◦ Ba hi

(1)

2◦Ba hilleratoCien iasSo iales

DepartamentodeMatemáti as

I.E.S.VirgendelPuerto-PLASENCIA

Curso2014/15

(2)

1

Introdu ión

2

Estima iónporintervalos onanza

Intervalosde onanza

Constru ióndeintervalosde onanza

EjemploI

Errormáximoadmisible

3

Contrastesdehipótesis

Introdu ión

Contrastesdehipót. paralamedia

EjemploII

Contrastesdehipót. paralapropor ión

Contrastesdehipót. paraladifer.demedias

Notasobreloserroresen ontratesdehipót.

4

ProblemasPropuestos

5

PersonajesenlaHistoria

R.A.FisheryF.Nightingale

6

Bibliografía

7

Créditos

(3)

IraÍndi e

1| Introdu ión

(4)

EneltemaanteriorvimosquelapartedelaEstadísti aqueseo upadelanálisisyextra iónde

on lusionessellamaEstadísti aInferen ial. Éstasedivideen:

(5)

Estadísti aindu tiva,quesebasaenlallamadaestima ióndeparámetrosutilizando

muestras.

(6)

muestras.

Estadísti adedu tiva,quesebasaenlosllamados ontrastesdehipótesisquenospermiten

determinarlosestadísti osapropiadosparatomarunade isiónyrealizarsu orre ta

interpreta ión.

(7)

muestras.

interpreta ión.

(8)

muestras.

interpreta ión.

Convienere ordarlassiguientesdeni ionesquedimoseneltemaanterior:

(9)

muestras.

interpreta ión.

Parámetrospobla ionalesoparámetrossonlosíndi es entrales,deposi ión,dedispersión,

et ,quedenenunapobla ión.

(10)

muestras.

interpreta ión.

Parámetrospobla ionalesoparámetrossonlosíndi es entrales,deposi ión,dedispersión,

et ,quedenenunapobla ión.

Parámetrosmuestralesoestadísti ossonlosíndi es entrales,deposi ión,dedispersión,

et ,quedenenaunamuestraysonfun ióndelamisma.

(11)

IraÍndi e

2| Estima ión

por intervalos

onanza

(12)

Supongamosquequeremosestimarlaalturadedeterminadoalumnodenuestroinstitutoatravés

deunamuestradealumnosyde imosqueesde1

,

⁷⁵

m

^.^Este^tipo^deestima ión,quesellama estima iónpuntual,nonosdi enadasobrelaseguridadodudadequelaalturaseaesa. En

ambio,side imosquelaalturaseen uentraenunintervaloentre1

,

⁷²

m

^y¹

,

⁷⁸

m

^asi^on

seguridad,expresamos iertogradode onanzaenquelaalturadelalumnoseen ontraráentre

estosvalores. Estaestima ión,quellamamosestima iónporintervalos,serámáspre isa uanto

mayorseaelintervalo,aunquetambiénserámayorelerror ometidoenlaestima ión.

(13)

,

⁷⁵

m

,

⁷²

m

^y¹

,

⁷⁸

m

^asi^on

Losestimadorespuntualesmásusadosson:

Lamediamuestralque,dadaunamuestradetamaño

n

^de^una^pobla
ión^que^sigue^una

distribu iónnormalydelaquedes ono emos

µ

^,^viene^dada^por

¯

x = x

1

+ x

2

+ · · · + x

n

(14)

,

⁷⁵

m

,

⁷²

m

^y¹

,

⁷⁸

m

^asi^on

n

^de^una^pobla
ión^que^sigue^una

µ

^,^viene^dada^por

¯

x = x

1

+ x

2

+ · · · + x

n

Lapropor iónmuestralque,dadaunamuestradetamaño

n

^que^sigue^unadistribu ión binomialydelaquedes ono emos

p

^,^viene^dada^por

ˆ p = X

n

donde

X

êsêl^número^deîndividuos^de^la^muestra^queêstánâ^favor^de^la^propuesta.

