CAPÍTULO 4 EL CAMPO ELÉCTRICO EN MATERIALES DIELÉCTRICOS

CAPÍTULO 4 EL CAMPO ELÉCTRICO EN

MATERIALES DIELÉCTRICOS

Materia: Asociación de partículas cargadas

Núcleos: carga positiva

Nubes de electrones: carga negativa

Propiedades de la materia:

fase (sólido, líquido,

gas), dureza, aspereza, color, reflectividad,

transparencia, opacidad, capacidad calorífica, etc., etc.,

son consecuencia de fuerzas electromagnéticas entre

sus constituyentes.

Materiales de acuerdo a propiedades eléctricas:

l

conductores

l

semiconductores

l

dieléctricos

Conductores:

Materiales con gran cantidad de portadores libres:

≅

10

22

portadores / cm

3

Semiconductores:

Materiales con una cantidad moderada, pero

controlable, de portadores libres:

10

6

≅

₁₀

20

_{portadores / cm}

3

Dieléctricos (aislantes):

Materiales con muy pocos portadores libres:

< 10

6

portadores / cm

3

Los sólidos pueden ser:

l

cristalinos

l

policristalinos

l

amorfos

Campo eléctrico en un material: Resultante de un

campo eléctrico “externo” y el campo eléctrico

generado por la distribución de cargas en el material.

La interacción de un campo eléctrico con la

materia dependerá del tipo de material

Un material dieléctrico se puede representar como

un conjunto de dipolos eléctricos (Polarización:

El momento dipolar eléctrico:

Dipolo puntual (Ejemplo 4):

( )

₃

o

3

o

4

y

ˆ

y

4

aq

2

y

ε

π

−

=

ε

π

−

=

k

p

E

p=2aq

= momento dipolar

(C.m)

Se puede definir el momento dipolar eléctrico para

cualquier distribución de carga; i.e., cualquier

distribución de carga se puede representar por un

F

₊

F

-E

+q

p

-q

Torque:

N = S X F

Carga positiva:

( )

k

( )

j

i

N

₊

=

−

a

ˆ

×

qE

ˆ

=

aqE

ˆ

Carga negativa:

( )

k

(

j

)

i

N

₋

=

a

ˆ

×

−

qE

ˆ

=

aqE

ˆ

Torque total:

Dipolo puntual:

N

=

N

₊

+

N

₋

=

2

aqE

ˆ

i

En general:

_N

=

p

×

E

Momento dipolar de una distribución arbitraria:

d

τ

ξ

θ

z

y

x

r

ρ

r

_max

r

_o

∫

θρ

τ

ε

π

=

r

cos

d

r

1

4

1

)

r

(

V

2

o

o

o

dip

r

r

•

=

θ

ˆ

_o

cos

r

∫

ρ

τ

•

ε

π

=

d

r

ˆ

4

1

)

r

(

V

2

o

o

o

o

dip

r

r

Momento dipolar de la distribución:

p

=

∫

r

ρ

d

τ

p

=

∫

r

σ

da

p

=

∫

r

λ

dl

p

r

•

ε

π

=

₂

o

dip

r

ˆ

4

1

)

r

(

V

Campo eléctrico de un dipolo:

V

_dip

(r,

θ

)

=

1

4

πε

_o

p cos

θ

r

2

θ

ˆ

r

4

cos

p

r

1

ˆ

r

4

cos

p

r

)

,

r

(

V

)

,

r

(

₂

o

2

o

dip

dip









ε

π

θ

∂θ

∂

−









ε

π

θ

∂

∂

−

=

θ

−∇

=

θ

r

E

[

₂

_cos

_ˆ

_sen

θ

ˆ

]

r

4

p

)

,

r

(

3

o

dip

θ

+

θ

ε

π

=

θ

r

E

Polarizabilidad y polarización:

Material dieléctrico:

Conjunto de dipolos eléctricos

Polarización:

Alineación parcial de los dipolos en un

campo eléctrico.

