Nombre: Paralelo: Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdadera o falsa. Justifique formalmente su respuesta.

Texto completo

(1)

TEMA No. 1 (10 PUNTOS)

Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdadera o falsa. Justifique formalmente su respuesta.

a) ( ( ))

lim0 1

x

sen sen x

x

=

VERDADERO

SOLUCIÓN 1

( ( ))

( ) ( ) ( ( ))

( ) ( ) ( )( )

0 0 0

lim lim lim 1 1 1

x x x

sen sen x sen x sen sen x sen x

sen x x sen x x

= = =

SOLUCIÓN 2

( ( )) ( ) ( )( )

0

cos cos 1 1

lim 1

1 1

x

sen x x

= =

RÚBRICA

40% Aplicación correcta de reglas 40% Cálculos correctos

20% Resultados correctos

b) La función 1 1 x y= e

tiene dos valores extremos. FALSO SOLUCIÓN

( )

( )( ) ( )

( )

1

2

2

1

' 1 1

1

' 0, 0, no está definida en =0, presenta una asíntota vertical.

no tiene valores extremos.

x

x

x x

x

y e

y e e e

e

y x y x

y

= −

= − =

>

RÚBRICA

40% Derivación correcta

40% Análisis apropiado de la derivada 20% Conclusión correcta

INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS

CÁLCULO DIFERENCIAL Examen de la Tercera Evaluación I Término – 19/septiembre/2008

Nombre: ___________________________ Paralelo: ___

(2)

Calcule los siguientes límites:

a) xlim

(

x2 x 1 x2 x 1

)

→+∞ + + − − −

SOLUCIÓN

( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

1 1

lim 1 1

1 1

1 1 2 1

lim lim

1 1 1 1

1 1

2 lim 2 1 1

1 1 1 1 2

1 1

x

x x

x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x x

x x x x x x x x

x

x x x x

→+∞

→+∞ →+∞

→+∞

+ + + − − + + − − − ⋅

+ + + − −

+ + − − − +

= =

+ + + − − + + + − −

+ ⎛ ⎞

= + + + − − = ⎜ ⎟⎝ ⎠=

RÚBRICA

40% Técnica algebraica correcta 40% Cálculos correctos

20% Respuesta correcta

b) SOLUCIÓN 1

( ) 4

4

3 3

0 0

2 3

1 2 1 1 3 1

1 2 1 1 3 1 4 2

lim lim 6

1 1 1 1 1

3

x x

x x

x x

x x

x x

x

+ − −

+ − −

⎟ = = = −

− − − −

SOLUCIÓN 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

3 / 4 1/ 2

3 / 4

0 2 / 3 0

2 / 3

1 3

1 1 1 3

1 2 2 1 3 3 2 1 2 2 1 3

4 2 2 2

lim lim 6

1 1 1

1 1

3 3 1 3

x x

x x x x

x

x

+ + +

+

= = = −

RÚBRICA

40% Selección correcta de técnica 40% Cálculos correctos

20% Respuesta correcta

(3)

Obtenga dy dx para

( )( )

1 cos ln 1 cos y x

x

=

+

SOLUCIÓN

( ( )) ( ( )) ( ( ))

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 ln 1 cos ln 1 cos 2

1 1

2 1 cos 1 cos 2 1 cos 1 cos

2

y x x

sen x sen x sen x sen x

dy

dx x x x x

sen x dy

dx

= +

− −

= + = + +

= 2

( ) ( )

( ) ( )

2 2

1 1 cos

sen x

x sen x sen x

= =

RÚBRICA

60% Derivación correcta

40% Manipulación algebraica adecuada

TEMA No. 4 (10 PUNTOS)

Determine la ecuación de la recta tangente a la función f x( )=x32x2+3x1 en su

punto de inflexión.

SOLUCIÓN

( ) ( )

2

3 2

' 3 4 3

'' 6 4 0 2

3

2 2 2

2 3

3 3 3

f x x x

f x x x

f

= +

= − = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎛ ⎞ +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3

2

8 8 8 24 27 11

1 2 1

27 9 27 27

Punto de inflexión es 2 11, 3 27

2 2 2 4 8 9 5 5

' 3 4 3

3 3 3 3 3 3 3 3

11 5 2

Recta L :

27 3 3

f m

y x

⎛ ⎞− = − + − = + =

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − + = =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

RÚBRICA

30% Derivación correcta

60% Punto de inflexión y pendiente 10% Ecuación correcta

(4)

Dadas las curvas en coordenadas polares r12 =sen( )2θ y r2 = 2sen( )θ : a) Bosqueje la gráfica de las curvas.

b) Determine sus puntos de intersección.

c) Las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva r2 en los puntos de intersección.

SOLUCIÓN a)

RÚBRICA: Bosquejo correcto – 4 puntos b)

RÚBRICA: Puntos de intersección Æ Álgebra correcta – 4 puntos Æ Resultado correcto – 1 punto c)

RÚBRICA: Puntos de intersección Æ Derivada correcta – 4 puntos Æ Rectas tangentes – 2 puntos

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ( ) ( ))

( ) ( ) ( )

( )

2

2 2 2

1

2

1 2

2 2

2 cos 2 0

2 cos 0

0 cos

0 4 De acuerdo a la gráfica: 0, 0 y 1,

4

r r sen sen

sen sen

sen sen

sen sen

P P

θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ π

π

= =

=

=

= =

= =

( ) ( ) ( ) ( )

2 ( )

2

2 cos 2 2

2 2

2 2

x sen sen

r sen

y sen

dy dy d dx dx

d

θ θ θ

θ

θ

θ θ

= =

= ⇒ ⎨

⎪ =

= = (2 ( ) ( )cos )

2

sen θ θ

2 cos 2( )θ ( )2

( )( ) ( )

1

2

2 tan 2 cos 2

En , 0 Recta : 0

En , no existe, la recta es vertical Recta : 2

t 2

sen

P dy L y

dx

P dy m L x

dx

θ θ

= θ =

= =

= =

θ=π/4

(5)

Sea ( )

2, 2

, 2 2

6, 2 cx x

f x ax b x

dx x

≤ −

= + − < <

⎪ −

, determine los valores de a, b, c y d para que:

a) f sea continua en todo su dominio.

b) f sea derivable en todo su dominio.

