¿Pueden funciones-ζ solucionar ecuaciones Diophanticas?

(1)

Funciones-ζy ecuaciones Diofanticas El caso de campos de funciones Teoria de Iwasawa clasica Teoria de Iwasawa no-conmutativa

¿Pueden funciones-

ζ

solucionar ecuaciones

Diofanticas?

Una introducion a la teoria de Iwasawa (no-conmutativa)

Otmar Venjakob

Mathematical Institute

University of Heidelberg

Pasto, 13 Agosto 2014

(2)

Funciones-ζy ecuaciones Diofanticas

El caso de campos de funciones Teoria de Iwasawa clasica Teoria de Iwasawa no-conmutativa

Funciones-L Ecuaciones Diofanticas

La formula analitica de numeros de clases

Leibniz (1673)

1 −

1

3 +

1

5 −

1

7 +

1

9 −

1

11 +

· · ·

=

π

4

(3)

Valores especiales de

funciones-

L

(4)

N

≥

1,

(

Z

/

N

Z

)

×

unidades del anillo

Z

/

N

Z

.

caracter de Dirichlet

(modulo

N) :

χ

: (

Z/

N

Z

)

×

→

C

×

se extiende a

N

χ

(n) :=

χ

(n

mod

N)

,

(n

,

N) =

1;

0,

en el otro caso.

(5)

funcion-

L

de Dirichlet con respecto a

χ

:

L(s

, χ

) =

∞

X

n

=

1 χ

(n)

n

s

,

s

C

,

<

(s)

>

1. satisface:

- producto de Euler

L(s

, χ

) =

Y

p

1

1 −

χ

(p)p

−

s

,

- continuacion meromorfica a

C,

- ecuacion funcional.

(6)

Ejemplos

χ

≡

1 :

funcion-ζ

de Riemann

ζ

(s) =

∞

X

n

=

1

1 n

s

=

Y

p

1

1 −

p

−

s

,

χ

1 : (

Z

/

4 Z

)

×

=

{

1 ,

3 } →

C

×

,

χ

1 (

1 ) =

1 ,

χ

1 (

3 ) =

−

1 L(

1 , χ

1 ) =

1 −

1

3 +

1

5 −

1

7 +

1

9 −

1

11 +

· · ·

=

π

4

(7)

Ejemplos

χ

≡

1 :

funcion-ζ

de Riemann

ζ

(s) =

∞

X

n

=

1

1 n

s

=

Y

p

1

1 −

p

−

s

,

χ1

: (

Z

/4

Z

)

×

=

{1,

3} →

C

×

,

χ1

(

1 ) =

1,

χ1

(

3 ) =

−1

L

(

1 , χ

1 )

=

1 −

1

3 +

1

5 −

1

7 +

1

9 −

1

11 +

· · ·

=

π

4

(8)

Funciones-L

Ecuaciones Diofanticas

(9)

Funciones-L

Conjeturas de Catalan y Fermat

p

,

q

numero primo

Catalan

(1844), Teorema(M

IH ˇ

AILESCU

, 2002):

x

p

−

y

q

=

1,

tiene como solucion unica

3

2 −

2

3 =

1 en

Z

con

x

,

y

>

0. Fermat

(1665), Teorema(W

ILES

et al., 1994):

x

p

+

y

p

=

z

p

,

p

>

2 ,

no tiene ninguna solucion en

Z

con

xyz

6 =

0 .

(10)

Funciones-L

Conjeturas de Catalan y Fermat

p

,

q

numero primo

Catalan

(1844), Teorema(M

IH ˇ

AILESCU

, 2002):

x

p

−

y

q

=

1,

tiene como solucion unica

3

2 −

2

3 =

1 en

Z

con

x

,

y

>

0. Fermat

(1665), Theorem(W

ILES

et al., 1994):

(11)

Funciones-L

Factorizacion sobre anillos enteros mas grandes

ζ

m

raiz

m

-esima de unidad

Z

[

ζm

]

anillo entero de

Q

(

ζm

)

,

por ejemplo para

m

=

4 con

i

2 =

−1 tenemos en

Z

[i] =

{

a

+

bi

|

a

,

b

Z

}

:

x

3 −

y

2 =

1 ⇔

x

3 = (

y

+

i

)(

y

−

i

)

y para

m

=

p

n

tenemos en

Z

[

ζ

p

n

] :

x

p

n

+y

p

n

=

(

x

+

y

)(

x

+

ζ

p

n

y

)(

x

+

ζ

_p

2

n

y

)

· . . .

