3. Efectúe las operaciones indicadas: Valor: 15% ] [

(1)

TIPO SELECCIÓN ÚNICA: Encierre con un círculo la respuesta correcra. Valor: 5% c/u 1. Matriz cuadrada en la cual todos los elementos que se encuentran fuera de la diagonal principal son

ceros:

a) Columna b) Triangular inferior c) Triangular superior d) Diagonal 2. Matriz cuyo tamaño es 𝑚 × 1:

a) Nula b) Columna c) Cuadrada d) Renglón

3. Matriz cuadrada en la cual los elementos 𝑎_𝑖𝑗 donde 𝑖 < 𝑗 son ceros:

a) Nula b) Triangular inferior c) Triangular superior d) Diagonal

PARTE PRÁCTICA: Desarrolle en forma clara y ordenada cada uno de los siguientes ejercicios.

1. Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de reducción de matrices. Valor: 15%

2. Una compañía de cruceros tiene dos tipos de buques: el buque tipo A con 60 camarotes de lujo y 160 camarotes estándar; el buque tipo B con 80 camarotes de lujo y 120 camarotes estándar. La agencia de viajes requiere un mínimo de 360 camarotes de lujo y 680 camarotes estándar. El costo de operación de un buque tipo A es $ 44,000 y de un buque tipo B es de $ 54,000. ¿Cuántos buques de cada tipo debe utilizar con el fin de minimizar los costos? Valor: 10%

a) Determine las variables de decisión.

b) Escriba la función objetivo si se desea minimizar los costos.

c) Escriba las restricciones.

3. Efectúe las operaciones indicadas: Valor: 15%

[ 1

1 ] [ 1 1

1 1 ] [ 1

1 ] [1 ] [ 1 1 ]

4. Determine los valores de las variables para las cuales la ecuación matricial siguiente es válida:

[

] *

+ [ 1

1 ]

(2)

5. Determine la inversa de A: Valor: 15%

[ 1

1 ]

6. Resuelva utilizando el método Simplex: Valor: 15%

Max Sujeta a:

1

(3)

PARTE PRÁCTICA: Desarrolle en forma clara y ordenada cada uno de los siguientes ejercicios

1

2. Con el comienzo del curso se van a lanzar unas ofertas de material escolar. Un almacén quiere ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas:

el combo #1 contiene 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; el combo #2 contiene 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada combo serán L 65 y L 70, respectivamente, ¿Cuántos combos conviene poner de cada tipo para maximizar el ingreso? Valor: 10%

Max 1 Sujeta a:

1

4. Dadas las matrices: Valor: 10%

*1

1 1+ 𝐵 * 1 1

1 + 𝐶 *

1 + Efectúe las operaciones indicadas: 𝐵 𝐵 𝐶

*1 1 +

6. Construya las siguientes matrices: Valor: 5% c/u

a) Una matriz triangular inferior A de 9 elementos en la cual 𝑎_𝑖𝑗 𝑗 𝑖 para los elementos que no se requiere que sean ceros.

(4)

b) Una matriz diagonal B de 3x3 en la cual _𝑖𝑗 𝑖 𝑗 para los elementos que no se requiere que sean ceros.

* 𝑎

1 + * 1 +

[

] Valor: 10%

Firma: ______________________________________ Fecha: ______________________

(5)

1

2. Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que tomar en su alimentación dos clases de componentes, que llamaremos A y B. Necesita tomar al menos 70 unidades de A y 120 unidades de B. El médico le dá dos tipos de dietas en la que la concentración de dichos componentes es:

Dieta D1: 2 unidades de A y 3 unidades de B Dieta D2: 1 unidad de A y 2 unidades de B

Sabiendo que el precio de la dieta D1 es de € 2.50 y el de la dieta D2 es de € 1.45, ¿cuál es la

combinación óptima para minimizar el costo? Valor: 15%

3. Si *1

1 + 𝐵 *

1+ y 𝐶 [ 1] encuentre: Valor: 15%

a) 𝐵 𝐶 b) 𝐵𝐶

[

1 1

] [

1 1

] [

1 1

1

] Valor: 15%

Max Sujeta a:

(6)

6. Construya una matriz A, triangular inferior de orden 3, donde 𝑎_𝑖𝑗 𝑖 𝑗 para los elementos que no se

requiere que sean ceros. Valor: 15%

Firma: ______________________________________ Fecha: ______________________

(7)

PARTE PRÁCTICA: Desarrolle en forma clara y ordenada cada uno de los siguientes ejercicios (10% c/u)

1. Construya una matriz columna llamada A de 4 elementos en la cual 𝑎_𝑖𝑗 𝑖 𝑗

[

1 1 1] *

1 + *

1 +

3. Efectúe las operaciones indicadas:

*1

1+ 𝐵 [ 1

1 1 1] 𝐶 * 1

1+ 𝐷 [

1 1

]

a) ( 𝐶) b) ( 𝐵 𝐷 ) (𝐶)

4. Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de reducción de matrices.

