UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CLAVE-960-1-M-2-00-2018-sB
CURSO:
Matemática para Computación 1SEMESTRE:
Segundo
CÓDIGO DEL CURSO:
960
TIPO DE EXAMEN:
Primer Examen Parcial
FECHA DE EXAMEN:
06 de septiembre de 2019
RESOLVIÓ EL EXAMEN:
José Ramiro Mateo Pu
DIGITALIZÓ EL EXAMEN:
José Ramiro Mateo Pu
Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Matemática para Computación 1
Departamento de Matemática
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA MATEMATICA PARA COMPUTACION 1
FACULTAD DE INGENIERIA
PRIMER EXAMEN PARCIAL
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
SEGUNDO SEMESTRE 2019
Tema 1 (20 puntos)
Suponga que al desplazarse por el plano cartesiano solo puede hacerlo paso a paso, ya sea un espacio horizontalmente o ya sea un espacio de forma vertical (vea el ejemplo de la figura). ¿Cuántas trayectorias distintas pueden hacerse entre (3,2) y (11,8)? Considere solo los desplazamientos positivos (hacia la derecha y arriba). ¿Cuántas trayectorias ida y vuelta pueden realizarse?
Tema 2 (30 puntos)
a) ¿Cuántas disposiciones diferentes de las letras de la palabra CHIQUIMULILLA existen?
b) ¿Cuántas placas de automóvil pueden formarse con tres letras seguidas de tres dígitos si no pueden repetirse letras?
c) Determine el coeficiente de 𝑥𝑦 𝑧 𝑒𝑛 (𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 )
d) De automóviles deben de elegirse entre 200 seguridad vial 30 para una prueba de seguridad vial. Además 30 (de entre los mismos 200) deben elegirse para una prueba de emisiones al aire.
I. Si no hay restricciones ¿De cuántas maneras puede llevarse a cabo la selección? II. Repita el inciso i si ningún auto puede someterse simultáneamente a ambas pruebas.
III. ¿De cuántas maneras se puede llevar a cabo la selección si exactamente cinco autos deben de ser sometidos a ambas pruebas?
Tema 3 (15 puntos)
Demuestre que la siguiente proposición es una tautología usando una tabla de verdad.
[(𝑝 ↔ 𝑞) ∧ (𝑞 ↔ 𝑟) ∧ (𝑟 ↔ 𝑝)] → [(𝑝 → 𝑟) ∧ (𝑟 → 𝑝)]
Tema 4 (20 puntos)
Escriba el argumento en forma simbólica y denótelo en forma simbólica.
Debo estudia MC1 y aplica para una beca en Japón. Si estudio MC1, aprobare el curso y podre aplicar para una beca en Japón. Si apruebo el curso, me iré de vacaciones o podre conseguir trabajo como webmaster. No saldré de vacaciones. Por lo tanto, me han contratado como webmaster
Tema 5 (15 puntos)
Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Matemática para Computación 1
Departamento de Matemática
R. / Existen 3003 trayectorias positivas entre el punto 3,2 y el 11,8
R. / Existen 9018009 trayectorias ida y vuelta entre el punto 3,2 y el 11,8
SOLUCIÓN DEL EXAMEN
Tema 1: (20 puntos)
Suponga que al desplazarse por el plano
cartesiano solo puede hacerlo paso a paso, ya sea
un espacio horizontalmente o ya sea un espacio
de forma vertical (vea el ejemplo de la figura).
¿
Cu
á
ntas trayectorias distintas pueden hacerse
entre (3,2) y (11,8)? Considere solo los
desplazamientos positivos (hacia la derecha y
arriba).
¿
Cu
á
ntas trayectorias ida y vuelta pueden
realizarse?
i.
¿Cuántas trayectorias distintas pueden hacerse entre (3,2) y (11,8)? Considere solo los
desplazamientos positivos.
No.
Explicación
Operatoria
1.
Se determina la recurrencia de los
desplazamientos en el plano y el
total de estos.
𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 = 8 , 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 = 6 𝑛 = 14
2.
