Los resultados de una medición en general no pueden expresarse con números enteros. Por ejemplo una longitud: a b

Números Racionales:

Los resultados de una medición en general no pueden expresarse con números enteros. Por ejemplo una longitud:

1,82m---182/100 18,2dm---182/10 182cm---182/1 1820mm---182*10

Un número racional es una expresión del tipo

a

b

(donde a y b son números enteros y b≠0) El conjunto de los números racionales(Q) está formado por los n° enteros todas las

fracciones(positivas y negativas) y el cero.

Todo número racional se puede expresar en forma de fracción o en forma decimal. Para encontrar la expresión decimal de una fracción dividimos a(numerador)/b(denominador)

3

2

→3 2 luego

3

2

=1,5 10 1,5 Representación gráfica: =

3

2

3

2

=

1

3

Fracciones equivalentes e irreducibles:

2

3

y

4

6

son equivalentes, representan el mismo número racional. Amplificación de fracciones:

3

4

(*2)=

6

8

Simplificación de fracciones:

4

12

:4 =

1

3

0 ₁ 2 ₃

Escribe la fracción irreducible: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Relación de orden:

Una fracción representa el cociente entre dos números enteros. A partir de la regla de los signos de la división una fracción negativa se puede expresar de distintas formas:

−

5

6

=

5

−

6

=

-5

6

Expresión fraccionaria de un número decimal: toda expresión decimal limitada puede anotarse como fracción, como numerador se coloca el número completo(sin coma) y como denominador un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga la expresión decimal.

І) 0,352=

352

1000

ІІ)1,2=

12

10

ІІІ)0,06=

6

100

ІV)1,453=

1453

1000

V)0,0023=

23

10000

Expresión fraccionaria de un número periódico puro: Para buscar la fracción que representa a la expresión decimal periódica 0,44444444=0,4

Multiplicamos por 10 ambos miembros(mam) 10x=4,4444444 10x-x=4,444444-0,4444444 9x=4 x=4/9 І)0,5 =

5

9

ІІ) 0,32=

32

99

Expresión fraccionaria de un número periódico mixto:

І)3,521=

(

3521

−

35

)

990

=

3486

990

ІІ)1,45=

145

−

1

99

=

144

99

ІІІ)2,13=

213

−

21

90

=

192

90

Expresar como fracción:

a)0,2= k)-0,7= b)0,25= l)0,4= c)0,3= m)1,2= d)0,006= n)-3,2= e)1,35= o)-0,72= f)0,75= p)5,9= g)6,495= q)3,219= h)3,5= r)31,214= i)0,125= s)2,7= j)2,4= t)3,12= Expresión decimal de una fracción:

І)

3

Expresar como decimal: a)

1

2

= b)

5

4

= c)

3

8

= d)

5

2

= e)-

7

8

=

f)-7

2

= g)

9

2

= h)

15

4

= i)

2

5

= j)

7

5

=

Comparación en forma fraccionaria: entre fracciones de igual denominador se comparan los numeradores. De distinto denominador se amplifican una ó ambas fracciones hasta igualar ambos denominadores y se comparan los numeradores.

3

2

>

1

2

3

4

–----1

2

(·2) →

3

4

>

2

4

Comparación en forma decimal:

En forma decimal, primero se comparan las partes enteras, luego los décimos, los centésimos….sucesivamente.

1,245 y 1,247 → 1,245 < 1,247

Indicar mayor >,< ó = según corresponda:

a)

7

15

----11

15

b)

−

3

4

---−

7

9

c)

−

2

5

---−

7

5

d)

8

3

----50

21

e)

−

7

2

----−

14

4

f)

2

3

–--3

10

g)

3

5

–--4

9

h)-2,4---−

17

4

i)

4

3

–--3

2

Representa en la recta númerica:

a)

5

4

= (unidad=4cuadritos) b)

1

c)

−

2

5

= d)

3

2

= e)

3

5

= f)-

4

9

= g)

8

3

= h)

−

17

4

= i)

−

7

5

=

Suma y resta de números racionales:

Para sumar ó restar dos fracciones que tengan el mismo denominador, se suman ó restan sus respectivos numeradores, y se repite el mismo denominador.

