Pseudom´ etrica inducida por una medida exterior
Tarea adicional
Objetivos. Dada una medida exterior ϕ : 2X → [0, +∞], mostrar que la funci´on d(A, B) := ϕ(A 4 B) (A, B ∈ 2X)
es una pseudom´etrica en 2X y que las operaciones ∪, ∩, \ y 4 son Lipschitz continuas respecto a esta pseudom´etrica.
Requisitos. Medida exterior, distancia.
Algunas propiedades de la diferencia sim´ etrica (repaso)
Los t´ıtulos de las siguientes propiedades no son est´andares, los doy por analog´ıa con propiedades de n´umeros y funciones con valores num´ericos.
1. Proposici´on (desigualdad del tri´angulo para la diferencia sim´etrica). Sean A, B, C algunos conjuntos. Entonces
A 4 B ⊂ (A 4 C) ∪ (C 4 B).
2. Proposici´on (invariancia de la diferencia sim´etrica bajo complementos). Sean A y B algunos subconjuntos de un conjunto X. Entonces
(X \ A) 4 (X \ B) = A 4 B.
3. Proposici´on (desigualdad de Lipschitz para la uni´on, intersecci´on y diferen- cia de conjuntos). Sean A, B, C, D algunos conjuntos. Entonces
(A ∩ B) 4 (C ∩ D) ⊂ (A 4 C) ∪ (B 4 D);
(A ∪ B) 4 (C ∪ D) ⊂ (A 4 C) ∪ (B 4 D);
(A \ B) 4 (C \ D) ⊂ (A 4 C) ∪ (B 4 D);
Pseudom´etrica inducida por una medida exterior, p´agina 1 de 2
Pseudom´ etrica entre conjuntos inducida por una medida exterior
4. Definici´on (pseudom´etrica entre conjuntos inducida por una medida exte- rior). Sean X un conjunto y ϕ : 2X → [0, +∞] una medida exterior. Definimos la funci´on d : 2X × 2X → [0, +∞] mediante la regla
d(A, B) := ϕ(A 4 B).
Entonces d cumple con los axiomas de pseudom´etrica, es decir, d toma valores en [0, +∞], es sim´etrica y satisface la desigualdad triangular. La ´ultima se obtiene usando la Propo- sici´on 1y la subaditividad de ϕ.
5. Proposici´on (continuidad de la uni´on, intersecci´on y diferencia de conjun- tos). Sean X, ϕ, d como en la Definici´on 4. Demostrar que las operaciones ∪, ∩ y \ son Lipschitz continuas en el siguiente sentido:
d(A ∩ B, C ∩ D) ≤ d(A, C) + d(B, D), d(A ∪ B, C ∪ D) ≤ d(A, C) + d(B, D), d(A \ B, C \ D) ≤ d(A, C) + d(B, D).
Pseudom´etrica inducida por una medida exterior, p´agina 2 de 2