Guia Matemática Basica

0

MATEMÁTICA

CIENCIAS EMPRESARIALES

1. Sistemas de Numeración. 2. Productos Notables 3. Factorización 4. Inecuaciones 5. Matrices 6. Trigonometría

7. Sistema de Ecuaciones Lineales 8. Geometría Analítica

1

ÍNDICE

SISTEMA DE NUMERACIÓN ... 3 PROBLEMAS RESUELTOS ... 7 EJERCICIOS PROPUESTOS ... 9 PRODUCTOS NOTABLES ... 12 PROBLEMA RESUELTOS ... 14 EJERCICIOS PROPUESTOS ... 16 FACTORIZACION DE POLINOMIOS ... 18 EJERCICIOS PROPUESTOS ... 21 INECUACIONES ... 25 EJERCICIOS PROPUESTOS ... 33 MATRICES ... 38 EJERCICIOS PROPUESTOS ... 49

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS ... 53

EJERCICIOS RESUELTOS ... 55 EJERCICIOS PROPUESTOS ... 57 SISTEMAS DE ECUACIONES ... 60 EJERCICIOS PROPUESTOS ... 64 GEOMETRIA ANALITICA ... 66 EJERCICIOS PROPUESTOS ... 74 BIBLIOGRAFÍA ... 76

2

PRESENTACIÓN

La siguiente guía de Matemática tiene por objetivo poner al alcance de los

estudiantes del Ciclo Pre Universitario de la Universidad Privada de

Tacna, los temas que serán desarrollados, teniendo en cuenta el marco

teórico con ejemplos prácticos, problemas explicados y ejercicios

propuestos.

Los Temas que se proponen para este Ciclo Pre Universitario son:

Numeración, Productos Notables, Factorización, Inecuaciones, Matrices,

3

SISTEMA DE NUMERACIÓN

DEFINICION: Es un conjunto de reglas, principios, leyes empleados para expresar y escribir mediante símbolos los numerales.

Dado:

abcd

(n) a,b,c, d <n ;n Base del sistema, es un número entero positivo mayor que 1.

PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION:

Base

Sistema

Cifras disponibles

2 Binario 0, 1 3 Ternario 0, 1, 2 4 Cuaternario 0, 1, 2, 3 5 Quinario 0, 1, 2, 3, 4 6 Senario 0, 1, 2, 3, 4, 5 7 Eptal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 8 Octal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 9 Notario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 10 Decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 11 Undecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (10) 12 Duodecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (10),(11)

OBSERVACION:Por convención, cuando la cifra es mayor que 9 se utilizan letras para su representación. Así:

Cifra 10 A Cifra 11 B Cifra 12 C

CONSIDERACIONES EN EL SISTEMA DE NUMERACION DE BASE “n”

1. Cualquier número puede ser escrito empleando el sistema de numeración considerando que la primer cifra siempre es diferente de cero.

2. Un número de unidades de cualquier orden que coincida con la base del sistema de numeración, origina una unidad del orden inmediato superior.

3. Cualquier cifra escrita inmediatamente a la izquierda de otra representa unidades tantas veces mayores que ésta como unidades tenga la base del sistema de numeración.

4

4. En cualquier sistema de numeración la cantidad de cifras posibles a utilizar siempre será numéricamente igual a la base. Ejemplo:

Base “n” 0, 1, 2, …., n -1 “n” cifras

5. La máxima cifra escrita que se puede escribir en cualquier sistema de numeración siempre será igual a la base disminuida en una unidad. Ejemplo:

Base “n” “ n – 1 ”

Cifra máxima

REPRESENTACION LITERAL DE NUMERALES ; representa un número de 2 cifras del sistema decimal

; numeral de 3 cifras de la base 7

Número capicúa, es aquel numeral que tiene representación simétrica es decir las cifras equidistantes de los extremos son iguales. Ejemplos:

REGLA DE LOS SIGNOS

Un número expresado en dos sistemas distintos en igualdad, se notará que aquel miembro que tenga el numeral mayor le corresponderá la base menoryor y viceversa. Numeral Menor Numeral Mayor

251

(7)

= 2012

(4)

5

CONVERSIÓN DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN

CASO 1:De Base “n” a base 10

Ruffini: Convertir 1202

(3)

a base 10

1 2 0 2 3 3 15 45 1 5 15 47

Descomposición Polinómica

1202(3) = 1.33 + 2.32 + 0.3 + 2 1202(3) = 1.27 + 2.9 + 0 + 2 1202(3) = 27 + 18 + 2 1202(3) = 47 En forma General: = a.n3 _{+ b.n}2 _{+ c.n + d}

CASO 2 :De Base 10 a base “n” Divisiones Sucesivas :

Se divide el número dado entre el valor “n” de la base deseada, el cociente resultante se vuelve a dividir entre “n” y así sucesivamente hasta obtener un cociente cuyo valor sea menor que la base. El número de base “n” estará formado por el último cociente y los residuos desde el obtenido en la última división hasta el de la primera.

 Convertir 421 al sistema quinario

6

CASO 3: De Base “n” a base “m”

Ruffini: Divisiones sucesivas  Convertir 251(7) a base 4

7

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Hallar un número de tres cifras que cumpla las siguientes condiciones:

La Primera cifra es el doble de la tercera. La segunda cifra es el triple de la primera.

Dar como respuesta la suma de las cifras del número. Solución:

Sea la tercera cifra: a La primera cifra es : 2a La segunda cifra es : 6a Luego, el número es:

Solo resulta cuando a = 1

El número es: 261

Entonces: 2 + 6 + 1 = 9 …Rpta.

2. ¿Cuántos números de la forma: existen en el sistema decimal? Solución: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 1 8 0 9 8 x 7 =56 números …Rpta. 3. Si Hallar: a + b Solución: 7a + b + 12b + a = a.62 + b.6 +0 8a + 13b = 36a + 6b 7b = 28a 1b = 4a Luego : a = 1 y b = 4

Nos piden: a + b = 5 …Rpta.

a a a)(6 ) 2 ( ) 6 ( ) 2 (a b b a  

)

6

(

)

2

(

a

b

b

a





8

4. El número 1254(7) tiene “k” cifras en base 3, Hallar k2

Solución: 1254(7) a base 3 Ruffini: 1254(7) a base 10 1 2 5 4 7 7 63 476 1 9 68 480 1254(7) = 480

Divisiones Sucesivas: 480 a base 3

480 = 122210(3)

6 cifras = k Hallar : k2 ₆2 _{= 36 …Rpta.}

5. La diferencia, en base 10, entre el mayor número de tres cifras diferentes de base 6 y el menor número de tres cifras diferentes de base 3 es:

Solución:

Mayor número de tres cifras diferentes de base 6 : 543(6)

5 4 3

6

30

204

5 34 207

543(6) = 207

Menor número de tres cifras diferentes de base 3: 102(3)

1 0 2 3 3 9 1 3 11 102(3) = 11

9

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Si se cumple que: (n) Calcular (a + b + c + d + e + f + n)

a)8 b)6 c)5 d)4 e)7

2. Hallar a + b+ c + x, si =1224(x)

a)12 b)13 c) 14 d)15 e)16

3. Si los numerales están correctamente escritos ; ; Calcular

a)5 b) 6 c)3 d)4 e)2

4. Determine la suma de todos los numerales de la forma: dar como respuesta la suma del resultado.

a)28 b)23 c)26 d) 24 e)25

5. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de cada una de las siguientes proposiciones y dé como una respuesta la secuencia correcta.