· (

x

+

ζ

p

n

₋₁

p

n

y

) =

z

p

n

.

Otmar Venjakob ¿Pueden funciones-ζsolucionar ecuaciones Diofanticas?

(12)

Funciones-L

La estrategia

Expectativa:

Utiliza

factorizacion unica en primos

para concluir

una contradicion de la presuposicion que la ecuacion de

Catalan o Fermat tiene una solucion non-trivial.

Problema: en general,

Z

[ζ

m

]

no

es un dominio con

(13)

Funciones-L

La estrategia

Expectativa:

Utiliza

factorizacion unica en primos

para concluir

una contradicion de la presuposicion que la ecuacion de

Catalan o Fermat tiene una solucion non-trivial.

Problema:

en general,

Z

[

ζm

]

no

es un dominio con

factorizacion unica (UFD), por ejemplo

Z

[

ζ

23 ]

!

(14)

Funciones-L

Ideales

Kummer:

Remplace numeros por ‘numeros ideales’:

Para

ideales

(=

Z

[

ζm

]

-submodulos) 0

6 =

a

⊆

Z

[

ζm

]

tenemos

factorizacion unica en ideales primos

P

_i

6 =

0 :

a

=

n

Y

i

=

1 P

n

i

(15)

Funciones-L

Grupo de clases de ideales

Cl(

Q

(

ζm

)) :

=

{

ideales de

Z

[

ζm

]

}/{

ideales principales de

Z

[

ζm

]

}

∼

=

Pic(

Z

[

ζm

])

Teorema Fundamental de la teoria algebraica de numeros:

#Cl

(

Q

(

ζm

))

<

∞

y

h

_Q

₍

_ζm

₎

:= #Cl

(

Q

(

ζ

m

)) =

1 ⇔

Z

[

ζ

m

]

admite factorizacion unica.

¡Sin embargo es dificil determinarlo

Cl

(

Q

(

ζm

))

, demasiadas

relaciones!

(16)

Funciones-L

Grupo de clases de ideales

Cl(

Q

(

ζm

)) :

=

{

ideales de

Z

[

ζm

]

}/{

ideales principales de

Z

[

ζm

]

}

∼

=

Pic(

Z

[

ζm

])

Teorema Fundamental de la teoria algebraica de numeros:

#Cl

(

Q

(

ζm

))

<

∞

y

h

_Q

₍

_ζm

₎

:= #Cl(

Q

(

ζ

m

)) =

1 ⇔

Z

[

ζ

m

]

admite factorizacion unica.

¡Sin embargo es dificil determinarlo

Cl

(

Q

(

ζm

))

, demasiadas

relaciones!

(17)

Funciones-L

Grupo de clases de ideales

Cl(

Q

(

ζm

)) :

=

{

ideales de

Z

[

ζm

]

}/{

ideales principales de

Z

[

ζm

]

}

∼

=

Pic(

Z

[

ζm

])

Teorema Fundamental de la teoria algebraica de numeros:

#Cl

(

Q

(

ζm

))

<

∞

y

h

_Q

₍

_ζm

₎

:= #Cl(

Q

(

ζ

m

)) =

1 ⇔

Z

[

ζ

m

]

admite factorizacion unica.

¡Sin embargo es dificil determinarlo

Cl

(

Q

(

ζm

))

, demasiadas

relaciones!

(18)

Funciones-L

La funcion-L

soluciona el problema

¿Como podemos calcular

h

_Q

(

i

)

?

Es un misterio que

L(s, χ

1 )

(19)

Funciones-L

La funcion-L

soluciona el problema

¿Como podemos calcular

h

_Q

(

i

)

?

Es un misterio que

L(s

, χ1

)

conoce la respuesta!

(20)

Funciones-L

El caracter ciclotomico

Gauß:

G(

Q

(

ζN

)

/Q

)

κN

₌

∼

/

(

Z/

N

Z

)

×

con

g(

ζN

) =

ζ

_N

κN

(

g

)

para todos los

g

G(

Q

(

ζN

)

/Q

)

N

=

4 :

⇒

χ1

es un caracter del grupo de Galois

G(

Q

(i)

/Q

)

⇒

L(s

, χ

1 )

invariante (analitico) de

Q

(i)

.