Se sustituyen los datos recabados en
la ecuación
𝑛!𝑛1!𝑛2!..𝑛𝑘!
14!
6! 8!
= 3003
ii.
¿Cuántas trayectorias ida y vuelta pueden realizarse?
No. Explicación
Operatoria
1.
Se determina la recurrencia de los
desplazamientos en el plano y el total de
estos.
𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 = 8 , 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 = 6, 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 = 6 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 = 8 𝑛 = 14 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒
2.
Se sustituyen los datos recabados en la
ecuación
𝑛!para cada
𝑛1!𝑛2!..𝑛𝑘!
trayectoria simple, luego se multiplican
estos valores para tener el dato total de
las trayectorias.
14!
14!
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Departamento de Matemática
R. / Las disposiciones totales son
86486400
R. / Las disposiciones totales son
15600000
R. / El coeficiente binomial es -4320
Tema 2 (30 puntos)
a)
¿
Cuántas disposiciones diferentes de las letras de la palabra CHIQUIMULILLA existen?No.
Explicación
Operatoria
1.
Se determina la recurrencia de los
caracteres en la palabra y el total de
estos.
C=1,H=1,I=3,Q=1,U=2,M=1,L=3,A=1, 𝑛 = 13
2.
Se sustituyen los datos recabados en
la ecuación
𝑛!𝑛1!𝑛2!..𝑛𝑘!
13!
1! 1! 3! 1! 2! 1! 3! 1!
= 86,486,400
b)
¿Cuántas placas de automóvil pueden formarse con tres letras seguidas de tres dígitos si no pueden repetirse letras?No.
Explicación
Operatoria
1.
Formando el patrón el cual quedara
de la siguiente manera tomando en
cuenta que no se repite las letras
donde D es un digito y L es una letra
𝐿(𝐿 − 1) ∗ (𝐿 − 2) ∗ 𝐷 ∗ 𝐷 ∗ 𝐷
2.
Teniendo en cuenta de que se tiene
nueve 10 dígitos 0-9 y un alfabeto de
26 caracteres entonces quedara
26*25*24*10*10*10=15,600,000
c)
Determine el coeficiente de 𝑥𝑦 𝑧 𝑒𝑛 (𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 )c) No. Explicación
Operatoria
1.
Según el teorema multinomial
(𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 … . . +𝑎 𝑥 )
el
coeficiente al desarrollar es
𝑛!
𝑛
1! 𝑛
2! 𝑛
3! … … . 𝑛
𝑡!
∗
𝑎
1𝑛1𝑎
2𝑛2𝑎
3𝑛3… … 𝑎
𝑡𝑛𝑡2.
Entonces se procede a sustituir en la
formula del teorema multinomial
Con los siguientes datos
𝑛 = 6, 𝑛 =
1, 𝑛 = 3, 𝑛 = 2
! 1!3!2!
∗
1
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Matemática para Computación 1
Departamento de Matemática
R. / Existen 1.6783909942 ∗ 10
71 selecciones posibles para las pruebas.R. / Existen 8.326423 ∗ 10
68 selecciones posibles para las pruebasd)
De automóviles deben de elegirse entre 200 seguridad vial 30 para una prueba de seguridad vial.
Además 30 (de entre los mismos 200) deben elegirse para una prueba de emisiones al aire.
a.
Si no hay restricciones ¿De cuántas maneras puede llevarse a cabo la selección?
No. Explicación
Operatoria
1.
Se determinan los valores de n y r por
prueba que serán utilizados en la
combinación. Dado que no existen
restricciones los valores son los mismos
para ambas pruebas
𝑟 = 30, 𝑛 = 200
2.
Para facilidad de operación se convertirán
todos los coeficientes en enteros,
eliminando las divisiones. En este caso
multiplicamos ambos lados de la igualdad
por 4.
200! 200!
∗ = 1.6783909942 ∗ 1071
30! (200 − 30)! 30! (200 − 30)!
b.
Repita el inciso i si ningún auto puede someterse simultáneamente a ambas pruebas.
No. Explicación
Operatoria
1.
