◦ Ba hiea Cie ia S iae

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(1)

2Ba hilleratoCien iasSo iales

DepartamentodeMatemáti as

I.E.S.VirgendelPuerto-PLASENCIA

Curso2014/15

(2)

1

Introdu ión

2

Estima iónporintervalos onanza

Intervalosde onanza

Constru ióndeintervalosde onanza

EjemploI

Errormáximoadmisible

3

Contrastesdehipótesis

Introdu ión

Contrastesdehipót. paralamedia

EjemploII

Contrastesdehipót. paralapropor ión

Contrastesdehipót. paraladifer.demedias

Notasobreloserroresen ontratesdehipót.

4

ProblemasPropuestos

5

PersonajesenlaHistoria

R.A.FisheryF.Nightingale

6

Bibliografía

7

Créditos

(3)

IraÍndi e

1| Introdu ión

(4)

EneltemaanteriorvimosquelapartedelaEstadísti aqueseo upadelanálisisyextra iónde

on lusionessellamaEstadísti aInferen ial. Éstasedivideen:

(5)

EneltemaanteriorvimosquelapartedelaEstadísti aqueseo upadelanálisisyextra iónde

on lusionessellamaEstadísti aInferen ial. Éstasedivideen:

Estadísti aindu tiva,quesebasaenlallamadaestima ióndeparámetrosutilizando

muestras.

(6)

EneltemaanteriorvimosquelapartedelaEstadísti aqueseo upadelanálisisyextra iónde

on lusionessellamaEstadísti aInferen ial. Éstasedivideen:

Estadísti aindu tiva,quesebasaenlallamadaestima ióndeparámetrosutilizando

muestras.

Estadísti adedu tiva,quesebasaenlosllamados ontrastesdehipótesisquenospermiten

determinarlosestadísti osapropiadosparatomarunade isiónyrealizarsu orre ta

interpreta ión.

(7)

EneltemaanteriorvimosquelapartedelaEstadísti aqueseo upadelanálisisyextra iónde

on lusionessellamaEstadísti aInferen ial. Éstasedivideen:

Estadísti aindu tiva,quesebasaenlallamadaestima ióndeparámetrosutilizando

muestras.

Estadísti adedu tiva,quesebasaenlosllamados ontrastesdehipótesisquenospermiten

determinarlosestadísti osapropiadosparatomarunade isiónyrealizarsu orre ta

interpreta ión.

(8)

EneltemaanteriorvimosquelapartedelaEstadísti aqueseo upadelanálisisyextra iónde

on lusionessellamaEstadísti aInferen ial. Éstasedivideen:

Estadísti aindu tiva,quesebasaenlallamadaestima ióndeparámetrosutilizando

muestras.

Estadísti adedu tiva,quesebasaenlosllamados ontrastesdehipótesisquenospermiten

determinarlosestadísti osapropiadosparatomarunade isiónyrealizarsu orre ta

interpreta ión.

Convienere ordarlassiguientesdeni ionesquedimoseneltemaanterior:

(9)

EneltemaanteriorvimosquelapartedelaEstadísti aqueseo upadelanálisisyextra iónde

on lusionessellamaEstadísti aInferen ial. Éstasedivideen:

Estadísti aindu tiva,quesebasaenlallamadaestima ióndeparámetrosutilizando

muestras.

Estadísti adedu tiva,quesebasaenlosllamados ontrastesdehipótesisquenospermiten

determinarlosestadísti osapropiadosparatomarunade isiónyrealizarsu orre ta

interpreta ión.

Convienere ordarlassiguientesdeni ionesquedimoseneltemaanterior:

Parámetrospobla ionalesoparámetrossonlosíndi es entrales,deposi ión,dedispersión,

et ,quedenenunapobla ión.

(10)

EneltemaanteriorvimosquelapartedelaEstadísti aqueseo upadelanálisisyextra iónde

on lusionessellamaEstadísti aInferen ial. Éstasedivideen:

Estadísti aindu tiva,quesebasaenlallamadaestima ióndeparámetrosutilizando

muestras.

