CO5212 - An´ alisis Num´ erico II - Gu´ ıa 1
1. Escribir el desarrollo de Taylor para la funci´on ex para x ∈ [0, 1] alrededor del punto x0 = 0. Determinar el n´umero de terminos necesarios para obtener una precisi´on de 10−6. 2. Escribir los desarrollos de Taylor para las funciones sinx y cosx, alrededor del punto x0= 0,
usando la f´ormula integral del resto (forma de Lagrange).
3. Dada la funci´on transcendental definida por S(x) =
Z x
0
sin t t dt, escribir el desarrollo de Taylor para esta funci´on.
4. Determinar el desarrollo de Taylor para la funci´on
√2 π
Z x 0
e−t2dt
alrededor del punto x0 = 0. Esta funci´on se conoce como la funci´on error y se denota como erf (x).
5. Encontrar el polinomio de Taylor de grado 2 para la funci´on f (x) = e2xsin x expandida alrededor del punto x0 = π/2.
6. Encontrar los dos primeros t´erminos de la expansi´on de Taylor de la funci´on f (x) = x1/5 alrededor del punto x0 = 32. Aproximar la raiz quinta de 31.999999 usando los dos t´erminos de la serie. ¿Cu´an preciso es la respuesta obtenida?
7. Expanda√
1 + h en potencias de h. Calcule los valores de√
1.00001 y√
0.99999.
8. Determinar el polinomio de Taylor de grado dos para la funci´on de dos variables f (x, y) = cos(xy).
9. Supongamos que f (x) = P∞
k=0akxk, con a0 = 1, y que en una vecindad del 0, 1/f (x) esta bien definida. Asumiendo una serie P∞
k=0bkxk para la funci´on reciproca, determinar los bk recursivamente del hecho que el producto de las dos series es 1. Use los resultados encontrados para determinar la serie para x/(ex−1). Probar que los coeficientes bkcumplen b3 = b5 = b7 = · · · = 0. Los productos k!bk se denominan los n´umeros de Bernoulli, los cuales se denotan como B0, B1, . . ., Bk.
10. Sea f (x) =√
x − x2 y p2(x) el polinomio interpolante en x0 = 0, x1, y x2 = 1. Calcule el valor m´as grande de x1 en (0, 1) para el cual f (0.5) − p2(0.5) = −0.25.
11. La ecuaci´on x − 9−x = 0 tiene una soluci´on en [0, 1]. Determinar el polinomio de inter- polaci´on para los nodos x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1 para la funci´on del lado izquierdo de la ecuaci´on. Ahora, igualando el polinomio de interpolaci´on a cero y resolviendo, encontrar una aproximaci´on a la soluci´on de la ecuaci´on.
12. Aplique el m´etodo de Neville para aproximar √
3 con la funci´on f (x) = 3x y los valores x0 = −2, x1= −1, x2= 0, x3 = 1 y x4 = 2.
13. Aplique el m´etodo de Neville para aproximar √
3 con la funci´on f (x) =√x y los valores x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4, y x4 = 5. Compare la exactitud con la del ejercicio anterior.
14. Sea p3(x) el polinomio interpolante para los datos (0, 0), (0.5, y), (1, 3), y (2, 2). Encuentre y si el coeficiente de x3 en p3(x) es 6.
15. Supongase que necesita construir tablas de ocho lugares decimales para la funci´on logar´ıtmica com´un, o de base 10, de x = 1 a x = 10, de modo que la interpolaci´on lineal tenga una exactitud de 10−6. Determine una cota del tama˜no del paso para esta tabla. ¿Qu´e tama˜no de paso escoger´a para asegurarse de que la tabla incluya x = 10?
16. Determinar la forma de los polinomios de interpolaci´on de Lagrange y Newton para los datos de la siguiente tabla. Escribir ambos polinomios en la forma a + bx + cx2 para verificar que ellos son indenticos como funciones.
x 2 0 3
f (x) 11 7 28
17. Sea pk polinomio de grado ≤ k tal que pk(xi) = yi para 0 ≤ i ≤ k. Probar que pk = pk−1 si y s´olo si pk−1(xk) = yk.
18. Supongase que xj = j para j = 0, 1, 2, 3 y que se sabe que
P0,1(x) = x + 1, P1,2(x) = 3x − 1, y P1,2,3(2.5) = 3.