(15)

,

⁷⁵

m

,

⁷²

m

^y¹

,

⁷⁸

m

^asi^on

n

^de^una^pobla
ión^que^sigue^una

µ

^,^viene^dada^por

¯

x = x

1

+ x

2

+ · · · + x

n

p

^,^viene^dada^por

ˆ p = X

n

X

(16)

,

⁷⁵

m

,

⁷²

m

^y¹

,

⁷⁸

m

^asi^on

n

^de^una^pobla
ión^que^sigue^una

µ

^,^viene^dada^por

¯

x = x

1

+ x

2

+ · · · + x

n

p

^,^viene^dada^por

ˆ p = X

n

donde

X

êsêl^número^deîndividuos^de^la^muestra^queêstánâ^favor^de^la^propuesta.

Enestetemaestamosinteresadosenlaestima iónporintervalos.

(17)

Re uerdaqueparaunapobla iónquesigue

unadistribu iónnormal

N(µ, σ)

sabemos,deladeni ióndefun iónde

densidad,queeláreabajola urvaserála

probabilidadP

(µ − σ ≤

^x

≤ µ + σ)

^.

(18)

N(µ, σ)

probabilidadP

(µ − σ ≤

^x

≤ µ + σ)

^.

Paraéstadistribu iónnormaldeunapobla ión,

N(µ, σ)

^,^hayîertas^áreasôîntervalos

ara terísti osimportantes;estosson:

Enelintervalo

(µ − σ, µ + σ)

^está^el

68

,

²⁶

%

^del^área^total,^y^por^tanto:

P (µ − σ ≤ x ≤ µ + σ) =

⁰

,

⁶⁸²⁶

(19)

N(µ, σ)

probabilidadP

(µ − σ ≤

^x

≤ µ + σ)

^.

N(µ, σ)

Enelintervalo

(µ − σ, µ + σ)

^está^el

68

,

²⁶

%

P (µ − σ ≤ x ≤ µ + σ) =

⁰

,

⁶⁸²⁶

Enelintervalo

(µ −

²

σ, µ +

²

σ)

^está^el

95

,

⁴⁴

%

P (µ −

²

σ ≤ x ≤ µ +

²

σ) =

⁰

,

⁹⁵⁴⁴

(20)

N(µ, σ)

probabilidadP

(µ − σ ≤

^x

≤ µ + σ)

^.

N(µ, σ)

Enelintervalo

(µ − σ, µ + σ)

^está^el

68

,

²⁶

%

P (µ − σ ≤ x ≤ µ + σ) =

⁰

,

⁶⁸²⁶

Enelintervalo

(µ −

²

σ, µ +

²

σ)

^está^el

95

,

⁴⁴

%

P (µ −

²

σ ≤ x ≤ µ +

²

σ) =

⁰

,

⁹⁵⁴⁴

Enelintervalo

(µ −

³

σ, µ +

³

σ)

^está^el

99

,

⁷³

%

P (µ −

³

σ ≤ x ≤ µ +

³

σ) =

⁰

,

⁹⁹⁷³

(21)

N(µ, σ)

probabilidadP

(µ − σ ≤

^x

≤ µ + σ)

^.

N(µ, σ)

Enelintervalo

(µ − σ, µ + σ)

^está^el

68

,

²⁶

%

P (µ − σ ≤ x ≤ µ + σ) =

⁰

,

⁶⁸²⁶

Enelintervalo

(µ −

²

σ, µ +

²

σ)

^está^el

95

,

⁴⁴

%

P (µ −

²

σ ≤ x ≤ µ +

²

σ) =

⁰

,

⁹⁵⁴⁴

Enelintervalo

(µ −

³

σ, µ +

³

σ)

^está^el

99

,

⁷³

%

P (µ −

³

σ ≤ x ≤ µ +

³

σ) =

⁰

,

⁹⁹⁷³

(22)

N(µ, σ)

probabilidadP

(µ − σ ≤

^x

≤ µ + σ)

^.

N(µ, σ)

Enelintervalo

(µ − σ, µ + σ)

^está^el

68

,

²⁶

%

P (µ − σ ≤ x ≤ µ + σ) =

⁰

,

⁶⁸²⁶

Enelintervalo

(µ −

²

σ, µ +

²

σ)

^está^el

95

,

⁴⁴

%

P (µ −

²

σ ≤ x ≤ µ +

²

σ) =

⁰

,

⁹⁵⁴⁴

Enelintervalo

(µ −

³

σ, µ +

³

σ)

^está^el

99

,

⁷³

%

P (µ −

³

σ ≤ x ≤ µ +

³

σ) =

⁰

,

⁹⁹⁷³

Vamosatrasladarestasideasamuestrasde

tamaño

n

^y^a^lasdistribu ionesdelamedia muestral,delapropor iónydeladiferen iade

medias.

