AG - Àlgebra i Geometria

Texto completo

(1)

Competències de la titulació a les quals contribueix l'assignatura Altres: Definit a la infoweb de l'assignatura.

Responsable: Definit a la infoweb de l'assignatura. Unitat que imparteix:

Curs:

Crèdits ECTS:

749 - MAT - Departament de Matemàtiques 2018

GRAU EN ENGINYERIA DE SISTEMES AEROESPACIALS (Pla 2015). (Unitat docent Obligatòria) GRAU EN ENGINYERIA DE SISTEMES AEROESPACIALS/GRAU EN ENGINYERIA DE SISTEMES DE TELECOMUNICACIÓ - ENGINYERIA TELEMÀTICA (AGRUPACIÓ DE SIMULTANEÏTAT) (Pla 2015). (Unitat docent Obligatòria)

GRAU EN ENGINYERIA DE SISTEMES AEROESPACIALS/GRAU EN ENGINYERIA DE SISTEMES DE TELECOMUNICACIÓ (Pla 2015). (Unitat docent Obligatòria)

GRAU EN ENGINYERIA DE SISTEMES AEROESPACIALS/GRAU EN ENGINYERIA TELEMÀTICA (Pla 2015). (Unitat docent Obligatòria)

6 Idiomes docència: Català, Castellà

Unitat responsable: 300 - EETAC - Escola d'Enginyeria de Telecomunicació i Aeroespacial de Castelldefels

Titulació:

Professorat

Específiques:

Transversals:

1. CE 1 AERO. Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmica numérica; estadística y optimización. (CIN/308/2009, BOE 18.2.2009)

2. APRENENTATGE AUTÒNOM - Nivell 1: Dur a terme les tasques encomanades en el temps previst, tot treballant amb les fonts d'informació indicades, d'acord amb les pautes marcades pel professorat.

3. TREBALL EN EQUIP - Nivell 1: Participar en el treball en equip i col·laborar-hi, un cop identificats els objectius i les responsabilitats col·lectives i individuals, i decidir conjuntament l'estratègia que s'ha de seguir.

Capacitats prèvies

Les matemàtiques de l'ensenyament secundari post obligatori. Capacitat d'abstracció.

Coneixement del concepte de funció i de representació gràfica d'una funció.

Destresa en càlculs aritmètics, simplificacions en expressions algebraiques i càlcul amb funcions elementals d'una variable.

Horari: Disponible a infoweb de l'EETAC Horari d'atenció

(2)

Universitat Politècnica de Catalunya 2 / 9

En acabar l'assignatura Àlgebra i Geometria, l'estudiant/a ha de ser capaç de:

- Operar amb nombres complexos en forma binòmica i exponencial (Fórmula d'Euler). Aplicar el teorema fonamental de l'àlgebra al càlcul d'arrels d'un polinomi.

- Solucionar sistemes d'equacions lineals. - Operar amb matrius.

- Enumerar i aplicar les propietats dels espais vectorials.

- Caracteritzar les aplicacions lineals, aplicar canvis de base i calcular la diagonalització de matrius. - Operar amb el producte escalar i manipular bases. Ortonormalitzar.

- Explicar el significat geomètric i resoldre les equacions diferencials de primer ordre més usuals, les equacions diferencials lineals d'ordre n i els sistemes d'equacions diferencials lineals de primer ordre amb coeficients constants. Trobar solucions particulars.

- Definir la transformació de Laplace i les seves principals propietats.

Calcular la transformada de Laplace de funcions habituals i la transformada inversa de funcions racionals per descomposició en fraccions simples i utilitzant el teorema de convolució.

- Aplicar la transformada de Laplace al problema de valor inicial. Resoldre problemes de valor inicial amb funcions generalitzades (delta de Dirac) i amb funcions contínues a trossos.

Objectius d'aprenentatge de l'assignatura

Dedicació total: 150h Hores grup gran: Hores grup mitjà:

Hores activitats dirigides: Hores aprenentatge autònom:

39h 12h 15h 84h 26.00% 8.00% 10.00% 56.00% Hores totals de dedicació de l'estudiantat

A les sessions de teoria es treballen els conceptes teòrics i es resolen problemes il·lustratius. Aquestes sessions combinen el model expositiu amb el participatiu (aprenentatge cooperatiu). Hi ha dues sessions de teoria de 1,5 hores a la setmana. A les classes de problemes es prioritza la resolució de problemes per part dels estudiants, amb una atenció més

personalitzada de les dificultats per part del professorat. Hi ha una hora de problemes a la setmana, en què es resolen problemes de la llista.

