UNIVERSIDAD COMPLUTENSE
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
CONSEJO SUPERIOR
DE INVESTIGACIONES CIENTíFICAS
INSTITUTO DE ASTRONOMíA Y GEODESIA
(Cent
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S.Le
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M
.
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.
MADRID
Publicación núm.
198
AJUSTES CON CONSTREÑIMIENTOS
por
M. J. Sevilla
MADRID
2003
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
CONSEJO SUPERIOR DE INVESTIGACIONES CIENTíFICAS
INSTITUTO DE ASTRONOMíA Y GEODESIA
(Centro Mixto UCM-CIC). MADRID
Publicación núm.
198
AJUSTES CON CONSTREÑIMIENTOS
por
M. J. SEVILLA
(Seminario de Geodesia Superior. Facultad de Matemáticas,
UCM
del 11 al 19 de noviembre de 2002)
MADRID
2003
2
M.
J.S
e
villa
íNDICE
AJUSTES
CON CONSTREÑIMIENTOS
3
1. INTRODUCCIÓN
3
2.
CONSTREÑIMIENTOS
ABSOLUTOS
.4
3.
OBTENCIÓN
DE LAS FÓRMULAS
A PARTIR DEL
MODELO
DE SOLUCIONES
PROGRESIV
AS
14
4.
FÓRMULAS
POR ETAPAS
Y CAMBIO DE
MODELO
15
5.
MODELO DE ECUACIONES
DE OBSERVACIÓN
CON
CONSTREÑIMIENTOS
17
6.
MÉTODO
DE ELIMINACIÓN
DE LOS CONSTREÑIMIEN-TOS
...
19
7.
CONSTREÑIMIENTO S
CON PARÁMETROS
ADICIONA-LES
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• s ••••••••••
22
8.
CONSTREÑIMIENTOS
PONDERADOS
24
Ajustes con constreñimientos
3
AJUSTES CON CONSTREÑIMIENTOS
Por MIGUEL J. SEVILLA DE LERMA
1. INTRODUCCiÓN
En muchos problemas de ajuste de observaciones,
en particular
en el campo de la geodesia, es muy corriente el uso de ajustes con
constreñimientos.
El modelo
de ajuste
con
constreñimiento s se
presenta
en
forma
directa
cuando,
como
consecuencia
de
las
propiedades
físicas
o
geométricas
del
problema
considerado,
disponemos
de ciertas relaciones
funcionales
entre los parámetros
.
Entonces, además del modelo principal del ajuste en el que junto a los
parámetros
entran cantidades estocásticas,
aparecen otras relaciones
llamadas de constreñimiento
o ligadura que han de ser verificadas por
los parámetros independientemente
del proceso de observación en el
que estén involucrados; tendremos por lo tanto información adicional
no estocástica
sobre los parámetros.
Si dicha información
es de
naturaleza estocástica, conociendo por ejemplo la matriz de pesos,
nos
encontramos frente a los llamados constreñimientos
ponderados.
En
otras
ocasiones
las
relaciones
de
constreñimiento
las
imponemos con objeto de obligar a algunos de los parámetros a que
tomen ciertos valores predeterminados,
como es el caso de fijar el
datum
en una
red
geodésica,
en cuyo
caso
se conocen
como
constreñimientos
externos.
Si dichos constreñimiento s se obtienen
solamente
a partir de la información
del problema
a través de su
matriz de diseño tendremos los llamados constreñimientos
internos.
Por último, los constreñimiento s son una herramienta útil para
resolver el problema
de las singularidades
que se presentan
en el
tratamiento
de redes libres, aunque este caso no será tratado en el
presente texto.
Los métodos y fórmulas que presentaremos
en lo que sigue
forman parte de las clases impartidas en el Seminario de Geodesia
Superior celebrado
en la Facultad
de Ciencias Matemáticas
de la
4
M
.
J.S
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Madrid del 1
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2002. T
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s.
