Expresiones Algebraicas Expresiones Algebraicas

Expresiones Algebraicas Expresiones Algebraicas

• Una Una expresión algebraica expresión algebraica es una expresión en es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con la que se relacionan valores indeterminados con

constantes y cifras, todas ellas ligadas por un constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, número finito de operaciones de suma, resta,

producto, cociente, potencia y raíz.

producto, cociente, potencia y raíz.

• Ejemplos Ejemplos

2 .

2 )

2 )

3 2 2







x y

x

x y x

b

xy x

a

Tipos de Expresiones Algebraicas Tipos de Expresiones Algebraicas

Expresiones Algebraicas Expresiones Algebraicas

Racionales Irracionales Racionales Irracionales

Enteras Fraccionarias

Enteras Fraccionarias

Expresión Algebraica Racional Expresión Algebraica Racional

• Es racional cuando las variables no están Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación

afectadas por la radicación

• Ejemplo Ejemplo

1 3 2

.

2

2

2 



 y

y

x

x

Expresión Algebraica Irracional Expresión Algebraica Irracional

• Es irracional cuando las variables están Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación

afectadas por la radicación

• Ejemplo Ejemplo

y

x

x 2 

Expr.Algebraica Racional Entera Expr.Algebraica Racional Entera

• Una expresión algebraicas es racional entera Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo cuando la indeterminada está afectada sólo

por operaciones de suma, resta, por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural.

multiplicación y potencia natural.

• Ejemplo Ejemplo

5 4

2 3 x y y

x  

Expresión Algebraica Racional Expresión Algebraica Racional

Fraccionaria Fraccionaria

• Una expresión algebraicas racional es Una expresión algebraicas racional es

fraccionaria cuando la indeterminada aparece fraccionaria cuando la indeterminada aparece

en algún denominador.

en algún denominador.

• Ejemplo Ejemplo

1 ₂ 3



 y x

x

Polinomios Polinomios

• Son las expresiones algebraicas más Son las expresiones algebraicas más usadas.

usadas.

• Sean a Sean a _{0 0} , a , a _{1 1} , a , a _{2 2} , …, a , …, a _{n n} números reales y números reales y n n un número natural, llamaremos

un número natural, llamaremos polinomio polinomio en indeterminada x

en indeterminada x a toda expresión a toda expresión algebraica entera de la forma:

algebraica entera de la forma:

a a _{0 0} + a + a _{1 1} x + a x + a _{2 2} x x ^{2 2} + … + a + … + a _{n n} x x ^{n n}

Ejemplos de polinomios Ejemplos de polinomios

A los polinomios en indeterminada x los A los polinomios en indeterminada x los

simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la

indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).

indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).

3 2

3 3 2

) 3 ) 1

x x

b

x a

 ³

3

5 3

2 )

1 2 )

x x

d c x





 _

Términos Términos

• Monomio : polinomio con un solo término. Monomio : polinomio con un solo término.

• Binomio : polinomio con dos términos. Binomio : polinomio con dos términos.

• Trinomio : polinomio con tres términos. Trinomio : polinomio con tres términos.

• Cada monomio a Cada monomio a _{i i} x x ^{i i} se llama se llama término término . .

• El polinomio será de El polinomio será de grado grado n si el término de mayor n si el término de mayor grado es a

grado es a _{n n} x x ^{n n} con a con a _{n n}   0. 0.

• A a A a _{0 0} se lo llama se lo llama término independiente término independiente . .

• A a A a _{n n} se lo llama se lo llama término principal término principal . .

Ejemplos Ejemplos

El polinomio 0 + 0x + 0x ² + … +0x ⁿ se llama polinomio nulo. Lo simbolizaremos por O _p (x).

No se le asigna grado.

Ejercicio Ejercicio

• Indicar cuáles de las siguientes expresiones Indicar cuáles de las siguientes expresiones

algebraicas son polinomios. En este último caso algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado.

indicar su grado.

