1. Matrices. Operaciones con matrices

REPASO MUY B ´ASICO DE MATRICES

1. Matrices. Operaciones con matrices

1.1. Introducci´ on

Las matrices aparecieron por primera vez hacia el a˜no 1850, introducidas por el ingl´es J. J. Sylvester. Su desarrollo se debe a W. R. Hamilton y a A. Caley.

Adem´as de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de manera natural en geometr´ıa, estad´ıstica, econom´ıa y tambi´en en las ciencias naturales.

Actualmente, muchos programas de ordenador utilizan el concepto de matriz. As´ı, las hojas de c´alculo funcionan utilizando una inmensa matriz con cientos de filas y de columnas en cuyas celdas se pueden introducir datos y f´ormulas para realizar c´alculos a gran velocidad.

Esto requiere utilizar t´ecnicas de operaciones con matrices.

Una matriz es una tabla ordenada de n´umeros por filas y columnas. Diremos que la matriz A es de orden (m, n) si tiene m filas y n columnas, por ejemplo, las matrices









−1 0 1 2 2 3









, 5 0

1 −2

!

, 1 0 −3.5 9 3 −1

!

,









2 2 −3

0.5 5 1

−1 −2 0









,

son de ´ordenes (3, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 3) respectivamente. Los vectores tambi´en son matrices, de una fila o una columna:









1

−2 3









, ^ −2 0 1 ^

Los elementos de la matriz se llaman aij, donde i es el n´umero de fila y j el n´umero de columna. Por ejemplo, en la primera matriz anterior, tenemos los siguientes elementos:

a₁₁= −1, , a₁₂= 0, a₃₂ = 3, a₂₂= 2.

Si el n´umero de filas coincide con el n´umero de columnas de una matriz, es decir n = m,

´

esta se dice que es cuadrada de orden n. Por ejemplo, las matrices

−0.3 1

1 2

!

,









−2 ¹₅ 0 2.5 1 1

−1 −2 12









,

son matrices cuadradas de ´ordenes 2 y 3 respectivamente. En las matrices cuadradas, los elementos con igual n´umero de fila que de columna, a_ii forman la diagonal principal. En las matrices anteriores, las diagonales principales son (−0.3, 2) y (−2, 1, 12) respectivamente.

Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y adem´as los mismos elementos.

La matriz traspuesta de una matriz de orden (m, n), se escribe A^T y es la matriz de orden (n, m) que se obtiene escribiendo sus filas como columnas y por lo tanto, sus columnas como filas. Por ejemplo,

A^T = −1 2 3 0 4 −5

!

es la traspuesta de A =









−1 0

2 4

3 −5









,

y viceversa.

Llamaremos matriz sim´etrica a una matriz A que coincida con su traspuesta, es decir, A = A^T. Observar que toda matriz sim´etrica debe tener el mismo n´umero de filas que de columnas, es decir, tiene que ser cuadrada.









1 −3 2

−3 0 1.4 2 1.4 3







 es una matriz sim´etrica.

Algunos tipos especiales de matrices son los siguientes:

Matriz nula. Es la matriz, 0, en la que todos los elementos son cero:









0 0 0 0 0 0 0 0 0









,









0 0 0 0 0 0









, 0 0

0 0

!

,

son matrices nulas.

Matriz identidad. Es una matriz cuadrada, I, cuyos elementos son ceros excepto en la diagonal principal donde todos los elementos son uno:













1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1













, 1 0

0 1

!

,









1 0 0 0 1 0 0 0 1









,

son matrices identidad de ´ordenes o dimensi´on 4, 2 y 3 respectivamente.

Matriz triangular superior. Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos.

U =









2 −1 3

0 1 2

0 0 −3









es triangular superior.

Matriz triangular inferior. Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos.

L =









1 0 0

−2 3 0

0.5 4 −3.1









es triangular inferior.

1.2. Operaciones con matrices

Las operaciones que vamos a definir entre matrices son la suma y el producto. Adem´as tambi´en podremos multiplicar matrices por n´umeros reales (escalares).

1.2.1. Suma de matrices

Si A, B son matrices del mismo orden (m, n), la matriz suma C = A + B es la que obtendremos sumando elemento a elemento. Por ejemplo,

A =









1 −1 0

2 3 −2

4 1 −3







, B =









0 3 1 2 3 −5 3 4 1







 ⇒ C = A + B =









1 2 1 4 6 −7 7 5 −2









Las propiedades de la suma de matrices son las mismas y se deducen a partir de las propiedades de la suma en el cuerpo de los n´umeros reales, esto es:

- Propiedad conmutativa:

2 1 0 3 0 −3

!

+ 1 1 −1

−2 0 4

!

= 1 1 −1

−2 0 4

!

+ 2 1 0

3 0 −3

!

= 3 2 −1

1 0 1

!

- Propiedad asociativa:

"

2 −1 0 1

!