(21)

Funciones-L

El caracter ciclotomico

Gauß:

G(

Q

(

ζN

)

/Q

)

κN

₌

∼

/

(

Z/

N

Z

)

×

con

g(

ζN

) =

ζ

_N

κN

(

g

)

para todos los

g

G(

Q

(

ζN

)

/Q

)

N

=

4 :

⇒

χ1

es un caracter del grupo de Galois

G(

Q

(i)

/Q

)

⇒

L(s

, χ

1 )

invariante (analitico) de

Q

(i)

.

(22)

Funciones-L

Formula analitica de numeros de clases

para campos de

numeros cuadraticos imaginarios:

h

_Q

₍

_i

₎

=

#

µ

(

Q

(i))

√

N

2π

L(

1, χ1

)

=

4

·

2 2π

L(

1, χ1

)

=

4 π

L(

1, χ1

) =

1 (por la formula de Leibniz)

⇒

_Z

[i]

admite factorizacion unica.

(23)

Funciones-L

Formula analitica de numeros de clases

para campos de

numeros cuadraticos imaginarios:

h

_Q

₍

_i

₎

=

#

µ

(

Q

(i))

√

N

2π

L(

1, χ1

)

=

4

·

2 2π

L(

1, χ1

)

=

4 π

L(

1, χ1

) =

1 (por la formula de Leibniz)

⇒

_Z

[i]

admite factorizacion unica.

(24)

Funciones-L

Formula analitica de numeros de clases

para campos de

numeros cuadraticos imaginarios:

h

_Q

₍

_i

₎

=

#

µ

(

Q

(i))

√

N

2π

L(

1, χ1

)

=

4

·

2 2π

L(

1, χ1

)

=

4 π

L(

1, χ1

) =

1 (por la formula de Leibniz)

(25)

Funciones-L

Formula analitica de numeros de clases

para campos de

numeros cuadraticos imaginarios:

h

_Q

₍

_i

₎

=

#

µ

(

Q

(i))

√

N

2π

L(

1, χ1

)

=

4

·

2 2π

L(

1, χ1

)

=

4 π

L(

1, χ1

) =

1 (por la formula de Leibniz)

⇒

_Z

[i]

admite factorizacion unica.

(26)

Funciones-L

Un caso especial de la ecuacion de Catalan

Como ‘

L(s

, χ

1 )

sabe la aritmetica’ de

Q

(i)

,

es capaz de

solucionar nuestro problema:

Claim:

x

3 −

y

2 =

1 no tiene solucion en

Z

.

En la decomposicion

x

3 = (

y

+

i

)(

y

−

i

)

los factores

(y

+

i)

y

(y

−

i)

son coprimos (facil!)

⇒

y

+

i

= (a

+

bi)

3 para algunos

a

,

b

Z

(27)

Funciones-L

Primos regulares

Similarmente

ζ

(s)

‘sabe’ para cuales

p

Cl(

Q

(

ζp

))(p) =

1 es valido! En este caso la ecuacion de Fermat no tiene ninguna

solucion non-trivial. Pero 37|

h

_Cl

₍

_Q

₍

_ζ

₃₇

₎₎

!

Iwasawa:

Cl

(

Q

(

ζp

n

))(p) =?

para

n

≥

1.

(28)

El caso de campos de funciones

Teoria de Iwasawa clasica Teoria de Iwasawa no-conmutativa

El caso de campos de

funciones

(29)

Campos de numeros versus campos defunciones

Q

←→

Fl

(X

) =

K

(

P

1 _F

_l

)

K

/

Q

campo de numeros

←→

K

(C)

/

Fl

(X

)

campo de funciones

C

⊆

_P

n

F

l

curva liza, projectiva, i.e.