2 1 ) 3

) 3 )(

2 (

)

1 3 2

) 1

4 3











 c x

x x

b

x x

a

1

3 ) 2

1 3 ) 2

5 2

)

2 2

















x

x f x

x x x

e

x

d

Polinomios iguales Polinomios iguales

• Dos polinomios son iguales si y sólo si los Dos polinomios son iguales si y sólo si los

coeficientes de los términos de igual grado lo coeficientes de los términos de igual grado lo son. son.

• Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x) Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)

2 2

3 3

) 2 (

) 1 (

) (

2 5

) 1 2

( 5

) ( )

) (

) (

; 5

2 )

( )

x b c

x b

a x

Q

x x

x P b

x b a

a x

Q x

x P a































Suma de Polinomios Suma de Polinomios

• Para sumar dos polinomios se agrupan los Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus términos del mismo grado y se suman sus

coeficientes.

coeficientes.

• Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios

P(x) = -2x P(x) = -2x ^{4 4} + 5x + 5x ^{3 3} – 3x + 1 – 3x + 1

Q(x) = 3x Q(x) = 3x ^{3 3} – 6x – 6x ^{2 2} – 5x - 2 – 5x - 2

Propiedades de la Suma Propiedades de la Suma

• Asociativa Asociativa

• Conmutativa Conmutativa

• Existencia de elemento neutro Existencia de elemento neutro

• Existencia de elemento opuesto Existencia de elemento opuesto

Resta de Polinomios Resta de Polinomios

• Para restar el polinomio Q(x) del polinomio Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de

Q(x).

Q(x).

P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ] P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]

• Ejemplo: Restar los siguientes polinomios Ejemplo: Restar los siguientes polinomios

P(x) = -2x P(x) = -2x ^{4 4} + 5x + 5x ^{3 3} – 3x + 1 – 3x + 1

Q(x) = 3x Q(x) = 3x ^{3 3} – 6x – 6x ^{2 2} – 5x - 2 – 5x - 2

Multiplicación de Polinomios Multiplicación de Polinomios

• Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los

monomio de uno de ellos por cada uno de los

términos del otro y luego se suman los términos de términos del otro y luego se suman los términos de

igual grado.

igual grado.

• Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios

P(x) = -2x P(x) = -2x ^{4 4} + 5x + 5x ^{3 3} – 3x + 1 – 3x + 1

Q(x) = 3x Q(x) = 3x ^{3 3} – 6x – 6x ^{2 2} – 5x – 2 – 5x – 2 P(x).Q(x) = P(x) 3x

P(x).Q(x) = P(x) 3x ^{3 3} + P(x) (-6x + P(x) (-6x ^{2 2} ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2) ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)

Propiedades del Producto Propiedades del Producto

• Asociativa Asociativa

• Conmutativa Conmutativa

• Existencia de elemento neutro. Existencia de elemento neutro.

Algunos productos importantes Algunos productos importantes

• (x+a) (x+a) ^{2 2} =(x+a)(x+a)= x =(x+a)(x+a)= x ^{2 2} + 2ax + a + 2ax + a ^{2 2}

• (x-a) (x-a) ^{2 2} =(x-a)(x-a)= x =(x-a)(x-a)= x ^{2 2} - - 2ax + a 2ax + a ^{2 2}

• (x+a) (x+a) ^{3 3} = x = x ^{3 3} + 3ax + 3ax ^{2 2} + 3a + 3a ^{2 2} x + a x + a ^{3 3}

• (x-a) (x-a) ^{3 3} = x = x ^{3 3} - 3ax - 3ax ^{2 2} + 3a + 3a ^{2 2} x - a x - a ^{3 3}

• (x+a)(x-a)= x (x+a)(x-a)= x ^{2 2} –ax +ax-a –ax +ax-a ^{2 2} = x = x ^{2 2} -a -a ^{2 2}

Ejercicio Ejercicio

• Escribir los desarrollos de Escribir los desarrollos de

2 4 3

2 3 2

2

3 1 3

) 2

) (

)

) 3 2

( )

 

 



  





x x

c

x x

b

x a

3 2 3

3 4

3

3 2 2

) 1

) (

)

) 3 2

( )

 

 



  









x x

f

x x

e

x

d

Ejercicio

Ejercicio : Expresar los siguientes trinomios : Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos

como el cubo de un binomio.

como el cubo de un binomio.

