CO5212 - An´alisis Num´erico II - Gu´ıa 1

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CO5212 - An´ alisis Num´ erico II - Gu´ ıa 1

1. Escribir el desarrollo de Taylor para la función e^x para x ∈ [0, 1] alrededor del punto x0 = 0. Determinar el número de terminos necesarios para obtener una precisión de 10⁻⁶. 2. Escribir los desarrollos de Taylor para las funciones sinx y cosx, alrededor del punto x₀= 0,

usando la f´ormula integral del resto (forma de Lagrange).

3. Dada la funci´on transcendental definida por S(x) =

Z _x

0

sin t t dt, escribir el desarrollo de Taylor para esta funci´on.

4. Determinar el desarrollo de Taylor para la funci´on

√2 π

Z x 0

e^−t²dt

alrededor del punto x0 = 0. Esta funci´on se conoce como la funci´on error y se denota como erf (x).

5. Encontrar el polinomio de Taylor de grado 2 para la funci´on f (x) = e^2xsin x expandida alrededor del punto x0 = π/2.

6. Encontrar los dos primeros términos de la expansión de Taylor de la función f (x) = x^1/5 alrededor del punto x₀ = 32. Aproximar la raiz quinta de 31.999999 usando los dos términos de la serie. ¿Cuán preciso es la respuesta obtenida?

7. Expanda√

1 + h en potencias de h. Calcule los valores de√

1.00001 y√

0.99999.

8. Determinar el polinomio de Taylor de grado dos para la funci´on de dos variables f (x, y) = cos(xy).

9. Supongamos que f (x) = P_∞

k=0a_kx^k, con a₀ = 1, y que en una vecindad del 0, 1/f (x) esta bien definida. Asumiendo una serie P_∞

k=0b_kx^k para la funci´on reciproca, determinar los b_k recursivamente del hecho que el producto de las dos series es 1. Use los resultados encontrados para determinar la serie para x/(e^x−1). Probar que los coeficientes bkcumplen b3 = b5 = b7 = · · · = 0. Los productos k!bk se denominan los n´umeros de Bernoulli, los cuales se denotan como B₀, B₁, . . ., B_k.

10. Sea f (x) =√

x − x² y p₂(x) el polinomio interpolante en x₀ = 0, x₁, y x₂ = 1. Calcule el valor m´as grande de x₁ en (0, 1) para el cual f (0.5) − p2(0.5) = −0.25.

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11. La ecuación x − 9^−x = 0 tiene una solución en [0, 1]. Determinar el polinomio de inter- polación para los nodos x₀ = 0, x₁ = 0.5, x₂ = 1 para la función del lado izquierdo de la ecuación. Ahora, igualando el polinomio de interpolación a cero y resolviendo, encontrar una aproximación a la solución de la ecuación.

12. Aplique el m´etodo de Neville para aproximar √

3 con la funci´on f (x) = 3^x y los valores x₀ = −2, x1= −1, x2= 0, x₃ = 1 y x₄ = 2.

13. Aplique el m´etodo de Neville para aproximar √

3 con la funci´on f (x) =√x y los valores x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4, y x4 = 5. Compare la exactitud con la del ejercicio anterior.

14. Sea p₃(x) el polinomio interpolante para los datos (0, 0), (0.5, y), (1, 3), y (2, 2). Encuentre y si el coeficiente de x³ en p₃(x) es 6.

15. Supongase que necesita construir tablas de ocho lugares decimales para la función logar´ıtmica común, o de base 10, de x = 1 a x = 10, de modo que la interpolación lineal tenga una exactitud de 10⁻⁶. Determine una cota del tamaño del paso para esta tabla. ¿Qué tamaño de paso escogerá para asegurarse de que la tabla incluya x = 10?

16. Determinar la forma de los polinomios de interpolaci´on de Lagrange y Newton para los datos de la siguiente tabla. Escribir ambos polinomios en la forma a + bx + cx² para verificar que ellos son indenticos como funciones.

x 2 0 3

f (x) 11 7 28

17. Sea p_k polinomio de grado ≤ k tal que pk(x_i) = y_i para 0 ≤ i ≤ k. Probar que pk = p_k−1 si y s´olo si p_k−1(x_k) = y_k.