1 5. Determine la inversa de A:

[1 1 1 ]

6. Se desea cultivar un terreno con dos tipos de frijoles: rojos y negros. Cada hectarea de frijol rojo necesita 4 metros cúbicos de agua anualmenteby cada hectarea de frijol negro necesita 3 metros cúbicos de agua. Se dispone anualmente de 44 metros cúbicos de agua. El costo de cultivar cada hectarea de frijol rojo es de $500 y el costo de cada hectarea de frijol negro es de $225. Se dispone de

$ 4,500 para cubrir los costos. Cada hectarea de frijol rojo genera una utilidad de $ 50,000 y la de frijol negro una utilidad de $ 30,000. Determine las hectareas de cada tipo de frijol que debe cultivar para maximizar la utilidad.

c) Escriba las restricciones

(8)

7. Resuelva utilizando el método Simplex:

Max Sujeta a:

1 1 1

Firma: ______________________________________ Fecha: ______________________

(9)

1

2. Un agricultor vá a comprar fertilizante que contiene 3 nutrientes: A, B y C. Los requerimientos mínimos necesarios son 160 unidades de A, 200 unidades de B y 80 unidades de C. Existen dos marcas muy aceptadas de fertilizante en el mercado. Crece Rápido cuesta $8 la bolsa, contiene 3 unidades de A, 5 unidades de B y 1 unidad de C. Crece Fácil cuesta $6 la bolsa y contiene 2 unidades de cada nutriente. El agricultor desea minimizar el costo mientras se satisfacen los requerimientos de

nutrientes. Valor: 15%

3. Una compañía produce paletas con sabor a limón o a fresa. La compañía puede producir hasta 40.000 paletas. Cada paleta de limón necesita para su elaboración 0.3 gramos de un producto de fermentación y cada paleta de fresa necesita 0.2 gramos de ese mismo producto. Se dispone de 9000 gramos de ese producto para fermentación. El precio de venta de una paleta de fresa es de L.6 y la paleta de limón se vende a L. 7.50 . Si se desea maximizar el ingreso: Valor: 15%

(* 1

1 + * 1

+) * 1 1+

[

1 1 1 1 1 1 1

]

6. Construya la matriz A, de × , en la cual 𝑎_𝑖𝑗 1 𝑗 Valor: 10%

(10)

7. Determine los valores de las variables para las cuales la ecuación matricial siguiente es válida: 10%

[ ] *

1 + *

1 +

Firma: ______________________________________ Fecha: ______________________

(11)

PROBLEMAS CORTOS: Escriba la respuesta correcta. Valor: 5% c/u

1) Construya una matriz A, de 2x2, donde 𝑎_𝑖𝑗 (𝑖 𝑗)³ ...

2) Al realizar las operaciones: [ 1 1 ] [

1 ] obtenemos ...

3) La inversa de *1

1+ es ...

1

2. Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta $35 por barril y crudo pesado a $30 el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0.3 barriles de gasolina (G), 0.2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0.3 barriles de combustible para turbinas (T). Mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0.3 barriles de gasolina, 0.4 barriles de combustible para calefacción y 0.2 barriles de combustible para turbinas. La refinería tiene un contrato para suministrar 900,000 barriles G, 800.000 barriles de C y 500.000 barriles de T. Se desea encontrar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al mínimo costo.

Haga el planteamiento del problema suponiendo que se desea minimizar los costos, con sus variables de

decisión, la función objetivo y restricciones. Valor: 15%

3. Se ha adjudicado a una constructora la construcción de al menos 100 casas. El contrato obliga a construir tres tipos de casas: tipo campo, tipo rancho y tipo colonial, que se venden a $60,000, $50,000 y $70,000, respectivamente. Para la casa tipo campo se necesitan 20 horas de carpintería y 60 horas de obra civil; para la tipo rancho se necesitan 25 horas de carpintería y 45 horas de obra civil; para la tipo campo se necesitan 30 horas de carpintería y 50 horas de obra civil. De acuerdo a la disponibilidad de mano de obra, se cuenta con 3000 horas de carpintería y 8000 horas de obra civil.

Haga el planteamiento del problema suponiendo que se desea minimizar los costos, con sus variables de

decisión, la función objetivo y restricciones. Valor: 15%

(12)

*1 1+ [

1 1 1

] * 1

+ *1+ [1 ]

[ ] *

1 + *

1 +

[

1 1 1 1

]

Firma: ______________________________________ Fecha: ______________________

(13)

TIPO SELECCIÓN ÚNICA: Encierre con un círculo la respuesta correcra. Valor: 5% c/u 1. Si *1+ y 𝐵 [1 ] entonces el producto AB es:

a) 𝐵 *1+ b) 𝐵 *1

+ c) 𝐵 *1

+ d) 𝐵 [1 ] 2. La inversa de la matriz *1

+ es:

a) * 1

+ b) [ 1 1

1 1 ] c) * 1

1+ d) no tiene inversa 3. La siguiente propiedad NO aplica a las matrices (suponiendo que las sumas y multiplicaciones están

definidas:

a) ( 𝐵) 𝐵 b) (𝐵 𝐶) 𝐵 𝐶 c) ( ) d) 𝐵 𝐵 4. En una matriz triangular superior, los ceros están ubicados en los elementos 𝑎_𝑖𝑗 donde:

a) 𝑖 > 𝑗 b) 𝑖 < 𝑗 c) 𝑖 𝑗 d) no tiene ceros

2. Una compañía fabrica dos productos A y B. La utilidad por unidad es de L 50 para el producto A y L 70 para el producto B. Para su fabricación se require el uso de tres materiales C, D y E. El producto A require 1 lb de material C, 1.5 lb de material D y 0.5 lb de material E. El producto B require 1 lb de cada material. Se dispone de 450 lb del material C, 600 lb del material D y 425 lb del material E.