9 30

25 )

49 14

)

1 4

4 )

2 2

2













x x

c

x x

b

x x

a

6 5

4 3

2 3

2 3

8 1 2

6 3 8

)

1 6

12 8

)

8 12

6 )

x x

x x

f

x x

x e

x x

x d





















Ejercicio

Ejercicio : La expresión x : La expresión x ^{2 2} - a - a ^{2 2} es una diferencia es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes

de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de binomios.

diferencias como producto de binomios.

64 )

4 )

36 ) 1

100 )

8 4 2 2









x d

x c

x b

x

a

División de polinomios División de polinomios

• Existe una estrecha analogía entre el Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de cociente de polinomios y la división de

números enteros.

números enteros.

• Recordemos algunas definiciones de la Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros.

división entre números enteros.

División entre números enteros División entre números enteros

• En el conjunto de números enteros, si D En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d

es el dividendo y d   0 es el divisor, 0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c existen y son únicos dos enteros c

(cociente) y (r (resto) tales que (cociente) y (r (resto) tales que

D = d . C + r 0 D = d . C + r 0 ≤ r < |d| ≤ r < |d|

• Si r=0 se dice que D es divisible por d. Si r=0 se dice que D es divisible por d.

División entre números enteros División entre números enteros

• Ejemplo: Realizar las siguientes Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras:

divisiones enteras:

• 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues

29 = 6 . 4 + 5 y 0 29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6 ≤ 5 < 6

• 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues

29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6| ≤ 5 < |-6|

División de polinomios División de polinomios

• Dados los polinomios Dados los polinomios

D(x) = 6x D(x) = 6x ^{3 3} – 17x – 17x ^{2 2} +15x-8 +15x-8

d(x) = 3x – 4 d(x) = 3x – 4

determinar, si es posible, dos polinomios c(x) determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que

y r(x) tales que

D(x) = d(x). C(x) + r(x) D(x) = d(x). C(x) + r(x)

de modo que el grado de r(x) sea menor que de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=O

el grado de d(x) o bien r(x)=O _{p p} (x) (x)

-6x ³ + 8x ²

Ejemplo Ejemplo

6x 6x ^{3 3} – 17x – 17x ^{2 2} + 15x – 8 3x – 4 + 15x – 8 3x – 4 2x ²

0x ³ - 9x ² + 15x

- 3x

9x ² - 12x

0x ² + 3x - 8

+ 1

-3x + 4

0x - 4

Ejercicios Ejercicios

a) a) D(x) = 4x D(x) = 4x ^{5 5} + 2x + 2x ^{3 3} – 24x – 24x ^{2 2} + 18x + 18x

d(x) = x d(x) = x ^{2 2} – 3x – 3x

b) b) D(x) = 16x D(x) = 16x ^{8 8} + 24x + 24x ^{6 6} + 9x + 9x ^{4 4}

d(x) = 4x d(x) = 4x ^{5 5} + 4x + 4x ^{4 4} + 3x + 3x ^{3 3} + 3x + 3x ^{2 2}

c) c) D(x) = 2x D(x) = 2x ^{4 4} – 6x – 6x ^{3 3} + 7x + 7x ^{2 2} – 3x +2 – 3x +2

d(x) = x-2 d(x) = x-2

División de Polinomios División de Polinomios

• Dados los polinomios D(x) y d(x); Dados los polinomios D(x) y d(x);

d(x) d(x)   O O _{p p} (x), diremos que (x), diremos que d(x) divide a d(x) divide a D(x) D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) si y sólo si existe un polinomio c(x)

tal que tal que

D(x) = d(x) . c(x) D(x) = d(x) . c(x)

