Tema 1: Sintaxis y Semántica de la Lógica Proposicional

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L´ogica Proposicional

Introducci´on

Sintaxis Fórmulas Inducción sobre fórmulas

Semántica Funciones de verdad Valoraciones Consecuencia Lógica y satisfactibilidad Problemas de decisión

Tema 1:

Sintaxis y Sem´ antica de la L´ ogica Proposicional

Dpto. Ciencias de la Computaci´on e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla

Lógica Informática (Tecnolog´ıas Informáticas)

Curso 2015–16

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Introducci´on

Contenido

Introducci´on

Sintaxis F´ormulas

Inducci´on sobre f´ormulas

Sem´antica

Funciones de verdad Valoraciones

Consecuencia L´ogica y satisfactibilidad

Problemas de decisi´on

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Introducci´on

Problema b´ asico

Dados un conjunto de afirmaciones (hechos, hip´otesis,...), BC, y una afirmaci´on A, decidir si A ha de ser necesariamente cierta, suponiendo que todos las afirmaciones de BC lo son.

La L´ogica proporciona formulaciones precisas de este problema y diferentes soluciones.

Algunos aspectos esenciales de este problema son:

1. El lenguaje para expresar (representar) los afirmaciones.

2. La definición precisa de la noción de “afirmación cierta”.

3. Reglas y procedimientos efectivos para garantizar la corrección de las deducciones (cálculos deductivos, algoritmos de deducción).

Empezaremos estudiando estas cuestiones en el caso m´as simple: la L´ogica Proposicional.

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Introducci´on

L´ ogica proposicional

Caracter´ısticas generales de la L´ogica proposicional:

I Es una l´ogica cuyas expresiones representan afirmaciones que pueden considerarse verdaderas o falsas.

I La expresiones de la lógica (fórmulas) se construyen a partir de las expresiones básicas mediante composición, usando para ello operadores básicos (conectivas).

I Las conectivas se corresponden con formas sencillas de construir afirmaciones complejas en el lenguaje natural partiendo de otras mas sencillas:

I Conjunci´on: “. . . tal . . . y. . . cual. . . ”

I Disyunci´on: “. . . tal . . . o. . . cual . . . ”

I Implicaci´on “Si . . . tal . . . entonces. . . cual . . . ”

I Negaci´on: “No es cierto que tal . . . ”

I S´olo permite analizar las formas de razonamiento ligadas a este tipo de construcciones.

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Introducci´on

S´ımbolos del lenguaje

El lenguaje de la l´ogica proposicional consta de:

1. Un conjunto numerable, VP, de variables proposicionales: p₀, p₁, . . . , p, q, r , . . . 2. Las conectivas l´ogicas:

I De aridad 1: ¬ (negaci´on).

I De aridad 2: ∨ (disyunci´on), ∧ (conjunci´on),

→ (condicional) y ↔ (bicondicional).

3. S´ımbolos auxiliares: “(” y “)”.

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Introducci´on

F´ ormulas

El conjunto de las f´ormulas proposicionales es el menor conjunto de expresiones PROP tal que:

I VP ⊆ PROP ,

I Si F ∈ PROP entonces ¬F ∈ PROP

I F , G ∈ PROP entonces

(F ∨ G ), (F ∧ G ), (F → G ), (F ↔ G ) ∈ PROP.

La sintaxis del lenguaje pretende evitar la ambigüedad en la interpretación de las fórmulas. Esa es la función de los s´ımbolos auxiliares.

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Introducci´on

Arboles de formaci´ ´ on

I Asociamos a cada fórmula un árbol de formación (esencialmente único) que describe el modo en que se construye la fórmula a partir de otras más sencillas.

I Ejemplo:

¬(¬(p ∨ q) → (¬r ∧ s)) (¬(p ∨ q) → (¬r ∧ s))

H HH

¬(p ∨ q) (p ∨ q)

HH

p q

(¬r ∧ s)

HH

¬r r

s

I Las fórmulas que aparecen en el árbol de formación de una fórmula F se denominan subfórmulas de F .

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Introducci´on

Reducci´ on de par´ entesis

Para facilitar la lectura de las f´ormulas adoptaremos los siguientes convenios de notaci´on:

1. Omitiremos los par´entesis externos.

2. Daremos a las conectivas una precedencia de asociaci´on.

De mayor a menor, est´an ordenadas por: ¬, ∧, ∨, →, ↔.