Estadísti adedu tiva,quesebasaenlosllamados ontrastesdehipótesisquenospermiten

determinarlosestadísti osapropiadosparatomarunade isiónyrealizarsu orre ta

interpreta ión.

Convienere ordarlassiguientesdeni ionesquedimoseneltemaanterior:

Parámetrospobla ionalesoparámetrossonlosíndi es entrales,deposi ión,dedispersión,

et ,quedenenunapobla ión.

Parámetrosmuestralesoestadísti ossonlosíndi es entrales,deposi ión,dedispersión,

et ,quedenenaunamuestraysonfun ióndelamisma.

(11)

IraÍndi e

2| Estima ión

por intervalos

onanza

(12)

Supongamosquequeremosestimarlaalturadedeterminadoalumnodenuestroinstitutoatravés

deunamuestradealumnosyde imosqueesde1

,

75

m

.Estetipodeestima ión,quesellama estima iónpuntual,nonosdi enadasobrelaseguridadodudadequelaalturaseaesa. En

ambio,side imosquelaalturaseen uentraenunintervaloentre1

,

72

m

y1

,

78

m

asi on

seguridad,expresamos iertogradode onanzaenquelaalturadelalumnoseen ontraráentre

estosvalores. Estaestima ión,quellamamosestima iónporintervalos,serámáspre isa uanto

mayorseaelintervalo,aunquetambiénserámayorelerror ometidoenlaestima ión.

(13)

Supongamosquequeremosestimarlaalturadedeterminadoalumnodenuestroinstitutoatravés

deunamuestradealumnosyde imosqueesde1

,

75

m

.Estetipodeestima ión,quesellama estima iónpuntual,nonosdi enadasobrelaseguridadodudadequelaalturaseaesa. En

ambio,side imosquelaalturaseen uentraenunintervaloentre1

,

72

m

y1

,

78

m

asi on

seguridad,expresamos iertogradode onanzaenquelaalturadelalumnoseen ontraráentre

estosvalores. Estaestima ión,quellamamosestima iónporintervalos,serámáspre isa uanto

mayorseaelintervalo,aunquetambiénserámayorelerror ometidoenlaestima ión.

Losestimadorespuntualesmásusadosson:

Lamediamuestralque,dadaunamuestradetamaño

n

deunapobla iónquesigueuna

distribu iónnormalydelaquedes ono emos

µ

,vienedadapor

¯

x = x

1

+ x

2

+ · · · + x

n

n

(14)

Supongamosquequeremosestimarlaalturadedeterminadoalumnodenuestroinstitutoatravés

deunamuestradealumnosyde imosqueesde1

,

75

m

.Estetipodeestima ión,quesellama estima iónpuntual,nonosdi enadasobrelaseguridadodudadequelaalturaseaesa. En

ambio,side imosquelaalturaseen uentraenunintervaloentre1

,

72

m

y1

,

78

m

asi on

seguridad,expresamos iertogradode onanzaenquelaalturadelalumnoseen ontraráentre

estosvalores. Estaestima ión,quellamamosestima iónporintervalos,serámáspre isa uanto

mayorseaelintervalo,aunquetambiénserámayorelerror ometidoenlaestima ión.

Losestimadorespuntualesmásusadosson:

Lamediamuestralque,dadaunamuestradetamaño

n

deunapobla iónquesigueuna

distribu iónnormalydelaquedes ono emos

µ

,vienedadapor

¯

x = x

1

+ x

2

+ · · · + x

n

n

Lapropor iónmuestralque,dadaunamuestradetamaño

n

quesigueunadistribu ión binomialydelaquedes ono emos

p

,vienedadapor

ˆ p = X

n

donde

X

eselnúmerodeindividuosdelamuestraqueestánafavordelapropuesta.

(15)

Supongamosquequeremosestimarlaalturadedeterminadoalumnodenuestroinstitutoatravés

deunamuestradealumnosyde imosqueesde1

,

75

m

.Estetipodeestima ión,quesellama estima iónpuntual,nonosdi enadasobrelaseguridadodudadequelaalturaseaesa. En

ambio,side imosquelaalturaseen uentraenunintervaloentre1

,

72

m

y1

,

78

m

asi on

seguridad,expresamos iertogradode onanzaenquelaalturadelalumnoseen ontraráentre

estosvalores. Estaestima ión,quellamamosestima iónporintervalos,serámáspre isa uanto

mayorseaelintervalo,aunquetambiénserámayorelerror ometidoenlaestima ión.