(23)

Sabemos,deltemaanterior,queladistribu ióndelamediamuestraldemuestrasdetamaño

n

quepro edendeunapobla ióndemedia

µ

^y^desvia
ión^típi
a

σ

^,^sigue^unadistribu iónnormal

N

µ, σ

√ n

,esde ir,demediamuestral

X ¯ = µ

^y^desvia
ión^típi
a^muestral

σ

x

= σ

√ n

.

(24)

n

µ

^y^desvia
ión^típi
a

σ

N

µ, σ

√ n

X ¯ = µ

^y^desvia
ión^típi
a^muestral

σ

x

= σ

√ n

.

Siahoranosdi enparaunamuestradetamaño

n

^que

P

µ −

²

.

⁵⁸

· σ

√ n ≤ ¯ X ≤ µ +

²

.

⁵⁸

· σ

√ n

=

⁰

,

⁹⁹

sabemosquelamediadelamuestra,

X ¯

^,êstaráênêlîntervalo

µ −

²

.

⁵⁸

· σ

√ n , µ +

²

.

⁵⁸

· σ

√ n

onunaprobabilidaddel99

%

^,^y^esto^será^válido^para^ualquier^muestra^de^tamaño

n

^obtenida^de

lamismaforma. Elintervaloobtenidosellamaintervalode onanzaparaunnivelde

onanza del99

%

^.^Tenemos,^así,^las^siguientesdeni iones

(25)

n

µ

^y^desvia
ión^típi
a

σ

N

µ, σ

√ n

X ¯ = µ

^y^desvia
ión^típi
a^muestral

σ

x

= σ

√ n

.

n

^que

P

µ −

²

.

⁵⁸

· σ

√ n ≤ ¯ X ≤ µ +

²

.

⁵⁸

· σ

√ n

=

⁰

,

⁹⁹

X ¯

µ −

²

.

⁵⁸

· σ

√ n , µ +

²

.

⁵⁸

· σ

√ n

%

n

^obtenida^de

onanza del99

%

Sellamaintervalode onanzaalintervaloque ontienealparámetrodes ono idoquese

estáestimando onunaprobabilidad1

− α

^,^donde

α

^es^el^llamado^nivel^designi a ión. En nuestroejemplo1

− α =

⁰

.

⁹⁹^y

α =

⁰

.

^01.

(26)

n

µ

^y^desvia
ión^típi
a

σ

N

µ, σ

√ n

X ¯ = µ

^y^desvia
ión^típi
a^muestral

σ

x

= σ

√ n

.

n

^que

P

µ −

²

.

⁵⁸

· σ

√ n ≤ ¯ X ≤ µ +

²

.

⁵⁸

· σ

√ n

=

⁰

,

⁹⁹

X ¯

µ −

²

.

⁵⁸

· σ

√ n , µ +

²

.

⁵⁸

· σ

√ n

%

n

^obtenida^de

onanza del99

%

Sellamaintervalode onanzaalintervaloque ontienealparámetrodes ono idoquese

estáestimando onunaprobabilidad1

− α

^,^donde

α

^es^el^llamado^nivel^designi a ión. En nuestroejemplo1

− α =

⁰

.

⁹⁹^y

α =

⁰

.

^01.

Alaprobabilidad1

− α

^se^le^daêl^nombre^de^nivel ^deônanza.Ââda^nivel^deônanza

1

− α

^se^le^asigna^un^valor

z

_α/2

orrespondiente alanormal

N(

⁰

,

¹

)

^,^llamado^valor^ríti
o,^y

queennuestroejemplose orresponde onelfa tor2

.