2. CONSTREÑIMIENTOS
ABSOLUTOS
P
a
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mayor
ge
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es
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s
la
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ormu
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ó
n.
El mod
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s.
El primer tipo
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X c
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L,
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n
f
orm
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e
mod
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l
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implícit
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o
s
F(X
,
L)=O
(1)
El
s
e
g
undo model
o s
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o
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s
con
s
tr
e
ñimi
e
nt
o
s
entr
e
lo
s
parámetro
s
y
s
er
á
de l
a
forma
(2)
E
l
mode
l
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c
ipa
l
ser
á
de dimen
s
ión
e
c
on
n
p
a
r
á
metro
s,
l
o
Aju
s
t
e
s con
c
on
s
tr
e
ñimiento
s
5
permitirá obtener los parámetros
.
El modelo de constreñimiento
lo
supondremos
de dimensión
s que será menor que el número
de
parámetros
n (s<n),
por lo que por sí solo no nos permite obtener los
parámetros de forma única.
El
modelo
e
s
tocá
s
tico
s
erá
el
correspondiente
al modelo
principal
y
,
por con
s
iguiente
,
consistirá
en el conocimiento
de la
m
a
tri
z
de varianza-covarianza
a priori de la observaciones o lo que e
s
lo mi
s
mo
,
de la varianza a priori de peso unidad
CJo2Y de la matriz de
peso
s
P
que supondremos definida positiva.
Para
aplicar
el método
de mínimos
cuadrados
hemos
de
comenzar linealizando las expresiones (1) y (2)
.
Sean Xo
,
Lo valores
aproximados de X y L entonces definimos la
s
variables
x
=X-X
o
v=L-l
(3)
donde
1
= Lo son las observ
a
ciones
reales. Por el mismo método de
Taylor obtenemos las formas lineales
Ax +Bv
-t
=
O
Dx-t
c =O
(4)
(5)
donde el
s
ignificado de las matrice
s
es claro
Lo
s
rango
s
de esta
s
matrices
son
,
rango(A)=n
,
rango(B)
=
c
,
rango
(
D)=
s,
e
s
decir
s
on matrice
s
de rango máximo de manera que no
no
s
producirán
s
ingularidade
s
, pues suponemos que
s-en-ea.In
s
istimo
s
en que t
e
no e
s
variable aleatoria. Los parámetros son
funcionalmente
dependientes
con tantos
parámetros
dependientes
como ecuaciones del tipo (5) haya, es decir tendremos s parámetros
6 M
.
J.Se
v
illa
d
e
pendiente
s
y
n
-
s
indep
e
n
dientes.
En definiti
v
a
s
upondremos
la
s
des
i
g
u
aldade
s
m+nz
-
c+ss
-
n;
y
m+tn-sjz
-
cz-n
-
s,
donde
m
e
s
el número
de
o
bse
rv
aci
o
ne
s
.
La
teoría
de
rmrnm
o
s
cuadrados
nos
dice
que
debemo
s
minimizar la fun
ci
ón v
T
p
v sujeta a la
s
condicione
s (
4
) y (
5
)
,
e
s
decir
ha
y
qu
e
minimi
za
r
l
a
forma c
u
adrá
t
ica
do
n
de
p
-
l
=
Q
vv
=
Qu
e
s
la matriz cofac
t
or de las ob
s
ervacione
s
a
priori y
A
y
A
c
los vec
t
ores d
e
m
u
ltip
l
ica
d
ores de Lagrange
.