K

(C)

/

Fl

(X

)

una extension finita

(30)

Contando puntos en

C

N

r

:= #C(

Fl

r

)

cardinalidad de puntos

_Fl

r

-racionales

φ

:

C

→

C

Frobenius-automorfismo

x

i

7→

x

i

l

Lefschetz-Trace-Formula

N

r

=

#

{Puntos fijos de

C(

Fl

)

bajo

φ

r

}

=

2 X

n

=

0

(31)

Funcion-

ζ

de

C

,

W

EIL

(1948)

ζ

C

(s) :

=

Y

x

|

C

|

1

1 −

(#k(x))

−

s

,

s

C

,

<

(s)

>

1,

=

exp

∞

X

r

=

1 N

r

t

r

,

t

=

l

−

s

=

2 Y

n

=

0 det

(

1 −

φ

t

|

_H

n

(C))

(−

1 )

n+1

=

det

(

1 −

φ

t

|

“Pic

0 _(C)”)

(

1 −

t)(

1 −

lt)

Q

(t

)

(32)

Hipotesis de Riemann para

C

ζ

C

es a

funcion racional

en

t

y tiene

polos

en:

s

=

0,

s

=

1 ceros

en especificos

s

=

α

satisfaciendo

<

(

α

) =

1 ₂

.

¿Puede la funcion-

ζ

de Riemann ser expresada como

funcion racional?

(33)

Hipotesis de Riemann para

C

ζ

C

es a

funcion racional

en

t

y tiene

polos

en:

s

=

0,

s

=

1 ceros

en especificos

s

=

α

satisfaciendo

<

(

α

) =

1 ₂

.

¿Puede la funcion-

ζ

de Riemann ser expresada como

funcion racional?

(34)

Funciones-ζy ecuaciones Diofanticas El caso de campos de funciones

Teoria de Iwasawa clasica

Teoria de Iwasawa no-conmutativa

Funcion-ζp-adica Conjetura Principal

(35)

Torres de campos de numeros

Estudiando la

formula de clases de numeros

en una

torre

entera de campos de numeros

al mismo tiempo:

Q

⊆

F

1 ⊆

. . .

⊆

F

n

⊆

F

n

+

1 ⊆

. . .

⊆

F

∞

:=

[

n

≥

0 F

n.

con

F

n

:=

Q

(

ζp

n

)

,

1 ≤

n

≤ ∞,

Zp

=

_←−

lim

n

Z/

p

n

Z

⊆

Qp

:=

Quot

(

Zp

)

,

κ

:

G

:=

G(F

∞

/

Q

)

∼

=

_/

Z

×

p

,

g(

ζ

p

n

) =

ζ

κ

(

g

)

p

n

para todos los

g

G

,

n

≥

0 F

∞

F

n

Q

G

(36)

Z

×

p

∼

=

Z/

(p

−

1 )

Z

×

Zp,

i.e.

G

= ∆

×

Γ

con

∆ =

G(F

1 /

Q

)

∼

=

Z

/

(p

−

1 )

Z

y

Γ =

G(F

∞

/

F

1 ) =

< γ >

∼

=

Zp.

Algebra de Iwasawa

Λ(G) :=

lim

←−

G

0

_{EG abierta}

Zp

[G

/

G

0 ]

∼

=

Zp

[∆][[T

]]

con

T

:=

γ

−

1.

(37)

Funciones

p-adicas

Anillo maximo de cuocientes de

Λ(G) :

Q(G)

∼

=

p

−

1 Y

i

=

1 Q(

Zp

[[T

]])

.

Z

= (Z

1 (T

)

, . . . ,

Z

p

−

1 (T

))

Q(G)

son funciones en

Zp

:

para

n

N

Z

(

n

) :=

Z

_i

₍

_n

₎

(κ(γ

)

n

−

1 )

Qp

∪ {∞},

i(n)

≡

n

mod

(p

−

1 )

(38)

Funcion-

ζ

p-adica

analitica

K

UBOTA

, L

EOPOLDT

y I

WASAWA

:

ζp

Q(G)

tal que para

k

<

0 ζp

(k

) = (

1 −

p

−

k

)

ζ

(k

)

,

i.e.

ζp

interpola - bajo el factor de Euler en

p

- la funcion-ζ

de

Riemann

p

-adicamente.

(39)

Grupo de clases de ideales sobre

F

∞

I

WASAWA

:

#

Cl

(

F

n

)(

p

) =

p

nrk

Zp

(

X

)+

const

donde

X

:=

X

(F

∞

) =

_←−

lim

n

Cl

(F

n

)(p)

con actuacion de

G

,

Zp

(

1 ) :=

_←−

lim

n

µ

p

n

con actuacion de

G

,

X

−

⊗

_Z

_p

_Qp

,

Qp

(

1 ) :=

Zp

(

1 )

⊗

Z

p

Qp

espacio vectorial sobre

Qp

de dimension finita con operacion

por

γ.

