Tema 9. Los poliedros y las figuras de revoluci´ on.
Vol´ umenes
Matem´aticas y su did´actica II
Grado en Maestro en Educaci´on Primaria
2017-2018
Figuras poli´ edricas
¿Qu´e es un poliedro?
Elementos:
Caras (C) Aristas (A) V´ertices (V) Diagonales (D)
F´ormula de Euler En todos los poliedros convexos se cumple:
C + V = A + 2
Poliedros regulares
¿Qu´e es un poliedro regular?
Deben cumplir:
a. Todas las caras son iguales.
b. Los ´angulos de las caras que concurren en un v´ertice han de sumar menos de 360o.
Existen cinco poliedros regulares: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo y dodecaedro. Son llamados s´olidos plat´onicos.
Prismas (I)
¿Qu´e es un prisma?
Tipos de prismas:
Rectos Oblicuos Regulares
Elementos de un prisma:
Altura
N´umero de caras, v´ertices y aristas que pueden tener los prismas:
C 5 6 7 8 . . .
V 6 8 10 12 . . . A 9 12 15 18 . . .
Prismas (II)
Area lateral de un prisma´
AL= P · h donde P es el per´ımetro de la base.
Area total de un prisma recto´
AT = P · h + 2AB donde AB es el ´area de la base.
Volumen de un prisma
V = AB˙h donde AB es el ´area de la base y h la altura.
Paralelep´ıpedos
¿Qu´e es un paralelep´ıpedo?
Propiedades:
Las diagonales de un paralelep´ıpedos se cortan en su punto medio.
En el ortoedro y en el cubo, todas las diagonales son iguales. Adem´as, d =√
a2+ b2+ c2. En el caso del cubo, la diagonal vale d = a√ 3.
Pir´ amides (I)
¿Qu´e es una pir´amide?
Elementos de una pir´amide:
Altura Pir´amide regular
N´umero de caras, v´ertices y aristas que pueden tener las pir´amides:
C 4 5 6 7 . . . V 4 5 6 7 . . . A 6 8 10 12 . . .
Pir´ amides (II)
Areas de una pir´´ amide recta y de base regular AL= 1
2 · P · a AT = AL+ P · a0 2 = 1
2· P · (a + a0)
donde P es el per´ımetro de la base, a la apotema de la pir´amide, y a0 la apotema del pol´ıgono de la base.
Volumen de una pir´amide
V = 1
3 · AB · h
donde AB es el ´area de la base y h la altura de la pir´amide.
Figuras de revoluci´ on
¿Qu´e es una figura de revoluci´on?
S´olidos de revoluci´on m´as conocidos:
Cilindro Cono Esfera
¿Qu´e es la generatriz de una figura de revoluci´on?
El cilindro
¿Qu´e es un cilindro?
Tipos de cilindros:
Cilindro recto Cilindro oblicuo
Desarrollo de un cilindro recto
Areas y volumen de un cilindro recto:´
AL= 2πrh AT = 2πrh + 2πr2 V = AB · h = πr2h donde r es el radio del c´ırculo y h la altura del rect´angulo.
El cono
¿Qu´e es un cono?
Tipos de conos:
Cono recto Cono oblicuo
Desarrollo de un cono recto
Areas y volumen de un cono recto:´
AL = πrg AT = πrg + πr2 V = 1 3πr2h
donde r es el radio del c´ırculo, g es el radio del sector circular, y h la altura del cono.
La esfera
¿Qu´e es una esfera?
Elementos de una esfera:
Centro Radio
Volumen y superficie de una esfera:
V = 4
3πR3 S = 4πR2 donde R es el radio de la esfera.
Tema 9. Los poliedros y las figuras de revoluci´ on.
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