I. Dado el numeral , entonces la suma de los valores de

“a” es 8

II. El numeral de la forma es 150(7)

III. Existen 3 numerales de la forma

a )FVF b)FFV c)VVV d)FVV e)VFV

6. ¿Cuántos numerales de tres cifras del sistema decimal no poseen las cifras 3 ni 8 en su escritura?

a)294 b)343 c)392 e) 448 e)512

7. Si el numeral es capicúa; halle el valor de

a+b

a)8 b)3 c)4 d)6 e) 5

8.. ¿En qué sistema de numeración se realizó la siguiente operación 75 - 59 = 18? a)15 b)9 c)10 d) 12 e)13

9. ¿Cuál es el nombre del sistema de numeración en el que el número 513 se escribe como 1001?

10

a)Octonario b)senario c)quinario d)nonario e)heptanario

10. Si se cumple que : =

a)6 b)3 c)4 d)8 e)5

11. Hallar el valor de “a” ,si: 231(5) = 123(a)

a)9 b)5 c)11 d)7 e)8 12. ¿Cómo se representa 234(x) en base (x-1)?

a)269(x-1) b)279(x-1) c)299(x-1) d)379(x-1) e)369(x-1)

13. Se cumple que: (6)

a)1 b)2 c) 3 d)4 e)5

14. Si se cumple que: Hallar “a + b”

a)4 b)5 c) 7 d)8 e)6

15. Si el siguiente numeral: , es capicúa. Hallar el valor máximo de : a+b+c+d

a )13 b)10 c)12 c)11 d)9

16. Un número aumentado en el triple de su cifra de decenas resulta 93. Hallar la suma de sus cifras.

a)11 b)7 c) 9 d)6 e)8

17. La suma de las cifras de un número es 14 y si al número se suma 36, las cifras se invierten. Dar como respuesta la diferencia de las cifras de dicho número de 2 cifras.

a)3 b) 4 c)5 d)2 e)1

18. En el sistema de numeración de base 14, encuentre el número de dos cifras que resulta duplicado cuando se escribe con las cifras en orden inverso.

a)94 b) 65 c)49 d)52 e)36

19. Como se expresa en el sistema de base (n+2) el número 148(n)

11 20. Si 1331(x+1) = 1000(6) Hallar “x”

a) 4 b)5 c)6 d)7 e)8

21. Si: Hallar “a + b”

a)4 b)8 c)2 d)6 e)10

22. Si se cumple que = Hallar el valor de a + b + c + d

a) 18 b)13 c)16 d)19 e)20

23. Hallar , si:

a)8 b)9 c)10 d)11 e) 12

24. Hallar a + b + n , si : 121(n) = ;

a) 31 b)30 c)29 d)28 e)27

25. Hallar “a” en: 1330(a) = (6)

a)4 b) 5 c)7 d)9 e)11

26.Determine la suma de todos los numerales de la forma: dar como respuesta la suma del resultado.

a)28 b)23 c)26 d) 24 e)25 27. Hallar a + b si el siguiente numeral es capicúa:

a)8 b)10 c)12 d)9 e)11

28. Calcular “a + b” si:

a)5 b)6 c)7 d)8 e)3

29. Se cumple que = Halle el valor de a + b + c

a)7 b) 8 c)6 d)5 e)4

30. Se tiene que = Halle el valor de axb

a) 6 b)8 c)5 d)12 e)10

12





2 2 2

b

2ab

a

b

a













_a

_

_b



2

_

_a

2

_

_2ab

_

_b

2





 

2



2



2 2



2

b

a





a



b



a



b





a



b



2





a



b



2



4

ab







).

(

3

b

3

b

3a

a

b

a

3 3 3 2 2 3 3

b

a

ab

b

a

ab

























).

(

3

b

3

b

3a

a

b

a

3 3 3 2 2 3 3

b

a

ab

b

a

ab























_a

_

_b



_a

_

_b



_

_a

2

_

_b

2









ax

n

_

b



cx

n

_

d



_

acx

_



ad

_

bc



x

n

_

bd



2n



_a

_

_b





_a

2

_

_ab

_

_b

2



_

_a

3

_

_b

3



PRODUCTOS NOTABLES

Los productos notables, también denominada identidades algebraicas, son un conjunto de fórmulas que permiten calcular los productos sin necesidad de aplicar los criterios generales de la multiplicación algebraica.

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES:

01. CUADRADO DE UN BINOMIO O TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

02. IDENTIDADES DE LEGENDRE:

03. CUBO DE UN BINOMIO:

04. SUMA POR DIFERENCIA O DIFERENCIA DE CUADRADOS:

05. PRODUCTO DE BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN:

06. PRODUCTO DE BINOMIOS CON IGUAL VARIABLE:

07. SUMA DE CUBOS:

TEMA 02 :

13











a



b



c





ab



ac



bc





a

b

c

2 2 2 2

2



_a

_

_b





_a

2

_

_ab

_

_b

2



_

_a

3

_

_b

3



DIFERENCIA DE CUBOS: 08. CUADRADO DE UN TRINOMIO: 09. CUBO DE UN TRINOMIO:

10. IDENTIDADES TRINÓMICAS O DE ARGAND:

11. IDENTIDAD DE LAGRANGE 12. IDENTIDADES AUXILIARES:

         

3 3 3 3

1)

a b  b c  c a  a b b c c a  



a



b



c



ab



ac



bc

    



a



b

a



c

b



c

)

