UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS DE LA COMUNICACIÓN ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACION SECUNDARIA

Trabajo de Suficiencia Profesional

para optar el Título de Licenciada en Educación Secundaria Mención Ciencias Matemáticas

Autora:

Br. Guevara Fabián, Rocio Del Pilar

TRUJILLO – PERU 2019

Aplicaciones de la ecuación canónica de la parábola en la resolución de situaciones de nuestro contexto

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DEDICATORIA

A Dios, por ser mi fuente de fortaleza que me ayuda a superar las dificultades del día a día.

A mi esposo, por su comprensión, apoyo y motivación para seguir formándome y mejorando profesionalmente.

A mis hijos, Katherine y Piero que son mi fuente de inspiración a fin de ser modelo de perseverancia y empeño profesional.

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AGRADECIMIENTO

A todas las personas de las cuales siempre recibí el apoyo para el logro de cada una de mis metas profesionales.

A los docentes que de una u otra manera aportaron a mi formación personal y profesional en cada una de las etapas de mi vida académica.

A los Miembros del Jurado, por sus aportes y sugerencias a fin de mejorar mi práctica profesional

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ÍNDICE

Dedicatoria... ii

Jurado dictaminador ... iii

Agradecimiento ... iv

Índice ... v

Presentación ... viii

Resumen ... ix

Abstract ... x

Introducción ... 11

I. Diseño de la Sesión de Aprendizaje Implementada ... 12

1.1 Datos informativos ... 12

1.2 Aprendizajes esperados ... 12

1.3 Estrategias metodológicas ... 13

1.4 Evaluación ... 17

1.5 Extensión o tarea de aplicación ... 18

1.6 Referencias bibliográficas ... 18

II. Sustento Teórico ... 19

2.1 Introducción ... 19

2.2 Cuerpo temático ... 19

2.2.1 La Geometría Analítica ... 19

2.2.2 Secciones cónicas ... 20

2.2.3 La parábola ... 20

2.1.3.1. Elementos de la parábola ... 20

2.1.3.2. Longitud del lado recto (LR) ... 21

2.1.3.3. Ecuación canónica de la parábola ... 21

2.1.3.4. Ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h , k) ... 22

2.1.3.5. Ecuación general de la parábola ... 24

III. Sustento Pedagógico ... 25

3.1. Introducción ... 25

3.2. Condiciones para que se produzca el aprendizaje ... 25

3.3. Teorías psicopedagógicas del aprendizaje ... 26

3.4. La enseñanza aprendizaje de las matemáticas ... 29

3.5. Enfoque para el desarrollo de competencias en el área de Matemática ... 30

3.6. Procesos pedagógicos que promueven competencias ... 32

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3.7. Momentos de una sesión de aprendizaje ... 33

3.8. Procesos didácticos del área de matemática. ... 33

Conclusiones ... 35

Referencias Bibliográficas ... 36

Anexos ... 37

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PRESENTACIÓN Señores Miembros del Jurado

Con el fin de cumplir con las disposiciones legales vigentes contenidas en el Reglamento de Grados y Títulos de la Facultad de Educación y Ciencias de la Comunicación de la Universidad Nacional de Trujillo, presento a vuestra consideración la sesión de aprendizaje titulada: Aplicaciones de la ecuación canónica de la parábola en situaciones de nuestro contexto, dirigida a estudiantes del Quinto Grado de Educación Secundaria, con el propósito de obtener el título de Licenciado en Educación Secundaria, con mención en Ciencias Matemáticas.

Mediante la presente, se busca que los estudiantes combinen sus capacidades para que apliquen los conceptos referidos a ecuación canónica de la parábola, y dar solución a situaciones problemáticas de su entorno.

Para la planificación de la presente sesión de aprendizaje, se ha tenido en cuenta los procesos pedagógicos y didácticos, las principales corrientes pedagógicas, los fundamentos teóricos del Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular y la experiencia adquirida en el ámbito laboral.

Espero que la presente sesión cumpla con las expectativas trazadas, pero también consciente de las limitaciones que pueda tener, agradezco por anticipado las recomendaciones y sugerencias que permitirán enriquecerla y mejorar mi desempeño profesional.

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RESUMEN

La presente sesión de aprendizaje, titulada: Aplicaciones de la ecuación canónica de la parábola en situaciones de nuestro contexto, está dirigida a estudiantes de Educación Secundaria que están cursando el quinto grado. Los aprendizajes esperados de la sesión de aprendizaje corresponden a la competencia de: Resuelve problemas de forma, movimiento y localización, cuyo campo temático es la parábola: representación gráfica y ecuación canónica de la parábola. Para la planificación de la sesión de aprendizaje se ha tenido en cuenta el enfoque del área y sus procesos didácticos, los procesos pedagógicos, y la metodología inductiva y deductiva, que hacen que el papel del docente sea de un mediador del aprendizaje a través de situaciones problemáticas contextualizadas y de su interés; las cuales permiten que el aprendizaje sea significativo.

Palabras clave: Educación, matemática, aprendizaje, competencia, ecuación.

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ABSTRACT

The present learning, put a title to session: Applications of the canonical equation of the parabola in situations of our context, degree is aimed at Educación's students Secondary that are sending the fifth one. The learnings expected of the learning session are to be credited to the competition of: You solve problems of shape, motion and localization, whose thematic field is the parabola: Graphic representation and canonical equation of the parabola. For the planning of the learning session he has had in account the focus of the area and his didactic processes, the pedagogic processes, and the inductive and deductive methodology, the fact that they make that the teacher's paper is of a mediator of the learning through difficult situations contextualizadas and of your interest; Which allow that learning be significant.

Key words: Education, mathematics, learning, competition, equation.

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INTRODUCCIÓN

La presente sesión de aprendizaje denominada: Aplicaciones de la ecuación canónica de la parábola en situaciones de nuestro contexto, considera los procesos pedagógicos y didácticos, a fin de que el estudiante adquiera aprendizajes significativos al vincular el contenido matemático de la parábola con situaciones de su entorno, promoviendo en nuestros estudiantes el pensar y actuar matemáticamente, para desarrollar capacidades y habilidades matemáticas que le permitan resolver situaciones problemáticas de su contexto.

Se ha estructurado en tres partes fundamentales:

 En la primera parte se ha considerado el desarrollo de la sesión de aprendizaje, en la cual se incluyen las estrategias metodológicas y se plantea la sesión teniendo en cuenta los procesos pedagógicos y didácticos de acuerdo al enfoque del área.

 En la segunda parte se expone el fundamento teórico científico correspondiente a la temática desarrollada, las definiciones matemáticas y propiedades referidas a la ecuación de la parábola.