La alineación es función de campo y la estructura del

material:

E

p

=

α

t









































α

α

α

α

α

α

α

α

α

=





















=

z

y

x

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

z

y

x

E

E

E

p

p

p

α

t

Tensor de polarizabilidad

Para materiales

lineales

e

isotrópicos

y campos

eléctricos pequeños:

p=

α

E

α

⇒

polarizabilidad

el momento dipolar inducido es en la misma dirección

que el campo eléctrico

En general, si E

_EXT

=0, el momento dipolar inducido

es cero; el material no presenta polarización.

Materiales con momentos dipolares permanentes: agua,

algunos iónicos, ferroeléctricos (electrets).

Polarización:

Momento dipolar por unidad de volumen:

P

=

lim

∆τ→

0

p

∆τ

∫

τ

ξ

•

ε

π

=

•

ξ

ε

π

=

ˆ

d

4

1

ˆ

4

1

V

2

o

2

o

dip

ξ

ξ

P

p

Necesario conocer P para integrar

Alternativa:

Transformar la integral para expresarla

en términos de “densidades de carga de polarización”

Usando:

2

ˆ

1

ξ

=













ξ

∇

ξ

∇

actuando sobre coordenadas de integración:

∫

_

τ











ξ

∇

•

ε

π

=

1

d

4

1

V

o

dip

P

(

)

_







_

_∇

_•

_τ











ξ

−

τ













ξ

•

∇

ε

π

=

∫

1

d

∫

1

d

4

1

V

o

dip

P

P

(

)

_







_

_∇

_•

_τ











ξ

−

•













ξ

ε

π

=

∫

1

d

∫

1

d

4

1

V

o

dip

P

a

P

∫

∫

ξ

σ

ε

π

=

•













ξ

ε

π

4

da

1

d

1

4

1

p

o

o

a

P

Densidad superficial de carga de polarización:

n

P

ˆ

p

≡

•

σ

(

)

∫

∫

τ

ξ

ρ

ε

π

=

τ

•

∇













ξ

ε

π

−

d

4

1

d

1

4

1

p

o

o

P

Densidad volumétrica de carga de polarización:

ρ

_p

≡ −∇ •

P

V

_dip

=

1

4

πε

σ

_p

ξ

da

∫

+

ρ

p

ξ

d

τ

∫













Ejemplo 30.- Campo eléctrico producido por esfera de

radio R polarizada uniformemente:

z

y

x

n

=

r

^ ^

P

R

r

θ

θ

=

•

=

•

=

θ

σ

_p

(

)

P

n

ˆ

P

k

ˆ

r

ˆ

P

cos

Condiciones de frontera:

1) V(r

→ ∞

,

θ

)

→

0

2) V

_INT

(r=R,

θ

) = V

_EXT

(r=R,

θ

)

3)

1

(

)

R

r

)

,

r

(

V

r

)

,

r

(

V

r

EXT

INT

=

−

ε

_o

σ

p

θ

=













_θ

∂

∂

−

θ

∂

∂

Forma del potencial:

∑

∞

₌

θ

=

θ

0

n

n

n

n

INT

(

r

,

)

A

r

P

(cos

)

V

∑

∞

₌

+

θ

=

θ

_n

n

₁

_n

EXT

P

(cos

)

r

B

)

,

r

(

V

De 2) (continuidad del potencial):

∑

∑

∞

₌

+

∞

=

θ

=

θ

0

n

n

1

n

n

0

n

n

n

n

P

(cos

)

R

B

)

(cos

P

R

A

1

n

n

n

n

R

B

R

A

=

₊

⇒

B

_n

=

A

_n

R

2

n

+

1

∑

∞

₌

+

+

θ

=

θ

0

n

n

1

n

1

n

2

n

EXT

P

(cos

)

r

R

A

)

,

r

(

V

De 3) (discontinuidad del campo eléctrico):

θ

ε

−

=

θ

σ

ε

−

=

θ

+

−

=

∑

∞

=

−

_P

_(cos

₎

1

₍

₎

P

_cos

R

A

)

1

n

2

(

o

p

o

n

0

n

1

n

n

θ

ε

−

=

θ

−

3

A

cos

P

cos

o

1

o

1

3

P

A

ε

=

3

o

1

R

3

P

B

ε

=

Potencial:

θ

ε

=

θ

r

cos

3

P

)