Determine las variables de decisión, función objetivo y restricciones suponiendo que se desea

maximizar la utilidad. Valor: 15%

Max Sujeta a:

1 1

(14)

4. Utilizando las siguientes matrices: Valor: 15%

[ 1 1

] 𝐵 [ 1] 𝐶 [ 1

1 1] 𝐷 *1

1+ 𝐸 * + Efectúe las operaciones:

𝐵 𝐶 𝐸 𝐷

5. Construya una matriz diagonal A de orden 4, donde 𝑎_𝑖𝑗 𝑖 𝑗 para los elementos que no se requiere

que sean ceros. Valor: 15%

Firma: ______________________________________ Fecha: ______________________

(15)

Max Sujeta a:

1 1

[

1 1 ]

4. Un estudiante dedica parte de su tiempo a repartir revistas. La empresa A le paga $5 por cada revista repartida y la empresa B, con revistas más grandes, le paga $7 por revista. El estudiante lleva dos bolsas: una para las revistas A, en la que caben 120 y otra para las revistas B, en la que caben 100. Ha calculado que cada dia es capaz de repartir 150 revistas como máximo. Valor: 15%

a) Identifique las variables de decisión y la función objetivo si se desea maximizar el ingreso.

b) Escriba las restricciones.

[ ] *1

+ *1 1 +

6. Dadas las matrices Valor: 15%

*1

+ 𝐵 [ 1 1

] 𝐶 *1 1

+ 𝐷 [

1 ] Efectúe las operaciones indicadas:

a) 𝐶 b) 𝐵 𝐶 c) 𝐵 𝐶𝐷

(16)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS, ADMINISTRATIVAS Y CONTABLES DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS

METODOS CUANTITATIVOS II EXAMEN I PARCIAL 4/10/15

Nombre: Número Cuenta:

Nombre Catedrático: Sección:

1. Construya una matriz llamada A de orden × en la cual 𝑎_𝑖𝑗 ( 1)^𝑖+𝑗 (𝑖 𝑗) 2. Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de reducción de matrices. Valor: 15%

11

3. Una compañía fabrica tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sillones. Cada silla requiere 1 unidad de madera, 1 unidad de plástico y 2 unidades de aluminio; cada mecedora requiere 1 unidad de madera, 1 unidad de plástico y 3 unidades de aluminio; y cada sillón 1 unidad de madera, 2 unidades de plástico y 5 unidades de aluminio. La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 15000 unidades de aluminio. Cada silla, mecedora y sillón se venden en $24,

$32 y $48, respectivamente.

Haga el planteamiento del problema con sus variables de decisión, la función objetivo y restricciones, suponiendo que se desea maximizar la utilidad. Valor: 15%

Max Sujeta a:

1 1

5. Efectúe las operaciones indicadas Valor: 10% c/u

[ 1 1

] 𝐵 [

] 𝐶 * 1

+ 𝐷 [1 1 1 ] a) 𝐶 𝐵𝐷 b) 𝐶 𝐷 c) ( 𝐶 𝐵)

*1 1+ [

1 1

] *1

1 + *

+

NOTA

(17)

1. Efectúe las operaciones indicadas; Valor: 5% c/u

a) Construya una matriz columna llamada A. de 4 elementos, en la cual 𝑎_𝑖𝑗 𝑖 𝑗 b) Construya una matriz renglón llamada B. de 3 elementos, en la cual _𝑖𝑗 |𝑖 𝑗|

c) Con las matrices obtenidas en los incisos anteriores, efectuar la operación ( 𝐵) 2. Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de reducción de matrices. Valor: 15%

1

11

3. La Editorial Universitaria produce dos libros: Métodos I y Métodos II. La utilidad por unidad es de L 25 y L30, respectivamente. El libro de Métodos I requiere 1 hora para su impresión y 1.5 horas para su empastado. El libro de Métodos II requiere 2 horas para su impresión y 1 hora para su empastado.

Se dispone de 900 horas para imprimir y 750 horas para empastar. Determine cuántos libros de cada tipo debe producir para maximizar la utilidad. Valor: 20%

4. Efectúe las operaciones indicadas Valor: 10% c/u

* 1

+ 𝐵 *

+ 𝐶 *

+

a) (𝐶 𝐵) b) 𝐵 𝐶

*

1 1 1+ *

1 + * 1 1+

VERDADERO O FALSO: Escriba una V en caso de ser verdadera y una F en caso de ser falsa.