El mínimo
de
T
c
on respecto
a x y v
s
e obtiene
por el
proce
d
imi
e
nto
ordina
r
io
;
l
a
s
derivadas
parciales de
T
conducen
al
s
ig
u
iente
s
i
ste
m
a
de
ecuaciones
correlativas
Pv-B
T
A
=
O
Ax+Bv
-
t
=
O
Dx-t
c=
O
A
T
A+
D
T
A
e=
0
(8)
(
9)
(
10
)
(
11
)
De
(
8
)
se o
bt
iene
(
12
)
que
s
ustit
u
ida en
(
9
)
da
(
1
3)
y
p
on
ien
do co
m
o de or
d
i
n
ario
(14)
que es
un
a matriz
d
e
d
imensión
(e,e)y rango e, resulta
Ajustes con constreñimientos
7
(15)
Sustituyendo ahora (15) en (11) se obtiene
(16)
Pongamos
N
=
ATM
-
1A
d
= ATM
-
1
t
(17)
entonces (16) junto con (10) constituyen
el sistema de
ecuaciones
normales
reducido
Nx
-
DTA
c=
d
Dx-t
c=
O
(18)
En términos de hipermatrices (18) se escribe
(19)
Este es un sistema de
n+s
ecuaciones con
n
+
s
incógnitas que
resolvemos
por sustitución.
Corno la matriz N es regular,
de la
primera ecuación de (18) obtenemos
(20)
sustituyendo (20) en la segunda de (18) resulta
(21)
de donde
8
M
.
1
.
S
evi
lla
(22)
La matriz
DN
-
ID
T
e
s
de dimen
s
ión (s
,
s) y
r
a
ngo s
.
Su
s
titu
ye
ndo
(
2
2)
en (20) queda
El primer término del
s
egundo miembro de (
2
3) e
s
la
s
olución
del modelo principal (4
)
ai
s
lado (4.24 de 148
)
y el re
s
to
es
el términ
o
que surge al considerar los constreñimientos
(5)
.
Entonce
s
la
s
olución
(23) puede e
s
cribir
s
e en forma progre
s
i
v
a
x
=
XI
+
L
U
XI
=
N
-
I
d
=
(A
T
M
-
l
ArA
T
M-
l
t
(2
4
)
~x
=
N
-
IDT (DN
-
IDT r
(te
-
Dxl)
Una vez determinado
s
lo
s
parámetro
s
X
,
lo
s
re
s
idual
es
v
s
e
obtienen
s
u
s
tituyendo
(
24) en
(
15
)
y este re
s
ultado en (12)
(2
6
)
e
s
decir
v
=
P
-
IBTM
-
I (t
-
Ax)
=
=
P
-
I
B
T
M
-
l (t-Axl
)-P
-
I
B
T
M
-
I
A~x
(
27)
Obser
v
ando
que el primer
t
é
rmino
corr
es
p
o
nd
e
al modelo
principal solo (4.26 de 148)
, (
27
)
se e
s
cribe en forma pro
g
resiva por
Ajustes
c
on
c
onstr
e
ñimiento
s
9
v
=
VI
+
~v
VI
=P
-
IBTM
-
I(t-Ax
l)~v = -P
-
IBTM
-
I A~x
(28)
Calculemos
ahora
la
forma
cuadrática
v
T
pv.
A partir de (12)
obtenemos
Multipliquemos
_x
Tpor (11), (9) traspuesta
por
A
,
(10)
traspuesta por ~ y
sumemos
-e
(ATA+DTA
c
)+(xTAT
+ATBP
-
IBT
-
e)A+(xTDT
-tnA
c
=
=-xTATA-xTDTA
+eATA+ATBP
-
IBTA-eA+
e
(3
0)
es
decir
(31)
y
resulta
(
32)
En
el caso sin constreñimiento s se tiene por (4.20 de 148)
(
33
)
entonces
podemos
escribir (15) en la forma
10M.
J.Sev
ill
a
es
d
ec
ir
e
n
fo
rma p
r
o
g
r
es
i
va
A=AI
+M
M=
-
M-
IMi
(
35
)
Ll
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(
35
) a (32)
r
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M
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(
35
),
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(2
4) y
A
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(
2
2) o
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e
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v
T
pv = t
T
Al +t
T
M-
I
AN-
I
DT
(DN-ID
T
t
(te
-Di
'
I
)+
+
t
~
(DN-ID
T
t
(t
e
-
Dx
.