+ 1 0

4 2

!#

+ 0 3

−2 1

!

= 2 −1

0 1

!

+

"

1 0 4 2

!

+ 0 3

−2 1

!#

- Existencia de elemento neutro: la matriz nula definida anteriormente satisface:

−2 3 5 0

!

+ 0 0

0 0

!

= −2 3

5 0

!

- Existencia de elemento opuesto: Dada A = (aij), la matriz −A = (−aij) satisface:

−2 3 5 0

!

+ 2 −3

−5 0

!

= 0 0

0 0

!

Por lo tanto, hay operaci´on resta definida por A − B := A + (−B).

1.2.2. Producto por escalares

Si A es una matriz y λ es un escalar (real), entonces la matriz λA es la que se obtiene al multiplicar todos los elementos de A por el n´umero real λ, esto es por ejemplo,

λ = 3, 3 ∗ −1 2 3 1

!

= −3 6

9 3

!

Las propiedades del producto de matrices de por escalares son las siguientes:

1. Propiedad distributiva respecto a la suma de matrices:

λ(A + B) = λA + λB.

2. Propiedad distributiva respecto a la suma de escalares:

(λ₁+ λ₂)A = λ₁A + λ₂A, 3. Propiedad asociativa mixta:

(λ₁λ₂)A = λ₁(λ₂A).

1.2.3. Producto de matrices

Si A es una matriz (m, n) y B una matriz (n, p) (observar que el n´umero de columnas de A debe coincidir con el de filas de B), entonces la matriz producto

C = A · B o bien C = AB es una matriz (m, p), de modo que AB = (c_ij) donde

cij =

n

X

k=1

aikbkj, i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , p}.

En esta notaci´on sumatoria, los ´ındices i, j est´an fijos e indican el elemento (i, j) de la matriz que estamos calculando. El ´ındice que var´ıa es el k, que va tomando todos los valores comprendidos entre {1, . . . , n}. Por lo tanto, se observa que de cada elemento c_ij de la matriz producto se puede ver c´omo es una operaci´on entre los elementos de la fila i-´esima de la ma- triz A y los elementos de la columna j-´esima de la matriz B: multiplicamos ordenadamente cada elemento de la fila i-´esima de A con el del mismo lugar en la columna j-´esima de B y se suman los resultados:

2 −1 3 1

!

∗ 1 2 −3 4 0 −2

!

= 2 ∗ 1 + (−1) ∗ 4 2 ∗ 2 + (−1) ∗ 0 2 ∗ (−3) + (−1) ∗ (−2) 3 ∗ 1 + 1 ∗ 4 3 ∗ 2 + 1 ∗ 0 3 ∗ (−3) + 1 ∗ (−2)

!

= −2 4 −4

7 6 −11

!

Las propiedades del producto de matrices son:

1. Propiedad asociativa:

A(BC) = (AB)C.

2. Propiedad distributiva respecto de la suma de matrices:

A(B + C) = AB + AC.

3. Existencia de elemento neutro: Dada A de orden n las matriz identidad I de orden n satisface (¡observemos que estamos hablando de matrices cuadradas!):

IA = A, AI = A.

¡atenci´on: el producto de matrices no posee la propiedad conmutativa!

1.2.4. Matriz inversa de una matriz cuadrada

Dada una matriz cuadrada A de orden n, diremos que la matriz B es la inversa de A si satisface

AB = BA = I, donde I denota la matriz identidad de orden n.

La inversa de una matriz, si existe, es ´unica y la denotaremos por A⁻¹. En ese caso diremos que A es inversible, regular o no singular.

Si A, B son matrices inversibles, entonces la matriz producto C = AB tambi´en es inver- sible y adem´as su inversa es

C⁻¹ = B⁻¹A⁻¹.

2. Determinantes

2.1. Introducci´ on

Las cuestiones sencillas acerca del determinante de una matriz cuadrada no son las f´ormulas expl´ıcitas que lo definen sino m´as bien las propiedades que posee, as´ı que vere- mos algunas de las propiedades m´as importantes. Para la mejor comprensi´on de ´estas, las ilustraremos con un ejemplo 2 × 2. Comenzaremos definiendo el determinante de matrices 2 × 2, al que denotaremos por det A o bien |A|, y es el n´umero real definido por:

det a b c d

!

:= ad − bc.

2.2. Algunas propiedades del determinante

1. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. En nuestro caso particular,

ad − bc = det a b c d

!

= det a c b d

!

= ad − cb.

2. Si una matriz tiene una fila (columna) nula, su determinante es cero. En nuestro caso particular,

det 0 0 c d

!

= 0, det a b 0 0

!

= 0.

3. Si una matriz tiene dos filas (columnas) proporcionales entonces su determinantes es cero. En nuestro caso particular,

det a b

λa λb

!

= aλb − λab = 0.