І)

4

3

+

2

3

=

6

3

ІІ)

5

4

+

2

4

=

7

4

Para sumar ó restar dos fracciones de distinto denominador, se busca el común denominador que es el MCM (mínimo común múltiplo) de todos los denominadores.

І)

3

4

+

1

3

=

9

+

4

12

=

13

12

MCM(4,3)=12 ІІ)

1

2

-3

4

=

2

−

3

4

=

−

1

4

MCM(2,4)=4 ІІІ)

1

6

+

2

3

-1

2

=

1

+

4

−

3

6

=

2

6

MCM(6,3,2)=6 Resolver: a)

9

8

+

13

8

+

2

8

=

b)

11

4

-2

7

= c)

19

10

+

9

10

+

8

10

= d)

1

2

+

1

6

+

7

3

= e)

1

4

+

2

3

+

4

3

= f)

23

8

-7

4

= g)

2

3

+

3

4

= h)

3

2

+

1

3

= i)

1

2

+

2

3

= j)

3

4

+

5

12

= k)

1

3

-2,5= l)0,4-

2

3

= m)

3

7

+

5

21

= n)0,4+

3

4

= o)-0,4+(-

3

4

)= p)(-4)+(-

1

3

)= q)

4

3

-(-0,4)= r)

7

6

-5

12

=

s)-0,4+

3

7

=

Resolver las sumas algebraicas:

a)

7

6

+2+

11

6

= b)

1

2

+

1

6

-4

3

= c)

1

3

+

4

6

+

3

9

= d)

3

9

+1+

3

7

= e)0,8+2+

3

4

+0,05= f)

3

4

-0,2+

5

3

-2+

3

5

= g)

3

7

-1

28

+

3

2

-1

4

= h)1,8-

1

5

+1-0,3+

2

5

= i)1,75-

1

5

+4,5-3

4

= j)1-

2

3

-1,2-9

15

+6= k)3+0,8-

1

6

+0,1= l)1-

3

4

+1,8-3

2

= m)3+

1

3

+

9

2

+10-11

2

= n)

3

7

-10

77

+1-12

7

+

1

11

= o)

3

4

-5

6

+

9

2

-7

12

+3=

p)0,75-(

5

3

+0,8)= q)(

5

2

+

3

4

)-2

3

= r)2-(

1

4

-1,75)= s)1,8-(

2

3

+

3

4

)= t)

2

5

-(

2

3

+0,6)= u)

3

4

-(

1

2

-1

4

)= v)

5

3

-(-3

5

-0,8)= w)

7

3

+(

2

11

-5

53

)= x)(

2

3

-0,2)-(

3

4

-0,6)= y)(

1

4

-1)-(

3

4

+

1

2

-0,625)=

Multiplicación y División de números racionales:

І)

3

2

∙

4

9

=

2

3

(se simplifica cruzado) ІІ)

9

5

:

7

2

=

9

5

∙

2

7

=

18

35

(Recuerda que todo número entero tiene denominador 1) Resolver: 1)

3

4

:

5

2

= 2)

1

2

: 0,375= 3)

2

5

:

6

7

=

4)

3

9

:2= 5)5:

3

4

= 6)-

5

4

:3= 7)

3

8

:2= 8)1:

5

8

= 9)0,4:

7

2

= 10)

5

4

:0= 11=0:

5

4

= a)

2

3

∙0,8= b)

5

6

∙

3

4

= c)

1

2

∙(-5)= d)

3

7

∙

21

6

= e)(-

3

4

)∙

8

7

= f)-0,75∙(-

4

15

)= g)3∙(-

5

6

)= h)0∙

21

6

= i)

3

4

∙0=

k)

3

7

∙

1

2

∙

5

6

= l)0,25:(-

3

7

)∙2= m)-1,75∙

3

4

:

2

3

= n)-3∙

3

4

:

2

3

=

Ejemplos de Ecuaciones:

Resolver:(impares con resultados)

1)x+

1

3

=1 (2/3)

2)x-2

5

=

3

10

3)

2

3

+x=

7

9

(1/9)

