Producto de matrices triangulares por vectores
Objetivos. Mostrar c´omo el producto de una matriz por un vector se simplifica en el caso de matrices triangulares, convertir la f´ormula en un algoritmo y calcular el n´umero de operaciones aritm´eticas.
Requisitos. Matrices triangulares, notaci´on breve para las sumas, programaci´on con ciclos y matrices.
1. Una matriz A de tama˜no n × n se llama triangular inferior, si para cada par de ´ındices j, k∈{1, . . . , n}, si j < k, entonces Aj,k = 0. Denotamos el conjunto de todas las matrices reales triangulares inferiores por ltn(R):
ltn(R) :=
A∈ Mn(R) : ∀j, k ∈{1, . . . , n} (j < k) ⇒ (Aj,k= 0) .
2. Recordamos la f´ormula para las entradas del producto Ab, donde A ∈ Mn(R) y b∈ Rn:
(Ab)j = Xn
k=1
Aj,kbk.
3. Producto de una matriz triangular inferior por un vector, n = 4. Escribamos de manera expl´ıcita el producto Ab, donde A ∈ lt4(R) y b ∈ R4:
A1,1 0 0 0
A2,1 A2,2 0 0 A3,1 A3,2 A3,3 0 A4,1 A4,2 A4,3 A4,4
b1 b2 b3 b4
=
A1,1b1 A2,1b1+ A2,2b2 A3,1b1+ A3,2b2+ A3,3b3 A4,1b1+ A4,2b2+ A4,3b3+ A4,4b4
.
Se ve que
(Ab)1= A1,1b1 = X1
k=1
A1,kbk,
(Ab)2= A2,1b1+ A2,2b2 = X2
k=1
A2,kbk,
(Ab)3= A3,1b1+ A3,2b2+ A3,3b3= X3
k=1
A3,kbk,
(Ab)4= A4,1b1+ A4,2b2+ A4,3b3+ A4,4b4 = X4
k=1
A4,kbk.
Producto de matrices triangulares por vectores, p´agina 1 de 2
4. Producto de una matriz triangular inferior por un vector. Calculamos la j-
´esima componente del producto Ab, donde A ∈ ltn(R) y b ∈ Rn: (Ab)j=
Xn k=1
Aj,kbk= Xj
k=1
Aj,kbk+ Xn k=j+1
Aj,kbk.
Notamos que en la ´ultima suma k ≥ j + 1 > j y por lo tanto Aj,k = 0. Se queda la suma con k de 1 a j:
(Ab)j = Xj
k=1
Aj,kbk.
5. Algoritmo de multiplicaci´on de una matriz triangular inferior por un vector.
Entrada: una matriz A, un vector b.
Se supone que A y b cumplen con los siguientes requisitos:
la matriz A es cuadrada y triangular inferior, la longitud de b coincide con el orden de A.
n← longitud(b);
c← vector nulo de longitud n;
Para j← 1, . . . , n:
Para k← 1, . . . , j:
cj← cj+ Aj,kbk. Salida: c.
6. N´umero de las operaciones de multiplicaci´on en el algoritmo. Dentro del ciclo interior (sobre k) tenemos una multiplicaci´on, por eso en total el n´umero de las operaciones de multiplicaci´on es
Xn j=1
Xj k=1
1 = Xn
j=1
j = n(n + 1)
2 .
7. Ejercicio. Calcule la suma
Xn j=1
Xn k=j
1.
Respuesta: n(n + 1)
2 .
8. Ejercicio. Haga razonamientos similares para el producto de una matriz triangular superior por un vector.
Producto de matrices triangulares por vectores, p´agina 2 de 2