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Producto de matrices triangulares por vectores

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Academic year: 2022

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Producto de matrices triangulares por vectores

Objetivos. Mostrar c´omo el producto de una matriz por un vector se simplifica en el caso de matrices triangulares, convertir la f´ormula en un algoritmo y calcular el n´umero de operaciones aritm´eticas.

Requisitos. Matrices triangulares, notaci´on breve para las sumas, programaci´on con ciclos y matrices.

1. Una matriz A de tama˜no n × n se llama triangular inferior, si para cada par de ´ındices j, k∈{1, . . . , n}, si j < k, entonces Aj,k = 0. Denotamos el conjunto de todas las matrices reales triangulares inferiores por ltn(R):

ltn(R) :=

A∈ Mn(R) : ∀j, k ∈{1, . . . , n} (j < k) ⇒ (Aj,k= 0) .

2. Recordamos la f´ormula para las entradas del producto Ab, donde A ∈ Mn(R) y b∈ Rn:

(Ab)j = Xn

k=1

Aj,kbk.

3. Producto de una matriz triangular inferior por un vector, n = 4. Escribamos de manera expl´ıcita el producto Ab, donde A ∈ lt4(R) y b ∈ R4:

A1,1 0 0 0

A2,1 A2,2 0 0 A3,1 A3,2 A3,3 0 A4,1 A4,2 A4,3 A4,4

 b1 b2 b3 b4

=

A1,1b1 A2,1b1+ A2,2b2 A3,1b1+ A3,2b2+ A3,3b3 A4,1b1+ A4,2b2+ A4,3b3+ A4,4b4

 .

Se ve que

(Ab)1= A1,1b1 = X1

k=1

A1,kbk,

(Ab)2= A2,1b1+ A2,2b2 = X2

k=1

A2,kbk,

(Ab)3= A3,1b1+ A3,2b2+ A3,3b3= X3

k=1

A3,kbk,

(Ab)4= A4,1b1+ A4,2b2+ A4,3b3+ A4,4b4 = X4

k=1

A4,kbk.

Producto de matrices triangulares por vectores, p´agina 1 de 2

(2)

4. Producto de una matriz triangular inferior por un vector. Calculamos la j-

´esima componente del producto Ab, donde A ∈ ltn(R) y b ∈ Rn: (Ab)j=

Xn k=1

Aj,kbk= Xj

k=1

Aj,kbk+ Xn k=j+1

Aj,kbk.

Notamos que en la ´ultima suma k ≥ j + 1 > j y por lo tanto Aj,k = 0. Se queda la suma con k de 1 a j:

(Ab)j = Xj

k=1

Aj,kbk.

5. Algoritmo de multiplicaci´on de una matriz triangular inferior por un vector.

Entrada: una matriz A, un vector b.

Se supone que A y b cumplen con los siguientes requisitos:

la matriz A es cuadrada y triangular inferior, la longitud de b coincide con el orden de A.

n← longitud(b);

c← vector nulo de longitud n;

Para j← 1, . . . , n:

Para k← 1, . . . , j:

cj← cj+ Aj,kbk. Salida: c.

6. N´umero de las operaciones de multiplicaci´on en el algoritmo. Dentro del ciclo interior (sobre k) tenemos una multiplicaci´on, por eso en total el n´umero de las operaciones de multiplicaci´on es

Xn j=1

Xj k=1

1 = Xn

j=1

j = n(n + 1)

2 .

7. Ejercicio. Calcule la suma

Xn j=1

Xn k=j

1.

Respuesta: n(n + 1)

2 .

8. Ejercicio. Haga razonamientos similares para el producto de una matriz triangular superior por un vector.

Producto de matrices triangulares por vectores, p´agina 2 de 2

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