BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

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(1)

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

¿Verdad que a lo largo de tu vida vas a conocer una cantidad indefinida de personas?

Ahora bien, coincidirás conmigo que, de todas ellas, una llegará a ser muy especial,

¿correcto?

Algo así ocurre con el ángulo. De todos los rayos que se pueden trazar por su vértice (cantidad indefinida de rayos) solo uno será muy especial: “Aquel que lo divida en dos ángulos congruentes (iguales)” A ese rayo especial, queridos alumnos, se le llama bisectriz.

Construcción de la Bisectriz mediante la regla y el compás.

Método # 1

Paso # 1 : Dibuja el ángulo al que deseas trazar su bisectriz.

 Paso # 2 : Tomando como centro el vértice del ángulo utiliza tu compás para hacer un arco de radio

arbitrario que

intersecte a los lados del ángulo.

 Paso # 3 : tomando como centros los puntos de intersección

obtenidos, utiliza nuevamente tu compás para hacer dos circunferencias congruentes (mismo radio), con la condición de que se intersecten.

La bisectriz es el rayo que biseca al ángulo

O

M A

B





OM : Bisectriz del ∢AOB

O

centro O

centro O

(2)

 Paso # 4 : Ahora, traza el segmento que une el vértice del ángulo con los puntos de intersección de las circunferencias. Dicho trazo será la bisectriz

del ángulo

considerado.

Método # 2

Paso # 1 : Dibuja el ángulo al que deseas trazar su bisectriz.

Paso # 2 : Tomando como centro el vértice del ángulo, utiliza tu compás para trazar dos arcos de radios arbitrarios que intersecten a los lados del ángulo.

Paso # 3 : Los puntos de intersección obtenidos únelos dos a dos en aspa y marca el punto donde se intersectan.

Paso #4 : Traza el rayo que une el vértice del ángulo con este último punto de intersección. Dicho trazo será la bisectriz

del ángulo

considerado.

Queridos alumnos, prescindiendo del método que utilicemos para trazar la bisectriz de un ángulo, siempre podemos verificar la calidad de nuestro trabajo mediante el uso del transportador.

Desde hace quinientos años antes de Jesucristo, muchos geómetras han pasado gran parte del tiempo en buscar una manera de combinar rectas y circunferencias para trisecar al

O  Bisectriz



O

O

O

O  Bisectriz



(3)

ángulo, es decir, dividirlo en tres ángulos congruentes.

La verdad, cuesta creer que no se pueda trisecar el ángulo utilizando reglas y compás. Y es que si bisecarlo fue muy sencillo ¿por qué ha de ser imposible trisecarlo?. Amiguitos, la verdad a veces es dura y cruel: “No hay un método general que permita trisecar a cualquier ángulo con solo regla no graduada y compás”.

Fue P.L. Wantzel quien en 1837 publicó por primera vez en una revista matemática, la prueba completamente rigurosa de la imposibilidad de trisecar un ángulo

1. Indicar verdadero (V) o falso (F) donde corresponda.

La bisectriz de un ángulo recto formará dos ángulos de 55º. (

)

El transportador es el instrumento que nos permite medir los ángulos.

( )

Se puede trisecar el ángulo mediante el transportador.

a) VVV b) FVF c)

FFF

d) VVF e) FVV

2. Complete de manera adecuada:

La bisectriz es

________________ que

_____________ el ángulo.

La bisectriz de un ángulo _____________ determinará dos ______________ rectos.

Es ____________________

bisecar al ángulo con solo regla y compás.

3. Relacione de manera adecuada ambas columnas.

a) Bisecar ( ) Instrumento que

hace arcos.

b) Compás ( ) Dividir en tres partes

iguales.

c) Transportador ( ) Instrumento que

mide los ángulos.

d) Trisecar ( ) Dividir en dos partes

iguales.

4. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

Si divido al ángulo en dos partes entonces lo he bisecado. (

)

Si divido al ángulo en tres partes entonces lo he trisecado. (

)

Es imprescindible el transportador para bisecar al ángulo (

)

a) FFF b) VVF c)

VVV

d) FVV e) VFF

5. En el gráfico OM es la bisectriz del

∢AOB. Calcular “x”

a) 10º b) 20º c) 30º d) 25º e) 15º

6. En el gráfico OR es la bisectriz del

∢MON. Calcular “”.

a) 5º b) 10º c) 15º d) 20º e) 30º

7. Calcular “x”, si OB es bisectriz del

∢AOC.