Les activitats dirigides poden incloure la preparació de material previ de manera autònoma per a la setmana següent, pot ser una activitat que impliqui l'ús de programari informàtic (Wiris, GeoGebra, Excel, SAGE, etc) o una sessió de realització de problemes, individualment o en grup.

Es dóna feedback freqüent i personalitzat a cada alumne, mitjançant les correccions i comentaris dels treballs, controls i exàmens i la publicació de qualificacions al Campus Digital.

D'altra banda, es fa un seguiment dels grups de treball (control d'assistència funcionament, resolució de conflictes i eventual reassignació de grups).

(3)

Continguts

Nombres complexos

Sistemes d'equacions lineals, matrius i

determinants

Dedicació: 12h 30m Dedicació: 34h 15m Grup gran/Teoria: 3h 30m Grup mitjà/Pràctiques: 1h Grup petit/Laboratori: 0h Activitats dirigides: 1h Aprenentatge autònom: 7h Grup gran/Teoria: 8h 15m Grup mitjà/Pràctiques: 2h Grup petit/Laboratori: 0h Activitats dirigides: 3h Aprenentatge autònom: 21h

1.1 Forma binòmica, polar i exponencial. Operacions: suma, producte, quocient, potències, arrels n-èsimes. 1.2 Teorema fonamental de l'àlgebra i descomposició de polinomis.

2.1 Matrius. Operacions amb matrius. Matriu inversa. Rang. Mètode de Gauss. 2.2 Determinants.

2.3 Sistemes d'equacions lineals. Discussió i resolució de sistemes. Mètode de Cramer. Principi de superposició. 2.4 Espais i subespais vectorials. Subespai generat per un conjunt: combinació lineal. Dependència i

independència lineal. Sistemes de generadors.

2.5 Bases. Dimensió. Coordenades d'un vector en una base. Canvi de base. 2.6 Operacions amb subespais: suma directa.

Descripció: Descripció: Activitats vinculades: Activitats vinculades: Control 1, AD T1 Control 1, ADs T2.

(4)

Universitat Politècnica de Catalunya 4 / 9

Operadors lineals. Diagonalització.

Equacions diferencials

Dedicació: 36h 15m Dedicació: 24h 20m Grup gran/Teoria: 8h 15m Grup mitjà/Pràctiques: 3h Grup petit/Laboratori: 0h Activitats dirigides: 4h Aprenentatge autònom: 21h Grup gran/Teoria: 6h 20m Grup mitjà/Pràctiques: 2h Grup petit/Laboratori: 0h Activitats dirigides: 2h Aprenentatge autònom: 14h

3.1 Definicions i propietats. Nucli i imatge. Matriu associada a una aplicació lineal. Canvi de base en aplicacions lineals.

3.2 Endomorfismes i matrius diagonalitzables. Vectors i valors propis. Polinomi característic. 3.3 Diagonalització. Primer teorema de descomposició.

4.1 Equacions diferencials de primer ordre. Definició. Resolució d'equacions de variables separables, lineals i homogènies. Equacions diferencials exactes.

4.2 Equacions diferencials lineals d'ordre superior a coeficients constants. Mètode d'assaig per obtenir una solució particular per al cas no homogeni.

Descripció: Descripció: Activitats vinculades: Activitats vinculades: ADs T3. Control 2, ADs T4.

(5)

Transformada de Laplace

Dedicació: 42h 40m Grup gran/Teoria: 12h 40m Grup mitjà/Pràctiques: 4h Grup petit/Laboratori: 0h Activitats dirigides: 5h Aprenentatge autònom: 21h

5.1 Transformada de Laplace. Definició. Propietats. Antitransformada de funcions racionals. Aplicació a la resolució de problemes de valor inicial. Funció de Heaviside. Transformada de Laplace de funcions definides a trossos. Funcions generalitzades, delta de Dirac. Resposta impulsiva i funció de transferència. Teorema de Convolució.

5.2 Sistemes d'equacions diferencials lineals amb coeficients constants. Resolució per substitució. Sistemes homogenis i no homogenis. Aplicació de la Transformada de Laplace.

Descripció:

Activitats vinculades: Control 2, ADs T5

(6)

Universitat Politècnica de Catalunya 6 / 9

Planificació d'activitats

CONTROL 1

CONTROL 2

ACTIVITAT DIRIGIDA TEMA 1

Descripció:

Descripció:

Descripció:

Control al final del tema 2

Control a principis del tema 5

En la sessió d?AD es treballaran exercis sobre complexos, forma binòmica i exponencial, que els estudiants hauran resolt prèviament a casa. S?exposaran alguns problemas a la pissarra per part de professorat i/o alumnes. Es discutirà de manera col·lectiva els mètodes emprats i els resultats obtinguts.