Ejercicios Ejercicios

• Dados los polinomios P(x) y Q(x) Dados los polinomios P(x) y Q(x)

indica si alguno de ellos es divisible indica si alguno de ellos es divisible

por el otro por el otro

a) a) P(x) = x P(x) = x ^{4 4} -2x -2x ^{3 3} +x +x ^{2 2} -5x + 1 -5x + 1

Q(x) = x Q(x) = x ^{3 3} + x + x ^{2 2} + x + 1 + x + 1

b) b) P(x) = x P(x) = x ^{4 4} +2x +2x ^{3 3} +4x +4x ^{2 2} + 8x +16 + 8x +16

Q(x) = x Q(x) = x ^{5 5} - 32 - 32

Regla de Ruffini

3 -2 -5 -9 2

-3

División de un polinomio por otro División de un polinomio por otro

de la forma (x-a) de la forma (x-a)

3x 3x ^{3 3} – 2x – 2x ^{2 2} – 5x – 9 x – 2 – 5x – 9 x – 2

- 3x - 3x ^{3 3} + 6x + 6x ^{2 2} 3x 3x ^{2 2} + 4x + 3 + 4x + 3

4x 4x ^{2 2} – 5x – 5x

- 4x - 4x ^{2 2} + 8x + 8x

3x – 9 3x – 9

-3x + 6 -3x + 6

-3 -3 ³

6 4

8 3

6

División de un polinomio por otro División de un polinomio por otro

de la forma (x-a) de la forma (x-a)

• División de P(x) = 3x División de P(x) = 3x ^{3 3} – 2x – 2x ^{2 2} – 5x – 9 por (x-2) – 5x – 9 por (x-2) realizada por la Regla de Ruffini

realizada por la Regla de Ruffini

3 -2 -5 -9 3 -2 -5 -9 2 6 8 6 2 6 8 6

3 4 3 -3 3 4 3 -3

1º operación : 3.2 -2 = 4 1º operación : 3.2 -2 = 4

2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3 2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3 3º operación : [3(2)

3º operación : [3(2) ^{2 2} – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3

Raíces de un polinomio Raíces de un polinomio

• Un número real a es Un número real a es raíz de un raíz de un polinomio

polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0 P(x) si y solo si P(a) = 0

• Ejercicio: Ejercicio:

Verifique que x=1 es raíz del polinomio Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3x

P(x) = 3x ^{2 2} + 2x – 5 + 2x – 5

Raíces de un Polinomio Raíces de un Polinomio

• Si un polinomio tiene coeficientes Si un polinomio tiene coeficientes enteros y

enteros y a a es una raíz entera del es una raíz entera del polinomio entonces

polinomio entonces a a divide al término divide al término independiente.

independiente.

• Ejercicio: Calcular las raíces de Ejercicio: Calcular las raíces de

P(x) = 2x P(x) = 2x ^{3 3} - 2x - 2x ^{2 2} - 16x + 24 - 16x + 24

Ejercicio: Calcular las raíces de Ejercicio: Calcular las raíces de

P(x) = 2x

P(x) = 2x ^{3 3} - 2x - 2x ^{2 2} - 16x + 24 - 16x + 24

• Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser divisor de 24.

ser divisor de 24.

• Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x) Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)

Ver x=2 también es raíz de

2x ² + 2x -12

2x

+ 2x -12 = (x-2)(2x+6)

Ejercicio Ejercicio

• Calcular las raíces de Calcular las raíces de

P(x) = x P(x) = x ^{4 4} - x - x ^{3 3} - 6x - 6x ^{2 2} + 4x + 8 + 4x + 8

P(x) = (x-2) ² (x+1) (x+2)

Resolver la siguiente Resolver la siguiente

ecuación ecuación

) 0 2 (

1 )

2 (

) 2 )(

2 )(

2 (

) 2 )(

1 (

) 2 (

) 0 2 )(

2 )(

4 (

8 4

6

2 0 1 2

1 4

2

2

2 2

2 3

4

2 2

 

 















 













 

 

 

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

Soluciones de la Ecuación Soluciones de la Ecuación

Fraccionaria

Fraccionaria