El operador adjunto (en espacios de Hilbert)

El operador adjunto (en espacios de Hilbert)

Objetivos. Definir el operador adjunto de un operador lineal acotado que act´ua en un espacio de Hilbert.

Prerrequisitos. La correspondencia entre los operadores lineales acotados y las formas sesquilineales acotadas.

En este tema suponemos que H es un espacio vectorial complejo. Ya sabemos cada ope- rador S de clase B(H) induce una forma sesqulineal acotada mediante la regla

f_S(x, y) := hSx, yi.

Esta correspondencia entre B(H) y S(H) es un isomorfismo isom´etrico de espacios nor- mados.

1 Ejercicio. Recordar una demostraci´on de la igualdad H^⊥ = {0_H}.

2 Lema. Sean u, v ∈ H. Entonces las siguientes tres condiciones son equivalentes entre si.

(a) u = v;

(b) hu, wi = hv, wi para cada w en H;

(c) hw, ui = hw, vi para cada w en H.

Demostraci´on. Ejercicio.

3 Teorema (sobre la existencia y unicidad del operador adjunto). Sea S ∈ B(H). En- tonces existe un ´unico T ∈ B(H) tal que para cada x, y en H

hSx, yi = hx, T yi. (1)

M´as a´un, kT k = kSk.

Demostraci´on de la unicidad. Supongamos que T, U ∈ B(H) y para cada x, y en H hSx, yi = hx, T yi, hSx, yi = hx, U yi.

Entonces, por el Lema 2, para cada y en H obtenemos que T y = U y.

Primera demostraci´on de la existencia. Sea Ω : B(H) → S(H) la correspondencia natural entre los operadores lineales acotadas y las formas sesquilineales acotadas:

Ω(A)(x, y) := hAx, yi.

Sabemos que la funci´on Ω es un isomorfismo isom´etrico de espacios normados. Para cada g en S(H), definimos g^∗ mediante la regla

g^∗(x, y) := g(y, x).

Sabemos que g^∗ ∈ S(H) y kg^∗k = kgk. Definimos A^∗ mediante la siguiente regla:

A^∗ = Ω⁻¹(Ω(A)^∗).

Entonces A^∗ ∈ B(H) y kA^∗k = kAk. Adem´as,

hx, A^∗yi =hA^∗y, xi = Ω(A)^∗(y, x) = Ω(A)(x, y) = hAx, yi.

Segunda demostraci´on de la existencia. Denotamos por f_S^∗ la forma sesqulineal adjunta de f_S:

f_S^∗(y, x) := f_S(x, y) = hSx, yi = hy, Sxi.

Sabemos que existe un ´unico operador lineal acotado T ∈ B(H) tal que f_T = f_S^∗, esto es, hT y, xi = f_T(y, x) = f_S^∗(y, x) = hy, Sxi.

esto es, hSx, yi = hx, T yi. Adem´as, sabemos que kT k = kf_Tk y kf_S^∗k = kf_Sk, as´ı que kT k = kf_Tk = kf_S^∗k = kf_Sk = kSk.

4 Ejercicio. Escribir una demostraci´on m´as larga del Teorema3, sin usar la informaci´on sobre las formas sesquilineales acotadas y bas´andose solamente en el teorema de Riesz–

Fr´echet sobre la representaci´on de los funcionales lineales acotados.

5 Proposici´on (la propiedad involutiva de la operaci´on ∗). Sea S ∈ B(H). Entonces (S^∗)^∗ = S.

Primera demostraci´on. Para cada x, y en H, por la definici´on de S^∗ y (S^∗)^∗, hSx, yi = hx, S^∗yi = hS^∗y, xi = hy, (S^∗)^∗xi = h(S^∗)^∗x, yi.

Por el Lema 2, (S^∗)^∗ = S.

Segunda demostraci´on. Para cada x, y en H,

hS^∗x, yi = hy, S^∗xi = hSy, xi = hx, Syi.

Esto significa que el operador S hace el papel que debe de hacer el operador (S^∗)^∗. Por la unicidad del operador adjunto, concluimos que (S^∗)^∗ = S.

Las siguientes proposiciones se pueden demostrar con ayuda de las mismas ideas, por eso sus demostraciones se dejan como ejercicios.

6 Proposici´on (propiedad aditiva de la operaci´on ∗). Sean S₁, S₂ ∈ B(H). Entonces (S₁+ S₂)^∗ = S₁^∗+ S₂^∗.

7 Proposici´on (propiedad conjugada homog´enea de la operaci´on ∗). Sean S ∈ B(H), λ ∈ C. Entonces

(λS)^∗ = λS^∗.

8 Proposici´on (el operador adjunto del producto de dos operadores lineales acotados).

Sean S₁, S₂ ∈ B(H). Entonces

(S1S2)^∗ = S₂^∗S₁^∗.

9 Proposici´on (sobre la norma del producto S^∗S). Sea S ∈ B(H). Entonces kS^∗Sk = kSS^∗k = kSk².

Demostraci´on. Por un lado, kS^∗Sk ≤ kS^∗k kSk = kSk². Por otro lado, para cada x en H, kSxk² = hSx, Sxi = hS^∗Sx, xi = |hS^∗Sx, xi| ≤ kS^∗Sk kxk².

De aqu´ı se sigue que kSk ≤pkS^∗Sk. Hemos demostrado que kS^∗Sk = kSk². Sustituyendo S^∗ en lugar de S obtenemos la igualdad kSS^∗k = kSk².

10 Proposici´on (el complemento ortogonal de la imagen y el n´ucleo del operador adjun- to). Sea S ∈ B(H). Entonces

im(S)^⊥ = ker(S^∗).

Demostraci´on. Sea y ∈ H. Entonces

y ∈ im(S)^⊥ ⇐⇒ ∀z ∈ im(S) y ⊥ z

⇐⇒ ∀x ∈ H hy, Sxi = 0

⇐⇒ ∀x ∈ H hS^∗y, xi = 0

⇐⇒ S^∗y = 0_H

⇐⇒ y ∈ ker(S^∗).

11 Corolario. Sea S ∈ B(H). Entonces

cl(im(S)) = ker(S^∗)^⊥.

12 Ejercicio. Sea A ∈ M_n(C) y sea TA el operador lineal en (Cⁿ, k · k₂) asociado a la matriz A:

T_Ax := Ax.

Demostrar que T_A^∗ = T_A^∗, donde A^∗ la matriz adjunta de A, es decir, la matriz transpuesta conjugada de A.

13 Ejercicio. Denotamos por R y L los operadores de desplazamiento en el espacio `²(N).

Demostrar que R^∗ = L.

14 Ejercicio. Sea a ∈ `<sup>∞</sup>(N). Denotamos por Ma el operador de multiplicaci´on por a que act´ua en `²(N) mediante la regla

(M_ax) := x a = a_kx_k

k∈N. Demostrar que M_a^∗ = M_a.

15 Ejercicio. Sea (X, F , µ) un espacio de medida σ-finita y sea a ∈ L^∞(X, µ). Denotamos por M_a el operador de multiplicaci´on por a:

M_af = a f.

Encontrar M_a^∗.

16 Ejercicio. Sea (X, F , µ) un espacio de medida σ-finita y sea K ∈ M(X × X, F × F , µ × µ) tal que el operador integral

(S_Kf )(x) :=

Z

X

K(x, y)f (y) dµ(y) est´a bien definido y acotado. Encontrar S^∗.

17 Ejercicio. Generalizar el Teorema 3a la situaci´on, cuando S ∈ B(H₁, H₂), donde H₁ y H2 son espacios de Hilbert.