 En la tercera parte se plantean los fundamentos pedagógicos, propósitos de aprendizaje, procesos pedagógicos y didácticos del enfoque del área, medios y materiales e instrumentos de evaluación que permitan valorar el desarrollo de la competencia, Resuelve problemas de forma, movimiento y localización y la combinación de sus respectivas capacidades.

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I. Diseño de Sesión de Aprendizaje Implementada 1.1. Datos informativos

1.1.1 Institución Educativa : No.81017 “Santa Edelmira.

1.1.2 Nivel : Secundaria

1.1.3 Área curricular : Matemática

1.1.4 Nombre de la unidad : La Geometría Analítica en nuestro entorno.

1.1.5 Tema : Aplicaciones de la ecuación canónica de la parábola en situaciones de nuestro contexto 1.1.6 Grado : 5° Grado de Educación Secundaria

1.1.7 Tiempo : 45 minutos

1.1.8 Fecha : Diciembre del 2019.

1.1.9 Docente Responsable : Br. Guevara Fabián, Rocio Del Pilar.

1.2 Aprendizajes esperados

Aprendizaje esperado Propósito de la sesión:

Organiza datos y elabora modelos analíticos relacionados con la ecuación canónica de la parábola.

Competencia Capacidades Desempeños Campo

Temático Resuelve

problemas de forma, movimiento y

localización

- Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones.

- Comunica su

comprensión sobre las formas y relaciones geométricas.

- Usa estrategias y procedimientos para orientarse en el espacio.

- Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas.

- Identifica datos y relaciona

características de la parábola en la situación planteada.

-Representa

gráficamente la parábola y expresa sus características.

-Combina y adapta

estrategias y

procedimientos para determinar la ecuación canónica de la

Ecuación canónica de la parábola.

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parábola.

-Plantea afirmaciones sobre las relaciones entre los elementos y propiedades de la parábola en las situaciones propuestas.

1.3.Estrategias metodológicas

Secuencia Didáctica Momentos Procesos

Pedagógicos

Procesos Didácticos Actividades

Recursos Tiempo

INICIO

Problematización -La docente da la bienvenida a los estudiantes y con la participación de ellos recuerdan los acuerdos de convivencia del aula.

-La docente plantea la situación problemática:

Renzo desea colocar una estación de radio al que llamará “Pasión deportiva”

dedicado exclusivamente al tema deportivo. Para ello colocará una antena parabólica que tiene un diámetro de 12 m y su profundidad es de 2 m, como se muestra en la imagen. ¿A qué distancia del fondo del plato se ubica

-Pizarra -Plumones - Impreso -Proyector

3 min.

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el colector de señales de la antena? (anexo 01).

Propósito y Organización

- La docente da a conocer el propósito de la sesión.

-La docente informa que se formarán en equipos de cuatro integrantes mediante la técnica “elementos de la parábola” y se plantea las siguientes pautas de trabajo que serán consensuadas con los estudiantes:

.Se forman en equipos y acuerdan una estrategia de comunicar sus resultados.

.Se respetan los tiempos establecidos.

.Se respetan las opiniones e intervenciones de los estudiantes.

-La docente da a conocer los desempeños a evaluar

2 min.

Motivación -La docente pregunta: ¿Por qué las antenas parabólicas son parabólicas?

-Los estudiantes responden mediante lluvia de ideas -Observan el video titulado: ¿Por qué las antenas parabólicas son

-Pizarra -Plumones -Proyector

5 min.

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parabólicas?

Saberes Previos -La docente pregunta:

¿Cómo obtenemos una parábola?

¿Qué elementos tiene una parábola?

-¿Cuál es la propiedad especial de la parábola?

-Los estudiantes responden mediante lluvia de ideas.

- La docente declara el tema.

-Pizarra -Plumones -Proyector

5 min.

DESARRO LLO

Gestión y

acompañamiento del desarrollo de

las Competencias

-Con los estudiantes por inducción determinan la ecuación canónica de la parábola a partir de las

preguntas: ¿Qué

características observamos en la parábola de la imagen? ¿Cómo será la ecuación que la representa?

-Analizan la información teórica referida a las variantes de la ecuación canónica de la parábola.

25 min.

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(anexo 2).

-Se retoma la situación inicial.

-La docente pregunta:

. ¿Cuándo obtenemos la ecuación canónica de la parábola?

. ¿Qué casos se presentan?

- Con el monitoreo de la docente y participación en la pizarra identifican datos y usan estrategias para resolver la situación planteada inicialmente.

-Los estudiantes se reúnen en equipos de cuatro integrantes mediante la técnica “elementos de la parábola”, responden a cada uno de los aspectos planteados en cada situación problemática, referidos a: (anexo 03).

Comprendemos el problema. Identificando datos, relacionando características y representando la situación mediante un gráfico.

Diseñamos o

seleccionamos una

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estrategia o plan.

Mediante el planteamiento del modelo matemático que

responda a las

características de la situación.

Ejecutamos la estrategia o plan. Determinando la ecuación canónica de la parábola de la situación planteada.

Reflexionamos sobre el desarrollo. Verifican

procedimientos y

resultados.

-La docente monitorea en forma permanente el trabajo de cada equipo, utilizando la estrategia de preguntas, repreguntas y el error como oportunidad de aprendizaje.

-Cada equipo socializa sus

estrategias y

procedimientos

argumentándolos en un plenario.

- La docente refuerza la exposición aclarando algunas dudas.

CIERRE Evaluación -La docente con los -Pizarra 5 min.

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estudiantes concluyen en algunas ideas fuerza

planteando las

interrogantes:

.Si la ecuación es de la forma y²= 4px , p>0 ¿Qué características tiene la parábola?

. Si la ecuación es de la forma y²= 4px , p<0 ¿Qué características tiene la parábola?

. Si la ecuación es de la forma x²= 4py , p>0 ¿Qué características tiene la parábola?

. Si la ecuación es de la forma x²= 4py , p<0 ¿Qué características tiene la parábola?

-¿Qué software matemático me permitirá verificar mis resultados?

-Los estudiantes responden a la ficha metacognitiva:

(anexo 04).

¿Qué aprendí hoy?

¿Qué dificultades tuve?

¿Cómo supere mis dificultades?

¿Lo aprendido es útil para

-Plumones - Impreso -Proyector

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nuestra vida diaria? ¿Por qué?

1.4.Evaluación Capacidades y/o

criterios

Desempeños Técnica Instrumento

- Modela objetos con formas geométricas

y sus

transformaciones.

- Comunica su comprensión sobre las formas y relaciones

geométricas.

- Usa estrategias y procedimientos para orientarse en el espacio.

- Argumenta

afirmaciones sobre relaciones

geométricas.

- Identifica datos y relaciona características de la parábola en la situación planteada.