Losestimadorespuntualesmásusadosson:

Lamediamuestralque,dadaunamuestradetamaño

n

deunapobla iónquesigueuna

distribu iónnormalydelaquedes ono emos

µ

,vienedadapor

¯

x = x

1

+ x

2

+ · · · + x

n

n

Lapropor iónmuestralque,dadaunamuestradetamaño

n

quesigueunadistribu ión binomialydelaquedes ono emos

p

,vienedadapor

ˆ p = X

n

X

(16)

Supongamosquequeremosestimarlaalturadedeterminadoalumnodenuestroinstitutoatravés

deunamuestradealumnosyde imosqueesde1

,

75

m

.Estetipodeestima ión,quesellama estima iónpuntual,nonosdi enadasobrelaseguridadodudadequelaalturaseaesa. En

ambio,side imosquelaalturaseen uentraenunintervaloentre1

,

72

m

y1

,

78

m

asi on

seguridad,expresamos iertogradode onanzaenquelaalturadelalumnoseen ontraráentre

estosvalores. Estaestima ión,quellamamosestima iónporintervalos,serámáspre isa uanto

mayorseaelintervalo,aunquetambiénserámayorelerror ometidoenlaestima ión.

Losestimadorespuntualesmásusadosson:

Lamediamuestralque,dadaunamuestradetamaño

n

deunapobla iónquesigueuna

distribu iónnormalydelaquedes ono emos

µ

,vienedadapor

¯

x = x

1

+ x

2

+ · · · + x

n

n

Lapropor iónmuestralque,dadaunamuestradetamaño

n

quesigueunadistribu ión binomialydelaquedes ono emos

p

,vienedadapor

ˆ p = X

n

donde

X

eselnúmerodeindividuosdelamuestraqueestánafavordelapropuesta.

Enestetemaestamosinteresadosenlaestima iónporintervalos.

(17)

Re uerdaqueparaunapobla iónquesigue

unadistribu iónnormal

N(µ, σ)

sabemos,deladeni ióndefun iónde

densidad,queeláreabajola urvaserála

probabilidadP

(µ − σ ≤

x

≤ µ + σ)

.

(18)

Re uerdaqueparaunapobla iónquesigue

unadistribu iónnormal

N(µ, σ)

sabemos,deladeni ióndefun iónde

densidad,queeláreabajola urvaserála

probabilidadP

(µ − σ ≤

x

≤ µ + σ)

.

Paraéstadistribu iónnormaldeunapobla ión,

N(µ, σ)

,hay iertasáreasointervalos

ara terísti osimportantes;estosson:

Enelintervalo

(µ − σ, µ + σ)

estáel

68

,

26

%

deláreatotal,yportanto:

P (µ − σ ≤ x ≤ µ + σ) =

0

,

6826

(19)

Re uerdaqueparaunapobla iónquesigue

unadistribu iónnormal

N(µ, σ)

sabemos,deladeni ióndefun iónde

densidad,queeláreabajola urvaserála

probabilidadP

(µ − σ ≤

x

≤ µ + σ)

.

Paraéstadistribu iónnormaldeunapobla ión,

N(µ, σ)

,hay iertasáreasointervalos

ara terísti osimportantes;estosson:

Enelintervalo

(µ − σ, µ + σ)

estáel

68

,

26

%

deláreatotal,yportanto:

P (µ − σ ≤ x ≤ µ + σ) =

0

,

6826

Enelintervalo

(µ −

2

σ, µ +

2

σ)

estáel

95

,

44

%

deláreatotal,yportanto:

P (µ −

2

σ ≤ x ≤ µ +

2

σ) =

0

,

9544

(20)

Re uerdaqueparaunapobla iónquesigue

unadistribu iónnormal

N(µ, σ)

sabemos,deladeni ióndefun iónde

densidad,queeláreabajola urvaserála

probabilidadP

(µ − σ ≤

x

≤ µ + σ)

.

Paraéstadistribu iónnormaldeunapobla ión,

N(µ, σ)

,hay iertasáreasointervalos

ara terísti osimportantes;estosson:

Enelintervalo

(µ − σ, µ + σ)

estáel

68

,

26

%

deláreatotal,yportanto:

P (µ − σ ≤ x ≤ µ + σ) =

0

,

6826

Enelintervalo

(µ −

2

σ, µ +

2

σ)

estáel

95

,

44

%

deláreatotal,yportanto:

P (µ −

2

σ ≤ x ≤ µ +

2

σ) =

0

,

9544

Enelintervalo

(µ −

3

σ, µ +

3

σ)

estáel

99

,

73

%

deláreatotal,yportanto:

P (µ −

3

σ ≤ x ≤ µ +

3

σ) =

0

,

9973

(21)

Re uerdaqueparaunapobla iónquesigue

unadistribu iónnormal

N(µ, σ)

sabemos,deladeni ióndefun iónde

densidad,queeláreabajola urvaserála

probabilidadP

(µ − σ ≤

x

≤ µ + σ)

.

Paraéstadistribu iónnormaldeunapobla ión,

N(µ, σ)

,hay iertasáreasointervalos

ara terísti osimportantes;estosson:

Enelintervalo

(µ − σ, µ + σ)

estáel

68

,

26

%

deláreatotal,yportanto:

P (µ − σ ≤ x ≤ µ + σ) =

0

,

6826

Enelintervalo

(µ −

2

σ, µ +

2

σ)

estáel

95

,

44

%

deláreatotal,yportanto:

P (µ −

2

σ ≤ x ≤ µ +

2

σ) =

0

,

9544

Enelintervalo

(µ −

3

σ, µ +

3

σ)

estáel

99

,

73

%

deláreatotal,yportanto:

P (µ −

3

σ ≤ x ≤ µ +

3

σ) =

0

,

9973

(22)

Re uerdaqueparaunapobla iónquesigue

unadistribu iónnormal

N(µ, σ)

sabemos,deladeni ióndefun iónde

densidad,queeláreabajola urvaserála

probabilidadP

(µ − σ ≤

x

≤ µ + σ)

.

Paraéstadistribu iónnormaldeunapobla ión,

N(µ, σ)

,hay iertasáreasointervalos

ara terísti osimportantes;estosson:

Enelintervalo

(µ − σ, µ + σ)

estáel

68

,

26

%

deláreatotal,yportanto:

P (µ − σ ≤ x ≤ µ + σ) =

0

,

6826

Enelintervalo

(µ −

2

σ, µ +

2

σ)

estáel

95

,

44

%

deláreatotal,yportanto:

P (µ −

2

σ ≤ x ≤ µ +

2

σ) =

0

,

9544

Enelintervalo

(µ −

3

σ, µ +

3

σ)

estáel

99

,

73

%

deláreatotal,yportanto:

P (µ −

3

σ ≤ x ≤ µ +

3

σ) =

0

,

9973

Vamosatrasladarestasideasamuestrasde

tamaño

n

yalasdistribu ionesdelamedia muestral,delapropor iónydeladiferen iade

medias.

(23)

Sabemos,deltemaanterior,queladistribu ióndelamediamuestraldemuestrasdetamaño

n

quepro edendeunapobla ióndemedia

µ

ydesvia ióntípi a

σ

,sigueunadistribu iónnormal

N



µ, σ

√ n



,esde ir,demediamuestral

X ¯ = µ

ydesvia ióntípi amuestral

σ

x

= σ

√ n

.

(24)

Sabemos,deltemaanterior,queladistribu ióndelamediamuestraldemuestrasdetamaño

n

quepro edendeunapobla ióndemedia

µ

ydesvia ióntípi a

σ

,sigueunadistribu iónnormal

N



µ, σ

√ n



,esde ir,demediamuestral

X ¯ = µ

ydesvia ióntípi amuestral

σ

x

= σ

√ n

.

Siahoranosdi enparaunamuestradetamaño

n

que

P



µ −

2

.

58

· σ

√ n ≤ ¯ X ≤ µ +

2

.