Justifique. Valor: 5% c/u

1. Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas siempre tiene al menos una solución ... ( ) 2. Si A es una matriz × entonces ( ) ... ( ) 3. Si [𝑎 𝑎] y 𝐵 [

] entonces 𝐵 [𝑎 𝑎 ] ... ( ) 4. No todas las matrices cuadradas tienen inversa ... ( )

(18)

TIPO SELECCIÓN ÚNICA: Encierre con un círculo la respuesta correcta. Valor: 5% c/u

1. Si *

1 + , 𝐵 *

1 + y 𝐶 𝐵, el elemento𝑐 es

a) 9 b) 6 c) 1 d) 18

2. Si A, B y C son matrices × , entonces ( 𝐶 𝐵) es igual a:

a) 𝐵 𝐶 b) 𝐶 𝐵 c) 𝐵 𝐶 d) 𝐶𝐵

3. La matriz [1

] es una matriz:

a) diagonal b) identidad c) triangular superior d) triangular inferior 4. Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la cual los elementos 𝑎_𝑖𝑗 donde

a) 𝑖 ≠ 𝑗 son 0 b) 𝑖 > 𝑗 son 0 c) 𝑖 < 𝑗 son 1 d) 𝑖 ≠ 𝑗 son 1

2. Un señor tiene pensado poner un puesto en una feria. Piensa vender dos tipos de llaveros, A y B. Tiene disponibles L 200,000 para comprar su mercancía. El costo de los llaveros tipo A es de L 20.00 que luego venderá a L30.00, mientras que el costo de cada llavero tipo B es de L 40.00 que luego venderá a L 55.00. El puesto tiene espacio disponible para hasta 5,000 llaveros tipo A y como máximo 4,000 llaveros tipo B. De experiencias pasadas sabe que puede vender hasta 7,000 llaveros en la semana.

Valor: 10%

3. Efectúe las operaciones indicadas: Valor: 10% c/u

a) ( [ 1

1 ] [ 1

])

b) [ 1 ] [

] [ ]

NOTA

(19)

Max 1 ₃ Sujeta a:

1 ₃ ₃ ₃

₃

Firma: ______________________________________ Fecha: ______________________

(20)

Justifique. Valor: 5% c/u

1. Una matriz identidad es una matriz cuadrada en la cual los elementos de

la diagonal principal son iguales a 1 ... ( ) 2. Si A es una matriz de × , entonces la transpuesta de A es una matriz de × ... ( ) 3. Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si 𝐵 𝐼 ... ( ) 4. Si A es una matriz de × y B es una matriz de × , AB es una matriz de 16 elementos.... ( ) PARTE PRÁCTICA: Desarrolle en forma clara y ordenada cada uno de los siguientes ejercicios.

1. Encuentre la solución óptima utilizando el Método Simplex: Valor: 20%

F.O. Max Restricciones:

1 1

2. Se desea cultivar un terreno con dos tipos de frijoles: rojos y negros. No se pueden cultivar más de 8 hectáreas de frijol rojo ni más de 10 hectáreas de frijol negro. Cada hectarea de frijol rojo necesita 4 metros cúbicos de agua anualmenteby cada hectarea de frijol negro necesita 3 metros cúbicos de agua.

Se dispone anualmente de 44 metros cúbicos de agua. El costo de cultivar cada hectarea de frijol rojo es de $500 y el costo de cada hectarea de frijol negro es de $225. Se dispone de $ 4,500 para cubrir los costos. Cada hectarea de frijol rojo genera una utilidad de $ 50,000 y la de frijol negro una utilidad de

$ 30,000. Se desea maximizar la utilidad. Valor: 10%

c) Escriba las restricciones

3. Determine los valores de las variables para los cuales la siguiente ecuación matricial es válida Valor: 15%

[

1

] [

1

] [11]

NOTA

(21)

a) 𝐶 ( ) 𝐵³ b) 𝐵

Firma: ______________________________________ Fecha: ______________________

(22)

Justifique. Valor: 5% c/u

1. Si A y B son matrices × entonces ( 𝐵 ) 𝐵 ... ( ) 2. Si * 1

1 + entonces *1

1 + ... ( ) 3. La inversa de la matriz * 1

+ es la matriz *1 1

+ ... ( ) PARTE PRÁCTICA: Desarrolle en forma clara y ordenada cada uno de los siguientes ejercicios.

1. Encuentre la región factible, soluciones factibles y solución óptima utilizando el MÉTODO GRÁFICO Valor: 20%

F.O. Max Restricciones:

1

2. Se dispone de 120 gaseosas y de 180 refrescos naturales. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres gaseosas y tres refrescos naturales, y los de tipo B contienen dos gaseosas y cuatro refrescos naturales. El vendedor gana 6 Lempiras por cada paquete que venda de tipo A y 5 Lempiras por cada uno que vende de tipo B. Calcular cuántos paquetes decada tipo debe vender para maximizar la ganancia. (Utilice el MÉTODO SIMPLEX) Valor: 20%

[

1 1

] [

1 1

] [

1 1

1

]

1

5. Si *1

1 + , 𝐵 *

1+ y 𝐶 [ 1], encuentre: ( )𝐵 𝐶 Valor: 15%

NOTA

(23)

TIPO SELECCIÓN ÚNICA: Encierre con un círculo la respuesta correcra. Valor: 5% c/u 1. Si A es una matriz de × y B es una matriz de × , entonces el producto BA es una matriz de

a) × b) × c) × d) no está definida 2. Si [1 ] y 𝐵 [1

]b entonces el producto AB es:

a) 𝐵 [1 ] b) no está definido c) 𝐵 [1 ] d) 𝐵 [1 ] 3. La solución del sistema

a) infinitas soluciones b) no tiene solución c) d) ninguna 4. La siguiente matriz NO representa una matriz reducida:

a) *1

1+ b) *1

1 + c) *1

1 1+ d) * 1

1 + 5. En una matriz triangular inferior los ceros están ubicados en los elementos 𝑎_𝑖𝑗 donde

a) 𝑖 > 𝑗 b) 𝑖 < 𝑗 c) 𝑖 𝑗 d) no tiene ceros

1

2. Un sastre tiene 80 m² de tela de algodón y 120 m² de tela de lana. Un traje de hombre require 1 m² de tela de algodón y 3 m² de tela de lana. Un vestido de mujer require 2 m² de cada tipo de tela. Calcular el número de trajes y vestidos debe confeccionar el sastre para maximizar su utilidad si vende cada traje a $200 y cada vestido a $200. (Utilice el Método Simplex) 20%