^58. ^Así,^tenemos

P

µ − z

α/²

· σ

√ n ≤ ¯ X ≤ µ + z

α/²

· σ

√ n

= P(−z

α/²

≤ z ≤ z

α/²

) =

¹

− α

(27)

Losintervalosde onanzaparalamedia,propor iónydiferen iademedias

losvemosenlasiguientetabla

(28)

Parámetros Intervalosde onanza

(29)

Media

µ

µ − z

α/²

· σ

√ n , µ + z

_α/2

· σ

√ n

(30)

Media

µ

µ − z

α/²

· σ

√ n , µ + z

_α/2

· σ

√ n

Propor ión

p

ˆ p − z

α/²

·

q _pq

n , p ˆ + z

_α/2

·

q _pq

n

(31)

Media

µ

µ − z

α/²

· σ

√ n , µ + z

_α/2

· σ

√ n

Propor ión

p

ˆ p − z

α/²

·

q _pq

n , p ˆ + z

_α/2

·

q _pq

n

Dif. medias

µ

1

− µ

²

X ¯

¹

− ¯ X

²

− z

α/²

· q _σ

1

n

¹

+ σ

2

n

²

, ¯ X

¹

− ¯ X

²

+ z

_α/2

· q _σ

1

n

¹

+ σ

2

n

²

(32)

Media

µ

µ − z

α/²

· σ

√ n , µ + z

_α/2

· σ

√ n

Propor ión

p

ˆ p − z

α/²

·

q _pq

n , p ˆ + z

_α/2

·

q _pq

n

Dif. medias

µ

1

− µ

²

X ¯

¹

− ¯ X

²

− z

α/²

· q _σ

1

n

¹

+ σ

2

n

²

, ¯ X

¹

− ¯ X

²

+ z

_α/2

· q _σ

1

n

¹

+ σ

2

n

²

Elvalor ríti olodeterminamosteniendoen uentaque omo

P (−z

α/²

≤ z ≤ z

α/²

) =

¹

− α

enton es

P (z ≤ z

α/²

) = P(z ≤ a) =

¹⁺⁽¹2^−α)

ybus andoenlatablade

N(

⁰

,

¹

)

^,^obtenemos^el^valor

a = z

α/²^que^se orresponde onla probabilidad

1+(¹−α)

2

Otraformadeobtener

z

_α/2

lovemosa ontinua ión.

(33)

Enalgunosproblemas( omoporejemploenlosexámenesdesele tividad),nossuelendaruna

tabladevalores ríti os,

α

^,^que^nos^permiten"ver"dire tamenteelvalorde

z

_α/2 .Debajo

tenemosunadetalestablas.Sinosdi enqueelintervalode onanzaesal90

%

^,^enton
es

1

− α =

⁰

.

⁹⁰

⇒ α =

⁰

.

^10. Ên^la^primeraôlumnaêstán^las^dé
imas^de

α

^y^en^la^primera^la

las entésimas. Ennuestroejemplo0

.

¹^y⁰

.

⁰⁰respe tivamente.La asillainterse ióndeestas doses1

.

^645,^y^por^tanto

z

_α/2

=

¹

.

^645.

α

^0.00 ^0.01 ^0.02 ^0.03 ^0.04 ^0.05 ^0.06 ^0.07 ^0.08 ^0.09

0.0 2.576 2.326 2.170 2.054 1.960 1.881 1.812 1.751 1.695

0.1 1.645 1.598 1.555 1.514 1.476 1.440 1.405 1.372 1.341 1.311

0.2 1.282 1.254 1.227 1.200 1.175 1.150 1.126 1.103 1.080 1.058

0.3 1.036 1.015 0.994 0.974 0.954 0.935 0.915 0.896 0.878 0.860

0.4 0.842 0.824 0.806 0.789 0.772 0.755 0.739 0.722 0.706 0.690

Vemosque uandonosdanestastablas,elvalor ríti oesmásfá ildeobtener.

(34)

P.A.U.Extremadura2013/14

Una ompañíaaéreatiene ontratadaunaempresaparalare upera ión delosequipajesperdidos

desuspasajeros.Para omprobarlae ien iadelaempresa,la ompañíadeseasaberla

propor ióndeequipajesre uperados. Paraellorealizaunaen uestaa122pasajerosqueperdieron

elequipaje.Deellos,103lore uperaron.

¾Cuáleslaestima ióndelapropor ióndeequipajesre uperados?.

Obtenerelintervalode onanzaal99

%

^para^la^estima
ión^puntual^anterior.