, )
(
37
)
= t
T
Al +(t
e
-
Dil
f
(DN-IDT
t
(te
-Di
'
l)
Entonc
es e
n forma progre
s
iva e
sc
ribimo
s
v
T
pv = (V
T
pV)
1
+ ~(VTpV)
(V
T
pV)1
=
e Al = eM
-
1 (t
-
Ail) = tTM-lt
-
i~Nil
(38)
~ ( v
T
Pv )
= (t
e
-
Di
1
)
T
(D N-I D
T
)-
1
(te
-
Di
1)
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de 14
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-
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-
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-
IJN
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J
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1
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J
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B
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1
-N-1
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D
N
-
1
D
T
t
N-1 )ATM-1
BP
-
1
(52)
E
s
decir
En
forma progre
s
iva
,
recordando
(4
.
45 de 148
),
esta fórmula
s
e
e
s
cribe
Q
"
vv=
Q
"
V1V1+
l
lQ
"
vvQ
"
=
P-1
B
TM-
1BP
-
1
-
P
-1
B
TM-1 AN-1 AT
M
-1
BP
-1
(54)
V1V1
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Q
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=
P-
I
B
TM-
I
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I
D
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D
N-
1
D
T
t
D
N-1A
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M-
1
BP-
1
1
4
M
.
1.S
ev
i
l
l
a
3.
OBTENCiÓN
DE
LAS
FÓRMULAS
A
PARTIR
DEL
MODELO DE SOLUCIONES
PROGRESIVAS
Si comp
a
ramo
s e
l
mod
e
lo
c
on
co
n
s
tr
e
ñimi
e
nt
os
(4), (5) co
n
e
l
mod
e
l
o (
2 de
1
76
)
p
a
ra l
as so
lu
c
ion
es pr
o
g
r
es
i
vas
,
o
b
s
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l
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c
uando
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t
ie
n
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Al = A
,
BI = B,
ti =
t
,
x
=
x
,
VI
=
V,
el =
e
A
2=D
,
B
2=0
,
t
2=t
e,v
2=0, e
2=
s
(
5
6)
Ad
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má
s
(
57
)
y
c
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mo
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M=BP
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I
B
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(
5
8)
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l
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19
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n p
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i
sa
m
e
nt
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l
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(
17 de 176
),
La
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n d
e
(23 d
e
176) d
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(
5
9)
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n
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s
u
s
titu
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nd
o
(
56
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59
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n
(2
7
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176
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b
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n
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s
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x
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XI
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D
x
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s
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x
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(
24
).
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s
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ye
ndo
e
n
(32,
33 y 3
4 d
e 1
7
6)
Ajustes con constreñimientos
15
v
=
VI
+
~v
V
I =
P
-
I
B
TM
-I
(t-Ax
l)~v = -P
-
I
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(61)
que
s
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s
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(
2
8
)
.
L
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37) para el cá
l
c
ul
o de la forma cuadrática
v
T
p
v
s
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ie
nen a part
i
r de (40 de 1
7
6) co
n
las
s
u
s
titucione
s
indicadas
.
La
s
fórmula
s
(47) para la
s
ma
t
rice
s
cofactor de lo
s
parámetro
s s
e obtienen
a partir de (46 de 1
7
6) por e
l
mismo procedimiento
y
l
as fórm
ul
as (
5
4)
para la
s
matrice
s
cofactor
d
e
l
os resid
u
a
l
es res
u
lta
n d
e (46 de
17
6)
.
4
.
FÓRMULA
S
POR ETAPAS Y CAMBIO DE MODELO
Ot
ro
método qu
e
permite obtener
l
a
s
fórm
ul
as que re
s
uel
v
en el
problema de aju
s
t
e
con con
s
treñimiento
s
e
s
e
l
s
ig
u
iente
.