a) 45º b) 35º

x+20º O 30º

A

m

B

+ 10º R 2

M

N

O

x 70º

A O D

B C

(4)

c) 55º d) 65º e) 70º

8. Del gráfico, hallar “” si es bisectriz del

∢COE.

a) 100º b) 110º c) 120º d) 130º e) 140º

9. Del gráfico, calcular “x” si: OC OD Además OB: Bisectriz del ∢AOC.

a) 10º b) 15º c) 18º d) 20º e) 25º

10. Del gráfico, calcule “x” si: OB: bisectriz del ∢AOC y OE: Bisectriz del ∢DOF.

a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º e) 30º

11. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y BOC.

a) 35º b) 40º c) 45º d) 50º e) 55º

12. Del gráfico, calcular la medida del

∢AOD, si el rayo opuesto de OA es bisectriz del ∢BOC.

a) 100º b) 110º c) 120º d) 130º e) 140º

13. Del gráfico, OB bisectriz del ∢AOC.

Calcular m∢COD.

a) 45º b) 55º c) 35º d) 40º e) 50º

14. Calcular el ángulo formado por las bisectrices de AOB y BOC.

a) 80º b) 90º c) 100º d) 110º e) 70º

15. Del gráfico OB: bisectriz del ∢AOD;

OC: bisectriz del ∢BOD.

Calcular: m∢AOC a) 20º

b) 40º c) 60º d) 80º e) 90º

1. Indicar verdadero (V) o falso (F):

La bisectriz de un ángulo es un rayo

que lo biseca.

( )

La bisectriz de un ángulo lo divide en

dos ángulos congruentes.

B

C

D

O E A

100º

30º

O E A

x 3x

B C

D

O F A

x x+10º

B C

E D

4x

A B

C O





 





70º

A B C

O D

  



100º

A B

C

D O

(5)

( )

La bisectriz de 78º determinará dos

ángulos de 39º.

( )

a) FFF b) VVV c)

FVF

d) VVF e) VFF

2. Completar de manera adecuada.

_________________ publicó por primera vez la imposibilidad de trisecar al ángulo con solo regla y compás.

El _________________ sirve para medir la abertura de los ángulos.

El ____________ sirve para hacer curvas, arcos de circunferencia.

3. Hallar “x”, si OM es bisectriz del ∢AOB.

a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º e) 30º

4. Hallar “x” si ON es bisectriz del ∢AOB a) 10º

b) 15º c) 20º d) 12º e) 25º

5. Calcular la m∢AOM si OM es bisectriz del ∢AOB.

a) 5º b) 10º c) 15º d) 20º e) 25º

6. Hallar “x” si; OB es bisectriz del ∢AOC;

OE es bisectriz del ∢DOE.

a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º e) 30º

7. Hallar “x”, si: OC: Bisectriz del ∢AOE.

OB: Bisectriz del ∢AOC.

a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º e) 30º

8. Los ángulos AOB, BOC y COD están en la relación 2, 3, 7 respectivamente. Hallar el ángulo menor.

a) 30º b) 45º c) 24º d) 20º e) 35º

9. Del problema anterior: Calcular el ángulo formado por las bisectrices del ∢BOD con el rayo OC.

a) 20º b) 30º c)

15º

d) 25º e) 35º

10. Hallar: m∢AOP si OP es bisectriz del

∢AOB.

a) 50º b) 40º c) 30º d) 20º e) 10º

11. OB OC. Hallar “x” si OD es bisectriz del

∢COE.

a) 15º b) 20º c) 30º d) 45º e) 60º

 



















 



















60º x+10º x

B

C D

A

E O F







 



 





O

D A

B C

O

A

P B

x20º

3x120º





 









(6)

12. Hallar el ángulo formado por el ∢AOB y el rayo OC.

a) 15º b) 20º c) 25º d) 30º e) 35º

13. Del gráfico, hallar el ángulo formado por las bisectrices es AOB y BOC: m∢AOC = 140º y m∢BOC = 30º

a) 60º b) 70º c) 75º d) 80º e) 85º 14. En el gráfico:

 Medida del ∢AOB es la décima parte del ángulo de una vuelta.

 Medida del BOC es la tercera parte de un ángulo llano.

Hallar la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOB y BOC.

a) 40º b) 45º c) 48º d) 49º e) 50º 15. En el gráfico:

OM : Bisectriz del ∢BOC Calcular: “x”

a) 50º b) 70º c) 60º d) 40º e) 55º

O

30º 20º

A A

A

O A

B

C











A

B

M

C 30º

20º x

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