2

13. IDENTIDADES CONDICIONALES: bc) ac 2(ab c b a 2) 3abc c b a 1) : que cumple se 0, c b a : Si 2 2 2 3 3 3                   _{ }        2_ 2_ 2 2 ₂ 4 4 4 ) 3 a b c a b c       _{ }        2_ 2_ 2 2 ₄ 2 2 2 2 2 2 ) 4 a b c a b a c b c       _{ }    4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 ) 5 a b c a b a c b c



      

2

2

2

2

)

6

ab



ac



bc



ab



ac



bc

14

PROBLEMA RESUELTOS

1. Reducir:

a) 2x – 16 b) 3x + 16 c) 2x2_{+16 d) 2x}2_{+32 e) N.A.}

Solución:

Desarrollando cada uno de los binomios:

Reduciendo términos semejantes: Rpta: d

2. Si: x + y = 6 xy = 2, hallar: x2_+y2 a) 3 b) 4 c) 42 d) 44 e) 32 Solución: Rpta: e 3. Efectuar: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 Solución:

Desarrollando lo que está dentro de la raíz cuadrada:

15 4. Efectuar:

a) abc b) 2abc c) 0 d) 3abc e) a

Solución: Aplicando: Rpta: b 5. Si: a + b = 4 ab = 2, hallar: a3 + b3 a) 20 b) 35 c) 40 d) 28 E) 50 Solución: Aplicando: Rpta:

16

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Reducir: E8(x y)(x y)(x  2y )(x2 4y ) y4  8

A)x. B) y C) x8 _{D) y}8 _{E) (2y)}1/2

2. Si: a + b = 5 ; ab = 3 Calcular el valor de a3 _{+ b}3

A) 125 B) 123 C) 81 D)80. E) 28

3. Si: a+b = 6 ; a2_+b2 _{= 30 Calcular el valor de: E} a2 b2

b a

 

A) 36 B) 52 C) 38 D)54. E) 27

4. Si: a+b+c = 0 , Calcular: M (a b c)2 (a b c)_{2 2} 2₂ (b c a)2

a b c

       



 

A) 3 B)4. C) 8 D) 10 E) 1

5. Efectuar: E=(x - y)2_{- (y - z)}2 _{+(z - w)}2 _{- (w - x)}2 _{+ 2(x - z)(y - w)}

A) x2 _{B) y}2 _{C) 2xy D) w}2 _E)0. 6. Si: p5 m7. Determinar: m 3_{p 1} p 2 m 1 5 7 M 7 5        A) 22 B) 146 C) 50 D)38. E) 15

7. Si: a+b+c = 0 ,Calcular el valor de “B”:B a a b b c c b c a c a b      

A) 1 B) -1 C) 2 D) -2 E)-3.

8. Si se sabe que: x + x -1 _{= 2Calcular el valor de: M = x + x}2 _{+ x}3 _{+ x} -3 _{+ x} -2 _{+ x} -1

A) 14 B) 12 C) 10 D)6. E) 20

9. Reducir: a3 b3 5 2

ab(a b) 2

 

  y calcular el valor de E=(a+b)

6

A ) 25 _{B) 2}6 _{C) 2}4 _{D) 2}8 _E)27_.

10. Si x + y + z = 0, el valor de M = es:

A)81 B)-81 C)49 D)-49 E)27 11.. Si se sabe que a + b + c = 3, a3 _+b3 _{+ c}3 _{= 30 y abc = 4}

El valor de: S = es:

A)1/4 B)4 C)1/2 D)2 E)1 12.Simplificar: ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( 2 2 2 c b b a a c b a a c c b a c c b b a            A) 1 B)

a



b



c

C) 0 D)

abc

E)3. 13. Si x2_{+ 5x - = 0 Calcular x(x+1)(x+4)(x+5) - 4}

17

A)1 B) 3 C)5 D)7 E)9 14. Si: Entonces el valor de: es:

A)81 B) 64 C) 27 D) 18 E) 9

15. Si: es igual a:

A)16 B) 30 C) 32 D) 64 E) 128

16. Teniendo en cuenta que:x + y + z = 3; xy + xz + yz =6; xyz = 9 Hallar el valor de: P = (x + y –z)(y + z – x)(z+ x –y)

A)-27 B)27 C)-25 D)40 E)25

17. Si (a+b+c+d)2 _{= 4(a+b)(c+d)Calcular el valor de:}

A)1 B)2 C) D) 3 E) 18. Si: x y z 0   Reducir:M (2x y z)3 (x 2y z)3 (x y 2z)3 3xyz          A)1. B) 2 C) 3 D) 9 E) 1/3 19. Simplificar: 3 3 3 3 4 4 (a b)(a b ) (a b)(a b ) R a b       

A)2. B) ab C) 4ab D) 4 E) 2ab

20. Si: _{a b c 2}   Calcular:E3(1 a) 3 (1 b)3 (1 c)33abc

A) 2 B) 1 C)1/2. D) 0 E) –2 21. Si: 1 1 4 m n m n   Calcular: 2 2 m n m 3n 3n F mn 2m m 4n       A) 2 B) 3 C) 4 D)-2. E) -3Si:

m–n = n–p = 2. Halla el valor de:



 

 



6

2

p

m

2

p

n

2

n

m

P













_;. A)1 B)2 C)2 – 1 _D)2 – ½ _E)4 23. Reduce:



_

 

_

 

_

_



x

z

z

y

y

x

9

3

x

z

3

z

y

3

y

x

M



















A) 2 – 1 _{B) 2 C) –3 D) 1 E)3}-1_. 24. Si 1 ₂ 2 2 _{ } m m . Halle: 6 12 3 1 m m  . A) ½ B) 4 C)

4

/

6

D) 2 E)3/2. 25. Si: _{a  b } 7 b a Calcular: _{M  8} a _{ 8} b b a A) _{5 2} B)1. C) 5 1 D) 3 E) 5

18

FACTORIZACION DE POLINOMIOS

1. DEFINICION: Factorizar es el proceso que consiste en transformar una

expresión algebraica racional y entera en un producto indicado de factores primos en el campo R.

2. FACTOR.- El factor de una expresión es aquél que la divide exactamente.

Ejemplo:

*a.b.c= x a , b y c son factores de x * y(y+1)=y2+y yy (y+1) son factores de y2+y.

 Factor primo.- Es aquel que no se puede descomponer en otros factores (diferentes de uno).

Ejemplo: (5) (7), donde 5 y 7 son factores primos.

2. POLINOMIO PRIMO. – Es un polinomio de grado diferente de cero divisible sólo

entre sí y entre cualquier constante. Por ejemplo: x2_{+1 es un polinomio de} segundo grado divisible sólo entre sí mismo.

Si en una multiplicación indicada, uno de los factores tiene las características de un polinomio cero, dicho factor se denomina factor primo.