SOLUCIÓN

a) Para que f sea continua en x = –2

2 ( )

lim 2 4 2 4

4 2 )

x

ax b f c b a c

b c a i

→− + + = − = =

= +

Para que f sea continua en x = 2

( )

2

lim 2 6 2 2 6

2 6 2 4 2 3 2 2 )

x ax b d a b d

d a c a

d a c ii

+ = + =

= + + +

= + +

Por lo tanto, el conjunto solución para los valores a, b, c, d es:

4 2

3 2 2 ; , a

b b c a

c d c a a c d

⎛ ⎞

⎜ ⎟ = +

⎜ ⎟

⎜ ⎟ = + +

⎜ ⎟

⎝ ⎠

\

y existen infinitas soluciones.

Se puede particularizar para a=c=1 ⇒ b=6 ∧ d=7.

b) Si además debe ser derivable en x = –2 y en x = 2, tenemos:

2 2

2 lim 2 lim 4 )

x x

x cx +a c a iii

→− →−

= − = ⇒ − =

2 2

2 lim lim )

x x

x a +d a d iv

= = =

Reemplazando iii) y iv) en ii)

( ) 3

4 3 2 4 2

2

6

c c c c

a b d

− = + − + =

= = = −

La regla de correspondencia sería:

(6)

( ) 2

6 6, 2 f x

x x

= ⎨

⎪− − > −

RÚBRICA

a) 30% Ecuaciones correctas de límites

20% Determinación correcta de valores de a, b, c, d

b) 30% Ecuaciones correctas de límites

20% Determinación correcta de valores de a, b, c, d

(7)

Determine la ecuación de la recta tangente a f x( )= ⎣g x( )3 h x( )2 en x=1, conociendo que: g(1)= 1, g’(1)= –2, h(1) = 1, h’(1) = 2.

SOLUCIÓN

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ))

( )( ) ( )( ) ( ( )) ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ( )) ( ( )) ( ) ( )( )( )

( )

( )( ) ( )( ) ( ( )) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

2

2

3 1 1

3

2 3

2 3 2

2 3

3

2 3 2

2 3

3

1 1 1 1

Por lo tanto, la ecuación de la recta es:

: 1 ' 1 1

Si

ln ln

' 3

' ' 2 ln

1 ' 1 3 1 ' 1 ' 1 2 1 ln 1

1 1

' 1 1 ' 1 3

' 1 2 ln 1

1 1

' 1 2 2 0 1

h

h x

f g

L y f x

f x g x

f x h x g x

h x g x x

f x

h x x g x

f x g x

h g

f h g

f g

f h g

h g

f g

f

= = =

− =

= ⎣

=

= +

= +

= +

= + ( )( )

( )

2 3 6

1

: 1 6 1

6 7

L y x

y x

= −

− = −

= − +

RÚBRICA

60% Derivación correcta

30% Determinación de puntos y pendientes 10% Determinación de ecuación de la recta

(8)

Bosqueje la gráfica de una función de variable real f que cumpla las siguientes condiciones:

a) dom f 1,1= − −\ { }

b) En (−∞ − ∪ −, 1) ( 1, 0) ( ) ( 0,1 ∪ +∞1, ), la función f es continua y f '( )x <0

c) f ''( )x <0 en (−∞ − ∪, 1) ( )0,1

d) f ''( )x >0 en (1, 0) (∪ +∞1, )

e) ∀ > ∃ >ε 0 N 0,x>N f x( )− <1 ε

f) ∀ > ∃ >ε 0 N 0,x< − ⇒N f x( ) <ε

g) ∀ > ∃ >M 0 δ 0, 0< − < ⇒x 1 δ f x( )>M

h) ∀ > ∃ >M 0 δ 0, 0 1< − < ⇒x δ f x( )< −M

i) ∀ > ∃ >ε 0 δ 0, 0< < ⇒x δ f x( )+ <1 ε

j) ∀ > ∃ >ε 0 δ 0, 0< − < ⇒x δ f x( )− <1 ε

k) ∀ > ∃ >M 0 δ 0, 0< + < ⇒x 1 δ f x( )>M

l) ∀ > ∃ >M 0 δ 0, 0< − − < ⇒x 1 δ f x( )< −M

m) f ( )0 =0

SOLUCIÓN

b) f es decreciente siempre c) f es cóncava hacia abajo

d) f es cóncava hacia arriba

e) lim ( ) 1 1 Asíntota horizontal

x f x y

→+∞ = ⇔ =

f) lim ( ) 0 0 Asíntota horizontal

x f x y

→−∞ = ⇔ =

g) ( )

1

lim 1 Asíntota vertical

x + f x x

= +∞ ⇔ =

h) ( )

1

lim 1 Asíntota vertical

x

f x x

= −∞ ⇔ =

i) ( )

0

lim 1

x + f x

= −

j) ( )

0

lim 1

x

f x

=

k) ( )

1

lim 1 Asíntota vertical

x + f x x

→− = +∞ ⇔ = −

l) ( )

1

lim 1 Asíntota vertical

x

f x x

→− = −∞ ⇔ = −

RÚBRICA

50% Traducción correcta de los datos

50% Síntesis correcta para bosquejo consistente con los datos

Figure

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