,

r

(

V

_INT

θ

ε

=

θ

cos

r

R

3

P

)

,

r

(

V

2

3

EXT

Campo eléctrico:

θ

ˆ

3

cos

Pr

r

1

ˆ

3

cos

Pr

r

)

,

r

(

V

o

o

INT

INT









ε

θ

∂θ

∂

−









ε

θ

∂

∂

−

=

θ

−∇

=

r

E

θ

ˆ

sen

3

P

ˆ

cos

3

P

)

(

o

o

INT









_θ

ε

+









_θ

ε

−

=

θ

r

E

Cambio de variable:

⇒

z = rcos

θ

:

V

_INT

( z)

=

P

3

ε

_o

z

k

E

z

ˆ

3

P

z

)

z

(

V

)

z

(

o

INT

INT









ε

∂

∂

−

=

−∇

=

k

E

ˆ

3

P

)

z

(

o

INT

=

−

_ε

[

₂

_cos

_ˆ

_sen

θ

ˆ

]

r

3

PR

)

,

r

(

3

o

3

EXT

θ

+

θ

ε

=

θ

r

E

¡Campo Dipolar!

[

θ

]

[

₂

_cos

_ˆ

_sen

θ

ˆ

]

r

4

p

ˆ

sen

ˆ

cos

2

r

3

PR

3

o

3

o

3

θ

+

θ

ε

π

=

θ

+

θ

ε

r

r

Momento dipolar de la esfera:

τ

=











 π

=

P

P

3

R

4

p

3

Densidades superficial y volumétrica de carga de

polarización

⇒

realidad física

+

-

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

+

-

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

+

-

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

+

-

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

+

-

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

+

-

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

A

S

P

( )

PAS

qS

P

p

=

∆

τ

=

=

PA = q

A

q

lim

ˆ

A

PA

lim

0

A

0

A

→

∆

=

•

=

∆

→

∆

∆

P

n

n

P

ˆ

p

=

•

σ

(

)

∫

∫

∫

ρ

_p

d

τ

=

−

P

•

d

a

=

−

∇

•

P

d

τ

(

∇

•

P

)

−

=

ρ

_p

El campo promedio en un dieléctrico:

Promedio temporal y espacial del campo eléctrico

microscópico dentro del dieléctrico

Resultante de un campo externo y el producido por la

polarización del material. En equilibrio (estado

estacionario):













ξ

σ

+

τ

ξ

ρ

πε

=

∫

_d

ξ

ˆ

∫

_da

ξ

ˆ

4

1

2

p

2

p

o

E

El campo interno en el dieléctrico es menor al campo

eléctrico externo, pero nunca llega a ser cero, como en

La ley de Gauss:

ρ

' =

ρ

+

ρ

_p

o

p

o

'

ε

ρ

+

ρ

=

ε

ρ

=

•

∇

E

P

•

−∇

=

ρ

_p

o

o

ε

•

∇

−

ε

ρ

=

•

∇

E

P

o

o

o

ε

ρ

=









ε

+

•

∇

=

ε

•

∇

+

•

∇

E

P

E

P

(

ε

+

)

=

ρ

•

∇

ρ

Vector desplazamiento; D.

P

E

D

=

ε

_o

+

ρ

=

•

∇

D

enc

Q

d

=

•

∫

D

a

1)

D

normal o tangencial a la superficie en cualquier

punto. Debemos conocer la dirección de D a priori.

2)

D debe ser constante en la superficie gaussiana

Dieléctricos lineales, isotrópicos y homogéneos (LIH):

Polarización en general:

+

+

+

+

+

=

_i

_i

_j

_j

_k

_k

_ij

_i

_j

_ik

_i

_k

i

a

E

a

E

a

E

b

E

E

b

E

E

P

...