PROPIEDADES

Solamente se pueden factorizar las expresiones compuestas (no primas).

El máximo número de factores primos que puede tener una expresión estará dado por su grado.

Las expresiones de primer grado, llamadas también expresiones lineales, necesariamente son primos.

3. METODOS DE FACTORIZACION:

A. METODO DE FACTOR COMUN

 Factor común monomio.- Es el monomio que está contenido en todos los términos del polinomio considerado. El factor común se extrae de cada término, elevado a su menor exponente.

Ejemplo (1):Factorizar

x

5

y

3



xy

2. x

y

2

( x

4

y + 1)

TEMA 03

:

19

 Factor común polinomio.- Cuando existe un polinomio contenido en todos los términos del polinomio considerado.

Ejemplo (2):Factorizar

x

(

a



1

)



(

a



1

).

Solución:Extraemos el factor común (a-1) x(a1)(a1)(a1)(x1)

 Factor común por agrupación de términos.- Se agrupan los términos de 2 en 2, de 3 en 3, etc. considerando alguna característica común.

Ejemplo (3):Factorizar

x

4

a



x

4

y



z

4

a



z

4

y

Solución: Agrupando en la forma indicada:

) z x )( y a ( ) y a ( z ) y a ( x4   4    4 4

B. METODO DE LAS IDENTIDADES

En este caso utilizaremos los productos notables.

 DIFERENCIA DE CUADRADOS: 2 2 ( )( ) B A B A B A     Ejemplo (4):Factorizar

(

x



1

)

2



(

y



1

)

2 Solución:





(

x



1

)



(

y



1

)



(

x



1

)



(

y



1

)





(

x



y



2

)(

x



y

)

 DIFERENCIA DE CUBOS: ) )( ( 2 2 3 3 B AB A B A B A      Ejemplo:

)

4

6

9

)(

2

3

(

8

27

)

2

(

)

3

(

8

27

2 3 3 3 3

















n

n

n

n

n

n

20  SUMA DE CUBOS: ) )( ( 2 2 3 3 _{B A B A AB B} A      Ejemplo:

)

1

2

4

)(

1

2

(

1

8

)

1

(

)

2

(

1

8

2 4 2 6 3 3 2 6

















n

n

n

n

n

n

 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

2 2 2 _{2AB B (A B)} A     Ejemplo: 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4

)

1

3

(

1

6

9

)

1

(

)

1

)(

3

(

2

)

3

(

1

6

9



















x

x

x

x

x

x

x

C. METODO DEL ASPA

 Método del aspa simple.- Se utiliza para factorizar trinomios de la forma.

ax

2m



bx

m

y

n



cy

2n . Ejemplo (5): Factorizara2b23a3b2ab28 Solución: aa bb - 47 a b) 3(a b) 28 (a b 7)(a b 4) ( 2             

 Método del aspa doble.- Se utiliza para factorizar polinomio de la forma:

Ax

2



Bxy



Cy

2



Dx



Ey



F

Ejemplo (6): Factorizar

x

-

y

3

4

4y

12

8

7

4

3

2 2























x

y

x

y

xy

x

21

Caso particular. – Se emplea para factorizar polinomios de la forma: Ax4 n_+Bx3 n_+Cx2 n_+Dxn_+E.

Ejemplo (7): Factorizarx4+7x3+17x2+26x+12.

D. DIVISORES BINOMICOS.- Se utiliza para factorizar polinomios de

cualquier grado siempre que tenga por lo menos un factor de primer grado.

Regla: Se calcula los valores de las variables que anulen al polinomio

para obtener factores binomios (ceros del polinomio).

Ejemplo, si se anula para:

* x = 3, entonces (x - 3) es factor * x= - ¼, entonces (4x + 1) es factor

Se divide por Ruffini al polinomio entre el factor o factores binomios obtenidos, paraobtener el factor que falta.mayor grado. Ejemplo:



x

3



x



6

, posibles ceros: ...



7

x

5



2

x

4



3

, posibles ceros: ...

Ejemplo (8):Factorizar: x33x4 Solución: Posibles “ceros”: 1,2 ,4.

Se anula para

x



1



(x

-

1)

es factor. El otro factor se obtiene al dividir por Ruffinientre(x-1)

La expresión factorizada es:

(

x



1

)(

x

2



x



4

)

.

22

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. ¿Cuántos factores de primer grado tiene el polinomio: x2_{y+ xy}2 _{+ x}2 _{+ y}2 _{+ 2xy + x + y}

a)1 b)2 c)3 d)0 e)4 2. Hallar la suma de los coeficientes de un factor en la siguiente expresión

E=(x+3) (x+2)(x+1)+(x+2)(x+1)+(x+1)

a)0 b)1 c)2 d)4 e)6 3.Cuántos factores cuadráticos tiene: (x+1)(x+2)(x-2)(x+5)-13

a)2 b)3 c)4 d)5 e)6 4. Calcular el término independiente de uno de los factores de:

(x+1)(x-3)(x+4)(x-6) +38

a)2 b)-5 c)3 d)9 e)1 5. Si: x2_+3x-

₂

_{=0, calcular el valor de; x(x+1)(x+2)(x+3) - 2}

₂

a)2 b)7 c)0 d)6 e) 73 6. Hallar la suma de los coeficientes de los factores de: (x2_+7x-3)2_-2(x2_+7x)-29

a)5 b)6 c)7 d) 8 e) 10 7. Señalar un factor de: 15x2_+14xy+3y2_+41x+23y+14

a)(3x-y+7) b)(3x-2y+7) c)(3x+y+2) d)(5x+3y+2) e)(5x-3y-7)

8. Sumar los coeficientes de un factor de 10x2_+11xy-6y2_-x-11y-3

a)1 b)2 c)4 d)5 e)6 9. La expresión E=(x-3)(x-2)(x-1)x-3, al ser descompuesta en dos factores

cuadráticos, ¿Cuál de ellos posee menos valor, para cualquier valor de x?

a) x2_{-3x-1 b) x}2_{+3x-1 c) x}2_{+3x+1 d) x}2_{-3x+1 e)x}2_+3x+3

10. ¿Cuántos factores binómicos tiene: x5 _{– x}4 _{– 13x}3 _{+ 13x}2 _{+ 36x -36}

a)5 b)4 c)3 d)2 e)1 11. Factorizar a tres factores: a + b – a3 _{+ ab}2 _{+ a}2_{b – b}3 _{e indicar uno de los}