I Ejemplo: F ∧ G → ¬F ∨ G es ((F ∧ G ) → (¬F ∨ G )).

3. Cuando una conectiva se usa repetidamente, se asocia por la derecha: F ∨ G ∨ H es (F ∨ (G ∨ H)).

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Introducci´on

Principio de Inducci´ on sobre f´ ormulas

Gracias a la definición de PROP si deseamos probar que toda fórmula proposicional satisface cierta propiedad Ψ, podemos probarlo por inducción sobre fórmulas.

Para ello probamos:

1. Caso base: Si F ∈ Var , entonces F tiene la propiedad Ψ.

2. Paso de inducci´on:

2.1 Si F ∈ PROP tiene la propiedad Ψ, entonces ¬F tiene la propiedad Ψ.

2.2 Si F , G ∈ PROP tienen la propiedad Ψ, entonces (F ∨ G ), (F ∧ G ), (F → G ) y (F ↔ G ) tambi´en tienen la propiedad Ψ.

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Introducci´on

Funciones de verdad

I Los elementos del conjunto {0, 1} se llaman valores de verdad. Se dice que 0 es el valor falso y el 1 es el valor verdadero.

I El significado de una conectiva se determina mediante su funci´on de verdad:

I Para la negación su función de verdad es la función H_¬(i ) =

1, si i = 0;

0, si i = 1.

y para las dem´as conectivas:

I H_∨(i , j ) =

0, si i = j = 0;

1, en otro caso.

I H_∧(i , j ) =

1, si i = j = 1;

0, en otro caso.

I H→(i , j ) =

0, si i = 1, j = 0;

1, en otro caso.

I H↔(i , j ) =

1, si i = j ; 0, en otro caso.

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Introducci´on

Valoraciones

I Las variables proposicionales se interpretan mediante una valoración de verdad (o interpretación), es decir, una aplicación

v : VP → {0, 1}

I Podemos extender cada valoración, v , al conjunto de todas las fórmulas de manera que para cada fórmula F se verifique:

I v (¬F ) = H_¬(v (F )).

I v ((F ∨ G )) = H_∨(v (F ), v (G )).

I v ((F ∧ G )) = H_∧(v (F ), v (G )).

I v ((F → G )) = H_→(v (F ), v (G )).

I v ((F ↔ G )) = H_↔(v (F ), v (G )).

I Fijada v , estas ecuaciones permiten asignar de manera

´

unica un valor v (F ) a cada f´ormula. Se dice que v (F ) es el valor de verdad de F respecto de v .

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Introducci´on

Valor de verdad (I)

Veamos el cálculo de v (¬(¬(p ∨ q) ∨ (¬r ∨ s)) en el árbol de formación.

¬(¬(p ∨ q) ∨ (¬r ∨ s)) (0)

¬(p ∨ q) ∨ (¬r ∨ s) (1)

HH H H

¬(p ∨ q) (0) (p ∨ q)

(1)

H H H p (1)

q (1)

(¬r ∨ s) (1)

HH

¬r (1)

r (0)

s (0)

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Introducci´on

Valor de verdad (II)

El valor v (F ) est´a bien definido gracias al siguiente resultado:

Teorema. Para cada valoraci´on de verdad, v , existe una

´

unica aplicaci´on V : PROP → {0, 1} tal que

V (A) =











v (A) si A ∈ VP

H¬(V (B)) si A es ¬B

H∨(V (B), V (C )) si A es (B ∨ C ) H∧(V (B), V (C )) si A es (B ∧ C ) H→(V (B), V (C )) si A es (B → C ) H↔(V (B), V (C )) si A es (B ↔ C )

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Introducci´on

Tablas de verdad

Dada una valoración v , el valor de verdad de una fórmula F respecto de v está determinado por los valores de verdad de las subfórmulas de F .

Ejemplo: si v (p) = v (q) = 0 y v (r ) = 1, entonces v (¬((p → q) ∨ r )) = H¬(H∨(v (p → q), v (r ))) =

= H¬(H∨(H→(v (p), v (q)), 1)) = 0 Fijada v podemos presentar el c´alculo de F mediante una tabla:

p q r p → q (p → q) ∨ r ¬((p → q) ∨ r )

0 0 1 1 1 0

Una tabla de verdad para F es una tabla similar que contiene una fila por cada valoraci´on que asigne valores distintos a las variables proposicionales que aparecen en F .