E

E

E

c

E

E

b

_jk

_j

_k

+

_ijk

_i

_j

_k

+

Si P sólo depende de la primera potencia del campo:

k

k

j

j

i

i

i

E

E

E

P

=

α

+

α

+

α









































α

α

α

α

α

α

α

α

α

=





















z

y

x

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

z

y

x

E

E

E

P

P

P

Si el medio se ve igual en cualquier dirección:

i

i

E

P

=

α









































α

α

α

=





















z

y

x

z

y

x

E

E

E

0

0

0

0

0

0

P

P

P

El medio es

isotrópico

Si las propiedades eléctricas del medio

no dependen de la

posición:

)

(

f

r

≠

α

α

≠

f

(

x

,

y

,

z

)

El medio es

homogéneo

Medios lineales, isotrópicos y homogéneos (LIH):

l

Gases diluidos,

l

algunos líquidos,

l

cristales cúbicos simples,

l

sólidos amorfos

Para dieléctricos LIH:

E

P

=

ε

_o

χ

_e

χ

e

= susceptibilidad eléctrica del medio

(para el espacio libre,

χ

_eo

=0)

D =

ε

_o

E + P =

ε

_o

E +

ε

_o

χ

_e

E =

ε

_o

(1 +

χ

_e

)E

D =

ε

E

Permitividad dieléctrica del material:

)

1

(

_e

o

+

χ

ε

≡

ε

Para medios LIH,

ε

no es función de posición, pero sí

de frecuencia

Permitividad relativa (constante dieléctrica):

o

e

e

1

k

ε

ε

=

χ

+

=

Material

k

_e

Material

k

_e

Aire

1.00059 Agua de mar 80.4

Vidrio

4-7

Mica

5.4

Polietileno 2.26

Porcelana

6-8

Densidad volumétrica de carga de polarización y libre:

=













ε

•

∇

χ

ε

−

=

χ

ε

•

−∇

=

•

−∇

=

ρ

_p

P

(

_o

_e

E

)

_o

_e

D

ρ









₋

−

=

ρ













ε

χ

ε

−

=

•

∇

ε

χ

ε

−

e

e

e

o

e

o

k

1

k

D

ρ







 −

=

ρ

e

e

p

k

k

1

En un medio LIH, la densidad volumétrica de

carga de polarización está determinada por la

Ejemplo 31.- Carga puntual en el origen rodeada por una

esfera de material dieléctrico LIH de radio R.

z

y

x

R

q

ε

Adentro del dieléctrico (r

<

R):

q

Q

d

=

_enc

=

•

∫

D

a

( )

4

r

q

D

d

=

π

2

=

•

∫

D

a

r

D

ˆ

r

4

q

2

π

=

r

D

E

ˆ

r

4

q

2

ε

π

=

ε

=

r

D

D

P

ˆ

r

4

q

k

1

k

k

1

k

2

e

e

e

e

e

o

π









−

=









−

=

ε

χ

ε

=

0

p

=

−∇

•

=

ρ

P

(no hay carga libre en el dieléctrico)

Densidad superficial de carga de polarización: En las dos

superficies del dieléctrico; rodeando la carga puntual

y en r=R:

2

e

e

p

R

4

q

k

1

k

R

r

P

ˆ

π









−

=

=

=

•

=

σ

P

n

q

k

1

k

da

R

4

q

k

1

k

da

Q

e

e

2

e

e

p

pR







 −

=

π









−

=

σ

=

∫

∫

q

k

1

k

Q

Q

e

e

pR

pC









−

−

=

−

=

e

e

e

e

pC

netaC

k

q

k

q

q

q

q

k

1

k

q

Q

q

Q

=

−

+

=









−

−

=

+

=

Afuera (r = R):

r

D

E

ˆ

r

4

q

2

o

o

EXT

ε

π

=

ε

=

0

=

P

Cálculos en medios LIH: idénticos a los del

espacio libre. Resultado correcto si:

Capacitores:

⇒

Almacenan energía en el campo eléctrico

⇒

Aplicaciones en electrónica en DC y AC

⇒

Diversos tipos y geometrías:

l

integrados

l

cerámica

l

mica

l

placas paralelas (variable)

l

electrolíticos

l

placas paralelas; cilíndricos; esféricos

⇒

Diseñados considerando rangos de voltaje y

frecuencia de operación

Capacitor de placas paralelas:

Placa infinita, densidad uniforme de carga (Ejemplo 12):

j

E

ˆ

2

ε

_o

σ

±

=

I

II

III

(1)