4)x+

1

4

=

1

5

5)x-1

2

=-1

4

(1/4)

6)x-1

4

=-1

2

7)2x=-

1

2

(-1/4)

8)-3x=-3

5

9)

2

3

x=-5

6

(-5/4)

10)

3

2

x=-9 11)

1

2

x+

1

3

=

1

2

(1/3) 12)

1

2

x+

1

2

=1

13)7x-

3

5

=

1

3

(2/15)

14)-5

4

x-1

4

=

3

8

15)

5

6

-3

2

x=0 (5/9)

16)x+

3

5

+

1

4

=

2

3

17)x+

1

2

-1

2

=-1(-1) 18)3x+

1

2

-1

4

=

1

2

19)-5x+

4

13

-1

4

=

5

6

(-121/780) 20)-x+

1

6

+

1

2

=5

21)x-(-

3

5

)=

2

3

(1/15)

22)-x+(-1

2

)=0

23)x-(-

1

4

)=

1

4

(0)

24)-x+(-1)-1

3

=-1

25)-x+(-

1

3

)=-3

2

(7/6) 26)x+

1

3

x=1

27)x-

2

5

x=

7

10

(7/6) 28)

1

2

x-x=

1

4

29)-

1

4

x-2x=

9

16

(-1/4) 30)

1

3

x+

1

3

=1-1

3

x

31)

1

2

x-1

3

x=

5

6

(5) 32)

1

2

x-2=1-1

4

33)

1

2

x-2=

1

4

x-1 (4) 34)

1

5

x+

1

2

=x+

6

5

-1

3

x

35)2-

1

3

x-5

12

=

1

4

x+1 (1) 36)

1

3

x+

1

3

-1

2

=x-1

4

37)

3

4

+

3

8

x+1=

5

6

x-1(6) 38)

1

5

x+

3

10

+

1

6

=

1

3

x

39)

1

3

x+

5

12

-6

7

=

2

7

x (37/4) 40)

1

3

x+

1

3

+

1

2

=x

41)

3

8

x+

1

4

+1=

5

6

x-1(54/11) 42)

1

3

·

(x+

1

2

) =

7

30

43)1-

2

5

·

(x+1)=

4

5

(-1/2) 44)

1

4

-3

4

·

(

3

8

x+

1

4

)=

1

2

45)

1

2

+

5

12

·

(x

2

₊

6

25

)=

2

3

(2/5) 46)

1

2

-3

5

·

(x

2

₊

2

9

)=

3

10

47)

1

2

+

2

5

·(√x+

3

4

)=1 (1/4) 48)

1

2

-6

7

•(

3

4

√x-1

3

)=

5

14

49)

2

5

•(x+

1

4

)=

2

3

x-1

30

(1/2)

50)-6

11

•(2x+

1

6

)=

5

6

x-13

16

51)-

2

5

•(

3

4

x-1)=

3

2

+3x (-1/3) 52)

8

15

•(

3

4

x-1

3

)=

5

6

x-1

4

53)-

8

15

•(

1

4

x-1

2

)=

1

3

•(x-1

4

) (3/4)

PROBLEMAS DE PLANTEO SOBRE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

1) Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número?

2) El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número?

3) Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números? 4) El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor

de éste es 147. Hallar el número.

5) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuáles son los números?

6) En el triángulo ABC, los lados BC=1/2AC y

1 3

. Si su perímetro es 84 m. ¿Cuánto mide cada lado?

7) Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la medida del lado del cuadrado.

8) Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3 : 5 y su perímetro es 140 m. Calcular el largo y en ancho.

9) Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica. ¿Cuánto mide el lado?

10) Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?

11) Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se casaron hace 10 años y la edad de la novia era

3

4

de la edad de la novio. ¿Qué edad tienen actualmente?

12) La edad de Pedro excede a la de su amigo Santiago en 4 años y a la de su amigo Juan en 2 años. Hace 6 años la razón entre sus edades era 2:3:4. ¿Qué edad tienen actualmente?

13) La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 años. Hallar la edad de cada una.

14) Guido tiene la cuarta parte de la edad de su padre Andrés y el triple de la edad de su hermano David. ¿Qué edad tiene cada uno, si sus edades suman 48 años?

15) Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En 10 años más tendrá sólo el doble. Hallar la edad actual del padre e hijo.

16) Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima parte de la edad del padre?

17) Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello $ 16.900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más $ 20 y cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más $ 8. ¿Cuánto cuesta cada material?

18) Hernán tiene el doble de dinero que Gladis y el triple que María. Si Hernán regalara $ 14 a Gladys y $ 35 a María, los tres quedarían con igual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

19) Una persona puede pintar una muralla en 5 horas, otra lo hace en 6 horas y una tercera persona tarda 12 horas en pintar la misma muralla. ¿Cuánto tardarían si la pintaran entre las tres?

20) El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al numerador se le suma 3, la fracción queda equivalente a

4

3

. Hallar la fracción.

21) Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103. 22) Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar los números. 23) Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194. 24) La suma de tres números impares consecutivos es 99. Hallar los números. 25) La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años

más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.

26) Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la menor aumentada en 100.

27) Dividir 85 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al doble de la mayor.

28) Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el doble del menor más el triple del mediano, más el cuádruple del mayor equivalgan a 740.

29) La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa 4 kg. 600 gramos. ¿Cuánto pesa el pez?

30) La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números por el menor, el cuociente es 2 y queda un resto de 8. Determina los números.

31) Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y la segunda por 27, la suma de los cuocientes sea 12.

32) ¿Qué número debe sumarse al numerador y al denominador de la fracción

6 8

y simultáneamente restarse del numerador y del denominador de

1 3

para que las fracciones resultantes sean equivalentes?

33) Un trozo de alambre de 28 cm. de largo se ha doblado en forma de ángulo recto. Determina la distancia entre ambos extremos del alambre, si uno de los lados del ángulo formado mide 12 cm.

34) Al preguntársele a Pitágoras por el número de sus alumnos, dio la siguiente respuesta: “La mitad de mis alumnos estudia Matemática, la cuarta parte estudia Física, la séptima parte aprende Filosofía y aparte de éstos hay tres niños muy chicos” ¿Puedes deducir cuántos alumnos tenía el famoso matemático griego?

35) Al comprar 3 Kg. de tomates y 4 Kg. de papas, una dueña de casa pagó $ 119. ¿Cuánto vale el kilo de tomates, sabiendo que es $ 14 más caro que el kilo de papas?

36) La entrada para una función de teatro al aire libre vale $ 60, adultos, y $ 25, niños. La recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de $ 14.000. ¿Cuántos niños asistieron a la función?

37) En un tratado del álgebra escrito por el célebre matemático Leonhard Euler, publicado en 1770 aparece el siguiente problema: “En una hostería se alojan 20 personas entre hombres y mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su hospedaje y cada mujer 7, del mismo valor, ascendiendo el total de la cuenta a 144 monedas. Se pregunta cuántos hombres y cuántas mujeres son”

38) Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en $ 5.050. Calcula los precios respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el triple de la falda.

39) Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema: ¿cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto se vació. ¿Puedes calcularlo tú?

RESPUESTAS

1) 5 2) 17

3) 25, 27 Y 29 4) 20 5) 51 Y 52 6) AB = 42 m., BC = 14 m y AC = 28 m. 7) 10 m 8) largo: 43,75 y ancho: 26,25 9) 4 unidaes 10) 8 y 28 años 11) 28 y 34 años 12) 14, 12 y 1 año

13) Ester: 7 años; Isabel: 16 años; María: 21 años 14) Andrés: 36 años; Guido: 9 años; David: 3 años 15) 14 y 38 años

16) Hace 10 años

17) Lápiz: $ 198, cuaderno: $ 305; goma: $ 95 18) Hernán: $ 126, Gladys: $ 63; María: $ 42 19) 2 horas 13 minutos 20 segundos

20) 5 12 21) 51 y 52 22) 67, 68 y 69 23) 96 y 98 24) 31, 33 y 35 25) 26) 27) 28) 29) 11040 gramos 30) 30 y 68

31) 99 y 81 32) 7 33) 20 cm 34) 28 alumnos 35) $ 25 36) 80 niños 37) 4 hombres 16 mujeres 38) $ 50; $ 1.250; $ 3.750 39) 38 ciruelas.