-Representa gráficamente la parábola y expresa sus características.

-Combina y adapta

estrategias y

procedimientos para determinar la ecuación canónica de la parábola.

-Plantea afirmaciones sobre las relaciones entre los elementos y propiedades de la parábola en las situaciones propuestas.

Observación

Guía de Observación.

(Anexo 5)

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ACTITUDES

-Muestra seguridad para expresarse en lenguaje matemático.

-Muestra perseverancia para obtener sus resultados.

-Muestra respeto y tolerancia hacia sus pares.

-Demuestra precisión al dar sus respuestas.

Observación

Lista de Cotejo.

(Anexo 6)

1.5. Extensión o tarea de aplicación

Resuelven la situación “Túnel de ida” del Cuaderno de Trabajo de Matemática 5 que utilizan los estudiantes, autorizado y distribuido por el Ministerio de Educación.

1.6. Referencias bibliográficas 1.6.1. Para la docente

Ministerio de Educación (2017). Resolvamos problemas 5. Cuaderno de trabajo de Matemática. Lima. Perú. Consorcio Corporación Gráfica Navarrete S.A.

Ministerio de Educación (2016). Matemática 5. Manual para el docente.

Quinto Grado de Educación Secundaria. Lima. Perú. Editorial Santillana S.A.

Ministerio de Educación (2016). Rutas del Aprendizaje. Matemática. Quinto Grado de Secundaria. Lima. Perú.

Rubiños, L. (2011). Geometría. La Enciclopedia. Lima. Editorial Rubiños.

1.6.2. Para el estudiante

Ministerio de Educación (2016). Matemática 5. Cuaderno de trabajo de Matemática. Lima. Perú. Editorial Santillana S.A.

Ministerio de Educación del Perú (2016). Matemática 5. Texto escolar.

Lima. Editorial Santillana S.A.

1.7. Webgrafía

¿Por qué las antenas parabólicas son parabólicas? (2017, 13 de julio) Consultado el 6 de diciembre del 2019, de https://www.youtube.com/watch?v=YJ-cttC6aSM

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CAPITULO II: SUSTENTO TEÓRICO 2.1. Introducción

La matemática está presente en nuestro día a día, muchas veces sin darnos cuenta de ello, es así que muchas situaciones de nuestro contexto pueden ser modeladas mediante métodos analíticos a través de la geometría analítica.

Un ejemplo de ello es las definiciones matemáticas referidas a la ecuación de la parábola la cual representa muchas situaciones de nuestro entorno, como veremos en la presente; para damos a conocer previamente el sustento teórico referido a definición, elementos y ecuaciones de la parábola.

2.2. Cuerpo temático

2.2.1. La Geometría Analítica

La Geometría Analítica es una rama de las matemáticas que estudia la Geometría Euclidiana desde otra perspectiva. Según lo planteado por (Galvez, 2008) adaptado del libro Historia de la Matemática, su gran mérito es la representación de los puntos, líneas o superficies por coordenadas y ecuaciones. Es decir, que los elementos y formas geométricas son representados por expresiones algebraicas y sus relaciones entre ellas.

Asocia pares de números a puntos y ecuaciones a curvas, utilizando el eje cartesiano como referencia.

En el siglo XVIII, el padre de la Geometría Analítica Rene Descartes propuso que era factible relacionar el álgebra con la geometría y representar una figura geométrica mediante una ecuación de dos o más variables.

El problema principal en que se enfoca la Geometría Analítica es encontrar una solución a partir de una gráfica, llamada lugar geométrico y viceversa.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

- Dada la curva en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.

- Dada la ecuación, determinar en un sistema de coordenadas la gráfica o curva algebraica de los puntos que verifican dicha ecuación.

2.2.2. Secciones Cónicas

Teniendo en cuenta la información de (Matematica 5, 2012) referida a la definición, elementos, lado recto y ecuaciones de la parábola.

La superficie cónica( o cono) es una figura geométrica generada por el giro de una recta g (generatriz) alrededor de otra recta fija e (eje), secantes entre sí en

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un punto V (vértice) , siendo el ángulo de giro (∝)un valor constante. Esta superficie está constituida por dos partes, llamadas mantos, que se cortan en el vértice.

2.2.3 La Parábola

Es el lugar geométrico de los puntos P del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y de una recta fija d llamada directriz. Es decir:

𝒅_{(𝑷,𝒇𝒐𝒄𝒐)}= 𝒅(𝑷,𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒓𝒊𝒛)

2.2.3.1 Elementos de la parábola

En la parábola se identifican los siguientes elementos:

- El punto fijo F es el foco.

- La recta fija d es la directriz.

- La recta r, que pasa por F y es perpendicular a 𝒅⃡ se llama eje focal.

- El punto V, que es la intersección de la parábola con el eje focal, se llama vértice y es el punto medio del segmento AF.

- -El segmento PF, que une un punto cualquiera P de la parábola con el foco, se denomina radio focal de P o radio vector.

- El segmento LR, que es perpendicular al eje focal, se llama lado recto y pasa por el foco.

(22)

2.2.3.2 Longitud del lado recto (LR) En la figura observamos:

𝒅_(𝑳,𝑭)= 𝒅(𝑳,𝑵)→|𝒚−𝟎|=|−𝒑−𝒑|→𝒚=𝟐𝒑 (𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄.𝟏) 𝒅_(𝑳,𝑹) = |𝒚 − (−𝒚)| → 𝒅_(𝑳,𝑹) = |𝟐𝒚|(𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄. 𝟐) Sustituimos (Ecuac.1) en (Ecuac.2)

𝒅_(𝑳,𝑹) = |𝟐(𝟐𝒑)| → 𝑳𝑹 = |𝟒𝒑|

2.2.3.3 Ecuación canónica de la parábola

Existen dos casos en los cuales el vértice de la parábola se encuentra en el origen de coordenadas V (0;0) y su eje focal coincide con uno de los ejes cartesianos.

Para obtener la ecuación de la parábola en cada caso, se parte de la igualdad de dos distancias:

𝒅_{(𝑷,𝒇𝒐𝒄𝒐)} = 𝒅(𝑷,𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒓𝒊𝒛), siendo P(x;y) un punto de la parábola.

Así, cuando el eje focal coincide con el eje X:

√(𝒙 − 𝒑)^𝟐+ (𝒚 − 𝟎)^𝟐 = |𝒙 − (−𝒑)|

- Elevamos al cuadrado ambos miembros: (𝒙 − 𝒑)^𝟐+ 𝒚^𝟐 = (𝒙 + 𝒑)^𝟐

- Desarrollamos los binomios: 𝒙^𝟐− 𝟐𝒑𝒙 + 𝒑^𝟐+ 𝒚^𝟐 = 𝒙^𝟐+ 𝟐𝒑𝒙 + 𝒑^𝟐

- Obtenemos la ecuación canónica de la parábola: 𝒚^𝟐 = 𝟒𝒑𝒙

Ecuaciones de una parábola: vértice en (0; 0) , foco sobre eje, p≠0

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Tabla 1

Ecuaciones de una parábola: vértice en (0;0) ,foco sobre eje, p≠0

Fuente: Gálvez, Rubén (2008)

N o t a .