23

a)a+b+2 b)a-b+2 c)a+b-2 d)a-b-1 e)a+b+1 12. Factoriza el polinomio P(a) = a5 _{– 8a}3 _{+ 6a}2 _{+ 7a – 6; y señala uno de sus}

factores primos

a)a+1 b)a+2 c)3a-1 d)4a+1 e)2a- 3 13. Uno de los factores del polinomio xn+2 _{+ x}n _{+ x}3 _{+ x – x}2 _{- 1}

a)xn _{+x + 1 b)x}n _{+ x -1 c)x}n_{-x+1 d)x}n _{– x- 1 e)x}n _{+ 1}

14. Hallar la suma de factores primos mónicos de :

P(x) = x2_{(x - 6)(x -1) - (x}2 _{- 31x + 30)}

a)6x-5 b) 4x-7 c)4x-8 d)3x+1 e)5x-3 16.Al factorizar 15x4 _{– 29x}2_y2 _{– 14y}4_{, hallar la suma de los factores primos.}

a)7x2_+5y2 _{b) 8x}2_-5y2 _c)15x2_-9y2 _d)7x2_+3y2 _e)5x2_-7y2

18. Un factor del polinomio: (x + y)(x + z) – (y + w)(z + w) es:

a)x+w b)x-z c)y-w d)w-z e)x-w 19. Señale el factor primo de mayor grado que posee: P(x) = x4 _{– x}3 _{– 2x – 4}

a)x+2 b)x2_{+2 c)x}2_{+4 d)x}2_{+5 e)x}2 ₊₁

20. Factorizar M(x) = x5 _{+ x + 1, la suma de los coeficientes de uno de los factores es:}

a)3 b)5 c)4 d)2 e)6 21. Al factorizar: x3 _{– 8x}2 _{+ 17x – 10 la suma de los términos independientes de los}

factores primos es:

a)8 b)-5 c)7 d)-8 e)10 22. Al Factorizar P(x,y) = 6x2 _{+3xy –3y}2 _{+19x +13y + 10}

La suma de los coeficientes de uno de los factores es.

a)5 b)6 c)9 d)4 e)3 23. El número de factores primos que posee: P(x,y,z)= 36x6_y3 _{- 25x}4_y5 _{+ 4x}2_y7

24

24. Factorice P(a) = (a + 1)(a - 2)(a + 3)(a - 4) + 21 y halle la suma de los términos lineales de todos sus factores primos.

a)-5a b)-3a c) -2a d)-4a e)a 25. Calcular un factor de: a2 _{+ 2a + ab + b + 1}

a) a+b+1 b) b+1 c)b-1 d) a-1 e) a+b

26. Factorizar: m2_-4p2_+4mm+4n2 _{y calcular la suma de los factores primos obtenidos}

a)2m + 4n b)m+ n + 2p c)m+n d) 2m+n e)m+2n

27. Calcular la suma de coeficientes de un factor primo:

S(m;n) = 7m4_+29m2_n4 _{– 36n}8

a) 48 b) -1 c)35 d) 42 e)0

33. Si es un polinomio factorizable, entonces un factor

primo es:

a) 3x-1 b) x+5 c)2x-4 d) x2_{+1 e) x}2_+x-3

34. Hallar la suma de los factores primos del polinomio:

22

50

15

13

4

)

(

_x

_

_x

4

_

_x

3

_

_x

2

_

_x

_

P

a) 5x² - x + 9 b) 5x² + x – 9 c) 3x²+ x + 9 d) 3x² - x + 9 e) 3x² + x – 9

35. Factorizar la siguiente expresión

x

7

+ x

5

+ 1

dando el valor numérico para x = 1, en uno de los factores.

a)3 b)4 c)5 d)6 e)7 37. Señale Ud. el término de mayor grado de un factor primo del polinomio

P(x) = x7 _{– 2x}5 _{+ 3x}4 _{– 3x}2 _{+ 3x + 1}

25

INECUACIONES

1. LEY DE TRICOTOMÍA EN R

Dados dos números reales a y b, ellos verifican una y sólo una de las siguientes relaciones:

a = b ; a > b ; a < b  a  b  R  a = b; a > b ; a < b

2. DESIGUALDAD

Se llama desigualdad a la relación entre dos números reales de diferente valor. Si: a  b  a > b  a < b

3. CLASES DE DESIGUALDADES: A. DESIGUALDAD ABSOLUTA

Es aquella que se verifica para todos los valores reales que se dan a sus variables. x² + 10 > 0 a² + b² + 9 >0

B. DESIGUALDAD RELATIVA

Llamada inecuación, se verifica sólo para un cierto conjunto solución de sus incógnitas.

3x – 4 > 2 x² -3x + 1 < 0

4. RECTA REAL

Es una recta geométrica donde a cada uno de sus puntos se le hace corresponder uno y sólo un número real.

 NÚMERO POSITIVO: Es aquel conjunto de números mayores que cero. Si: x > 0  “x es positivo”.

 NÚMERO NEGATIVO: es aquel conjunto de números menores que cero. Si: x < 0  “x es negativo.

26

5. INTERVALO:

Es aquel subconjunto de los números reales.

El intervalo es un conjunto de valores comprendido entre dos límites (superior e inferior).

A. INTERVALO ABIERTO

Es un conjunto de números reales, comprendidos entre los extremos (a los extremos, no los considera).

Representación  < a ; b > ó ] a ; b [ B. INTERVALO CERRADO

Es un conjunto de números reales, donde se consideran los valores extremos. Representación  [ a ; b]

6. OPERACIONES CON INTERVALOS

Al ser los intervalos subconjuntos de los números reales, será posible entonces realizar las operaciones entre conjuntos, como: unión, intersección, diferencia y complementación.

Ejemplos: Dados

Calcular:

A B; AB; A – B

Solución:

7. PROPIEDADES SOBRE DESIGUALDADES

1. El sentido de una desigualdad no se altera si se suma o resta una misma cantidad a

ambos miembros. n y n x y x Si n y n x y x Si           : :

27

2. Si a los dos miembros de una desigualdad se le multiplica o divide por una misma

cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no cambia Dado: x>y ; n>0 (n es positiva)

       n y n x yn n x. .

3. Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por una misma

cantidad negativa, el sentido de la desigualdad cambia. Dado: x>y; n< 0 (“n” es negativa)

       n y n x yn n x. 4. c a c b b a Si c a c b b a Si           : :

5. Se pueden sumar desigualdades del mismo sentido, teniendo la desigualdad

resultante el mismo sentido.

n

b

m

a

n

m

b

a



















n

b

m

a

n

m

b

a



















6. Sólo se podrán restar desigualdades de sentidos contrarios y el sentido de la

desigualdad resultante será el del minuendo.

n

b

m

a

n

m

b

a



















n

b

m

a

n

m

b

a



















7. Sólo se pondrán multiplicar desigualdades del mismo sentido y con números

positivos y el sentido de la desigualdad resultante no varía. Para: a, b, c, d >0

bxd

axd

x

d

c

b

a













28

8. Sólo se podrán dividir desigualdades de sentidos contrarios y con números

positivos y el sentido de la desigualdad resultante será el mismo que el del dividendo. Para: a, b, c, d >0 d b c a d c b a       : 9. Si: 0 0 ) 0 ( ; 0 0        axb b a b axb b a

10. Siendo a y b del mismo signo, entonces:

Si: a b b a    1 1 Si: a b b a    1 1 11.Para: b1:si:bm bn mn Para: _0b_1:si_:bm _bn _m_n 12. Si: a ba ab b 2 13.Para: b_1:si_:bm _bn _m_n 14. Para: b_0:si_:a2 bbab 8. INECUACIONES

Se llama inecuación a la desigualdad que se verifica sólo para un cierto conjunto solución de sus incógnitas.

A. INECUACIONES DE PRIMER GRADO

29 Resolución:

a

b

x

b

ax

b

ax

b

b

b

ax























0

Ejemplos: 1. Resolver: (4x)23(x1)4(x8) Solución: Efectuando:                 ; 27 27 5 32 4 5 32 4 5 5 32 4 3 3 2 8 x x x x x x x x x 2. Resolver: 5 3 8 2 5 2 x  x  Solución:

Pasando al primer miembro::



                   : 11 0 11 0 6 11 0 6 16 2 15 3 42 0 3 8 2 5 7 x x x x x x x

B. INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Forma:

_ax

2

_

_bx

_

_c

_

0

;

_ax2_{bxc0}

1. Resolver: _x2 _{ x}3 _4_0

Solución:

30

Igualando cada factor a cero se obtiene los puntos “críticos”: x = -4, x = 1, llevando a una recta real y colocando signos ( +,-,+) de derecha a izquierda. La solución estará dada por la zona positiva ya que tiene el sentido (>).

      x ;4 1; 2. Resolver: _x2_{ x}7 _12_0 Solución: Factorizando: ( x- 4 ) ( x – 3 ) < 0

Se iguala cada factor a cero para obtener los puntos críticos: x = 4, x = 3, los llevamos a una recta real y colocamos de derecha a izquierda ( +, -, +).

Tomamos la zona negativa, pues en la inecuación original se tiene el sentido (<).    x 3;4 3. Resolver: _x2_{ x}3 _2_0 Solución: Factorizando: ( x + 2 ) ( x+ 1 )  0 Puntos críticos: x = -2: x = -1

Por el sentido ( ) se toma la zona negativa.







2 

;

1



 x

C. INECUACIONES EXPONENCIALES LEYES: 1º Si: b > 1, dada: bx _bn _x_n 2º Si: 0 < b < 1; dada: bx _bn _x_n Ejemplos: 1. Resolver: 16x1 _2x12 Solución:

31

,

2

2

4(x1)

_

x12 _{cumple la 1º ley} Luego:              ; 3 16 3 16 16 3 4 12 4 12 4 4 x x x x x x x se mantuvo el sentido 2. Resolver: 18 2 6 1 2

)

4

,

0

(

)

2

,

0

(

 



x x cumple 2º ley Solución:

Buscando bases iguales:

                 18 2 2 6 1 2 ) 2 , 0 ( ) 2 , 0 ( 18 2 2 6 1 2 x x x x ; cambio de sentido

Multiplicando por 18 ambos miembros:



























4

7

;

4

7

7

4

4

2

3

6

)

2

(

2

)

1

2

(

3

x

x

x

x

x

x

x

D. SISTEMA DE INECUACIONES

Es aquel conjunto de inecuaciones que se verifican o satisfacen para los mismos conjuntos soluciones de sus incógnitas (valores comunes a todos).

 Sistema en función de una sola incógnita

32

Solución:

Se procede a resolver cada inecuación por separado y luego se intersectan los resultados.

Con la (1): damos MCM = 6, y efectuamos: 18 + x – 3 > 2 ( x + 5 ) – 2 ( 7) De donde: x < 19

Con la (2): damos MCM = 6 y efectuamos 12 + 3 ( x – 5 )  2 ( x + 4 ) – 6 ( 5 )

De donde: x  -19

Intersectando ambos resultados:





19

;

19





 x

33

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar el menor número racional “m” que para cualquier valor satisface la desigualdad:

a) -2/3 b) -1/3 c) -5/3 d) -7 e) -6

2. Resolver:

Indicando el mínimo valor entero que la verifique.

a) -3 b) -5 c) -7 d) -8 e) -9

3. Hallar un número entero y positivo, sabiendo que la tercera parte del que le precede disminuida en una decena, es mayor que 14, y que la cuarta parte del que le sigue, aumentada en una decena es menor que 29.

a) 5 b) 56 c) 74 d) 62 e) 32 4. Resuelva: Indique la suma de las soluciones enteras.

a) 3 b) 2 c) 7 d) 4 e) 5

5. Resolver:

a) b) c) d) e)

6. Hallar el menor valor de “n” al resolver:

4

3

5

6

5

2

2

3

5

6

















_





_n

n

n

a) 25 b) 22 c) 32 d) -35 e) -30 7. Hallar un número de dos cifras, sabiendo que el duplo de las cifras de las decenas

restado de la cifra de las unidades, es mayor que 5, y la diferencia entre 14 veces la cifra de las unidades y la cifra de las decenas es menor que 112.

a) 17 b) 18 c) 16 d) 27 e) 28 8. Un número disminuido en 5 resulta mayor que su duplo aumentado en 2; disminuido en

10 resulta menor que su duplo disminuido en 1. El número es:

34

9. El dominio de la función real: es:

a) b) c) d) e) 10. Calcula el mínimo valor de:

a) 4 b) 0 c) 2 d) 4 e) 11.El producto de los valores enteros de “x” que satisfacen la desigualdad:

es:

a) 120 b) 100 c) 60 d) 24 e) 12 12. Si:



5

x



1







3

;

2

además se cumple que

b a x 5 ; 5 2 2 1     Hallar: a + b a) 24 b) 26 c) 30 d) 34 e) 28 13. Resolver: 3 2 3 2    x x a)x2:3] b) x2:3[ c) x2:5] d) x1:3[ e) x2:6]

14. Hallar el mayor valor de “M”,



x 

R

_{M  x}2_14_x33

a) 15 b) 14 c) 16 d) 18 e) -16 15. La inecuación: tiene como conjunto solución: Hallar b + c.

a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24 16. Resolver:             25 2 2 3 8 7 4 7 5 6 n n n n a) 4 47 ; 4 21  n b) 4 47 ; 7 21  n c) 4 47 ; 4 31  n d) 4 47 ; 7 22  n e) N.A.