Obtenga P0,1,2,3(2.5).
19. Use la f´ormula de diferencias divididas interpolantes de Newton para construir polinomios interpolantes de grado uno, dos y tres con los datos siguientes. Use cada uno de los polinomios para aproximar el valor especificado.
f (8.4) si f (8.1) = 16.94410, f (8.3) = 17.56492, f (8.6) = 18.50515, f (8.7) = 18.82091 20. Use el algoritmo visto en clase para construir el polinomio interpolante de Newton de
grado cuatro con los puntos desigualmente espaciados que aparecen en la tabla sumistrada.
Agregue f (1.1) = −3.99583 a la tabla y construya el polinomio interpolante de grado cinco.
x 0.0 0.1 0.3 0.6 1.0 f (x) -6.00000 -5.98483 -5.65014 -5.17788 -4.28172 21. Demuestre que el polinomio que interpola los siguientes datos es de grado 3.
x -2 -1 0 1 2 3
f (x) 1 4 11 16 13 -4
22. Si se interpola la funci´on f (x) = ex−1 mediante un polinomio p(x) de grado ≤ 12, usando 13 nodos en el intervalo [−1, 1], d´e una cota superior para |f (x) − P (x)| para cualquier x ∈ [−1, 1].
23. ¿Cu´al es el grado m´ınimo del polinomio que se ajusta exactamente a todos los siete pares de puntos de la tabla dada? Construya el polinomio de interpolaci´on.
x 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3
y 0.003 0.067 0.148 0.248 0.370 0.518 0.697
24. Se tienen los datos de la tabla para un polinomio p(x) de grado desconocido. Determine el coeficiente de x2 en p(x) si todas las diferencias progresivas de tercer orden son 1.
x 0 1 2
f (x) 2 -1 4 25. Si se tiene
pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x − x0) + a2(x − x0)(x − x1) + a3(x − x0)(x − x1)(x − x2) + · · · +an(x − x0)(x − x1) · · · (x − xn−1)
use pn(x2) para demostrar que a2 = f [x0, x1, x2].
26. Probar
m!f [0, 1, . . . , m] =
m
X
j=0
(−1)m−jm j
f (j).
27. Construir el polinomio de interpolaci´on de Hermite para los datos de la tabla. Estos datos se generaron por medio de la funci´on f (x) = x cos(x) − 2x2 + 3x − 1. Use el polinomio construido para aproximar f (0.25) y calcule el error real.
x 0.1 0.2 0.3 0.4
f (x) -0.62049958 -0.28398668 0.00660095 0.24842440 f′(x) 3.58502082 3.14033271 2.66668043 2.16529366
28. La tabla siguiente contiene datos referentes a la funci´on que se describe mediante f (x) = e0.1x2. Aproxime f (1.25) por medio de los polinomios de Hermite p5(x) y p3(x) en x = 1.25, donde p5 usa los nodos x0= 1, x1= 2 y x2 = 3 y p3 emplea los nodos ˜x0 = 1 y ˜x1= 1.5.
Calcule las cotas de error en estas aproximaciones.
x x0 = ˜x0 = 1 x˜1 = 1.5 x1 = 2 x2= 3 f (x) 1.105170918 1.252322716 1.491824698 2.459603111 f′(x) 0.2210341836 0.3756988148 0.5967298792 1.475761867
29. Un autom´ovil viaja por una carretera recta y su recorrido se cronometra en varios puntos.
Los datos recabados de las observaciones se incluyen en la tabla. El tiempo se indica en segundos, la distancia en pies y la velocidad en pies por segundo.
tiempo 0 3 5 8 13
distancia 0 225 383 623 993 velocidad 75 77 80 74 72
• Construya el polinomio de interpolaci´on H(x) de Hermite, y ´uselo para predecir la posici´on del autom´ovil y su velocidad cuando t = 10s.