4. El determinante cambia de signo cuando se intercambian dos filas (columnas). En nuestro caso particular,

det c d a b

!

= cb − ad = −det a b c d

!

= −(ad − cb).

2.3. La regla de Sarrus

El determinante de una matriz A de orden 3 se puede definir directamente a partir de la conocida regla de Sarrus:

det









a11 a12 a13

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃









=

a11 a12 a13

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

= (a₁₁a₂₂a₃₃+ a₂₁a₃₂a₁₃+ a₁₂a₂₃a₃₁)

− (a₁₃a₂₂a₃₁+ a₃₂a₂₃a₁₁+ a₁₂a₂₁a₃₃).

Ejemplo.

det









2 1 2

1 0 −1

−2 1 3









= (2 · 0 · 3 + 1 · 1 · 2 + 1 · (−1) · (−2)) − (2 · 0 · (−2) + 1 · 1 · 3 + 1 · (−1) · 2) = 3.

2.4. Regla de Cramer para resolver sistemas lineales

Una aplicaci´on de los determinantes es la regla de Cramer para resolver sistemas lineales

“cuadrados”. Sin m´as explicaciones detallamos a continuaci´on las soluciones de Cramer para sistemas de dos ecuaciones con dos inc´ognitas y tres ecuaciones con tres inc´ognitas.

Observar que en el denominador ponemos el determinante de la matriz del sistema y en el numerador el mismo determinante sustituyendo una columna (la de la inc´ognita que estamos calculando) por la columna de t´erminos independientes:

Dos ecuaciones

ax + by = p cx + dy = q

)

, x =

p b q d

a b c d

, y =

a p c q

a b c d

.

Tres ecuaciones

a₁x + b₁y + c₁z = p a₂x + b₂y + c₂z = q a₃x + b₃y + c₃z = r











, x =

p b₁ c₁ q b₂ c₂ r b₃ c₃

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

, y =

a₁ p c₁ a₂ q c₂ a₃ r c₃

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

, z =

a₁ b₁ p a₂ b₂ q a₃ b₃ r

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

.

Ejemplo. La soluci´on del sistema:

x₁+ 2x₂ = 0 2x1− x2 = 10

)

es

x1 =

0 2

10 −1

1 2 2 −1

= −20

−5 = 4, x2 =

1 0 2 10

1 2 2 −1

= 10

−5 = −2.

Ejemplo. Consideremos el sistema

x₁+ x₂+ 2x₃ = 9 2x₁+ 4x₂− 3x₃ = 1 3x₁+ 6x₂− 5x₃ = 0











.

El determinante de la matriz de los coeficientes es

1 1 2

2 4 −3 3 6 −5

= −1 6= 0,

por lo que podemos garantizar en primer lugar que el sistema es compatible determina- do, es decir, que posee una ´unica soluci´on. Para resolverlo, aplicando la regla de Cramer calcularemos

x1 = 1 (−1)

9 1 2

1 4 −3 0 6 −5

= (−1)(−1) = 1,

x₂ = 1 (−1)

1 9 2

2 1 −3 3 0 −5

= (−1)(−2) = 2,

x₃ = 1 (−1)

1 1 9 2 4 1 3 6 0

= (−1)(−3) = 3.

EJERCICIOS Matrices

Para las matrices,

A = 1 0 −2 4 3 3

!

, B =









2 7 −2

4 2 0

2 −3 1









, C = 2 −5 0 6

0 1 3 −1

!

, D =









2 −3

1 0

−1 4









E =









−1 3 4

3 0 −3

4 −3 3









, F = 1 −1 1 1

!

, G =









9 −1 0 −2

1 −1 −4 1

0 1 0 −1









, u =









1 0

−1









, v =













2

−1 0 3













Resolver las siguientes cuestiones u operaciones:

1. B + E, A + D^T, A^T + D, AB, BD, Bu, C^TF, Cv, Eu 2. 4 ∗ A, 2 ∗ C, −u, −3 ∗ G^T, B − E,

1 2



∗ D, B + 3 ∗ I, F − 2 ∗ I 3. ¿Es alguna de las matrices anteriores sim´etricas?

4. Calcular el determinante de las matrices cuadradas anteriores Sistemas lineales

Resolver mediante la Regla de Cramer los siguientes sistema de ecuaciones lineales 1.

3x + 2y − z = 4 2x − y + 2z = 3 x + 3y + 2z = −5











, soluci´on: x = −68/35, y = 53/35, z = 42/35.

2.

x + 4y + 2z = −2

−2x − 8y + 3z = 32 y + z = 1











, soluci´on: x = 2, y = −3, z = 4.

3.

x + 2y + z = 1 2x + 3y + 4z = 10

x + 4y − 4z = −18











, soluci´on: x = 2, y = −2, z = 3.

Chelo Ferreira Facultad de Veterinaria