35

17. El menor número M con la propiedad : para todo valor real “x”, es: a) 6 b) 13 c) 12 d) 3 e) 11 18. Se sabe que el cuádruplo de un número de monedas que hay dentro de una bolsa es

tal, que disminuido en 5, no puede exceder en 31, y que el quíntuplo del mismo número de monedas aumentado en 8, no es menor que 52. ¿Cuál será dicho número? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 15 19. Resolver: _{2 2} 2

8

2

a

x

a

a

x

a

a

x

x











a)

x





`



2

a

;



a

 



a

;

3

a



b)

x





`



2

a

;



a

 



a

;

2

a



_c)

x





`



2

a

;



3

a

 



a

;

3

a



d)

x





`



2

a

;



a

 



a

;

5

a



e) N.A.

20. La solución de: es:

a) b) c) d) e) 21. Resolver: a) b) c) d) e) 22. Resolver: a) b) c) d) e) 23. Resuelve: a) b) c) d) e) 24. Resolver:

36

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

25. Resolver:

a) b) c) d) e) 26. El cuadrado, de un número aumentado en 6 no excede a 27 veces el mismo número.

El mayor número real que satisface tal propiedad es:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 27. Carlos vendió 100 libros y le quedó más de la mitad de los que tenía al inicio. Luego

vende 502 libros y le queda por vender menos de 500 libros. ¿Cuántos libros tenía Pablo al inicio?

a) 2005 b) 2002 c) 2007 d) 2001 e) 2003 28. Un carpintero hizo un cierto número de sillas. Vende 49 y le quedan por vender más de la mitad. Hace después 9 sillas y vende 20, quedándole menos de 41 sillas que vender. ¿Cuántas sillas ha hecho sabiendo que inicialmente fabricó un número par de sillas? a) 100 b) 102 c) 110 d) 109 e) 120 29. Resolver: 31_x21_x61_x5 a) x>5 b) x<5 c) x>4 d) x<3 e) x>7 30. Resolver la inecuación:





3 5 4 2 2 1 1 3 x   x  x a)

x









;

32



b)

x









;

30



c)

x









;

32



d)

x









;

13



_{e) N.A.} 31. Resolver: 6 1 2 4 2 1 3 3 1 5 3 1 3 5 2           x x x x x a) _ ;7_ 13 15 x b) _ ;7_ 13 18 x c) _ ;6_ 13 15 x d) _ ;7_ 13 16 x e) N.A.

37 32. Resolver:





 







1



2

 

3



4



5 3 6 4           x x x x x x x x a)   ; 4 5 x b)   ; 4 9 x c)   ; 4 7 x d)   ; 4 3 x e) N.A.

33. Hallar un número entero y positivo, sabiendo que la tercera parte del que le precede disminuida en una decena, es mayor que 14, y que la cuarta parte del que sigue, aumentada en una decena es menor que 29.

a) 70 b) 64 c) 65 d) 74 e) 80 34. ¿Cuál o cuáles son los valores enteros de “x” que satisfacen el sistema?

8 22 3 30 5 2        y y x y x a) 2 b) 1 c) 4 d) -4 e) -2

35. Un número entero disminuido en 5 resulta mayor que su duplo aumentado en 2; disminuido en 10 resulta menor que su duplo disminuido en 1. El número es:

38

MATRICES

LA MATRIZ

Es todo arreglo rectangular de elementos del conjunto R o C en filas y columnas. Por ejemplo:

Matriz rectangular 2 x 4

Matriz cuadrada 3 x 3

IDENTIDAD DE MATRICES

Dos matrices son idénticas o iguales si se verifica que: a) Tienen igual orden

b) Sus elementos correspondientes son iguales. Por ejemplo: verificar la igualdad en:

2 4 4 22

A = 5 6 y B = 5 6 9 3 3x2 32

5

15 _3x2

a) Poseen igual orden 3 x 2

b) Los elementos correspondientes son iguales.

TEMA 05 :

39

CLASES DE MATRICES

1. Matriz cuadrada n x n 2. Matriz nula 3. Matriz diagonal 3 0 -2 0 0 A = y B = 0 5 0 0 5 0 0 3,6 4. Matriz escalar 5. Matriz identidad

6. Matriz fila o vector fila

A = |2 3|1x2 B = |5 6 -7 10|1x4

... ... ...

40 7. Matriz columna o vector columna

2 5

A = B = 6

3 2x1 -7 10 4x1 8. Matriz triangular superior

9. Matriz triangular inferior

10. Transpuesta de una matriz (At₎

11. Matriz Simétrica

41 12. Matriz Antisimétrica

OPERACIONES CON MATRICES:Se considera solo dos operaciones I. ADICIÓN DE MATRICES ( A + B)

Se tendrá en cuenta para A+ B 01. Deberán ser el mismo orden 02. Se sumaran los elementos de manera correspondiente. De manera General:

...

...

...

"

"

3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1

P

n

m

P

n

m

P

n

m

B

c

b

a

c

b

a

c

b

a

A





...

...

...

3 3 3 3 3 3 2 . 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1

P

c

n

b

m

a

P

c

n

b

m

a

P

c

n

b

m

a

B

A





















A = -At _{B = -B}t

42

Ejemplos: 1. Sean:

2. Sean las matrices:

Luego A + B y A – B son: PROPIEDADES 01. A+ B = B+A 02. (A+B) + C = A+ (B+C) 03. K (A+ B) = KA+ KB ; K





04. (K+r) A = KA + rA K ; r





II. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES (AXB) 1. Multiplicación de un escalar por una matriz

3 3 3 2 2 2 1 1 1

"

"

c

b

a

c

b

a

c

b

a

A 

Luego K.A =

)...

(

c

)

(

b

(k)

)...

(

c

)

(

b

(k)

)...

(

c

)

(

b

(k)

3 3 3 2 2 2 1 1 1

k

k

a

k

k

a

k

k

a

2. Multiplicación de un vector FILA por vector columna. Solo para elementos de la FILA igual a la cantidad de elementos en la columna

3 2 1 1 1 1

m

m

m

B

y

c

b

a

A





....