(40)

Grupo de clases de ideales sobre

F

∞

I

WASAWA

:

#

Cl

(

F

n

)(

p

) =

p

nrk

Zp

(

X

)+

const

donde

X

:=

X

(F

∞

) =

_←−

lim

n

Cl

(F

n

)(p)

con actuacion de

G

,

Zp

(

1 ) :=

_←−

lim

n

µ

p

n

con actuacion de

G

,

X

−

⊗

_Z

_p

_Qp

,

Qp

(

1 ) :=

Zp

(

1 )

⊗

Z

p

Qp

(41)

Conjetura Principal de Iwasawa

M

AZUR

y W

ILES

(1986):

ζ

p

≡

det

(

1 −

γ

T

|

X

−

⊗

_Z

_p

_Qp

)

det

(

1 −

γ

T

|

Qp

(

1 ))

mod

Λ(G)

×

≡

Y

i

det

(

1 −

γ

T

|

_H

i

)

(−

1 )

i+1

mod

Λ(G)

×

funcion-ζ

p

-adic

analitica

algebraica

‘formula de trace’

(42)

La analogia

campo de funciones

campo de numeros

Fl

=

Fl

(

µ

)

F

∞

=

Q

(

µ

(p))

φ

γ

C

Gm

ζ

C

ζ

p

Pic

0 _(C)

_X

_‘

₌

_’

_Pic(F

∞

)

(43)

Funciones-ζy ecuaciones Diofanticas El caso de campos de funciones Teoria de Iwasawa clasica

Teoria de Iwasawa

no-conmutativa

(44)

De

_G

m

a representaciones arbitrarias

hasta ahora:

coeficientes en cohomologia:

Zp

(

1 )

Gm, µ

(p)

2

2 ,

,

(45)

Generalizaciones

ρ

:

G

_Q

→

GL

(V

)

representacion (continua) con

V

∼

=

Q

n

p

y recteo Galois-estable

T

∼

=

Z

n

p

.

coeficientes en cohomologia:

T

ρ

2

2 +

+

torre de campos de numeros:

K

∞

=

Q

ker

(

ρ

)

Ejemplo:

E

curva elliptica sobre

_Q

,

T

=

T

p

E

=

_←−

lim

n

E[p

n

]

∼

=

Z

2 p

,

V

:=

T

⊗

Z

p

Qp.

(46)

Extensiones de Lie

p-adicas

F

∞

⊆

K

∞

tal que

G

:=

G(K

∞

/

Q

)

⊆

GLn

(

Zp

)

es un

grupo de Lie

p

-adico

con subgrupo

H

tal que

Γ :=

G/

H

∼

=

Zp

K

∞

H

F

∞

Γ

Q

G

(47)

Philosofia

Adhiera a

(

ρ,

V

)

funcion-

L p

-adica

analitica

L

(V

,

K

∞

)

con propiedad de

interpolacion

L

(V

,

K

∞

)

∼

L(

1,

V

⊗

χ

)

para

χ

:

G →

GL

n

(

Zp

)

con imagen finito.

funcion-

L p

-adica

algebraica F

(V

,

K

∞

)

.

Problema:

Λ(

G

)

en general

no es conmutativa

! Determinantes

non-conmutativas?

(48)

Philosofia

Adhiera a

(

ρ,

V

)

funcion-

L p

-adica

analitica

L

(V

,

K

∞

)

con propiedad de

interpolacion

L

(V

,

K

∞

)

∼

L(

1,

V

⊗

χ

)

para

χ

:

G →

GL

n

(

Zp

)

con imagen finito.

funcion-

L p

-adica

algebraica F

(V

,

K

∞

)

.

Problema:

Λ(

G

)

en general

no es conmutativa

! Determinantes

non-conmutativas?

(49)

Conjetura Principal de Iwasawa no-conmutativa

C

OATES

, F

UKAYA

, K

ATO

, S

UJATHA

, V.:

Existe una localisacion canonica

Λ(

G

)

S

de

Λ(

G

)

,

tal que

F

(V

,

K

∞

)

existe en

K

1 (Λ(

G

)

S

).