18. Supongase que x_j = j para j = 0, 1, 2, 3 y que se sabe que

P0,1(x) = x + 1, P1,2(x) = 3x − 1, y P1,2,3(2.5) = 3.

Obtenga P_0,1,2,3(2.5).

19. Use la f´ormula de diferencias divididas interpolantes de Newton para construir polinomios interpolantes de grado uno, dos y tres con los datos siguientes. Use cada uno de los polinomios para aproximar el valor especificado.

f (8.4) si f (8.1) = 16.94410, f (8.3) = 17.56492, f (8.6) = 18.50515, f (8.7) = 18.82091 20. Use el algoritmo visto en clase para construir el polinomio interpolante de Newton de

grado cuatro con los puntos desigualmente espaciados que aparecen en la tabla sumistrada.

Agregue f (1.1) = −3.99583 a la tabla y construya el polinomio interpolante de grado cinco.

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x 0.0 0.1 0.3 0.6 1.0 f (x) -6.00000 -5.98483 -5.65014 -5.17788 -4.28172 21. Demuestre que el polinomio que interpola los siguientes datos es de grado 3.

x -2 -1 0 1 2 3

f (x) 1 4 11 16 13 -4

22. Si se interpola la funci´on f (x) = e^x−1 mediante un polinomio p(x) de grado ≤ 12, usando 13 nodos en el intervalo [−1, 1], d´e una cota superior para |f (x) − P (x)| para cualquier x ∈ [−1, 1].

23. ¿Cu´al es el grado m´ınimo del polinomio que se ajusta exactamente a todos los siete pares de puntos de la tabla dada? Construya el polinomio de interpolaci´on.

x 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3

y 0.003 0.067 0.148 0.248 0.370 0.518 0.697

24. Se tienen los datos de la tabla para un polinomio p(x) de grado desconocido. Determine el coeficiente de x² en p(x) si todas las diferencias progresivas de tercer orden son 1.

x 0 1 2

f (x) 2 -1 4 25. Si se tiene

p_n(x) = f [x₀] + f [x₀, x₁](x − x0) + a₂(x − x0)(x − x1) + a₃(x − x0)(x − x1)(x − x2) + · · · +an(x − x⁰)(x − x¹) · · · (x − xn−1)

use p_n(x₂) para demostrar que a₂ = f [x₀, x₁, x₂].

26. Probar

m!f [0, 1, . . . , m] =

m

X

j=0

(−1)^m−jm j

f (j).

27. Construir el polinomio de interpolaci´on de Hermite para los datos de la tabla. Estos datos se generaron por medio de la funci´on f (x) = x cos(x) − 2x² + 3x − 1. Use el polinomio construido para aproximar f (0.25) y calcule el error real.

x 0.1 0.2 0.3 0.4

f (x) -0.62049958 -0.28398668 0.00660095 0.24842440 f^′(x) 3.58502082 3.14033271 2.66668043 2.16529366

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28. La tabla siguiente contiene datos referentes a la funci´on que se describe mediante f (x) = e^0.1x². Aproxime f (1.25) por medio de los polinomios de Hermite p₅(x) y p₃(x) en x = 1.25, donde p5 usa los nodos x0= 1, x1= 2 y x2 = 3 y p3 emplea los nodos ˜x0 = 1 y ˜x1= 1.5.

Calcule las cotas de error en estas aproximaciones.

x x₀ = ˜x₀ = 1 x˜₁ = 1.5 x₁ = 2 x₂= 3 f (x) 1.105170918 1.252322716 1.491824698 2.459603111 f^′(x) 0.2210341836 0.3756988148 0.5967298792 1.475761867

29. Un autom´ovil viaja por una carretera recta y su recorrido se cronometra en varios puntos.

Los datos recabados de las observaciones se incluyen en la tabla. El tiempo se indica en segundos, la distancia en pies y la velocidad en pies por segundo.

tiempo 0 3 5 8 13

distancia 0 225 383 623 993 velocidad 75 77 80 74 72

• Construya el polinomio de interpolación H(x) de Hermite, y úselo para predecir la posición del automóvil y su velocidad cuando t = 10s.