Partimo
s
de
l
os modelos (4)
y
(5
)
Ax
+B
v
=
t
=
O
D
x=
t
,
=
O
1- Aplicando la fórmula (4. 25 de 148)
s
e re
s
ue
l
ve e
l
primer modelo
ai
s
l
a
d
a
m
e
nte
y
r
es
ult
a
La corre
s
pondiente matriz cofactor vie
n
e dada por (
4
.34 de 148)
(63
)
2- S
e
increment
a es
ta primera
s
olución co
n
una parte incógnita
A A A"
16 M
.
1.Sevil
l
a
3-
Se
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s
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e
s
t
a
s
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ó
n
compl
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en
e
l
mod
e
lo
d
e
con
s
treñimiento
s
y
re
s
u
l
ta
(
65
)
si ponemos
(
66
)
r
es
u
l
ta
D
~x
-
t
=0
(
67
)
(
68
)
4
-
Se con
s
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s
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s
X
I
como ob
se
rvacione
s
de man
e
r
a
qu
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el modelo tran
s
formado
(
67
)
puede
c
on
s
iderar
se
c
o
m
o
unmodel
o
d
e
ecuacione
s
de condición
,
con la
s
correccion
es
a
l
os
par
á
m
e
tro
s
tomada
s
como re
s
iduale
s
con matriz de p
es
o
s
5- Se re
s
uelve e
l
mode
l
o transformado
cuya la
s
olución ordin
a
ri
a
mínimo
s
cuadrado
s
viene dada por (3
.
20 de 148
)
d
e
m
a
n
e
ra qu
e
haci
e
ndo
B
=
D
,
v
=
Ax
,
t
=
t
re
s
ult
a
(
69
)
que coincide con (60)
6
-
Con el primer modelo
s
olo
a
p
l
ic
a
mo
s (
4.26 de 148
),
(
70)
y s
u
stit
u
yendo
l
a
s
solucione
s
obtenida
s
(64) re
s
ulta
A
j
ustes co
n
constreñimie
n
tos
17
7-
La suma
de cuadrados
de
los residuales se obtiene aplicando
(3.22
de 148),
vT
p
v
=
eM
-
1t
resultando
(72)
que coincide con (38)
8- La matriz cofactor
de
L1x
se obtiene a
partir de (3.30
de
148)
Q
""
=
P
-
1BTM
-
1BP
-
1 que toma
la forma
(73)
que coincide con (47)
9-
La matriz cofactor de
v
se obtiene
por el
mismo
procedimiento que
en el
método anterior
.
5. MODELO
DE ECUACIONES
DE OBSERVACiÓN
CON
CONSTREÑIMIENTOS
Si en
vez del modelo implícito
F
(
X
,
L
)
=
O partimos
del modelo
explícito
L
=
F(X)
,
entonces
el modelo
lineal de observaciones
indirectas con con
s
treñimientos
toma
la forma
Ax-t
=
O
Dx+
t
,
=
O
(74)
La
s
soluciones de este
modelo se obtienen
a
partir
de
las
del
modelo
mixto
con las siguientes
identificaciones:
B
=
-I
,
t
=
I-L
o
=
I-F(X
o
),
c
=
m
,
M
=
p
-
I
,
N
=
ATpA
,
d
=
ATpt
(75)
Entonces
las ecuaciones
normales (19)
toman la
forma
18 M.
J.S
ev
illa
(76)
y
las so
l
uciones
en forma progresiva (24)
se escriben
x
=x
,
+
L
l
X
x,
=
N
-
'
d
=
(A
TpA
r
'
A Tp
t
L
'
l
x
=N
-
'DT
(
D
N
-
'DT
r'
(t
e
- ns,
)
(
77)
Los residuales
vienen dados
por (28)
v
=v,
+
L
'
l
v
A
AA
V,
=
X-t
L
'lv
=
A
L
'lx
(78)
La forma cuadrática (38) es ahora
A
T
p
A
(A
T
p
A
)
A(A
T
p
A
)
V V
=
V V,
+Ll V V(vT
p
v),
=
e
pt -
xJNx,
L
'
l
( v
T
p
V )
=L
'
l
x
T
N
L
'
l
x
(
79
)
La varianza a posteriori
d
e peso unidad queda
A2
(10
=--
-m
+
s-n
(80
)
Ajust
es
con
c
onstr
e
ñimi
e
nto
s
19
Q
~~
xx=
Q
o ~
XIX)+ ~Q
xx..
