d = a + b + c = c + c = 4a e = 2 d = 8a

(1)

Solu ión 1.

b = a

c = a + b = 2a

d = a + b + c = c + c = 4a e = 2 d = 8a

f = 2 e = 16a = 7392

Enton es

a =

⁷³⁹²₁₆

= 462 .

Solu ión 2. Lossiguientesmovimientos sonforzadosparaqueeljugadorenturnonopierdaenlasiguiente

jugada:

A

^debe^moverûna^ha^ha
ia^laêsquina^superiorîzquierda;^luego

B

^debe^moverla^(yêsîgualêl^lugar

alquelamueva); luego

A

^debe^meterôtra^haâl^tablero^y,^sinîmportarûál^meta,

B

^podrá^meter^la^ter
era

hademaneraquelastres asillasblan asesténo upadas;asínalmente

A

^deberá^mover^una^ha^ha
ia^la

asillasombreaday

B

^ganará.

Solu ión 3. Primeraforma: Al to arlapelotaenlasegundaparedseformauntriánguloisós eles onbase

2 d

^y^lo^mismoô
urre ôn ^las^siguientes ^paredes. Ênton
es^to
a ^la^primera ^pared^si ^y^sólo^si

0 ≤ d ≤ 1

^;^to
a

lasegundasiy sólosi

1 ≤ 2d ≤ 2

^; ^to
a ^la^ter
era^si ^y^sólo ^si

2 ≤ 3d ≤ 3

^, ^y^to
a^la ^uarta^pared^si ^y^sólo ^si

3 ≤ 4d ≤ 4

^. ^Combinando^tenemos ³4

≤ d ≤ 1

^.

2d

d

Segunda forma: Imaginemos que ada paredes omo unespejo. Enton es el rebote se verá omo una línea

re ta y on el toque de la pelota en la última pared se formará un triángulo re tángulo onbase

4 d

^(por

semejanza). Enton esla ondi iónserá

3 ≤ 4d ≤ 4

^,^lo^que^esequivalentea

3

4

≤ d ≤ 1

^.

4d

Solu ión 4. Sea

x

²

= n + 3600

^. ^Tenemos^que

0 < x

²

− 3600 < 2005

^,^así^que

√

3600 < x < √

5605

,dedonde

60 < x ≤ 74

^. ^Por^otro^lado,^tanto

3600

omo

n

^son^múltiplos^de⁹^(la^suma ^de^las^ifras^de

n

^es^18),^así^que

x

^es^múltiplo^de^3. ^Lasposibilidadespara

x

^son^63,^66,⁶⁹^y^72. ^Los^valoresrespe tivospara

n

^son: ^369,^756,

1161y1584. El úni ovalorquenotienesumade dígitosiguala18 es1161asíquelostresposiblesvalores

para

n

^son^369,⁷⁵⁶^y^1584.

(2)

Solu ión 5. El área

A

^de

ABC

^es ^la ^suma ^de ^las ^áreas ^de ^los ^triángulos

AHB

^,

BHC

^y

CHA

^, ^así ^que

A = 3 ×

^2k2

= 3 k

^. ^Por ^tener^lados ^paralelos^a

ABC

^,^el^triángulo

XY Z

^también^esequilátero. Llamemos

x

^a

suladoy,aligualquehi imos on

ABC

^,^al
ulemos^su^área

X

^omo^suma^de^las^áreas^de^los^triángulos^on

base

x

^y^vérti
e^opuesto

H

^,^esto^es,

X = 3 × x

^2k+3k+4k2

=

^9kx

2 ^. ^Por^otro^lado,

X = A+

^suma^de^las^áreas^de

lostrape ios

Y BCZ

^,

ZCAX

^y

XABY

^,^o^sea

9 kx

2 = 3 k + x + 2

2 k + x + 2

2 2 k + x + 2

2 3 k = 3k + x + 2 2 6 k.

Multipli andopor2ydividiendoentre

k

^tenemos

9 x = 6 + 6x + 12

^,^de^donde

x = 6

^.

Solu ión 6. Cada amino debe pasar por exa tamente una línea horizontal en ada nivel ( onsiderando

nivelesloshexágonosverti ales,esde ir,elprimernivel onstadelhexágonoquetieneelpunto

A

^,^el^segundo

nivel onstadelosdos hexágonospegadosaél, elter eroeselhexágono junto aesosdos, et .). Laele ión

deunalíneahorizontalen adanivelnoestá ondi ionadaporlasele iones anterioresylaele iónen ada

niveldeterminael amino,asíqueelnúmerototalde aminosesigualalnúmerodeposiblesele iones delas

líneashorizontales:

2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 = 2

⁵

× 3

⁴

= 2592

.