Fuente: Ediciones Santillana S.A.

2.2.3.4 Ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h , k) Para obtener la ecuación de la parábola con

vértice V(h,k) y de ejes paralelos a X e Y, se traslada el origen de coordenadas h unidades en sentido horizontal y K unidades en sentido vertical.

La ecuación de la parábola con referencia a los nuevos ejes X´ e Y´ es:

(𝒚^´)^𝟐= 𝟒𝒑(𝒙^´)

Las coordenadas de un punto cualquiera de la parábola son:

Vértice Foco Directriz Ecuación Descripción (0; 0) (p;0)

Si p>0

x= -p y²= 4px El eje de simetría de la parábola es el eje X, se abre hacia la derecha.

(0; 0) (p;0) Si p<0

x= -p y²= 4px El eje de simetría de la parábola es el eje X, se abre hacia la izquierda.

(0; 0) (0;p) Si p>0

y = -p x²= 4py El eje de simetría de la parábola es el eje Y, se abre hacia arriba.

(0; 0) (0;p) Si p<0

y= -p x²= 4py El eje de simetría de la parábola es el eje Y, se abre hacia la abajo.

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x = x´ + h → x´ = x – h y = y´ + k → y´ = y – k

Sustituyendo, se obtiene la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en V (h , k) y eje focal paralelo al eje X:

( y – k )² = 4p(x – h)

También se presentan otras variantes, como veremos en la siguiente tabla.

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Tabla 2

Ecuación de una parábola: vértice (h, k), foco sobre un eje paralelo al eje X o eje Y , p≠0

Vértice Foco Directri z

Ecuación Descripción

(h; k) (h+p ; k) Si p>0

x = h-p (y-k)²=4p(x-h) El eje de la simetría de la parábola es paralelo al eje X, se abre hacia la derecha.

(h ; k) (h+p ; k) Si p<0

x = h-p (y-k)²=4p(x-h) El eje de la simetría de la parábola es paralelo al eje X, se abre hacia la izquierda.

(h ; k) (h ; k+p) Si p>0

y = k-p (x-h)²=4p(y-k) El eje de la simetría de la parábola es paralelo al eje Y, se abre hacia la arriba.

(h ; k) (h ; k+p) Si p<0

y = k-p (x-h)²=4p(y-k) El eje de la simetría de la parábola es paralelo al eje Y, se abre hacia la abajo.

Nota. Fuente: Gálvez, Rubén (2008)

Nota. Fuente: Ediciones Santillana S.A.

2.2.3.5 Ecuación general de la parábola

Para hallar la ecuación general de la parábola cuando el eje focal es paralelo al eje X, desarrollamos el binomio y el producto de su ecuación ordinaria.

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( y – k)² = 4p( x – h ) y² – 2ky + k² = 4px – 4ph y² + ( -2k)y + (-4p)x + k² + 4ph = 0

Denotamos por A = -2k , B = -4p y C = k² + 4ph para obtener la expresión que corresponde a la ecuación general de la parábola , cuando el eje focal es paralelo al eje X:

y² + Ay + By + C = 0 ( Eje focal paralelo al eje X)

Si el eje focal es paralelo al eje Y, se parte de la expresión (x – h)² = 4p( y – k):

x² + Ax + By + C = 0 (Eje focal paralelo al eje Y

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Al desarrollar la presente sesión de aprendizaje se ha tenido en cuenta las orientaciones para la planificación curricular del Ministerio de Educación del Perú planteadas en diversos documentos normativos y en el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica, enmarcados todos ellos en el desarrollo de competencias, en este caso la competencia : Resuelve problemas de forma, movimiento y localización.

De igual manera se ha tenido en cuenta los principios de reconocidos psicopedagogos de las teorías constructivistas y cognitivas con sus aportes referidos a como aprende el ser humano; a fin de seleccionar y adaptar las estrategias metodológicas para el logro de aprendizajes significativos y el desarrollo de competencias matemáticas.

3.2 Condiciones para que se produzca el aprendizaje

Teniendo en cuenta las orientaciones para la planificación curricular (Ministerio de Educación, 2013) establece algunas condiciones para que se produzca el aprendizaje, las cuales detallaremos:

- Todo aprendizaje implica un cambio. Entendido este como un proceso interno en el cual el aprendiz construye sus conocimientos a partir de su estructura cognitiva, sus saberes previos y su emocionalidad; cambios relativamente permanentes en el pensamiento, comportamiento o los afectos, como resultado de la experiencia y de la interacción de la persona con el entorno u otras personas.

- Las mediaciones. El aprendizaje se produce gracias a las interacciones conscientes y de calidad con otros (pares, docentes y otros adultos), con el entorno, materiales y recursos significativos. El aprendizaje siempre esta mediado por estos factores, así como por la trayectoria de la persona, por sus afectos y aprendizajes previos.

- Aprendizajes que perduran. Los cambios producto de la experiencia y las interacciones son más arraigados cuando es afín a las necesidades o expectativas de la persona o las reta de tal manera que logra conectarse con ellas.

- El compromiso de aprender. Si los estudiantes tienen necesidad, interés o incentivo para aprender, estarán más dispuestos a realizar el esfuerzo, compromiso y la perseverancia necesaria para lograrlo; para todo ello se

CAPITULO III: SUSTENTO PEDAGÓGICO 3.1. Introducción

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requiere de un clima emocional favorable.