Q
..
=
N
-
)
XIX)(
81
)
y
Q
..
vv=
Q
~ ~
v)v]+~Q
~~
vvQ
~ ~
=
p
-)
-
AN
-
)
A
T(82)
v)v)~Q
vv
= AN
-
)D
T(DN
-
)D
Tt
DN
-
) A
T6. MÉTODO
DE ELIMINACiÓN
DE LOS
CONSTREÑIMIEN-TOS
El
hecho
de
tener
en
nuestro
modelo
ecuaciones
de
con
s
treñimiento
s,
que
s
on relacione
s
funcionales entre lo
s
parámetro
s,
no
s
p
e
rmite
utilizad
as
para
obtener
tanto
s
parámetro
s
como
e
cua
c
ion
es
ha
ya (s
d
e
lo
s
np
a
rámetro
s)
en función
de lo
s
n-sr
es
tant
es
.
El m
é
todo
d
e
el
i
min
a
ción
con
s
i
s
t
e
en
s
u
s
titu
i
r
e
s
to
s
parámet
r
o
s
el
i
minados en el modelo principal y re
s
olver entonce
s
el
modelo resultante por las técnica
s
habitu
a
les.
Al no involucrar
lo
s
con
s
treñimiento
s
cantidade
s
aleatorias no h
a
y problema con
e
l modelo
es
tocá
s
tico
.
S
ea
XIun
v
ector con
s
parámetro
s
y
X2otro
v
ector con lo
s
n-sre
s
tante
s,
entonce
s
descomponemo
s
en si
s
tema en la forma
A)x¡ +A
2x
2+Bv-t=O
D)x
)
+D
2x
2-t
e
=0
(83)
(
84
)
La matriz
DI
e
s
una matri
z
cuadrada
de dimensión
(s,s)que
suponemos no singular, entonces la ecuación (84) permite escribir
20 M. 1
.
S
ev
ill
a
Ahor
a s
u
s
tituimo
s (
85
)
en
(
83
) y
r
es
ult
a
(
86
)
que escribimos en l
a
forma
AX
2+Bv+
t
=
0
(8
7
)
donde
- -1A
=
A
2-
AID
I
D
2t
=
t-A
1D
-
11
t
e(88)
(
89
)
El
s
i
s
tem
a
(
87
) c
on
s
ta d
e e e
cuacione
s
con
n
-
s
p
a
rám
e
tro
s
incógnita
y
tanto
s
r
es
iduale
s
v como t
e
ní
a
el mod
e
lo prin
c
ip
a
l
.
Lo
tratamo
s
como modelo mixto ordin
a
rio y aplic
a
ndo la f
ó
rmul
a (
4
.
25
de 148
)
obten
e
mo
s
(
90
)
donde M
s
igue
s
iendo M
=
B
P
-
IBT.
Su
s
titu
y
endo
(
90
) e
n
(
85
)
re
s
ulta
(
91
)
Entonce
s
el
v
ector d
e
parám
e
tro
s es
timado
s c
ompleto
v
i
e
n
e
d
a
do p
o
r
(
92
)
Los
errores
re
s
iduale
s
es
tim
a
do
s
se obtienen
a
pli
ca
ndo
la
fórmula
(
4.26 de 148
)
Ajustes con constreñimientos
21
siendo
e
n este caso
(94)
entonces ponemos
Por su parte la suma de cuadrados de residuales viene dada por
(4
.
