. Se . Se escribe.escribe. El camino que se

El camino que se debe seguir para llevar a debe seguir para llevar a cabo una demostración formalcabo una demostración formal usando el método directo

usando el método directo. Significa que sí se sabe que . Significa que sí se sabe que P1 es verdadera, P2 esP1 es verdadera, P2 es  verdadera,... y Pn también es verdadera, entonces se

 verdadera,... y Pn también es verdadera, entonces se sabe que Q sabe que Q es verdadera.es verdadera. La mayoría de los teoremas matemáticos cumplen con esta estructura La mayoría de los teoremas matemáticos cumplen con esta estructura  básica:

 básica:

(P

(P

P

P

P

P

...

...

P

P

))

Q

Q

Donde las Pi condiciones son llamadas hipótesis o premisas, y Q es la Donde las Pi condiciones son llamadas hipótesis o premisas, y Q es la conclusión.

conclusión.

““Demostrar un teoremaDemostrar un teorema” es demostrar que la condicional es una” es demostrar que la condicional es una tautología

tautología..

Ojo, no se pide demostrar que la conclusión es verdadera, lo que se quiere es

Ojo, no se pide demostrar que la conclusión es verdadera, lo que se quiere es

demostrar que Q es verdadera siempre y cuando todas las Pi condiciones son

demostrar que Q es verdadera siempre y cuando todas las Pi condiciones son

 verdaderas.

 verdaderas.

En conclusión podemos decir que: En conclusión podemos decir que:

Cualquier demostración, sea de enunciados o

Cualquier demostración, sea de enunciados o matemática debe:matemática debe: a.

a. ComComenzenzar car con lon las has hipóipótestesis.is.  b.

 b. Debe seDebe seguir cguir con las on las tautologías tautologías y regy reglas de las de inferencias inferencias necesarias necesarias para...para... c.

c. LlLlegegar ar a la ca la cononclclususióión.n.

 A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso  A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto de las tautologías como de las reglas de inferencia.

tanto de las tautologías como de las reglas de inferencia. Sean

Sean p: Trabajo. p: Trabajo.

q: Ahorro. q: Ahorro.

r: Compraré una casa. r: Compraré una casa. s: Podré

s: Podré guardar el automóvil guardar el automóvil en mi en mi casa.casa.

 Analizar el siguiente

 Analizar el siguiente argumentoargumento::

"Si trabajo y ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces "Si trabajo y ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro".

en mi casa, entonces no ahorro".

El enunciado anterior se puede representar como: El enunciado anterior se puede representar como:

p

p∧∧ qq ⇒⇒r; r; y y rr ⇒⇒s; s; entonces entonces s's'⇒⇒ q'q'

Equivale también a probar el

Equivale también a probar el siguiente teorema:siguiente teorema:

[(p

[(p∧∧ q)q)⇒⇒r]r]∧∧ [r[r ⇒⇒s]; [s's]; [s' ⇒⇒q']q']

Como se trata de probar un teorema de la forma general: Como se trata de probar un teorema de la forma general:

p

p11∧∧ pp22 ∧∧...∧∧ppnnentonces qentonces q

Se aplica el

Se aplica el procedimieprocedimiento general para nto general para demostración de enunciados válidos.demostración de enunciados válidos.  A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de

 A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos ensus pasos en tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.

1.- (p

1.- (p∧∧ q)q)⇒⇒r r HipótesisHipótesis

2.- r

2.- r ⇒⇒s s HipótesisHipótesis

3

3..-- pp⇒⇒q q Silogismo Silogismo HipotétiHipotéticoco

4

4..-- qq⇒⇒ r r  Silogismo HipotéticoSilogismo Hipotético

5

5..-- qq⇒⇒ ss