Material de suport:

Els apunts individuals i la llista de problemas de l?assignatura. Descripció del lliurament esperat i vincles amb l'avaluació:

Descripció del lliurament esperat i vincles amb l'avaluació:

Descripció del lliurament esperat i vincles amb l'avaluació: Lliurable: Control resolt

Pes a la nota final: 15%

Lliurable: Control resolt Pes a la nota final: 15%

Lliurable voluntari amb l'informe sobre l'activitat. Objectius específics:

Objectius específics:

Avaluar l'assimilació dels temes 1 i 2 per part de l'alumne

Avaluar l'assimilació del tema 4 per part de l'alumne i primeres propietats del Tema 5. Grup gran/Teoria: 0h 45m Grup mitjà/Pràctiques: 0h Grup petit/Laboratori: 0h Activitats dirigides: 0h Aprenentatge autònom: 10h Grup gran/Teoria: 0h 45m Grup mitjà/Pràctiques: 0h Grup petit/Laboratori: 0h Activitats dirigides: 0h Aprenentatge autònom: 10h Grup gran/Teoria: 0h Grup mitjà/Pràctiques: 0h Grup petit/Laboratori: 0h Activitats dirigides: 1h Aprenentatge autònom: 2h Dedicació: 10h 45m Dedicació: 10h 45m Dedicació: 3h

(7)

ACTIVITATS DIRIGIDES TEMA 2

ACTIVITAT DIRIGIDA TEMA 3

Descripció:

Descripció:

Mètodes de resolució relacionats amb àlgebra lineal. Resolució de sistemes d'equacions mitjançant el mètode de Gauss, amb la corresponent programació del mètode. Programació a ordinador de resolució de determinants. Aplicacions: Resolució de programes lineals amb dues variables. Les activitats es realitzaran per grups, però també hi haurà un qüestionari individual.

Els alumnes han de resoldre alguns exercicis bàsics i problemes més elaborats sobre els contiguts d'aplicacions lineals i diagonalització. En alguns casos ho faran individualment i en d'altres per grups. Els problemes seran comentats a l'aula.

Material de suport:

Material de suport:

Els apunts individuals de l?assignatura i altre material que estará disponible a Atenea.

Els apunts individuals de l?assignatura.

Descripció del lliurament esperat i vincles amb l'avaluació: Lliurable: l'informe dels treballs realitzats a cada AD.

Objectius específics:

Objectius específics:

En acabar aquesta activitat l'estudiant ha de ser capaç d'operar amb nombres complexos en forma binòmica i exponencial, i calcular arrels.

Desenvolupar la capacitat de resolución de problemas. Adquirir de manera autónoma els coneixemnets que manquin per poder resoldre fora de l?aula els problemas de la col·lecció. Desenvolupar la capacitat de comunicar-se oralment de manera clara i eficaç.

Assolir una certa soltes en l'aplicació dels mètodes informàtics a la resolució dels problemes habituals en àlgebra lineal, en particular el mètode de Gauss per als sistemes d'equacions. Es pretén aprofitar la potència de

computació per resoldre problemes d'àlgebra lineal no susceptibles de ser resolts manualment (sistemes amb moltes equacions i incògnites, sistemes amb nombres feixucs).

Introdució a la programació lineal en dues variables.

Grup gran/Teoria: 0h Grup mitjà/Pràctiques: 0h Grup petit/Laboratori: 0h Activitats dirigides: 4h Aprenentatge autònom: 4h Grup gran/Teoria: 0h Grup mitjà/Pràctiques: 0h Grup petit/Laboratori: 0h Activitats dirigides: 4h Aprenentatge autònom: 2h Dedicació: 8h Dedicació: 6h

(8)

Universitat Politècnica de Catalunya 8 / 9

ACTIVITAT DIRIGIDA TEMA 4

ACTIVITATS DIRIGIDES TEMA 5

Descripció:

Descripció:

Introduir un mètode numèric per a la resolució d'un problema matemàtic (mètodes d'Euler de solució d'equacions diferencials). Activitat realitzada en grups i individualment, on els alumnes responen a un qüestionari on

s'especifica un problema que requereix l'ordinador per ser resolt.

Els alumnes han de resoldre alguns exercicis bàsics i problemes més elaborats sobre la transformada de Laplace. En alguns casos ho faran individualment i en d'altres per grups. Els problemes seran comentats a l'aula.

