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Pseudom´ etrica inducida por una medida exterior

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Academic year: 2022

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Pseudom´ etrica inducida por una medida exterior

Tarea adicional

Objetivos. Dada una medida exterior ϕ : 2X → [0, +∞], mostrar que la funci´on d(A, B) := ϕ(A 4 B) (A, B ∈ 2X)

es una pseudom´etrica en 2X y que las operaciones ∪, ∩, \ y 4 son Lipschitz continuas respecto a esta pseudom´etrica.

Requisitos. Medida exterior, distancia.

Algunas propiedades de la diferencia sim´ etrica (repaso)

Los t´ıtulos de las siguientes propiedades no son est´andares, los doy por analog´ıa con propiedades de n´umeros y funciones con valores num´ericos.

1. Proposici´on (desigualdad del tri´angulo para la diferencia sim´etrica). Sean A, B, C algunos conjuntos. Entonces

A 4 B ⊂ (A 4 C) ∪ (C 4 B).

2. Proposici´on (invariancia de la diferencia sim´etrica bajo complementos). Sean A y B algunos subconjuntos de un conjunto X. Entonces

(X \ A) 4 (X \ B) = A 4 B.

3. Proposici´on (desigualdad de Lipschitz para la uni´on, intersecci´on y diferen- cia de conjuntos). Sean A, B, C, D algunos conjuntos. Entonces

(A ∩ B) 4 (C ∩ D) ⊂ (A 4 C) ∪ (B 4 D);

(A ∪ B) 4 (C ∪ D) ⊂ (A 4 C) ∪ (B 4 D);

(A \ B) 4 (C \ D) ⊂ (A 4 C) ∪ (B 4 D);

Pseudom´etrica inducida por una medida exterior, p´agina 1 de 2

(2)

Pseudom´ etrica entre conjuntos inducida por una medida exterior

4. Definici´on (pseudom´etrica entre conjuntos inducida por una medida exte- rior). Sean X un conjunto y ϕ : 2X → [0, +∞] una medida exterior. Definimos la funci´on d : 2X × 2X → [0, +∞] mediante la regla

d(A, B) := ϕ(A 4 B).

Entonces d cumple con los axiomas de pseudom´etrica, es decir, d toma valores en [0, +∞], es sim´etrica y satisface la desigualdad triangular. La ´ultima se obtiene usando la Propo- sici´on 1y la subaditividad de ϕ.

5. Proposici´on (continuidad de la uni´on, intersecci´on y diferencia de conjun- tos). Sean X, ϕ, d como en la Definici´on 4. Demostrar que las operaciones ∪, ∩ y \ son Lipschitz continuas en el siguiente sentido:

d(A ∩ B, C ∩ D) ≤ d(A, C) + d(B, D), d(A ∪ B, C ∪ D) ≤ d(A, C) + d(B, D), d(A \ B, C \ D) ≤ d(A, C) + d(B, D).

Pseudom´etrica inducida por una medida exterior, p´agina 2 de 2

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