*1

1+ 𝐵 * 1

1+ 𝐶 * 1

1+ 𝐷 *1 1

+

a) 𝐶 b) ( 𝐶) c) ( 𝐵 𝐷) 𝐶

4. Construya una matriz A, triangular inferior de orden 3 donde 𝑎_𝑖𝑗 𝑖 𝑗 para los elementos que no se

requiere que sean ceros. Valor: 10%

(24)

METODOS CUANTITATIVOS II EXAMEN I PARCIAL

1

2. Al final de cada mes, después de surtir los pedidos de los clientes regulares, a una compañía le sobra cierta cantidad de café puro y de café especial. La práctica de la compañía ha sido empaquetar una mezcla de menor calidad con 4 onzas de café puro y 12 onzas de café especial, y otra mezcla de mayor calidad con 8 onzas de café puro y 8 onzas de café especial. Así logra una ganancia de $ 0.30 por paquete de mezcla de menor calidad y $ 0.40 por paquete de mezcla de mayor calidad.

Este mes sobraron 1,920 onzas de café especial y 1.600 onzas de café puro. ¿Cuántos paquetes de cada mezcla hay que preparar para lograr la ganancia máxima? (utilice el Método Simplex) 20%

*1

1+ 𝐵 * 1

1+ 𝐶 * 1

1+ 𝐷 [

1 1

] a) 𝐶

b) 𝐵𝐷 𝐶 c) 𝐶

4. Construya una matriz A, cuadrada de 16 elementos donde 𝑎_𝑖𝑗 | 𝑖 𝑗|. Valor: 15%

[

1 1 1 1

] [ 1

]

Firma: ______________________________________ Fecha: ______________________

NOTA

(25)

1. Un fabricante prepara un programa de producción para dos nuevos productos, A y B, con base en la información concerniente a sus tiempos de producción dados en la tabla que sigue:

Máquina A Máquina B Máquina C Producto A 2 horas 1 hora 1 hora Producto B 1 hora 1 hora 3 horas

Las horas disponibles empleadas por semana son: para operación de la maquina A, 70 horas; pa-ra la B, 40 horas; para la máquina C, 90 horas. Si las utilidades en cada unidad de A y B son de $4 y $6, respectivamente, ¿cuántos productos de cada clase debe producir por semana el fabricante con el fin de maximizar la utilidad? ¿Cual es esta utilidad máxima? Valor: 20%

2. Resuelva la siguiente ecuación matricial: Valor: 15%

[1 1

1] * 1

1 + [

1 ]

1

4. Si [ 1 1

1 1

] y 𝐵 [1 ] encuentre 𝐵 Valor: 15%

5. Construya una matriz renglón de 6 elementos que satisfaga lo siguiente: 𝑎_𝑖𝑗 𝑖 𝑗 Valor: 15%

Firma: ______________________________________ Fecha: ______________________

(26)

METODOS CUANTITATIVOS II PRIMER EXAMEN PARCIAL 25/10/09

Desarrolle en forma clara y ordenada cada uno de los siguientes ejercicios

1 1

2. Utilice el Método Gráfico para maximizar sujeto a Valor: 15%

3. Un empresario cría solamente gansos y cerdos. Quiere criar no más de 16 animales. Gasta $15 para criar un ganso y $45 para criar un cerdo y tiene $540 para este proyecto. Encuentre la ganancia máxima que puede tener si cada ganso produce una ganancia de $7 y cada cerdo una de $20. Utilice el Método

Simplex para encontrar la solución óptima. Valor: 20%

4. Dada la matriz *1 1

1 + encuentre la matriz A Valor: 10%

5. Resuelva la siguiente ecuación matricial: Valor: 15%

[ ] [

] [ 1 1

]

6. Sean las matrices 𝐵 *1

1+ y 𝐶 *1

1 + Calcule, si es posible, la matriz (𝐵 𝐶) Valor: 10%

TIPO VERDADERO O FALSO: Valor 4% c/u

Escriba una V en caso de ser verdadera y una F en caso de ser falsa, para lo cual deberá justificar su respuesta.