Tambien

L

(V

,

K

∞

)

deberia vivir en este grupo de

K

.

Conjetura Principal:

L

(

V

,

K

∞

)

≡

F

(

V

,

K

∞

)

mod

K

1 (Λ(

G

)).

(50)

Conjetura Principal de Iwasawa no-conmutativa

C

OATES

, F

UKAYA

, K

ATO

, S

UJATHA

, V.:

Existe una localisacion canonica

Λ(

G

)

S

de

Λ(

G

)

,

tal que

F

(V

,

K

∞

)

existe en

K

1 (Λ(

G

)

S

).

Tambien

L

(V

,

K

∞

)

deberia vivir en este grupo de

K

.

Conjetura Principal:

(51)

Polinomiales caracteristicas non-conmutativos

M

Λ(

G

)

-modulo, finitamente generado sobre

Λ(H)

-module

B

URNS

, S

CHNEIDER

, V.:

Λ(

G

)

S

⊗

Λ(

H

)

M

“

1 −

γ

”

∼

=

/

Λ(

G

)

S

⊗

Λ(

H

)

M

induce

“

det

(

1 −

γ

T

|

M)”

K

1 (Λ(

G

)

S

)

.

Conjetura Principal sobre

K

∞

:

“formula de trace" en

K

₁

(Λ(

G

)

S

)

mod

K

1 (Λ(

G

))

:

L

(

K

∞

,

Z

p

(

1 ))

≡

det

(

1 −

γ

T

|

H

• (

K

∞

,

Z

p

(

1 )))

(52)

Polinomiales caracteristicas non-conmutativos

M

Λ(

G

)

-modulo, finitamente generado sobre

Λ(H)

-module

B

URNS

, S

CHNEIDER

, V.:

Λ(

G

)

S

⊗

Λ(

H

)

M

“

1 −

γ

”

∼

=

/

Λ(

G

)

S

⊗

Λ(

H

)

M

induce

“

det

(

1 −

γ

T

|

M)”

K

1 (Λ(

G

)

S

)

.

Conjetura Principal sobre

K

∞

:

“formula de trace" en

K

1 (Λ(

G

)

S

)

mod

K

1 (Λ(

G

))

:

(53)

Congruencias nuevas

Para coeficientes

Z

p

(

1 )

:

K

ATO

, B

URNS

, K

AKDE

:

K

1 (Λ(

G

))

_/

Q

i

O

[[U

i

ab

]]

×

K

1 (Λ(

G

)

S

)

/

Q

i

Quot

(

O

[[U

i

ab

]])

×

L

(K

∞

/

Q

)

/

(L

p

(F

i

,

∞

))

i

Existencia de

L

(K

∞

/

Q

)

⇐⇒

congruencias entre

L

p

(

χ

i

,

F

∞

)

Main Conjecture

/

K

∞

⇐⇒

Conjetura Principal

/

F

∞

para todos los

χ

i

Resultados parecidos por R

ITTER

, W

EISS

para

H

finito.

(54)

Congruencias nuevas

Para coeficientes

Z

p

(

1 )

:

K

ATO

, B

URNS

, K

AKDE

:

K

1 (Λ(

G

))

_/

Q

i

O

[[U

i

ab

]]

×

K

1 (Λ(

G

)

S

)

/

Q

i

Quot

(

O

[[U

i

ab

]])

×

L

(K

∞

/

Q

)

/

(L

p

(F

i

,

∞

))

i

Existencia de

L

(K

∞

/

Q

)

⇐⇒

congruencias entre

L

p

(

χ

i

,

F

∞

)

(55)

La Conjetura Prinicipal para campos totalmente reales

F

totalmente real,

F

cyc

⊆

K

∞

totalmente real,

Teorema (2010, Ritter-Weiss (dimension 1), Kakde (dimension

arbitraria))

Si

µ

=

0 para F

∞

/

F

,

entonces la Conjetura Principal

no-conmutativa para el motivo de Tate (i.e. para

Gm

) vale sobre

K

∞

/

F

.

(56)

Muchas gracias por

su atencion!

¿Pueden funciones-ζ solucionar ecuaciones Diophanticas?

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