Para resolverlos se plantean así:

1er caso: hallar el porcentaje de un no con respecto a otro ¿Si a 2 le corresponde 5 cuánto le corresponde a 100? 2---5

x=2.100/5 x=40 Rta: 2 es el 40% de 5. x---100

2do caso: hallar un determinado tanto por ciento de un no dado Si a 40 le corresponde 100, ¿cuánto le corresponde a 5?

x---5

x=40.5/100 X=2 Rta:5 es el no cuyo 40% es 2. 40----100

3er caso: hallar el no conociendo un tanto por ciento de él. ¿ si a 40% le corresponde 100, 2 es correspondiente a cuánto? 2---x

x=2.100/40 x=5

Rta:5 es el no cuyo 40% es 2.

40%----100%La palabra porcentaje tiene su origen en latín “percentum” que significa por cada 100.

Ej1)¿Qué porcentaje es 6 de 24? 6---24 x=6.100/24 x=25 Rta: 6 es el 25% de 24. x---100 Ej2) Hallar el 30% de 150 x---150 x=30.150/100 x= 45 Rta: el 30% de 150 es 45. 30---100

Ej3)Hallar el número cuyo 20% es 180. 180----x

x=100.180/20 x=900 Rta:900 es el no cuyo 20% es 180. 20----100

Trabajo Práctico No4”Porcentaje” A) Calcular el porcentaje de: B) Calculen:

1)3 de 60: 1)15% de 1000: 2)2 de 100: 2)1% de 87:

3)10 de 20: 3)2.2% de 60: 4)0.1 de 50: 4) 40% de 152: 5)3.4 de 34: 5)10% de 93.75: 6)100 de 25: 6) 4.5% de 350:

C) calculen el total sabiendo que: 1)El 8% es 160: 2)El 25% es 575: 3)El 10% es 80: 4)El 1% es 342: 5) El 120% es 600: 6) El 4.5% es 9:

Resolución de problemas de porcentaje:

Ej1) En una escuela de 900 alumnos, 45 no hacen gimnasia, ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que

práctica gimnasia con respecto al total? 45----900 x=100.45/900 x=5%

x---100

Entonces el 5% no hacen gimnasia, con lo cuál Rta: el 95%(100-5) practican gimnasia.

Ej2) En una reunión de 125 personas, ¿ cuántas son mujeres si representan el 36%?

x---125

x=125.36/100 x=45 Rta=si el 36% son mujeres estás son 45. 36%----100

Ej3) En un club los socios extranjeros son 225 y representan el 15% ¿Cuántos socios hay en ese

club?

225---x x=100.225/15 x=1500 Rta: el no de socios del club es 1500. 15%----100

Ej4) Para el preparado de hormigón de construcción se emplean 1 parte de cemento portland, 3

partes de arena y 3 partes de piedra. Indicar porcentajes y representar en gráfico circular.

Trabajo Práctico No5”Problemas de porcentaje”

1) En un mes de 30 días, 6 fueron lluviosos ¿cuál es el porcentaje de días de lluvia?

2) De un talonario de 150 rifas se vendió el 70 %, ¿Cuántas rifas se vendieron?

3) Sabiendo que el porcentaje de preparación de letras de imprenta el plomo representa el 55% y

que se han empleado 33 Kg del mismo. Averiguar cuál es el peso de las letras de imprenta.

4) Un frasco de 180 ml de edulcorante líquido contiene 120 ml de agua. ¿Qué porcentaje del total

representa el agua?5) De un sueldo de 7200 pesos se descuenta 15% para el aporte jubilatorio, el 3% para la obra

social, y el 15% para la caja complementaria. Calcular el sueldo neto(de bolsillo)

6) En la obtención de 29.4 tn de cal hidráulica se emplean 5 tn de arcilla. ¿ Qué porcentaje

representa la arcilla?

7) En una lata de 450 gr de leche en polvo contiene los siguientes componentes:

Grasa 1%, proteínas 35.5%, lactosa 50.6%, agua 3.5%,sales 9.4%. Expresar cantidades en gramos y representar en gráfico circular.