3.3 Teorías psicopedagógicas del aprendizaje

Para Jean Piaget (1964) citado por (Saldarriaga, Bravo, & Marlene, 2016) en su Teoría del desarrollo cognitivo, plantea que el desarrollo intelectual es un proceso de reestructuración del conocimiento, que inicia con un cambio externo, creando un conflicto o desequilibrio en la persona, el cual modifica la estructura que existe, elaborando nuevas ideas o esquemas, a medida que el alumno se desarrolla. Piaget propone la “teoría constructivista del aprendizaje” en la cual hace notar que la capacidad cognitiva y la inteligencia se encuentran estrechamente ligadas al medio social y físico. Así considera que los dos procesos que caracterizan a la evolución y adaptación del psiquismo humano son los de la asimilación y acomodación. Ambas son capacidades innatas que por factores genéticos se van desplegando ante determinados estímulos en determinadas etapas o estadios del desarrollo, en muy precisos períodos etéreos. Piaget(1964) citado por (Rafael, 2014)considera a la asimilación, como el proceso que moldea la información nueva para que encaje en sus esquemas actuales, no es un proceso pasivo puesto que a menudo requiere modificar o transformar la información nueva para incorporarla a la ya existente. ; y a la acomodación, como el proceso de modificar los esquemas actuales. La acomodación tiende a darse cuando la información discrepa un poco con los esquemas. Si discrepa demasiado, tal vez no sea posible porque el niño no cuenta con una estructura mental que le permita interpretar esta información. La acomodación es el proceso que consiste en modificar los esquemas existentes para encajar la nueva información discrepante. Ambos procesos de asimilación y acomodación se alternan dialécticamente en la constante búsqueda de equilibrio para el control del mundo externo. Cuando una información no resulta inmediatamente interpretable en base a los esquemas preexistentes, el sujeto entra en un momento de crisis, buscando encontrar nuevamente el equilibrio, produciéndose modificaciones en los esquemas del niño de esta manera se incorporan las nuevas experiencias.

En sus estudios, Piaget (1964) citado por (Valdes, 2014) notó que existen periodos o estadios de desarrollo, en los cuales en algunos prevalece la asimilación, y en otros la acomodación.

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1. Estadio sensorio-motor: (De 0 a 2 años). El niño usa sus sentidos y las habilidades motrices, para conocer aquello que le circunda, confiándose inicialmente en sus reflejos y, más adelante, en la combinatoria de sus capacidades sensoriales y motrices. Así se prepara para luego poder pensar con imágenes y conceptos. Un logro muy importante de esta etapa es la capacidad que adquiere el niño para representar a su mundo como un lugar donde los objetos a pesar de desaparecer momentáneamente, permanecen.

2. Estadio preoperatorio: (De 2 a 7 años). Se presenta con el surgimiento de la función simbólica en el cual el niño comienza a hacer uso de pensamientos o hechos no perceptibles en ese momento. Utilizan diversos esquemas representativos como el lenguaje, el juego simbólico, la imaginación y el dibujo;

obteniendo el lenguaje un desarrollo impresionante que posibilitara logros cognitivos posteriores. Son procesos característicos de esta etapa: el juego simbólico, la centración, la intuición, el animismo, el egocentrismo, la yuxtaposición y la reversibilidad (inhabilidad para la conservación de propiedades).

3. Estadio de las operaciones concretas: (De 7 a 11 años). En este estadio se hace referencia a las operaciones lógicas usadas para la resolución de problemas. Usa los símbolos de un modo lógico y, a través de la capacidad de conservar, llega a generalizaciones atinadas. Los tres tipos de operaciones mentales o esquemas con que el niño organiza e interpreta el mundo durante esta etapa son: seriación, clasificación y conservación.

4. Estadio de las operaciones formales: (De 12 años en adelante).En este estadio, las operaciones mentales que surgieron en las etapas previas se organizan en un sistema más complejo de, lógica y de ideas abstractas. El pensamiento hace la transición de lo real a lo posible. Su cerebro esta potencialmente capacitado para formular pensamientos abstractos o de tipo hipotético deductivo. La capacidad de pensar en forma abstracta y reflexiva que se logra durante esta etapa, tiene cuatro características fundamentales de pensamiento: la lógica proposicional, el razonamiento científico, el razonamiento combinatorio y el razonamiento sobre probabilidades y proporciones.

Para Lev Vygostky (1978) citado por (Rafael, 2014) plantea que “el desarrollo cognoscitivo se lleva a cabo a medida que internaliza los resultados de sus

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interacciones sociales, tanto la historia de la cultura del niño como la de su experiencia personal son importantes para comprender el desarrollo cognoscitivo”.

Este principio refleja una concepción cultural-histórica del desarrollo. En su perspectiva, el conocimiento no se construye en forma individual como propuso Piaget, sino que se construye entre las personas a medida que interactúan. La interacción con sus pares o adultos más conocedores constituyen el medio principal del desarrollo intelectual.

De acuerdo con Vygotsky, el niño nace con habilidades mentales elementales, entre ellas la percepción, la atención y la memoria. Gracias a la interacción con sus compañeros y adultos más conocedores, estas habilidades “innatas” se transforman en funciones mentales superiores.

Uno de los aportes más importantes es el concepto de zona del desarrollo proximal que incluye las funciones que están en proceso de desarrollo pero que todavía no se desarrollan plenamente. Esta representa la brecha entre lo que el niño puede hacer por sí mismo y lo que puede hacer con ayuda. Vygotsky supuso que las interacciones con los adultos y con los compañeros en la zona de desarrollo proximal le ayuda al niño a alcanzar un nivel superior de funcionamiento.

Por su parte David Ausubel desarrolla una concepción cognitiva del aprendizaje mediante su “Teoría del aprendizaje significativo” en la cual aborda todos y cada uno de los elementos, factores, condiciones y tipos que garantizan la adquisición, asimilación y la retención del contenido que la escuela ofrece al alumnado, de modo que adquiera significado para el mismo. Se trata de una teoría constructivista, ya que es el propio individuo-organismo el que genera y construye su aprendizaje.

Según (Ausubel, 1976; Moreira, 1997) citados por (Rodriguez, 2004) el aprendizaje significativo es el proceso según el cual se relaciona un nuevo conocimiento con la estructura cognitiva del que aprende de forma no arbitraria y sustantiva o no literal.

Esta interacción con la estructura cognitiva se produce con aspectos relevantes en la misma, que reciben el nombre de subsumidores o ideas de anclaje.

Para que se produzca aprendizaje significativo, han de darse dos condiciones fundamentales:

1. Actitud potencialmente significativa de aprendizaje por parte del aprendiz, o sea, predisposición para aprender de manera significativa.

2. Presentación de un material potencialmente significativo. Esto requiere:

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- Por una parte, que el material tenga significado lógico, esto es, que sea potencialmente relacionable con la estructura cognitiva del que aprende de manera no arbitraria y sustantiva,

- Y, por otra, que existan ideas de anclaje o subsumidores adecuados en el sujeto que permitan la interacción con el material nuevo que se presenta.

Atendiendo al objeto aprendido, el aprendizaje significativo puede ser representacional, de conceptos y proposicional. Si se utiliza como criterio la organización jerárquica de la estructura cognitiva, el aprendizaje significativo puede ser subordinado, superordenado o combinatorio.