• Use la derivada del polinomio de Hermite para determinar si el autom´ovil supera el l´ımite de velocidad de 80 pies por segundo. De ser as´ı, ¿en qu´e instante la supera por primera vez?

• ¿Cuál es la velocidad máxima predecible del automóvil?

30. Determine todas las aproximaciones de Pad´e de tercer grado para f (x) = x ln(x + 1).

Comparar los resultados en x_i= 0.2i para i = 0, 1, . . . , 5, con los valores reales f (x_i).

31. Determine la aproximaci´on de Pad´e de sexto grado con n = m = 3 para f (x) = sin(x).

Compare los resultados en x_i = 0.1i, para i = 0, 1, . . . , 5, con los resultados exactos y con los del polinomio de grado seis de Maclaurin.

32. Exprese las siguientes funciones racionales en forma de fracci´on continua:

(a) x²+ 3x + 2

x²− x + 1 , (b) 4x²+ 3x − 7 2x³+ x²− x + 5,

(c) 2x³− 3x²+ 4x − 5

x²+ 2x + 4 , (d) 2x³+ x²− x + 3 3x³+ 2x²− x + 1.

33. Obtenga la aproximación racional de Chebyshev de grado cuatro con n = m = 2 para f (x) = sin(x). Compare los resultados en x_i= 0.1i, para i = 0, 1, . . . , 5, con los obtenidos en el ejercicio anterior al anterior (31) mediante la aproximación de Padé de sexto grado.

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34. Determine si la siguiente función f es un spline cúbico para una determinada función dada, donde

f (x) =

13 − 31x + 23x²− 5x³ si x ∈ [1, 2),

−35 + 51x − 22x²+ 3x³ si x ∈ [2, 3].

35. Dada la funci´on

S(x) =







2(x + 1) + (x + 1)³, x ∈ [−1, 0),

3 + 5x + 3x², x ∈ [0, 1),

11 + 11(x − 1) + 3(x − 1)²− (x − 1)³, x ∈ [1, 2],

determine si la misma es un spline c´ubico en [−1, 2]. ¿Es natural? Justifique sus respuestas.

36. Un spline c´ubico natural S en [0, 2] est´a definido por S(x) =

S₀(x) = 1 + 2x − x³ si 0 ≤ x < 1, S₁(x) = 2 + b(x − 1) + c(x − 1)²+ d(x − 1)³ si 1 ≤ x ≤ 2.

Determine b, c y d.

37. Un spline c´ubico natural S est´a definido por S(x) =

S₀(x) = 1 + B(x − 1) − D(x − 1)³ si 1 ≤ x < 2, S₁(x) = 1 + b(x − 2) −³₄(x − 2)²+ d(x − 2)³ si 2 ≤ x ≤ 3.

Si S interpola los datos (1, 1), (2, 1) y (3, 0), obtenga B, D, b y d.

38. Deducir las ecuaciones asociadas a las condiciones de frontera sujeta o amarrada S^′(t₀) = A y S^′(t_n) = B para la interpolaci´on a trozos por splines. Plantear el sistema lineal tridiagonal resultante.

39. Un spline cúbico sujeto S de la función f en [1, 3] está definido por S(x) =

S₀(x) = 3(x − 1) + 2(x − 1)²− (x − 1)³ si 1 ≤ x < 2, S1(x) = a + b(x − 2) + c(x − 2)²+ d(x − 2)³ si 2 ≤ x ≤ 3.

Dadas f^′(1) = f^′(3), encuentre a, b, c y d.

40. Un spline c´ubico sujeto S de la funci´on f definido por S(x) =

S₀(x) = 1 + Bx − 2x²− 2x³ si 0 ≤ x < 1, S1(x) = 1 + b(x − 1) − 4(x − 1)²+ 7(x − 1)³ si 1 ≤ x ≤ 2.

Obtenga f^′(0) y f^′(2).

41. Suponga que f (x) es un polinomio de grado 3. Demuestre que f (x) es su propio spline c´ubico sujeto, pero que no puede ser su propio spline c´ubico natural.