3 3 2 2 1 1









a

xm

a

xm

a

xm

AxB

43

3. Multiplicación de los matrices se tendrá en cuenta lo siguiente: 1) Solo se define para dos matrices

de m x n y n x p

 

_{x p} P n x n x

x

B

C

m m

A



Ejemplos:

1. Sean las matrices:

2. Sean las matrices:

La matriz AB será una matriz C de orden 2x1

3. Sean las matrices:

La matriz C producto de A y B será de orden 2 x 3 de la siguiente forma:

44

NOTA: La multiplicación de matrices no necesariamente es conmutativa

PROPIEDADES: Si A, B ; C son matrices 01. AB



BA 02. (A+B) C = AC+ BC 03. C(A+B) = CA + CB 04. A( BC) = ( AB) C 05. 0 xA = 0 06. Si A x B = 0 entonces A=0 y B= 0 07. Si AB = AC entonces B=C

 TRAZA DE UNA MATRIZ

Dada una matriz cuadrada, se llama traza a la suma de los elementos de la diagonal principal y se denota por tras así:

Ejemplos:

1. Sea:

2. Sea:

TEOREMA:

Sean las matrices cuadradas A y B del mismo orden y un escalar. I. Traz(A B) = Traz(A) Traz(B)

II. Traz( .A) = Traz(A) III. Traz(AB) = Traz(BA)

45  TRASPUESTA DE UNA MATRIZ

Sea A una matriz se llama traspuesta a la matriz denotada por definida por Es decir, dada una matriz A se determina su traspuesta denotada por intercambiando todas las filas por columnas.

Ejemplos: 1. Sea 2. Sea TEOREMA I. II. III. es un escalar. IV.  MATRIZ INVERSA

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, tales que. , entonces se dice que B es la matriz inversa de A y se denota asi: ; o también se dice que A es matriz inversa de B y se denota asi: .

Luego:

Ejemplo

Si

Sea

46 Entonces:

 MATRIZ ADJUNTA

Dada una matriz cuadrada: de orden n, donde es el adjunto del elemento , se define como la matriz adjunta de A y se denota por a:

Ejemplo 1:

Para la matriz:

Luego :

Ejemplo 2:Para la matriz:

 MATRIZ ADJUNTA

Dada una matriz cuadrada: de orden n, donde es el adjunto del elemento , se define como la matriz adjunta de A y se denota por

Nótese que los adjuntos de los elementos de la fila j es A son los elementos de la columna j en ADJ(A), o los adjuntos de los elementos de la columna i en A son los elementos de la fila i en ADJ(A), es decir:

47

Ejemplo 1:Para la matriz:

Luego:

Ejemplo 2: Para la matriz: hallar su Adjunta.

Solución:

Luego:

 MATRIZ INVERSA

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, tales que: AB = BA = I, entonces se dice que B es la matriz inversa de A y se denota asi: ; o también se dice que A es la matriz inversa de B y se denota asi:

Luego:

Ejemplo 1:

48 Ejemplo 2: Si: Solución: Sea: Resolviendo: Entonces:

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA QUE UNA MATRIZ CUADRADA POSEA INVERSA.

Se tiene que para que exista si y sólo si A es una matriz regular ; si A es una matriz singular se dice que A no posee inversa o no es inversible.

Ejemplo:

Hallar la inversa de la matriz:

49

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar A + B ; si 0 10 9 7 5 10 B 0 15 5 2 7 6   y A (a) 9 12 16 0 25 14 (b) 9 12 16 -0 25 14  c) 0 25 14 9 12 16 d) 0 25 14 -9 12 16  e) N.A.

2. Sean las matrices A =

13

1

-5

9

2

8

B

9

4

1

5

-9

1



y

Entonces A - B; es: (a)

4

5

6

14

-7

7



(b)

6

5

-6

14

7

7



(c)

5

6

14

6

-7

7

(d)

5

-6

-14

6

7

7



(e)

6

3

6

4

7

9

3. Sean las matrices: A = 2 3 B 1 4 3 2  y Hallar “A x B” (a)

13

14

(b)

-

13

-

14

(c) 14 13 (d) 14 -13 (e) 2 8 6 9

4. Sean las matrices:

A =

2

1

2

3

9

7

1

4

5

B

9

1

5

2

3

4



y

Hallar “A x B” (a) 26 38 50 17 45 45 (b) 17 45 45 26 38 50 (c) 26 38 50 -17 45 45 (d) 17 45 45 -26 38 50 (e) N.A. 5. Si b c 1 1 3 a

2

d

b

1

2

a

= 21 d 4 7d 29 2 d    Calcular el valor de

50

a) 13 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

6.. Sean las matrices: A = 1 3 1 2 B = 5 c 1 a

Tal que AB = BA. Calcular

a) 1 b) 2 c) -1 d) 3 e) -3 7. Si A = 1 2 -5 3 B = 1 4 7 2 C = 5 10 1 11 Resolver la ecuación: a) 4 7 11 9 b) 4 7 12 9 c) 4 6 11 9 d) 4 7 14 9 e) 4 7 10 9

-8. Halle el valor de xyuv si las matrices

x-y u - v v u y x  y 1 3 3 5 a)5 b)6 c)8 d)12 e)15 9. Sea la matriz B = cosx senx senx x cos si

Hallar el valor de para

a) ½ b)1/5 c) ¼ d) 1/8 e) 2

10. Dadas las matrices A = 3 1 -1 2 B = 4 2 3 1 2 1 y C =

2

1

2

5

4

1

-1

6

3

Si a) 22 b) 24 c) 20 d) 26 e) 30

51 2 9 4 1 d c b a 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 2 0 1 = 4 8 9 1 6 6 0 1 a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 12. Si:

0

1

3

-1

0

2

1

2

0



z

y

x

3

-5

1

Calcular: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

13. Sean las matrices: A =

2

4

2

3

6

3

-5

1

5

y B =

8

6

5

0

2

6

-1

3

1

Si Hallar la suma de las componentes de la

tercera fila de la matriz X.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14. Si A = 5 3 2 1 Hallar la matriz x a) 18 4 -33 6 b) 18 4 -32 6 c) 19 4 -33 7 d) 19 4 -33 8 e) 18 4 33 6

15. Dado el polinomiof(x) = 3x2 _{– 5x -2 y además A =} 1 3 2 1 Hallar f(A)

Dar como respuesta la suma de sus elementos.

a)30 b)32 c)33 d)35 e)28

16. Calcular la traza de f(A) siendo y A = 4 3 2 1 a) 26 b) 24 c) 28 d) 30 e) 32

17. Dadas las matrices A y B que cumplen: A + 2B = 3 0 2 5 2A – B = 4 5 -11 5