Asimismo, el psicólogo y pedagogo estadounidense Jerome Seymour Bruner(1960) desarrollo en la década del 60 una teoría del aprendizaje de índole constructivista conocida como aprendizaje por descubrimiento o aprendizaje heurístico. Según (Esteban, 2009) del pensamiento pedagógico de Bruner podemos destacar tres implicaciones educativas:

- Aprendizaje por descubrimiento. El instructor debe motivar a los estudiantes para que sean ellos mismos los que descubran relaciones entre conceptos y construyan conocimientos.

- La información o contenidos de aprendizaje se deben presentar de una forma adecuada a la estructura cognitiva (el modo de representación) del aprendiz.

- El currículo, en consecuencia, debe organizarse de forma espiral, es decir, se deben trabajar los mismos contenidos, ideas o conceptos, cada vez con mayor profundidad. Los niños y niñas irán modificando sus representaciones mentales a medida que se desarrolla su cognición o capacidad de categorizar, conceptualizar y representar el mundo.

3.4 La enseñanza aprendizaje de las matemáticas

Según (Gascon, 2002) respecto a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas establece los principios pedagógicos:

- La enseñanza de las matemáticas debe centrarse en (o girar en torno a) la actividad de resolución de problemas.

- El juego es un medio natural y eficaz para enseñar y aprender matemáticas.

- La motivación de los alumnos y su actitud hacia las matemáticas es uno de los principales factores para explicar el éxito o el fracaso del aprendizaje.

- Debe aumentarse la relación entre las matemáticas escolares y la vida cotidiana

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como uno de los medios para motivar a los alumnos y mejorar su actitud hacia las matemáticas.

- La interdisciplinariedad es preferible a la enseñanza de las matemáticas aisladas.

- Las herramientas tecnológicas son eficaces para enseñar matemáticas porque potencian la visualización y ahorran los cálculos pesados y rutinarios al estudiante.

- La educación matemática debe ser cada vez más individualizada y personalizada (idea dominante ligada a la exigencia de atención a la diversidad).

- Es preferible innovar que seguir con la enseñanza tradicional de las matemáticas.

3.5 Enfoque para el desarrollo de competencias en el área de Matemática

Teniendo en cuenta el marco teórico y metodológico del (Ministerio de Educación, 2016) en el área de matemática, el marco teórico y metodológico que orienta la enseñanza y el aprendizaje es el enfoque centrado en resolución de problemas, el cual se caracteriza por:

- La matemática es un producto cultural dinámico que siempre está en constante desarrollo y reajuste.

- Toda actividad matemática tiene como propósito la solución de problemas planteados a partir de situaciones, los cuales se considera como acontecimientos significativos que se dan en diversos contextos.

- Al plantear y resolver problemas los estudiantes se enfrentan a diferentes retos los cuales no conocen las estrategias de solución, por tal motivo los demanda desarrollar un proceso de indagación y reflexión individual y social que les permite a desarrollar las dificultades u obstáculos que surja en la búsqueda de la solución. En este proceso el estudiante construye su propio conocimiento al relacionar y reorganizar ideas y conceptos matemáticos que emergen como solución a los problemas que irán aumentando la complejidad y de grado.

- Los problemas que resuelven los estudiantes puedan ser planteados por ellos mismos o por el docente para promover así la creatividad y la interpretación de nuevas situaciones.

- Las actitudes, las emociones actúan como fuerza impulsadora del aprendizaje.

- Los estudiantes aprenden por sí mismo cuando son capases de autorregular su proceso de aprendizaje y de reflexionar sobre sus aciertos, errores, avances y dificultades que surgieron en el proceso de solución de los problemas.

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Según (Ministerio de Educación, 2016) la competencia matemática veintiséis Resuelve problemas de forma, movimiento y localización:

 Consiste en que el estudiante se oriente y describa la posición y el movimiento de objetos y de sí mismo en el espacio, visualizando, interpretando y relacionando las características de los objetos con formas geométricas bidimensionales y tridimensionales.

 Implica que realice mediciones directas e indirectas de la superficie, del perímetro, del volumen y de la capacidad de los objetos, y que logre construir representaciones de las formas geométricas para diseñar objetos, planos y maquetas, usando instrumentos, estrategias y procedimientos de construcción y medida. Además, describa trayectorias y rutas, usando sistemas de referencia y lenguaje geométrico.

 El desarrollo de esta competencia implica la combinación de las capacidades:

- Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones: es construir un modelo que reproduzca las características de los objetos, su localización y movimiento, mediante formas geométricas, sus elementos y propiedades; la ubicación y transformaciones en el plano. Es también evaluar si el modelo cumple con las condiciones dadas en el problema.

- Comunica su comprensión sobre las formas y relaciones geométricas: es comunicar su comprensión de las propiedades de las formas geométricas, sus transformaciones y la ubicación en un sistema de referencia; es también establecer relaciones entre estas formas, usando lenguaje geométrico y representaciones graficas o simbólicas.

- Usa estrategias y procedimientos para orientarse en el espacio: es seleccionar, adapta, combinar o crear, una variedad de estrategias, procedimientos y recursos para construir formas geométricas, trazar rutas, medir o estimar distancias y superficies, y transformar las formas bidimensionales y tridimensionales.

- Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas: es elaborar afirmaciones sobre las posibles relaciones entre los elementos y las propiedades de las formas geométricas; basado en su exploración o visualización. Asimismo, justificarlas, validarlas o refutarlas, basado en su experiencia, ejemplos o contraejemplos, y conocimientos sobre propiedades

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geométricas; usando el razonamiento inductivo o deductivo.

3.6 Procesos pedagógicos que promueven competencias

Según las orientaciones para la planificación curricular (Ministerio de Educación, 2013) se resume en seis los principales componentes de los procesos pedagógicos que promueven las competencias:

- Problematización: se debe partir de situaciones retadoras situaciones retadoras o desafiantes, problemas o dificultades que parten del interés, la necesidad y expectativa del estudiante, situaciones capaces de provocarles conflictos cognitivos.

- Propósito y organización: esto significa dar a conocer a los estudiantes el propósito de la unidad, proyecto o sesión, el tipo de actividades que van a realizar durante el proceso de ejecución y como serán evaluados al final.

- Motivación: consiste en el interés que la unidad planteada y sus respectivas sesiones logren despertar en los estudiantes de principio a fin. Si tienen interés, motivación, o necesidad para aprender, estarán más dispuestos a realizar el esfuerzo necesario para lograrlo.

- Saberes previos: recoger estos saberes es imprescindible puesto que se constituyen como el punto de partida para cualquier aprendizaje.

- Gestión y acompañamiento del desarrollo de competencias: implica generar secuencias didácticas y estrategias adecuadas para los distintos saberes, acompañando a los estudiantes en su proceso de ejecución y descubrimiento, propiciando reflexiones críticas, análisis de hechos, diálogos y discusiones con sus pares.