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Introducci´on

Validez y satisfactibilidad (I)

I Decimos que una f´ormula F es v´alida en v , o que v es un modelo de F , si v (F ) = 1.

I Notaci´on: v |= F .

I Una valoración v es modelo de un conjunto de fórmulas U, v |= U, si v es modelo de toda fórmula de U.

I Una fórmula F es una tautolog´ıa (o válida) si es válida para toda valoración (notación |= F ).

I Una f´ormula F es satisfactible (o consistente) si existe una valoraci´on que es modelo de F . En caso contrario diremos que es insatisfactible (o inconsistente).

I An´alogamente, un conjunto de f´ormulas U es

satisfactible (o consistente) si existe una valoraci´on que es modelo de U. En caso contrario diremos que es insatisfactible (o inconsistente).

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Introducci´on

Validez y satisfactibilidad (II)

Relaci´on entre ambos conceptos:

Lema. Para cada F ∈ PROP se verifica:

I Si F es un tautolog´ıa entonces F es satisfactible.

I F es una tautolog´ıa si y s´olo si ¬F insatisfactible.

Ejemplos:

I Son tautolog´ıas: (p ∨ ¬p) y ((p → q) → p) → p.

I p ∧ ¬p es insatisfactible y, por tanto, ¬(p ∧ ¬p) es una tautolog´ıa.

I (p → q) → p es satisfactible pero no es una tautolog´ıa.

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Introducci´on

Consecuencia L´ ogica

I Una fórmula F es consecuencia lógica de un conjunto de fórmulas U, si todo modelo de U es modelo de F . Es decir, para toda valoración, v ,

v |= U =⇒ v |= F

I Notaci´on: U |= F .

I La relación de consecuencia lógica permite formular el problema básico en el marco de la lógica proposicional.

Relaci´on entre consecuencia l´ogica, consistencia y validez:

Proposici´on. Sea {F1, . . . Fn} ⊆ PROP. Son equivalentes:

I {F₁, . . . , Fn} |= F

I F₁∧ · · · ∧ F_n→ F es un tautolog´ıa.

I {F₁, . . . , F_n, ¬F } es insatisfactible.

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Introducci´on

Algoritmos de decisi´ on

Dado un conjunto de f´ormulas proposicionales, U, un algoritmo de decisi´on para U es un algoritmo que dada A ∈ PROP, devuelve SI cuando A ∈ U y NO si A 6∈ U.

Casos especialmente interesantes:

I SAT = {A ∈ PROP : A es satisfactible}

I TAUT = {A ∈ PROP : A es una tautolog´ıa}

I Fijado U ⊆ PROP, la teor´ıa de U es

T (U) = {A ∈ PROP : U |= A}

Un algoritmo de decisi´on para T (U) propociona una respuesta al Problema B´asico considerado al principio del tema.

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Introducci´on

Algoritmos de decisi´ on (II)

Problema B´asico:

Obtener un algoritmo que dado un conjunto finito de f´ormulas proposicionales, U, y una f´ormula F decida si U |= F .

El problema anterior se reduce a decidir la satisfactibilidad de una cierta f´ormula (o si se prefiere, la validez de otra).

Por tanto,

I La construcci´on de tablas de verdad proporciona un algoritmo (ineficiente) para decidir la consecuencia l´ogica.

I El Problema Básico es resoluble algor´ıtmicamente, aunque no se conoce ninguna solución eficiente y se duda de la existencia de algoritmos de decisión eficientes para este problema, ya que

I Determinar la satisfactibilidad de una f´ormula proposicional es un problema NP-completo.

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Introducci´on

Algoritmos de decisi´ on (III)

Problema B´asico (bis):

Obtener un algoritmo eficiente que dado un conjunto finito de f´ormulas proposicionales, U, y una f´ormula F decida si U |= F .

Observaciones:

I Este problema es equivalente al de obtener un algoritmo eficiente para determinar la satisfactibilidad de una f´ormula proposicional.

I Se trata de un problema abierto, que posiblemente tendr´a una respuesta negativa (se cree que no existen algoritmos eficientes para resolver SAT).

I Para propósitos prácticos puede bastar con algoritmos eficientes para alguna clase especial de fórmulas.