Material de suport:

Material de suport:

Material de l'activitat que serà disponible a Atenea

Els apunts individuals de l?assignatura i altres materials disponibles a Atenea. Descripció del lliurament esperat i vincles amb l'avaluació:

Descripció del lliurament esperat i vincles amb l'avaluació:

Descripció del lliurament esperat i vincles amb l'avaluació: Entregable voluntari amb informe del treball realitzat.

Lliurable: l'informe dels treballs realitzats a l'AD.

Entregable voluntari amb informe del treball realitzat. Objectius específics:

Objectius específics:

En acabar aquesta activitat l'estudiant ha de ser capaç de treballar amb aplicacions lineals i especialement, amb endomorfismes.

Desenvolupar la capacitat de resolución de problemas. Adquirir de manera autónoma els coneixemnets que manquin per poder resoldre fora de l?aula els problemas de la col·lecció. Fomentar la comunicació eficaç oral i, sobretot, escrita, amb especial atenció al llenguatge matemàtic.

Aprofundir en els mètodes numèrics, programant un mètode per resoldre una EDO. Igualment, això ajuda a assimilar el concepte d'equació diferencial, aprofundint en la seva resolució, tant l'exacta com l'aproximada.

Grup gran/Teoria: 0h Grup mitjà/Pràctiques: 0h Grup petit/Laboratori: 0h Activitats dirigides: 2h Aprenentatge autònom: 2h Grup gran/Teoria: 0h Grup mitjà/Pràctiques: 0h Grup petit/Laboratori: 0h Activitats dirigides: 5h Aprenentatge autònom: 4h Dedicació: 4h Dedicació: 9h

(9)

S'aplicaran els criteris d'avaluació definits a la infoweb de l'assignatura. Sistema de qualificació

Normes de realització de les activitats

1) Els dos exàmens es realitzaran durant les èpoques previstes a l'escola, amb la duració habitual d'una hora i mitja, i els alumnes individualment sense cap mena d'ajut.

2) Els dos controls tindran una duració aproximada de 45 minuts durant una classe de teoria, i cada alumne la farà de manera individualitzada a classe. Serveixen com una mena de conclusió pels temes 2 i 4, atès que el final del tema 3 s'escau aproximadament al voltant de l'examen de mig quadrimestre.

3) Les activitats dirigides seran realitzades de forma individual o en grups de 2 a 3 alumnes. Bibliografia

Material disponible al Campus Digital (Atenea): - Llistes de problemes

- Apunts de l'assignatura

- Qüestionaris per a les activitats dirigides Altres recursos:

Objectius específics:

Calcular transformades inverses de Laplace de funcions racionals amb denominador amb arrels complexes simples mitjançant l'aplicació de la descomposició en fraccions simples. Comparar els tres mètodes segons el tipus de descomposició i l'expressió de la funció resultant.

Transformar funcions definides a trossos utilitzant la funció de Heaviside. Calcular transformades inverses de funcions que són producte de F(s) per una exponencial e^{-as}. Resoldre problemes de valor inicial on es presenten les situacions anteriors.

Bàsica:

Complementària:

Braun, Martin. Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. México, D.F.: Grupo Editorial Iberoamérica, 1990. ISBN 9687270586.

Spiegel, Murray R. Transformadas de Laplace. Mexico [etc.]: McGraw-Hill, 1991. ISBN 9684228813.

Lay, David C.; Murrieta Murrieta, Jesús Elmer; Alfaro Pastor, Javier. Álgebra lineal y sus aplicaciones. 3a. México [etc.]: Pearson Educación, 2007. ISBN 9702609062.

Pelayo Melero, Ignacio M.; Rubio Montaner, Francisco. Álgebra lineal básica para ingeniería civil. Barcelona: Edicions UPC, 2008. ISBN 9788483019610.

Anton, Howard; Rorres, Chris. Elementary linear algebra with supplemental applications : international student version. 10th. Hoboken, New Jersey: Wiley, 2011. ISBN 9780470561577.

Williams, Gareth; Hano Roa, Ma. del Carmen. Álgebra lineal con aplicaciones. 4a ed. México [etc.]: McGraw-Hill, cop. 2002. ISBN 970103838X.

Marcellán, Francisco; Casasus, Luis; Zarzo, Alejandro. Ecuaciones diferenciales : problemas lineales y aplicaciones. Madrid, [etc.]: McGraw-Hill, 1990. ISBN 8476155115.

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :