2◦Ba hilleratoCien iasSo iales
DepartamentodeMatemáti as
I.E.S.VirgendelPuerto-PLASENCIA
Curso2014/15
1
Introdu ión
2
Estima iónporintervalos onanza
Intervalosde onanza
Constru ióndeintervalosde onanza
EjemploI
Errormáximoadmisible
3
Contrastesdehipótesis
Introdu ión
Contrastesdehipót. paralamedia
EjemploII
Contrastesdehipót. paralapropor ión
Contrastesdehipót. paraladifer.demedias
Notasobreloserroresen ontratesdehipót.
4
ProblemasPropuestos
5
PersonajesenlaHistoria
R.A.FisheryF.Nightingale
6
Bibliografía
7
Créditos
IraÍndi e
1| Introdu ión
EneltemaanteriorvimosquelapartedelaEstadísti aqueseo upadelanálisisyextra iónde
on lusionessellamaEstadísti aInferen ial. Éstasedivideen:
EneltemaanteriorvimosquelapartedelaEstadísti aqueseo upadelanálisisyextra iónde
on lusionessellamaEstadísti aInferen ial. Éstasedivideen:
Estadísti aindu tiva,quesebasaenlallamadaestima ióndeparámetrosutilizando
muestras.
EneltemaanteriorvimosquelapartedelaEstadísti aqueseo upadelanálisisyextra iónde
on lusionessellamaEstadísti aInferen ial. Éstasedivideen:
Estadísti aindu tiva,quesebasaenlallamadaestima ióndeparámetrosutilizando
muestras.
Estadísti adedu tiva,quesebasaenlosllamados ontrastesdehipótesisquenospermiten
determinarlosestadísti osapropiadosparatomarunade isiónyrealizarsu orre ta
interpreta ión.
EneltemaanteriorvimosquelapartedelaEstadísti aqueseo upadelanálisisyextra iónde
on lusionessellamaEstadísti aInferen ial. Éstasedivideen:
Estadísti aindu tiva,quesebasaenlallamadaestima ióndeparámetrosutilizando
muestras.
Estadísti adedu tiva,quesebasaenlosllamados ontrastesdehipótesisquenospermiten
determinarlosestadísti osapropiadosparatomarunade isiónyrealizarsu orre ta
interpreta ión.
EneltemaanteriorvimosquelapartedelaEstadísti aqueseo upadelanálisisyextra iónde
on lusionessellamaEstadísti aInferen ial. Éstasedivideen:
Estadísti aindu tiva,quesebasaenlallamadaestima ióndeparámetrosutilizando
muestras.
Estadísti adedu tiva,quesebasaenlosllamados ontrastesdehipótesisquenospermiten
determinarlosestadísti osapropiadosparatomarunade isiónyrealizarsu orre ta
interpreta ión.
Convienere ordarlassiguientesdeni ionesquedimoseneltemaanterior:
EneltemaanteriorvimosquelapartedelaEstadísti aqueseo upadelanálisisyextra iónde
on lusionessellamaEstadísti aInferen ial. Éstasedivideen:
Estadísti aindu tiva,quesebasaenlallamadaestima ióndeparámetrosutilizando
muestras.
Estadísti adedu tiva,quesebasaenlosllamados ontrastesdehipótesisquenospermiten
determinarlosestadísti osapropiadosparatomarunade isiónyrealizarsu orre ta
interpreta ión.
Convienere ordarlassiguientesdeni ionesquedimoseneltemaanterior:
Parámetrospobla ionalesoparámetrossonlosíndi es entrales,deposi ión,dedispersión,
et ,quedenenunapobla ión.
EneltemaanteriorvimosquelapartedelaEstadísti aqueseo upadelanálisisyextra iónde
on lusionessellamaEstadísti aInferen ial. Éstasedivideen:
Estadísti aindu tiva,quesebasaenlallamadaestima ióndeparámetrosutilizando
muestras.
Estadísti adedu tiva,quesebasaenlosllamados ontrastesdehipótesisquenospermiten
determinarlosestadísti osapropiadosparatomarunade isiónyrealizarsu orre ta
interpreta ión.
Convienere ordarlassiguientesdeni ionesquedimoseneltemaanterior:
Parámetrospobla ionalesoparámetrossonlosíndi es entrales,deposi ión,dedispersión,
et ,quedenenunapobla ión.
Parámetrosmuestralesoestadísti ossonlosíndi es entrales,deposi ión,dedispersión,
et ,quedenenaunamuestraysonfun ióndelamisma.
IraÍndi e
2| Estima ión
por intervalos
onanza
Supongamosquequeremosestimarlaalturadedeterminadoalumnodenuestroinstitutoatravés
deunamuestradealumnosyde imosqueesde1
,
75m
.Estetipodeestima ión,quesellama estima iónpuntual,nonosdi enadasobrelaseguridadodudadequelaalturaseaesa. Enambio,side imosquelaalturaseen uentraenunintervaloentre1
,
72m
y1,
78m
asi onseguridad,expresamos iertogradode onanzaenquelaalturadelalumnoseen ontraráentre
estosvalores. Estaestima ión,quellamamosestima iónporintervalos,serámáspre isa uanto
mayorseaelintervalo,aunquetambiénserámayorelerror ometidoenlaestima ión.
Supongamosquequeremosestimarlaalturadedeterminadoalumnodenuestroinstitutoatravés
deunamuestradealumnosyde imosqueesde1
,
75m
.Estetipodeestima ión,quesellama estima iónpuntual,nonosdi enadasobrelaseguridadodudadequelaalturaseaesa. Enambio,side imosquelaalturaseen uentraenunintervaloentre1
,
72m
y1,
78m
asi onseguridad,expresamos iertogradode onanzaenquelaalturadelalumnoseen ontraráentre
estosvalores. Estaestima ión,quellamamosestima iónporintervalos,serámáspre isa uanto
mayorseaelintervalo,aunquetambiénserámayorelerror ometidoenlaestima ión.
Losestimadorespuntualesmásusadosson:
Lamediamuestralque,dadaunamuestradetamaño
n
deunapobla iónquesigueunadistribu iónnormalydelaquedes ono emos
µ
,vienedadapor¯
x = x
1+ x
2+ · · · + x
nn
Supongamosquequeremosestimarlaalturadedeterminadoalumnodenuestroinstitutoatravés
deunamuestradealumnosyde imosqueesde1
,
75m
.Estetipodeestima ión,quesellama estima iónpuntual,nonosdi enadasobrelaseguridadodudadequelaalturaseaesa. Enambio,side imosquelaalturaseen uentraenunintervaloentre1
,
72m
y1,
78m
asi onseguridad,expresamos iertogradode onanzaenquelaalturadelalumnoseen ontraráentre
estosvalores. Estaestima ión,quellamamosestima iónporintervalos,serámáspre isa uanto
mayorseaelintervalo,aunquetambiénserámayorelerror ometidoenlaestima ión.
Losestimadorespuntualesmásusadosson:
Lamediamuestralque,dadaunamuestradetamaño
n
deunapobla iónquesigueunadistribu iónnormalydelaquedes ono emos
µ
,vienedadapor¯
x = x
1+ x
2+ · · · + x
nn
Lapropor iónmuestralque,dadaunamuestradetamaño
n
quesigueunadistribu ión binomialydelaquedes ono emosp
,vienedadaporˆ p = X
n
donde
X
eselnúmerodeindividuosdelamuestraqueestánafavordelapropuesta.Supongamosquequeremosestimarlaalturadedeterminadoalumnodenuestroinstitutoatravés
deunamuestradealumnosyde imosqueesde1
,
75m
.Estetipodeestima ión,quesellama estima iónpuntual,nonosdi enadasobrelaseguridadodudadequelaalturaseaesa. Enambio,side imosquelaalturaseen uentraenunintervaloentre1
,
72m
y1,
78m
asi onseguridad,expresamos iertogradode onanzaenquelaalturadelalumnoseen ontraráentre
estosvalores. Estaestima ión,quellamamosestima iónporintervalos,serámáspre isa uanto
mayorseaelintervalo,aunquetambiénserámayorelerror ometidoenlaestima ión.
Losestimadorespuntualesmásusadosson:
Lamediamuestralque,dadaunamuestradetamaño
n
deunapobla iónquesigueunadistribu iónnormalydelaquedes ono emos
µ
,vienedadapor¯
x = x
1+ x
2+ · · · + x
nn
Lapropor iónmuestralque,dadaunamuestradetamaño
n
quesigueunadistribu ión binomialydelaquedes ono emosp
,vienedadaporˆ p = X
n
X
Supongamosquequeremosestimarlaalturadedeterminadoalumnodenuestroinstitutoatravés
deunamuestradealumnosyde imosqueesde1
,
75m
.Estetipodeestima ión,quesellama estima iónpuntual,nonosdi enadasobrelaseguridadodudadequelaalturaseaesa. Enambio,side imosquelaalturaseen uentraenunintervaloentre1
,
72m
y1,
78m
asi onseguridad,expresamos iertogradode onanzaenquelaalturadelalumnoseen ontraráentre
estosvalores. Estaestima ión,quellamamosestima iónporintervalos,serámáspre isa uanto
mayorseaelintervalo,aunquetambiénserámayorelerror ometidoenlaestima ión.
Losestimadorespuntualesmásusadosson:
Lamediamuestralque,dadaunamuestradetamaño
n
deunapobla iónquesigueunadistribu iónnormalydelaquedes ono emos
µ
,vienedadapor¯
x = x
1+ x
2+ · · · + x
nn
Lapropor iónmuestralque,dadaunamuestradetamaño
n
quesigueunadistribu ión binomialydelaquedes ono emosp
,vienedadaporˆ p = X
n
donde
X
eselnúmerodeindividuosdelamuestraqueestánafavordelapropuesta.Enestetemaestamosinteresadosenlaestima iónporintervalos.
Re uerdaqueparaunapobla iónquesigue
unadistribu iónnormal
N(µ, σ)
sabemos,deladeni ióndefun iónde
densidad,queeláreabajola urvaserála
probabilidadP
(µ − σ ≤
x≤ µ + σ)
.Re uerdaqueparaunapobla iónquesigue
unadistribu iónnormal
N(µ, σ)
sabemos,deladeni ióndefun iónde
densidad,queeláreabajola urvaserála
probabilidadP
(µ − σ ≤
x≤ µ + σ)
.Paraéstadistribu iónnormaldeunapobla ión,
N(µ, σ)
,hay iertasáreasointervalosara terísti osimportantes;estosson:
Enelintervalo
(µ − σ, µ + σ)
estáel68
,
26%
deláreatotal,yportanto:P (µ − σ ≤ x ≤ µ + σ) =
0,
6826Re uerdaqueparaunapobla iónquesigue
unadistribu iónnormal
N(µ, σ)
sabemos,deladeni ióndefun iónde
densidad,queeláreabajola urvaserála
probabilidadP
(µ − σ ≤
x≤ µ + σ)
.Paraéstadistribu iónnormaldeunapobla ión,
N(µ, σ)
,hay iertasáreasointervalosara terísti osimportantes;estosson:
Enelintervalo
(µ − σ, µ + σ)
estáel68
,
26%
deláreatotal,yportanto:P (µ − σ ≤ x ≤ µ + σ) =
0,
6826Enelintervalo
(µ −
2σ, µ +
2σ)
estáel95
,
44%
deláreatotal,yportanto:P (µ −
2σ ≤ x ≤ µ +
2σ) =
0,
9544Re uerdaqueparaunapobla iónquesigue
unadistribu iónnormal
N(µ, σ)
sabemos,deladeni ióndefun iónde
densidad,queeláreabajola urvaserála
probabilidadP
(µ − σ ≤
x≤ µ + σ)
.Paraéstadistribu iónnormaldeunapobla ión,
N(µ, σ)
,hay iertasáreasointervalosara terísti osimportantes;estosson:
Enelintervalo
(µ − σ, µ + σ)
estáel68
,
26%
deláreatotal,yportanto:P (µ − σ ≤ x ≤ µ + σ) =
0,
6826Enelintervalo
(µ −
2σ, µ +
2σ)
estáel95
,
44%
deláreatotal,yportanto:P (µ −
2σ ≤ x ≤ µ +
2σ) =
0,
9544Enelintervalo
(µ −
3σ, µ +
3σ)
estáel99
,
73%
deláreatotal,yportanto:P (µ −
3σ ≤ x ≤ µ +
3σ) =
0,
9973Re uerdaqueparaunapobla iónquesigue
unadistribu iónnormal
N(µ, σ)
sabemos,deladeni ióndefun iónde
densidad,queeláreabajola urvaserála
probabilidadP
(µ − σ ≤
x≤ µ + σ)
.Paraéstadistribu iónnormaldeunapobla ión,
N(µ, σ)
,hay iertasáreasointervalosara terísti osimportantes;estosson:
Enelintervalo
(µ − σ, µ + σ)
estáel68
,
26%
deláreatotal,yportanto:P (µ − σ ≤ x ≤ µ + σ) =
0,
6826Enelintervalo
(µ −
2σ, µ +
2σ)
estáel95
,
44%
deláreatotal,yportanto:P (µ −
2σ ≤ x ≤ µ +
2σ) =
0,
9544Enelintervalo
(µ −
3σ, µ +
3σ)
estáel99
,
73%
deláreatotal,yportanto:P (µ −
3σ ≤ x ≤ µ +
3σ) =
0,
9973Re uerdaqueparaunapobla iónquesigue
unadistribu iónnormal
N(µ, σ)
sabemos,deladeni ióndefun iónde
densidad,queeláreabajola urvaserála
probabilidadP
(µ − σ ≤
x≤ µ + σ)
.Paraéstadistribu iónnormaldeunapobla ión,
N(µ, σ)
,hay iertasáreasointervalosara terísti osimportantes;estosson:
Enelintervalo
(µ − σ, µ + σ)
estáel68
,
26%
deláreatotal,yportanto:P (µ − σ ≤ x ≤ µ + σ) =
0,
6826Enelintervalo
(µ −
2σ, µ +
2σ)
estáel95
,
44%
deláreatotal,yportanto:P (µ −
2σ ≤ x ≤ µ +
2σ) =
0,
9544Enelintervalo
(µ −
3σ, µ +
3σ)
estáel99
,
73%
deláreatotal,yportanto:P (µ −
3σ ≤ x ≤ µ +
3σ) =
0,
9973Vamosatrasladarestasideasamuestrasde
tamaño
n
yalasdistribu ionesdelamedia muestral,delapropor iónydeladiferen iademedias.
Sabemos,deltemaanterior,queladistribu ióndelamediamuestraldemuestrasdetamaño
n
quepro edendeunapobla ióndemedia
µ
ydesvia ióntípi aσ
,sigueunadistribu iónnormalN
µ, σ
√ n
,esde ir,demediamuestral
X ¯ = µ
ydesvia ióntípi amuestralσ
x= σ
√ n
.
Sabemos,deltemaanterior,queladistribu ióndelamediamuestraldemuestrasdetamaño
n
quepro edendeunapobla ióndemedia
µ
ydesvia ióntípi aσ
,sigueunadistribu iónnormalN
µ, σ
√ n
,esde ir,demediamuestral
X ¯ = µ
ydesvia ióntípi amuestralσ
x= σ
√ n
.
Siahoranosdi enparaunamuestradetamaño
n
queP
µ −
2.
58· σ
√ n ≤ ¯ X ≤ µ +
2.
58· σ
√ n
=
0,
99sabemosquelamediadelamuestra,
X ¯
,estaráenelintervaloµ −
2.
58· σ
√ n , µ +
2.
58· σ
√ n
onunaprobabilidaddel99
%
,yestoseráválidopara ualquiermuestradetamañon
obtenidadelamismaforma. Elintervaloobtenidosellamaintervalode onanzaparaunnivelde
onanza del99
%
.Tenemos,así,lassiguientesdeni ionesSabemos,deltemaanterior,queladistribu ióndelamediamuestraldemuestrasdetamaño
n
quepro edendeunapobla ióndemedia
µ
ydesvia ióntípi aσ
,sigueunadistribu iónnormalN
µ, σ
√ n
,esde ir,demediamuestral
X ¯ = µ
ydesvia ióntípi amuestralσ
x= σ
√ n
.
Siahoranosdi enparaunamuestradetamaño
n
queP
µ −
2.
58· σ
√ n ≤ ¯ X ≤ µ +
2.
58· σ
√ n
=
0,
99sabemosquelamediadelamuestra,
X ¯
,estaráenelintervaloµ −
2.
58· σ
√ n , µ +
2.
58· σ
√ n
onunaprobabilidaddel99
%
,yestoseráválidopara ualquiermuestradetamañon
obtenidadelamismaforma. Elintervaloobtenidosellamaintervalode onanzaparaunnivelde
onanza del99
%
.Tenemos,así,lassiguientesdeni ionesSellamaintervalode onanzaalintervaloque ontienealparámetrodes ono idoquese
estáestimando onunaprobabilidad1
− α
,dondeα
eselllamadoniveldesigni a ión. En nuestroejemplo1− α =
0.
99yα =
0.
01.Sabemos,deltemaanterior,queladistribu ióndelamediamuestraldemuestrasdetamaño
n
quepro edendeunapobla ióndemedia
µ
ydesvia ióntípi aσ
,sigueunadistribu iónnormalN
µ, σ
√ n
,esde ir,demediamuestral
X ¯ = µ
ydesvia ióntípi amuestralσ
x= σ
√ n
.
Siahoranosdi enparaunamuestradetamaño
n
queP
µ −
2.
58· σ
√ n ≤ ¯ X ≤ µ +
2.
58· σ
√ n
=
0,
99sabemosquelamediadelamuestra,
X ¯
,estaráenelintervaloµ −
2.
58· σ
√ n , µ +
2.
58· σ
√ n
onunaprobabilidaddel99
%
,yestoseráválidopara ualquiermuestradetamañon
obtenidadelamismaforma. Elintervaloobtenidosellamaintervalode onanzaparaunnivelde
onanza del99
%
.Tenemos,así,lassiguientesdeni ionesSellamaintervalode onanzaalintervaloque ontienealparámetrodes ono idoquese
estáestimando onunaprobabilidad1
− α
,dondeα
eselllamadoniveldesigni a ión. En nuestroejemplo1− α =
0.
99yα =
0.
01.Alaprobabilidad1
− α
seledaelnombredenivel de onanza.A adanivelde onanza1
− α
seleasignaunvalorz
α/2orrespondiente alanormal
N(
0,
1)
,llamadovalor ríti o,yqueennuestroejemplose orresponde onelfa tor2
.
58. Así,tenemosP
µ − z
α/2· σ
√ n ≤ ¯ X ≤ µ + z
α/2· σ
√ n
= P(−z
α/2≤ z ≤ z
α/2) =
1− α
Losintervalosde onanzaparalamedia,propor iónydiferen iademedias
losvemosenlasiguientetabla
Losintervalosde onanzaparalamedia,propor iónydiferen iademedias
losvemosenlasiguientetabla
Parámetros Intervalosde onanza
Losintervalosde onanzaparalamedia,propor iónydiferen iademedias
losvemosenlasiguientetabla
Parámetros Intervalosde onanza
Media
µ
µ − z
α/2· σ
√ n , µ + z
α/2· σ
√ n
Losintervalosde onanzaparalamedia,propor iónydiferen iademedias
losvemosenlasiguientetabla
Parámetros Intervalosde onanza
Media
µ
µ − z
α/2· σ
√ n , µ + z
α/2· σ
√ n
Propor ión
p
ˆ p − z
α/2·
q pq
n , p ˆ + z
α/2·
q pq
n
Losintervalosde onanzaparalamedia,propor iónydiferen iademedias
losvemosenlasiguientetabla
Parámetros Intervalosde onanza
Media
µ
µ − z
α/2· σ
√ n , µ + z
α/2· σ
√ n
Propor ión
p
ˆ p − z
α/2·
q pq
n , p ˆ + z
α/2·
q pq
n
Dif. medias
µ
1− µ
2 X ¯1− ¯ X
2− z
α/2· q σ
1
n
1+ σ
2n
2, ¯ X
1− ¯ X
2+ z
α/2· q σ
1
n
1+ σ
2n
2Losintervalosde onanzaparalamedia,propor iónydiferen iademedias
losvemosenlasiguientetabla
Parámetros Intervalosde onanza
Media
µ
µ − z
α/2· σ
√ n , µ + z
α/2· σ
√ n
Propor ión
p
ˆ p − z
α/2·
q pq
n , p ˆ + z
α/2·
q pq
n
Dif. medias
µ
1− µ
2 X ¯1− ¯ X
2− z
α/2· q σ
1
n
1+ σ
2n
2, ¯ X
1− ¯ X
2+ z
α/2· q σ
1
n
1+ σ
2n
2Elvalor ríti olodeterminamosteniendoen uentaque omo
P (−z
α/2≤ z ≤ z
α/2) =
1− α
enton es
P (z ≤ z
α/2) = P(z ≤ a) =
1+(12−α)ybus andoenlatablade
N(
0,
1)
,obtenemoselvalora = z
α/2quese orresponde onla probabilidad1+(1−α)
2
Otraformadeobtener
z
α/2lovemosa ontinua ión.
Enalgunosproblemas( omoporejemploenlosexámenesdesele tividad),nossuelendaruna
tabladevalores ríti os,
α
,quenospermiten"ver"dire tamenteelvalordez
α/2 .Debajotenemosunadetalestablas.Sinosdi enqueelintervalode onanzaesal90
%
,enton es1
− α =
0.
90⇒ α =
0.
10. Enlaprimera olumnaestánlasdé imasdeα
yenlaprimeralalas entésimas. Ennuestroejemplo0
.
1y0.
00respe tivamente.La asillainterse ióndeestas doses1.
645,yportantoz
α/2=
1.
645.α
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 2.576 2.326 2.170 2.054 1.960 1.881 1.812 1.751 1.695
0.1 1.645 1.598 1.555 1.514 1.476 1.440 1.405 1.372 1.341 1.311
0.2 1.282 1.254 1.227 1.200 1.175 1.150 1.126 1.103 1.080 1.058
0.3 1.036 1.015 0.994 0.974 0.954 0.935 0.915 0.896 0.878 0.860
0.4 0.842 0.824 0.806 0.789 0.772 0.755 0.739 0.722 0.706 0.690
Vemosque uandonosdanestastablas,elvalor ríti oesmásfá ildeobtener.
P.A.U.Extremadura2013/14
Una ompañíaaéreatiene ontratadaunaempresaparalare upera ión delosequipajesperdidos
desuspasajeros.Para omprobarlae ien iadelaempresa,la ompañíadeseasaberla
propor ióndeequipajesre uperados. Paraellorealizaunaen uestaa122pasajerosqueperdieron
elequipaje.Deellos,103lore uperaron.
¾Cuáleslaestima ióndelapropor ióndeequipajesre uperados?.
Obtenerelintervalode onanzaal99