- Evaluación: atraviesa el proceso de aprendizaje de principio a fin. La evaluación formativa se da para comprobar los avances del aprendizaje durante todo el proceso, con el propósito de reflexionar sobre lo que se va aprendiendo. La evaluación sumativa es para dar fe del aprendizaje finalmente logrado por el estudiante y valorar el nivel de desempeño alcanzado en las competencias.

3.7 Momentos de una sesión de aprendizaje

Teniendo en cuenta lo planteado en las orientaciones para la planificación (Ministerio de Educación, 2013) considera los siguientes procesos pedagógicos:

- Inicio: generalmente dedicado a plantear los propósitos de la sesión, proponer un reto o conflicto cognitivo despertar el interés del grupo, dar a conocer los

(35)

aprendizajes que se espera lograr al final del proceso y/o recoger saberes previos.

- Desarrollo: se prevee las estrategias y actividades más pertinentes al aprendizaje esperado. Debe especificar que se espera que haga tanto el docente como los estudiantes; es importante que el docente reflexione sobre el tiempo que se requeriría para que los estudiantes desarrollen los aprendizajes esperados.

- Cierre: los estudiantes sacan conclusiones de la experiencia vivida, se puntualiza las ideas fuerza, solución a alguna dificultad o la reflexión sobre como aprendieron.

3.8. Procesos didácticos del área de matemática.

Teniendo en cuenta lo planteado por Guzmán (1991) citado por (Asensio, 2013)los procesos didácticos son en el área de matemática son:

- Familiarización con el problema. Implica que el estudiante se familiarice con la situación y el problema mediante el análisis de la situación e identificación de matemáticas contenidas en el problema.

- Búsqueda y ejecución de estrategias. Implica que el estudiante indague, investigue, proponga, idee o seleccione la o las estrategias que considere pertinentes. También se propicia su puesta en acción para abordar el problema, partiendo de sus saberes previos e identificando nuevos términos, procedimientos y nociones.

- Socialización de representaciones. Implica que el estudiante intercambie experiencias y confronte con los otros el proceso de resolución seguido , las estrategias que utilizo, las dificultades que tuvo, las dudas que aún tiene, lo que descubrió, etc.; enfatizando en las representaciones que realizó con el fin de ir consolidando el aprendizaje esperado.

- Reflexión y formalización. El estudiante debe consolidar y relacionar los conceptos y procedimientos matemáticos, reconociendo su importancia, utilidad y dando respuesta al problema, a partir de la reflexión de todo lo realizado.

- Planteamiento de otros problemas. Implica que el estudiante aplique sus conocimientos y procedimientos matemáticos en otras situaciones y problemas planteados o que el mismo deba plantear y resolver. Aquí se realiza la transferencia de los saberes matemáticos.

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CONCLUSIONES Sustento Teórico

La Geometría Analítica viene a ser la aplicación del algebra y el análisis a la geometría, es decir se utilizan métodos algebraicos para resolver situaciones geométricas, mediante la asociación de pares ordenados a los puntos y de ecuaciones a las curvas.

Las secciones cónicas se originan por el giro de una recta g llamada generatriz alrededor de una recta fija e, secantes en un vértice V. Estas secciones cónicas son: parábola, círculo, elipse e hipérbola.

La parábola puede representarse algebraicamente mediante tres tipos de ecuaciones:

ecuación canónica, ordinaria y ecuación general en cada uno de los casos, su representación geométrica tiene variaciones de acuerdo a los valores que asumen sus elementos.

La ecuación de la parábola tiene múltiples aplicaciones en situaciones de nuestro contexto, es por ello que se debe enfatizar en la importancia de la teoría matemática puesto que esta nos sirve para solucionar diversas situaciones problemáticas de nuestro entorno.

Sustento Pedagógico

Los teóricos pedagógicos como Piaget, Vygotsky, Ausubel y Bruner plantean cada uno de ellos sus teorías pedagógicas de cómo se produce el aprendizaje, las cuales debemos tener en cuenta en la planificación de la sesión de aprendizaje.

El Ministerio de Educación, propone como procesos pedagógicos que promueven competencias: problematización, propósito y organización, motivación, saberes previos, gestión y acompañamiento y evaluación.

El enfoque del área de matemática es la resolución de problemas, el cual está íntimamente ligado a los procesos didácticos del área, que deben considerarse en la planificación y ejecución de las sesiones de aprendizaje.

Para elaborar una sesión de aprendizaje que busque el desarrollo de competencias y aprendizajes significativos debemos tener en cuenta las orientaciones del Ministerio de Educación y el aporte de los psicopedagogos como Piaget, Vygotsky, Ausubel, Bruner entre otros con los principios de sus teorías constructivistas y cognitivistas.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Sustento Teórico

Gálvez, R. (2008). Manual de Matemática 5to.de Secundaria. Lima. Editorial El Nocedal S.A.C.

Santillana (2012) Matemática 5. Lima. Editorial Santillana S.A.

Sustento Pedagógico

Asensio, C. (2013). Adaptacion del modelo de Miguel de Guzman para la resolucion cooperativa de problemas para alumnos de 1o.de la ESO. Bilbao.

Esteban, M. (2009). Las ideas de Bruner:"De la revolucion cognitiva" a la "Revolucion cultural". Educere.Universidad de los Andes Venezuela., 235-241.

Gascon, J. (2002). Geometría sintetica en la ESO y analitica en el bachillerato.¿Dos mundos completamente separados? Suma, 13-25.

Ministerio de Educación. (2013). Orientaciones para la planificacion curricular. Lima.

Perú.

Ministerio de Educación. (2016). Programa Curricular de Educacion Secundaria. RVM No.649-2016, 148.Lima. Perú.

Rafael, A. (2014). Desarrollo cognitivo:Las Teoria de Piaget y de Vigotsky. Master en paidopsiquiatria.

Rodriguez, M. (2004). La Teoria del Aprendizaje significativo. Centro de educacion a distancia.

Saldarriaga, P., Bravo, G., & Marlene, L. (2016). La teoria constructivista de Jean Piaget y su significacion para la pedagogia contemporanea. Revista cientifica.Dominio de las ciencias.

Valdes, A. (2014). Etapas del desarrollo cognitivo de Piaget. Universidad Marista de Guadalajara.

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ANEXOS

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Anexo N°1 Situación Problemática: la antena de radio de Renzo

Renzo desea colocar una estación de radio al que llamara “Pasión deportiva”

dedicado exclusivamente al tema deportivo. Para ello colocara una antena parabólica que tiene un diámetro de 12 m y su profundidad es de 2 m, como se muestra en la imagen. ¿A qué distancia del fondo del plato se ubica el colector de señales de la antena?