32 de 148) que en nuestro caso se escribe
(96)
La varianza a posteriori de peso unidad es, como siempre
(97)
El cálculo de la matriz cofactor de los parámetros se efectúa a
partir de (92)
,
entonces
(98)
Por (4.34 de 148) sabemos que
(99)
y aplicando la ley de propagación a (85) obtenemos
22
M.
1
.
Sevi
l
la
(101)
Tam
b
ié
n
p
odemos
proceder
d
irec
t
amente
con
x
,
para ello
s
u
s
titu
i
m
os (90) y (9
1
) e
n
(92) y te
n
ie
n
do e
n
cue
n
ta (89), o
b
tenemos
e
l
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n
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e
,
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g
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ente, tenien
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o en c
u
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q
u
e
Qtt
=
M
,
l
a
l
ey de propagació
n
da
(103)
La m
at
riz cofac
t
o
r
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p
os
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i
de los residuales podrá a
h
ora
ob
t
e
n
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ica
n
do
l
a fórm
ul
a (4
.
45
d
e 148)
.
Así resu
l
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=
P
-
1B
T
M
-
1BP
-
1
- P
-
1B
T
M
-
1
A
N
-
1
AT
M
-
1
B
P
-
1
-vv
-P
-
1
BT
M
-
1
(1-
A
Q
..
ATM
-
1
)
BP
-
1
l
x2xZ(104)
7. CONSTREÑIMIENTOS
CON
PARÁMETROS
ADICIO
NA-LES
Es
t
e
cas
o
se
p
rese
n
ta
c
u
ando
e
n
l
as
ecuaciones
de
co
n
s
t
re
ñi
m
i
e
nt
o
apa
r
ece
n
,
junto
a
los
parámetros
del
mode
l
o
p
rincipa
l,
o
tr
os
parámetros
adicio
n
a
l
es
q
u
e
no fig
u
ra
b
an
en el
Ajustes con constreñimientos
23
tomamos en consideración la analogía entre este modelo
y
el modelo
de
soluciones
progresivas
con
número
variable
de
parámetros
estudiado en la sección 10 de 176.
Sean ahora x los parámetros
del modelo
mixto
o modelo
principal
y
sean z los nuevos parámetros que añaden las ecuaciones de
constreñimiento.
Entonces el modelo global en su forma lineal lo
escribimos
Ax
+
Bv=
t
=
0
D
lx
+
D2z
-
t
c=
0
(105)
Suponemos
que el modelo
de constreñimientos
consta de s
ecuaciones
con
n
parámetros
del modelo principal
y
n'
parámetros
nuevos, entonces supondremos
n+n'
> s
y
n'
< s. El modelo principal
sigue teniendo e ecuaciones,
n
parámetros
y
m
residuales con
n
< e <
m.
Todas las matrices que intervienen se suponen de rango máximo,
entonces
rango
A=n,
rango B=c,
rangoD1=s
rango D
2=
n'
Ahora el modelo global (105) es un caso particular del modelo
de soluciones progresivas con número variable de parámetros (93 de
176) en el que
Al = A, CI = O,
B
I =
B, ti
=
t
A2 = DI' C2 = D2' B2
=
O, t2
=
te
(106)
(107)
y
las características estocásticas
(108)
En estas condiciones la matriz auxiliar (104 de 176) se convierte en
2
4 M
.
J.S
ev
ill
a
Entonce
s
por
(1
11 de 176
)
la
s
olución e
s
X=X
I
+~IX
+
~
2
X
x -N
1--
IA
T
M
-
It
~
I
X
~
=
N
-
I
D
TK
I
-
I
(t
-
D ~ )
eI
XI
~
2
~
X
= -N
-
I
D
T
I
K
-
I
D
2
(D
T
2
K
-
I
D
2
)
-
1
DTK
2
-
I
(t -
D
~
)
eIXI
(1
10
)
Lo
s
parámetr
os
añ
a
dido
s
,
en
v
irtud d
e (1
1
3
d
e
17
6) v
i
e
nen
dado
s
por
(1
11
)
Obs
é
rves
e
que agrup
a
ndo términos pod
e
mo
s es
cribir
X=XI +M
~x
=
~IX
+
~
2
X
=
N
-
I
D
~
K
-
I ((
-
D¡x
l -D
2Z
)
(1
1
2)
8. CONSTREÑIMIENTOS
POND
E
RADOS
Ha
ga
mo
s
una
ex
ten
s
ión d
e
l model
o
mi
x
to
co
n c
o
nstr
e
ñ
i
mi
e
nto
s
a
l ca
s
o m
ás g
eneral
e
n
e
l qu
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uponemo
s
que l
os
p
ará
m
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t
ros es
t
á
n
ponderado
s
(con información
a
pri
o
ri) y las
co
nstante
s
d
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l m
o
d
elo
d
e
con
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e
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s
on también
a
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ori
a
s.
E
s
to
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qu
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l
e a
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a
r
toda
s
l
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es
co
mo ob
se
r
vac
i
o
ne
s.
Ent
o
nc
es
,
e
l mod
e
l
o (1)
,
(2
)
lo
e
s
cribimo
s e
n l
a
forma
F
(
X
,
L
)
=0
Fc
(
X,L
J
=
O
(1
1
3)
A
hor
a
X
Y
L
se
con
s
id
e
r
a
n
o
b
se
r
vac
i
o
n
es
as
í
co
m
o
l
as
Aju
s
t
es c
on
co
n
st
r
eñ
imi
e
nto
s
25
(m,l)
o
b
servacione
s
co
n
vencionales
,
con matriz
d
e pe
s
o
s
P
,
Le e
s
un
vector de
(P,I)ob
s
ervacione
s
de pesos P,
y
X es el vector de
(n,l)parámetros ponderado
s
con matriz de peso
s
P¿ Suponemos la mi
s
ma
vari
a
n
z
a a priori de pe
s
o unidad
()
~
a
s
í como qu
e
L
e Y
X
s
on
incorr
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ladas
y
que toda
s
la
s
matrice
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de pe
s
o
s s
on d
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finid
as
po
s
itiva
s.
Como todo
se
con
s
ider
a o
b
s
ervacione
s
tendremo
s
tre
s
tipo
s
de
re
s
iduale
s
,
que e
s
t
á
n definido
s
por
v
=L-I
Ve
=
Le
-l
e
V
x
=
X-I
x
(114)
dond
e
con 1
,
le
y
i
,
repre
s
entamo
s
lo
s
valor
es
ob
s
er
v
ado
s
de L,
L
e
YX
re
s
p
e
cti
v
amente
.
E
s
to
s v
alor
es
ob
s
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ado
s
se
toman
c
omo valor
e
s
aproximados
,
de manera
q
ue el modelo line
a
l i
z
ado
s
e e
s
crib
e
Ax
+
Bv
=
t
=
O
Dx
+
B
eVe - te=
O
X - Vx
-
t
x=
O
(115)
siendo A
~
(
~:t
de dimen
s
ión
(c,
n)
y
r
a
n
g
o
n
,
B
~
(
~~1
de
.
,
dimen
s
ión
(c,m)y rango e
,
D
=
(o
F
e
)
de dimensión
(s,n)y rango
s
oX
,1xy
B
,
j
::)
de dime
n
sión
(s,p)y
ra
n
go
s
. Además
t
=
-F(
I
,
l
x)'l
,1,t
e
=
-
r
;
(
le
,
1
<
),
y
t
,
=
I
x
'
26 M
.
1.S
ev
ill
a
T=
VT
P
V
+
V
TP
CV
+
VTpV
-
2A
T
(Ax+Bv
-
t)
-e . e x x x