1. Una matriz es una arreglo rectangular de elementos ... ( ) 2. Se pueden sumar o restar dos matrices si y solo si tienen la misma dimensión ... ( ) 3. No todas las matrices cuadradas tienen una inversa ... ( ) 4. Una matriz cuadrada A se llama matriz diagonal si todas las entradas

que se encuentran fuera de la diagonal principal son ceros. ... ( ) NOTA

(27)

Desarrolle en forma clara y ordenada lo que a continuación se le pide:

1. El gerente de una oficina necesita comprar archiveros nuevos. Sabe que los archiveros ARF cuestan

$40 cada uno, Requieren 6 pies cuadrados de espacio y tienen capacidad de almacenaje de 8 pies cúbicos. Por otra parte, cada archivero Excello cuesta $80, requiere 8 pies cuadrados de espacio de piso y tiene capacidad de almacenaje de 12 pies cúbicos, El gerente dispone de $560 de presupuesto para la compra y además únicamente dispone de 72 pies cuadrados de espacio de piso para los archiveros. El gerente desea tener la capacidad máxima de almacenaje dentro de las limitaciones impuestas por el dinero y el espacio. ¿Cuantos archiveros de cada tipo debe comprar? Resuelva mediante el método

grafico de programación lineal. Valor 20%

2. Un agricultor tienen que decidir cuantos acres debe de sembrar ya sea de Papas ( ) de Maíz ( ) o de Col ( ₃), con limitantes de total de acres disponibles, y un presupuesto determinado. A continuación se presentan la función objetivo y las restricciones del mismo, resuelva usted utilizando el Método Simplex y determine cuantos acres de cada cultivo debe plantar para maximizar sus ganancias?

Valor 15%

Maximizar 1 ₃ (Ganancia total) Sujeto a: ₃ 1 (Número de acres)

1 ₃ (Costos de producción) ₃

3. En el siguiente ejercicio resuelva la ecuación matricial: Valor: 15%

[ ] [ 1

] [

1 ]

4. Ena matriz P se dice ortogonal si 𝑃 𝑃 ¿Es la matriz 𝑃

5* + ortogonal? Valor: 15%

5. Resuelva el sistema usando el método de reducción de matrices Valor: 15%

1

6. Construya una matriz A de × con 𝑎_𝑖𝑗 𝑖 𝑗 Valor: 10%

7. Resuelva la siguiente operación matricial: *1

1 + [

1 ] Valor: 10%

“El éxito es el premio al esfuerzo personal…

ADRF-I-II-08

(28)

PRIMER EXAMEN PARCIAL DE METODOS CUANTITATIVOS II 29/6/07

Nombre:___________________________________ # Cuenta: ______________ Sección:_______

Catedrático:___________________________________________

Desarrolle en forma clara y ordenada lo que a continuación se le pide

1. El Holiday Meal Turkey Ranch está considerando la compra de dos diferentes alimentos para pavo.

Cada alimento contiene, en proporciones variables, algunos o todos los tres ingredientes nutricionales esenciales para la engorda de pavos. El alimento X le cuesta al rancho 0.02 lempiras por libra. La marca Z cuesta 0.03 lempiras por libra. El ranchero desea determinar la dieta de menor costo que cumpla el requerimiento mínimo de alimentación de cada ingrediente nutricional.

La siguiente tabla contiene información relevante sobre la composición de los alimentos X y Z. así como los requerimientos mínimos mensuales de cada ingrediente nutricional por pavo. Utilice el método gráfico de programación lineal para encontrar la solución al problema. Valor: 20%

Ingrediente Alimento X

Alimento Z

Requerimiento mínimo mensual

A 5 onzas 10 onzas 90 onzas

B 4 onzas 3 onzas 48 onzas

C 0.5 onzas 0 1.5 onzas

Costo por libra $ 0.02 $ 0.03

2. Un fabricante produce dos tipos de Automóviles, El modelo Estándar y el Modelo de Lujo. Durante la producción el Estándar requieren del uso de dos máquinas, A y B. El número de horas necesaria en ambas está indicado en la tabla siguiente. Si cada máquina puede utilizarse 24 horas al día y las utilidades en los modelos son de $4 y $6, respectivamente, ¿cuántos automóviles de cada tipo deben de producirse por día para obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima? Valor: 25%

Máquina A Máquina B Estándar 2 horas 4 horas Lujo 4 horas 2 horas Utilice el método Simplex.

3. Construya una matriz A de × para la cual 𝑎_𝑖𝑗 {(𝑖 𝑗) 𝑖 𝑖 ≠ 𝑗

(𝑖 𝑗) 𝑖 𝑖 𝑗 Valor: 10%

4. La inversa de [ 1

1

] es [

1

1 1

]. Encuentre Valor: 10%

5. Sean *

1 + y 𝐵 *

𝑘+ ¿Qué valores de k, si los hay, hacen que 𝐵 𝐵 ? 10%

6. Resuelva el sistema usando el método de reducción de matrices. Valor: 20%

(29)

Desarrolle en forma clara y ordenada lo que a continuación se le pide:

1. La compañía Jardín manufactura dos tipos de productos: bancas y mesas para los dias de campo. Cada producto requiere de la utilización de mano de obra (carpinteros) y de materia prima (madera). La compañía tiene disponibles un total de 25,000 pies tablares de madera y 6,000 horas-hombre. Cada banca requiere de 125 pies tablares de madera y 20 horas-hombre y genera una utilidad de L 90. Cada mesa producida puede ser vendida con una utilidad de L 70 y requiere 100 pies tablares de madera y 30 horas-hombre.