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Anexo N°2 Ecuación canónica de la parábola

Existen dos casos en los cuales el vértice de la parábola se encuentra en el origen de coordenadas V (0;0) y su eje focal coincide con uno de los ejes cartesianos.

Para obtener la ecuación de la parábola en cada caso, se parte de la igualdad de dos distancias: 𝒅_{(𝑷,𝒇𝒐𝒄𝒐)} = 𝒅(𝑷,𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒓𝒊𝒛), siendo P(x;y) un punto de la parábola.

Así, cuando el eje focal coincide con el eje X: √(𝒙 − 𝒑)^𝟐+ (𝒚 − 𝟎)^𝟐 = |𝒙 − (−𝒑)|

. Elevamos al cuadrado ambos miembros: (𝒙 − 𝒑)^𝟐+ 𝒚^𝟐 = (𝒙 + 𝒑)^𝟐 . Desarrollamos los binomios: 𝒙^𝟐− 𝟐𝒑𝒙 + 𝒑^𝟐+ 𝒚^𝟐= 𝒙^𝟐+ 𝟐𝒑𝒙 + 𝒑^𝟐 . Obtenemos la ecuación canónica de la parábola: 𝒚^𝟐 = 𝟒𝒑𝒙 Ecuaciones de una parábola: vértice en (0; 0) , foco sobre eje, p≠0

Vértice Foco Directriz Ecuación Descripción (0; 0) (p;0)

Si p>0

x= -p y²= 4px El eje de simetría de la parábola es el eje X, se abre hacia la derecha.

(0; 0) (p;0) Si p<0

x= -p y²= -4px El eje de simetría de la parábola es el eje X, se abre hacia la izquierda.

(0; 0) (0;p) Si p>0

y = -p x²= 4py El eje de simetría de la parábola es el eje Y, se abre hacia arriba.

(0; 0) (0;p) Si p<0

y= -p x²= -4py El eje de simetría de la parábola es el eje Y, se abre hacia la abajo.

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Anexo N°3 TIRO LIBRE

Hallar la altura de un punto parabólico de 6 m de altura y 24 m de base, situado a una distancia de 8 m del centro.

Comprendemos el problema

a)¿Qué figura forma tiene el tiro libre efectuado

por el futbolista?

……….

b) ¿En qué otros casos aprecias la forma del tiro libre?

………

c) ¿Qué elementos matemáticos conoces de la figura?

………...

d) ¿Qué datos te dan? ¿Cuál es la incógnita?

………

Diseñamos una estrategia o plan

a)¿A partir de qué estrategia iniciarías la solución del problema?

………

b)¿Qué conocimiento es importante para resolver el problema?

………

Ejecutamos la estrategia o plan

a) Empieza a aplicar la estrategia elegida, representa gráficamente y ubica datos.

b) Resuelve para tener los elementos de la parábola y su ecuación? Da respuesta a la pregunta del problema.

Reflexionamos sobre el desarrollo

a) Puedes aplicar la estrategia en otras situaciones? ¿Porque?

b) ¿Qué datos te podrían dar para deducir directamente la ecuación de la parábola?

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EL PUENTE DE PUERTO MALDONADO

Los puentes son algunas de las construcciones que han favorecido el transporte del ser humano sobre lugares muy complicados. En la imagen mostrada, se encuentra el puente de Puerto Maldonado, en el cual los pilares que lo sostienen están sobre el rio. Se observa que los dos cables que van entre los pilares tienen una forma particular.

.Si la altura de los pilares es de 30 m y la distancia entre ellos es de 80 m, ¿a qué altura se encontrara el cable a 20 m del pilar?(Considera como referencia el nivel de agua?

a) ¿Qué figura forma tiene el puente de Puerto Maldonado?

……….

b) ¿En qué otros casos aprecias la forma del puente?

………

………...

d) ¿Qué datos te dan?¿ Cuál es la incógnita?

………

(43)

HORNO SOLAR

Un horno solar tiene la forma de un paraboloide circular cuyo diámetro es de 120 cm y la profundidad de su palto es de 50 cm. ¿A qué distancia del fondo del plato parabólico se encuentra el centro del soporte para calentar la comida?

a) ¿Qué figura forma el horno solar?

……….

b) ¿En qué otros casos aprecias la forma del horno solar?

………

………...

...

………

(44)

EL PUENTE COLGANTE

Un puente colgante tiene forma de parábola, tal como se muestra en la figura. Las columnas que sostienen el puente están separadas 400 m entre sí. El punto más bajo de los cables está a 100 m desde el extremo superior de las columnas.

Calcula la longitud que debe tener un puntal que está a 20 m de una torre.

a) ¿Qué figura forma el puente colgante?

……….

b) ¿En qué otros casos aprecias la forma del puente colgante?

………

………...

...

………

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TRAYECTORIA DE UN BALON

La trayectoria de un balón de futbol desde el nivel del suelo es una parábola que se abre hacia abajo. La altura alcanzada por el balón es 3 m y su alcance horizontal es 9 m.

Escribe la ecuación de la parábola que describe la trayectoria del balón. Si el alcance horizontal se reduce a la mitad, ¿Cómo cambia la ecuación del punto anterior? Justifica tu respuesta.

a) ¿Qué figura forma la trayectoria del balón?

……….

b) ¿En qué otros casos aprecias la forma de la trayectoria del balón?

………

………...

...

………

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Anexo N°4

Ficha de metacognición

Introducción: Responde a cada una de las preguntas que se te presenta a continuación.

¿Qué aprendí hoy?

¿Cómo lo aprendí?

¿Qué dificultades tuve?

¿Cómo supere las dificultades presentadas?

¿lo aprendido es útil para nuestra vida diaria? ¿por qué?

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Anexo N°5 Guía de Observación

Grado: 5to Sección:……….. Fecha:………

Competencia: Resuelve problemas de forma, movimiento y localización.

No .

DESEMPEÑOS

ESTUDIANTES

Identifica datos y relaciona característ icas de la parábola

en la

situación planteada.

( 0 – 5 )

Represen ta gráficam ente la parábola y expresa sus caracterís ticas

( 0 – 5 )

Combina y adapta estrategias y procedimien tos para determinar la ecuación canónica de la parábola.

( 0 – 5 )

Plantea afirmacion es sobre las

relaciones entre los elementos y

propiedade s de la parábola en las situaciones propuestas .

( 0 – 5 )

Pro m.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

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Anexo N°6 Lista de Cotejo

Grado: 5to Sección:……….. Fecha:………

No. Indicadores

Estudiantes

Muestra seguridad para

expresarse en lenguaje matemático.

Muestra perseverancia para obtener sus

resultados.

Muestra respeto y tolerancia hacia sus pares.

Demuestra precisión al dar sus respuestas.

SI NO SI NO SI NO SI NO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

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