58

· σ

√ n



=

0

,

99

sabemosquelamediadelamuestra,

X ¯

,estaráenelintervalo



µ −

2

.

58

· σ

√ n , µ +

2

.

58

· σ

√ n



onunaprobabilidaddel99

%

,yestoseráválidopara ualquiermuestradetamaño

n

obtenidade

lamismaforma. Elintervaloobtenidosellamaintervalode onanzaparaunnivelde

onanza del99

%

.Tenemos,así,lassiguientesdeni iones

(25)

Sabemos,deltemaanterior,queladistribu ióndelamediamuestraldemuestrasdetamaño

n

quepro edendeunapobla ióndemedia

µ

ydesvia ióntípi a

σ

,sigueunadistribu iónnormal

N



µ, σ

√ n



,esde ir,demediamuestral

X ¯ = µ

ydesvia ióntípi amuestral

σ

x

= σ

√ n

.

Siahoranosdi enparaunamuestradetamaño

n

que

P



µ −

2

.

58

· σ

√ n ≤ ¯ X ≤ µ +

2

.

58

· σ

√ n



=

0

,

99

sabemosquelamediadelamuestra,

X ¯

,estaráenelintervalo



µ −

2

.

58

· σ

√ n , µ +

2

.

58

· σ

√ n



onunaprobabilidaddel99

%

,yestoseráválidopara ualquiermuestradetamaño

n

obtenidade

lamismaforma. Elintervaloobtenidosellamaintervalode onanzaparaunnivelde

onanza del99

%

.Tenemos,así,lassiguientesdeni iones

Sellamaintervalode onanzaalintervaloque ontienealparámetrodes ono idoquese

estáestimando onunaprobabilidad1

− α

,donde

α

eselllamadoniveldesigni a ión. En nuestroejemplo1

− α =

0

.

99y

α =

0

.

01.

(26)

Sabemos,deltemaanterior,queladistribu ióndelamediamuestraldemuestrasdetamaño

n

quepro edendeunapobla ióndemedia

µ

ydesvia ióntípi a

σ

,sigueunadistribu iónnormal

N



µ, σ

√ n



,esde ir,demediamuestral

X ¯ = µ

ydesvia ióntípi amuestral

σ

x

= σ

√ n

.

Siahoranosdi enparaunamuestradetamaño

n

que

P



µ −

2

.

58

· σ

√ n ≤ ¯ X ≤ µ +

2

.

58

· σ

√ n



=

0

,

99

sabemosquelamediadelamuestra,

X ¯

,estaráenelintervalo



µ −

2

.

58

· σ

√ n , µ +

2

.

58

· σ

√ n



onunaprobabilidaddel99

%

,yestoseráválidopara ualquiermuestradetamaño

n

obtenidade

lamismaforma. Elintervaloobtenidosellamaintervalode onanzaparaunnivelde

onanza del99

%

.Tenemos,así,lassiguientesdeni iones

Sellamaintervalode onanzaalintervaloque ontienealparámetrodes ono idoquese

estáestimando onunaprobabilidad1

− α

,donde

α

eselllamadoniveldesigni a ión. En nuestroejemplo1

− α =

0

.

99y

α =

0

.

01.

Alaprobabilidad1

− α

seledaelnombredenivel de onanza.A adanivelde onanza

1

− α

seleasignaunvalor

z

α/2

orrespondiente alanormal

N(

0

,

1

)

,llamadovalor ríti o,y

queennuestroejemplose orresponde onelfa tor2

.

58. Así,tenemos

P



µ − z

α/2

· σ

√ n ≤ ¯ X ≤ µ + z

α/2

· σ

√ n



= P(−z

α/2

≤ z ≤ z

α/2

) =

1

− α

(27)

Losintervalosde onanzaparalamedia,propor iónydiferen iademedias

losvemosenlasiguientetabla

(28)

Losintervalosde onanzaparalamedia,propor iónydiferen iademedias

losvemosenlasiguientetabla

Parámetros Intervalosde onanza

(29)

Losintervalosde onanzaparalamedia,propor iónydiferen iademedias

losvemosenlasiguientetabla

Parámetros Intervalosde onanza

Media

µ



µ − z

α/2

· σ

√ n , µ + z

α/2

· σ

√ n



(30)