• Use la derivada del polinomio de Hermite para determinar si el autom´ovil supera el l´ımite de velocidad de 80 pies por segundo. De ser as´ı, ¿en qu´e instante la supera por primera vez?
• ¿Cu´al es la velocidad m´axima predecible del autom´ovil?
30. Determine todas las aproximaciones de Pad´e de tercer grado para f (x) = x ln(x + 1).
Comparar los resultados en xi= 0.2i para i = 0, 1, . . . , 5, con los valores reales f (xi).
31. Determine la aproximaci´on de Pad´e de sexto grado con n = m = 3 para f (x) = sin(x).
Compare los resultados en xi = 0.1i, para i = 0, 1, . . . , 5, con los resultados exactos y con los del polinomio de grado seis de Maclaurin.
32. Exprese las siguientes funciones racionales en forma de fracci´on continua:
(a) x2+ 3x + 2
x2− x + 1 , (b) 4x2+ 3x − 7 2x3+ x2− x + 5,
(c) 2x3− 3x2+ 4x − 5
x2+ 2x + 4 , (d) 2x3+ x2− x + 3 3x3+ 2x2− x + 1.
33. Obtenga la aproximaci´on racional de Chebyshev de grado cuatro con n = m = 2 para f (x) = sin(x). Compare los resultados en xi= 0.1i, para i = 0, 1, . . . , 5, con los obtenidos en el ejercicio anterior al anterior (31) mediante la aproximaci´on de Pad´e de sexto grado.
34. Determine si la siguiente funci´on f es un spline c´ubico para una determinada funci´on dada, donde
f (x) =
13 − 31x + 23x2− 5x3 si x ∈ [1, 2),
−35 + 51x − 22x2+ 3x3 si x ∈ [2, 3].
35. Dada la funci´on
S(x) =
2(x + 1) + (x + 1)3, x ∈ [−1, 0),
3 + 5x + 3x2, x ∈ [0, 1),
11 + 11(x − 1) + 3(x − 1)2− (x − 1)3, x ∈ [1, 2],
determine si la misma es un spline c´ubico en [−1, 2]. ¿Es natural? Justifique sus respuestas.
36. Un spline c´ubico natural S en [0, 2] est´a definido por S(x) =
S0(x) = 1 + 2x − x3 si 0 ≤ x < 1, S1(x) = 2 + b(x − 1) + c(x − 1)2+ d(x − 1)3 si 1 ≤ x ≤ 2.
Determine b, c y d.
37. Un spline c´ubico natural S est´a definido por S(x) =
S0(x) = 1 + B(x − 1) − D(x − 1)3 si 1 ≤ x < 2, S1(x) = 1 + b(x − 2) −34(x − 2)2+ d(x − 2)3 si 2 ≤ x ≤ 3.
Si S interpola los datos (1, 1), (2, 1) y (3, 0), obtenga B, D, b y d.
38. Deducir las ecuaciones asociadas a las condiciones de frontera sujeta o amarrada S′(t0) = A y S′(tn) = B para la interpolaci´on a trozos por splines. Plantear el sistema lineal tridiagonal resultante.
39. Un spline c´ubico sujeto S de la funci´on f en [1, 3] est´a definido por S(x) =
S0(x) = 3(x − 1) + 2(x − 1)2− (x − 1)3 si 1 ≤ x < 2, S1(x) = a + b(x − 2) + c(x − 2)2+ d(x − 2)3 si 2 ≤ x ≤ 3.
Dadas f′(1) = f′(3), encuentre a, b, c y d.
40. Un spline c´ubico sujeto S de la funci´on f definido por S(x) =
S0(x) = 1 + Bx − 2x2− 2x3 si 0 ≤ x < 1, S1(x) = 1 + b(x − 1) − 4(x − 1)2+ 7(x − 1)3 si 1 ≤ x ≤ 2.
Obtenga f′(0) y f′(2).
41. Suponga que f (x) es un polinomio de grado 3. Demuestre que f (x) es su propio spline c´ubico sujeto, pero que no puede ser su propio spline c´ubico natural.