Encuentre por medio del Método Simplex la mejor combinación de producción que maximice las

utilidades. ¿Cuál es la máxima utilidad? Valor: 20%

2. Un fabricante de juguetes prepara un programa para dos nuevos juguetes: muñecas y soldados, con base a la información concerniente a sus tiempos de producción dados en la tabla que sigue:

Producto Máquina A Máquina B Acabado Muñecas 2 horas 1 hora 1 hora Soldados 1 hora 1 hora 3 horas

Las horas disponibles por semana son: para la operación de la máquina A, 70 horas; para la B, 40 horas; para acabado, 90 horas. Si las utilidades que generan cada muñeca y cada soldado son de 4 lempiras y 6 lempiras, respectivamente, ¿Cuántos juguetes de cada uno debe producir semanalmente el fabricante con el fin de maximizar su utilidad? ¿Cuál es esa utilidad máxima? Utilice el Método Gráfico de programación lineal para encontrar la solución. Valor: 20%

3. Construya una matriz A de × para la cual 𝑎_𝑖𝑗 {𝑖 𝑗 𝑖 𝑖 ≠ 𝑗

𝑖 𝑖 𝑗 Valor: 10%

4. Determine los valores de las variables para los cuales la ecuación matricial siguiente es válida. 10%

[

1

] [

1

1 ] [

1 ]

5. Resuelva el sistema usando el método de reducción de matrices: Valor: 20%

1

(30)

Tipo Verdadero o Falso. Valor: 4% c/u

Escriba una V en caso de ser verdadera o una F en caso de ser falsa, para lo cual se requiere justificar.

Observación: A, B, I son matrices.

1. Si A y B son dos matrices del mismo tamaño, entonces A+B = B+A... ( ) 2. Si A es una matriz de cualquier tamaño e I es la matriz identidad,

entonces AI = IA = A ... ( ) 3. Si A = A+B, se puede decir que B es una matriz cero ... ( ) 4. Si [𝑎 ] y 𝐵 *𝑎

+ entonces 𝐵 [𝑎 𝑎 ] ... ( ) 5. El producto AB está definido solo si el número de renglones de A

es igual al número de columnas de B ... ( )

(31)

1. Utilice el método gráfico para minimizar: Valor: 20%

Min Sujeta a:

2. Una compañía fabrica dos tipos de televisores, Plasmas y LCD. Cada uno requiere para su fabricación del uso de tres maquinas, A, B y C. Cada Plasma requiere del uso de la maquina A durante tres horas, de la maquina B por una hora y una hora de la maquina C. Un LCD requiere dos hora de la maquina A, dos horas de la B y una de la C. Además, supongamos que el número máximo de horas disponibles por semana para el uso de las maquinas A, B y C es de 24, 16 y 9 respectivamente. La utilidad para cada Plasma es de L500 y por cada LCD es de L350. Si la compañía vende todos los televisores que puede producir, ¿Cuántos televisores de cada tipo debe producir con el fin de maximizar la utilidad

semanal? (metodo Simplex) Valor 20%

1

4. Realizar las siguientes operaciones:

a) (*1 + *

1 +) Valor: 15%

b) ( [

1

] *1

1 + ) *1

1 + Valor: 10%

5. Construir una matriz triangular inferior A, de orden 4, en la cual Valor: 10%

𝑎_𝑖𝑗 {𝑖 𝑗 𝑝𝑎 𝑎 𝑙𝑜 𝑙 𝑚 𝑛 𝑜 𝑙𝑎 𝑖𝑎 𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑖𝑗 𝑝𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑚 𝑛 𝑎 𝑎

6. Encuentre el valor de a y b. Valor: 10%

*𝑎

+ * + * 𝑎 +

(32)

PRIMER EXAMEN PARCIAL DE METODOS CUANTITATIVOS II

Nombre:___________________________________ # Cuenta: ______________ Sección:_______

Catedrático:___________________________________________

TIPO VERDADERO O FALSO

Escriba una V en caso de que la proposición sea verdadera y una F en caso de ser falsa. Justifique. 2% c/u 1. Una matriz se llama diagonal si es 𝑚 × 𝑛, con 𝑚 ≠ 𝑛 y todas las entradas

Fuera de la diagonal principal son cero... ( ) 2. Sean A, B y C matrices de cualquier tamaño. 𝐵 𝐶 (𝐵 𝐶) ... ( ) 3. Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada donde 𝑎_𝑖𝑗 para 𝑗 > 𝑖

y todas las demás entradas son diferentes de cero ... ( ) 4. Sean A y B dos matrices de igual tamaño. AB = BA ... ( ) 5. AI = IA = A (si estas multiplicaciones están definidas) ... ( ) TIPO PRÁCTICO: Desarrolle en forma clara y ordenada lo que a continuación se le pide

1. (Método Cráfico) Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30,000 yogures.

Cada yogur de limón necesita para su elaboración 0.5 gramos de un producto de fermentación y cada paleta de fresa necesita 0.2 gramos de ese mismo producto. Se dispone de 9000 gramos de ese producto para fermentación. El costo de producción de un yogur de fresa es el doble que el de un yogur de limón, que cuesta L. 7.50 ¿Cuántos yogures de cada tipo se deben producir para que el costo

de la compañía sea mínimo? Valor: 20%

2. Simplifíque la siguiente operación según se indica Valor: 10%

* + [

] 3 [

] * 1 1 +

3. Construya una matriz A de × para la cual 𝑎_𝑖𝑗 {(𝑖 𝑗) 𝑖 𝑖 ≠ 𝑗

𝑖𝑗 𝑖 𝑖 𝑗 Valor: 10%

4. Determine la matriz A que hace verdadera la ecuación matricial Valor: 15%

[ 1 1

1 ] [ 1]