(2)

+

σ

-

σ

d

E

=0

E

=+

σ

/

ε

_o

^

j

E

=0

Diferencia de potencial entre las placas:

d

dy

ˆ

dy

ˆ

d

V

o

d

0

o

o

ε

σ

=

ε

σ

=

•

ε

σ

=

•

=

∆

∫

E

l

∫

j

j

∫









ε

=

ε

=

∆

A

d

Q

d

)

A

/

Q

(

V

o

o

Q

C

1

V

=

∆

∆

⇒

V

Q

C

∆

∆

=

Farad

Nm

C

J

C

C

J

C

V

C

C

2

2

≡

⇒

⇒

⇒

⇒

Sub-múltiplos comunes:

Atto Farads

(aF; 10

-18

F)

parásitas en CI

Femto Farads

(fF; 10

-15

F)

parásitas en CI

Pico Farads

(pF; 10

-12

F) CI

Nano Farads

(nF; 10

-9

_F)

_{circuitos discretos}

Micro Farads

(µF; 10

-6

F)

Mili Farads

(mF; 10

-3

F)

fuentes de alimentación

Capacitor de placas paralelas:

d

A

C

=

ε

_o

Dieléctricos en capacitores:

l

Aumento de la capacitancia

l

Soporte mecánico

l

Mantienen separación constante

l

Voltajes de ruptura mayores para algunos medios

Para dieléctrico LIH:

d

A

C

=

ε

e

o

o

e

_k

d

A

d

A

C

C

=

ε

ε

=

ε

ε

=

⇒

C

_e

=

k

_e

C

Ejemplo 32.- Reducción en área obtenida al hacer un

capacitor de placas paralelas con mica entre las placas, a la

de un capacitor similar, con el mismo valor de capacitancia,

pero con el espacio libre entre las placas.

C

d

A

d

A

C

_e

=

ε

1

=

ε

_o

2

=

e

o

1

2

_k

A

A

=

ε

ε

=

Ejemplo 33.- Capacitor MOS.

Polisilicio

Substrato

Óxido de campo

Aluminio

Dieléctrico de compuerta

Compuerta: G

Capacitancia por unidad de área (C'=C/A):

m

10

X

0

.

1

m

/

F

10

X

4531

.

3

Å

100

9

.

3

t

'

C

8

11

o

ox

ox

−

−

=

ε

=

ε

=

2

3

2

3

m

/

pF

10

X

4531

.

3

m

/

F

10

X

4531

.

3

'

C

=

−

=

−

µ

Para C = 100pF

área: 170µm X 170µm

Tecnología CMOS actual:

Ejemplo 34.- Capacitores en serie.

d

ε

₁

ε

₂

σ

_p1s

σ

_p1i

σ

_p2s

σ

_p2i

_c

a

b

Vector desplazamiento:

∫

∫

∫

D

•

d

a

=

−

Dda

=

σ

da

k

D

=

−

σ

ˆ

Campo eléctrico:

k

E

₁

ˆ

1

ε

σ

−

=

E

₂

k

ˆ

2

ε

σ

−

=

Polarización:

k

k

E

P

₁

₁

ˆ

k

1

k

ˆ

1

e

1

e

1

1

e

o

1

e

o



σ







−

−

=

ε

σ

χ

ε

−

=

χ

ε

=

k

k

E

P

₂

₂

ˆ

k

1

k

ˆ

2

e

2

e

2

2

e

o

2

e

o



σ







−

−

=

ε

σ

χ

ε

−

=

χ

ε

=

Caída de potencial:

2

d

d

V

1

1

1

_ε

σ

=

•

=

∆

∫

E

l

2

d

d

V

2

2

2

_ε

σ

=

•

=

∆

∫

E

l













ε

+

ε

σ

=

∆

+

∆

=

2

1

2

1

o

1

1

2

d

V

V

V

Densidades de carga:

Entrecara “a”:

σ









−

−

=

−

=

•

=

σ

=

σ

1

e

1

e

1

s

s

1

p

pa

k

1

k

P

ˆ

₁

1

n

P

Entrecara “b”:

σ









−

=

=

•

=

σ

1

e

1

e

1

i

i

1

p

k

1

k

P

ˆ

₁

1

n

P

σ









−

−

=

−

=

•

=

σ

2

e

2

e

2

s

2

p

k

1

k

P

ˆ

_2s

2

n

P

σ









₋

=

σ









−

−

σ









−

=

σ

+

σ

=

σ

2

e

1

e

2

e

2

e

1

e

1

e

s

2

p

i

1

p

pb

k

1

k

1

k

1

k

k

1

k

Entrecara “c”:

σ









−

=

=

•

=

σ

=

σ

2

e

2

e

2

s

2

i

2

p

pc

k

1

k

P

ˆ

₁

n

P

Carga neta:

Entrecara “a”:

1

e

1

e

1

e

pa

a

k

k

1

k

σ

=

σ









−

−

σ

=

σ

+

σ

=

σ

Entrecara “b”:

σ









₋

=

σ

2

e

1

e

b

k

1

k

1

Entrecara “c”:

2

e

pc

c

1

k

σ

−

=

σ









−

+

σ

−

=

σ

+

σ

=

σ

Capacitancia:

1

1

1

1

1

d

A

2

2

d

A

V

Q

C

=

ε













ε

σ

σ

=

∆

=

₂

2

2

2

2

d

A

2

2

d

A

V

Q

C

=

ε













ε

σ

σ

=

∆

=













ε

+

ε

ε

ε

=













ε

+

ε

σ

σ

=

=

2

1

2

1

2

1

o

TOT

d

A

2

1

1

2

d

A

V

Q

C

Dos capacitores en serie:













ε

+

ε

ε

ε

=













_ε

+













_ε













_ε













_ε

=

+

=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

TOT

d

A

2

d

A

2

d

A

2

d

A

2

d

A

2

C

C

C

C

C

Ejemplo 35.- Capacitancia por unidad de longitud de guía

coaxial.

a

b

r

z

k

_e

D y da son paralelos:

π

λ

r

r

D

ˆ

r

2

ˆ

rz

2

z

)

r

(

π

λ

=

π

λ

=

Campo eléctrico:













<

<

ε

π

λ

≥

=

b

r

a

para

ˆ

r

2

b

r

para

0

)

r

(

r

E

Diferencia de potencial:

=

ε

π

λ

−

=

•

−

=

−

=

∆

∫

∫

a

b

a

b

dr

r

2

d

)

r

(

)

b

(

V

)

a

(

V

V

E

r













ε

π

λ

=

ε

π

λ

−

=

∆

a

b

ln

2

b

a

)

r

ln(

2

V

Capacitancia por unidad de longitud:

(

b

/

a

)

ln

2

V

l

C

'

C

=

π

ε

∆

λ

=

=

Guía típica: radio interior a=0.4mm, radio exterior

2.3mm, k

_e

=2.26:

C'

=

2

π

k

e

ε

o

ln b / a

( )

=

2

π

(2.26)(8.85X10

−

12

F / m)

ε

_o

ln

2.3

0.4





 





=

7.184X10

−

11

F / m

=

71.84 pF / m

Para un capacitor arbitrario —dos conductores separados

por un material de permitividad

ε

— la capacitancia se

encuentra de:

∫

∫

₋

+

•

•

ε

=

l

E

a

E

d

d

C

ε

d

l

σ

Efectos de borde:

E

d

l

0

d

≠

•

∫

E

l

0

≠

×

∇

E

E

d

l

0

d

=

•

∫

E

l

0

=

×

∇

E

(

E

E

)

q

E

q

F

F

F

_TOT

=

₊

−

₋

=

₊

−

₋

=

∆

E

(

S

)

E

E

=

•

∇

∆

(

S

) (

E

S

) (

E

p

)

E

E

F

=

q

∆

=

q

•

∇

=

q

•

∇

=

•

∇

∫

τ

=

P

d

p

F

=

∫

(

P

•

∇

)

E

Fuerza por unidad de volumen:

(

P

)

E

f

=

•

∇

Para dieléctrico LIH:

(

E

)

E

(

E

)

E

f

=

ε

_o

χ

_e

•

∇

=

ε

_o

χ

_e

•

∇

Usando:

(

E

•

∇

)

E

=

∇

E

2

−

E

×

(

∇

×

E

)

−

E

×

(

∇

×

E

) (

−

E

•

∇

)

E

(

)

2

E

2

1

∇

=

∇

•

E

E

2

e

o

E

2

1

∇

χ

ε

=

f

Ejemplo 36.- Tablilla de material dieléctrico está

parcialmente dentro de las placas de un capacitor.

y=0

y=y

_o

s

d

j

ˆ

E

y

E

2

2

∂

∂

=

∇

∫

∂

∂

χ

ε

=

j

F

E

dxdydz

ˆ

y

2

1

₂

e

o

∫ ∫

_



















∂

∂

χ

ε

=

j

F

E

dy

dxdz

ˆ

y

2

1

o

y

0

2

e

o

[

]

∫

−

χ

ε

=

j

F

E

(

y

)

E

(

0

)

dxdz

ˆ

2

1

₂

o

2

e

o

E(y

_o

) ˜ 0

2

2

o

2

d

V

)

0

(

E

=

j

j

F

V

ˆ

d

W

2

1

ˆ

dxdz

d

V

2

1

₂

o

e

o

d

0

W

0

2

2

o

e

o

χ

−

=

−

ε

χ

ε

=

∫∫

Electricidad en la atmosfera:

ionosfera

∼

conductor

400,000V

Tierra

_50-400km

I

∼

1,800A

Tormentas eléctricas:

∆

V

∼

100,000,000V

∼

2km

E

₁

∼

50,000V/m

Pararrayos:

Energía y trabajo:

τ

ρ

=

∫

V

d

2

1

W

ρ

=

•

∇

D

⇒

=

∫

(

∇

•

)

V

d

τ

2

1

W

D

[

∇

•

−

•

∇

]

τ

=

∫

V

V

d

2

1

W

D

D













_•

₋

_•

_∇

_τ

=

∫

V

d

∫

Vd

2

1

W

D

a

D













_•

₊

_•

_τ

=

∫

V

d

∫

d

2

1

W

D

a

D

E

Trabajo:

∫

•

τ

=

d

2

1

W

D

E

Densidad de energía:

E

D

E

D

•

=

τ

τ

•

≡

∫

→

τ

2

1

d

2

1

lim

u

0

Energía almacenada en un capacitor:

V

Q

C

=

V

dQ

dC

=

⇒

dQ

=

VdC

τ

=

τ

=

ρ

d

VdC

d

dQ

2

2

CV

2

1

dC

V

2

1

d

d

VdC

V

2

1

Vd

2

1

W

τ

=

=

τ

=

τ

ρ

=

∫

∫

∫

C

Q

2

1

QV

2

1

CV

2

1

W

2

2

₌

₌

=

Condiciones de frontera para D y E:

En el espacio libre:

o

ε

ρ

=

•

∇

E

∇

×

E

=

0

En medio dieléctricos:

ρ

=

•

∇

D

(

ε

+

)

=

∇

×

ε

+

∇

×

=

×

∇

=

×

∇

D

_o

E

P

_o

E

P

P

P

E

+

∇

×

=

∇

×

×

∇

ε

_o

En general:

∇

×

P

≠

0

y

∇

×

D

≠

0

β

α

dl

2

1

D

₁

D

₂

Componentes tangenciales:

=

•

+

•

=

•

∫

∫

∫

D

d

l

D

₁

d

l

D

₂

d

l

(

2

t

1

t

)

2

1

l

cos

D

l

cos

l

D

D

D

α

+

β

=

−

−

Las componentes tangenciales de D son discontinuas:

t

1

t

2

D

D

≠

Las componentes tangenciales de E son siempre

continuas:

t

2

t

1

E

E

=

Componentes normales:

=

•

+

•

=

=

•

∫

∫

∫

D

d

a

Q

enc

D

1

d

a

1

D

2

d

a

2

(

)

∫

∫

D

₂

_n

−

D

₁

_n

da

=

σ

da

Si

σ

≠

0, las componentes normales de D son

discontinuas:

σ

=

−

₁

_n

n

2

D

D

Si

σ

=0, las componentes normales son continuas:

n

2

n

1

D

D

=

Si los medios son LIH:

σ

=

ε

−

ε

₂

E

₂

_n

₁

E

₁

_n

Las componentes normales de E son siempre

discontinuas. Para

σ

=0:

n

2

2

n

1

1

E

=

ε

E

ε

⇒

₂

_n

1

2

n

1

E

E

ε

ε

=

En términos de la derivada normal del potencial:

σ

−

=













∂

∂

ε

−

∂

∂

ε

entrecara

V

n

V

n

1

2

2

1

(

)

0

ˆ

×

E

₂

−

E

₁

=

n

(

−

)

=

σ

•

D

₂

D

₁

n

ˆ

♦

Las componentes tangenciales de E son siempre

continuas.

♦

Las componentes normales de D son discontinuas

si

σ

≠

0.

Ecuación de Laplace:

Ejemplo 37.- Esfera dieléctrica LIH, radio R en campo

eléctrico uniforme;

E

=

E

_o

k

ˆ

(ver Ejemplo 23).

Condiciones de frontera:

1) V(r

→∞

) = -E

_o

rcos

θ

2) V

_INT

(r=R) = V

_EXT

(r=R)

3) D

_nINT

= D

_nEXT

∑

∞

₌

+

θ

+

θ

−

=

θ

0

n

n

1

n

n

o

EXT

P

(cos

)

r

B

cos

r

E

)

,

r

(

V

∑

∞

₌

θ

=

θ

0

n

n

n

n

INT

(

r

,

)

C

r

P

(cos

)

V

De 2) (continuidad del potencial):

=

+

θ

+

θ

+

C

R

cos

C

R

P

(cos

)

...

C

_o

₁

₂

2

₂

...

)

(cos

P

R

B

cos

R

B

R

B

cos

r

E

₂

3

2

2

1

o

o

θ

+

+

θ

+

θ

+

−

De 3) (discontinuidad del campo eléctrico):

R

r

V

r

R

r

V

r

INT

EXT

EXT

INT

=

∂

∂

ε

=

=

∂

∂

ε

ε

_EXT

=

ε

_o

ε

_INT

=

ε

k

_e

=

ε

/

ε

_o

R

r

V

r

R

r

V

r

k

_e

_INT

_EXT

=

∂

∂

=

=

∂

∂

(

C

cos

θ

+

2

C

RP

(cos

θ

)

+

...

)

=

k

_e

₁

₂

₂

...

)

(cos

P

R

B

3

cos

R

B

2

R

B

cos

E

₂

4

2

3

1

2

o

o

θ

−

−

θ

−

θ

+

−

R

B

C

_o

=

o

2

1

o

1

R

B

R

E

R

C

=

−

+

3

2

2

1

R

B

R

C

=

2

o

R

B

0

=

3

1

o

1

e

R

B

2

E

C

k

=

−

−

4

2

2

e

R

B

3

R

C

k

2

=

−

0

C

_o

=

B

_o

=

0









+

−

=

2

k

3

E

C

e

o

1









+

−

=

2

k

1

k

R

E

B

e

e

3

o

1

2

2

e

B

3

B

k

2

=

−

⇒

B

₂

=

0

=

C

₂

Cn = Bn = 0

para n

≠

1





















+

−

−

θ

−

=

θ

2

k

1

k

r

R

1

cos

r

E

)

,

r

(

V

e

e

3

3

o

EXT









+

θ

−

=

θ

2

k

3

cos

r

E

)

,

r

(

V

e

o

INT









+

θ

−

=

θ

=

θ

2

k

3

cos

R

E

)

,

R

(

V

)

,

R

(

V

e

o

EXT

INT

Cambio de variable:

z=rcos

θ









+

−

=

2

k

3

z

E

)

z

(

V

e

o

INT

Campo eléctrico:

−



























+

−

+

θ

=

θ

r

E

ˆ

2

k

1

k

r

R

2

1

cos

E

)

,

r

(

e

e

3

3

o

EXT



























+

−

−

θ

θ

ˆ

2

k

1

k

r

R

1

sen

e

e

3

3