Losintervalosde onanzaparalamedia,propor iónydiferen iademedias

losvemosenlasiguientetabla

Parámetros Intervalosde onanza

Media

µ



µ − z

α/2

· σ

√ n , µ + z

α/2

· σ

√ n



Propor ión

p



ˆ p − z

α/2

·

q pq

n , p ˆ + z

α/2

·

q pq

n



(31)

Losintervalosde onanzaparalamedia,propor iónydiferen iademedias

losvemosenlasiguientetabla

Parámetros Intervalosde onanza

Media

µ



µ − z

α/2

· σ

√ n , µ + z

α/2

· σ

√ n



Propor ión

p



ˆ p − z

α/2

·

q pq

n , p ˆ + z

α/2

·

q pq

n



Dif. medias

µ

1

− µ

2

 X ¯

1

− ¯ X

2

− z

α/2

· q σ

1

n

1

+ σ

2

n

2

, ¯ X

1

− ¯ X

2

+ z

α/2

· q σ

1

n

1

+ σ

2

n

2



(32)

Losintervalosde onanzaparalamedia,propor iónydiferen iademedias

losvemosenlasiguientetabla

Parámetros Intervalosde onanza

Media

µ



µ − z

α/2

· σ

√ n , µ + z

α/2

· σ

√ n



Propor ión

p



ˆ p − z

α/2

·

q pq

n , p ˆ + z

α/2

·

q pq

n



Dif. medias

µ

1

− µ

2

 X ¯

1

− ¯ X

2

− z

α/2

· q σ

1

n

1

+ σ

2

n

2

, ¯ X

1

− ¯ X

2

+ z

α/2

· q σ

1

n

1

+ σ

2

n

2



Elvalor ríti olodeterminamosteniendoen uentaque omo

P (−z

α/2

≤ z ≤ z

α/2

) =

1

− α

enton es

P (z ≤ z

α/2

) = P(z ≤ a) =

1+(12−α)

ybus andoenlatablade

N(

0

,

1

)

,obtenemoselvalor

a = z

α/2quese orresponde onla probabilidad

1+(1−α)

2

Otraformadeobtener

z

α/2

lovemosa ontinua ión.

(33)

Enalgunosproblemas( omoporejemploenlosexámenesdesele tividad),nossuelendaruna

tabladevalores ríti os,

α

,quenospermiten"ver"dire tamenteelvalorde

z

α/2 .Debajo

tenemosunadetalestablas.Sinosdi enqueelintervalode onanzaesal90

%

,enton es

1

− α =

0

.

90

⇒ α =

0

.

10. Enlaprimera olumnaestánlasdé imasde

α

yenlaprimerala

las entésimas. Ennuestroejemplo0

.

1y0

.

00respe tivamente.La asillainterse ióndeestas doses1

.

645,yportanto

z

α/2

=

1

.

645.

α

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 2.576 2.326 2.170 2.054 1.960 1.881 1.812 1.751 1.695

0.1 1.645 1.598 1.555 1.514 1.476 1.440 1.405 1.372 1.341 1.311

0.2 1.282 1.254 1.227 1.200 1.175 1.150 1.126 1.103 1.080 1.058

0.3 1.036 1.015 0.994 0.974 0.954 0.935 0.915 0.896 0.878 0.860

0.4 0.842 0.824 0.806 0.789 0.772 0.755 0.739 0.722 0.706 0.690

Vemosque uandonosdanestastablas,elvalor ríti oesmásfá ildeobtener.

(34)

P.A.U.Extremadura2013/14

Una ompañíaaéreatiene ontratadaunaempresaparalare upera ión delosequipajesperdidos

desuspasajeros.Para omprobarlae ien iadelaempresa,la ompañíadeseasaberla

propor ióndeequipajesre uperados. Paraellorealizaunaen uestaa122pasajerosqueperdieron

elequipaje.Deellos,103lore uperaron.

¾Cuáleslaestima ióndelapropor ióndeequipajesre uperados?.

Obtenerelintervalode onanzaal99

%

paralaestima iónpuntualanterior.

Figure

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