Se determinan los valores de n y r para
cada combinación.
𝑟1 = 30, 𝑛1 = 200
𝑟2 = 30, 𝑛2 = 170
2.
Se procede a hacer uso de la ecuación de
la
combinación
𝑛𝐶𝑟 =
𝑛!
con
los
valores
𝑟!(𝑛−𝑟)!
determinados para n y r de cada prueba.
200! 170!
∗ = 8.326423 ∗ 1068
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Matemática para Computación 1
Departamento de Matemática
R. / Existen 3.3941 ∗ 10
70 selecciones posibles para las pruebasR./ Queda demostrado que si es tautologia
c.
¿De cuántas maneras se puede llevar a cabo la selección si exactamente cinco autos deben de ser
sometidos a ambas pruebas?
No. Explicación
Operatoria
1.
Se determinan los valores de n y r para
cada combinación
𝑟1 = 5, 𝑛1 = 200
𝑟2 = 25, 𝑛2 = 195
𝑟3 = 25, 𝑛5 = 170
2.
Se procede a hacer uso de la ecuación de
la
combinación
𝑛𝐶𝑟 =
𝑛!
con
los
valores
𝑟!(𝑛−𝑟)!
determinados para n y r de cada prueba.
200! 195! 170!
∗ ∗ = 3.3941 ∗ 1070
5! (200 − 5)! 25! (195 − 25)! 25! (170 − 25)!
Tema 3 (15 puntos)
Demuestre que la siguiente proposición es una tautología usando una tabla de verdad.
[(𝑝 ↔ 𝑞) ∧ (𝑞 ↔ 𝑟) ∧ (𝑟 ↔ 𝑝)] → [(𝑝 → 𝑟) ∧ (𝑟 → 𝑝)]
No. Explicación
Operatoria
1.
Usando
Tablas de
Verdad
𝐴 = 𝑝 ↔ 𝑞 𝐵 = 𝑞 ↔ 𝑟 𝐶 = 𝑟 ↔ 𝑝 𝐷 = 𝑝 → 𝑟 𝐸 = 𝑟 → 𝑝 𝐹 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∧ 𝐶 𝐺 = 𝐷 ∧ 𝐸 𝐻 = 𝐹 → 𝐺p
q
r
A
B
C
D
E
F
G
H
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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Departamento de Matemática
R./
(𝑝
∧ 𝑞) ∧ (𝑝
→ (𝑟 ∧ 𝑞)) ∧ (𝑟
→ (𝑠 𝑣 𝑡)) ∧ (¬𝑠
) → 𝑡Tema 4 (20 puntos)
Escriba el argumento en forma simbólica y denótelo en forma simbólica.
Debo estudia MC1 y aplica para una beca en Japón. Si estudio MC1, aprobare el curso y podre aplicar para una beca en Japón. Si apruebo el curso, me iré de vacaciones o podre conseguir trabajo como webmaster. No saldré de vacaciones. Por lo tanto, me han contratado como webmaster
No. Explicación
Operatoria
1.
Tomando
las
premisas
p=Estudiar MC1
q=Aplicar para una beca
r=Aprobar MC1
s=Ir de vacaciones
t=Conseguir Trabajo como webmaster
2
Formando
los
argumentos
𝑝
∧ 𝑞𝑝
→ (𝑟 ∧ 𝑞)𝑟
→ (𝑠 𝑣 𝑡)¬𝑠
∴ 𝑡
3
Denotándol
o en forma
simbólica
(𝑝
∧ 𝑞) ∧ (𝑝
→ (𝑟 ∧ 𝑞)) ∧ (𝑟
→ (𝑠 𝑣 𝑡)) ∧ (¬𝑠
) → 𝑡 Tema 5 (15 puntos)Demuestre 3 leyes de la lógica de su tabla de pertenecía
Leyes de la lógica con su tabla de pertenencia
Ley de Doble Negación
(¬¬𝒑)
↔ 𝒑𝒑
¬𝒑
¬¬𝒑
(¬¬𝒑)
↔ 𝒑0 1 0 1
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Leyes de Demorgan