₃ 1 ₃

₃

6. (Método Simplex) Dado el siguiente ejercicio, encuentre la solución. Valor: 20%

Max Sujeta a:

(33)

1. Resuelva mediante el método gráfico de programación lineal:

Ed Goldman, vendedor de la Tuck Tape, tiene que decidir cómo asignar sus esfuerzos entre los diferentes tipos de clientes de su territorio. El puede visitar comerciantes y clientes que compran al menudeo. Una visita a un comerciante usualmente le produce $20 en ventas, pero la visita dura en promedio 2 horas y debe manejar, en promedio 10 millas. En una visita a un comprador al menudeo, le vende $50 y requiere unas 3 horas y manejar 20 millas en promedio. Ed viaja trabajando 600 millas por semana como máximo y prefiere no trabajar más de 36 horas a la semana. Encuentre la

combinación óptima de visitas a comerciantes y clientes al menudeo que le permitan a Ed maximizar

sus ganancias. Valor: 20%

2. Se ha formulado un ejercicio como un problema de programación lineal. A continuación se le presentan la función objetivo y las restricciones del mismo. Resuelva mediante el método Simplex

Maximizar ₃ Valor: 20%

Sujeto a: ₃ ₃ 1

₃

3. En el siguiente ejercicio detremine los valores de u, x, y, z. Valor: 10%

[ 1

1 ] [

1 1

1 ] [

1]

4. Dada la siguiente matriz: *

+ encuentre Valor: 10%

Tipo Verdadero o Falso. Valor: 4% c/u

Escriba una V en caso de ser verdadera o una F en caso de ser falsa, para lo cual se requiere justificar.

Observación: A, B, I son matrices.

1. La columna pivote en el método Simplex es la entrada negativa mayor ... ( ) 2. Las matrices A y B se pueden multiplicar si el número de columnas de

la segunda matriz es igual al número de filas de la primera ... ( ) 3. Una matriz 𝑚 × 𝑛 con 𝑚 ≠ 𝑛 y 𝑎_𝑖𝑗 { 𝑖 𝑖 ≠ 𝑗

𝑖 𝑖 𝑗 es una matriz diagonal ... ( ) 4. Si A y B son matrices cuadradas, se dice que A es la inversa de B si al

multiplicarlas una con otra el resultado es una matriz diagonal ... ( )

(34)

SELECCIÓN ÚNICA: Encierre la respuesta que hace correcta la esxpresión, Valor: 4%

1. La siguiente matriz A corresponde a una matriz identidad:

a) 𝑚 ≠ 𝑛 ; 𝑎_𝑖𝑗 {1 𝑜𝑛 𝑖 ≠ 𝑗 𝑜𝑛 𝑖 𝑗 b) 𝑚 ≠ 𝑛 ; 𝑎_𝑖𝑗 { 𝑜𝑛 𝑖 ≠ 𝑗

1 𝑜𝑛 𝑖 𝑗 c) 𝑚 𝑛 ; 𝑎_𝑖𝑗 {1 𝑜𝑛 𝑖 ≠ 𝑗 𝑜𝑛 𝑖 𝑗 d) 𝑚 𝑛 ; 𝑎𝑖𝑗 { 𝑜𝑛 𝑖 ≠ 𝑗

1 𝑜𝑛 𝑖 𝑗

(35)

Desarrolle en forma clara y ordenada lo que a continuación se le pide

1. José, Jaime y Javier son amigos que fabrican modelos por diversión y para vender. Los modelos son aeroplanos (A), barcos (B) y carros (C). José dedica 2 horas a A, 3 horas a B y 2 horas a C; Jaime dedica 3 horas a A, 2 horas a B y 4 horas a C; Javier dedica 4 horas a A, 1 hora a B y 3 horas a C.

José tiene no más de 17 horas mensuales para trabajar en modelaje, Jaime no más de 20 y Javier no más de 17. La ganancia es de $5 por aeroplano, $6 por barco y $8 por carro. ¿Cuántos modelos deben fabricar para que la ganancia sea máxima? Use el método Simplex. Valor: 20%

2. Encontrar la inversa de [

1 1 1

1 1

] Valor: 15%

1

4. Si A es una matriz de 1 × 1 , ¿cuántas entradas tiene A?

Si 𝑎𝑖𝑗 {1 𝑝𝑎 𝑎 𝑖 𝑗

𝑝𝑎 𝑎 𝑖 ≠ 𝑗 encuentre 𝑎3 𝑎33 𝑎 Valor: 10%

5. Si [ 1

1] 𝐵 *1

1+ 𝐶 *1

1 + y 𝐷 *1 1

1 + calcular, si es posible 10% c/u a) (𝐷 )

b) 𝐵 𝐶

6. La siguiente tabla muestra la interacción entre dos sectores de una economía hipotética: Valor: 20%

a) Encontrar la matriz insumo-producto A

b) Suponga que en tres años la demanda de producción agrícola decerece a 63 unidades y la de bienes manufacturados aumenta a 105 unidades. Determinar el nuevo vector de producción que satisfaga estas nuevas demandas.

Agricultura Bienes manufacturados

Demanda final

Producción total

Agricultura 240 270 90 600

Bienes

manufacturados 300 90 60 450

Mano de obra 60 90